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5 Hállense dos números cuya diferencia multiplicada por 5
sea 30, yrcxwa, suma más 4 sea 14.—R, E l mayor es 8; el menor, 2. - b - )
6 Dos números son tales, que los Va del segundo más el primero suman el segundo, y la Va del segundo más 74 del primero dan el primero más 6. ¿Cuáles son estos números?—R. E l
primero, 8; el segundo, S^TvN
7 Hállense dos númerW-cuva suma sea s, j d, la diferencia
3+ ¿
de los números—R. Número mayor,
, número med
I
2
8 Repartióse cierta cantidad en partes iguales entre varias
personas; si hubiese habido 8 personas más, cada una hubiera
recibido 2 ptas. menos que las que le tocaron, y si hubiese habido 2 personas menos, cada una hubiera cobrado 1 pta más.
¿Cuántas eran las personas y cuánto recibió cada una.—Resultado. Eran 12 personas, y cada una recibió 5 ptasr9^
9 La suma de dos números es 48, y el cociente de los mismos, 3 unidades.^Qué números son éstos? - R . E l mayor, 36, y
d menor, 12. (•^• t
10 Las edades de dos personas son, actualmente, entre si,
como 3 es á 2, y 5 años atrás, eran como 11 es á 7. ¿Qué edad
tiene cada una? R. L a mayor tiene 60 años, y la otra, 40 años\~*»~j
I I Hombres, mujeres y niños, en número de 40, han solemnizado la fiesta de Navidad con un modesto banquete, que ha
importado 66 ptas.: cada hombre ha gastado 4 ptas ; cada mujer, 3, y cada niño, 1. Se sabe que el número de niños era triplo
que el de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos había de cada
clase?—R. 6 hombres, 4 mujeres y 30 niñosi " y
12 Tiene Sólita cierto número de monedas en cada mano,
y dice á su amigo Román: «Si quito una moneda de la mano
izquierda y la pongo en la derecha, tengo en ésta doble número que en la izquierda; pero si quito tres monedas de la mano
derecha y las pongo en la izquierda, entonces tengo en ésta doble número que en la derecha. ¿Cuántas monedas tengo en
cada mano?—R. E n la mano derecha, 7 monedas, y en la izquierda,^,
j
15 Él dtíefio de una taberna tiene vino en dos toneles: si
sacase 5 litros del primero y los. echase en el segundo, habría
en éste los litros que antes había en el primero, y si sacase 10 l i tros del segundo y los echase en el primero, entonces quedaría
en el tonel segundo la sexta parte del vino contenido en el primero. ¿Cuántos litros de vino hay en cada toñel?—R. E n él 1.°,
20 litros; en el 2.°, 15 litros, r ^ l
14 Tres Jornaleros han cabrado el trabajo de una semana:
el primero y el segundo han recibido, en junto, 32 ptas.; el segundo y el tercero, en junto también, 43 ptas., y ía suma de lo
-
305 -
cobrado por el primero y el tercero es 39 ptas. ¿Cuánto ha recibido cada uno?—R. E l 1.°, 14 ptas.; el 2.°, 18 ptas.; él 3.°, 25 pesetas, v - : )
15 Un lingote aleación de oro y plata, cuyo peso es 3000
gramos, sumergido en el agua pesa 2798 gramos. ¿Cuántos
gramos de oro y cuántos de plata contiene? (*).—R. Contiene 1940^79 gramos de oro y 1069í621 gr. de plata.-f16 Compró un niño estampas y bolas por valor de 55 céntimos, pagando por cada 4 estampas 5 céntimos, y 10 céntimos
por cada 6 bolas. Dos días después vendió, á razón de cómo había comprado, los 3/5 de las estampas y la tercera parte de las
bolas por 25 céntimos. ¿Cuántas estampas v bolas compró?—Resultado. Compró 20 estampas y 18 bolas.
J
17 Un librero invirtió 1280 ptas. en libretaes y cartapacios,
pagando las libretas á 6 ptas. la docena, y los cartapacios á 4
pesetas el centenar. Para complacer á un compañero, cedióle,
á iguales precios, Vs de sus libretas y los 3/i de los cartapacios
por 300 ptas. Determínese cuántas libretas y cuántos cartapacios compró e l librero.—R. Compró 2400 libretas y 2000 cartapacios.
