Download miniformulario trigonometria 5°-chanel

COLEGIO PARROQUIAL MIXTO SAN PEDRO CHANEL
SOCIEDAD DE MARIA (PADRES MARISTAS)
FORMULARIO BÁSICO DE TRIGONOMETRÍA
SULLANA
Triángulos Notables
45°
53°
k 2
60°
5k
k
74°
25k
k
16°
45°
37°
k 3
36°
75°
4
5 1
5 1
15°
6 2
F.T de un ángulo en posición
normal y de cualquier magnitud
A( x, y )
r

75°
2 3
10  2 5
10  2 5
Angulo en Posición Normal
15°
2 3
18°
54°
2
2
4
6 2
6
72°
6
4
30°
24k
4k
k
y
2k
7k
3k
𝑆𝑒𝑛𝛼 =
𝑦
𝑟
“Siempre se construye el triángulo
rectángulo para un ángulo en
posición normal, hacia el eje x. A
partir de esto se calculan las razonas
trigonométricas”
𝑥
𝐶𝑡𝑔𝛼 = 𝑦
O
𝑥
𝑟
𝐶𝑜𝑠𝛼 = 𝑟
𝑆𝑒𝑐𝛼 = 𝑥
𝑦
𝑟
𝑇𝑔𝛼 = 𝑥
𝐶𝑠𝑐𝛼 = 𝑦
𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2
Signos de las Razones Trigonométricas
𝑆𝑒𝑛 𝑦 𝐶𝑠𝑐 +
+
Todas +
𝑇𝑔 𝑦 𝐶𝑡𝑔 +
+
𝐶𝑜𝑠 𝑦 𝑆𝑒𝑐 +
+
0°
Sen
0
1
0
-1
0
Cos
1
0
-1
0
1
Tg
0
Ctg
“TODAS SIN TA COS”
90° 180° 270° 360°
Sec
Csc
0
0
1
0
0
-1
-1
1
-1
0°: “Llamar al 010818”
“Ud. debe recordar los valores de las
razones trigonométricas de los
ángulos cuadrantales usando la regla
mnemotécnica 010818, sin olvidar el
cálculo por definición, pues ello nos
permite construirlas para cualquier
ángulo de cualquier magnitud”
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SULLANA
Líneas Trigonométricas
y
y
y
S
Ctg
Cos P(Cos , Sen )
P
Csc
Sen
Q
Tg

0
x
Sec
R
x
x
P (1, Tg )
Q(Ctg ,1)
S (0, Csc )
R ( Sec ,0)
Acotaciones
−1 ≤ 𝑆𝑒𝑛𝜃 ≤ 1
-1 ≤ 𝐶𝑜𝑠𝜃 ≤ 1
Función Trigonométrica
Seno
Coseno
Tangente
Cotangente
Secante
Cosecante
𝐶𝑡𝑔𝛼 =
𝑦
𝑥
𝑥
𝑦
1
𝑆𝑒𝑐𝛼 =
𝑥
𝐶𝑠𝑐𝛼 =
1
𝑦
0 ≤ 𝐶𝑜𝑠 2𝑘 𝜃 ≤ 1
−1 ≤ 𝑆𝑒𝑛2𝑘+1 𝜃 ≤ 1
