Download UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN Prof. Dr. Raúl F Jiménez 1 1

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
CAPITULO I: FUNCIONES SENCILLAS, GRÁFICOS Y PROPIEDADES.
1. FUNCIÓN LINEAL
Se llama función lineal a toda recta cuya ecuación en el plano (x, t) es de la forma x(t)= mt+b, donde
m y b son constantes. El valor de m se llama pendiente y el valor de b se llama coeficiente de
posición.
Si m=0, entonces la recta es paralela al eje del tiempo (t), que corta el eje x en el punto x=b; si m>0,
la recta es creciente como es el caso b) de la Introducción; si m<0, la recta es decreciente (caso c).
La pendiente m representa la tasa de cambio a la cual varía x en el tiempo t. Si ∆x es la variación de
x durante el lapso de tiempo ∆t, entonces esta tasa de cambio se escribe:
m=
∆x
∆t
es decir, la tasa de cambio es un cuociente y permite comparar una variable respecto de la
otra.
Gráficamente:
recta con pendiente positiva
recta con pendiente negativa
x(t)
∆x
x(t)
∆x
∆t
t
t1
∆t
t1
∆x
t2
∆t
t
t2
Figura 1. La línea recta
Si la recta pasa por el punto (x1, t1 ) y tiene pendiente m, entonces la ecuación de la recta es
x-x1 =m(t-t1)
y se llama ecuación punto-pendiente.
Si ∆t=t2-t1 y ∆x=x2 -x1, entonces la ecuación de la recta puede escribirse como:
x-x1 ={(x2 -x1)/(t2-t1)}(t-t1)
expresión conocida como ecuación punto-punto.
Si la relación entre dos cantidades x e y es directamente proporcional, entonces esta
relación es lineal ya que puede expresarse como:
x=ky
siendo k la constante de proporcionalidad. Evidentemente, la gráfica de esta expresión es
una recta que pasa por el origen.
En el mundo real, y por supuesto en Biología y Medicina, en estricto rigor no existen
fenómenos lineales, es decir, no podemos asociar rectas a la relación entre dos variables.
Sin embargo, bajo condiciones muy restrictivas, ello es posible; pero siempre se deberá tener
1
Prof. Dr. Raúl F Jiménez
UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
cuidado al estimar comportamientos basados en este modelo ta n sencillo como es la recta.
Observe el siguiente ejemplo, que he tomado, mutatis mutandis, del texto [2 ].
Imagine Ud. que leyendo el periódico, se encuentra con la siguiente noticia: “el alcoholismo
en la juventud que durante el año 1995 era de un 6%, aumentó a un 12% durante el 2001”.
Para simplificar la notación, hagamos que el año 1995 sea el número 1, y el año 2001 el
número 7, y unamos los puntos (datos) por una recta. Con este modelo podemos estimar los
porcentajes de alcoholismo en la juventud para cualquiera de los años entre 1995 y el 2001.
Sin embargo, este modelo indicaría que antes de 1993 no existía consumo de alcohol, y que
dentro de 50 años el 50% de los jóvenes sería alcohólico! .
% de alcoholismo
un modelo elemetal
10
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
años
Figura 2. Porcentaje de alcoholismo en la juventud
2. FUNCIÓN CUADRÁTICA
En estricto rigor matemático, debiéramos iniciar aquí el estudio de las curvas llamadas
parábolas, cuyas ecuaciones son de la forma x(t)= at2+bt+c, donde la única restricción para
las constantes a, b y c, es que a debe ser distinta de cero. Empero tales curvas son mas bien
escasas en la literatura médica, y sí aparecen en Biología. Mostraremos un ejemplo de un
modelo parabólico, tomado del texto “Cálculo”, de Larson, Hoestetler y Edwards, Mc GrawHill, Madrid,1995.
Entre 1960 y 1990, el observatorio Mauna Loa de Hawai registró la concentración de dióxido
de carbono (en partes por millón) en la atmósfera terrestre. Los registros de enero de cada
año (“nube de puntos”) se muestran la Fig. 3, donde aparecen dos gráficos. En el primero se
ha ajustado una recta (modelo lineal) mediante un procedimiento llamado regresión por
mínimos cuadrados, usando programas estadísticos comerciales, resultando la recta de
ecuación:
y(t)= 1,24t +313,3.
