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UNIVERSIDAD SALESIANA
DE BOLIVIA
CONTADURIA PÚBLICA
DOSSIER
CALCULO I
DOCENTE: ING. CLAUDIA LLANOS VIDAURRE
II - 2011
INDICE
Identificación de la materia
Objetivos de la asignatura
Contenidos Mínimos
Números Reales
Inecuaciones
Funciones
Límites
Derivadas y Aplicaciones
Integrales
Aplicaciones
I DATOS DE IDENTIFICACIÓN
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INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA:
RECTOR:
CARRERA:
DIRECTORA DE CARRERA:
DOCENTE:
NIVEL DE LA MATERIA:
ASIGNATURA:
SIGLA:
REQUISITO:
PARALELO:
E – MAIL:
Universidad Salesiana de Bolivia
Dr. Rvdo. P. Thelían Argeo Corona
Contaduría Pública y Sistemas
Lic. Luz Mila Guzmán Antezana
Ing. Claudia Llanos Vidaurre
Segundo Semestre
Cálculo I
MAT-125
Álgebra Superior
A (Mañana y Noche)
llanosvi@hotmail.com
II OBJETIVOS DE LA MATERIA

GENERAL
Promover la formación integral del futuro Contador Público en el contexto real de la matemática aplicada
a las ciencias económicas y financieras, para este valore la utilidad del cálculo en el análisis de
interpretación.

ESPECÍFICOS
-
Valorar el análisis y su aplicación en el campo de la macroeconomía y microeconomía.
-
Interpretar geométrica y matemáticamente las definiciones de límite, derivada e integral.
-
Aplicar los teoremas sobre límites, derivadas e integrales en la resolución de problemas
económicos.
-
Valorar el cálculo como instrumento importante en el estudio y análisis de fenómenos económicos.
-
ADICIONAL
Implementar el Estilo Salesiano en el proceso enseñanza aprendizaje, enfatizando en los pilares
básicos: RAZÓN, AMOR Y RELIGIÓN.
Implementar el aprendizaje cooperativo y tecnología educacional al estilo Salesiano.
CONTENIDOS DE LA MATERIA
CONTENIDOS MÍNIMOS OFICIALES
Número Reales y Desigualdades – Funciones – Límites y Continuidad – La Derivada y Aplicaciones de la
Derivada – Integrales y Aplicaciones de las Integrales.
UNIDAD I
NÚMEROS REALES Y DESIGUALDADES
Axiomas. Teoremas de los número reales – La recta real , demostración de teoremas– Desigualdades e
inecuaciones – Valor absoluto – Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto- aplicaciones.
COMPETENCIAS UNIDAD I
Construye formalmente el conjunto R de los números reales a partir de los conjuntos numéricos
Aplica las propiedades de los números reales (teoremas), en la interpretación de los modelos económicos.
UNIDAD II
FUNCIONES
Pares ordenados. Producto cartesiano – Relaciones y funciones – Dominio y codominio de una función –
Tipos de funciones – Operaciones – Composición de funciones - Clases de funciones –Función inversaFunciones especiales- Aplicaciones a la economía.
COMPETENCIAS UNIDAD II
Identifica una función real de variable real determinando su dominio y rango en una regla de asignación.
Representa y reconoce gráficas de funciones reales de variable real comparando sus características en grafos
del plano cartesiano
Clasifica a las funciones determinando si son inyectivas, sobreyectivas y biyectivas en una serie de reglas de
asignación propuestas en la práctica de función oferta y demanda.
Interpreta las diferencias entre una función directa y su inversa
Valora la aplicación de las funciones en la interpretación de fenómenos económicos, en el ámbito
macroeconómico y macroeconómico.
UNIDAD III
LIMITES Y CONTINUIDAD
Definición y teoremas de límites – Indeterminaciones – Límites de funciones algebraicas – Límites de
funciones exponenciales y logarítmicas – Límites de funciones trigonométricas – Continuidad – Aplicaciones.
COMPETENCIAS UNIDAD III
Define e interpreta el concepto de límite de una función real de variable real como una aproximación
arbitraria elaborando y analizando una sucesión numérica en un problema de crecimiento poblacional·
Define e interpreta el concepto de continuidad de una función analizando y comparando su grafo, la existencia
del límite y su valor en el punto de estudio en un problema propuesto en clases.
