Download efectos geométricos - Páginas Personales UNAM

Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ingeniería
Departamento de Álgebra Lineal
_____________________________________________________________
Práctica:
EFECTOS GEOMÉTRICOS DE LAS
TRANSFORMACIONES LINEALES DE
2 en 2
Fis. Juan Velázquez Torres
Fis. Sergio Roberto Arzamendi Pérez
Liliana Elizabeth Aguilar Navarro
1
Coordinación de Álgebra Lineal
INSTALACIÓN
Para instalar LAODE Toolbox proceda de la siguiente manera:
1. Inicie una sesión en Matlab, para ello debe dar click en el menú Inicio de la barra
de tareas y en la opción programas dar click en la versión de Matlab instalada.
2. Dentro de Matlab debe cambiarse a la ruta o directorio que contiene los archivos
LAODE. Si la carpeta LAODE esta en su unidad de disquete entonces debe escribir:
>>cd f: \laode\ pc
3. Para instalar LAODE-Toolbox, escriba a continuación:
>>instpc
Si la instalación se lleva a cabo correctamente entonces aparecerá el siguiente mensaje:
“Installation successfully completed”
como se muestra en la Figura 1, de lo contrario consulte el archivo README que se
encuentra en la carpeta PC.
2
Coordinación de Álgebra Lineal
MANEJO DE MAP
Una vez instalado LAODE Toolbox, teclee map en el Command Window de Matlab y se
abrirá la ventana MAP Setup como se muestra en la Figura 2, esta ventana muestra la
matriz de transformación que se aplicará a un icono y que será modificada en cada uno de
los ejercicios.
El botón Quit cerrará esta ventana. Si damos un click a la opción Proceed de la ventana
MAP Setup se desplegará la ventana MAP Display (Figura 3), que muestra el plano XY.
La opción Icons del menú del MAP Display despliega todos los iconos a los que puede
aplicarse la transformación.
 El botón Map nos servirá para aplicar la matriz de transformación al icono elegido.
 El botón Clear limpiará el plano XY.
 El botón Go away cerrará esta ventana y nos permitirá definir una nueva matriz de
transformación en la ventana MAP Setup.
3
Coordinación de Álgebra Lineal
Ahora está listo para trabajar, sin embargo, antes de iniciar conviene conocer algunas
matrices y el efecto geométrico que produce cada una de ellas.
Efectos geométricos de Transformaciones Lineales de ℝ𝟐 en ℝ𝟐 .
Transformació
n
Reflexión
sobre el eje x.
Matriz estándar
[
Efecto sobre el cuadrado unitario
1 0
]
0 −1
4
Coordinación de Álgebra Lineal
Reflexión
sobre el eje y.
Reflexión
respecto al
origen.
Contracción o
compresión
horizontal.
Expansión
horizontal.
[
[
−1 0
]
0 1
−1 0
]
0 −1
[
𝑘
0
0
]
1
0<𝑘<1
[
𝑘
0
0
]
1
𝑘>1
Contracción o
compresión
vertical.
[
1 0
]
0 𝑘
0<𝑘<1
5
Coordinación de Álgebra Lineal
Expansión
vertical.
[
1 0
]
0 𝑘
𝑘>1
Trasquilado
horizontal o
deslizamiento
a lo largo del
eje x.
[
Trasquilado
horizontal o
deslizamiento
a lo largo del
eje x.
[
Trasquilado
vertical o
deslizamiento
a lo largo del
eje y.
[
Trasquilado
vertical o
deslizamiento
a lo largo del
eje y.
[
1 𝑘
]
0 1
𝑘<0
1 𝑘
]
0 1
𝑘>0
1
𝑘
0
]
1
𝑘<0
1
𝑘
0
]
1
𝑘>0
6
Coordinación de Álgebra Lineal
Proyección
sobre el eje x.
[
1
0
0
]
0
Proyección
sobre el eje y.
[
0
0
0
]
1
Rotación en
sentido
contrario a las
manecillas del
reloj por un
ángulo 𝜃
[
cos 𝜃
sin 𝜃
− sin 𝜃
]
cos 𝜃
EJEMPLOS
Contracción
En el eje x.
Si elegimos Dog en la opción Icons podremos crear un perro azul dando un click en
cualquier lugar del plano XY, como muestra la siguiente figura.
7
Coordinación de Álgebra Lineal
1
0
Si definimos la matriz de transformación ( 2
) y obtenemos la
0 1
correspondencia para cualquier punto se tiene:
1
1
𝑥
𝑥
0
(2
)( ) = (2 ),
𝑦
𝑦
0 1
regla de
1
𝑇(𝑥, 𝑦) = ( 𝑥, 𝑦 )
2
Al aplicar la transformación a cada uno de los puntos que conforman al perro dando click
a la opción Map se mostrará una contracción en el eje x, en una proporción de la mitad
con respecto al anterior (ver figura).