-1 ≤ 𝐶𝑜𝑠 2𝑘+1 𝜃 ≤ 1
Dominio: 𝜶
𝑆𝑒𝑛𝛼 = 𝑦
𝐶𝑜𝑠𝛼 = 𝑦
𝑇𝑔𝛼 =
0 ≤ 𝑆𝑒𝑛2𝑘 𝜃 ≤ 1
R
R
𝑅−{
(2𝑛 + 1)𝜋
}
2
Rango
FT( 𝜶)
{−1,1}
{−1,1}
Periodo
2𝜋
2𝜋
𝑆𝑒𝑛(𝑥 ± 𝑦) = 𝑆𝑒𝑛𝑥𝐶𝑜𝑠𝑦 ± 𝐶𝑜𝑠𝑥𝑆𝑒𝑛𝑦
𝜋
R
RT de la Suma y diferencia de
dos ángulos
𝐶𝑜𝑠(𝑥 ± 𝑦) = 𝐶𝑜𝑠𝑥𝐶𝑜𝑠𝑦 ± 𝑆𝑒𝑛𝑥𝑆𝑒𝑛𝑦
𝑇𝑔(𝑥 ± 𝑦)
𝑅 − {𝑛𝜋}
R
(2𝑛 + 1)𝜋
𝑅−{
}
2
𝑅 − (— 1,1)
𝑅 − {𝑛𝜋}
𝑅 − (— 1,1)
𝜋
𝑇𝑔𝑥 ± 𝑇𝑔𝑦
1 ∓ 𝑇𝑔𝑥. 𝑇𝑔𝑦
Regla Práctica
Para Seno
Para Coseno
+: SC+CS
-: SC-CS
+: CC-SS
-: CC+SS
Signos Iguales
Signos
diferentes
2𝜋
2𝜋
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Ángulos Negativos
Angulo Doble
Angulo Mitad
Angulo Triple
𝐹. 𝑇(3𝑥) = 𝐹. 𝑇(2𝑥 + 𝑥)
𝑆𝑒𝑛3𝑥 = 3𝑆𝑒𝑛𝑥 − 4𝑆𝑒𝑛3 𝑥
𝑆𝑒𝑛2𝑥 = 2𝑆𝑒𝑛𝑥. 𝐶𝑜𝑠𝑥
𝑥
1 − 𝐶𝑜𝑠𝑥
𝑆𝑒𝑛 ( ) = ±√
2
2
𝑆𝑒𝑛(−𝛼) = −𝑆𝑒𝑛(𝛼)
𝐶𝑜𝑠(−𝛼) = 𝐶𝑜𝑠(𝛼)
𝐶𝑜𝑠3𝑥 = 4𝐶𝑜𝑠 2 𝑥 − 3𝐶𝑜𝑠𝑥
𝑇𝑔(−𝛼) = −𝑇𝑔(𝛼)
2
2
𝐶𝑜𝑠2𝑥 = 𝐶𝑜𝑠 𝑥 − 𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝐶𝑡𝑔(−𝛼) = −𝐶𝑡𝑔(𝛼)
𝑇𝑔𝑥 =
2𝑇𝑔𝑥
1 − 𝑇𝑔2 𝑥
𝑥
1 + 𝐶𝑜𝑠𝑥
𝐶𝑜𝑠 ( ) = ±√
2
2
𝑆𝑒𝑐(−𝛼) = 𝑆𝑒𝑐(𝛼)
Reducción de Ángulos
> 𝟏𝑽(360°)
𝐹. 𝑇(𝜋 ± 𝛼) = ±𝐹. 𝑇(𝛼)
𝐹. 𝑇(2𝜋 ± 𝛼) = ±𝐹. 𝑇(𝛼)
𝐹𝑇(𝛽) = 𝐹𝑇(𝛼)
3𝑇𝑔𝑥 − 𝑇𝑔3 𝑥
1 − 3𝑇𝑔2 𝑥
𝑆𝑒𝑛3𝑥 = 3, 1, −4, 3
𝑥
1 − 𝐶𝑜𝑠𝑥
𝑇𝑔 ( ) = ±√
2
1 + 𝐶𝑜𝑠𝑥
𝐶𝑠𝑐(−𝛼) = −𝐶𝑠𝑐(𝛼)
𝜋
𝐹. 𝑇 ( + 𝛼) = ±𝐶𝑜 − 𝐹. 𝑇(𝛼)
2
𝑇𝑔3𝑥 =
𝐶𝑜𝑠3𝑥 = 4, 3, −3, 1
Reducción De Ángulos
Cuadrantales
4 k  1
Reducción de Grado
2𝐶𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 + 𝐶𝑜𝑠2𝑥
2
2𝑆𝑒𝑛2 𝑥 = 1 − 𝐶𝑜𝑠2𝑥
“Se divide entre
360°”
2k  1
2 k
3𝜋
𝐹. 𝑇 ( + 𝛼) = ±𝐶𝑜
2
− 𝐹. 𝑇(𝛼)
4 k  3 
𝑆𝑒𝑛2𝑥 =
2𝑇𝑔𝑥
1 + 𝑇𝑔2 𝑥
𝐶𝑜𝑠2𝑥 =
1 − 𝑇𝑔2 𝑥
1 + 𝑇𝑔2 𝑥
2
Trasformación de Suma a Producto
Trasformación de Producto a Suma
Nota
𝐴+𝐵
𝐴−𝐵
𝑆𝑒𝑛𝐴 + 𝑆𝑒𝑛𝐵 = 2𝑆𝑒𝑛 (
) . 𝐶𝑜𝑠 (
)
2
2
2𝑆𝑒𝑛𝐴. 𝐶𝑜𝑠𝐵 = 𝑆𝑒𝑛(𝐴 + 𝐵) + 𝑆𝑒𝑛(𝐴 − 𝐵)
