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ENCUENTRO # 54
TEMA:Trigonometría.
CONTENIDOS:
1. Razones trigonométricas.
2. Resolución de triángulo rectángulo.
Ejercicio reto
1. En la figura ∆ABC es isósceles. C A ⊥ AD y B ∈ AD. ∠ ADC = 30ci r c . Haciendo centro
en D se traza el arco BØE . Si el área de ∆ABC es de 18cm 2 , calcula el área de la región
sombreada.
A)5.1
B)31.1
C)18
D)8
E)9
2. En un salón que tiene 6,0 m más de largo que de ancho, se coloca una alfombra
rectangular que deja al descubierto un margen de 3,0 m por cada lado. El total de la
superficie descubierta es igual a la superficie de la alfombra. La superficie que cubre
la alfombra es:
A)216m 2
B)24m 2
C)18m 2
D)180m 2
E)432m 2
Razones trigonométricas
A las razones que existen entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo se
les llama funciones o razones trigonométricas.
Definiciones
Seno de un ángulo: es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
Coseno de un ángulo: es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Tangente de un ángulo: es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
cotangente de un ángulo: es la razón entre el cateto adyacente y el opuesto.
secante de un ángulo: es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
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cosecante de un ángulo: es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.
Nota: los catetos se nombran según el ángulo agudo que se utilice.
Ejemplo 1.1. En el siguiente triángulo determina los catetos opuesto y adyacente para cada
uno de los ángulos agudos.
Razones
sen α =
Para ángulo α
Para ángulo β
Cateto opuesto= a
Cateto opuesto= b
Cateto adyacente= b
Cateto adyacente= a
hipotenuesa= c
hipotenuesa= c
a
c
cos α = bc
tan α = ba
cot α = ba
sec α = bc
csc α = ac
sen β = bc
cos β =
tan β =
cot β =
sec β =
csc α =
a
c
b
a
a
b
c
a
c
b
Cofunciones
Cualquier función de un ángulo es igual a la cofunción de su complemento.
Entonces mediante las definiciones:
sen α = cos(90◦ − α) = cos β
cos α = sen(90◦ − α) = sen β
Por geometría:
90◦ + α + β = 180◦
Donde:
α + β = 90◦ ; β = 90◦ − α
tan α = cot(90◦ − α)
= cot β
◦
cot α = tan(90 − α) = tan β
sec α = csc(90◦ − α)
◦
csc α = sec(90 − α)
= csc β
= sec β
por tanto α y β son complementarios.
Ejemplo 1.2. Dadas las funciones trigonométricas, se determinan sus respectiva cofunciones:
sen 32◦ = cos(90◦ − 32◦ = cos 58◦
sen 25◦ = cos(90◦ − 25◦ = cos 65◦
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Resolución de triángulo rectángulo
Valor
Dada una función trigonométrica de un ángulo agudo se pueden determinar las demás
funciones a partir de la construcción de un triángulo rectángulo y el empleo del teorema
de Pitágoras como a continuación se ilustra.
Ejemplo 1.3. Si θ es agudo y cos θ = 43 , calcula los valores de las funciones trigonométricas
para θ. Solución
Se construye un triángulo rectángulo, donde u es uno de los ángulos agudos, la hipotenusa
es 4 y el cate to adyacente es 3.
(4)2 = (x)2 + (3)2
16 = x 2 + 9
16 − 9 = x 2
7 = x2
p
7 = x
Por tanto las funciones trigonométricas del ángulo agudo θ son:
sen θ =
cos θ =
p
7
4
p3
7
p
=
sec θ = 43
csc θ = p4 = 4 7 7
p
3 7
7
tan θ =
p7
7
3
Ejemplo 1.4. Si θ es agudo y tan θ = 12 , calcula los valores de seno y coseno del ángulo θ
Solución
Se construye un triángulo rectángulo, donde u es uno de los ángulos agudos, el cateto opuesto es 1 y el cateto adyacente es 2.
Se aplica el teorema de Pitágoras para encontrar el valor del lado restante:
(x)2 = (1)2 + (2)2
x2 = 1 + 4
Por consiguiente sen θ = p1 =
5
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p
5
5
x2 = 5
p
x =
5
p
y cos θ = p2 = 2 5 5
5
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Ejercicios propuestos
1. Obtén el valor de las funciones trigonométricas de los ángulos agudos, en los siguientes triángulos:
c)
a)
b)
d)
Solución de triángulos rectángulos
Dados tres datos de un triángulo, si uno de ellos es un lado, encontrar el valor de los datos restantes. Para los triángulos rectángulos basta conocer el valor de uno de los lados y
algún otro dato, el cual puede ser un ángulo u otro lado, debido a que el tercer dato siempre está dado ya que, al ser triángulo rectángulo, uno de los ángulos siempre será de 90◦ .
Cabe destacar que el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas son de suma
importancia para la resolución de triángulos rectángulos.
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Ejemplo 1.5. En e triángulo ABC, a = 12cm, b = 9cm. Resuelve el triángulos.
Solución
c =
p
a2 + b2
p
c =
122 + 92
p
c =
144 + 81
p
c =
225 = 15
Por tanto c =
15cm
Para encontrar los ángulos se utilizan funciones trigonométricas; en este caso, al tener los
tres lados se puede aplicar cualquier función. Por ejemplo, en el caso del ángulo A se aplica
la función tangente, entonces:
t an A = 12
9
Se despeja el ángulo A:
′
∠ A = arctan( 12
) = 53◦ 7 48
9
′′
Para encontrar el tercer ángulo, se tiene que ∠ A + ∠B + ∠C = 180◦ , en particular ∠ A + ∠B =
90◦ ya que ∠C = 90◦ , por tanto:
′
′′
53◦ 7 48 + ∠B
= 90◦
′
∠B = 90◦ − 53◦ 7 48′′
′
′′
∠B = 36◦ 52 12
Ejemplo 1.6. En el triángulo MNP,m = 13,4cm,∠P = 40◦ . Resuelve el triángulo.
