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INVESTIGACIONES SOBRE LOS PROBLEMAS RELACIONADOS CON LA
ENSEÑANZA APRENDIZAJE DEL ALGEBRA LINEAL
Autora: Ofelia Montelongo Aguilar, Asesor: Gustavo Martínez Sierra
omontelo@mate.reduaz.mx, gmartinezsierra@gmail.com
Universidad Autónoma de Zacatecas
RESUMEN: El objetivo del presente trabajo es dar un panorama general de las
investigaciones que se han realizado en torno a los problemas relacionados con la
enseñanza-aprendizaje del Álgebra Lineal. Estas investigaciones se puedes clasificar en tres
categorías a) acciones en la reforma curricular, b) análisis de las fuentes de las dificultades
de los estudiantes y su naturaleza e c) investigaciones basadas y controladas en
experimentos de enseñanza.
INTRODUCCIÓN
A diferencia de las nociones del cálculo, que han sido investigadas a profundidad, la mayor
parte de las investigaciones sobre la enseñanza y el aprendizaje del álgebra lineal son
relativamente recientes. Después del trabajo de Harel (1985), surgieron otras
investigaciones, como las de Robert y Robinet (1989), Rogalski (1990), Dorier (1990),
Pavlopouluv (1993), Sierpinska (1995), Dreyfus y Hillel (1998), Sierpinska, Dreyfus y
Hillel (1999), Hillel (2000) entre otras.
La enseñanza y el aprendizaje del álgebra lineal a nivel universitario es considerada una
experiencia frustrante tanto para los estudiantes como para los profesores, debido a la
naturaleza de las nociones como las de espacio vectorial, dependencia e independencia
lineal, base, dimensión, transformaciones lineales, etc. (Hillel, 2000).
De las principales críticas realizadas por los alumnos hacia el álgebra lineal está la
relacionada con el uso del formalismo, la enorme cantidad de nuevas definiciones y
teoremas y la falta de conexión con las matemáticas que ya conocen. En cuanto a los
docentes ellos se quejan del uso deficiente que tienen los estudiantes de los conceptos de la
lógica y teoría de conjuntos, de las pocas o nulas competencias que tienen en la geometría
cartesiana elemental y por lo tanto de no poder utilizar la intuición para construir
representaciones geométricas de los conceptos básicos de la teoría de los espacios
vectoriales (Dorier, J. L., Robert, A., Robinet, J. y Rogalsiu, M., 2000).
En las discusiones sobre la enseñanza y el aprendizaje del álgebra lineal, que se dan en los
congresos, en las reuniones conjuntas, en los coloquios, etc., comúnmente se afirma que los
cursos están mal diseñados y mal enseñados, pero que además no importa cómo se enseñen
y diseñen estos cursos, el álgebra lineal sigue siendo un tema difícil cognitivamente y
conceptualmente (Dorier y Sierpinska, 2001).
Las investigaciones que se han desarrollado con la intención de abordar los problemas
relacionados con la enseñanza aprendizaje del álgebra lineal se pueden enmarcar en las
siguientes tres categorías: a) acciones en la reforma curricular, b) análisis de las fuentes y
naturaleza de las dificultades de los estudiantes e c) investigaciones basadas y controladas
en experimentos de enseñanza.
1. Acciones en la reforma curricular del álgebra lineal
Harel (2000) afirma que durante los años 80’s en Estados Unidos de Norteamérica se llevó
a cabo una reforma en los planes y programas de estudio en las materias de Cálculo, pero
poco a poco, se extendió a otras áreas, como estadística, álgebra abstracta y álgebra lineal.
En 1990 surge un grupo de estudio llamado Linear Algebra Curriculum Study Group
(LACSG) que tenía como objetivo abordar los problemas relacionados con la enseñanzaaprendizaje del álgebra lineal.
Este grupo de estudio generó una serie de recomendaciones para un primer curso de álgebra
lineal, con base en tres aspectos:
 Las investigaciones basadas en el conocimiento de cómo aprenden los estudiantes,
como deber ser enseñadas las matemáticas y qué consideraciones pedagógicas y
epistemológicas están involucradas en la enseñanza-aprendizaje del álgebra lineal.
 La enorme experiencia individual que tenían cada uno de los miembros del grupo
de estudio LACSG en la enseñanza del álgebra lineal.
