Download matemáticas iv

PREPARATORIA UNAM
MATEMÁTICAS IV
CUARTO AÑO
GUÍA DE ESTUDIO
SEGUNDO EXAMEN DE RECUPERACIÓN
FINAL Y EXTRAORDINARIO
Antero M. Gutiérrez Talamantes
Mayolo Martínez Cedillo
Mayo de 2010
Nombre: ____________________________________________
2
Matemáticas IV
El presente trabajo debe presentarse completo, el día del examen, en estas hojas tamaño carta blanca NUNCA EN
HOJAS DE CUADERNO (Se calificará con cero) Debe de contener pregunta y respuesta TODA COPIA DE
INTERNET, ENCICLOPEDIA O COMPAÑERO SE CALIFICARÁ CON CERO El trabajo es de investigación.
I.
1)
2)
3)
4)
Realiza las siguientes operaciones y simplifica , factorizando las expresiones algebraicas
correspondientes:
x 2  6x  7
x 2  8x  7
x 2  7 x  18
x 2  4x  45
2
x  3x  2
2
1
x  3x  2
2


3
x  5x  6
2
4
x  2x  3
2


4
x  4x  3
2
4
x x 6
2
3
5)
x  1 6x  6 x  1


3x  3 2x  2
2
6)
x 2  8x  16 3x  12

x4
2x  8
7)
9 x 2  1 3x  1
 2
x 1
x 1
8)
x 2  3x
x3  2 x 2

x 2  3x  2 x 2  4 x  4
9)
x2  1
x 2  x  20

x 2  3x  4 x 2  6 x  5
2
4
II.
Resuelve las siguientes ecuaciones:
1.
2x  3 x  4 6x  1 5



