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ANEXO 1
DEL INFORME DEL LABORATORIO MASA RESORTE VERTICAS
GRUPO 5
1 Instrumentos utilizados en la práctica:

Tres resortes.

Una regla de un metro de larga.

Un cronometro.

Un soporte universal.

Una masa de 50 gramos y una de 20 gramos.
2 Calculo de los periodos [T(s)]:
Para calcular el periodo hay que tener en cuenta que se tomó el tiempo de ocho
oscilaciones, y como el periodo es el tiempo que tarda el sistema en volver a su estado
inicial o en dar una oscilación, se divide el tiempo medido por las ocho oscilaciones:
𝑇 (𝑠) =
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑠
𝑛° 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙.
(1)
3 Calculo de la velocidad angular (ω)
La velocidad angular se calcula normalmente dividiendo el ángulo barrido por el tiempo
que tarda el radio en barrerlo, pero si conocemos el periodo, como en el caso nuestro, se
divide el Angulo de una oscilación (2π) por el periodo:
𝜔=
2𝜋
𝑇
(2)
4 Análisis gráfico y vectorial del movimiento que describe el sistema masa resorte
vertical a través del tiempo (para hallar las ecuaciones a utilizar en el informe):
A partir la gráfica 1 podemos
hallar la ecuación que relaciona la
posición en función del tiempo:
Como es una gráfica de la función
coseno, pero reflejada en el eje de
las abscisas, por lo que una
primera aproximación algebraica
es:
𝑦 = −cos(𝛽)
(3)
Donde y es la posición y β es el
ángulo barrido en el tiempo t.
Para obtener la altura que nos
muestra la figura multiplicamos
–cose (β) por A:
𝑦 = −𝐴𝑐𝑜𝑠( 𝛽) (4)
Utilizando la ecuación 2:
𝜔=
2𝜋 𝛽
=
𝑇
𝑡
Podemos dividir y multiplicar a β por t quedando la ecuación de la siguiente manera:
𝑦 = −𝐴𝑐𝑜𝑠( 𝜔 ∗ 𝑡)
(5)
Al lado izquierdo de la gráfica se ve los vectores de las fuerzas que actúan sobre el sistema
(m.r.v.), en el cual tomando como cero el punto de equilibrio y el vector de la fuerza
elástica (fe) positivo, tenemos que la amplitud inicial es negativa, al igual que el peso de la
masa; por lo que al sumar las fuerza nos queda:
𝑓𝑒 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎𝑠 = 𝑓𝑟
(6)
Como hay un movimiento en el sistema, al sumar las fuerzas nos queda una fuerza
resultante en la que as es la aceleración del sistema. Como queremos hallar la fuerza que
hace el resorte en la amplitud A empezamos despejando de la ecuación 6 la incógnita fe:
𝑓𝑒 = 𝑚𝑎𝑠 + 𝑚𝑔
𝑓𝑒 = (𝑎𝑠 + 𝑔)𝑚
(7)
Como no tenemos la aceleración, pero sabemos que esta es igual a la segunda derivada de
la función de posición respecto al tiempo, entonces procedemos a hallarla a partir de la
ecuación 3:
𝑑𝑦
= 𝐴𝜔2 𝑐𝑜𝑠( 𝜔 ∗ 𝑡)
𝑑𝑡
𝑎𝑠 = 𝐴𝜔2 𝑐𝑜𝑠( 𝜔 ∗ 𝑡)
(8)
Como que queremos la fuerza que hace el resorte en su máxima amplitud, podemos utilizar
el momento inicial, o el tiempo cero, para hallar la aceleración, reemplazando a t por cero
(0) en la ecuación 8:
𝑎𝑠 = 𝐴𝜔2 𝑐𝑜𝑠( 𝜔 ∗ 0)
𝑎𝑠 = 𝐴𝜔2 𝑐𝑜𝑠( 0)
𝑎𝑠 = 𝐴𝜔2
(9)
