Download Cuadernillo Matemática - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA
2017
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
Objetivos
Bloque 1: Números
- Recordar y aplicar en casos concretos, las
propiedades de las operaciones con números
naturales, enteros y racionales.
- Mejorar las técnicas de resolución de problemas
aritméticos.
- Recordar las relaciones entre las expresiones fraccionaria y decimal de un número.
- Mejorar el conocimiento de las posibilidades prácticas de la calculadora y utilizarla
como medio de indagación de propiedades numéricas.
- Identificar números irracionales.
- Adquirir destreza en el manejo de números reales.
Bloque 2: Álgebra
- Mejorar el trabajo operativo con expresiones algebraicas a partir del conocimiento de
los distintos conjuntos numéricos.
- Resolver ecuaciones.
- Mejorar las técnicas de resolución de problemas.
- Adquirir destreza en el manejo de expresiones algebraicas.
- Descomponer polinomios en factores, en casos sencillos.
Bloque 3: Funciones
- Recordar la idea de función y manejar su terminología básica.
- Reconocer y designar los aspectos más importantes de una función (crecimiento,
continuidad, máximos y mínimos).
- Interpretar funciones a partir de sus gráficas y graficar funciones descriptas por un
enunciado.
- Relacionar gráficas y expresiones analíticas de funciones.
Objetivos
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
Cronograma de actividades
Las horas presenciales se distribuirán en 8(ocho)
encuentros de 2 horas cada uno, a desarrollarse en las
tres semanas previas al inicio del primer cuatrimestre.
Un cronograma tentativo de los encuentros previstos es el siguiente:
Fecha
15/02 al 17/02
20/02/17
22/02/17
Bloque
24/02/17
2
27/02/17
01/03/17
03/03/17
2
2
3
06/03/17
3
08/03/17
10/03/17
3
1a3
1
1
Carga Horaria: 16hs.
Cronograma
Contenidos – Actividades
Actividades y tareas en el curso online, ambientación.
Números naturales, enteros y racionales – Operaciones.
Números reales. Propiedades y operaciones.
Introducción al álgebra. Identidades. Expresiones algebraicas.
Polinomios. Operaciones. Factorización.
Ecuaciones e Inecuaciones.
Sistemas de ecuaciones.
Función. Interpretación de gráficas, dominio, caracterización.
Notación, distintas expresiones, valor numérico de una
función.
Función lineal y cuadrática.
Evaluación online.
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
BLOQUE 1: Números
Objetivos
-
-
Recordar y aplicar en casos concretos, las
propiedades de las operaciones con números
naturales, enteros y racionales.
Mejorar las técnicas de resolución de problemas
aritméticos.
Recordar las relaciones entre las expresiones
fraccionaria y decimal de un número.
Identificar números irracionales.
Adquirir destreza en el manejo de números reales.
Santa Rosa es la capital de La Pampa y la ciudad cabecera del Departamento
Capital. Constituida por 62 barrios, está situada geográficamente en el centro
del país, en un contexto de transición, entre la estepa templada y estepa seca
(la pampa seca y la pampa húmeda).
Contaba en el año 2001 con un área metropolitana de 102399 habitantes,
siendo 94340 habitantes de la capital provincial y de Toay, los 8059 habitantes
restantes, lo que hace a esta área es la 26º aglomeración de la Argentina,
según el censo nacional del 2001. El censo 2010 arrojó 124101 habitantes para
el conglomerado gran Santa Rosa compuesto por su ciudad satélite Toay y
alrededores.
La ciudad ocupa parte de una cuenca centrípeta que tiene su nivel de base en
la Laguna Don Tomás, hacia donde drenan las aguas pluviales del área
circundante. La superficie edificada se extiende al oeste de la misma, en
terrenos ondulados donde las mayores alturas se encuentran en el este, con dos
pequeñas mesetas ubicadas a 200 msnm. Este borde elevado se observa
también al norte, con alturas de hasta 195 msnm. Desde aquí el relieve
desciende hacia el oeste y el sur, con pendientes que en algunos sectores son
pronunciadas, ya que superan el 3%. El sector sudoeste es la zona más baja y
menos ondulada, descendiendo a 167 msnm.
El clima pampeano es templado con un promedio en enero de 24 °C con
máximas absolutas de hasta 31 °C y una media de 3 °C en julio; si bien puede
bajar hasta -8 °C. Las precipitaciones anuales son 685,8 mm. La temperatura
media anual es de 13 °C y la humedad relativa promedio anual es de 68 %.
En este texto tomado de Wikipedia (2015), se hace referencia a cantidades numéricas
expresadas de distintas maneras. Es fácil observar que los números aparecen naturalmente en
diferentes actividades de nuestra vida cotidiana. En este primer bloque analizaremos los
distintos conjuntos numéricos que se presentan en la matemática elemental.
Bloque 1: NÚMEROS
Pág. 1
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
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Problema:
Este es el suelo de una habitación:
-
-
-
¿Cuántas baldosas enteras
hay?
Cada baldosa mide 33cm de
lado, si las que acabas de
contar las pusieras en fila,
una detrás de otra, ¿qué
longitud se alcanzaría?
¿Qué dimensiones tiene el
suelo de la habitación? (No
olvides los trozos de
baldosas cortadas en el
borde, para una mejor
aproximación).
¿Cuál es la superficie del suelo?
Si la altura de la habitación es 2,60m., ¿cuál es su volumen?
¿Cuánto costaría pintar las paredes y el techo a $35 cada m2?
¿Cuántos cuadrados se pueden señalar a partir de los vértices de las
baldosas? (utilizamos sólo una porción del suelo, ya que en el total
sería una cantidad enorme).
En general:

Números para contar
Contamos cantidad de estudiantes en una clase, cantidad de días que faltan para el invierno, el
número de habitantes de una ciudad, entre otros…
Los números utilizados para contar la cantidad de elementos de un conjunto no vacío son los
números naturales. Los números naturales son infinitos y el conjunto de todos ellos se
representa con la letra N.
A veces, para contar, se requieren cantidades negativas: para nosotros, el año -320 es el año
320 antes de Cristo; un saldo en la cuenta del banco de -580 indica que se deben 580 pesos,
etc.
Los números enteros negativos junto con los números naturales y el 0 forman el conjunto de
los números enteros. Dicho conjunto se representa con la letra Z.
Bloque 1: NÚMEROS
Pág. 2
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA

2017
Números para expresar medidas
Medir es relacionar dos magnitudes del mismo tipo. Si decimos que el volumen de la Luna es
1
el de la Tierra, estamos midiendo la Luna tomando como unidad el volumen de la Tierra.
50
El resultado de una medición no suele ser un número entero. Por eso, para expresar medidas,
se requiere un tipo de números que admita “trozos de unidad”: los números racionales. Por
ejemplo, “Las precipitaciones anuales son 685,8mm…”, “La superficie de la habitación es de
25,6m2…”, “Le ha correspondido los
2
5
de la herencia…”, “Tiene una temperatura de
37,6ºC…”, son medidas expresadas con números racionales.
También los números enteros son racionales, “La superficie de cada baldosa es de
1089cm2…”, “El agua hierve a 100 ºC…” son medidas expresadas con números enteros.

