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Capacitores.
Uno de los dispositivos más importantes en la electrónica son los capacitores.
Componentes utilizados en la mayoría de los circuitos electrónicos con la tecnología de
hoy. En un sistema mecánico, un resorte como un amortiguador de un auto, cuando se
comprime este absorbe energía cinética para luego convertirse en potencial. De esta
manera los cambios bruscos en el andar del auto son absorbidos por este resorte y la
energía absorbida es liberada más suavemente. En un circuito eléctrico, las oleadas de
corrientes indeseadas son absorbidas por el capacitor, un ejemplo de lo que estos
componentes ofrecen a la hora de necesitarlos en un circuito. Se los usan para filtros
pasa altos, circuitos sintonizados, fuentes de alimentación, etc. Y tienen un gran
protagonismo en la electrónica para el audio.
Descripción:
Un capacitor son dos placas conductoras enfrentadas con vacio entre ellas, aunque
puede haber un dieléctrico (material no conductor que varia las propiedades del
capacitor para lograr que con una misma composición geométrica tenga una capacidad
de almacenamiento mas grande, dependiendo del dieléctrico en cuestión). Cada
conductor o placa, tiene inicialmente una carga neta de cero y se transfieren
electrones de un conductor a otro. A esto se llama cargar al capacitor. Cuando una
carga se deposita en una placa, genera esta un campo eléctrico y gracias a este
campo, atraerá hacia la placa enfrentada una carga del mismo valor en magnitud pero
de signo contrario. Nótese que para almacenar cargas se necesito de un trabajo y es
este trabajo que se almacena en el capacitor en forma de energía. Las cargas
almacenadas generan un campo eléctrico y este una diferencia de potencial entre las
placas del capacitor, si se aumenta la cantidad de cargas, aumenta el campo eléctrico y
por consiguiente la diferencia de potencial, pero la relación entre ambas; es decir,
entre la carga y la diferencia de potencial, permanece constante. A esta constante se la
llama capacidad ¨C¨
En el sistema internacional C se mide en Faraday
C = [C]/[v] = [F]
La capacidad es una constante y depende exclusivamente de la composición
geométrica de este:
0
Donde ε0 es la permitividad del vacío y su valor es 8,85 x 10-12
,
s el área de las placas y d la distancia entre ellas.
Capacitores en serie
La figura nos muestra dos capacitores
conectados en serie. La cantidad de
carga en cada uno de ellos es la misma
pero no así la diferencia de potencial.
Sabemos que la diferencia de potencial
que hay en cada capacitor, sumadas
debe ser igual a la fuente del circuito.
Por lo tanto:
V1 + V2 = V
Q/C1 + Q/C2 = Q/Ct
Puedo simplificar las cargas en ambos lados de la ecuación y la capacidad resultante en
un circuito serie queda de la siguiente manera:
1/CT = 1/C1 + 1/C2 +………+1/Cn
Ejemplo.
Se conectan en serie, dos capacitores de 3 µF y 6 µF respectivamente, con una fuente
de 50 V, calcular la capacitad total, la diferencia de potencial y la carga almacenada en
cada uno de ellos.
Primero calculamos la capacidad total, de acuerdo a la formula anterior, tenemos:
1/CT = 1/C1 + 1/C2
1/CT = 1/3 µF + 1/6 µF
1/CT = 3/6
1/CT = 1/2
Podemos invertir ambos lados de la ecuación para obtener la capacidad total:
Ct = 2 µF
Como sabemos que la carga es la misma en cada uno de ellos y es igual a la carga total,
podemos ahora calcularla:
Q=CV
Q = 2 µF 50 V
Q = 100 µC
Esta es la carga en cada capacitor que también es igual a la total. De esta manera
podemos calcular la diferencia de potencial en cada capacitor:
V1 = Q/C1
V1 = 100 µC / 3 µF = 33,3333 V
V2 = Q/C2
V2 = 100 µC / 6 µF = 16,6667 V
Si sumamos ambas caídas de potenciales, vemos que como resultado se obtienen los
50 V de la fuente, lo cual es correcto.
Capacitores en paralelo.