Valora el concepto de pendiente para entender la definición de derivada.
Resuelve problemas relativos a las ciencias económicas, particularmente en el proceso de maximización de
utilidades y minimización de costos.
UNIDAD IV
LA DERIVADA Y APLICACIONES DE LA DERIVADA
Definición y teoremas de la derivada – Tabla de derivadas – Reglas de derivación de funciones – Derivadas
de orden superior – Derivadas implícitas – Interpretación geométrica de la derivada – Recta TangenteTeorema de Valor Medio- Teorema de Rolle-Puntos críticos, máximos y mínimos – concavidad y convexidad
– Aplicaciones de la derivada a la economía.
COMPETENCIAS UNIDAD IV
Define el concepto de derivada como el límite del cociente incremental de una función, dando lugar al
concepto de marginalidad en economía.
Determina y explica las propiedades de derivación demostrándolas formalmente en la funciones de
producción, explicando los rendimientos decrecientes.
Determina la derivada de una función aplicando las preglas de derivación a una función costo total, costo
variable ,etc.· Determina las derivadas de orden superior derivando sucesivamente de una función dada
cualesquiera.
Interpreta el significado geométrico de la derivada de una función frontera de posibilidades de producción, en
un valor determinado.
Determina y explica el significado de la diferencial de una función en Macro y Micro.
Analiza y aplica el Teorema del Valor Medio demostrando algunos teoremas como consecuencia inmediata.
Determina los valores extremos de una función a través de la primera y segunda derivad de la función en un
problema de que involucre la maximización o minimización de funciones en economía.
Construye el dibujo de una función determinando los intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos
extremos, concavidad, asíntotas de una función cualesquiera. · Valora el cálculo diferencial en el estudio e
interpretación de variables macroeconómicas y macroeconómicas.
Valora el cálculo diferencial en la prosecución de sus estudios superiores a nivel de post grado.
UNIDAD V
INTEGRALES Y APLICACIONES DE LAS INTEGRALES
Integrales indefinidas – Teoremas – Tabla de integrales – Método de integración – Integrales definidas –
Teoremas – Aplicaciones de las integrales – Cálculo de áreas en el plano- Aplicaciones a la economía.
COMPETENCIAS DE LA UNIDAD V
Interpreta el concepto de integral como una operación inversa de la derivada.
Determina y explica el significado de la interpretación geométrica de la integral como un proceso de cálculo
de área·
Establece la relación que existe entre los teoremas de las derivadas e integrales·
Valora la aplicación de las integrales definidas en el cálculo del excedente del consumidor y productor.
V METODO DE ENSEÑANZA
ESTILO SALESIANO.
GRUPOS DE APRENDIZAJE COOPERATIVO
TECNOLOGÍA DE LA INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓN
VI METODOLOGÍA DE EVALUACIÓN
1er. Parcial 25% - (5% Trabajo en grupo, 20% evaluación individual
2er. Parcial 25% - (5% Trabajo en grupo, 20% evaluación individual )
3er. Parcial 25% - (5% Trabajo en grupo, 20% evaluación individual )
Evaluación Final Obligatoria 25% (5% T. Grupo – 20% evaluación Individual)
TOTAL 100%.
VII BIBLIOGRAFÍA
AUTOR OBRA LUGAR de EDICIÓN EDITORIAL AÑO
LOUIS LEITOLD Cálculo con Geometría Analítica España El Ateneo 1972
LARZON Cálculo I y II Perú San Marcos 1985
L. ESPINOZA Cálculo I y II Mexico Trillas 2000
A. VENERO Cálculo I y II Perú San Marcos 1993.
CAPITULO V: Integrales
Aunque será necesario definirla de forma esencialmente complicada, la integral viene a formalizar un
concepto sencillo, intuitivo: el de área. Ahora ya no nos debe causar sorpresa el encontrarnos con que la
definición de un concepto intuitivo puede presentar grandes dificultades y ciertamente el 'área' no es ninguna
excepción a esto...
