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Informe final ecuaciones de Maxwell
Kelly Johana Martínez Jácome
Eduarli José Bermúdez Perea
Juan Camilo Ospina Galeano
Universidad Popular del Cesar
Facultad de ciencias básicas de la educación
Licenciatura en matemáticas y física
Valledupar- Cesar
2016
Informe final ecuaciones de Maxwell
Kelly Johana Martínez Jácome
Eduarli José Bermúdez Perea
Juan Camilo Ospina Galeano
Trabajo presentado como requisito de evaluación parcial
en la asignatura de electromagnetismo grupo 15
Licenciado. Juan Pacheco Fernández
Universidad Popular del Cesar
Facultad de ciencias básicas de la educación
Licenciatura en matemáticas y física
Valledupar- Cesar
2016
Leyes de Conservación
Si un sistema no interacciona con su entorno de ninguna manera, entonces
determinadas propiedades mecánicas del sistema no pueden cambiar. Algunas veces
nos referimos a ellas como "constantes del movimiento". Estas cantidades se dice
que son "conservadas" y las leyes de conservación resultante se pueden considerar
como los principios más fundamentales de la mecánica. En mecánica, ejemplos de
cantidades conservativas son la energía, el momento y el momento angular. Las leyes
de conservación son exactas para un sistema aislado.
Establecidas aquí como principios de la mecánica, estas leyes de conservación tiene
profundas implicaciones en la simetría de la naturaleza, que no hemos visto violadas.
Ellas sirven como una fuerte restricción en cualquier teoría sobre cualquier rama de
la ciencia.
Conservación del Momento
El momento de un sistema aislado es una constante. La suma de vectores de
momentos mv de todos los objetos de un sistema, no pueden ser cambiados por
interacciones dentro del propio sistema. Esto supone una fuerte restricción a los tipos
de movimientos que pueden ocurrir en un sistema aislado. Si a una parte del sistema
se le da un determinado momento en una dirección determinada, entonces alguna
otra parte del sistema obtendrá simultáneamente, exactamente el mismo momento
en dirección opuesta. Hasta donde podemos decir la conservación del momento es
una simetría absoluta de la naturaleza. O sea, no conocemos nada en la naturaleza
que lo viole.
Conservación de la Energía
Definimos energía como la capacidad para producir trabajo. Puede existir en una
variedad de formas y pude transformarse de un tipo de energía a otro tipo. Sin
embargo, estas transformaciones de energía están restringidas por un principio
fundamental, el principio de conservación de la energía. Una forma de establecer este
principio es "la energía ni se crea ni se destruye". Otra forma de decirlo es, la energía
total de un sistema aislado permanece constante.
La Conservación de la Energía como Principio Fundamental
El principio de conservación de la energía es uno de los principios fundamentales de
todas las disciplinas científicas. En variadas áreas de la ciencia, habrá ecuaciones
primarias que se pueden ver exactamente como una apropiada reformulación del
principio de conservación de la energía.
Fluidos
Ecuación de Bernoulli
Circuitos Eléctricos
Ley de Voltaje
Calor y Termodinámica Primera ley de la Termodinámica
Conservación del Momento Angular
El momento angular de un sistema aislado permanece constante en magnitud y en
dirección. El momento angular se define como el producto del momento de inercia I,
y la velocidad angular. El momento angular es una cantidad vectorial y la suma de
vectores de los momentos angulares de las partes de un sistema aislado es
constante. Esto supone una fuerte restricción sobre los tipos de movimientos
rotacionales que pueden ocurrir en un sistema aislado. Si a una parte del sistema se
le dá un momento angular en una dirección determinada, entonces alguna otra parte
del sistema, debe simultáneamente obtener exactamente el mismo momento angular
en dirección opuesta. La conservación del momento angular es una simetría absoluta
de la naturaleza. Es decir, no tenemos constancia de ningún fenómeno en la
naturaleza que lo haya violado.
Un Sistema Aislado
Un sistema aislado es una colección de materia, que no reacciona en absoluto con el
resto del universo y hasta donde conocemos, no exiten tales sistemas. No existe una
pantalla contra la gravedad, y la fuerza electromagnética es de alcance infinito. Pero
con objeto de centrarnos en principios básicos, es útil postular tales sistemas para
clarificar la naturaleza de las leyes físicas. En particular, las leyes de conservación se
pueden presumir exactas cuando se refieran a sistemas aislados:
Conservación de la energía: la energía total de un sistema es constante.