2𝐶𝑜𝑠𝐴. 𝐶𝑜𝑠𝐵 = 𝑆𝑒𝑛(𝐴 + 𝐵) − 𝑆𝑒𝑛(𝐴 − 𝐵)
2𝐶𝑜𝑠𝐴. 𝐶𝑜𝑠𝐵 = 𝐶𝑜𝑠(𝐴 + 𝐵) + 𝐶𝑜𝑠(𝐴 − 𝐵)
2𝑆𝑒𝑛𝐴. 𝑆𝑒𝑛𝐵 = 𝐶𝑜𝑠(𝐴 − 𝐵) − 𝐶𝑜𝑠(𝐴 + 𝐵)
Debe
recordarse que para
reducir un ángulo al
primer cuadrante, la
función trigonométrica
no varía si utilizamos
180° y 360° y varía a la
co-razón si es que
usamos 90° y 270°
𝐴−𝐵
𝐴+𝐵
𝑆𝑒𝑛𝐴 − 𝑆𝑒𝑛𝐵 = 2𝑆𝑒𝑛 (
) . 𝐶𝑜𝑠 (
)
2
2
𝐴+𝐵
𝐴−𝐵
𝐶𝑜𝑠𝐴 + 𝐶𝑜𝑠𝐵 = 2𝐶𝑜𝑠 (
) . 𝐶𝑜𝑠 (
)
2
2
𝐴+𝐵
𝐴−𝐵
𝐶𝑜𝑠𝐴 − 𝐶𝑜𝑠𝐵 = 2𝑆𝑒𝑛 (
) 𝑆𝑒𝑛𝑠 (
)
2
2
Relaciones Auxiliares
𝑆𝑒𝑛3𝑥 = 4𝑆𝑒𝑛𝑥. 𝑆𝑒𝑛(60° − 𝑥). 𝑆𝑒𝑛(60° + 𝑥)
𝐶𝑜𝑠3𝑥 = 4𝐶𝑜𝑠𝑥. 𝐶𝑜𝑠(60° − 𝑥). 𝐶𝑜𝑠(60° + 𝑥)
𝑇𝑔3𝑥 = 𝑇𝑔𝑥. 𝑇𝑔(60° − 𝑥). 𝑇𝑔(60° + 𝑥)
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Transformaciones Auxiliares
𝑆𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦). 𝑆𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦) = 𝑆𝑒𝑛2 𝑥 − 𝑆𝑒𝑛2 𝑦
𝐶𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦). 𝐶𝑜𝑠(𝑥 − 𝑦) = 𝐶𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑆𝑒𝑛2 𝑦
𝑥
𝑇𝑔 ( ) = 𝐶𝑠𝑐𝑥 − 𝐶𝑡𝑔𝑥
2
𝑥
𝐶𝑡𝑔 ( ) = 𝐶𝑠𝑐𝑥 + 𝐶𝑡𝑔𝑥
2
La Trigonometría surge en el momento en que el
hombre se interesa por las causas y origen del
universo, siendo la astronomía una de las ciencias
que más apoyo en ella
Funciones Inversas
Simplificaciones
Si 𝑆𝑒𝑛𝜃 = 𝑥 ⇒ 𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛𝑥 = 𝜃
Si 𝐶𝑜𝑠𝜃 = 𝑥 ⇒ 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠𝑥 = 𝜃
𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛𝑥 = 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑠𝑐(1⁄𝑥 )
𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠𝑥 = 𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑐(1⁄𝑥 )