)
18 Un tabernero tiene vino de tres clases, cuyos precios
son 7, 4 y 3 ptas. el decalitro, respectivamente. Se propone obtener 200 decalitros de mezcla para venderlos á 4 Va ptas. uno,
y desea entren en la mezcla tantos decalitros de la tercera clase como de la primera y segunda juntas. ¿Qué cantidad de vino
deberá tomar de cada clase?—R. 66'667 DI. de la l.3, clase, 33'333 DI. de la 2.a y 100 DI. dé la 3.a 19 Tenemos tres bolsas, cada una de las cuales contiene
cierta cantidad de dinero: si se tomasen 2 ptas. de la segunda
y se pusiese en la primera, habría en la primera doble cantidad
de lo que entonces contendría la segunda; si se sacasen 7 pesetas de la tercera y se pusiesen en la segunda, habría en ésta
9 veces lo que contendría la tercera, y si sacásemos 4 ptas. de
la tercera y las pusiésemos en la primera, quedaría en la tercera la cuarta parte del dinero que contendría la primera. ¿Cuánto hay en cada bolsa?—R. E n la l ? , hay 16ptas.; en la2.&,llpesetas; en la 3*, 9 ptas. —
20 A l autor de este libro, en 1893, un Profesor amigo le preguntó qué edad tenía, y aquél contestó: «El año en que nací le
representa un número de cuatro guarismos, cuyos valores absolutos suman 21; la cifra de sus centenas es igual á la de sus
unidades sumada con la de los millares; el duplo de la cifra de
las unidades es igual á la suma de las decenas, centenas y millares, y la cifra de las decenas vale tanto como la suma de la Va de
(*) L a densidad del oro es 19125K_y la de la plata, 10'47; esto es, 1?'25 gramos de oro, sumergidos en el agua, pierden de peso 1 gramo, y 10'47 gramos
dé plata, en iguales condiciones, pierden también de peso l gramo.
20
— 306 —
la de las centenas con la de los millares. > Averigüese en qué año
nació el autor de este libro y cuántos años tenía en 1893.—Resultado. Nació en el año 1851, y en 1893, tenía 36 años. -f~
Ecuaciones puras y mixtas de segundo
grado
Después de haber preparado cada una de las siguientes
ecuaciones, hállese el valor de su incógnita:
^ — 8 = 892. R. x = 30. —
2 3x2 — 20 = 412. R. x =12.
3 ^ 4 - 1 4 = 2x2 — 67. R. x = 9 . ^
3JC2
4
j_ 8 — 3 =
4x2
5 —
6
7
8
9
10
11
12
13
JC2
— 995.
R. x = 50. »-
x"2
+ A : 2 — 5 = — + 1 0 + x2.
R, x = 5.
-
2 (x2 + 7) = JC8 + 114. R. x = 10. —'
4 (x2 — 3) + 16 = 5 (x2 — 2) — 50. R. x = 8.
3 (x2 4- x'2) — 100 = — 2x2 + 3100. R. x = 20. ^
x2 — lOx = 264. R. x = 22. «
x2 + 4x = 96. R. x = 8. x2 — 20x = — 91. R. x — 13. ^
2x2 + 3x - f 1 = 3. R. x = Va- —
Ox2» — 3x 4-4 = 20x H-82. R. x = 6',->
14 x3 4""~
5
R-v-
30 = lOOx — 2520. R. x = 50.
y
Qv*
15 3x2 — — + 8 = — ^
1- 29858. R. x ==
10n
2 ^ 6 '
16 x2 — 3x = 2 (6 + x) + 2. R. x = 7. 17 x (x — 1) == 120 + x. R. x = 12.-~
18 x (x — 15) = 2 (x — 15). R. x = 2 . ^
19 x (2x — 80) ^ x2 + 24000. R. ¿c = 200.
6
/
31 \
20 2a;2-!
= x l x - \ - — ]. R. x = 6. —
Problemas que dan lugar á ecuaciones
puras o mixtas de segundo grado
1 Determínese la longitud del radio de un cilindro cuyo
volumen es 4*7500992 metros cúbicos, y W20 m. su altura.—Resultado. Su longitud es 0'60 metro\[^s j
2 Si de las tres novenas partes del cuadrado de un nume-
— 307 ro se quitan 800 unidades, resulta 1900. ¿Qué número es éste?
—R. E l número 90.