La figura nos muestra dos capacitores conectados
en paralelo. La cantidad de carga, en este caso, en
cada uno de ellos no es la misma pero si la
diferencia de potencial que es igual a la de la
fuente. La carga que hay en cada una de ellos
debe ser su suma igual a la carga total del circuito
entregada por la fuente. Por lo tanto:
Q1 + Q2 = Qt
C1 V + C2 V = Ct V
Como las tensiones son iguales, las podemos simplificar y de esta manera nos queda la
capacidad equivalente asi:
Ct = C1 + C2 +……+Cn
Ejemplo.
Se conectan en paralelo, dos capacitores de 3 µF y 6 µF respectivamente, con una
fuente de 50 V, calcular la capacitad total, la diferencia de potencial y la carga
almacenada en cada uno de ellos.
Primero calculamos la capacidad total, de acuerdo a la formula anterior, tenemos:
Ct = C1 + C2
Ct = 3 µF + 6 µF = 9 µF
Como sabemos que la diferencia de potencial es la misma en ambos capacitores
podemos, entonces, calcular la carga en cada uno de ellos y su suma debe ser igual a la
carga total del circuito:
Q1 = C1 V
Q1 = 3 µF 50 V
Q1 = 150 µC
Q2 = C2 V
Q2 = 6 µF 50 V
Q2 = 300 µC
La suma de las dos cantidades de carga nos da: 450 µC, si calculamos la carga total, nos
debería dar el mismo resultado:
Qt = Ct V
Qt = 9 µF 50V
Qt = 450 µC
La suma es la misma, lo cual es correcto.
Almacenamiento de energía en capacitores.
Muchas de las aplicaciones de los capacitores dependen de su alcance para almacenar
energía. La energía potencial eléctrica almacenada, es simplemente igual al trabajo
que se realizo para cargarlo. Cuando se descarga el capacitor, esta energía almacenada
se recupera en forma de trabajo realizado por fuerzas eléctricas.
En el sistema internacional la energía se mide en Joules, [J].
Ejemplo:
Se tiene un capacitor de 40 µF conectado a una fuente de 10 V. calcular la energía
almacenada.
Podemos usar cualquiera de las tres formulas anteriores, de hecho vamos a hacerlo
1- Calculamos la energía con los datos que tenemos:
E = ½ 40 10-6 (10 V)2 = 0,004 J = 4 mJ
2- Ahora calcularemos la energía pero con la carga, y para eso debemos hallarla:
Q = C V= 40 µF 10 V = 400 µC
Ahora calculamos la energía:
E = ½ 400 µC 10 V = 0,004 J = 4 mJ.
Ambos resultados son idénticos, como era de esperar.
Carga y descarga de capacitores. Circuito RC
En los circuitos que hemos analizado, hemos supuesto que las resistencias y las fuentes
son constantes y no varían en función del tiempo por lo que las caídas de tensión,
potencias y corrientes, también son constantes. Pero en el simple hecho de cargar o
descargar un capacitor, nos topamos con la situación de que las corrientes, caídas de
potencial y potencias, cambian con el tiempo.
Muchos dispositivos utilizan la carga y descarga de un capacitor, los marca pasos,
semáforos, flash de fotos, etc. Son ejemplos de aplicación del uso de capacitores en
carga y descarga.
Carga de un capacitor:
La figura nos muestra un circuito simple para cargar un capacitor. Inicialmente el
capacitor esta descargado y en el tiempo inicial, t = 0 se cierra el interruptor para
completar el circuito y permitir que la corriente comience a cargar el capacitor.