 La consulta a docentes de otras disciplinas que requieren los conocimientos del
álgebra lineal, respecto al papel del álgebra lineal en sus disciplinas y sus puntos de
vista de cómo el plan de estudios podría mejorarse.
Estas recomendaciones se pueden resumir en los siguientes puntos:
1. El plan de estudios y la presentación del primer curso de álgebra lineal deben
responder a las necesidades de las disciplinas que requieren de ella.
2. El primer curso debería estar orientado a las matrices.
3. Debería considerarse las necesidades e intereses de los estudiantes como aprendices.
4. Se debería alentar a que se utilice la tecnología en un primer curso de álgebra
lineal.
5. Debería ser una prioridad incluirse al menos un segundo curso con énfasis en la
teoría matricial del álgebra lineal.
2. Análisis de las fuentes de las dificultades de los estudiantes y su
naturaleza.
Las dificultades de los estudiantes se pueden considerar principalmente en dos direcciones:
la naturaleza misma del álgebra lineal (dificultades conceptuales) y el tipo de pensamiento
requerido para la comprensión de los conceptos del álgebra lineal (dificultades cognitivas),
estos aspectos claramente están relacionados y son a menudo inseparables en los procesos
reales de aprendizaje (Dorier y Sierpinska, 2001).
En este apartado presentaremos las investigaciones que se han realizado en estas dos
direcciones
2.1 El álgebra lineal como teoría unificadora y generalizadora
Dorier (2000) realiza una investigación de corte histórico-epistemológica que abarca desde
1750 hasta tiempos muy recientes. El objetivo fue rastrear el origen y la evolución de los
conceptos de: vector, espacio vectorial, dependencia e independencia lineal, conjuntos
generadores, bases, rango, dimensión y transformación lineal. Para llevar a cabo el estudio
se analizaron textos originales escritos por los matemáticos, además se utilizaron
monografías sobre temas relacionados o transversales para contar con una mejor base sobre
la cual evaluar la evolución de los conceptos del algebra lineal en relación con el resto de
las matemáticas. También se hacen referencia a documentos publicados en revistas de
historia o libros donde se desarrollaban con más detalle algunos aspectos específicos de los
conceptos.
De este análisis se pueden considerar fundamentalmente dos etapas en la génesis y
evolución de los conceptos del álgebra lineal:
La primera abarca desde los orígenes analítico y geométrico del álgebra lineal hasta
el momento en que se tiene un primer corpus unificado de herramientas y métodos
que se construyeron alrededor de la teoría de los determinantes.
2. La segunda etapa corresponde a la emergencia y construcción de la aproximación
formal y axiomática del álgebra lineal.
1.
En esta última etapa el enfoque axiomático no era una necesidad absoluta en ese momento,
salvo para resolver problemas de dimensión infinita, pero se convirtió en una forma
universal de pensamiento y organización del álgebra lineal. Por lo que, se puede decir que
el éxito de la axiomatización no se debe a la posibilidad de llegar a una solución de un
problema matemático, sino a su poder de generalización y unificación y, en consecuencia, a
la simplificación en la búsqueda de métodos y herramientas para resolver problemas
matemáticos en diferentes entornos. Como consecuencia, este enfoque marcó un nuevo
nivel de abstracción, el concepto de vector por ejemplo, es una abstracción de objetos ya
abstractos como los polinomios, las funciones, las n-uplas, etc.
Conceptos como el de espacio vectorial, el de grupo o la misma definición formal de límite
(que tuvieron su génesis durante el enfoque axiomático de las matemáticas) son conceptos
unificadores y generalizadores ya que estos unificaron y generalizaron los diferentes
métodos, herramientas y objetos, que ya existían en diferentes aéreas de la matemática. Y
que no necesariamente fueron creados para resolver problemas nuevos, pero si para que las
soluciones de muchos problemas fueran más fáciles o similares entre sí.
Se pueden distinguir dos etapas en la construcción de un concepto unificador y
generalizador (que corresponden a dos procesos mentales en el aprendizaje):
1. El reconocimiento de similitudes entre objetos, herramientas y métodos que aporta
el concepto unificador y generalizador.
2. El concepto unificador y generalizador considerado como objeto induce una
reorganización de los conocimientos y las competencias previas.