5
2
5
2
2.
2x  3 4x  1 1 6x  5

 
3
5
5
3
3.
2x  3 x  4 6x  1 5



5
4
5
2
4.
2x  3 4x  1 1 6x  5

 
3
5
5
6
5.
x 2  8x  12  0
Factorización
5
6.
x  2x  15  0
Factorización
7.
x 2  4 x  12  0
Factorización
8.
6 x 2  12 x  90
9.
x 2  14x  45  0
10.
3x 2  42 x  135  0
11.
x 2  4x  5  0 Factorización
12.
4 x 2  16 x  20  0 Factorización
2
Factorización
Fórmula General
Fórmula General
6
13.
x  2x  8  0 Fórmula General
14.
5 x 2  10 x  40  0 Fórmula General
15.
2x + 7 y =
12
4x - 5 y =
- 14
2x + 7 y =
12
4x - 5 y =
- 14
16.
2
Reducción
Reducción
7
17.
3x + 2 y =
6x - 5 y =
18.
3x + 2 y =
6x - 5 y =
19.
5x - 7 y =
7x + 2 y =
- 4 Regla de Cramer
10
- 4 Regla de Cramer
10
- 13 Sustitución
29
8
20.
5x - 7 y =
7x + 2 y =
- 13 Sustitución
29
21.
x 2  10x  21  0 Fórmula General
22.
x 2  20 x  42  0 Fórmula General
9
23.
9x + 2 y =
5x + 3 y =
24.
9x + 2 y =
5x + 3 y =
25.
x
- y
=
5x - 6 y =
- 29 Reducción
- 18
- 29 Reducción
- 18
1 Regla de Cramer
1
10
26.
5x
+ 6y =
11x - 2 y =
27.
5x
+ 6y =
11x - 2 y =
28.
8 Sustitución
- 28
8 Sustitución
- 28
12x –(x + 8) – (5x – 2) = – (2x – 4)
11
29.
17x – (2x + 3) – (x – 2) + 5 = (x – 3) – (6 – 2x)
30.
2x –(3x + 8) – (5x – 2) = – (2x – 4)
31.
7x – (2x + 3) – (x – 2) + 5 = (x – 3) – (6 – 2x)
12
III.
IV.
Resuelve los siguientes problemas.
1.
Tres libreros contienen 301 libros, el primer librero tiene 22 libros más que el segundo y 23 libros menos
que el tercero. Halle el número de libros que hay en cada librero.
2.
Cuatro cajas pintadas de diferentes colores contienen 505 pelotas, la caja verde contiene 15 pelotas menos
que la caja roja, 30 pelotas más que la caja azul y el mismo número de pelotas que la caja amarilla.
¿cuántas pelotas contiene cada caja?
Simplifica los siguientes radicales.
1.
50 =
3.
288 =
2.
180 =
4.
150 =
6
5.
48
405
6.
40
216
7.
10. 3 2 5 8 3 128 =
( )( )(
=
150
=
)
11. 2 50 + 8 32 - 6 8 =
(
) (
) ( )
=
12. 9 75 - 2 27 - 3 3 =
(
) (
) ( )
8. 3 50 2 32 7 8 =
(
)(
)( )
13. 10 2 + 6 8 - 2 128 =
(
9. 2 75 5 27 4 3 =
(
)(
)( )
) ( ) (
)
13
V.
4.
Ejemplo de usos:
INSTRUCCIONES: Relaciona cuidadosamente las columnas derecha e izquierda y coloca dentro del
paréntesis la letra de la opción que corresponda.
A. Residuo.
B. El residuo que se obtiene al dividir
x2 – 3x + 1 entre x + 2.
1. ( ) ¿Cuántos términos debe tener el desarrollo de (A + C. a2 – 2ab + b2.
B)6?
2. ( ) El resultado de multiplicar (a + b)(a – b) es:
D. 6 términos.
3. ( ) Si aplicas el teorema del residuo al polinomio P(x) E. El residuo que se obtiene al dividir
= x2 – 3x + 1, entonces el valor de P(-2) se
x2 – 3x + 1 entre x – 2.
interpreta como:
F. 20A3B3.
G. 7 términos
H. Cociente.
I. a2 – b2.
J. 15A2B4.
INSTRUCCIONES: Escribe dentro de dos paréntesis de la derecha lo que creas sea la correcta.
a) ¿Cuál
a. es la factorización de x2 – 5x – 6?
b) ¿Cuál
b. es la factorización de x2 – 7x – 8?
c) ¿Cuál
c. es la factorización de x2 – 11x + 30?
d) ¿Cuál
d. es la factorización de x2 – 5x + 6?
e) ¿Cuál es la factorización de x2 – 15x +56?
5.
6.
Si aplicas el triángulo de Pascal o la fórmula del binomio de Newton, el desarrollo completo
a) de (2A – 3B)6 es:
b) de (A – 2B)8 es:
c) de (7A – 5B)9 es:
d) de (A – 5B)7 es:
e) de (7A – B)6 es:
(
)
Cuál es la factorización correcta
A) de 27A3 + 64B3?

B) de A3 + 273?

C) de 8A3 + 8B3?

D) de 216A3 + 512B3?