Números para calcular
Los números, además de utilizarse para expresar cantidades y medidas, también sirven para
operar con ellos; es decir para calcular ciertas cantidades a partir de otras conocidas, ésta es la
mayor de sus ventajas.
El estudio de las propiedades de las operaciones con números aporta métodos de cálculo más
cómodos y eficaces. Este es el motivo por el que se le dedica tanta atención y trabajo. En este
tema vamos a repasar propiedades numéricas, seguramente conocidas, con el objeto de
mejorar destrezas en el campo numérico.
NÚMEROS NATURALES
Los números naturales son, como ya se sabe, 1, 2, 3, …, 10, 11, …, 100, 101, … infinitos.
Están ordenados, lo cual nos permite representarlos sobre una recta del modo siguiente:
El origen, es el número 0 que también puede ser incluido entre los números naturales, en ese
caso, el conjunto de los números naturales con el 0 se denota N 0 .
Los naturales se pueden sumar y multiplicar y el resultado de esas operaciones es, también, un
número natural. Sin embargo no ocurre lo mismo con la resta y con la división.
Bloque 1: NÚMEROS
Pág. 3
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
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Propiedades de la suma y de la multiplicación
La suma y el producto de números naturales son asociativas, conmutativas y tienen elemento
neutro. Además, el producto es distributivo respecto de la suma.
Propiedad
Suma
Producto
Asociativa
a  b   c  a  b  c 
a  b   c  a  b  c 
Conmutativa
ab ba
a b  b  a
Existencia de elemento neutro
a0a
a 1  a
Distributiva del producto respecto de la suma
a  b  c   a  b  a  c
Ejemplos y reglas prácticas
Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa podemos efectuar largas sumas con
facilidad, modificando el orden y asociando los sumandos según convenga. Por ejemplo en la
suma 40  18  60 , notamos que 40  60  100 y procedemos mentalmente de la siguiente
manera: 40  18  60  40  60  18  118 .
La propiedad distributiva permite, según convenga, realizar diversas estrategias:
-
Sacar factor común:
-
Agrupar términos semejantes:
-
Eliminar paréntesis:
23  4  23  6  23 12  23  4  6  12  23  22
3x  4 y  11x  9 z  5 y  3  11  x  4  5  y  9 z 
 14 x  9 y  9 z
4  3  2 x  5 x 2   4  3  4  2 x  4  5 x 2 
 12  8 x  20 x 2
Jerarquía de operaciones y uso de paréntesis
Es importante recordar que, en las expresiones a  b  c y a  b  c , la multiplicación se ejecuta
antes que la suma. Cuando queremos dar prioridad a la suma es necesario indicarlo con un
paréntesis, por ejemplo: a  b  c  ó a  b   c .
Bloque 1: NÚMEROS
Pág. 4
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
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Actividad:
Escribir un ejemplo numérico de cada una de las propiedades y verificar que se
cumple la igualdad en cada uno de esos casos concretos.
Otras operaciones
División
La idea de división de números naturales es la de reparto. La división 100  5  20 se
interpreta como un reparto de 100 elementos (dividendo) entre 5 partes (divisor), de manera
que a cada parte le corresponden 20 (cociente). Cuando con el reparto terminamos con todos
los elementos disponibles, como es este caso, la división se llama “exacta”. Cuando no es
posible un reparto exacto y sobran algunos elementos, la división se llama “entera”. En ella,
además de un cociente, se obtiene un resto.
Por ejemplo, al repartir 100 entre 7, obtenemos de cociente 14 (a cada parte le corresponden
14 elementos) y de resto 2 (quedan 2 elementos sin repartir).
Potenciación
Una potencia de números naturales es, en definitiva, una multiplicación reiterada. Por
ejemplo, 2 5  2  2  2  2  2 .
Algunas de las propiedades de la potenciación se obtienen sencillamente a partir de la
definición dada.
n
1)
m
a ⋅a =a⋅a⋅…⋅a⋅a⋅a⋅…⋅a =a⋅a⋅a⋅…⋅a =a
m veces
n veces
m+ n
m+ n veces
2) a n  b n  a  b n
3)  a m   a mn
n
Actividad:
Justificar 2) y 3) mediante un método similar al utilizado en 1).
Bloque 1: NÚMEROS
Pág. 5
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
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Radicación
Las raíces cuadradas, cúbicas, cuartas, etc, se conciben, en cierta forma, como una manera
diferente de expresar resultados de potencias.
16  4
porque 4 2  16 ;
3
216  6 porque 6 3  216 ;
4
625  5 porque 5 4  625 .
Cuando un número no es un cuadrado exacto su raíz cuadrada carece de sentido si nos
movemos dentro de los números naturales. Análogamente diríamos de las raíces cúbicas,
cuartas, etc.
Actividad:
1) Quitar paréntesis y reducir:
a) x 3 
c) 3 x  3 x  3 x 
b)  x  y  z 4
4
d) 2a 2  b 
3
e) a 3   a 2   a
2
5
2) Calcular:
a) 33  23  53
b) 2 3 
2
2
c) 2 3 
d)
3
3372
e)
6
1000000
NÚMEROS ENTEROS
Una importante deficiencia de los números naturales es que no es posible restar ni dividir con
ellos con la certeza de obtener otro número natural, salvo en algunos casos. Por esta razón se
define el conjunto de los números enteros. Este conjunto se representa por Z e incluye a los
números naturales y a “sus negativos”. Con ellos, además de sumar y multiplicar, se puede
restar con la seguridad de que el resultado siempre será un número entero.
Los números enteros se pueden representar sobre una recta del siguiente modo:
Esta forma de representarlos en la recta supone el siguiente criterio de ordenación:

Los naturales, es decir el cero y los enteros positivos, ya están ordenados.

Todos los números naturales son mayores que los enteros negativos.

Si un número natural,
Bloque 1: NÚMEROS
a , es menor que otro,
b , entonces
 a es mayor que
b.
Pág. 6
INTRODUCCIÓN A LA
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Valor absoluto de un número entero
El valor absoluto de un número es la magnitud del mismo si prescindimos de su signo. Se
escribe: x y se define del siguiente modo:

El valor absoluto de un número natural es él mismo:

El
valor
b  b;

absoluto
 3  3;
de
un
número
a  a;
5  5;
negativo
es
0 0
su
opuesto:
 15  15 .
Gráficamente, la idea de valor absoluto de un número es la de su distancia al 0.
4  4
3 3
Propiedades de las operaciones con números enteros
El conjunto de los números enteros se ha construido de tal modo que se conserven todas las
propiedades de los números naturales y, además, tengan una nueva: Todo número entero tiene
un opuesto que, sumado con él, resulta 0, a    a   0 . Esta propiedad es la que hace que la
resta entre enteros siempre sea posible, pues restar un número entero es sumar su opuesto:
a  b  a    b .
Propiedad
Suma
Producto
Asociativa
a  b   c  a  b  c 
a  b   c  a  b  c 
Conmutativa
ab ba
a b  b  a
Existencia de elemento neutro
Es el 0, pues a  0  a
Es el 1, pues a 1  a
Existencia de elemento simétrico
El opuesto de a es –a
No tiene
pues a    a   0
Distributiva del producto respecto de la
suma
a  b  c   a  b  a  c
Bloque 1: NÚMEROS
Pág. 7
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Ejemplos y reglas prácticas
Recordemos algunas reglas para operar con números enteros:

Para sumar números positivos y negativos, agrupamos unos y otros, restamos los
resultados y ponemos el signo del que tenga mayor valor absoluto, por ejemplo:
7    5    11  15    17   3  7  15  3   5  11  17  25   33  8

Si un paréntesis va precedido del signo menos, se puede suprimir cambiando el signo
de todos los sumandos que haya dentro. Por ejemplo:
3  5  8   4  13  6  11    3  3  5  8  4  13  6  11  3 
 3  8  13  11  3  5  4  6  
 38  15  23

En la multiplicación de números enteros, se verifica la “regla de los signos”.
Signos que se multiplican
Signo del resultado
Ejemplo
  

5  7  35
  

4   3  12
  

  5  4  20


  5    3  15
Preguntas:

¿Existe un número entero que sea mayor o igual que todos los demás?, ¿y menor o
igual que todos los demás?

¿Cuántos números enteros existen entre los números consecutivos 3 y 4?, ¿y entre -7
y -6?, ¿y entre n y n+1?

¿Cuántos números enteros existen entre 3 y 10?, ¿y entre -3 y 8?, ¿y entre 22 y 56?, ¿y
entre -15 y 31? ¿es posible calcular la cantidad de números enteros entre dos números
enteros dados a y b?
Actividad:
Efectuar las siguientes operaciones:
1) 3   2    8   4   1
Bloque 1: NÚMEROS
Pág. 8
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2) 10   2   7    20    4    5   5
3) 32  4 2  8   2 5
4) 4 2  2  1  8 2  2  25
NÚMEROS RACIONALES
Números fraccionarios
Para medir suele ser necesario fraccionar la unidad. De aquí surge la idea de número
fraccionario: la mitad, la quinta parte, la milésima parte…de la unidad. Las fracciones son las
expresiones numéricas de los números fraccionarios.
Son números fraccionarios:
1 3 4 1
125
; ; ;
;
2 5 7 100 1000
En todas estas fracciones el numerador es menor que el denominador y, por tanto, son partes
de la unidad.
También son fraccionarios los números
7
1 23
3
 3 ;
 4  . Cada uno de ellos se compone
2
2 5
5
de varias unidades enteras más una fracción de la unidad.
Asimismo son fraccionarios los números representados por fracciones negativas.
El conjunto de los números racionales
El conjunto formado por los números enteros y todos los fraccionarios se llama conjunto de
los números racionales y se designa por Q.
Todos los números racionales se pueden expresar como fracciones, es decir, como
cociente de dos números enteros: los fraccionarios ya vienen dados así y los enteros pueden
escribirse con denominador unidad.
Ahora bien, cada número racional se puede expresar mediante muchas (infinitas) fracciones:
3
6
9


  De ahí la importancia de establecer un criterio que permita reconocer
5 10 15
cuándo dos fracciones representan al mismo número racional.
Bloque 1: NÚMEROS
Pág. 9
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
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Simplificación de fracciones
Si el numerador y el denominador de una fracción se pueden dividir por un mismo número, al
hacerlo se dice que se ha “simplificado” o “reducido” la fracción. La nueva fracción obtenida
se dice que es equivalente a la primera, pues ambas representan al mismo número racional.
Por ejemplo:
15 3
 ;
25 5
8
4
2
2