El estudio histórico-epistemológico tenía como finalidad el proporcionar un sustento
teórico para proponer diseños didácticos que le permitieran al estudiante un acercamiento
más accesible a los conceptos abstractos del álgebra lineal. Estos diseños se mencionaran
con detalle en la sección 3.
2.2 El obstáculo del formalismo
Dorier et al. (2000) llevaron a cabo diferentes estudios y diagnósticos realizados entre 1987
y 1994 que les permitieron llegar a la conclusión de que las dificultades en el álgebra lineal
revelan un obstáculo que aparece a lo largo de varias generaciones sucesivas y casi todos
los medios de enseñanza llamado el obstáculo del formalismo. Este es considerado como la
forma errónea de razonar de los estudiantes en el álgebra lineal derivada de sus
competencias insuficientes principalmente en lógica y teoría de conjuntos, pero también en
la manipulación de expresiones algebraicas
Una noción similar pero más general es dada por Sierpinska (2000), ella considera que un
estudiante se encontraría “bajo el hechizo” del obstáculo del formalismo si se comporta
como si la representación simbólica formal de los objetos del álgebra lineal fuera el objeto
en sí mismo, sin embargo tienen competencias suficientes para comprender la estructura de
estas representaciones , y por lo tanto, las manipulan de una manera que es incompatible
con su gramática, el estudiante no ve las relaciones entre distintas representaciones
formales, por lo que tiene que lidiar frecuentemente con una innumerable cantidad de
objetos.
Los estudiantes cuyas mentes están obstruidas por el obstáculo del formalismo en el sentido
que considera Sierpinska tendrían los mismos errores que los estudiantes con el obstáculo
del formalismo de Dorier pero es posible que produjeran muchas más tonterías escritas en
los niveles donde ni siquiera se requiriera el uso de la teoría de conjuntos.
3. Investigaciones basadas y controladas en experimentos de enseñanza.
3.1 El nivel meta en la enseñanza de conceptos unificadores y
generalizadores
Una de las dificultades más notables que encontró Dorier (1995) en la enseñanza de los
conceptos unificadores y generalizadores es su función de pre-existente, elementos
relacionados con los conocimientos o competencias con las que cuentan los estudiantes.
Estos deben integrarse en un proceso de abstracción, lo cual exige no solo una buena
comprensión de los objetos a abstraer, sino que también requiere la capacidad de identificar
sus características comunes que definirá su representación formal.
Considera que el análisis reflexivo (en el sentido de Piaget) de los objetos es una
componente esencial en el proceso de emergencia de los conceptos unificadores y
generalizadores. Este análisis reflexivo forma parte de la actividad matemática, pero
envuelve una dimensión “metacognitiva” cuando su objetivo es reorganizar algunos de los
objetos y métodos matemáticos en una teoría central. Es una etapa que marca una nueva
orientación en el proceso de construcción del conocimiento, que implica una nueva
apreciación de los conocimientos y competencias anteriores, a un nivel diferente. A este
nivel se le ha llama nivel meta.
La expresión “nivel meta” es definida por Dorier, Robert, Robinet y Rogalski (2000) como
el uso de la información o conocimiento acerca de las matemáticas. De manera más precisa
significa:
1. La información que se requiere en relación a lo que constituye el conocimiento
matemático (métodos, estructuras, (re)organización). Los métodos se definen como
los procedimientos aplicables a un conjunto de problemas similares en su mismo
contexto: los métodos que designan lo que es común a la solución de problemas y
no a la técnica en si (el algoritmo). Esto implica una cierta clasificación de los
problemas a resolver y la identificación de las herramientas y técnicas validas.
2. La información que se refiere a lo que constituye una operación matemática: por
ejemplo, la información sobre la interacción de los ajustes en la resolución de
problemas, el papel de cuestionar, dar ejemplos y contraejemplos, el papel de la
identificación de parámetros en una cuestión matemática, etc.
Dorier (2000) considera que los elementos de reflexión a nivel meta pueden ayudar a los
estudiantes ya sea a resolver un problema o a la reorganización de su conocimiento
matemático. Presenta varios argumentos que justifican de cierta manera el incluir el
concepto de nivel meta en
la enseñanza de las matemáticas:




Desde una perspectiva de interacción, esta reflexión puede promover una mayor
comunicación entre los estudiantes de la propia matemática y puede darles la
oportunidad de participar más activamente en su aprendizaje.