F) de 125A3 + 729B3?
7.
INSTRUCCIONES: Como Factorizar o desarrollar el producto cada una de las expresión algebraica
que lo representa correctamente, escribiendo, dentro del paréntesis, la opción que corresponda.
(
)(
) A. A3 + 3A2B + 3AB2 + B3.
(
)(
) B. (A + B)(A2 – AB + B2).
(
)(
) C. A2 + 2AB + B2.
(
)(
) D. (A + B)(A + C).
(
)(
) E. (A – B)2.
(
)(
) F. (A – B)(A2 + AB + B2).
(
)(
) G. (A + B)(C + D).
(
)(
) H. A3 – 3A2B + 3AB2 – B3.
(
)(
) I. A2 – 2AB + B2.
(
)(
) J. (A + B) (A – B).
(
)(
) A. 8A3 + 12A2B + 6AB2 + B3.
(
)(
) B. (2A + 2B)(4A2 – 4AB + 4B2).
(
)(
) C. 4A2 + 8AB + 4B2.
(
)(
) D. (2A + B)(2A + C).
(
)(
) E. (3A – 3B)2.
(
)(
) F. (2A – B)(4A2 + 2AB + B2).
(
)(
) G. (A + 2B)(2C + 2D).
14
No.
INSTRUCCIONES: Desarrolla los siguientes productos notables, escribiendo el proceso y la respuesta
en los recuadros correspondientes.
PROCESO:
RESPUESTA:
PRODUCTO
NOTABLE:
7.
(12x – 16y)2
8.
(12n + 4)(12n – 13)
9.
(21a + 13b)3
10.
(2x – 6y)2
11.
(n + 4)(n – 13)
12.
(2a + 13b)3
No. EXPRESIÓN ALGEBRAICA:
CRITERIO:
13.
35x2 – 40xy + 21xy – 24y2
Factorización de 2
en 2
14.
8x2 – 64x + 120
Factor común y
producto de
binomios distintos
15.
35x2 – 40xy + 21xy – 24y2
Factorización de 2
en 2
16.
8x2 – 64x + 120
Factor común y
producto de
binomios distintos
PROCESO:
RESPUESTA:
15
INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas referentes a la fórmula de Newton y triángulo de Pasal
para desarrollar binomios. Anota los procedimientos dentro de los recuadros y enmarca la solución.
17.
Aplica la fórmula de Newton para desarrollar (a – 3b)5. Escribe la respuesta en su mínima
expresión.
18.
Aplica la fórmula de Newton para desarrollar (2a – 4b)6. Escribe la respuesta en su mínima
expresión.
19.
Aplica la fórmula de Newton para desarrollar (3a – 5b)5. Escribe la respuesta en su mínima
expresión.
20.
Aplica la fórmula de Newton para desarrollar (2a – 6b)7. Escribe la respuesta en su mínima
expresión.
21.
Aplica la fórmula de Newton para desarrollar (3a – 9b)6. Escribe la respuesta en su mínima
expresión.
22.
Aplica la fórmula de Newton para desarrollar (2a – 3b)7. Escribe la respuesta en su mínima
expresión.
INSTRUCCIONES: Escribe dentro del paréntesis de la derecha la letra de la opción que creas sea la
correcta.
3 x  233
.
A.
x 2  7x  12
B. x = 5.
C. En dividirlo entre su máximo
1
¿Cuál es el valor de x en la ecuación
=
común divisor.
x 1
23. ( )
2
?
x3
24. (
25. (
26.
a)
c)
) ¿Cuál es la racionalización de 32 ?
D. 4 2 .
) Un ejemplo de aplicación de la propiedad transitiva
Como 4 = 3x – 5, entonces 3x – 5
E.
de la igualdad puede ser el siguiente:
=4
F. En expresarlo en términos de otra
raíz de un número más pequeño
que ya no se pueda racionalizar.
3 x  23
.
G.
x 2  7x  12
H. x = -5.
I. Como 3x – 1 = -x + 1 y -x + 1 = 7,
entonces 3x – 1 = 7.
J. 5 2 .
Es un ejemplo de aplicación de la propiedad de simetría de la igualdad:
( )
x + 2 = 3  x + 2 – 2 = 3 – 2.
b)
41 = y  y = 41.
6
2m
d)
2m = 6 
= .
2
2
Para todo número real a, -a = -a.
27. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?
c) La gráfica de la
a) Si 3x  6, entonces x b) 4 + 5  4 + 3.
desigualdad x  a es:
 2.
x
a
( )
d) Si a  b, entonces a 
c  b  c.
Elígelas de las siguientes opciones: sustitución (2 veces), sustracción de la igualdad, división de la
igualdad.
16