/
5 ¿Cuál es el número que, multiplicado por vsus 3/5) da de
producto 6615?—R. E l número pedido es i05/™j'}
4 Enrique tiene tanto dinero como los 7^ del que .posee
Luis, y si las pesetas de éste se multiplican por las del primero,
se obtienen 3174 ptas. ¿Cuántas pesetas tiene cada uno?—Resultado. Luis tiene 69 ptas,, y Enrique, 46 ptas. C- /
5 Aumentando un luimero en 4 unidades, y multiplicándole por el mismo número disminuido de 4 unidades, se obtiene
609. ¿Qué número es el de referencia?—R. E l número pedido
es 25. C~-^ )
6 Cklcúiense las dimensiones de la base y altura de un
campo de forma rectangular cuya área es J0800 metros cuadrados, sabiendo, además, que la altura es los 3/4 de la base.^-Resultado. L a base mide 120 metros, y la altura, 90 m e t r o s í ^ J
7 ¿Cuál es el número cuyo cuadrado disminuido en 9247 es .
igual á 20 veces dicho número?—R. E l número pedido es 42A--J
8 Si del triplo del cuadrado de las pesetas que tiene Andres
más el duplo de dichas pesetas, se quitan 240 ptas., resultan
1000 ptas.^cabales. ¿Cuántas pesetas tiene Andrés?—R. Tiene
20 ptas. W
¿ 9 Si al duplo del cuadrado de la edad que tiene un niño
más el triplo de esta edad, se añaden 48 años, resultan 200
años. ¿Cuántos años tiene el niño?—R. Tiene 8 años.r^S
10 Descomponer el número 40 en dos partes, wíles, cu
producto sea 256.—R. L a pai^te mayor es 32, y la menor, 8
11 Las tres cuartas partes del cuadrado del valor de un
bro, más el duplo de este valor, más 1 pta., equivalen á seis
2
veces el valor del libro más los ~ de este valor. ¿Qué precio
tiene el libro?—R. E l precio del libro es 6 p t a s ^ ^
12 Hállese un número tal, que su cuadrado, disminuido
en 5 unidades, sga igual á 4 veces dicho número.—R. Dicho
número es 5.
13 Calcúlese el número cuyo cuadrado, sumado con el duplo y el cuádruple de dicho número, den la suma 135.—R, E l
número pedido es 9.K1) ^
14 El duplo del cuadrado de un número sumado con su*, \
tercio y duplo es 485. ¿Qué número es éste?—R. E l número i5/""~ J
15 Hállense dos números enteros consecutivos cuyo prq,- ^
ducto sea 1056.—R. E l número mayor es 33, y el menor, 32. h**-)
16 Hállense dos números enteros consecutivos tales, que
la suma de sus cuadrados sea 31-3. —R. E l número mayor es 13,
y el menor,
)
17 Hallar otfs números enteros que se diferencien en 4 unidades, y que el producto del imo por el otro sea 1932.—R. E l
mayor 46, y el menor 42
-
308 —
18 El producto de dos números es 63, y 16, la suma de los .
mismos. ¿Qué números son?—R. E l mayor es 9 y el menor, es 7.^—)
19 Siendo 5 la diferencia de dos números y 300 el producto de los mismos, ¿aué números son éstos?—fí. E l mayor es 20,
y el menor, 15. Ks)
20 ¿Cuáles el número que excede á su raíz cuadrada en
132 unidades?—R. E l número 144. k¿l
21 La diferencia de dos números es 14, y 486, la suma de sus
cuadrados. ¿Qué números son éstos?—R. E l mayor es 20, y el
menor, 6. f ^ r )
22 El área de un triáng-ulo es 2480 metros cuadrados, y se
sabe que su altura mide la metros menos que la base. ¿Cuánto
mide la base y cuánto laxaltura?—R. L a base mide 80 metros, y
la altura, 62 metros.
)
23 Determínense las dimensiones de un rectángulo cuya
área es ¿520 metros cuadrados, sabiendo que la base tiene de
longitud 1« metros más que la altura.—R. L a base mide 60 metros, y la altura, 42 metros. (~* \
24 El área de un rectángulo es 1000 metros cuadrados, y
su perímetro mide 140 metros. ¿Cuáles son sus dimensiones?—
n) R. Base, 50 metros; altura, 20 metros. —
^
FIN DEL. ALGEBRA PRÁCTICA
í N D I C K
Abreviaturas usuales en la escritura comercial. . . .
Cambios
fijos
5
6
LECCIONES DE ARITMÉTICA
P A R T E TEÓRICA
Razones geométricas
Proporciones geométricas ó equicocientes
Magnitudes p r o p o r c i o n a l e s . . . . . . . .
Regla de tres
Interés.
<
Interés por divisores fijos, .