 ;
 12  6
3
3
3000 2

4500 3
Cuando una fracción no se puede reducir más, diremos que es una fracción irreducible.
Se dice que dos fracciones son equivalentes cuando ambas se simplifican dando lugar a la
misma fracción irreducible, dicha fracción irreducible se toma como expresión habitual del
correspondiente número racional. Por ejemplo, como
15 3
 63
3

 , las fracciones
y
25 5
 105 5
15
 63
y
son equivalentes y representan al mismo número racional que, habitualmente,
 105
25
se designa mediante la fracción
3
.
5
Comparación de fracciones
Si dos fracciones tienen distinto denominador son difíciles de comparar, por eso, para
comparar fracciones es conveniente reducirlas a un denominador común, es decir, buscar
fracciones respectivamente equivalentes a ellas y que tengan el mismo denominador. Este
denominador común debe ser un múltiplo común de los denominadores de partida,
preferiblemente el mínimo común múltiplo de ellas.
Por ejemplo, para comparar
5 4
3
;
y
, como el mínimo común múltiplo de los
6 5
4
denominadores es 60, es conveniente buscar fracciones equivalentes a ellas con este
denominador.
60  6 10 
5 5 10 50


6 6 10 60
60  5 12 
4 4 12 48


5 5 12 60
60  4 15 
3 3 15 45


4 4 15 60
Ahora que tienen el mismo denominador basta comparar los numeradores y
Bloque 1: NÚMEROS
5
4
3

 .
6
5
4
Pág. 10
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
Actividad:
1. Comparar mentalmente cada pareja de racionales:
a)
3
4
y
4
3
b)
6
7
y
8
8
c) 1 y
2. Ordenar de mayor a menor:
6
5
d)
3
6
y
5
10
e) 3 y
11
2
7
4 5 3 13
;
;
:
;
.
12 6 9 4 18
Representación en la recta
Los números fraccionarios pueden ser representados en la recta junto a los enteros:
1
5
10
3
23
3

 1
 4
2 tendrían todos 3
de este modo se
los números7racionales.7 Éstos se aglomeran
5
en la
5 recta

de tal manera que, entre cada dos de ellos, hay otros infinitos. Pero, a pesar de tal
aglomeración, en la recta aún caben infinitos números no racionales, como se verá a
continuación.
Actividad:
¿Cuáles son los números racionales a, b, c y d representados en la siguiente
construcción?
a
b
c
d
Preguntas:
1) ¿Existe un número racional que sea menor o igual que todos los demás?, ¿y mayor o
igual que todos los demás?
2) Es posible hallar un número racional entre
y
2
4
2
3
7
y
?, ¿y entre
y
?, ¿y entre
5
5
3
3
7
8
?. ¿Puede hallarse más de un número racional con esta propiedad?, ¿qué se
3
concluye?
Bloque 1: NÚMEROS
Pág. 11
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
Suma de números racionales
Recordemos que los números racionales se pueden representar mediante fracciones. Sumar
fracciones con el mismo denominador es una tarea muy fácil: se suman sus numeradores y se
mantiene el denominador.
Para sumar fracciones con distinto denominador es suficiente transformarlas en fracciones
equivalentes con el mismo denominador. Por ejemplo:
3 4 5 45 48 50 45  48  50 143
  




4 5 6 60 60 60
60
60
2
2 15 17
5 

3
3 3
3
Puesto que una vez reducidas a un denominador común, la suma de fracciones se limita a la
suma de sus numeradores (números enteros), las propiedades de la suma de números
racionales son las mismas que las de la suma de enteros.
Actividad:
Enunciar las propiedades de la suma de números racionales y comprobarlas en
algunos casos concretos.
Producto de números racionales
La cuarta parte de la tercera parte de algo es su doceava parte:
1 1
1
 
3 4 12
Razonando de manera análoga se puede ver que
2 5 2  5 10
 

.
3 4 3  4 12
El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo denominador es el producto de sus
denominadores y cuyo numerador es el producto de sus numeradores:
a c ac
 
.
b d bd
El producto de números racionales tiene todas las propiedades del producto de números
enteros y una nueva:
Bloque 1: NÚMEROS
Pág. 12
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
Todo número racional
2017
a
b
a b
, salvo el 0, tiene un inverso
tal que:   1 .
b
a
b a
La existencia de inverso permite dividir fracciones:
a c a d ad
   
b d b c bc
El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la inversa de la segunda.
Actividad:
1) Enunciar las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva para el
producto de números racionales y comprobarlas en algunos a casos
concretos.
2) Identificar las propiedades que se aplican al efectuar las siguientes
simplificaciones:
14 2 30  14 30  2 20 2
 
    
 8
3 5 7  3 7  5 1 5
Potenciación
Ahora que el cociente de dos números enteros,
a
, tiene sentido como número racional, es
b
posible ampliar las propiedades de las potencias cuando el exponente es un número natural
positivo.
Propiedades de las potencias con exponente entero positivo
Si
m y n son números naturales distintos de 0, se verifica que:
1. a m  a n  a mn
m
4. Si m  n, a n  a mn
a
2. a n  b n  a  b n
3.
a 
m n
a
mn
Bloque 1: NÚMEROS
n
 
5.   
a
b
an
bn
Pág. 13
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
Actividad:
Justificar las propiedades 4 y 5.
Observación: Si la propiedad 4 fuera válida, no sólo cuando m  n , sino también cuando
m  n , se tendrían los siguientes resultados que nos sirven para definir potencias de números
enteros:
an
an
nn
0

a

a
 1 entonces a 0  1 .
y
como
an
an

Si m  n,

1 a0

 a0 n  a  n .
an an
Definición de potencia con exponente entero
Si a  0 y n es un número entero, definimos a n :
a⋅a⋅…⋅a

Si n  0 ,

Si n  0 , a 0  1 .
n veces
y
an 
1
.
an
Productos notables
Algunas relaciones se usan frecuentemente en cálculos numéricos y algebraicos, por ese
motivo las mencionamos y ejercitamos.

a  b 2  a 2  2ab  b 2 (cuadrado de una suma)

a  b   a  b   a 2  b2 (suma por diferencia)
Ejemplos:
2
2
1) a  3  a  6a  9
2)
a  52  a   52  a 2  10a  25
2
3) a  3  a  3  a  9
Bloque 1: NÚMEROS
Pág. 14
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
2
9
3 
3
3

2
2
4) 4 x  4  2 x    2    2 x  2    2 x  2 
2
b2
b 
b
b
100

 4b  10 2     2 10   10  
5)
25
5 
5
5
2
Es importante recordar que no es conveniente aplicar estas relaciones cuando la operación que
hay dentro del paréntesis se puede realizar. Por ejemplo:
2
2  7 2  9 2  81
2
x
49 2

7 
x
 3x     x  
2
4

2 
;
Actividad:
1) Suprimir paréntesis:
b

a)  a  2 


2
2

b) 1  3 


2
2
c) 3 x  4 
x

1  x
 
1
d)  3  2    3  2 

2) Expresar como producto:
2
2
a) 4a  12ab  9b
d)
4x 2 1

25
9
9x2
1
c)
16
2
b) t  6t  9
1
12
e) y 2  y  36
1
2
f) x  2  x 2
3) Descomponer en factores el numerador y denominador y, si es posible,
simplificar:
10ab  5ac
a) 14b 2  7bc
x2  y2
b) x 2  2 xy  y 2
12a 2  3
c)
24a 2  24a  6
4  9m 2
d)
10  15m
Expresión decimal de un número racional
Todo número racional puede expresarse como un número decimal exacto o periódico.
Ejemplos:
1
 0,5
2
Bloque 1: NÚMEROS
es decimal exacto
Pág. 15
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
1
 0,3333...  0,3̂
3
es periódico puro, cuyo período es 3

74
 6,727272...  6, 72
11
es periódico puro, período 72
19
 3,1666666...  3,16̂
6
es periódico mixto, cuya parte decimal tiene una cifra no
periódica que es 1 y otra periódica que es 6
Para comparar números racionales suele utilizarse, por comodidad, su expresión decimal. Sin
embargo, cuando se trata de expresiones periódicas, es conveniente utilizar fracciones para
evitar el redondeo y lograr una mayor exactitud.
Para pasar de la expresión fraccionaria a la expresión decimal es suficiente con realizar la
división de numerador y denominador.
Para convertir una expresión decimal en una fracción será necesario considerar algunas reglas
prácticas que se resumen en el siguiente cuadro:
Expresión
Regla (para decimales con parte entera 0)
En el numerador se colocan todas las cifras
Decimal
Exacta
y en el denominador se coloca 1 seguido de
tantos ceros como cifras tenga la parte
Ejemplos generales
0,25 
25
100
2,367 = 2+
367
2367
=
1000 1000
decimal.
En el numerador se colocan todas las cifras
Decimal Periódica
Pura
y en el denominador se colocan tantos
nueves como cifras tenga la parte periódica.
42
99
5 32
3,555...  3  
9
9
0,424242... 
En el numerador se coloca la diferencia
entre la parte decimal y la parte decimal no
Mixta
periódica. En el denominador se colocan
0,75252... 
752  7 745