En el segundo gráfico, y para el mismo conjunto de datos, se le ha ajustado una parábola (modelo
cuadrático), resultando la ecuación
y(t)=0,018t2 +0,70t +316,2
2
Prof. Dr. Raúl F Jiménez
UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
Figura 3. Incremento del dióxido de carbono en la atmósfera
¿Cuál modelo representa mejor el fenómeno?. Para responder a esta pregunta hay que
definir qué se entiende por mejor. Si se usa una definición estadística que involucra los
cuadrados de las diferencias entre los valores exactos y los dados por el modelo, es mejor el
modelo cuadrático. En efecto, el modelo lineal tiene una correlación dada por r2=0,984, y el
cuadrático tiene una correlación de r2=0,997(entre más cerca del 1, mejor). Estos valores de
correlación los entrega el programa mismo, y no es necesario conocer la definición exacta de
correlación para comprender este concepto.
Si usamos estos modelos para predecir el nivel de dióxido de carbono en la atmósfera en el
año 2035, haciendo t=75 en ambas ecuaciones, el modelo lineal predice 406,6 y el
cuadrático 470,0.
3. FUNCIONES POLINOMIALES
Estas funciones son de la forma x(t)=at3 +bt2+ct+dt, x(t)=at4 +bt3+ct2+dt+e, etc., y hablamos de
parábolas cúbicas, de cuarta potencia, etc. Sus gráficas son curvas que a lo más, cortan al
eje x=0 o a una recta paralela a él, en 3, 4, etc. puntos.
4. FUNCIÓN HIPERBÓLICA
Si la relación entre dos variables x e y es inversamente proporcional, entonces escribimos
xy=k
siendo k la constante de proporcionalidad. En este caso la gráfica de esta ecuación es una
hipérbola, hermosa curva que se presenta en la Fig. 4.
3
Prof. Dr. Raúl F Jiménez
UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
100
50
0
0
0.5
1
0
x
1
Figura 4. La función hiperbólica (parte positiva) f(x)=1/x
Sin embargo, en Biología sí aparecen funciones de la forma
y=bxk
donde k puede ser cualquier número real, es decir, la gráfica puede ser una recta (si k=1),
una parábola (si k=2, 3,..), curva levemente crecientes del tipo “raíz cuadrada, cúbica,
cuarta,.. (si k=½, , ¼, ..) o hipérbolas (si k entero negativo), cuyos gráficos aparecen en la
Fig. 5.
Figura 5. Curvas que ilustran la ley alométrica.
4
Prof. Dr. Raúl F Jiménez
UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
Este tipo de ecuación se llama ley de crecimiento alométrico, y se debe a J. S. Huxley
(1924), quién la propuso para estudiar el crecimiento de una parte o el total de un órgano
respecto de todo el organismo. Con esta ley, Huxley sugiere que este tipo de expresiones
dan cuenta del leyes de crecimiento diferencial. La variables x e y representan pesos, masas
o longitudes de partes o de todo un órgano, y b y k son constantes: b es el índice de
crecimiento inicial y k es una constante de equilibrio. Sus estudios empezaron por estudiar el
peso de las pinzas de la Uca pugnax (x), con respecto al peso promedio total del cuerpo (y)
una vez quitada estas pinzas (ver: [3]). Con los trabajos de B Günther et al , esta teoría se
ha desarrollado considerablemente, permitiendo el desarrollo de la anatomía y fisiología
comparada. Más adelante volveremos sobre estos temas.
4. FUNCIÓN EXPONENCIAL
Supongamos que en un cultivo un cierto tipo de bacterias se duplica cada hora. ¿Cómo
podemos expresar matemáticamente este crecimiento, si inicialmente hay x0 bacterias?.
Sea x(t) el número de bacterias a tiempo t, siendo el tiempo medido en horas. Obviamente,
x(0)=x0 , luego de una hora habrá 2x0 bacterias, y luego de otra hora habrá 4x0 bacterias; y
así sucesivamente, es decir, x(0)=x020, x(1)=x021, x(2)=x022, x(3)=x023, x(4)=x024 , ...etc. Para
un tiempo t cualquiera, escribimos:
x(t)=x02t
expresión conocida como función exponencial con base dos.