Conservación del momento: El producto de la masa por la velocidad del centro de
masa es constante.
Conservación del momento angular: El momento angular total de un sistema es
constante.
Tercera Ley de Newton: No se puede generar fuerza neta dentro de un sistema,
puesto que todas las fuerzas ocurren en pares opuestos. La aceleración del centro de
masa es cero.
Ley de Gauss
La ley de Gauss es una de las cuatro ecuaciones de Maxwell, que relaciona el campo
eléctrico con sus fuentes, las cargas; La ley de Gauss nos permite calcular de una
forma simple el módulo del campo eléctrico, cuando conocemos la distribución de
cargas con simetría esférica o cilíndrica tal como veremos en esta página.
Cuando el vector campo eléctrico E es constante en todos los puntos de una
superficie S, se denomina flujo al producto escalar del vector campo por el vector
superficie Φ =E·S.
El vector superficie S es un vector que tiene por módulo el área de dicha superficie,
la dirección es perpendicular al plano que la contiene.
Cuando el vector campo E y el vector superficie S son perpendiculares el flujo es cero
Si el campo no es constante o la superficie no es plana, se calcula el flujo a través de
cada elemento dS de superficie, E·dS. El flujo a través de la superficie S, es
Φ=∫S E⋅dS
La ley de Gauss afirma que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie
cerrada es igual al cociente entre la carga que hay en el interior de dicha superficie
dividido entre ε0.
∮E⋅dS=q/ε0
Vamos a ver algunos ejemplos típicos de aplicación de la ley de Gauss
Campo eléctrico producido por un hilo rectilíneo cargado
Para una línea indefinida cargada, la aplicación
de la ley de Gauss requiere los siguientes
pasos:
1. A partir de la simetría de la distribución de
carga, determinar la dirección del campo
eléctrico.
La dirección del campo es radial y perpendicular
a la línea cargada
2. Elegir una superficie cerrada apropiada para
calcular el flujo
Tomamos como superficie cerrada, un cilindro
de radio r y longitud L.
Flujo a través de las bases del cilindro: el
campo E y el vector superficie S1 o S2 forman 90º, luego el flujo es cero.
o
o
Flujo a través de la superficie lateral del cilindro: el campo E es paralelo
al vector superficie dS. El campo eléctrico E es constante en todos los
puntos de la superficie lateral
∫SE⋅dS=∫SEdScos0º=E∫SdS=E2π rL
El flujo total es, E·2π rL
3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
La carga que hay en el interior de la superficie cilíndrica de longitud L y radio r es q=λ
L, donde λ es la carga por unidad de longitud.
4. Aplicar la ley de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico
E2π rL=λ L/ε0
E=λ/2π ε0 r
Campo eléctrico de una distribución esférica y uniforme de carga
Para una distribución esférica y uniforme de carga, la aplicación de la ley de Gauss
requiere los siguientes pasos:
1. A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del
campo eléctrico.
La distribución de carga tiene simetría esférica, la dirección del campo es radial
2. Elegir una superficie cerrada apropiada para
calcular el flujo
Tomamos como superficie
concéntrica de radio r.
cerrada,
una
esfera
El campo eléctrico E es paralelo al vector superficie dS.
Por simetría el campo es constante en todos los puntos
de la superficie esférica de radio r, por lo que,
∫S E⋅dS= ∫SEdScos0º= E ∫S dS=E4π r2
El flujo total es E·4πr2
3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
Para r<R. (figura de la
izquierda)
Si estamos calculando
el campo en el interior
de
la
esfera
uniformemente
cargada, la carga que
hay en el interior de la
superficie esférica de
radio r es una parte de la carga total (en color rosado), que se calcula multiplicando
la densidad de carga por el volumen de la esfera de radio r.
q=Q r3/R3
o
Para r>R (figura de la derecha)
Si estamos calculando el campo en el exterior de la esfera uniformemente cargada,
la carga que hay en el interior de la superficie esférica de radio r es la carga total q=Q.
4. Aplicar la ley de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico
E4π r2=q/ε0
Se obtiene
E=Qr/4π ε0 R3 (r<R)
E=Q/4π ε0 r2 (r>R)
El campo en el exterior de una esfera cargada con carga Q, tiene la misma expresión
que el campo producido por una carga puntual Q situada en su centro.