990
990
tantos nueves como cifras tenga la parte 1,17444...  1  174  17  1057
900
900
periódica seguidos de tantos ceros como
cifras tenga la parte no periódica.
Bloque 1: NÚMEROS
Pág. 16
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
Actividad:
1) Justificar las reglas dadas en el cuadro anterior. El ejemplo siguiente
puede orientar el trabajo:
52 
745
745

0,75252...  7,5252...  10   7 
 10 
  10 
99 
99
990

2) Calcular mentalmente un número decimal equivalente a cada una de las
siguientes fracciones:
1 3 2 1 1 3
; ; ; ; ;
2 4 5 4 5 2
3) Si es posible, expresar cada uno de los siguientes números decimales en
una fracción:
25,8̂
4,25
3,030030003
0,001̂

3, 58
NÚMEROS REALES
Números irracionales
El número decimal 37,51551555155551... no es exacto ni periódico. No se puede poner en
forma de fracción y, por tanto, no es un número racional.
Lo mismo sucede con las expresiones decimales de
números a los cuales se los denomina irracionales.
El número
2,
3
,
 entre otros muchos

El número  es muy conocido y se utiliza para calcular la longitud de una circunferencia o la
superficie de un círculo conociendo su radio. La expresión que de él se suele utilizar en la
escuela elemental es 3,14 ó 3,1416 lo cual es razonable ya que son buenas
aproximaciones de  .
Sin embargo

es un número irracional y, por tanto, su expresión decimal es infinita:
3,1415926535... Los griegos, que en un principio creyeron que era racional, sospecharon
más tarde que podía no serlo. Sin embargo fue en el siglo XVIII cuando se consiguió probar
su irracionalidad.
Radicales
La raíz cuadrada de un número natural, si no es entera, es irracional. Otro tanto ocurre con las
raíces de índice superior. Por tanto, son irracionales los siguientes números:
Bloque 1: NÚMEROS
2,
3
,
5,
Pág. 17
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
…, 3 2 , 4 2 , 5 2 , …, n k , salvo que k sea una potencia n-ésima exacta. También son
irracionales, por ejemplo, la suma o diferencia entre radicales: 5  3 , la suma de un entero
y un radical: 5  5 , entre muchísimos otros casos.
Los números reales
El conjunto formado por los números racionales y los números irracionales se llama conjunto
de números reales y se designa por R. Es decir que todos los números considerados hasta el
momento son números reales.
Con los números reales se pueden realizar las mismas operaciones que se hacen con los
racionales: suma, resta, multiplicación y división (exceptuando al cero como divisor) y estas
operaciones tienen las mismas propiedades en R que en Q.
Con los números reales se pueden extraer raíces de cualquier índice (salvo raíces de índice par
de números negativos) y el resultado sigue siendo un número real. Eso no ocurre con los
números racionales.
Pero la principal mejora que aportan los reales es que “llenan la recta”. Sabemos que los
números racionales se ubican en la recta de manera que en cualquier tramo de ella hay
infinitos racionales, sin embargo, aún quedan “huecos” que se completan con los números
irracionales.
Para representar un número irracional en la recta se utiliza el Teorema de Pitágoras. En la
figura se observa la representación de los irracionales 2 en el punto D y 10 en H.
En el primer caso, se considera el triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden 1, por el
teorema de Pitágoras: 12  12  hipotenusa 2 , por lo cual la hipotenusa mide 2 y, utilizando
el compás se traza esa medida en la recta. De manera análoga se traza 10 , utilizando
catetos de medida 3 y 1.
Actividad:
Escribir un número racional y otro irracional comprendidos entre M y N
indicados, en cada caso:
a) M 
Bloque 1: NÚMEROS
1
1
, N
2
3
Pág. 18
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
b) M  0,234 , N  0,235

c)

M  0, 31 ,
N  0, 32
Propiedades de los radicales
Se indican algunas propiedades útiles para operar con radicales, las mismas son consecuencia
inmediata de conocidas propiedades de las potencias.
1)
np
2)
n
ap  n a
n
3)
n
n
ab  a  b
a

b
n
n
a
b
4)
 a
5)
m n
n
p
 n ap
a  m n a
Observación:
La raíz enésima de un número se puede poner en forma de potencia:
n
a a
1
n
pues
 a
n
n
a y
 1n
a


n
n

  an  a.


Ejemplos de aplicación:

Para comparar
índice. Esto es,
deduce que
3
103 y
3
22 se trata de expresar ambos radicales con el mismo
103  32 1032  6 10609 y
22  23 223  6 10648 ; de donde se
22  3 103 .

Para extraer factores fuera de la raíz: 3 32  3 8  4  3 8  3 4  23 4 o bien para juntar
varios radicales en uno solo: 5  2  10 .

Para realizar sumas de radicales:
8  18  4 2500  23  32  2  4 54  22 
 22  2  32  2  4 54  4 22 
 2  2  3  2  5  22 22 
 2  2  3  2  5  2  10 2
Bloque 1: NÚMEROS
Pág. 19
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
Actividad:
1) ¿Cuál es mayor,
2) Simplificar
10
4
31 o
3
13 ?
a 4  b 6  28
3) Resolver:
a)
5 x 2 x 
c)
e)
50a 

d)
18a
27  18

2
g) 4 4  8  6 8  4 64 
Bloque 1: NÚMEROS
b)
x
f)
27  50  12  8
125  180
3 5
7 75 8 98

3
2
9
2
Pág. 20
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
BLOQUE 1: Números. Trabajo Práctico
1. Calcular:
a) 5   3   2  4  6  3  6  4
b) 5  8  2  3   4   6  2  7 
h)  2 4
2  6   7  4  3  8  5  8  5
i)
 23
d) 24   2 2 :  43

j)
2 3
a 2  b  c 
e)
ab 3  c
k)  2 3
3  10 
m)  127
c)

2
f)
l)
2 10
 116
g)  2 4
2. Describir con claridad la diferencia entre estas dos expresiones:
abc
y
a  b  c 
3. Calcular mentalmente:
a)
e) 12% de mil
4
de 21
3
f)
5
b)
de 10
2
c)
2
de una hora
3
g) 2,35  100
3
de 1 millón
10
h) 0,2  4
i)
4
d)
de cien mil
20
0,13
4. Calcular el punto medio entre cada uno de estos pares de números racionales:
a) 0 y 1
b)
1
y1
2
c)
1
3
y
2
4
d)
1
5
y
2
8
Representar esos números en la recta numérica.
5. Escribir un número que esté comprendido entre cada par de decimales:
a) 0,6 y 0,8
e) 2,346 y 2,348
b) 0,7 y 0,8
f) 3,459 y 3,46
c) 1 y 0,9
g) 3,21 y 3,2101
d) 1 y 0,99
h) 3,045 y 3,0045
Bloque 1: NÚMEROS. Trabajo Práctico
Pág. 1
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
6. Ordenar de menor a mayor los siguientes números decimales:
 2,090;  2,1;  2,091;  2,0901;  2,092; 3,001; 3,009; 3,09; 3,0012
7. Un auto consume 9,3 litros de nafta cada 100km recorridos, si recorre 450km, ¿cuántos
litros de nafta gasta?, ¿cuánto cuesta el viaje a $15,77 por litro?
8. El 50% de una cantidad equivale a
1
de la misma, ¿qué fracción equivale al …?
2
a) 75%
c) 30%
e) 150%
g) 220%
b) 25%
d) 16%
f) 8,5%
h) 85%
9. ¿Cuántos números de tres cifras decimales hay entre 0,25 y 0,29 ?
10. Si se desea calcular el 14% de una determinada cantidad, ¿qué operación se debe realizar?
Ejemplificar y enunciar un procedimiento.
11. Se consumieron los
2
1
de un tanque de agua y luego
del total. ¿Qué parte se gastó y
3
5
qué parte queda aún sin consumir?
12. Un tambero decide repartir sus 39 vacas entre sus hijos, al mayor le dejará la mitad, al
segundo
1
1
1
, al tercero
, y al menor
de sus vacas. ¿Cuántas le corresponden a cada
4
8
10
uno?
a) ¿Tiene sentido el problema?
b) Extraer conclusiones
c) Redactar un problema modificando los datos de manera que tenga solución.
13. Ubicar el 0 en las siguientes rectas numéricas:
a)
b)
c)
Bloque 1: NÚMEROS. Trabajo Práctico
Pág. 2
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
14. Escribir fracciones equivalentes a las dadas cuyo denominador sea 60. Analizar los
inconvenientes que surjan.
1
4
9 3 13
4
7
9
;
;
;
;
;
;
;
2
3
5 8 10 15 20
25
15. Resolver mentalmente trabajando con fracciones equivalentes con el mismo denominador.
a) 1 
b)
4
3
1 5