En este capítulo intentaremos solamente definir el área de algunas regiones muy especiales (figura 1): aquellas
que están limitadas por el eje horizontal, las verticales por (a, 0) y (b, 0), y la gráfica de una función f tal que f
(x)
x de [a, b]. Conviene denotar esta región por R(f, a, b) ...
figura 1
figura 2
El número que asignaremos eventualmente como área de R(f, a, b) recibirá el nombre de integral de f sobre
[a, b]. En realidad, la integral se definirá también para funciones f que no satisfacen la condición f (x
para todo x de [a, b]. Si f es la función dibujada en la figura 2, la integral representará la diferencia entre las
áreas de las regiones de sombreado claro y de sombreado fuerte ('área algebraica' de R(f, a, b).
Supongamos que una curva situada por encima del eje x representa la gráfica de la función y = f (x).
Intentemos encontrar el área S de la superficie limitada por la curva y = f (x), el eje x y las rectas que, pasando
por los puntos x = a y x = b, son paralelas al eje y.
Figura 24.
Para resolver este problema se procede como sigue. Dividimos el intervalo [a, b] en n partes, no
x1
x2, y así
xn. En cada parte elegimos los números x1, x2, ..., xn, y escribimos la suma
(28)
Sn es evidentemente igual a la suma de las áreas de los rectángulos de la figura 24.
Cuanto más fina sea la subdivisión del segmento [a, b], más próxima se hallará Sn al área S. Si consideramos
una sucesión de tales valores por división del intervalo [a, b] en partes cada vez más pequeñas, entonces la
suma Sn tenderá a S.
La posibilidad de dividir el intervalo [a, b] en partes desiguales exige definir lo que entendemos por
subdivisiones 'cada vez más pequeñas'. Suponemos no sólo que n crece indefinidamente, sino también que la
xi en la n-ésima subdivisión tiende a cero. Así:
(29)
El cálculo del área buscada se ha reducido a calcular el límite (29)..., hemos obtenido una definición rigurosa
del concepto de área: es el límite (29).
5.1 Integral definida
[El límite (29) se llama integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b], y se nota por
La expresión f (x)dx se llama integrando; a y b son los límites de integración; a es el límite inferior, y b, el
límite superior.
Primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal
[Sea f integrable sobre [a, b] y defínase F sobre [a, b] por
Si f es continua en c de [a, b], entonces F es derivable en c, y
[Una tal función f (x) se llama primitiva de f (x).
[..., el teorema 1 es interesante en extremo cuando f es continua en todos los puntos de [a, b]. En este caso F
es derivable en todos los puntos de [a, b] y
F' = f
..., si f es continua ..., f es la derivada de alguna función, a saber, la función
Segundo teorema fundamental del cálculo infinitesimal
Si f es integrable sobre [a, b] y f = F' para alguna función F, entonces
(30)
Esta igualdad es la famosa fórmula de Newton y Leibnitz, que reduce el problema de calcular la integral
definida de una función a la obtención de una primitiva de la misma, y constituye así un enlace entre el
cálculo diferencial y el integral.
Muchos de los problemas concretos estudiados por los más grandes matemáticos se resuelven
automáticamente con esta fórmula, que establece sencillamente que la integral definida de la función f (x) en
el intervalo [a, b] es igual a la diferencia entre los valores de cualquiera de sus primitivas en los extremos
superior e inferior del intervalo. La diferencia (30) se acostumbra a escribir así:
Ejemplo:
La igualdad
muestra que la función x3/3 es una primitiva de la función x2. Así, por la fórmula de Newton y Leibnitz,
Propiedades de la integral definida
Si f (x) y g(x) son continuas en el intervalo de integración [a, b]:
1.
2.
3.
, siendo c una constante
4.
5.
, cuando a < c < b
6. Primer teorema del valor medio:
, para al menos un valor x = x0 entre a y b.
7.
Si
, se verifica
.
Ejemplos
1. Sea f (x) = c, una constante, y f (x) = cx; tendremos
2. Sea f (x) = x y f (x) = 1/2 x2; tendremos
3. Sea f (x) = x3 y f (x) = 1/4 x4; tendremos
Integrales indefinidas; técnica de integración.