Potencial a una distancia r del centro de la esfera cargada
Se denomina potencial en un punto P a una distancia r del centro de la esfera
cargada V(r) a la diferencia de potencial existente entre el punto P y el infinito V(r)V(∞). Por convenio, se establece que en el infinito la energía potencial es cero.
Representamos el módulo del campo eléctrico E, en función de la distancia r al centro
de la esfera cargada, en los intervalos 0< r<R y r>R

r>R. Para
hallar
el
potencial en un
punto P que
está fuera de la
esfera cargada
basta hallar el
área
sombreada
(figura de la derecha)
V=∫∞rQ/4π ε0r2⋅dr = Q/4π ε0r

r<R. Para calcular el potencial en un punto P, en el interior de la esfera cargada,
es necesario sumar dos áreas, por ser la función que describe la dependencia
del campo E con r, discontinua en el punto r=R. (figura)
V(r)=∫rRQr/4π ε0R3⋅dr+∫R∞Q/4π ε0r2⋅dr=Q/4π ε0r=Q/4π ε0R (3/2−1/2⋅r2R2)
Energía de una distribución de cargas
Vamos a calcular ahora la energía necesaria para formar la distribución uniforme de
carga positiva. O bien, la energía que se liberaría cuando la distribución uniforme de
carga positiva explotase de modo que cada parte de ella estuviese a una distancia
infinita una de la otra.
Determinaremos la expresión de la energía de un sistema de tres cargas y la
generalizamos para una distribución continua de carga.
Consideremos un sistema de tres cargas puntuales fijas q1, q2 y q3, tal como se indica
en la figura.
La energía de este sistema U vale
U=Ep12+Ep13+Ep23=1/4π ε0⋅q1q2/r12+1/4π ε0⋅q1q3/r13+1/4π ε0⋅q2q3/r23
Llamando V1 al potencial producido por las cargas q2 y q3 en la posición que
ocupa q1. La energía de la carga q1 en el campo producido por las otras dos es
q1V1=q1(1/4π ε0⋅q3/r13+1/4π ε0⋅q2r12)=1/4π ε0⋅q1q3/r13+1/4π ε0⋅q1q2/r12
Análogamente, llamando V2 al potencial producido por las cargas q1 y q3 en la
posición que ocupa q2. La energía de la carga q2 en el campo producido por las otras
dos es
q2V2=q2 (1/4π ε0⋅q1/r12+1/4π ε0⋅q3/r23)=1/4π ε0⋅q1q2/r12+1/4π ε0⋅q2q3/r23
Del mismo modo, llamando V3 al potencial producido por las cargas q1 y q2 en la
posición que ocupa q3. La energía de la carga q3 en el campo producido por las otras
dos es
q3V3=q3(1/4π ε0/q1/r13+1/4π ε0⋅q2/r23)=1/4π ε0⋅q1q3/r13+1/4π ε0⋅q2q3/r23⋅
Sumando estas tres contribuciones obtenemos el doble de la energía del sistema de
partículas
U=12(q1V1+q2V2+q3V3)=1/2∑qiVi
Energía de la esfera cargada
Volviendo de nuevo a la esfera uniformemente cargada, el potencial Vi se sustituye
por el potencial en la posición r, V(r) que hemos calculado previamente.
La carga qi se sustituye por la carga que hay en la capa esférica comprendida
entre r y r+dr. El volumen de dicha capa esférica es 4πr2dr, y la carga que hay en este
volumen vale (densidad de carga por volumen)
3Qr2/R3⋅dr
La energía vale entonces
U=12∫0RV(r) dq=1/2∫0RQ/4π ε0R (3/2−1/2⋅r2/R2)3Qr2/R3⋅dr=3/5⋅Q2/4π ε0R
FLUJO ELÉCTRICO
El flujo eléctrico total fuera de una superficie cerrada es igual a la carga encerrada,
dividida por la permitividad.
El flujo
eléctrico a
través de
un área, se
define
como el campo eléctrico multiplicado por el área de la superficie proyectada sobre un
plano perpendicular al campo. La ley de Gauss es una ley general, que se aplica a
cualquier superficie cerrada. Es una herramienta importante puesto que nos permita
la evaluación de la cantidad de carga encerrada, por medio de una cartografía del
campo sobre una superficie exterior a la distribución de las cargas. Para geometrías
con suficiente simetría, se simplifica el cálculo del campo eléctrico.