2 6
c)
3 2
 2
4 5
d)
3 1 2
 
4 2 3
16. Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:
1 4
x   16 x 5 
2

a) 
b)
e)
2 x 
2 3
4 x4
3 y   2 y   y 
y 
2 2
3
c)
1
32
f)
3 0
3 x y 
d)  0 3 
x y 
4
3
5
1
 25  7 4
1
1
a2
3
 b2
  x  12
1
b2
  x  1
a   b   c
a   b  c
5 2
2
5
 74
3
32
5
a2
4 3
5
2

g)
6 3
3  2
8
3
5
17. Si x  0 e y  0 , determinar el signo del número real:
a) x y
b)
x
e) y
x
c) y  x
x2 y
f)
d) y-x
x y
g) xy
xy 2
h) y(y-x)
18. Sustituir el símbolo  por <, >, o = para que la expresión resulte verdadera:
a) –7
e)

4
–4
b)  / 2
 0,8
f)
2
3
 1,57
 0,66666
g)
1
7
1
 15
d) 11
 0,143
h)
225
c)
 0,09
2
 1,4
19. Expresar el enunciado como una desigualdad:
a) x es negativo
d) El cociente de p y q es a lo sumo 7
b) y no es negativo
e) El valor absoluto de x es mayor que 7
c) d está entre 4 y 2
f) b es positivo
Bloque 1: NÚMEROS. Trabajo Práctico
Pág. 3
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
g) s es no positivo
i) p no es mayor que – 2
h) w es mayor o igual que – 4
j) El inverso multiplicativo de f es a lo
sumo 14
20. Calcular en los casos que sea posible, las siguientes raíces:
144;
 144;
3
216;
3
 216;
400;
0,0025
21. Reducir los siguientes pares de radicales a un mismo índice:
2;
a)
3
6
b)
3
5 ; 12 64
c)
x;
4
x3 ;
3
x
22. Calcular:
a)
4
3  24 3  34 3
b)
12  3 90 
c)
x 2 x 4 x
d)
2 3 5
e)
2 3 3 4 4
f)
36
25
g)
5
Bloque 1: NÚMEROS. Trabajo Práctico
3
9
27
h)
2 x3
4 x
i)
2 x 1  3 x 1  5 x 1
j)
4a 
25a  16a
Pág. 4
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
BLOQUE 2: Álgebra
Objetivos
- Mejorar el trabajo operativo con expresiones
algebraicas a partir del conocimiento de los
distintos conjuntos numéricos.
- Resolver ecuaciones.
- Mejorar las técnicas de resolución de problemas.
- Adquirir destreza en el manejo de expresiones
algebraicas.
- Descomponer polinomios en factores, en casos sencillos.
Tarea inicial:
Asociar cada uno de los enunciados con la expresión algebraica que le corresponda:
ENUNCIADOS
EXPRESIONES
a) El cuadrado de la suma de dos números es igual a
la suma de sus cuadrados más el doble de su
1. n, n  1, n  1
producto.
b) El producto de dos potencias de la misma base es
x y z
 
2.
igual a otra potencia que tiene la misma base que
3 5 8
las anteriores y cuyo exponente es igual a la suma
de los exponentes de las potencias que se
3. V    r 2  h
multiplican.
c) Un número entero, el anterior y el siguiente.
4. n  n  1  n  2   87
d) Dos números pares consecutivos.
5. a  b 2  a 2  b 2  2ab
e) La suma de tres enteros consecutivos es 87.
f) Las edades de dos hermanos difieren en 6 años y
6. e  v  t
el año próximo el hermano mayor tendrá el doble
de años que el menor.
7. a m  a n  a m  n
g) Las cantidades que se llevan tres socios son
proporcionales a 3, 5 y 8.
 x y 6
8. 
h) El espacio recorrido por un móvil es igual a su
 x  1  2 y  1
velocidad por el tiempo que está en movimiento.
i) El volumen de un cilindro es igual al producto de
9. 2n, 2n  2
 por el cuadrado del radio de su base y por su
altura.
De las nueve expresiones algebraicas anteriores, hay dos que son ciertas para cualesquiera
valores que demos a las letras. ¿Cuáles son?
Bloque 2: ÁLGEBRA
Pág. 1
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
En general:
El álgebra consiste en el manejo de relaciones numéricas en las que una o más cantidades son
desconocidas. Estas cantidades se llaman incógnitas, variables o indeterminadas, según
diferentes casos y se representan por letras.
Al traducir al lenguaje algebraico los términos de un cierto problema, se obtienen expresiones
algebraicas como las de la tabla de arriba. Esas expresiones también pueden aparecer en
distintos tipos de igualdades. A continuación revisaremos algunas.
IDENTIDADES
La expresión a  b 2  a 2  b 2  2ab , utilizada con frecuencia, es una igualdad válida para
cualesquiera que sean los valores numéricos que tomen a y b. Por eso es una identidad.
También es una identidad: a n  a m  a n  m
Podemos comprobar la primera identidad para, por ejemplo, a  3, b  7
3  7 2  10 2  100
3 2  7 2  2  3  7  9  49  42  100
Y la segunda identidad para a  3, m  2, n  5
35  3 2  37
Entonces, una identidad es una igualdad algebraica cierta para valores cualesquiera de las
letras que intervienen.
Algunas identidades importantes:
a  b 2  a 2  b 2  2ab
a 2  b 2  ( a  b)  ( a  b)
a n  b n  ( a  b) n
a  (b  c)  a  b  a  c
Todas ellas son consecuencia inmediata de propiedades aritméticas.
Actividad:
Identificar y escribir las propiedades que dan sentido a las anteriores identidades
(ver propiedades BLOQUE 1: NÚMEROS).
Sólo por si ayuda para entender un poco más las identidades algebraicas te proponemos el
siguiente ejemplo:
Bloque 2: ÁLGEBRA
Pág. 2
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
Las identidades son útiles para transformar una expresión algebraica en otra más
oportuna o más cómoda de manejar.
Por ejemplo:
( x  5) 2  ( x  3) 2  ( x 2  25  10 x )  ( x 2  9  6 x )  16 x  16  16  ( x  1)
Cada una de las tres igualdades es una identidad:
 en la primera: ( x  5) 2  ( x  3) 2  ( x 2  25  10 x)  ( x 2  9  6) hemos tenido en
cuenta las expresiones del cuadrado de una suma y del cuadrado de una diferencia.
 en la segunda: ( x 2  25  10 x)  ( x 2  9  6 x)  16 x  16 nos hemos limitado a
simplificar (diferencia de dos polinomios).
 en la tercera: 16 x  16  16  ( x  1) hemos sacado factor común el número 16
(proceso inverso de la propiedad distributiva).
Al final, la expresión obtenida es notablemente más sencilla y cómoda de manejar que la
inicial, pero de idéntico valor matemático. Por eso podemos sustituir la primera expresión por
la última y el cambio es ventajoso.
Actividad:
a) De las siguientes igualdades, ¿cuáles son identidades?
i) a  a  a  3a
v) 3a  15  3  (a  5)
ii) x 2  x  27
vi) a  a  a  15
3
iii) x  x  x  x
vii) a  5  a  2a  5
x 3  3x  5
3
 x 2  2x  1 
viii) m 2  m  6  (m  2)  ( m  3)
x2
x2
b) Teniendo en cuenta que ( x  5) 2  ( x  3) 2 es una “diferencia de
iv)
cuadrados” intentar un camino diferente al de arriba para llegar, por
medio de identidades, a 16  ( x  1)
Bloque 2: ÁLGEBRA
Pág. 3
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
c) Construir cuatro identidades igualando de a pares estas expresiones
algebraicas
6b
a5
3
;
; a 2  1 ; 3b  a  a  a 
; a  1  a  1
a
2
2
a
d) Al “sacar factor común” construimos una identidad. Trabajar con las
siguientes expresiones (la primera se da resuelta como ejemplo)
i) 3a  3b  3  a  b 
ii) 2a 2  6a
iii) x 2  x 3
iv) 12a 3b 2  8a 2b 4
v) a   x  1  a   x  1
vi) 3ax  3a  2bx  2b
e) Recordar los productos notables y completar las siguientes identidades:
i) 2x  1  
2
iii) 3  m   3  m   
2
1