Una función f (x) cuya derivada, en un cierto intervalo del eje x, F'(x) = f (x), decimos que f (x) es la
primitiva o integral indefinida de f (x). La integral indefinida de una función no es única;... Todas las
primitivas de f (x) =2x están representadas por la expresión x2 + C, en la que C es una constante cualquiera y
que se denomina constante de integración.
La primitiva o integral indefinida de la función f (x) se representa por medio del símbolo
Por ejemplo:
.
Fórmulas fundamentales de integración
xn dx = x(n+1) / (n+1) + C (n
-1)
1/x dx dx = ln|x| + C
Exponente / Logaritmo
ex dx = ex + C
ln(x) dx = x ln(x) - x + C
Trigonométrica
bx dx = bx / ln(b) + C
sen x dx = -cos x + C
csc x dx = - ln|csc x + cot x| + C
cos x dx = sen x + C
tan x dx = -ln|cos x| + C
sec x dx = ln|sec x + tan x| + C
cot x dx = ln|sen x| + C
Resuelta Trigonométrica
cos x dx = sen x + C
sen x dx = -cos x + C
sec2 x dx = tan x + C
csc x cot x dx = -csc x + C
sec x tan x dx = sec x + C
csc2 x dx = -cot x + C
Trigonométrica Inversa
1
arcsen x dx =
-1
+C
(1-x2)
arccsc x dx =
-1
arccos x dx =
1
+C
(1-x2)
arcsec x dx =
1
arctan x dx =
+C
2
|x| (x -1)
-1
+C
1+x
+C
|x| (x2-1)
2
arccot x dx =
+C
1+x
2
Hiperbólica
senh x dx = cosh x + C
cosh x dx = senh x + C
tanh x dx = ln( cosh x ) + C
csch x dx = ln( tanh(x/2) ) + C
sech x dx = atan( senh x ) + C
coth(x) dx = ln( senh x ) + C
Funciones de varias variables
Si a cada punto (x, y) de una región del plano xy se la hace corresponder un número real z, diremos que z es
una función, z = f (x, y), de las variables independientes x e y. El lugar geométrico de todos los puntos (x, y, z)
que satisfacen la ecuación z = f (x, y) es una superficie. Análogamente se definen las funciones w = f (x, y, z,
...) de varias variables independientes aunque no tengan una interpretación geométrica sencilla.
El estudio de las funciones de dos variables difiere notablemente del de las funciones de una variable. Sin
embargo, el cálculo de las funciones de tres o más variables es muy similar al caso de dos variables.
Límite de una función de dos variables
Una función f (x, y) tiende al límite A cuando
e
an pequeño como
queramos, existe un > 0 tal que, para todos los pares de valores (x, y) que cumplan la desigualdad
(i)
se verifica:
. La condición (i) representa un intervalo reducido del punto (x0, y0), es decir,
todos los puntos excepto el propio (x0, y0
x0, y0). (Ayres, 258)]
Continuidad de una función de dos variables
[Una función f (x, y) es continua en el punto (x0, y0) siempre que f (x0, y0) esté definida y, además,
Derivadas parciales de una función de dos variables
[Sea z = f (x, y) una función de las variables independientes x e y. Como x e y son independientes, podremos
(i) variar x manteniendo constante y y, (ii) variar y manteniendo constante x, (iii) variar x e y simultáneamente.
En los dos primeros casos, z es una función de una sola variable y se puede hallar su derivada de acuerdo con
las expresiones clásicas que ya hemos visto.
Si x varía permaneciendo constante y, z es una función de x y su derivada con respecto a esta variable x,
se denomina primera derivada parcial de z = f (x, y) con respecto a x.
Si lo que varía es y permaneciendo constante x, z es una función de y y su derivada con respecto a y
recibe el nombre de primera derivada parcial de z = f (x, y) con respecto a y...
Las derivadas parciales anteriores admiten una interpretación geométrica muy sencilla. Consideremos la
superficie z = f (x, y) de la Fig. 56-1, y sean APB y CPB las intersecciones con dicha superficie de los planos
que pasando por P sean paralelos a los xOz e yOz, respectivamente. Si hacemos variar a x permaneciendo
constante y
z x en el punto P es la
pendiente de la curva APB en P.