Desde una perspectiva constructivista, se pregunta si estas reflexiones no
contribuyen a un equilibrio entre el meta-conocimiento y el conocimiento.
Otro punto se refiere a los elementos vinculados a los modelos de construcción del
conocimiento científico como resultado de la formación misma de este
conocimiento.
Finalmente la cuestión del cambio de punto de vista de “pasar del conocimiento
antiguo al conocimiento nuevo”, ciertos elementos meta podrían jugar el rol
siguiente: hacer específico lo que se espera de los estudiantes, funcionar como un
puente entre los conocimientos viejos y los nuevos.
3.2 Tres principios para la enseñanza-aprendizaje del álgebra lineal
Harel (2000) da una interpretación de las recomendaciones del grupo LACSG desde la
perspectiva que tiene de la enseñanza-aprendizaje del álgebra lineal. Mencionaremos cada
una de ellas:
 En cuanto a las demostraciones, el grupo LACSG considera la necesidad de un
curso de álgebra lineal poniendo énfasis en aquellas demostraciones que mejoren la
comprensión de los conceptos. Harel propone que el enfoque en las demostraciones
no debería comenzar en el primer curso de álgebra lineal sino en todos los
programas de matemáticas en los diferentes niveles educativos. Además hace
sugerencias de cómo ayudar a los estudiantes para que las demostraciones les sean
una experiencia tangible.
 EL grupo LACSG propone un segundo curso de álgebra lineal debido a que el
tiempo asignado al primer curso es insuficiente. Harel considera que el álgebra
lineal debe ser introducida desde niveles más abajo (nivel medio y medio superior)
de manera introductoria, en donde se establezcan las bases para la construcción de
imágenes conceptuales ricas y eficientes para conceptos como el de independencia
lineal, conjunto generador, espacio vectorial y transformación lineal. Asegura que
los estudiantes que siguieron un programa de álgebra lineal en el nivel medio
podrían llegar más motivados y cognitivamente preparados para abstraer ideas y
conceptos del álgebra lineal del nivel universitario.


Otra recomendación del grupo LACSG es el de utilizar la tecnología en el primer
curso de álgebra lineal. Harel propone que en particular se incorpore el MATLAB
(o algún otro software similar) ya que este puede ayudar a trabajar con matrices y
n-uplas concretos.
Finalmente el grupo LACSG propone un plan de estudios básico para un primer
curso de algebra lineal que abarca temas como operaciones con matrices, sistemas
de ecuaciones lineales, propiedades de Rn, matrices como transformaciones
lineales, producto interior y valores y vectores propios.
Harel (2000) sitúa tres principios para la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, que se
sustentan en la teoría psicológica de Piaget del desarrollo de un concepto:
1. El principio de concretización: Para que los estudiantes abstraigan una
estructura matemática de un modelo dado, los elementos de la estructura de este
modelo deben ser entidades conceptuales para los estudiantes, es decir, que los
estudiantes tengan procedimientos mentales que puedan tener estos objetos
como entradas. Tomando como entidad conceptual un objeto cognitivo para el
cual el sistema cuenta con procedimientos mentales que pueden tomar a este
objeto como argumento o como entrada, Greeno (1983). Por ejemplo los
estudiantes tienen dificultades para determinar si el conjunto A={x,x2,x3,x4}
es linealmente independiente porque el concepto de función como vector no es
concreto para ellos, es decir, estos estudiantes no han formado el concepto de
función como objeto matemático, como una entidad en un espacio vectorial.
La premisa del principio de concretización es que los estudiantes entienden mejor
un concepto en un contexto concreto para ellos. Este contexto sirve como un
anclaje para la construcción adecuada de las imágenes del concepto (Vinner, 1977)
y es un “resorte” para abstraer.
Bajo esta premisa Harel realiza un estudio (Harel, 1989b) para dar respuesta a la
pregunta ¿Poner énfasis en el contexto geométrico-la geometría en dos y tres
dimensiones-permite a los estudiantes una mejor comprensión del concepto de
espacio vectorial que un énfasis en un contexto algebraico? Entendiendo por
comprensión del concepto de espacio vectorial la habilidad de determinar si, y
justificar por qué, un conjunto dado es un espacio vectorial y resolver problemas
que requieran la aplicación de las propiedades de espacio vectorial.
