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Geometría Analítica: ¿qué es? y ¿por qué se estudia?
Capítulo 1 del libro Geometría Analítica
del School Mathematics Study Group (SMSG),
1967. Stanford University.
La geometría analítica no se limita al estudio de las rectas y las secciones cónicas
(parábola, elipse e hipérbola) como podría creerse al leer los textos clásicos. La
geometría analítica permite describir los espacios a través del álgebra: curvas y
superficies armoniosas y complejas tienen una expresión sintética en su ecuación.
Es esta representación gráfica la belleza oculta de las expresiones algebraicas.
¿Qué es la geometría analítica?
La geometría analítica se ha estudiado sistemáticamente durante más de dos mil años. Los
Elementos de Euclides, que se escribieron alrededor del año 300 antes de Cristo,
constituyen, quizás, el texto de matemáticas de mayor influencia jamás publicado. Sin duda
alguna, se pueden encontrar muchos vestigios de esta obra en el texto usado en la escuela
secundaria.
Hasta el siglo XVII, la geometría se estudiaba mediante lo que se llamaba método sintético.
Los postulados trataban con nociones geométricas tales como puntos, rectas y ángulos, y se
hacía muy poco o ningún uso de los números. En los Elementos, por ejemplo, los
segmentos rectilíneos no tienen longitudes.
Más tarde, a comienzos del siglo XVII, se realizó el mayor avance en geometría desde la
época de Euclides. No se debió a la obra de un solo hombre, pues esto rara vez sucede. Más
bien, ocurrió cuando el “clima intelectual” fue el adecuado. Sin embargo, hay un nombre
que está tan universalmente asociado con la nueva idea de la geometría que ciertamente
debe conocerse. Es el de René Descartes, un matemático y filósofo francés que vivió entre
1596 y 1650. La novedad esencial en la nueva geometría consistía en el uso de métodos
algebraicos para resolver problemas geométricos. Se combinaban así dos disciplinas que
hasta entonces habían permanecido casi independientes.
Se establece el nexo entre geometría y álgebra mediante los sistemas de coordenadas. En
esencia, un sistema de coordenadas es una correspondencia entre los puntos de algún
‘espacio’ y ciertos conjuntos ordenados de números. (Usamos comillas, porque el espacio
puede ser una curva, o la superficie de una esfera, o algún otro conjunto de puntos que
habitualmente no se considera como espacio.) Ya el lector está familiarizado con varios
sistemas de coordenadas, algunos de ellos estudiados en cursos de matemáticas más
elementales, otros en asignaturas distintas, tales como la geografía. En el álgebra elemental,
se han introducido sistemas de coordenadas en el plano, trazando dos rectas (ejes)
perpendiculares entre sí, eligiendo un sentido positivo en cada una de ellas y una unidad de
longitud común a ambas, y asociando con cada punto el par ordenado de números reales
que representan las distancias orientadas desde los dos ejes al punto. La localización de un
punto sobre la superficie de la Tierra se hace a menudo en términos de la longitud y la
latitud. Los artilleros a veces localizan un blanco, sabiendo a qué distancia está y en qué
dirección con respecto a una dirección arbitrariamente fijada mediante un puesto de
referencia. Esto es lo que se llama un sistema de coordenadas polares en el plano.
Un punto P sobre un cilindro recto circular puede situarse mediante la distancia orientada z
y la medida del ángulo q, como se muestra en la figura 1-2
Si, en lugar de un cilindro recto circular, consideráramos todos los cilindros con el mismo
eje, podríamos localizar cualquier punto des espacio, indicando el radio r del cilindro sobre
el cual está el punto y sus coordenadas z y ? sobre el cilindro. El resultado es lo que se
llama un sistema de coordenadas cilíndricas en el espacio.
Una mosca sobre una rosquilla (un punto sobre una superficie anular o toro) puede ser
localizada mediante las medidas (en grados, radianes, o cualquier otra unidad conveniente)
de los ángulos q y f que se indican en la siguiente figura:
La posición de un satélite artificial en un cierto instante puede determinarse, dado su
distancia vertical desde la superficie (o desde el centro) de la Tierra y la latitud y longitud
del punto de la superficie de la Tierra que está directamente “debajo” del satélite.
Así, se obtiene lo que se llama un sistema de coordenadas esféricas en el espacio. Se podría
establecer un sistema de coordenadas incluso para un “espacio” que es bastante irregular.
Podemos observar que la dirección de una casa, tal como habitualmente se da, es un
conjunto de coordenadas con las que localizamos un lugar particular, la casa, con respecto a
las calles y avenidas de la ciudad en que se vive. Estas calles y avenidas, que no son
necesariamente rectas, son las “líneas coordenadas”, y los números de las casas indican, de
manera razonable, los distintos lugares a lo largo de esas líneas.
Una vez establecido el sistema de coordenadas, pueden representarse conjuntos interesantes
de puntos mediante condiciones adecuadas sobre sus coordenadas. La ecuación
2x-y+4=0
representa la recta que pasa por los puntos (-1,2) y (2,8), cuando usamos coordenadas
rectangulares. La desigualdad
x2 + (y - 2) 2 < 9
representa el conjunto de puntos cuya distancia al punto (0, 2) no es mayor que 3 unidades,
es decir, representa el interior del círculo de radio 3 y centro (0, 2). La ecuación
x2 - y2 = 0
representa las dos rectas que pasan por el origen y forman ángulos de 45° y 135° con el eje
de las abscisas.