Fig. 56-1.
Análogamente, si hacemos variar y permaneciendo constante x, P se moverá a lo largo de la curva CPD, y el
z x en P es la pendiente de la curva CPD en P.
Integrales impropias,
Estudia una clase particular de integrales en las cuales uno o ambos límites de integración escapan hasta el
infinito.
La figura siguiente representa la secuencia sugerida para acceder a los materiales de acuerdo a su ordinal,
aunque puedes seleccionar el que tú desees en cualesquier orden: Para iniciar selecciona con el ratón y haz
clic directamente en el círculo del tema deseado dentro de la figura siguiente:
1
Diferenciales
6
2
Integrales
Integral
Impropias
Indefinida
0
Introducción
5
3
Aplicaciones
Técnicas de
integración
De la
Integral
4
Integral
Definida
LECTURA ADICIONAL
DEFINICIÒN DE LA DEMANDA
La demanda relativa a un producto es el volumen total de compras realizado por una determinada categoría de
clientes, en un lugar y en el curso de un período dado, en unas condiciones de entorno determinadas y para un
esfuerzo de marketing previamente definido.
Se destacan tres dimensiones de esta definición: el producto, el tiempo y el grupo de compradores.
Producto.- Hay que establecer el nivel de agregación del producto o servicio considerado.
Tiempo.- Hay que concretar el horizonte temporal en el que se va a medir la demanda del producto
considerado. Suelen utilizarse el corto, medio y largo plazo. El medio y largo plazo se encuadran dentro de la
elaboración del plan de marketing en el nivel estratégico, y el corto plazo en el nivel táctico.
Grupo de compradores.- Hace referencia al grado de agregación con que se trata a estos últimos.
El cruce de estas tres dimensiones permite hablar de distintos conceptos de demanda y de distintos
planteamientos para su estimación.
Si consideramos definidas las dimensiones relativas al tiempo y al espacio geográfico, es posible establecer
una relación entre la demanda global del mercado y la demanda de una marca.
Cuota de mercado de la marca i.
Demanda de la marca i.
Q = Demanda global del mercado.
Tanto el concepto como la medición de la demanda pueden ser planteados para un mercado, un productomercado o una industria.
Podemos distinguir una nueva dimensión, el nivel del proceso de producción de bienes y servicios. En este
sentido hablamos de demanda final, es decir, la demanda de los bienes que son utilizados por los
consumidores para satisfacer sus deseos y necesidades. Si la demanda se plantea en los niveles intermedios
del proceso de producción hablamos de demanda derivada, es decir, los bienes que son demandados por
otras organizaciones con el fin de producir otros bienes.
Así, la demanda de una empresa en el interior de un mercado es una variable dependiente de un conjunto de
variables explicativas. El objetivo es descubrir estas variables explicativas y determinar la influencia que cada
una de ellas tiene sobre dicha demanda, para así poder hacer una estimación de la misma para cada uno de los
productos-mercados considerados.
Ya hemos señalado que las motivaciones que pueden llegar a tener los individuos para poder consumir
determinados bienes son múltiples. Con todo, supondremos que hay una serie de factores determinantes de las
cantidades que los consumidores desean adquirir de cada bien por unidad de tiempo, tales como las
preferencias, la renta o ingreso en ese período, los precios de los demás bienes y, sobre todo, el precio del
propio bien en cuestión. Si consideramos constantes todos los factores salvo el precio del bien, esto es, si
aplicamos la condición “ceteris paribus, podemos hablar, por ejemplo, de la tabla de demanda del bien A por
un consumidor cuando consideramos la relación que existe entre la cantidad demandada y el precio de ese
bien.
Tabla de demanda
Cantidades demandadas del bien A diversos precios
PA
DA
2
4
6
8
8
6
4
2
Bajo la condición “ceteris paribus” y para un precio del bien A determinado, la suma de las
demandas individuales nos dará la demanda global o de mercado de ese bien. Es claro que la
demanda de mercado del bien A seguirá dependiendo del precio del bien, y por tanto tendremos
una tabla de demanda de mercado para el bien A.