Otra forma de visualizar esto es considerar una sonda de área A, que puede medir el
campo eléctrico perpendicular a esa área. Si se escoge cualquier trozo de superficie
cerrada y realizamos sobre esa superficie la medida del campo perpendicular, al
multiplicarlo por su área, obtendremos una medida de la carga eléctrica neta dentro
de esa superficie, sin importar como está configurada esa carga interna.
Ley de gauss de forma integral.
La integral de área del campo eléctrico sobre cualquier
superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada
en esa superficie dividida por la permitividad del vacío.
La ley de Gauss es una forma de una de las
ecuaciones de Maxwell, las cuatro ecuaciones
fundamentales de la Electricidad y el Magnetismo
La ley de Gauss permite la evaluación del campo
eléctrico en muchas situaciones prácticas, mediante la
formación de superficies gaussianas simétricas
alrededor de una distribución de cargas y la evaluación
del flujo eléctrico a través de esa superficie.
El concepto de flujo eléctrico es de utilidad en la asociación con la ley de Gauss. El
flujo eléctrico a través de un área plana se define como el campo eléctrico multiplicado
por la componente del área perpendicular al campo. Si el área no es plana, entonces
la evalución del flujo requiere generalmente una integral de área puesto que el ángulo
estará cambiando continuamente
Cuando se usa el área A en una operación vectorial como esta, se entiende que la
magnitud del vector es igual al área y la dirección del vector es perpendicular al área
Aplicaciones de la Ley de Gauss
La ley de Gauss es una herramienta poderosa para el cálculo de los campos eléctricos
cuando son originados por una distribución de cargas con suficiente simetría para
poderse aplicar.
Si la distribución de cargas adolece de la simetría necesaria para aplicarle la ley de
Gauss, entonces el campo debe obtenerse, sumando los campos de carga
puntuales de los elementos de carga individuales. Ejemplos de estos:
Superficies Gaussianas
Parte de la fuerza de la ley de Gauss en la evaluación de los eléctricos está en que
se puede aplicar a cualquier superficie. A menudo es conveniente construir una
superficie imaginaria llamada superficie gaussiana, para aprovechar la simetría de la
situación física.
Si la simetría
es tal que puede obtenerse una superficie donde el campo eléctrico es constante, se
puede realizar la evaluación del flujo eléctrico, multiplicando simplemente el valor del
campo por el área de la superficie gausiana.
Conductor en Equilibrio
En un conductor en equilibrio:
1. La carga eléctrica neta del conductor reside enteramente sobre su superficie. (La
repulsión mutua de cargas iguales por la ley de Coulomb, hace que las cargas estén
tan separadas como sea posible. De ahí que estén sobre la superficie del conductor.)
2. El campo eléctrico en el interior del conductor es cero.(Cualquier campo
eléctrico neto en el conductor originaría que las cargas se movieran puesto que son
abundantes y móviles. Esta condición violaría la condición de equilibrio: fuerza neta =
0.)
3. El campo eléctrico exterior a la superficie del conductor es perpendicular a esa
superficie. (Si hubiera una componente de campo paralela a la superficie, haría que
las cargas móviles se movieran a lo largo de la superficie, violando el supuesto de
conductor en equilibrio.)
Campo Elétrico: Superficie del Conductor
Campo Eléctrico: Superficie del Conductor
El hecho de que el conductor esté en equilibrio, supone una restricción importante en
este problema. Nos indica que el campo es perpendicular a la superficie, puesto que
de otra manera ejercería una fuerza paralela a la superficie y produciría un
movimiento de cargas. Del mismo modo nos indica que el campo en el interior del
conductor es cero puesto que de lo contrario, las cargas estarían moviéndose y no
habría equilibrio.
Una importante aplicación de la ley de Gauss es el examen de la naturaleza del campo
eléctrico cerca de la superficie del conductor. Considere una superficie gaussiana
cilíndrica orientada perpendicular a la superficie. Se puede ver que la contribución al
flujo eléctrico solamente es a través de la parte superior de la superficie gaussiana.
El flujo está dado por
y el campo eléctrico es simplemente
Aunque es cierto solo estrictamente para un conductor infinito, nos indica el valor
límite según nos acercamos a cualquier conductor en equilibrio.