ii)  x    
x

iv) 3x  2 y 2  
vi) x 2  5  
f) Utilizar una expresión algebraica para expresar la superficie de las zonas
coloreadas en cada una de las tres figuras, a partir de las informaciones
que se indican. Luego completar en cada caso una identidad.
v) 3a  2b   3a  2b   
2
g) En las actividades anteriores, en caso de resultar identidades,
escribir/describir cuál/es son las propiedades aritméticas que le otorgan
validez. (Revisar BLOQUE 1: NÚMEROS)
FÓRMULAS
La igualdad e  v  t que relaciona tres magnitudes físicas (espacio, velocidad y tiempo) la
conocemos desde la Física.
Algebraicamente, es una igualdad que relaciona tres variables. Si conociéramos el valor de
dos de ellas, podemos averiguar el de la tercera.
Bloque 2: ÁLGEBRA
Pág. 4
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
La Geometría, por ejemplo, nos provee otras fórmulas como la del volumen de la esfera
V 
3
  r3
4
ECUACIONES
La expresión n  n  1  n  2   87 sólo es cierta para n  28 , pero no para otros valores de
n . Es una ecuación cuya solución es n  28 .
Así, una ecuación más que una igualdad es una propuesta de igualdad. Cuando n vale 28,
entonces es cierto que n  n  1  n  2   87 .
La solución de una ecuación es el valor de la incógnita (o los valores de las incógnitas) que
hacen cierta la igualdad.
Resolver una ecuación es hallar su conjunto solución (hallar su solución o soluciones o llegar
a la conclusión que no tiene solución)
Actividad:
Resolver las siguientes ecuaciones, es decir, averiguar -para cada una de ellascuál es el valor de x que hace cierta la igualdad.
Aunque ya conozca formas sistemáticas de resolver las ecuaciones (métodos
para despejar x), sería muy bueno en este caso probar con algún método como:
 “a ojo”, esto es, anticipando la solución y comprobando que
efectivamente lo es.
 “tanteando”, es decir, probando y aproximándose cada vez más a la
solución.
 usando la calculadora, siempre que las cuentas realizadas vayan
precedidas por la reflexión.
Entonces, la consigna es, tantear para resolver:
a) 3 x  7  73
g) ( x  3)  ( x  2)  (2 x  10)  0
1 1 1
 
x 3 6
b) 3  ( x  7)  240
h)
x  11  4
c)
d) ( x  1) 2  25
e) x 3  x  222
f) x 5  x  1000
i) 3 x  59049
j) 3 x  500
k) x x  823543
l) x x  100
 Ecuaciones con varias incógnitas
Hay ecuaciones en las que intervienen dos incógnitas como, por ejemplo, x  5 y  12 .
Se trata de encontrar dos números, x e y , tales que x  5 y sea igual a 12.
Los números x  7 e y  1 forman una solución pues 7  5  1  12 .
Bloque 2: ÁLGEBRA
Pág. 5
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
También son solución x  2 , y  2 ; x  3 , y  3 ; x  10 , y 
2017
2
y otras muchas
5
(infinitas).
Podemos encontrar, elaborar, resolver, ecuaciones con más de dos incógnitas; es decir,
igualdades con varias letras cuyos valores necesitamos obtener para que se cumpla la
igualdad. Las ecuaciones con varias incógnitas suelen tener infinitas soluciones.
Actividad:
a) Completar, en cada caso, los pares de valores ( x, y ) para que sean
soluciones de la correspondiente ecuación:
i) y  4  3 x
x
y
1
2
5
0
8
17
26
ii) 4 x  3  y
x
y
5
-1
3
1/2
19
67
49/16
b) Escribir una ecuación, de una sola variable, para cada uno de estos
enunciados:
i) Queremos que la expresión 3 x  2 x  7 valga 27. ¿Cuánto debe valer x?
ii) Buscamos un número que sumado a su siguiente dé 243. ¿Qué número
será?
iii) Buscar un número que multiplicado por 2 y dividido por 5, dé 16.
iv) Un número más su mitad valen 720. ¿De qué número se trata?
v) La base de un rectángulo es 3cm más larga que su altura. El perímetro es
26 cm. ¿Cuál es la altura?
TIPOS DE ECUACIONES
A lo largo de todo el recorrido como estudiante en la carrera que estás iniciando y,
seguramente después, te encontrarás con ecuaciones de todo tipo. Algunas queremos
distinguirlas particularmente desde ahora.
Una gran familia está constituida por las ecuaciones polinómicas. Aquí tienes algunas:
3  ( x  5)  2 x 
Bloque 2: ÁLGEBRA
x3
 7 ; x 2  5  2  ( x  3) 2  1 ;
2
x 3  5 x  2  ( x  1) 2
Pág. 6
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
De todas estas ecuaciones nos detendremos en la resolución de sólo algunas de ellas en esta
etapa. Nos dedicaremos en el próximo apartado a la resolución por métodos sistemáticos de
ecuaciones de primer grado y de segundo grado.
Además de las ecuaciones polinómicas, como expresábamos, hay muchos otros tipos de
ecuaciones:
Por ejemplo:
x  11  4 , o como
 con radicales:
como la propuesta más arriba
x5 

x  2  1 x
con la x como denominador: como la anteriormente propuesta
1 1 1
  , o como
x 3 6
1
3  2x
15
 2
 2
x  3 x  1 x  4x  3
 con la x en el exponente: como en 3 x  500 o en x x  100 .
En este tema trabajamos en la resolución de algunas de ellas por métodos sencillos, mediante
los cuales, después de unos pasos, se llega a la solución. Sin embargo hay ecuaciones para las
cuales no disponemos de tales métodos como, por ejemplo, las dos últimas. Pero sabemos que
tanteando inteligentemente, con la ayuda de la calculadora, con algunas estrategias, podemos
obtener su solución con tanta aproximación como queramos.
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Una ecuación de primer grado es una expresión del tipo ax  b  0 , siendo a  0 , o bien es
una expresión más compleja en la que, después de simplificar, se llega a la anterior.
La característica fundamental de este tipo de ecuación es que la x sólo aparece elevada a la
primera potencia.
Por ejemplo:
3 x  7  73 ; x  5 / 2  7 ; 3 x  5 son ecuaciones de primer grado
( x  3) 2  36 ;
3x  5 x  1
2
 3  5 x no son ecuaciones de primer grado
x
;
Soluciones de una ecuación de primer grado
Una ecuación de primer grado tiene, necesariamente, una única solución:
a  0 ; ax  b  0  x  
b
a
A veces nos encontramos con expresiones que parecen ecuaciones de primer grado y que, sin
embargo, no tienen solución o tienen infinitas soluciones.
Por ejemplo:
3x  5  3  ( x  1)  3 x  5  3 x  3  0  x  8
Evidentemente no tiene solución
Bloque 2: ÁLGEBRA
Pág. 7
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
3 x  5  3  ( x  2)  1  3 x  5  3x  5  0  x  0
Tiene infinitas soluciones ya que 0  x  0 cualquiera sea el valor de x.
Realmente no son ecuaciones pues carecen de término en x. No obstante, como antes de
simplificar no sabemos cómo van a quedar, las trataremos como ecuaciones.
Ecuaciones equivalentes
En general, dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución o ambas
carecen de solución.
Por ejemplo:
3 x  7  23 y 5 x  4  66  2 x son equivalentes porque ambas tienen como única solución
x  10
Transformaciones que mantienen la equivalencia
Resolver una ecuación es encontrar sus soluciones o averiguar que no tiene solución. para
conseguirlo hemos de “despejar la x” mediante una serie de pasos que consisten en construir
nuevas ecuaciones, equivalentes a la primera, y en cada paso la x esté más próxima a ser
despejada.
Esas transformaciones dan lugar a unas reglas prácticas:
Transformación
Sumar o restar la misma expresión en los
dos miembros de la igualdad
Multiplicar o dividir los dos miembros por
el mismo número distinto de cero
No supone transformación
Regla Práctica
Lo que está sumando pasa restando, y
viceversa
Lo que está multiplicando pasa dividiendo,
y viceversa
Efectuar en cada miembro las operaciones
indicadas, quitar paréntesis, agrupar
términos semejantes, etc.
Éstas son reglas básicas para la resolución de ecuaciones de primer grado. Con ellas se puede
llegar fácilmente a despejar la x y todas garantizan la equivalencia entre la ecuación de
partida y la de llegada.
Para resolver una ecuación de primer grado
A veces las ecuaciones que hemos de resolver tienen un aspecto complicado.
Por ejemplo:
3x  1 2  ( x  3) 4 x  2