El estudio se llevo a cabo con dos grupos de 36 estudiantes, grupo a y grupo B a
ambos se les enseñó álgebra lineal durante todo un semestre con clases de una hora
tres veces a la semana, se utilizó Rn para ilustrar las ideas abstractas,
adicionalmente se les dio una sesión de dos horas a la semana en donde los
estudiantes resolvían problemas con la ayuda del ayudante del docente, lo que se
diferencio es que a los estudiantes del grupo B se les dio una un tratamiento
especial en donde se les mostraba como se representaban geométricamente las
ideas de espacio vectorial. Después se les hizo una prueba donde tenían que aplicar
directamente la definición de espacio vectorial.
Las variables que se consideraron fueron: la descripción geométrica (GD),
descripción algebraica (AD), la respuesta final correcta (CF), la respuesta final
incorrecta (IF), la justificación correcta (CJ), y la justificación incorrecta (IJ).



Los principales resultados fueron
Que el grupo B utiliza con más frecuencia el modo geométrico que el grupo A y
este último utiliza un modo algebraico con más frecuencia que el grupo B.
Los alumnos del grupo B dieron más respuestas correctas finales y el grupo A
dieron más respuestas incorrectas.
Casi la mitad del grupo A dieron justificaciones incorrectas en cambio en el grupo
B fueron menos de una cuarta parte.
Como conclusiones se tiene que el método de instrucción y el tipo de descripción
elegida por los estudiantes no son independientes. En problemas donde los
estudiantes tenían que si un conjunto dado era espacio vectorial la mayoría de los
del grupo B dieron una respuesta correcta y del grupo A fueron solo unos pocos.
En los problemas en donde los estudiantes tenían que demostrar afirmaciones
generales, solo pocos del grupo B dieron respuestas incorrectas en cambio del
grupo A fueron muchos más.
Finalmente se tiene que a pesar de que los dos grupos fueron expuestos a la misma
definición formal de espacio vectorial, la forma de proceder en la solución de los
problemas fue significativamente diferente, el grupo B manejó los problemas con
más éxito debido a su imagen conceptual de espacio vectorial.
También Herel llevó a cabo una secuencia de experimentos de enseñanza con
estudiantes de nivel medio superior en donde encontró que los espacios vectoriales
de dimensión menor o igual a tres son concretados por los estudiantes y son
modelos cognitivamente adecuados para la introducción de las nociones básicas
del álgebra lineal. Los conceptos de dependencia e independencia, combinación
lineal, base y dimensión fueron estudiados a fondo en los espacios geométricos R1,
R2, R3 a través de las coordenadas de los vectores. De esta manera la geometría se
convirtió en la materia prima para la generación de problemas y la introducción de
nuevos conceptos e ideas. La importancia de tratar los conceptos en un ambiente
geométrico fue que los alumnos pudieron identificar que los problemas se
resuelven únicamente con los axiomas de espacio vectorial no en cómo están
definidos los elementos del conjunto.
La geometría puede ser una herramienta poderosa en la consolidación de los
conceptos del álgebra lineal, pero se tiene que tener cuidado en cómo esta es
introducida y utilizada, pues se corre el riesgo de que los estudiantes consideren a
la geometría como la materia prima a estudiar y permitan que sus imágenes físicas
los limiten lo cual les impedirá el paso de lo geométrico a lo abstracto.
2. El principio de necesidad: Para que los estudiantes aprendan, deben ver la
necesidad de lo que se les pretende enseñar. Por necesidad se entiende una
necesidad intelectual, a diferencia de una necesidad social o económica.
Para que los maestros conozcan lo que constituye la necesidad intelectual de sus
estudiantes, deben entender la forma de pensar de sus alumnos. En (Harel y
Sowder, 1998) se hizo una caracterización de las necesidades intelectuales
encontrando tres formas principales, la necesidad de calcular, la necesidad de
formalizar y la necesidad de la elegancia.