Ley de Gauss para el campo magnético
Forma diferencial
Para calcular la divergencia del campo magnético, se parte de la ley de Biot y
Savart para una distribución de corriente de volumen
y, operando se llega a que puede escribirse como
de donde es inmediato que
esto es, el campo magnético es un campo solenoidal: carece de fuentes escalares.
Por analogía con el caso eléctrico, denominamos a esta ecuación Ley de Gauss para
el campo magnético.
Físicamente, por analogía con el campo eléctrico, podemos decir que esta ley expresa
que el campo magnético carece de fuentes escalares, esto es, que no existen las
cargas magnéticas (conocidas como monopolos).
Realmente, la ecuación sólo la hemos demostrado para el campo creado por
corrientes estacionarias. Sin embargo, la evidencia experimental muestra que es
válida siempre: para corrientes, para imanes, en situaciones estacionarias o
dinámicas. Es la experiencia la que indica que no existen los monopolos.
Demostración
Para demostrar la ley de Gauss para el campo magnético partiendo de la ley de Biot
y Savart, hacemos uso de la identidad
lo que nos permite escribir la ley de Biot y Savart como
y aplicando la identidad vectorial
podemos separar el campo en dos integrales
La segunda integral se anula porque es función de , no de . En la primera se
puede invertir el orden de la integral y el rotacional por actuar una sobre y el otro
sobre , resultando finalmente
Forma integral
La ley de Gauss para el campo magnético equivale a decir que el flujo del campo
magnético a través de cualquier superficie cerrada es nulo,
La demostración es inmediata a partir de la forma diferencial, sin más que aplicar
el teorema de Gauss
Significado geométrico
El que el flujo se anule para cualquier superficie se puede interpretar como que en
cada superficie cerrada entran tantas líneas de campo como entran. Ello prohíbe que
las líneas de campo sean abiertas (comiencen o acaben en puntos), ya que el flujo
magnético alrededor de un extremo sería no nulo.
En términos de imanes, quiere decir que no se pueden separar los Polos Norte de los
Polos Sur.
Condición de salto
La ley de Gauss para el campo magnético lleva aparejada su correspondiente
condición de salto, para el caso de que tengamos una frontera (material o geométrica)
entre dos regiones. Esta condición es
Esta condición equivale a decir que la componente normal del campo magnético es
continua en cualquier interfaz.
¿Son cerradas las líneas de campo magnético?
El que las líneas de campo magnético no tengan extremos, esto es, que no puedan
ser abiertas, parece indicar que deben ser cerradas. Sin embargo, no tiene por qué
ser así. Lo que son es no abiertas. Existen tres posibilidades:

Que sean efectivamente cerradas, como las líneas del campo de una espira
circular o de un hilo infinito.

Que vayan del infinito al infinito. Por ejemplo, la línea de campo que va por el eje
de una espira circular o de un solenoide.
Que se enrollen sobre sí mismas sin llegarse a cerrar. Supongamos la
superposición de dos sistemas simples, una espira circular y un un hilo infinito.

En los dos primeros casos las líneas son cerradas. Sin embargo, en su
superposición, las líneas giran alrededor del hilo a la vez que lo hacen en torno
a la espira, resultando líneas que dan vueltas por la superficie de toros, sin
llegar a cerrarse nunca (en la figura se ve parte de una sola línea de campo).
Para sistemas un poco más complejos, las líneas pueden ser incluso caóticas,
llenando toda una región del espacio.
De hecho, dado que los sistemas reales no poseen la perfecta simetría de una
circunferencia o de un hilo idealmente rectilíneo, lo que ocurre en todos los casos
prácticos es que las líneas no son cerradas, sino que forman madejas.
Ley de Ampere
El campo magnético en el espacio alrededor de una corriente eléctrica, es
proporcional a la corriente eléctrica que constituye su fuente, de la misma forma que
el campo eléctrico en el espacio alrededor de una carga, es proporcional a esa carga
que constituye su fuente. La ley de Ampere establece que para cualquier trayecto de
bucle cerrado, la suma de los elementos de longitud multiplicada por el campo
magnético en la dirección de esos elementos de longitud, es igual a la permeabilidad
multiplicada por la corriente eléctrica encerrada en ese bucle.
En el caso eléctrico, la relación del campo con la fuente está cuantificada en la ley de
Gauss la cual, constituye una poderosa herramienta para el cálculo de los campos
eléctricos.