5
20
5
15
¿Qué podemos hacer para, de a poco, ir despejando la x ?
Te proponemos una secuencia que puede resultarte útil (sólo es a modo orientativo)
Bloque 2: ÁLGEBRA
Pág. 8
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
1º
2º
3º
4º
5º
6º
Quitar los denominadores, si los
hay.
Para ello se multiplican los dos
miembros de la ecuación por un
múltiplo
común
de
los
denominadores, preferiblemente
por el mínimo común múltiplo.
Quitar los paréntesis, si los hay.
2017
El mínimo común múltiplo de 20, 5 y 15
es 60.
Multiplicando ambos miembros por 60,
resulta:
3  (3x  1)  24  ( x  3)  4  ( 4 x  2)  300
9x-3-24x-72=16x+8-300
Pasar los términos en x a un
miembro y los números al otro 9x-24x-16x=8-300+3+72
miembro
Simplificar cada miembro
Despejar la
x
Finalmente,
comprobar
la
solución en cada miembro de la
ecuación inicial
 31x  217
x
 217
7
 31
3  7  1 2  (7  3)

 1  4  3
20
5
47  2
 5  2  5  3
15
coinciden
Esta secuencia no hay que tomarla como algo rígido, habrá ecuaciones en que convenga
empezar quitando paréntesis o simplificando... La práctica va ayudando a tomar decisiones
acerca de cuándo conviene una cosa, cuándo conviene otra.
Actividad:
Para cada una de las siguientes ecuaciones, escribir otra equivalente, sin
denominadores, y después resolver.
a)
b)
c)
d)
x
2x
x
 10
15
5
x x x 3x 1
  

2 4 8
4 4
2 x  3 x  1 12 x  4
x


9
3
9
3  ( x  2) 3x  5 5  (4 x  1) 25



4
2
6
12
Bloque 2: ÁLGEBRA
Pág. 9
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
La forma general de una ecuación de segundo grado es:
ax 2  bx  c  0 , siendo a  0 para
resolver esta ecuación hemos de despejar la x , lo cual no parece una tarea nada fácil.
Nos enfrentaremos con ella unas páginas más adelante.
Hay ocasiones, sin embargo, en que las ecuaciones de segundo grado se nos presentan de
modo que se pueden resolver con mucha facilidad.
Observemos:
3.( x  5) 2  12  ( x  5) 2  4
x5  2  x  7
x  5  2  x  3
Como se ve, no se ha necesitado ninguna fórmula, ningún tratamiento específico, sino
simplemente, aplicar las reglas conocidas.
El único paso algo novedoso ha sido el que se expresaría así: “si el cuadrado de un número es
4, entonces ese número puede ser 2 ó -2”.
Es muy interesante familiarizarse con modelos de ecuaciones de segundo grado que tienen un
matiz que las hace especialmente asequibles.
Antes de describir esos modelos, intentemos, con los recursos que disponemos hasta aquí, la
resolución de las correspondientes ecuaciones.
Actividad:
Todas las ecuaciones de segundo grado que se proponen a continuación, pueden
resolverse por métodos sencillos. Además, las soluciones de todas ellas son
números enteros. Intentar resolverlas, pero: aunque se conozca la fórmula
general para la resolución de ecuaciones de segundo grado, no aplicarla. Te
invitamos a resolverlas utilizando alternativas como las de arriba y teniendo en
cuenta que, en algunos casos, resolver una ecuación puede ayudar a resolver la
siguiente:
1. x 2  9
12. 3  ( x  5) 2  12
23. 7 x 2  14 x  0
2. x 2  9  0
13. 3  ( x  5) 2  12  0
24. x 2  5 x  0
3. 2 x 2  9
14. 2  ( x  5) 2  50  0
25. 8 x 2  40 x  0
4. 2 x 2  18
15. 7  ( x  2) 2  63  0
26. x 2  x  0
5. 2 x 2  18  0
16. 5  ( x  11) 2  20  0
27. 17 x 2  17 x
6. 7 x 2  63  0
17. 2  ( x  6) 2  2  100
28. 3 x 2  12 x  3  3
7. 3 x 2  300  0
18. 5  (2 x  3) 2  120  5
29. x 2  2 x  1  4
8. 5 x 2  0
19. ( x  3)  ( x  2)  0
30. x 2  4 x  4  1
9. 11x 2  396
20. 3  ( x  5)  ( x  1)  0
31. x 2  6 x  9  1
10. 10 x 2  400  90
21. x  ( x  2)  0
32. x 2  6 x  9  25
11. ( x  5) 2  4
22. x 2  2 x  0
Bloque 2: ÁLGEBRA
Pág. 10
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
Ecuaciones de segundo grado fáciles de resolver
Siempre que una ecuación sea resoluble por métodos sencillos, es bueno intentar llegar a su
solución siguiendo esos caminos.
Veamos -a partir de las ecuaciones resueltas en las actividades anteriores- qué tipos de
ecuaciones de segundo grado permiten soluciones simplificadas.
 ecuaciones sin término en x : ax 2  c  0 (como las ecuaciones 1 a 10 anteriores)
En estos casos es fácil despejar x 2 y, por lo tanto, obtener los valores de x .
Ejemplos:
3x 2  75  0  x 2 
75
 25  x  5
3
7 x 2  40  0  x 2 
40
40
x
7
7
2 x 2  10  0  x 2  5  no tiene solución
ecuaciones en la que la x está en un cuadrado perfecto: m( x  p) 2  n  0
(como las ecuaciones 11 a 18 y 29 a 32 de la página anterior).
En estas ecuaciones se obtienen fácilmente los dos valores de x  p y, por tanto, los de
Ejemplos:

3( x  3) 2  75  0  ( x  3) 2  25
x.
x3  5 x  8
x  3   5  x  2
3  ( x  4) 2  0  ( x  4) 2  0  x  4  0  x  4
5  ( x  2) 2  35  0  ( x  2) 2  7  no tiene soluciones reales
ecuaciones que se dan como producto de varios factores: k  ( x  p )  ( x  q )  0
(como las ecuaciones 19, 20 y 21 de la página anterior)
Para que un producto sea cero es necesario que alguno de los factores sea cero. Por tanto, una
ecuación de este tipo se resuelve igualando a 0 cada factor en el que está la x :
( x  p )  0, ( x  q)  0 .
Ejemplo:
3( x  5)  (4 x  3)  0
x5  0  x  5