8
Coordinación de Álgebra Lineal
En el eje x.
1 0
Si ahora definimos la matriz de transformación (
) y obtenemos la regla de
1
0 2
correspondencia para cualquier punto del plano se tiene:
𝑥
1 0
𝑥
(
1) ( ) = ( 1 ) ,
𝑦
0
𝑦
2
2
1
𝑇 (𝑥, 𝑦)
2
Al aplicar la transformación a cada uno de los puntos que conforman al perro dando click
a la opción Map se mostrará una contracción en el eje y, en una proporción de la mitad
con respecto al anterior (ver figura).
9
Coordinación de Álgebra Lineal
Expansión
En el eje x.
Si definimos la matriz de transformación (
2 0
) y obtenemos la
0 1
regla de
correspondencia para cualquier punto se tiene:
2
(
0
𝑥
2𝑥
0
)( ) = (
),
𝑦
𝑦
1
𝑇(𝑥, 𝑦) = ( 2𝑥, 𝑦 )
Al aplicar la transformación a cada uno de los puntos que conforman al perro dando click
a la opción Map se mostrará una expansión en el eje x con un factor de 2 (ver figura).
10
Coordinación de Álgebra Lineal
En el eje y.
Si definimos la matriz de transformación (
1 0
) y obtenemos la
0 2
regla de
correspondencia para cualquier punto se tiene:
𝑥
𝑥
1 0
(
)( ) = (
),
𝑦
2𝑦
0 2
𝑇(𝑥, 𝑦) = ( 𝑥, 2𝑦 )
Al aplicar la transformación a cada uno de los puntos que conforman al perro dando click
a la opción Map se mostrará una expansión en el eje y con un factor de 2 (ver figura).
11
Coordinación de Álgebra Lineal
Reflexión
a) Con respecto al eje x
1
Si se define la matriz de transformación (
0
) y se oprime el botón Map para
0 −1
aplicarla al perro azul se observará el efecto geométrico de la transformación tal como se
observa en la siguiente figura.
12
Coordinación de Álgebra Lineal
b) Con respecto al origen
−1
0
Si se define la matriz de transformación (
) y se oprime el botón Map para
0 −1
aplicarla al cuadrado unitario y al perro azul, obtendremos una reflexión con respecto al
origen (ver figuras).
13
Coordinación de Álgebra Lineal
Usted podrá introducir cualquiera de las matrices que se han proporcionado
anteriormente para observar el efecto geométrico de cada una de ellas.
EJERCICIOS
Adición de transformaciones lineales.
1. Determinar el efecto geométrico que produce la adición de una reflexión más una
expansión.
Solución:
0
1
−1
)
0
Matriz de expansión: (
2 0
)
0 1
Matriz de rotación: (
Adición: (
0 −1
2 0
2 −1
)+(
)=(
)
1 0
0 1
1 1
14
Coordinación de Álgebra Lineal
Efecto geométrico:
Es claro que la adición de transformaciones lineales es conmutativa.
Multiplicación por un escalar.
1. Determinar el efecto geométrico que produce la multiplicación del escalar 3 por
una matriz de expansión vertical.
Solución:
Matriz de expansión vertical: (
1
0
)
0 0.75
Multiplicación por un escalar: 3 (
1
0
0
3
0
)=(
)
0.75
0 2.25
Efecto geométrico:
15
Coordinación de Álgebra Lineal
Composición de transformaciones lineales.
1. Determinar el efecto geométrico que produce la composición de una rotación,
seguida de una expansión.
Solución:
0
1
−1
)
0
Matriz de expansión: (
2 0
)
0 1
Matriz de rotación: (
Matriz de composición: (
2
0
0
0 −1
0 −2
)(
)=(
)
1
1 0
1 0
Efecto geométrico:
16
Coordinación de Álgebra Lineal
2. Determinar el efecto geométrico que produce la composición de una expansión
seguida de una rotación.
Solución:
Matriz de expansión: (
2 0
)
0 1
0
1
−1
)
0
Matriz de rotación: (
Matriz de composición: (
0
1
−1
2 0
0 −2
)(
)=(
)
0
0 1
1 0
17
Coordinación de Álgebra Lineal
Efecto geométrico:
3. Suponiendo que 𝑘1 y 𝑘2 son positivos, expresar la matriz diagonal
𝑘
0
𝐴=( 1
) como el producto de dos matrices y describir el efecto geométrico
0 𝑘2
que produce la matriz A.
Solución:
𝐴=(
𝑘1
0
0
1 0
𝑘
)=(
)( 1
0 𝑘2
𝑘2
0
0
)
1
Esto indica que el efecto geométrico de A es expandir o comprimir por un factor de 𝑘1 en
la dirección X o luego expandir o comprimir por un factor 𝑘2 en la dirección de Y.
4. Expresar la matriz 𝐴 = (
1 2
) como un producto entre matrices y describir el
3 4
efecto geométrico.