𝑆𝑒𝑛(𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛𝑥) = 𝑥
𝐶𝑜𝑠(𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠𝑥) = 𝑥
𝑇𝑔(𝐴𝑟𝑐𝑇𝑔𝑥) = 𝑥
𝐶𝑡𝑔(𝐴𝑟𝑐𝐶𝑡𝑔𝑥) = 𝑥
𝑆𝑒𝑐(𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑐𝑥) = 𝑥
𝐶𝑠𝑐(𝐴𝑟𝑐𝐶𝑠𝑐𝑥) = 𝑥
En General:
𝐴𝑟𝑐𝐹. 𝑇(𝑥) = 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑦𝑎 𝐹𝑇 𝑒𝑠 "𝑥"
𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛𝑥 = 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑦𝑜 𝑆𝑒𝑛𝑜 𝑒𝑠 "𝑥"
𝑺𝒆𝒏(𝑨𝒓𝒄𝑺𝒆𝒏𝒙) = "Seno del ángulo cuyo Seno es x"
Si X > 0
𝐴𝑟𝑐𝑇𝑔𝑥 = 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑡𝑔(1⁄𝑥 )
Si X < 0
𝐴𝑟𝑐𝑇𝑔𝑥 = 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑡𝑔(1⁄𝑥 ) − 𝜋
=𝒙
Ecuaciones Trigonométricas
Leyes Notables
𝑆𝑒𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏) = 𝑐 ⇒ 𝐶. 𝑆: 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑘𝜋 + (−1)𝑘 . 𝑉𝑝
𝐶𝑜𝑠(𝑎𝑥 + 𝑏) = 𝑐 ⇒ 𝐶. 𝑆: 𝑎𝑥 + 𝑏 = 2𝑘𝜋 ± 𝑉𝑝
𝑇𝑔(𝑎𝑥 + 𝑏) = 𝑐 ⇒ 𝐶. 𝑆: 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑘𝜋 + 𝑉𝑝
Resolución de un Triángulo Isósceles
Para resolver un
Triángulo oblicuángulo se
necesitan conocer tres
leyes fundamentales.
Estas son la ley de senos,
la ley de cosenos y la ley
de tangentes.
B

a
a
a
c
a
A

2 aCos

 
2aSen 
2
Área de un Triángulo
B
A
c
A
b.c
.SenA
2
C
b
Inversas y
Recíprocas
a
b
Ley de Senos
𝑎
𝑏
𝑐
=
=
= 2𝑅
𝑆𝑒𝑛𝑎 𝑆𝑒𝑛𝑏 𝑆𝑒𝑛𝑐
Ley de Cosenos
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐𝐶𝑜𝑠𝐴
𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐𝐶𝑜𝑠𝐵
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏𝐶𝑜𝑠𝐶
Ley de Tangentes
C
𝐴+𝐵
𝑎 + 𝑏 𝑇𝑔 ( 2 )
=
𝑎 − 𝑏 𝑇𝑔 (𝐴 − 𝐵 )
2