Si 12x + 14 = 18, entonces:
28.
12x + 14 – 14
=
18 – 14
29.
12x
=
4
30.
31.
12X
12
x
=
=
4.
12
1/3
24.
Efectúa la siguiente operación con radicales y escribe la respuesta en su mínima expresión: ( 6
)(5 20 )(8 12 )(2 2 ).
25.
(4 6 )(5 20 )(8 12 )(20 2 ).
26.
(7 6 )(35 20 )(4 12 )(10 2 ).
27.
(7 6 )(50 20 )(9 12 )(20 2 ).
28.
( 6 )(5 20 )( 12 )(20 2 ).
29.
(5 6 )(5 20 )( 12 )(2 2 ).
30.
(3 6 )(5 20 )(8 12 )(2 2 ).
31. Resuelve para w, la ecuación cuadrática 25w2 – 40w + 15 = 0, aplicando el método de factorización.
32.
Resuelve, para a, la ecuación cuadrática 5a2 – 8a + 3 = 0, aplicando el método de factorización.
33.
Resuelve, para n, la ecuación cuadrática n2 + 2 n + 3 = 0, aplicando el método de factorización.
34.
Resuelve, para t, la ecuación cuadrática 2t2 – 22t + 60 = 0, aplicando el método de factorización.
35.
Resuelve, para z, la ecuación cuadrática z2 – 11z + 30 = 0, aplicando el método de factorización.
36. Resuelve, para y, la ecuación cuadrática 5y2 – 15y - 140 = 0, aplicando el método de factorización.
37.
Resuelve, para m, la ecuación cuadrática m2 – 4m + = 0, aplicando el método de factorización.
38.
Resuelve, para y, la ecuación cuadrática 2y2 – 4y -126 = 0, aplicando el método de factorización.
39.
Resuelve, para v, la ecuación cuadrática 2v2 – 8v - 10 = 0, aplicando el método de factorización.
40.
Resuelve, para x, la ecuación cuadrática x2 – 4x - 12 = 0, aplicando el método de factorización.
17
41. Define los siguientes conceptos:
a) Número
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
b) Conjunto de números natural
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
c) Conjunto de números enteros
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
d) Conjunto de números racionales
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
e) Conjunto de números irracionales
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
f) Conjunto de números imaginarios
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
g) Conjunto de números complejos
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
42. Cuál es el tipo de número, Anota una ”X” en el recuadro del conjunto al que
pertenece cada número. (se te recuerda que existen números que pueden
ser clasificados en varios conjuntos)
No.
Número
Natural
Entero
Racional
Irracional
Imaginario
Complejos
2
5
1.
2.
3.
10
32/3
4.
E
5.
6.
2 + 3i
¼
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
4i
3 + 4i
-11
Π
103
31/3
I
5
NOTA: En algunos casos, un número puede tener más de una clasificación.
43. ¿Cuál es el diagrama de Venn – Euler de la operación
Si U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
A = {0, 2, 4, 5},
y C = {1, 3, 4, 5, 8,9} entonces como se interpreta:
B  A?
BC U A?
AC?
BC?
B?
A?
B = {0, 3, 5, 8, 9}
AUB?
(AUB)C?
18
44. El diagrama de Venn - Euler, de tres conjuntos, que ilustra cada uno de los
siguientes conjuntos y expresalo en función de área sombreada:
Si U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d} A={0,1,2,3,4,5,6,a,b,c,d} B={,4,5,6,7,8,9,a,b}
y C={4,5,6,7,8,9,a,b,c,d}
a) (AUB) U (AUC)
b) (A∩B) U (A∩C)
C) (AUB) – A
D) (A∩B) U (A-C)
E) C – A
F) (BUC) – A G) C – (A∩B)
Descripción:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Cual son los elementos del
conjunto resultante:
19
45. ¿Cuál es el diagrama de Venn – Euler de la operación
BA?
1
h)
i)
j)
7
1
7
1
BC U A
AA
U
UB
2
0
4
5
B
3
8
9
6
A
U
2
0
4
5
B
3
8
9
6
A
U
2
0
4
5
B
3
8
9
7
6
A
U
B
k)
A
U
B
l)
A
U
B
m)
A
U
n)
AUB
o)
AC?
B
BC?
B?
A?
AUB?
(AUB)C?
20
46. Si U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}, A = {a, c, e, f}, B = {a, d, f, i, j} y
C = {a, c, f, g, h, j}, determina las listas y los diagramas de Venn de la
operación indicada, distribuyendo los elementos dentro de los óvalos y
escribiendo, en los recuadros, la información que se pide. Sombrea, sobre
el diagrama, la región que corresponda a la operación final.
(A  B)  C.
(A ∩ B)  C.
LISTA DE A  B:
LISTA DE A ∩ B:
LISTA DE (A  B)  C:
LISTA DE (A ∩ B)  C:
DIAGRAMA:
DIAGRAMA:
U
A
U
B
A
C
(A
B
C
(A ∩ B) - C.
- B)  C.
LISTA DE A
LISTA DE (A
LISTA DE A ∩ B:
- B:
- B)  C:
LISTA DE (A ∩ B)
DIAGRAMA:
- C:
DIAGRAMA:
U
A
B
C
U
A
B
C
21
47. Convierte los siguientes números de decimal a la base indicada,
viceversa. VALOR: 8 puntos, 4 puntos cada conversión.
a)
852 a heptal (base 7).
b)
330214. a decimal.
c)
1 233 a pental (base 5).
d)
220213. a decimal.
e)
8 523 a hexal (base 6).
f)
340218. a decimal.
g)
2 513 a octal (base 8).
h)
241215. a decimal.
y
22
N - NÚMEROS NATURALES