Solución
Para hallar el ∠N , se aplica:
∠N + ∠P + ∠M = 180◦
∠N +
∠N
Ya que ∠M = 90◦ , entonces
∠N
∠N
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= 90◦
= 90◦ − ∠P
= 90◦ − 40◦
= 50◦
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Para hallar el lado n e elige uno de los ángulos agudos, en este caso ∠P y se establece la
función trigonométrica de acuerdo al lado que se va a encontrar (n) y el lado conocido (m =
13,4), por lo que la función que se busca es el coseno de P, entonces:
n
cos P = m
donde
n
Al despejar n:
cos 40◦ = 13,4
n = (13,4)(cos 40◦ ) = (13,4)(0,76604)10,265cm
Para hallar el lado restante (p) se utiliza el teorema de Pitágoras:
√
p
p
p
p = m 2 − n 2 = (13,4)2 − (10,26)2 = 179,56 − 105,27 = 74,29 ≈ 8,62
Ejercicios propuestos
Resuele el siguiente triángulo rectángulo según los datos proporcionados:
1. a = 12, b = 17
2. ∠ A = 32◦ , b = 4
3. ∠C = 46◦ , a = 5
4. a = 32,5, b = 41,3
5. ∠ A = 45◦ , a = 13
6. ∠C = 54◦ , b = 22,6
7. b = 22,5, c = 18,7
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′′
8. ∠ A = 48◦ 12 , b = 34,5
′′
9. ∠C = 34◦ 32 , b = 56,9
′′
10. ∠ A = 32◦ 27 , a = 12
11. b =
p
17, a = 2
′′
12. ∠ A = 25◦ 49 , c = 13
Problemas de aplicaciones
Ejemplo 1.1. Se sitúa un punto a 20 metros de un edificio. Si el ángulo de elevación al punto más alto del edificio es de 46◦ 23′ , encuentra la altura del edificio.
Se representa el problema con un dibujo:
Para hallar la altura del edificio se utiliza la
función tangente, ya que se tienen como datos un ángulo y el cateto adyacente a éste, y la
h
altura representa el cateto opuesto al ángulo
dado:
h
tan 46◦ 23′ = 20
46°23’
al despejar h:
20 m
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h = (20)(tan 46◦ 23′ ) = (20)(1,04949) ≈ 21m
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Ejemplo 1.2. En la construcción de una carretera se encuentra una montaña de 250 metros
de altura, a través de ella se construirá un túnel. La punta de la montaña se observa bajo
un ángulo de 48◦ 30′ desde un punto P en un extremo de la montaña, y bajo un ángulo de
38◦ desde el otro extremo. ¿Cuál será la longitud del túnel?
Solución
T
h=250m
48°30’
38°
R
P
a
Q
b
La longitud del túnel está determinada por a + b
Para obtener a, se utiliza el triángulo PRT y se aplica la función tangente de ∠P :
tan 48◦ 48′ = 250
a
al depejar a:
250
a = tan250
48◦ 48′ = 1,1302 = 221,19m
Para obtener b, se utiliza el triángulo QRT y se aplica la función tangente de ∠Q:
tan 38◦ = 250
b
al depejar b:
250
250
a = tan
= 0,7812
= 320,02m
38◦
Por tanto, la longitud del túnel es: 221,19 + 320,02 = 541,21m.
Ejercicios propuestos
1. En una torre de 40 m que está sobre un peñasco de 65 m de alto junto a una laguna,
se encuentra un observador que mide el ángulo de depresión de 20° de un barco
situado en la laguna. ¿A qué distancia de la orilla del peñasco se encuentra el barco?
2. A una distancia de 10 m de la base de un árbol, la punta de éste se observa bajo un
ángulo de 23◦ . Calcula la altura del árbol.
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3. Un niño tiene un papalote, el cual hace volar sosteniendo una cuerda a un metro
del suelo. La cuerda se tensa formando un ángulo de 45◦ con respecto a la horizontal. Obtén la altura del papalote con respecto al suelo si el niño suelta 20 metros de
cuerda.
4. Determina el ángulo de elevación del Sol si un poste de 2.56 metros proyecta una
sombra de 1.85 metros.
5. Un globo de aire caliente sube con un ángulo de elevación con respecto a un punto
A de 46◦ 10′ . Calcula la altura a la que se encuentra el globo, con respecto a un punto
P del suelo, si la distancia de éste al punto A es de 50 metros.
6. Desde lo alto de una torre cuya altura es de 25 m, se observa un automóvil alejándose
de la torre, con un ángulo de depresión de 32◦ ; si un instante después el ángulo es
de 26◦ , ¿qué distancia se ha desplazado el automóvil?
7. Un maleante es perseguido por un patrullero, quien es apoyado desde el aire por un
helicóptero, como se muestra en la fi gura. Si el ángulo de depresión desde el helicóptero hasta donde se encuentra el delincuente es de 25◦ y el ángulo de depresión
hasta donde se encuentra el patrullero es de 65◦ , y su calcula:
a) La distancia entre el helicóptero y el delincuente.
b) La distancia entre el patrullero y el delincuente.
c) La altura del helicóptero.
8. Un ingeniero civil desea conocer el ángulo de elevación del topógrafo, así como la
distancia a la que se encuentra del asta bandera, si se sabe que el asta bandera mide
la cuarta parte de la altura del edificio que es de 16 metros, y la distancia entre ambas
es de 9 metros.
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