20
10
0
0
2
4
0
t
4
Figura 6. La función x(t)=2t
10
100
5
50
0
0
1
2
0
t
2
0
0
1
2
0
t
2
Figura 7. Las gráficas de f(t)= e t y de g(t)=10t
5
Prof. Dr. Raúl F Jiménez
UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
En general, una expresión de la forma
x(t)=x0b kt
se llama función exponencial con base b y exponente k. Evidentemente el valor de k y el
de la base dependerá del tipo de bacteria, y en general, estos valores dependen del
fenómeno en estudio
La base puede ser cualquier número que no sea uno. En Biología las bases más usadas son
los números e ≈ 2,7118 y el número 10; el primero se llama base natural.
1
1
0.5
0
0.5
0
1
0
t
0
2
2
0
1
2
0
t
2
Figura 8. Gráficas de f(t) = e -t y de g(t) = 10-t
Evidentemente que para bases mayores que 1, cuanto más grande sea, la función crece más rápido.
En estos ejemplos hemos supuesto x0=1 y la constante k=1. Para una misma base mayor que 1 y
para valores de k cada vez más grandes, las funciones crecen más y más rápido. Es claro que si las
funciones son x0et y x010t , entonces ambas gráficas cortan el eje vertical en x0.
Si el exponente es negativo, la función exponencial decrece (ver fig. 8). Cuanto más grande sea la
base, más rápido es el decrecimiento.
Las propiedades más importantes de las funciones exponenciales son:
• Exponente positivo: crece y cuanto más transcurre el tiempo, crece más rápido
• Exponente negativo: decrece y cuanto más transcurre el tiempo, decrece más rápido.
En ambos casos, la función exponencial nunca es nula. Sin embargo, para exponente negativo, la
función está cada vez más cerca del cero, pero nunca corta el eje horizontal. Este comportamiento
tiene un nombre en matemáticas, se dice que la curva es asintótica al eje horizontal, y que el eje es,
en este caso, una asíntota. Una asíntota siempre es una recta.
Las funciones con exponente negativo aparecen, por ejemplo, en los estudios del decaimiento
radioactivo; en este caso la constante k depende de la sustancia radioactiva
Las funciones exponenciales poseen las siguientes propiedades:
i)
bx by = bx+y , ∀ b > 0, b ≠ 1, ∀ x, y números
ii)
bx : by = bx-y , ∀ b > 0, b ≠ 1, ∀ x, y números
6
Prof. Dr. Raúl F Jiménez
UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
iii)
(b )
iv)
(ab)x = ax bx , ∀ a, b > 0, a, b ≠ 1, ∀ x número
x y
= b x y , ∀ b > 0, b ≠ 1, ∀ x, y números
Curvas importantes en cuyas definiciones aparece la función exponencial:
4.1. La función “curva de aprendizaje ”.
Esta función describe la relación entre la eficacia con que un individuo realiza una tarea y la cantidad
de instrucción o experiencia que el individuo ha tenido. Esta curva contiene una función exponencial
en su definición, y es de amplio uso en Biología.
Se define por
x(t) = β − α e-kt , α, β, k son constantes positivas.
Observe que x(0) = β-α, luego, en general β>α. Además, cuando t crece indefinidamente entonces
x(t) se acerca cada vez más al valor β; y como x(t) = β es una recta (paralela al eje del tiempo),
entonces esa recta es una asíntota, como puede deducirse de la Fig.9.
x(t)
β
β−α
t
Figura 9. La curva de aprendizaje.
Este comportamiento asintótico refleja el hecho que finalmente un individuo se aproximará a un
máximo de eficiencia y que la instrucción adicional tendrá poco efecto sobre los resultados.
Un caso particular se tiene cuando α=β=k=1. El gráfico de x(t)=1-e-t es la Fig. 10.
1
0.5
0
0
0
2
4
t
5
Figura 10. Caso particular de la curva de aprendizaje.