Inicialmente el capacitor esta descargado, la
diferencia de potencial en sus extremos es cero
en el tiempo t = 0. En ese momento la diferencia
de potencial en la resistencia debe ser igual a la
fuente para que se cumpla que las caídas de
tensión en cada componente en serie sumadas
sea igual a la fuente; es decir que:
Vab + Vbc = V
Es decir que en t = 0 toda la tensión de la fuente cae en la
resistencia, por lo cual la corriente en ese instante está
dada por la ecuación: I = Vab/R = V/R
A medida que el capacitor se carga, la diferencia de
potencial, Vbc, entre sus placas aumenta y la diferencia de potencial Vab entre los
extremos del resistor disminuye lo que corresponde a una reducción en la corriente. La
suma de estos voltajes es constante e igual a la fuente. Al cabo de un largo tiempo el
capacitor se cargo por completo, la corriente disminuye a cero y la diferencia de
potencial Vab entre los extremos del resistor también se hace cero. En ese momento
aparece la totalidad de la fuente en los bornes del capacitor Vbc y la corriente ahora es
cero.
Vab = iR y Vbc = q/C
del tiempo, tenemos:
entonces: V = iR + q/C despejando la corriente en función
I = V/R – q/RC
en el tiempo t =0, el capacitor esta descargado y la carga q en él
vale cero. Sustituyendo este valor en la ecuación queda:
I0 = V/R
conforme la carga aumenta, el termino q/RC crece y la carga del capacitor
llega a un valor máximo Qf . La corriente disminuye y termina por desaparecer, en ese
momento, i=0 la ecuación da:
V/R = Qf/RC simplificando las R vemos que la carga final está dada por la ecuación:
Qf = VC
qt = Qf (1 – e-t/RC)
circuito RC, capacitor en carga
La corriente en función del tiempo es la derivada de la ecuación anterior por lo que
nos queda:
it = I0 e-t/RC
La corriente i y la carga q del capacitor en función del tiempo en el circuito, como
muestra la figura. La corriente inicial es Io y la carga inicial del capacitor es cero. La
corriente tiende asintóticamente a cero y la carga a su valor final Qf.
Constante de tiempo.
Al cabo de un tiempo igual a RC la corriente en el circuito ha disminuido a 1/e,
aproximadamente a 0,368 de su valor inicial, es decir el 36% de su valor máximo. En
este momento la carga del capacitor ha alcanzado una fracción (1- 1/e) = 0,632, es
decir que ha alcanzado el 63 % de su valor final máximo. En consecuencia, podemos
decir que el producto RC es una medida de la rapidez de carga del capacitor.
Llamaremos a RC la constante de tiempo o tiempo de relajación del circuito y la
representaremos como: ζ
ζ = RC
Cuando ζ es pequeña, el capacitor se carga rápidamente; cuando es más grande el
proceso de carga toma más tiempo si R esta en Ω y C en F, ζ está en segundos.
Descarga de un capacitor.
Supongamos ahora, que cuando el capacitor de la
figura ha adquirido su carga máxima, quitamos la
batería del circuito y conectamos los puntos a y c a
un interruptor abierto. En el instante t = 0 cerramos
el interruptor y el capacitor comienza a descargarse
a través de la resistencia R. en ese momento q = Qf
y la carga disminuye finalmente a cero. La corriente
y la carga del capacitor están en función del tiempo.
qt = Qf e-t/RC
circuito RC, capacitor en descarga.
La corriente en función del tiempo es la derivada de
la ecuación anterior por lo que nos queda:
it = I0 e-t/RC
La corriente i y la carga q del capacitor en función del
tiempo en el circuito. La corriente inicial es I0 y la carga
inicial del capacitor es Qf ; tanto q como i tienden
asintóticamente a cero.
Ejemplo:
Se tiene un capacitor de 4 µF conectado en serie con una
resistencia de 1000 Ω y una fuente de 30 V. calcular el
valor de la carga y la corriente a los 4 ms y a los 10 ms de cerrar
el interruptor. Una vez cargado, se retira la fuente del circuito
y en su lugar se conecta un interruptor abierto. Se cierra el
interruptor y el capacitor comienza a descargarse. ¿Al cabo de
cuánto tiempo la corriente y la carga tienen un valor igual al 50
% de su valor inicial?
Bien, empecemos a resolverlo. Primero calculemos los valores finales de la carga, la
corriente I0 y la constante de tiempo.