Mediante los sistemas de coordenadas, podemos aritmetizar la geometría. Los problemas
sobre figuras geométricas se remplazan por problemas sobre números, funciones,
ecuaciones, desigualdades, etc. Podemos, así, echar mano del extenso cuerpo de
conocimientos del álgebra, la trigonometría y el cálculo infinitesimal, que ha sido
grandemente desarrollado desde el siglo XIII (En este texto, no utilizaremos el cálculo
infinitesimal, pero si alguna vez lo estudia el lector, verá que en algunos asuntos tratados
aquí, habría resultado útil).
La definición de geometría analítica que hemos dado es del tipo de las que se encuentran en
los diccionarios más bien que en el uso corriente de las matemáticas. No dice cómo se
empleará un término técnico en el resto de este libro, sino cómo se utiliza de ordinario una
frase no técnica. De acuerdo con el análisis anterior, tanto la materia como los métodos de
este libro son bastante familiares. Hasta se han empleado ya en los cursos más elementales.
Por ejemplo, se sabe que (en un plano) la gráfica de una ecuación de la forma
(1) ax + by + c =0
es una recta, y que el problema de determinar la intersección de dos rectas en el plano
puede resolverse, obteniendo la resolución de un sistema de dos ecuaciones tales como (1).
Se sabe también, que el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de
una recta fija y de un punto fijo que no está en esa recta (lugar geométrico que se llama
parábola) tiene una ecuación de la forma
y2 = 4cx,
si se escoge convenientemente el sistema de coordenadas. En este libro, nos ocuparemos de
muchos de estos problemas, y al final, se tendrá una idea del alcance del nuevo método que
Descartes y sus contemporáneos introdujeron en la geometría.
¿Por qué se estudia la geometría analítica?
Una de las razones más importantes para el estudio de la geometría analítica es la potencia
de sus métodos. Ciertos problemas pueden resolverse de una manera más rápida, directa y
simple mediante los métodos analíticos. Esto es cierto, no solamente para los problemas de
la geometría y de otras ramas de las matemáticas, sino también para una amplia variedad de
aplicaciones a la estadística, la física, la ingeniería y otros campos científicos y técnicos.
El uso de métodos algebraicos para resolver problemas geométricos permite
generalizaciones fáciles. Un resultado que se obtiene para una o dos dimensiones puede a
menudo generalizarse inmediatamente a tres o más dimensiones. A veces resulta tan fácil
demostrar una relación en el espacio de n dimensiones como lo sería en el espacio de dos o
tres dimensiones. En efecto, gran parte de lo que se hace para dimensiones mayores que
tres es esencialmente álgebra con terminología geométrica.
La geometría analítica relaciona entre sí y aplica en un contexto nuevo e interesante lo que
se ha aprendido sobre sistemas de números, álgebra, geometría y trigonometría. Esto
conducirá al dominio de las matemáticas estudiadas previamente. Cuando se estudie este
curso habrá muchas ocasiones de utilizar conocimientos y métodos matemáticos familiares.
También, se aprenderán nuevos métodos. Algunos de estos podrán parecer al principio
incómodos o difíciles en comparación con los métodos utilizados antes. Debe tenerse
siempre presente que lo que se hace es aprender métodos y la manera como aplicarlos. Al
estudiante, a veces, se le pedirá que emplee cierto método para llegar a dominarlo. Lo
problemas reales, sean de matemáticas, de ciencias experimentales o industriales, no vienen
provistos de formulación matemática y de un método prescrito. Al final de este curso, se
tendrá una gran variedad de recursos matemáticos más potentes que los anteriores. Se
deberá estar en condiciones de elegir métodos eficaces para abordar problemas.
Así, pues, otra razón importante para estudiar la geometría analítica es la utilidad que
prestará en cursos futuros, no solamente en las matemáticas, sino también en la física, la
estadística, la ingeniería y las ciencias en general.
Existe una tendencia muy común a combinar la geometría analítica y el cálculo
infinitesimal. Cuando esto ocurre, se pierde mucho de lo propiamente valioso de la
geometría analítica. Debido a que un curso de cálculo y geometría analítica es, en primer
lugar, un curso de cálculo, se conserva de la geometría analítica sólo aquellas partes que
son aplicables al cálculo. Al estudiar un curso independiente de geometría analítica, hay
mejor oportunidad de comprender la coherencia del tema, la diversidad de los métodos y la
amplia variedad de problemas a los que puede aplicarse.
Una de las razones más importantes para estudiar la geometría analítica es la de lograr
entender bien la relación que existe entre el álgebra y la geometría. El álgebra contribuye a
la geometría analítica, suministrando un lenguaje escrito para las relaciones, un método que
sirve no sólo para demostrar resultados conocidos, sino también para obtener resultados
antes desconocidos. La geometría brinda al álgebra una manera de representar las
relaciones algebraicas. Esta representación intuitiva ayuda a comprender el análisis
algebraico. En la representación constituida por un sistema de coordenadas, se hace
geometría al hacer álgebra, y se ve el álgebra a través de la geometría. El álgebra y la
geometría están entremezcladas en la geometría analítica; una refuerza y aclara a la otra.