7
Prof. Dr. Raúl F Jiménez
UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
4.2. La curva logística
Estas curvas son modelos bastante precisos del crecimiento de una población cuando los factores
ambientales imponen un límite superior al tamaño posible de la población, o en el caso que los
índices de natalidad disminuyen cuando la población aumenta, por ejemplo. También describen la
propagación de epidemias, casos que estudiaremos más adelante, y como adelantábamos en la
Introducción, también aparecen en muchas reacciones químicas y físico-químicas.
La curva logística se define por
x( t) =
β
, donde α,β ,k son constantes positivas.
1 + αe −β kt
Observe que cuando el tiempo transcurre indefinidamente, αe-βkt se acerca al cero; luego la población
β
es asintótica a la recta x(t)=β. Además, x(0)=
sería la información (o dato) inicial. El gráfico está
1+ α
dado en la Fig. 11.
x(t)
β
β/1+α
*
t
Figura 11. La curva logística.
En Medicina, este tipo de curvas aparecen, por ejemplo, en el estudio del transporte de
gases respiratorios (ver [6]). En la Fig. 12 se muestran algunos factores que modifican la
facilidad de unión entre la hemoglobina y el oxígeno, los de mayor importancia funcional son
la temperatura, la presión de CO2 y la concentración de iones H+. Observe que el aumento
de cualquiera de estos factores desvía la curva hacia la derecha y hacia abajo, es decir,
disminuye la afinidad de la hemoglobina por el O2. Además, es posible deducir la importancia
que la influencia de los tres factores mencionados ejerce sobre la entrega de O2 a los tejidos
durante el ejercicio muscular, considerando que en esta condición aumenta la PaCO 2 y la
temperatura y disminuye el pH a nivel del tejido muscular.
8
Prof. Dr. Raúl F Jiménez
UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
Figura 12. Variaciones de la afinidad de la hemoglobina por el oxígeno según; A: diferentes
presiones parciales de CO2 (24,40 y 80 mmHg), B: diferentes concentraciones de iones H+ (pH
7,2; 7,4; 7,6), y C: variaciones de temperatura (0C).
5. FUNCIÓN LOGARÍTMICA
La función logarítmica de base b se define como la inversa de la función exponencial con base b. Es
decir, el logaritmo de base b de un número x es el exponente al cual debe elevarse la base b para
obtener el mismo número x.
Notación: el logaritmo en base b de x se escribe: logb x.
Ahora podemos definir el logaritmo con símbolos:
y = logbx ⇔ by =x.
Por ejemplo, sabemos que 23 = 8, luego log28=3.
Observe que el hecho que una función de la inversa de otra, significa que la acción que una de ellas
realiza sobre un número, la otra función elimina esa acción, es decir:
9
Prof. Dr. Raúl F Jiménez
UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
logb(bx )=x , o bien b logb x = x
Sabemos que hay dos bases importantes: e y 10. Los logaritmos con base e se llaman logaritmos
naturales o neperianos y de denotan por lnx. Los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos vulgares
o de Briggs, y se denotan por logx.
Se tienen las siguientes relaciones, que no deben olvidarse jamás.
ln(ex ) = x = elnx .
Ud. puede deducir que el logaritmo se calcula sólo para números positivos y que, para cualquier
base, el logaritmo de 1 siempre es cero, como puede deducirse de la Fig.12.
5
0
5
0
5
10
0
x
10
Figura 12. La función logaritmo
Las propiedades de la función logaritmo de cualquier base, son:
logb (t1 t2) = logb (t1) + logb (t2) , ∀ b>0, b≠1, ∀ tiempo t1 , t2
t
log b  1
t2

 = log b ( t 1 ) − log b ( t 2 ) , ∀ b>0, b≠1, ∀ tiempo t1 , t2

logb (tn) = n log b (t) , ∀ b>0, b≠1, ∀ tiempo t.