Descuento
Vencimiento común de pagos
Repartimientos proporcionales
Compañías. •
•. .
Conjunta. .
Aligación.
, . .
Comisiones. í
Corretajes..
'
Taras
. . . . .
Ganancias ó pérdidas.
Transportes
Seguros
Trueques.
Reducciones
Facturas
Fondos públicos . .
Acciones y obligaciones de sociedades anónimas.
Documentos de cambio y giro.
Letras de cambio
Libranzas
Vales ó pagarés á la orden.
Cartas órdenes
Abonarés.
Cheques.
Cambio nacional.
Protesto de letras.—Cuentas de resaca
.
....
.
.
'. .
. .
•
. . .
• "
•
7
9
14
15
al
27
29
35
36
39
42
43
51
52
53
55
57
59
G2
63
64
69
77
79
80
88
89
90
93
^4
95
102
-
810 —
Págs.
Cambio extranjero.. . . . . ' . . . . . ] . . .
Cuentas corrientes sin interés..
Cuentas corrientes con interés
Imposiciones
,
.
Anualidades
. .
Amortizaciones
Rentas vitalicias.
Falsa posición ó método de las hipótesis
Razones y proporciones aritméticas
.
Progresiones aritméticas.
. . .
.
Progresiones geométricas
Logaritmos
Aplicación de los logaritmos á las cuestiones de interés
compuesto..
Fórmulas que se deducen de las operaciones precedentes.
106
113
116
129
132
136
137
139
143
145
150
153
161
162
P A R T E PRÁCTICA
Razones y proporciones geométricas. .
Problemas de reglas de tres simples. . . . . . . .
Reglas de tres compuestas.
, .
Problemas de interés simple y compuesto. . . . . .
Problemas de descuento
Vencimiento común de pagos. . . , . . . .. ..' . .
Repartimientos proporcionales . . . . . . . . .
Problemas de compañía. .
Conjunta.
Aligación . . . Comisiones
. .
Corretajes
.
Taras.
Ganancias ó pérdidas .
Transportes
Seguros. . . v ~. . . . . . . . .
Trueques
Reducciones
Facturas.—Cuentas de venta y liquido producto. . . . .
Valores, fondos ó efectos públicos
, . .
Documentos de cambio y giro.
. . . .
Cambio nacional sin gastos.—Vencimientos á fecha corta
Cambio nacional con gastos.—Vencimientos á fecha corta
Cambio nacional sin gastos. — Vencimientos á fecha larga
Cambio nacional con gastos.—Vencimientos á fecha larga
Cuentas de resaca
Cambio extranjero sin gastos
•
Cambio extranjero con gastos
. •
Cuentas corrientes sin interés. . . . . . . . . .
Cuentas corrientes con interés. . . . . . . . , .
167
169
173
175
180
184
185
187
190
191
197
198
199
200
201
202
203
204
204
206
209
211
213
215
217
218
220
222
224
225
-
311
Imposicipnes.
Anualidades, amortizaciones y rentas vitalicias.
Falsa posición.
Razones y proporciones aritméticas
Progresiones aritméticas.
Progresiones geométricas
Logaritmos. .
Interés compuesto
. . .
.
.
228
229
230
282
233
235
238
240
NOCIONES DE ÁLGEBRA
P A R T E TEÓRICA
Álgebra
Adición de cantidades algebraicas.
Substracción de cantidades algebraicas
Multiplicación de cantidades algebraicas
División de cantidades algebraicas
Quebrados algebraicos
Elevación á potencias.
..../. . .
Extracción de rafees
Igualdad.—Identidad.—Ecuación
Soluciones imposibles.,
Ecuaciones de primer grado con dos ó más incógnitas.
Eliminación de incógnitas
Ecuaciones de segundo grado con una incógnita. . .
P A R T E PRÁCTICA
.
.
.
,
245
247
248
249
251
255
257
258
259
269
270
271
280
'
Ejercicios y problemas de Álgebra. . . . ; . . . .
Ecuaciones de primer grado con una incógnita. . . .
Problemas que dan lugar á ecuaciones de primer grado
con una incógnita
. . . .
Ecuaciones de primer grado con dos ó más incógnitas. .
Problemas que dan lugar á ecuaciones de primer grado
con dos ó más incógnitas
Ecuaciones puras y mixtas de segundo grado
Problemas que dan lugar á ecuaciones puras ó mixtas de
segundo grado
. . , * . , .
291
295
296
302
303
306
306
Ti
j ó
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