Aplicaciones de la Ley de Ampere
En física del magnetismo, la ley de Ampere, modelada por André-Marie Ampère en
1831, relaciona un campo magnético estático con la causa, es decir, una corriente
eléctrica estacionaria. James Clerk Maxwell la corrigió posteriormente y ahora es una
de las ecuaciones de Maxwell, formando parte del electromagnetismo de la física
clásica.
La ley de Ampere explica que la circulación de la intensidad del campo magnético en
un contorno cerrado es proporcional de la corriente que recorre en ese contorno.
El campo magnético es un campo angular con forma circular, cuyas líneas encierran
la corriente. La dirección del campo en un punto es tangencial al círculo que encierra
la corriente.
El campo magnético disminuye inversamente con la distancia al conductor.
La ley de Ampere tiene una analogía con el teorema de Gauss aplicado al campo
eléctrico. De la misma forma que el teorema de Gauss es útil para el cálculo del campo
eléctrico creado por determinadas distribuciones de carga, la ley de Ampere también
es útil para el cálculo de campos magnéticos creados por determinadas distribuciones
de corriente.
La ley de Ampere dice:
"La circulación de un campo magnético a lo largo de una línea cerrada es igual
al producto de m0 por la intensidad neta que atraviesa el área limitada por la
trayectoria".
Ley de Ampére aplicada a una corriente rectilínea
Para calcular el valor del campo B en un punto P a una distancia R de un conductor,
escogeremos una línea cerrada que pase por P, dicha línea ha de ser tal que el cálculo
de la circulación sea sencillo. En este caso se ha escogido una circunferencia de radio
R con centro en el conductor, por lo cual todos los puntos del contorno están a la
misma distancia que el punto P del conductor, y el valor de B toma el mismo valor en
dicho
contorno
coincidiendo
su
dirección
con
el
de
dl.
Una vez escogida la línea calculamos la circulación del campo a lo largo de la línea
escogida y aplicamos la ley de Ampere. Obteniendo, la ecuación que nos da el campo
magnético creado por un conductor rectilíneo:
Ley de Ampere aplicada a un solenoide
En un solenoide también se puede calcular el valor de B en un punto interior aplicando
la ley de Ampere. Para ello se siguen los mismos pasos que en el caso anterior.
Si suponemos que el solenoide es muy largo comparado con el radio de sus espiras,
el campo es aproximadamente uniforme y paralelo al eje en el interior del solenoide y
es nulo fuera del solenoide.
A la derecha se representa un corte de un pedazo del solenoide. Los puntos
representan las corrientes que se dirigen hacia nosotros y las aspas las que se dirigen
hacia el interior de la hoja, de modo que cada espira, recorrida por la corriente de
intensidad, I, da una media vuelta saliendo por un punto y volviendo a entrar por el
aspa correspondiente.
Para aplicar la ley de Ampere tomamos un camino cerrado ABCD que es atravesado
por varias espiras. Como el campo magnético, B, es constante en el segmento BC y
nulo en los otros cuatro segmentos, se obtiene:
NBC/LBC es el número de espiras por unidad de longitud considerada y, por tanto,
coincide con N/L (siendo N el número de espiras de todo el solenoide y L su longitud
total). Por tanto, bajo las condiciones establecidas, el campo, B, en cualquier punto
interior
del
solenoide
es:
Ley de Ampere aplicada a un toroide
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio r , cuyo centro está en el
eje del toroide, y situada en su plano meridiano. De esta forma el campo magnético
B es tangente a la circunferencia de radio r y tiene el mismo módulo en todos los
puntos de dicha circunferencia.
Aplicaremos la ley de Ampére y calcularemos la intensidad para los siguientes valores
de r:
• Fuera del núcleo con r < ra
Como se puede observar en este caso la intensidad que atraviesa la circunferencia
de radio r es cero por lo tanto aplicando Ampere:
• En el interior del núcleo ra < r < rb
Cada espira del toroide atraviesa una vez el camino cerrado (la circunferencia de color
rojo de la figura siguiente) la intensidad será N·I, siendo N el número de espiras e I la
intensidad que circula por cada espira, con lo cual:
• Fuera del núcleo con r > rb
Cada espira del toroide atraviesa dos veces el camino cerrado (circunferencia roja de
la figura) transportando intensidades de sentidos opuestos.
La intensidad neta es N·I - N·I = 0, y B = 0 en todos los puntos del camino cerrado.
De los cálculos anteriores se deduce que el campo magnético generado por un toroide
queda confinado en el interior del mismo.