Las calculadoras electrónicas de bolsillo tienen incorporado el cálculo de las funciones exponenciales
de base e y 10, y los logaritmos en estas mismas bases. Para calcular el logaritmo en otra base b,
distinta de e y 10, se debe recurrir a la siguiente fórmula de cambio de base:
Supongamos que queremos calcular logb (N), conociendo logax para cualquier x, entonces sea y=
logb(N), de modo que by = N (nuestra incógnita sería y). Tomando logaritmo con base a a esta última
igualdad, resulta
loga (by ) = loga (N),
es decir,
yloga (b) = log a (N)
por lo tanto,
10
Prof. Dr. Raúl F Jiménez
UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
log a N
log a b
Ud. puede usar esta fórmula para a=e o bien para a=10.
y=
EJEMPLOS:
1. Se acepta que el crecimiento de una población de bacterias, durante los primeros instantes, tiene
un comportamiento exponencial. Es decir, si x0 es el población inicial de bacterias, entonces a tiempo
t, el número de bacterias sería:
x(t)= x0ekt
siendo k>0 la tasa porcentual de crecimiento. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la población
se duplique?.
SOL: Desconocemos el valor de t en la expresión
x(t) = 2x0 = x0ekt .
Simplificando x0, queda
2 = ekt
Tomando logaritmo natural en ambos lados de esta igualdad, y recordando las propiedades de las
funciones exponenciales, resulta
ln (2) = kt
es decir,
ln 2
t=
k
En particular, si k= 0,4 para un tipo de bacterias y el tiempo se mide en horas, entonces la población
se duplica en
ln 2
t=
≈ 1,73 horas.
0,4
2. (Tiempo de vida media de una sustancia radioactiva). En un proceso radioactivo simple, se sabe
que el número de átomos que sobreviven en un instante t está dado por:
x(t) = x0e-kt
siendo x0 en número inicial de átomos, y k >0 es la constante de decaimiento.
Se define el tiempo de vida media (t ½ ) de la sustancia radioactiva, al instante en queda la mitad de
la cantidad inicial.
Este valor puede calcularse fácilmente. En efecto,
Desconocemos t en la expresión
½ x 0 = x0e-kt
Tomando logaritmo natural, resulta
0,6931
t½ =
k
3. (Determinación de edad de fósiles). El carbono 14 (C14) es un isótopo radioactivo del carbono
ampliamente usado para fechar fósiles.
El dióxido de carbono en el aire contiene C14 así como C12 , que es un isótopo no radioactivo. Los
científicos han encontrado que la razón C14/C12 en el aire ha permanecido prácticamente constante.
Las plantas vivas absorben dióxido de carbono de la atmósfera, y así la razón C14/C12 en una planta
viva es la misma que hay en el aire. Cuando la planta muere, la absorción del dióxido de C12 en la
plante permanece, mientras que el C14 decrece y la razón C14/C12 decrece exponencialmente.
11
Prof. Dr. Raúl F Jiménez
UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
La razón C14/C12 en un fósil t años después de que estuvo vivo es aproximadamente R(t)=R 0e-kt
ln 2
donde k= 5730
y R0 es la razón C14/C12 en la atmósfera.
Los científicos pueden estimar la edad del fósil comparando R(t) con R0.
Veamos un ejemplo: Un arqueólogo ha encontrado un fósil donde la razón C14/C12 es de la razón
encontrada en la atmósfera. ¿Cuál es la edad aproximada del fósil?.
SOL: La edad del fósil es el valor de t para el cual R(t)= R0=R0e-kt . De donde =e -kt . Tomando
logaritmo natural, resulta
ln( 0,125 )
t=
−k
ln 2
y como k= 5730 , entonces
t=
5730 ln( 0,125 )
= 17 .190 años .
− ln( 2 )
Ejercicios:
1. Un cultivo de la bacteria Escherichia coli crece en un medio de sales inorgánicas y glucosa. La
población inicial es de 106 bacterias por mm3, crece exponencialmente con k= 0,8 y el tiempo se mide
en horas.
a) Hallar una expresión matemática del comportamiento de esta población
b) ¿En qué instante la población se triplica?.
2. Un cultivo de levadura crece a tasa exponencial. La población de este cultivo se duplica al cabo de
3 horas. Hallar la constante de crecimiento k.
3. Un estudiante de Medicina observando el crecimiento de un cierto cultivo de bacterias ha reunido
los siguientes datos:
Número de minutos
0
20
Número de bacterias
6000
9000.
Hallar una expresión matemática que de cuenta del comportamiento en el tiempo de esta bacteria.