I0 = V/R; I0 = 30 V/1000 Ω
I0 = 0,03 A = 30 mA
Qf = CV ; Qf = 4 µF 30 V
Qf = 120 µC
ζ = RC; ζ = 1000 Ω 4 µF
ζ = 0,004 s = 4 ms
Ahora procederemos a calcular la carga para los tiempos requeridos:
qt = Qf (1 – e-t/RC)
introducimos los datos y calculamos, el valor de t = 4
ms, coincide con la constante de tiempo; entonces, la carga en función del tiempo
deberá darnos el 63% de la carga final:
qt = Qf (1 – e-4 ms/4 ms)
qt = Qf (1 – e-1)
qt = Qf (1 – 1/e)
qt = Qf 0,632
qt = 120 µC 0,632 = 75,85 µC
Este valor obtenido, es el 63% de la carga final. Como lo habíamos anticipado.
Calculemos, ahora, la corriente para este valor de tiempo y como en el caso anterior, la
corriente deberá darnos el 36% de su valor máximo:
it = I0 e-t/RC ; it = I0 e-4 ms/4 ms
it = I0 e-1
it = I0 1/e
it = 30 mA 0,368 = 11,03 mA
Este valor es el 36% de la corriente máxima, como era de esperar. Calculemos ambas
incógnitas nuevamente pero para 10 ms:
qt = Qf (1 – e-10 ms/4 ms)
qt = Qf (1 – e-2,5)
qt = Qf (1 – 0,08)
qt = Qf 0,92
qt = 120 µC 0,92 = 110,15 µC
Para este tiempo, el valor de la carga ( 92% de Qf) se está acercando a su valor final, 10
ms son 2,5 veces la constante de tiempo y recordemos que el capacitor se carga al 99%
aproximadamente en un tiempo de 5ζ. Ahora veremos que sucede con la corriente
para este tiempo:
it = I0 e-t/RC ; it = I0 e-10 ms/4 ms
it = I0 e-2,5
it = I0 0,08
it = 30 mA 0,08 = 2,46 mA
El valor que obtuvimos para la corriente, es el 8% de su valor máximo. Esta cerca de 0,
como era de esperar.
Calculemos ahora, el tiempo que tarda la carga y la corriente en llegar a la mitad de sus
valores máximos cuando el capacitor se descarga. Empezaremos por la carga:
qt = Qf e-t/RC
exponente:
en este caso, nuestra incógnita es el tiempo, deberemos despejar t del
Primero pasamos Qf dividiendo: qt/ Qf = e-t/RC ahora aplicamos logaritmo natural en
ambos miembros:
Ln (qt/ Qf) = Ln (e-t/RC ) aplicando propiedades de los logaritmos, nos queda:
Ln (qt/ Qf) = (-t/RC) Ln e el logaritmo natural de e es uno (el logaritmo de la base
siempre es 1) entonces quedaría:
Ln (qt/ Qf) = (-t/RC) lo que resta hacer es simplemente introducir los datos y calcular,
para el valor de q en función del tiempo pondremos 60 µC que es el 50% de la carga
máxima:
Ln (60 µC /120 µC) = (-t/4 ms)
-0,69 = -t/4ms
t = 4 ms 0,69 = 2,77 ms
Ahora el tiempo para la corriente, la ecuación es similar, por lo tanto el tiempo debería
ser el mismo. Veámoslo:
it = I0 e-t/RC en este caso, nuestra incógnita es el tiempo, deberemos despejar t del
exponente:
Primero pasamos I0 dividiendo: it/ I0 = e-t/RC ahora aplicamos logaritmo natural en
ambos miembros:
Ln (it/ I0) = Ln (e-t/RC ) aplicando propiedades de los logaritmos, nos queda:
Ln (it/ I0) = (-t/RC) Ln e el logaritmo natural de e es uno (el logaritmo de la base
siempre es 1) entonces quedaría:
Ln (it/ I0) = (-t/RC) lo que resta hacer es simplemente introducir los datos y calcular,
para el valor de i en función del tiempo pondremos 15 mA que es el 50% de la
corriente máxima:
Ln (15 mA /300 mA) = (-t/4 ms)
-0,69 = -t/4ms
t = 4 ms 0,69 = 2,77 ms
Como habíamos anticipado, el tiempo es el mismo.