Hallada la aceleración del sistema (as) procedemos a hallar la fuerza que hace el resorte (fe)
con la ecuación 7
5 Cálculo de la ecuación que relaciona la fe con la deformación o elongación que sufre
el resorte:
Al observar las gráficas de fuerza en función de la elongación, se deduce que existe una
relación directamente proporcional entre la fuerza elástica del resorte y la elongación que
este sufre; por lo que al hallar la función debemos utilizar un modelo lineal:
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 (10)
En este modelo reemplazamos a y por fe y a x por –A, ya que como vimos en el titulo 4 del
presente documento, la fuerza inicial es positiva y la elongación es negativa:
𝑓𝑒 = 𝑚𝐴 + 𝑐
(11)
De donde es necesario calcular la pendiente m y la constante o intercepto c. Para la
pendiente se usa:
𝑚=
𝑓𝑒2 − 𝑓𝑒1
𝐴2 − 𝐴1
(12)
Como en las gráficas tenemos varios puntos, se hallan varias pendientes y se promedian,
para obtener la pendiente de cada sistema.
Resorte individual:
𝑓𝑒 = −0,441𝐴 + 𝑐
𝑘 = 0,441 ∗
Resorte paralelo 1:
𝑓𝑒 = −0,419𝐴 + 𝑐
𝑘 = 0,419
Resorte paralelo 2:
𝑓𝑒 = −0,444𝐴 + 𝑐
𝑘 = 0,444
Resorte en serie:
𝑓𝑒 = −0,256𝐴 + 𝑐
𝑘 = 0,256
*Nota: En física la pendiente m se conoce como constante de elasticidad del resorte.
La constante c o intercepto se calcula despejándola de la ecuación 11:
𝑓𝑒 = 𝑚𝐴 + 𝑐
𝑐 = 𝑓𝑒 − 𝑚𝐴 (13)
A partir de la ecuación 13 se calcula varias constantes para cada sistema y se promedian.
Resorte individual:
𝑓𝑒 = −0,441𝐴 + 0,686
Resorte en serie 1:
𝑓𝑒 = −0,419𝐴 + 0,686
Resorte en serie 2:
𝑓𝑒 = −0,444𝐴 + 0,686
Resorte en serie:
𝑓𝑒 = −0,256𝐴 + 0,686
6
Análisis dimensional la constante de elasticidad:
𝑓𝑒 = 𝑘 ∗ 𝐴
La fe (fuerza elástica) está dada por [kg*m*s-2] y la A (amplitud) está dada por [m] y
reemplazando:
[𝑘𝑔 ∗ 𝑚 ∗ 𝑠 −2 ] = 𝑘 ∗ [𝑚]
Y despejando k queda:
[𝑘𝑔 ∗ 𝑚 ∗ 𝑠 −2 ]/[𝑚] = 𝑘
𝑘 = [𝑘𝑔 ∗ 𝑠 −2 ]
7 Análisis de la constante de elasticidad de dos resortes en serie:
Todo el resorte experimenta la misma fuerza recuperadora, sin importar el punto que se
tome de este, por lo que podeos decir que:
𝑓𝑒 = 𝑘1 ∗ 𝐴1
(14)
𝑓𝑒 = 𝑘2 ∗ 𝐴2
(15)
𝑓𝑒 = 𝑘𝑡 ∗ 𝐴𝑡
(16)
Donde kt es la constate del sistema de resortes en serie; dicho de otra forma, si tomamos a
los dos resortes en serie como uno solo, esta sería la constante de ese resorte.
𝐴𝑡 = 𝐴1 + 𝐴2
(18)
Despejando las amplitudes de las ecuaciones 14, 15 y 16:
𝐴1 =
𝑓𝑒
𝑘1
(19)
𝐴2 =
𝑓𝑒
𝑘2
(20)
𝐴𝑡 =
𝑓𝑒
𝑘𝑡
(21)
Reemplazando las ecuaciones 19, 20 y 21 en la ecuación 18, simplificamos y despejamos a
kt:
𝑓𝑒 𝑓𝑒 𝑓𝑒
=
+
𝑘𝑡 𝑘1 𝑘2
1
1
1
= +
𝑘𝑡 𝑘1 𝑘2
1 𝑘2 + 𝑘1
=
𝑘𝑡 𝑘1 ∗ 𝑘2
𝑘𝑡 =
𝑘1 ∗ 𝑘2
𝑘2 + 𝑘1
(22)
Con:
k1 = 0,419, k2 = 0,444 calculamos la constante del sistema masa resorte en serie, utilizando la
ecuación 22:
𝑘𝑡 =
(0,419) ∗ (0,444)
= 0,216
(0,419) + (0,444)
Y por ultimo hallamosel error porcentual y la incertidumbre de la constante de elasticidad del
sistema masa resorte vertical- resortes en serie, con una constante experimental de 0,256: