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Álgebra y Geometría Analítica – Año 2011
GUÍA Nº 1
UNIDAD Nº 1: ELEMENTOS DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL
1) Indique cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones:
a) ¡Cuidado!
b) Todos los paralelogramos son cuadriláteros.
c) ¿Qué haces?
d) 7 es un número primo
e) Aristóteles fue uno de los filósofos más grandes de la antigüedad.
2) Dadas las siguientes proposiciones:
a) Si se hace pasar un ácido por papel tornasol, éste se vuelve rojo.
b) Si la madera fuera un metal, entonces sería maleable.
c) Sócrates es griego y filósofo.
d) No es cierto que, un triángulo sea isósceles y que los ángulos adyacentes a la base
sean distintos.
e) O, el átomo es divisible y eléctricamente neutro, o la velocidad es proporcional al
tiempo en el MRUV.
f) Una proposición es verdadera o falsa.
g) Argentina será un país desarrollado si y solo sí, se alcanza el nivel necesario en
educación.
h) 2 + 2 = 4 si y solo si 4 – 2 = 2 , y 2 + 3 = 5 si y solo si 5 – 3 = 2.
i) El aviador tuvo dificultades pero logro aterrizar a salvo.
j) En los días feriados el centro de la ciudad permanece desierto.
i) Señale con una C las proposiciones compuestas y con una S las proposiciones
simples.
ii) En cada proposición compuesta señale el conectivo lógico utilizado y la operación
asociada.
iii) Traduzca cada una de ellas al lenguaje lógico.
3) Dadas las siguientes proposiciones simples:
p : 5 es divisor de 20
q : 2 es racional
r : La potenciación es distributiva respecto a la adición.
s : a2 – 2 a3 + 3 es un polinomio de 3º grado
i) Interprete en lenguaje coloquial (lenguaje corriente) las siguientes fórmulas.
a) q ⇔ r ∧ p
b) p ⇒ q ∨ s
c) ( q ∧ r ) ∧ ~ p
d) [( ~ q ∨ s) ∧ ~ p] ⇒ ~ r
ii) De acuerdo al valor de verdad de cada una de las proposiciones simples determine el
valor de verdad para las fórmulas del ítem anterior.
4) Coloque paréntesis (si fuera necesario) para que la fórmula lógica corresponda a la
proposición que se indica en cada caso.
a) Condicional
p∧q⇒ r ∨ s
b) Conjunción
p∧q⇒ r ∨ s
c) Negación
~ p⇒ q ∧ r
d) Disyunción
p ⇒ q∨ r
e) Bicondicional
p ⇒r ⇔q∨ r
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5) Dé ejemplos de sustitución de las siguientes fórmulas proposicionales.
Ej: p ∧ ~ q Fuimos al zoológico, pero no vimos a los osos.
b) r ∨ ( p ∧ q )
c) p ⇒ q ∨ r
a) ~ q ∧ p
d) ( ~ p ∧ q) ∨ r
e) p ⇒~ q
f) ~ (p∧ ~ q)
6) i) Determine el valor de verdad de q para que las siguientes proposiciones sean
verdaderas, sabiendo que p y r son V y F respectivamente.
a) ( p ⇒ q ) ⇒ r
b) ( p ∨ q ) ⇔ ( p ∧ q )
ii) p ∧ q es V, indique el valor de:
a) p ⇒ ~ q
b) ~ ( ~ q ∨ p)
c) ~ p ⇒ q
iii) Si (p ⇒ q)∨ ~ r es F, que valor de verdad tiene:
b) p ∧ ~ q ⇒ r
c) ~ p ∧ ~ q ⇒ r
a) ~ p ∨ ~ q ⇒ p
7) i) Dadas las siguientes fórmulas, determine si son tautológicas, contradictorias o
contingentes:
b) ( ~ q ⇒ ~ p) ∧ ( p ∧ ~ q)
c) p ∧ q ⇔ q ∧ p
a) p ∨ q ⇒ p ∧ q
ii) Determine si las siguientes fórmulas proposicionales corresponden a una tautología,
contingencia o contradicción.
a) Si no estudias, no aprobarás. Si estudias te premiarán. Por lo tanto, si apruebas te
premiarán.
b) Si estoy en Córdoba, no estoy en Tucumán y si estoy en Tucumán no estoy en
Córdoba. Por lo tanto, no se da el caso en que este en Córdoba y Tucumán.
8) Dadas las siguientes fórmulas:
a) ~ p ∨ ( q ∧ r)
c) p ⇔ (~ q ∨ r)
b) p ⇒ [q ⇒ ~ (r ∧ s)]
d) p ⇒ ~ (q ⇒ ~ p)
Diga si es posible determinar su valor de verdad para:
* p verdadero
* p falso
* p verdadero y q falso
* p falso y q falso
* p verdadero y q verdadero
* p falso y q verdadero
9) En los siguientes enunciados determine la condición necesaria y/o la condición
suficiente.
a) Si sigue el mal tiempo, no habrá partido de fútbol.
b) Este mes se iniciará la obra, si los arquitectos entregan los proyectos y se aprueba
el presupuesto.
c) Es necesario inscribirse en la F.C.E.yT. para cursar Álgebra y Geometría
Analítica.
d) Solo si apruebo los parciales, regularizo la materia.
10) Dadas las siguientes proposiciones:
a) Si un número es entero, es racional.
b) Si el antecedente es V y el consecuente es F, la implicación es F.
c) Si la disyunción de dos proposiciones es verdadera entonces ambas son
verdaderas o una de ellas es verdadera.
i) Expréselas en lenguaje simbólico empleando las proposiciones simples que la
componen.
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ii) Formule simbólicamente y en lenguaje coloquial las implicaciones asociadas a las
dadas.
iii) Niegue las expresiones anteriores y traduzca al lenguaje coloquial.
11) Verifique las siguientes equivalencias:
a) p ⇒ (q ⇒ r) ≡ p ∧ q ⇒ r
b) p ⇒ q ∨ r ≡ p ∧ ~ q ⇒ r
c) La negación de la conjunción de dos proposiciones es igual a la disyunción de las
negaciones.
12) De las siguientes expresiones, indique cuáles son formas proposicionales y cuáles
son proposiciones.
a) Algunos números son primos.
b) x es divisor de 3.
c) y es un número impar.
d) Pedro es arquitecto.
13) Si A = {1, 2 , 3 , 4 , 5 } , determine si las proposiciones son V (verdaderas) o F (falsas)
a) ∃ x ∈ A / x + 3 = 10
b) ∀ x ∈ A : x + 3 < 10
c) ∃ x ∈ A / x + 3 = 5
d) ∀ x ∈ A : x + 3 ≤ 7
14) Sea p ( x ) : x es un número entero, q ( x ) : x es un número racional , escriba
lenguaje coloquial. En todos los casos U = IR
a) ∀x : ~q ( x )
b) ∀x :( p ( x ) ⇒ q ( x ))
c) ∃ x : p ( x )
d) ∃ x : p ( x )
∧ ∀ x: ~ q ( x)
e) ∀ x :~ p ( x )
⇒ ∃ x: q ( x)
en
f) ~ ∀x:p ( x ) 
15) Niegue las siguientes proposiciones cuantificadas.
a) ∀ x : p ( x) ∧ ~ q ( x)
b) ∃ y / ~ p ( y ) ⇒ q ( y )
c) ∃ t / p (t ) ⇔ q (t )
d) ∃ x / ( x > 2 ∧ x ≤ 9 ) ⇒ x = 10
16) Usando cuantificadores en cada una de las siguientes proposiciones, abstraiga la
forma lógica, niegue la expresión cuantificada y traduzca al lenguaje corriente.
a) Hay estudiantes buenos y responsables.
U = {x / x es estudiante}
b) Ningún pez vive fuera del agua.
U = {x / x es pez}
c) Todos los números irracionales son reales. U = IR
d) Algunos números naturales pares son múltiplos de 3.
U = IR
e) No todos los números son positivos
U = IR
17) Recurrencia o Principio de Inducción Completa.
i) Usando el símbolo de Σ, abrevie las siguientes sumas.
a) x1 + x 2 + ..... + x9 =
b) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 =
c) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 =
d) 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 =
ii) Dadas las siguientes sumas;
• Desarróllelas
• Indique el tercer término de las mismas.
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•
3
Calcule
∑
n =1
4
5
a)
∑ 3n − 2
b)
n =1
∑5
n −1
n =1
iii) Usando el P.I.C. pruebe la validez de las siguientes proposiciones para cualquier n
natural.
a) 1 + 3 + 5 + ….. + (2n-1) = n2;
1− an
b) 1 + a + a2 + …. + an-1 =
1− a
n
n(n + 1)
c) p ( n) : ∑ i =
2
i =1
n
1
d) p ( n) : ∑ 3i −1 = (3n − 1)
2
i =1
n
e)
p ( n) : ∑
i =1
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1
1
= 2 − n −1
i −1
2
2
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Ejercicios Resueltos
1) Sabiendo que p es V y r es F, determine el valor de verdad de q y s para que la
proposición ( p ⇒ q ) ∧ ( r ⇔ s ) sea V.
Solución:
Dada la proposición
( p ⇒ q) ∧ (r ⇔ s) ,
como es la conjunción de las proposiciones
p ⇒ q y r ⇔ s , y es Verdadera por hipótesis, entonces la única posibilidad es que
ambas proposiciones sean Verdaderas, es decir:
( p ⇒ q) ∧ (r ⇔ s)
V
V
V
Luego:
Para que el condicional p ⇒ q sea Verdadero siendo el valor de verdad de p
Verdadero, q debe ser Verdadero (ya que si q es Falso haría el condicional Falso).
p⇒q
V
V
V
Para que el bicondicional r ⇔ s sea Verdadero siendo el valor de verdad de r
Falso, s debe ser Falso (ya que si s es Verdadero el bicondicional sería Falso).
r⇔s
V
F
F
Entonces:
( p ⇒ q) ∧ (r ⇔ s)
V
V
V
V
V
F
F
El valor de verdad de q es Verdadero y s es Falso.
2) El siguiente enunciado es Verdadero. Determine en él la condición necesaria y la
condición suficiente:
“Si un N° a es múltiplo de otro b entonces la división entre a y b es exacta”
Solución:
Las proposiciones simples que la componen son:
p: Un N° a es múltiplo de otro b
q: La división entre a y b es exacta
Su Forma Lógica es:
p⇒q
- Si sabemos que p ⇒ q es Verdadero y p es Verdadero, q también debe ser
Verdadero, en cambio si p es Falso nada podemos decir de q porque puede ser
Verdadero o Falso. O sea que es suficiente saber que p es Verdadero para que q lo sea.
Entonces:
“Es condición suficiente que un N° a sea múltiplo de otro b para que la división entre a
y b sea exacta”.
- Si sabemos que p ⇒ q es Verdadero y si q es Verdadero entonces p puede ser
Verdadero o Falso, pero para que p sea Verdadero es necesario que q lo sea. O sea que
q es condición necesaria para p.
Entonces:
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“Es condición necesaria que la división entre a y b sea exacta para que el N° a sea
múltiplo de b.”
3) Dada la siguiente proposición:
“Si me buscas en el auto entonces llegaremos temprano y podremos ver todo el partido”
a) Exprésela en lenguaje simbólico empleando las proposiciones simples que la
componen.
b) Formule simbólicamente y en lenguaje coloquial las implicaciones asociadas a la
dada.
Solución:
a) Las proposiciones simples que la componen son:
r: Me buscas en el auto
s: Llegaremos temprano
t: Podremos ver todo el partido
Por lo tanto el condicional dado se expresa en lenguaje simbólico o forma lógica:
r ⇒ s ∧ t que llamaremos directo
b)
Recordemos que:
Dado el condicional p ⇒ q , que llamaremos directo, en relación con él se
presentan otros tres condicionales
Recíproco: q ⇒ p
Contrario: ∼ p ⇒ ∼ q
Contrarecíproco: ∼ q ⇒ ∼ p
Para nuestro ejemplo
Recíproco: s ∧ t ⇒ r
Expresado en lenguaje coloquial es:
“Si llegamos temprano y pudimos ver todo el partido entonces me buscaste en el auto”
1)
Contrario: ∼ r ⇒ ∼ ( s ∧ t ) ≡ ∼ r ⇒ ∼ s ∨ ∼ t
Expresado en lenguaje coloquial es:
“Si no me buscas en el auto entonces no llegaremos temprano o no podremos ver todo
el partido”
1)
Contrarrecíproco: ∼ ( s ∧ t ) ⇒ ∼ r ≡ ∼ s ∨ ∼ t ⇒ ∼ r
Expresado en lenguaje coloquial es:
“Si no llegamos temprano o no podemos ver todo el partido entonces no me buscaste en
el auto”
Nota: En 1) se aplica la Ley de Morgan: “La negación de una conjunción es congruente a la disyunción
de las proposiciones negadas”
4) Usando cuantificadores en la siguiente proposición, abstraiga la forma lógica, niegue
la expresión cuantificada y traduzca al lenguaje corriente.
“Algunas personas respondieron a la encuesta y se mostraron interesadas”
U = {x / x es una persona}
Solución:
Una fórmula proposicional es una expresión que contiene una indeterminada y que se
convierte en una proposición cuando se sustituye la indeterminada por uno o mas
nombres. Las formas proposicionales en la indeterminada x se denotan con p(x), q(x),
r(x).
Para las formas proposicionales es necesario considerar el conjunto universal o
referencial de objetos cuyos nombres habrán de reemplazar a x. Dicho conjunto se
denota con U.
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Para nuestro ejemplo U = {x / x es una persona} y x representa a persona.
Forma lógica:
p(x): x respondió a la encuesta
q(x): x se mostró interesada
Otra manera de convertir una forma proposicional en proposición es anteponiendo un
cuantificador:
- Cuantificador universal ∀x
∀x : p ( x) “Para todo x la proposición p(x) es verdadera”
o
- Cuantificador existencial: ∃x .
∃x / p( x) “Existe al menos un x tal que la proposición p(x) es verdadera”
Para nuestro ejemplo la Forma Lógica es:
∃ x / p ( x) ∧ q( x)
La negación de una proposición cuantificada universalmente es una proposición
cuantificada existencialmente negado su predicado: ∼ ( ∀x : p ( x) ) ≡ ∃x / ∼ p ( x)
La negación de un proposición cuantificador existencial es una proposición
cuantificada universal negado su predicado: ∼ ( ∃x / p ( x ) ) ≡ ∀x / ∼ p ( x)
Para nuestro ejemplo:
1)
Negación: ∼ [ ∃ x / p ( x) ∧ q ( x)] ≡ ∀x : ∼ [ p ( x) ∧ q ( x)] ≡ ∀x : ∼ p ( x) ∨ ∼ q ( x )
“Todas las personas no respondieron a la encuesta o no se mostraron interesadas”
Nota: En 1) se aplica la Ley de Morgan: “La negación de una conjunción es igual a la disyunción de las
proposiciones negadas”
5) Principio de Inducción Completa
Pruebe la validez de la siguiente proposición para cualquier n natural
n
n ( n + 1)
p ( n) : ∑ i =
2
i =1
Recordemos que:
Si p(n) es una proposición que depende de un número natural n.
Si es verdadera las dos proposiciones siguiente:
P(1) y p(h) ⇒ p(h + 1) ∀ h ∈ IN
Entonces es Verdadera la proposición p(n) ∀ n ∈ IN
Solución:
Primero verificamos si es verdadera para n igual a 1.
Para n = 1
1
p (1) = ∑ i = 1 ,
1(1 + 1)
= 1 entonces P(1) es V
2
Ahora suponemos que es verdadera para n = h, es decir:
h
h ( h + 1)
p ( h) = ∑ i =
Llamada Hipotesis Inductiva
2
i =1
i =1
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Ahora debemos demostrar que la prposición se verifica para el siguiente número
natural, es decir para h+1
Pr uebo para n = h + 1
h +1
( h + 1)( h + 2 )
i =1
2
p ( h + 1) = ∑ i =
Tesis Inductiva
A esta igualdad debemos llegar, para ello partimos del primer miembro y mediante
pasos algebraicos llegamos al segundo miembro
h +1
h
1)
2)
3) h h + 1 + 2 h + 1
h ( h + 1)
( ) ( ) =4) ( h + 1)( h + 2 )
i
=
i + ( h + 1) =
+ ( h + 1) =
∑
∑
2
2
2
i =1
i =1
P(n) vale ∀n ∈ IN
h +1
1) Escribimos
∑ i como la suma desde 1 hasta h más el término de la sumatoria que corresponde a h+1.
i =1
2) Reemplazamos
h
h ( h + 1)
i =1
2
∑ i por
(Hipótesis Inductiva).
3) Resolvemos la suma de las expresiones racionales
h ( h + 1)
2
y
( h + 1) .
4) Sacamos factor común h+1.
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Ejercitación adicional
1) Indique cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones:
a) ¡Que alegría!
b) Cierra la puerta
c) Si mañana no vienes, voy a tu casa a la tarde.
d) Cauchy fue un gran matemático del siglo pasado.
e) 2 + 2 = 5 si y solo si 4 + 4 = 10
2) Dadas las siguientes proposiciones:
a) Si se alteran las condiciones atmosféricas de la Tierra, entonces se producirán
alteraciones paralelas en los organismos que la habitan.
b) Mercurio es una estrella, pero Venus es un planeta.
c) No ocurre que, el movimiento de un cuerpo es en la dirección de la fuerza
resultante.
d) O se protege la flora y la fauna de la zona costera, o se quebrará el equilibrio
ecológico.
e) La deserción escolar disminuirá si y solo sí se mejoran las condiciones de la
población y se moderniza la educación.
f) Una figura es un triángulo si y solo sí tiene tres lados.
g) Santa Fe está al Norte de Bs. As. o Bs. As. está al norte de Santa Fe.
h) Construyeron un dique para controlar las bruscas crecidas en primavera.
i) Señale con una C las proposiciones compuestas y con una S las proposiciones
simples.
ii) En cada proposición compuesta señale el conectivo lógico utilizado y la operación
asociada.
iii) Traduzca cada una de ellas al lenguaje lógico.
3) Dadas las siguientes proposiciones simples:
p : 0 es mayor que cualquier número negativo
q : 7 no es un número primo
1
3
r: 2 = 2
s : El rombo es un cuadrado
3
i) Interprete en lenguaje coloquial (lenguaje corriente) las siguientes fórmulas.
a) (~ p ∧ q ) ⇒~ s
b) ~ ( p ∨ q )
c) r ⇔ ( s ∧ ~ q)
d) ( p ∨ ~ q ) ⇒ (~ r ∧ s )
e) ~ p ⇒ [(q ∧ ~ s) ∨ r ]
f) p ∧ r ⇒ q ∨ s
g) ( p ∨ s)∧ ~ q
h) p ∨ s ⇔ ~ r
ii) De acuerdo al valor de verdad de cada una de las proposiciones simples determine el
valor de verdad para las fórmulas del ítem anterior.
4) Sabiendo que:
i) Los valores de verdad de las proposiciones p, q, r, s son respectivamente V, F, F, V,
obtenga los valores de verdad de:
a) ~ p ∨ (r ∧ s)
b) p ∧ q ⇔ q
c) ~ ( p ∧ q ) ⇒ (r ∨ ~ s )
d) r ⇒ ~ p ∨ s
ii) Determine el valor de verdad de q para que las siguientes proposiciones sean
verdaderas, sabiendo que p y r son V y F respectivamente.
a) ( p ∧ q ) ⇒ p ∨ r
b) p ∧ (q ⇒ r )
iii) p ∨ q es V y q es V, determine el valor de verdad de [( p ∨ q ) ∨ q ] ⇒ q
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iv) Si (p ⇒ q) ⇒ q es F, que valor de verdad tiene:
a) r ⇒ (p ⇒ ~ q)
b) p ∨ q ⇒ q ∧ r
5) Dadas las siguientes fórmulas:
a) (~ q ∨ r) ⇒ ~ p
c) [ p ⇔ (~ q ∨ r )] ⇒ [~ p ∨ (q ∧ r )]
c) ~ p ∧ ~ q ⇒ p
b) [(~ q ∨ r ) ⇒ ~ p ] ⇒ p
d) ~ [~ (q ∧ r) ⇒ q ∨ ( r ∧ s)] ⇔ ~ p
Diga si es posible determinar su valor de verdad para:
* p verdadero
* p falso
* p verdadero y q falso
* p falso y q falso
* p verdadero y q verdadero
* p falso y q verdadero
6)
Determine el valor de verdad de cada fórmula.
a) p ∨ (~ p ⇒ q)
Cuando p es falso y q es falso.
Cuando p es verdadero y q es falso.
b) ( p ⇒ q )∨ ~ p
c) ( p ∧ q ) ∧ (~ p ∨ q)
Cuando p es falso y q es falso.
d) (~ p ∧ ~ q) ⇒ q
Cuando p es verdadero y q es falso.
e) ( p ∧ ~ q) ∨ (~ p ∧ q)
Cuando p es falso y q es verdadero.
7) En los siguientes enunciados determine la condición necesaria y/o la condición
suficiente.
a) Si para la tormenta, el avión llegará esta noche.
b) Si estudias, aprobarás el examen.
c) No podré ir a buscarte si llueve.
d) Si es santiagueño, es argentino.
8) Dadas las siguientes proposiciones:
a) Si un número es par, entonces su cuadrado también es par.
b) Si un cuadrilátero tiene los cuatro ángulos rectos, entonces es rectángulo.
c) Si dos rectas del plano son paralelas, sus pendientes son iguales.
i) Expréselas en lenguaje simbólico empleando las proposiciones simples que la
componen.
ii) Formule simbólicamente y en lenguaje coloquial las implicaciones asociadas a las
dadas.
iii) Niegue las expresiones anteriores y traduzca al lenguaje coloquial.
9) Coloque paréntesis (si fuera necesario) para que la fórmula lógica corresponda a la
proposición que se indica en cada caso.
a) Negación
~ p∧ q ⇒ r
b) Disyunción
p∧q ∨ r
c) Conjunción
p∧q ∨ r
d) Disyunción
p∨ ~ p
10) i) Dadas las siguientes fórmulas, determine si son tautológicas, contradictorias o
contingentes:
a) (~ p ∧ q) ∨ ~ r
b) ( p ∧ r ) ∧ (~ q ∨ ~ s)
c) p ∧ q ⇒ r
c) [(~ s ∨ r ) ∧ p ] ⇒ q
d) p ∧ r ⇔ s ∧ q
e) ( p ⇒ q ) ∨ ( ~ q ⇒ ~ p)
f) p ⇒ q ∨ r
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ii) Determine si la siguiente fórmula proposicional corresponde a una tautología,
contingencia o contradicción.
Si Pablo obtiene 6, entonces pasara de curso. Pablo no pasa de curso. Por lo tanto,
Pablo no obtiene 6
11) Verifique las siguientes equivalencias:
b) p ⇒ q ≡ ~ q ⇒ ~ p
a) p ⇒ q ≡ ~ p ∨ q
c) La negación de la disyunción de dos proposiciones es igual a la conjunción de las
negaciones.
12) De las siguientes expresiones, indique cuáles son formas proposicionales y cuáles
son proposiciones.
a) Todo ángulo agudo mide menos de 90º.
b) x es un número racional.
13) Niegue las siguientes proposiciones.
a) ∀ z : p ( z ) ⇒ q ( z )
c) ∀ x : ( p ( x) ∧ q ( x) )
b) ∃ w / p ( w) ∨ q ( w)
d) ∃ x / x < 5 ∨ x + 2 = 7
14) Usando cuantificadores en cada una de las siguientes proposiciones, abstraiga la
forma lógica, niegue la expresión cuantificada y traduzca al lenguaje corriente.
a) No todos los números reales son racionales. U = IR
b) Todos los cuadrúpedos son mamíferos
U = {x / x es cuadrúpedo}
c) Algunos autos son nuevos
U = {x / x es medio de transporte}
d) Todos los múltiplos de 6 son múltiplos de 3.
U = {x / x es múltiplo de 6}
e) Hay números impares divisibles por 5.
U = {x / x es impar}
15) Recurrencia o Principio de Inducción Completa.
i) Usando el símbolo de Σ, abrevie las siguientes sumas.
a) x1 + x 2 + ..... + x9 =
b) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 =
c) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 =
ii) Dadas las siguientes sumas;
• Desarróllelas
• Indique el tercer término de las mismas.
•
3
Calcule
∑
n =1
5
: a)
∑ 3n − 2
n =1
4
b)
∑5
n −1
n =1
iii) Usando el P.I.C. pruebe la validez de las siguientes expresiones para cualquier n
natural.
a) 1 + 7 + 13 + …. + (6n-5) = n.(3n-2)
n
n
1
1
1
b) p (n) : ∑ i = 1 − n
c) p (n) : ∑ 5i −1 = (5n − 1)
2
4
i =1 2
i =1
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