Un número natural es cualquiera de los números 0, 1, 2, 3... que se pueden usar para contar
elementos o cosas
Z - NÚMEROS ENTEROS
Los números enteros son del tipo: -59, -3, 0, 1, 5, 78, 34567, etc., es decir, LOS
NATURALES Y sus opuestos (negativos).
Q - NÚMEROS RACIONALES
número racional es todo aquel número que puede ser expresado como resultado de la
división de dos números enteros. Comunmente es a lo que se les llama numeros decimales,
tanto en fracción como expresado con comas.
Cualquier numero puede representarse como una fracción de denominador 1 (ejem. 4/1) o
como numero decimal (ejem. 4,0), por lo tanto los NUMEROS NATURALES Y ENTEROS
SON RACIONALES.
I - NÚMEROS IRRACIONALES
LOS NÚMEROS IRRACIONALES no pueden representarse en forma fraccionaria.Los
números irracionales se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen
ningún patrón repetitivo.
Debido a ello, los más celebres números irracionales son identificados mediante símbolos.
El más conocido es:
(Pi): relación entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro.
R - NÚMEROS REALES
Como su propio nombre indica, son todos los números, RACIONALES E IRRACIONALES
Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números
racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números
enteros, tal como 3/4, −21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los
demaœ. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya
representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen
una expansión decimal aperiódica:
Ejemplos 1/4 = 0,250000… ES un número racional puesto que es periódico a partir del
tercer numero decimal. 5/7 = 0,7142857142857142857…. ES racional y tiene un
período de longitud 6 (repite 714285).
23
(3√7 + 1)/2 = 1.456465591386194…
Una fracción es un número que se obtiene dividiendo un número por otro. En una
fracción tal como a/b el número a que es dividido se llama numerador y el número b que
divide, divisor o denominador. Las fracciones pueden clasificarse de la siguiente
manera:
Fracción propia
En la que el numerador es menor que el denominador; por ejemplo: ⅔.
Las fracciones propias son las que mejor responden a la denominación de fracción, ya
que son parte de la unidad. También se llaman fracciones simples.
Fracción impropia
En las que el numerador es mayor que el denominador; por ejemplo., 4/3, 8/7, 206/3,4/1
etc. Si la fracción se escribe como un número entero seguido de una fracción simple por ejemplo 1 1/3 (en vez de 4/3) se trata de una fracción mixta.
Fracción decimal
Hablando con propiedad, un decimal es cualquier número escrito en notación decimal
(esto es, en base diez). No obstante, el término suele utilizarse para designar una
fracción decimal, o fracción escrita utilizando el sistema de notación posicional
decimal. Lo mismo que para formar grupos en los números enteros se utilizan decenas,
cientos, miles, etc., para formarlos en las fracciones decimales se recurre a décimas,
centésimas, milésimas, etc. Así, un decimal como 0.05 es igual a 5 centésimas (5/100) y
así sucesivamente. Un número como 127.836 es una fracción decimal mixta que se
representa:
(1×100) + (2×10) + (7×1) + (8×1/10) + (3×1/100) + (6×1/1000).
Ello equivale a escribir el número como suma de potencias decrecientes de diez
(obsérvese que 100=1)
(1×102) + (2×101) + (7×100) + (8×10−1) + (3×10−2)(6×10−3).
Un decimal puede tener un número finito de dígitos. Por ejemplo, 5/8 es igual a 0.625.
Tales decimales se llaman exactos. También puede ocurrir que el decimal prosiga
indefinidamente, esto es, que contenga un número infinito o decimal no exacto.
NUMEROS ENTEROS
Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que
incluye números enteros negativos (resultados de restar a un número natural otro
mayor), además del cero. El hecho de que un número sea entero, significa que no tiene
parte decimal. Los números enteros negativos pueden aplicarse en diversos contextos,
como la representación de profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero,
o deudas, entre otros. Un número natural es cualquiera de los números que se usan para
contar los elementos de un conjunto (el cero es el número de elementos del conjunto
vacío). Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para
contar objetos. Algunos matemáticos (especialmente los de Teoría de Números)
prefieren no reconocer el cero (0) como un número natural; otros, especialmente los de
Teoría de conjuntos, Lógica e Informática, sostienen la postura opuesta.