4. El radio isótopo I21 con el que se examina el funcionamiento de la glándula tiroides tiene una
constante de desintegración k=0,150. Si se introduce un trazador de 4 unidades de isótopo vía iv,
¿cuál es la vida media de este isótopo?
5. Verifique que la vida media del estroncio 90 es de 28,408 años sabiendo que su constante de
decaimiento es k=0,0244.
6. Si la vida media del radio es de 1690 años. ¿Cuánto tardará una muestra de 50 gramos de radio en
reducirse a 5 gramos?.
7. En el agua común se encuentran iones libres de hidrógeno y oxhidrilo. Denotemos por x e y,
respectivamente, sus concentraciones en términos de moles por litro. Supongamos que xy=10-14 en
una cierta muestra de agua. La acidez se define por log 1x .
a) En esta muestra se encuentra que la acidez es 3,8. Hallar la concentración de iones oxhidrilo
b) Si el rango normal de acidez en la sangre es 7,35 – 7,45. ¿Cuál es el posible rango de
concentración iones hidrógeno en la sangre?.
12
Prof. Dr. Raúl F Jiménez
UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
6. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
Cuando decimos que f es una función, estamos diciendo que f representa una relación entre dos
variables, digamos x e y; variables que son números reales. Cuando hablamos de funciones
trigonométricas, la variable independiente x representa la medida de un ángulo. Es común medir
ángulos en grados, pero necesitamos que estos grados correspondan a números reales. Es decir,
¿podemos medir ángulos de modo que el resultado sea un número real?. La respuesta es sí: la
unidad se llama radián.
Para establecer las equivalencias entre ángulos medidos en grados y en radianes, se parte de la
igualdad:
360 grados = 2π radianes.
Como π ≈ 3,14159, entonces 3600 ≈ 6,28318 (un número real) y así, 1800 ≈ 3,14159; 900 ≈ 1,57079 ,
etc. etc.
Por lo tanto, tenemos el siguiente acuerdo: cuando el ángulo de una función trigonométrica se escriba
con una letra, por ejemplo x, entenderemos que ese ángulo x está medido en radianes.
6.1. Las funciones seno y coseno
Las funciones seno de x (senx) y coseno de x (cosx) tienen una muy importante propiedad: ser
periódicas. Esto significa que la forma del gráfico se repite continuamente cada cierto intervalo. Esto
puede expresar matemáticamente como:
Una función f(x) es periódica de período T si f(x+T)= f(x) para todo número real x.
En Medicina y en Biología hay numerosas funciones periódicas; aunque deberíamos decir casiperiódicas, dado que la longitud del intervalo T pude cambiar levemente. Piense Ud. en una función
que represente la presión arterial, que presentamos en la Fig. 13
pressure (mmHg)
145
140
135
130
125
120
115
23
123
223
time (s)
Figura 13. Cinco pulsos de presión arterial tomados a 1 cm de la válvula aórtica con una tasa
de muestreo de 100 Hz. El período T sería la duración de un ciclo cardíaco.
En la Fig.14, presentamos las gráficos de las funciones seno y coseno; observamos que éstas toman
todos los valores entre –1 y 1, ambas son periódicas de período 2π, pero mientras que el seno en 0
es cero, coseno en 0 es 1. Por la periodicidad, sen(2π)=0 y cos(2π)=1, etc... En π/2 el seno es 1 y el
coseno es 0.
13
Prof. Dr. Raúl F Jiménez
UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
Funciones seno y coseno
sen(t)
cos(t)
Figura 14. sen(t) , cos(t)
6.2 La función tangente:
Se define la tangente de un ángulo t como el cuociente entre sen(t) y el cos(t), es decir,
tg(t)=
sen(t )
,
cos(t )
Figura 15, La función tangente
Observe que la tg(t) no está definida en los múltiplos impares de π/2, pues en esos puntos se anula
cos(t). Además, observe que para ángulos entre 0 y 900 la tangente es siempre creciente y positiva, y
para ángulos entre 900 y 1800 la tangente es negativa y creciente. De este modo la tangente de un
ángulo de 900 y de 1800 es cero.
Otras funciones trigonométricas, de escaso interés en Medicina son: cosecante, secante y
cotangente, que son las funciones recíprocas de seno, coseno y tangente.
14
Prof. Dr. Raúl F Jiménez