Solución:
18
Coordinación de Álgebra Lineal
𝐴=(
1 2
1 0
1
)=(
)(
3 4
3 1
0
0
1
)(
−1
0
0
1 2
)(
)
2
0 1
Leyendo de derecha a izquierda se concluye que el efecto geométrico que produce A es:
a)
b)
c)
d)
efectuar un deslizamiento por un factor de 2 en la dirección X , luego
expandir por un factor de 2 en la dirección Y, luego
reflejar respecto al eje X, y finalmente
efectuar un deslizamiento por un factor de 3 en la dirección Y.
Efecto geométrico:
19
Coordinación de Álgebra Lineal
5. Describir el efecto geométrico que produce la matriz 𝐴 = (
0.3 −0.8
)
0.8 0.3
Solución:
𝐴=(
0.85 cos(69.4°) −0.85 sin(69.4°)
0.3 −0.8
)≅(
)
0.85 sin(69.4°) 0.85 cos(69.4°)
0.8 0.3
=(
cos(69.4°) −sin(69.4°)
0.85
0
)(
)
sin(69.4°) cos(69.4°)
0
0.85
=(
cos(69.4°) −sin(69.4°)
1
0
0.85 0
)(
)(
)
sin(69.4°) cos(69.4°)
0 0.85
0
1
Compresión
vertical por
un factor
de 0.85
Compresión
horizontal
por un factor
de 0.85
Rotación de un
ángulo de 69.4°
20
Coordinación de Álgebra Lineal
Problemas Teóricos
1) Obtener un vector diferente de cero que se mapea en el vector 0̅ = (0,0) al aplicarle la
matriz 𝐴 = (
0 1
).
0 −2
2) Determinar una matriz de 2x2 que gira 45° el plano en el sentido de las manecillas del
reloj.
3) Obtener la matriz de 2x2 que refleje los vectores del plano XY en la recta 𝑦 = 𝑥.
4) Determinar una matriz de rotación que transforme los vectores 𝑣̅1 = (3, 4) y 𝑣̅2 = (1, −2)
en los vectores 𝑤
̅1 = (−4, 3) y 𝑤
̅ 2 = (2, 1), respectivamente.
5) Demostrar que toda matriz de la forma (
𝑎
𝑏
−𝑏
) corresponda a hacer girar el plano un
𝑎
ángulo 𝜃 seguida por una dilatación 𝑐 𝐼2 , donde
𝑐 = √𝑎2 𝑏 2 , cos 𝜃 =
𝑎
𝑐
𝑏
, sin 𝜃 = 𝑐 .
Problemas en computadora
1) Seleccionar un vector en la ventana MAP Display y aplicar Map para describir el efecto
geométrico que producen las matrices:
𝑎) (
2
0
)
1.5 0.5
𝑏) (
2) Utilizar Map para comprobar que la matriz (
2
0
−1.25
)
−0.5
−2.4 −0.2
) hace girar el plano un ángulo
0.2 −2.4
𝜃 seguido por una dilatación 𝑐 𝐼2. Determinar 𝜃 y 𝑐.
3) Usar el menú de Icons en Map, seleccionar el icono de un perro y aplicar Map para
describir el efecto geométrico que producen las siguientes matrices:
𝑎) (
√3
2
−
1
2
1
2
√3
2
) 𝑏) (
1
1
2
2
1
1
2
2
)
21
Coordinación de Álgebra Lineal
Respuesta a los problemas impares
Problemas teóricos
𝑥
1) ( ) ; 𝑥 ∈ ℝ
0
1
3) (
1
√2
−
√2
1
1
√2
√2
)
Problemas en computadora
1) a) Mapea 𝑥̅ = (1, 1) al doble de su longitud y 𝑦̅ = (0, 1) a la mitad de la longitud.
1
b) Mapea 𝑥̅ = (1, 0) al doble de su longitud y 𝑦̅ = (1, 2) a − 2 por su longitud.
3) a) Gira el plano 30° en el sentido de giro de las manecillas de un reloj.
b) Mapea el vector 𝑣̅ = (𝑥, 𝑦) a un punto de la recta 𝑦 = 𝑥.
22
Coordinación de Álgebra Lineal
Bibliografía
1) GOLUBITSKY, Martín y DELINITZ, Michael
Álgebra Lineal y Ecuaciones Diferenciales con uso de MATLAB.
1a. Edición
México
Thomson editores, 2001
2) NAKOS, George y JOYNER, David
Álgebra Lineal con Aplicaciones
México
Thomson editores, 1999
3) LAY, David C.
Álgebra Lineal y sus Aplicaciones
2a. Edición
México
Prentice May, 2001
4) ANTON, H.
Introducción al Álgebra Lineal
3a. Edición
México
Limusa, 2003
5) POOLE, David
Álgebra Lineal
México
Thomson editores, 2004
23
Coordinación de Álgebra Lineal
24