3. Principio de generalización: Cuando la instrucción se refiere a un modelo
“concreto”, es decir, un modelo que satisface el principio de concretización, las
actividades de instrucción dentro de este modelo debe permitir y alentar la
generalización de los conceptos.
Su objetivo es permitir a los estudiantes abstraer conceptos que han aprendido en
un modelo específico y debe estar de acuerdo con el principio de necesidad.
EL énfasis es puesto en la recomendación del grupo LACSG correspondiente a
considerar un segundo curso de álgebra lineal debido a la falta de tiempo asignado a esta
materia en el currículum de matemática en el nivel superior, él propone la incorporación de
las ideas básicas del álgebra lineal en los programas de matemáticas en el nivel medio
superior bajo los tres principios pedagógicos mencionados. Si esto se implementa el primer
curso de álgebra lineal sería una continuación natural de lo que los estudiantes han
aprendido en la escuela secundaria.
4. Investigaciones relacionadas con los problemas de enseñanza aprendizaje
de las Transformaciones Lineales.
En las investigaciones revisadas anteriormente los investigadores utilizaban en generar los
conceptos de vector, espacios vectoriales, dependencia e independencia línea, bases y
dimensión, para explicar las dificultades de los estudiantes ante los conceptos del álgebra
lineal así como para realizar los diseños experimentales de enseñanza.
Nosotros pondremos nuestra atención en describir como construyen los estudiantes el
concepto de Transformación Lineal, es por ello que dedicamos esta sesión a las
investigaciones que tratan este tema en particular.
Pocas son las investigaciones en este tema, las que se han encontrado son en su mayoría
llevadas a cabo aquí en México y tratan de introducir el uso de software para que los
estudiantes logren una mejor comprensión de los conceptos relacionados con el de
Transformación Lineal.
Uicab, R. y Oktac, A. (2006) Consideran el problema de extensión lineal, (que consiste en
determinar una transformación lineal conociendo las imágenes de los vectores de una base)
apoyándose en el aspecto geométrico y usando las herramientas del software Cabri-
géometre II. Parten de la hipótesis de que las dificultades de los alumnos para enfrentarse a
este problema es que no realizan conexiones adecuadas entre los conceptos involucrados.
Abordan el problema desde el punto de vista de la aproximación teórica de Sierpinska,
(2000) “El pensamiento teórico versus el pensamiento práctico”. Esta aproximación
considera que las dificultades de los estudiantes con los conceptos del álgebra lineal se
deben en gran parte a que ellos tienden a pensar de manera práctica cuando la comprensión
de los conceptos requiere un pensamiento teórico.
El objetivo de la investigación es observar la presencia de conexiones entre conceptos y su
naturaleza, basándose en observaciones empericas. Para llevar a cabo el objetivo, la
investigación se llevó en tres etapas:

En la primera se impartió un curso a 8 alumnos de primer semestre de la maestría
del departamento de matemática educativa, el propósito del curso fue dar a los
estudiantes la oportunidad de ver y analizar ejemplos del uso de la tecnología en la
clase de álgebra lineal y con el ambiente Cabri-Geométre II. Este curso se dividió
en 6 módulos, el modulo I consistió en la familiarización con los comandos de
Cabri. Vectores, igualdad de vectores y operaciones sobre los vectores, el modulo II
sobre aplicaciones del lenguaje de los vectores en la geometría, modulo III
coordenadas de un vector en una base, modulo IV cambio de base, módulos V y VI
transformaciones lineales.
 En la segunda etapa se aplicó un cuestionario diagnóstico, con 12 reactivos cuyo
contenido tenía que ver con las transformaciones lineales, el objetivo era
caracterizar el pensamiento de los estudiantes en forma general.
 En la tercera etapa se llevó a cado una entrevista, conformada por tres actividades,
que incluía al problema de extensión lineal. Los estudiantes trabajaron en parejas
para poder observar las discusiones entre ellos y los argumentos correspondientes.
Los resultados de la entrevista que correspondía al problema de extensión, llevó a plantear
la pregunta ¿cómo ayudar a los estudiantes a pensar teóricamente y a hacer conexiones
entre diferentes conceptos?
Consideran que los ingredientes que permiten llevar a cabo conexiones entre los conceptos
son: su abstracción y la práctica constante de problemas nuevos. La dificultad está en
realizar actividades que garanticen la abstracción de los conceptos. Se considera que el
carácter formal de los conceptos siempre debe estar presente durante el proceso de
enseñanza aprendizaje y quizá como punto de partida. El empleo de un buen método de
enseñanza que evite empezar con el aspecto formal tiene que cuidar de no dar lugar a que
los conceptos sean apreciados sólo por sus características o carácter funcional.
En una futura investigación, dentro del pensamiento teórico podría contemplarse el
establecimiento de una subcategoría del pensamiento sistémico, llamándola pensamiento
conectivo, para darnos cuenta de la presencia o ausencia de vínculos entre los conceptos
que manejan los estudiantes.
Consideran que en general la enseñanza del algebra debe contemplar estrategias que
permitan combinar aspectos intuitivos y analíticos de los conceptos, cuidando el aspecto
formal, en particular en el aprendizaje del concepto de Transformación lineal es importante
hacer hincapié, en el aspecto intuitivo, considerando el aspecto geométrico de sus
propiedades, y también en el aspecto formal.
Por su parte Molina y Oktac (2007) realizan un estudio con el objetivo de identificar los
modelos intuitivos (en el sentido de Fischbein) que pudieran tener algunos estudiantes con
respecto a la transformación lineal en contexto geométrico. Su hipótesis es que los
estudiantes podrían relacionar la transformación lineal en R2 con ideas que involucran
movimiento. Para determinar estos modelos intuitivos aplicaron una entrevista a 5 alumnos
que habían terminado sus estudios de licenciatura en Matemática Educativa.
Los estudiantes asociaban una transformación lineal a un movimiento, en particular una
rotación una expansión, una contracción una reflexión o combinaciones de estas.
De los resultados obtenidos dan comentarios finales y hacen sugerencias didácticas
1. Con el paso del tiempo el concepto de transformación lineal se va degenerando
hasta quedar solo en transformación. Se sugiere, investigar sobre diseños
didácticos que pongan énfasis en la parte de la linealidad, con el propósito
de reducir la degradación del concepto.
2. Los estudiantes piensan que la TL es el vector transformado, ello hace que los
estudiantes se enfoquen en los objetos involucrados (por ejemplo, los vectores)
y no en el proceso implícito (la TL). Sierpinska (2000) afirma que algunos
diseños de aprendizaje pueden particularmente motivar esta idea en los
estudiantes. Se sugiere realizar investigaciones que se enfoquen en el diseño
de situaciones didácticas donde se conduzca a los estudiantes a distinguir
quién es el objeto y qué el proceso cuando trabajen la TL.
3. Los estudiantes relacionan el término transformación lineal con líneas rectas o
con el grado de las expresiones algebraicas, algunos alumnos tienen la idea de
que si un objeto es una línea curva, no puede ser resultado de una TL. Buscar
una forma de romper con esta concepción.
4. Estas son recomendaciones que se hacen con fines didácticos: a) Cuando se
aborden las TL es pertinente reparar en las condiciones que sus fórmulas
algebraicas deben cumplir. b) Que cuando se trabajen las TL se utilicen espacios
vectoriales con tengan distintas dimensiones. c) Consideran que usar figuras
geométricas en R2 podría ser benéfico para ilustrar maneras en que la TL puede
afectar a vectores, y con ello aumentar el universo de movimientos geométricos
que los alumnos asocien a la TL.
Referencias
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En Dorier, J. L. (Eds.), The Teaching of Linear Algebra in Question (pp. 3-81). Kluwer
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Dorier, J. y Sierpinska, A. (2001). Research into the Teaching and Learning of Linear
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Netherlands.
Dorier, J., Robert, A., Robinet, J. y Rogalsiu, M. (2000). The Obstacle of Formalism in
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Harel, G. (2000). Three Principles of Learning and Teaching Mathematics. En Dorier, J. L.
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Molina, J. y Oktac, A. (2007). Concepciones de la Transformación Lineal en Contexto
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Sierpinska, A. (2000). On Some Aspects of Students’thinking in Linear Algebra En Dorier,
J. L. (Eds.), The Teaching of Linear Algebra in Question (pp. 209-246). Kluwer
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Uicab, R. y Oktac, A. (2006). Transformaciones Lineales en un Ambiente de Geometría
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