La función de demanda es la relación entre la cantidad demandada de un bien y su precio. Al trazar
la curva de demanda se mantienen constantes los demás factores que puedan afectar a la cantidad
demandada, tales como la renta.
Sí
f´ < 0 La función de Demanda
DEFINICIÓN DE LA OFERTA
La cantidad de bienes o servicios que se ponen a la disposición del público consumidor en determinadas
cantidades es la oferta
La oferta se define como la cantidad de bienes o servicios que se ponen a la disposición del público
consumidor en determinadas cantidades, precio, tiempo y lugar para que, en función de éstos, aquél los
adquiera. Así, se habla de una oferta individual, una de mercado o una total.
En el análisis de mercado, lo que interesa es saber cuál es la oferta existente del bien o servicio que se desea
introducir al circuito comercial, para determinar si los que se proponen colocar en el mercado cumplen con las
características deseadas por el público.
Dada la evolución de los mercados, existen diversas modalidades de oferta, determinadas por factores
geográficos o por cuestiones de especialización. Algunos pueden ser productores o prestadores de servicios
únicos, otros pueden estar agrupados o bien, lo más frecuente, es ofrecer un servicio o un producto como uno
más de los muchos participantes en el mercado.
En el primer caso referido como el de especialización, se trata de monopolios, donde uno solo es oferente en
una localidad, región o país, lo cual le permite imponer los precios en función de su exclusivo interés, sin
tener que preocuparse por la competencia. A ello, el público consumidor sólo puede responder con un mayor
o menor consumo, limitado por sus ingresos.
Para los casos de un cierto número restringido de oferentes, que se ponen de acuerdo entre ellos para
determinar el precio de mercado, se les conoce como el oligopolio. Muy similar al caso anterior, el
consumidor no afecta el mercado, pues su participación igualmente se ve restringida por su capacidad de
compra.
Sí
f´ > 0 La función de oferta
DEFINICIÒN DE EL EQUILIBRIO
En economía entendemos por equilibrio aquella situación en la que no hay fuerzas inherentes que inciten al
cambio. Cambios a partir de una situación de equilibrio ocurrirán solo como resultado de factores exógenos
que alteren el statu quo. Por lo tanto se tendrá una combinación que equilibrio de precio, cantidad ofrecida y
demandada, cuando rija en el mercado un precio para el que no haya ni compradores ni vendedores frustrados
que tiendan a empujar los precios al alza o a la baja para adquirir las cantidades deseadas o estimular sus
ventas.
F´ Oferta
INTERSECCIÓN
F´ Demanda
3.4 APLICACIONES DE LA DEMANDA, OFERTA Y EQUILIBRIO EN LA ECONOMIA
1. Dado
y = 18 – 3x
y = 4 + 2x
y = 18 – 3x
y = 4 + 2x
y = - 3 < 0 La función de Demanda
y = 2 > 0 La función de Demanda
3x + y = 18
-2x + y = 4 // (-1)
3x + y = 18
y = 18 – 3(2.3)
y = 18 – 8.4
y = 9.6
2x – y = -4
5x
= 14
x = 14
5
x = 2,8
20
Oferta
15
Punto de Equilibrio
10
Demanda
5
1
5
2
3
4
Dado:
x = 208 – 8x – x^2
x = 208 –18x – x^2
16
y = 1 + x^2
13
=
1 + x^2
13
x = 13 (208 – 8x –x^2) = 16 + 16x^2
x = 2704 – 104x – 13x^2 – 16 – 16x^2 = 0
x = - 29x^2 – 104x + 2688 = 0
// (-1)
x = 29x^2 + 104x – 2688 = 0
x = - 104 +-
(104)^2 – 4 (29) (- 2688)
2(29)
x = - 104 +-
10816 + 311808
58
x = - 104 +58
322624
x = -104 + 568
58
x = - 104 - 568
58
x=8
x = - 11,5
Remplazando:
y = 1 + 8^2
13
y = 1 + (- 11,5)^2
13
y = 65
13
y = 1 + 133.25
13
y=5
y = 10, 3
Y
10
9
Oferta
8
7
6
5
Punto de Equilibrio
4
3
2
Demanda
1
1
2
3
4
5
6
7 8
9
10
X