4x  3  0  x  
3
4

ecuaciones a las que les falta el término independiente: ax 2  bx  0
(como las ecuaciones 22 a 28 de la página anterior)
Se pueden factorizar sacando x factor común:
ax 2  bx  0  x  ( ax  b)  0
Una de sus soluciones es 0 y la otra se obtiene resolviendo la ecuación ax  b  0
Bloque 2: ÁLGEBRA
Pág. 11
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
Ejemplo:
x0
7 x 2  5 x  0  x  (7 x  5)  0
7x  5  0  x  
5
7
Forma general de las soluciones de una ecuación de segundo grado:
Como ya hemos dicho, no es fácil despejar la x en una ecuación de segundo grado que tenga
todos sus términos.
2
Más adelante probaremos que la solución general de la ecuación ax + bx + c=0 , con a ≠ 0 ,
x=
−b± √ b 2 − 4ac
2a
es:
El doble signo que precede a la raíz significa que puede haber dos soluciones cuyas
−b+ √ b −4ac
−b− √ b −4ac
x 1=
x 2=
2a
2a
expresiones son:
y
Estas dos soluciones pueden reducirse a uno o a ninguna, según los casos.
2
Bloque 2: ÁLGEBRA
2
Pág. 12
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
Obtención, paso a paso, de la solución general de una ecuación de segundo grado:
Bloque 2: ÁLGEBRA
Pág. 13
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
Actividad:
1) Resolver aplicando la fórmula:
a. x 2  6 x  5  0
b. x 2  5 x  6  0
c. 6 x 2  5 x  1  0
d. x 2  4 x  3  0
e. 4 x 2  4 x  1  0
f. x 2  x  1  0
2) Escribir un ejemplo numérico de cada una de las propiedades y verificar
que se cumple la igualdad en cada uno de esos casos concretos.
3) Calcular los valores que ha de tomar m para que la ecuación
x 2  6 x  m  0 tenga:
a) dos soluciones distintas.
b) por soluciones los valores x  4 y y  2
c) dos soluciones iguales
d) dos soluciones que no sean números reales
INECUACIONES
A veces los enunciados que dan lugar a una expresión algebraica no dicen "es igual a" sino
"es mayor que" o "es menor que". Por ejemplo:
La longitud de una mesa es de 140cm. La mido con la palma de mi mano y con 6 me quedo
corto. ¿Qué puedo decir de la longitud de la palma de mis manos?
Traducido a lenguaje algebraico: la longitud de mi palma es la incógnita. La llamamos x .
Seis veces mi palma no llega a ser 140cm <==> 6 x  140 . Esta expresión es una
inecuación.
Una inecuación es una propuesta de desigualdad. ¿Para qué valores de x es cierto que
6 x  140 ?
Las respuestas a esta pregunta constituyen el conjunto solución de la inecuación.
Las inecuaciones suelen tener infinitas soluciones (sólo hay un número igual, pero hay
infinitos números menores que otro).
En este caso, las soluciones se obtienen así:
6 x  140 => x 
140
=> x < 23,3 => mi palmo podría tener cualquier longitud menor que
6
23,3 cm
Bloque 2: ÁLGEBRA
Pág. 14
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
Actividad:
(recuperemos del BLOQUE 1: NÚMEROS)
1) Expresar el enunciado como una desigualdad:
1. x es negativo
2. y no es negativo
3. d está entre 4 y 2
4. El cociente de p y q es a lo sumo 7
5. El valor absoluto de x es mayor que 7
6. b es positivo
7. s es no positivo
8. w es mayor o igual que – 4
9. p no es mayor que – 2
10. El inverso multiplicativo de f es a lo sumo 14
2) ¿Cuáles de los siguientes valores son soluciones de la inecuación
2
x −8x< 12 ?
a) -5
b) 0
c) 1,1
d) 2
e) 5/2
f) 3,2
g) 5,3
h) 10
3) Traducir a lenguaje algebraico:
1. El triple de un número más ocho unidades, es menor que 20.
2. El número de alumnos de mi clase es menor que 35.
3. El número de alumnos de la clase de al lado supera los 35 alumnos.
4. Si mi dinero aumentara al triple y además me tocaran $2000 de la lotería,
tendría por lo menos $11000
SISTEMAS DE ECUACIONES
Los problemas con varias incógnitas suelen dar lugar a varias ecuaciones, todas las cuales han
de cumplirse.
Ejemplo:
La cantidad de fotos del álbum de ídolos de fútbol que tienen entre dos hermanos suma 100.
Si el tío les regalara 10 fotos a cada uno (como prometió), uno tendría el doble del otro.
¿Cuántas fotos tiene cada uno?
Traducido al lenguaje algebraico, dan lugar a las ecuaciones:
Bloque 2: ÁLGEBRA
Pág. 15
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
x  y  100
x  10  2  ( y  10)
donde x e y son, respectivamente, el número de fotos que tiene cada hermano.
Para averiguar lo que se pregunta, es necesario tener en cuenta las dos ecuaciones. Es decir, el
par de valores x e y buscado ha de ser solución de ambas ecuaciones. Por eso decimos que
forman un sistema de ecuaciones y lo indicamos agrupándolas con una llave:
x  y  100
x  10  2  ( y  10)
Varias ecuaciones forman un sistema de ecuaciones cuando el objetivo es encontrar la
solución, o las soluciones, comunes a todas ellas.
Actividad:
1) Buscar cinco soluciones diferentes para cada una de estas ecuaciones:
i) x + y = 4
ii) 3 (x + 4) = 2y – 6
iii) x2 = y + 3
2) Completar, en cada caso, los pares de valores ( x, y ) para que sean
soluciones de la correspondiente ecuación:
i) y  3x  4
x
y
1
2
5
8
0
17
26
x
2
4
0
25
y
9
¿Tienen ambas ecuaciones alguna solución común?
3) Buscar una solución del siguiente sistema de ecuaciones:
ii) x  y  4
4) Buscar, por tanteo, una solución a los sistemas:
Bloque 2: ÁLGEBRA
Pág. 16
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
BLOQUE 2: Álgebra. Trabajo Práctico
Identidades
1. Completar de la forma más breve posible, el segundo término de estas igualdades para
que resulten identidades:
i.
ii.
iii.
iv.
2. Partiendo de cada una de estas expresiones, llegar mediante identidades a los
resultados que se indican:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
3. Escribir enunciados que permitan expresar verbalmente cada una de estas propiedades:
i.
ii.
iii.
iv.
4. Asociar cada identidad de la izquierda con uno de los enunciados de la derecha:
i.
ii.
iii.
iv.
1. Propiedad asociativa del producto.
2. Una propiedad de las potencias.
3. La multiplicación es una suma
repetida de sumandos iguales.
4. Propiedad distributiva del producto
respecto de la suma.
Bloque 2: ÁLGEBRA. Trabajo Práctico
Pág. 1
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
Ecuaciones
1) ¿Es el valor 5 solución de alguna de estas ecuaciones? Justificar la respuesta.
a.
f.
b.
g.
c.
h.
d.
i.
e.
2) Escribir una ecuación, de una sola variable, para cada uno de los siguientes enunciados:
a. Un matrimonio tiene tres hijos. Cada uno le lleva al siguiente dos años. Entre
los tres suman 26 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?
b. El perímetro de un triángulo equilátero es de 72m. ¿Cuánto mide el lado?
c. En un triángulo rectángulo los catetos son iguales y la hipotenusa mide 10m.
¿Cuánto miden los catetos?
d. Calcular el lado de un cuadrado sabiendo que la diagonal mide 10m.
e. Buscar un número cuyo doble coincida con su cuadrado.
3) Completar la tabla. Luego: encontrar las edades de Ángel y Marisa.
EXPRESIÓN
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
x
y
La edad de Ángel
La edad de Marisa
La edad de Ángel es el triple de la edad de Marisa
La edad de Ángel dentro de 5 años
La edad de Marisa dentro de 5 años
La edad de Ángel dentro de 5 años será el doble
de la que entonces tenga Marisa
Ecuaciones de primer grado
1) Recordar que
a)
2)
; quitar denominadores y resolver:
d)
b)
e) 3  (5 x  7)  2  ( x  1)  5 x  3
c)
f) 2  (3 x  2)  (2 x  5)  3x  2  ( x  4)
Resolver:
a)
b)
Bloque 2: ÁLGEBRA. Trabajo Práctico
( x  1)  2
 5  ( x  2)  8  3x
3
x  4 2  ( x  1) x  2 11  2 x
d)



6
9
6
18
c)
Pág. 2
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
Ecuaciones de segundo grado
1. Averiguar las soluciones reales, si existen:
a.
d.
b.
e.
c.
f.
2. Resolver las ecuaciones:
a.
f.
b.
g.
c.
d.
e.
h.
i.
3. Reducir y resolver:
a.
b.
c.
d.
4. El producto de un número entero por su siguiente es 272. Calcular dicho número.
5. Un granjero espera obtener $4200 por la venta de huevos.
En el camino al mercado se le rompen 20 docenas. Para
obtener el mismo beneficio aumenta en $1 cada docena que
le quedó. ¿Cuántas docenas tenía al principio?
6. Un grupo de verduleros invierte $10500 en la compra de
una partida de frutas. Tienen un problema con una de las
cámaras de frío y tienen que desechar 75 kg. Venden el resto,
aumentando en promedio $3 el kg sobre el precio de la compra, por $11250. ¿Cuántos
kg tenía la partida inicial?
7. En un triángulo rectángulo el lado mayor es 3cm más largo que el mediano, el cual, a
su vez, es 3cm más largo que el pequeño. Calcular cuánto miden los lados.
8. La superficie de un rectángulo es 28cm2 y su perímetro 22cm. Calcular las
dimensiones.
9. El número de diagonales de un polígono regular es 27. ¿Cuántos lados tiene?
(Ayuda: recordar que el número de lados es igual al de vértices; a cada vértice le
llegan tantas diagonales como vértices hay, menos 3; cada diagonal vincula 2 vértices
no consecutivos.)
Bloque 2: ÁLGEBRA. Trabajo Práctico
Pág. 3
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
Inecuaciones
1. Buscar dos valores que sean solución y otros dos que no lo sean, para la inecuación:
2. ¿Existen números “x” que verifiquen que
y
? ¿Y en el caso de que
y
? ¿Y en el caso de
y
?
3. Desde mi mesa a la estantería cuento cinco palmas
de mi mano y aún me falta algo para llegar. Si
desde el suelo subo nueve palmas, sobrepaso la
estantería. La mesa tiene 70cm de altura; la
estantería, 180cm. ¿Qué puedo decir de la longitud
de mi palma?
4. Ramón y Nuria han medido una pizarra con una
lapicera distinta cada uno de ellos. Ramón ha
contado entre 16 y 17 lapiceras. Nuria cuenta más
de 17 pero no llega a 18. Si la lapicera de Ramón
mide 19,5cm y la de Nuria 18cm, ¿cuánto mide la pizarra?
5. Imagina que e son dos lados de un triángulo cuyos valores son
y
.
¿Qué podría decir del lado ? (Recordar que cada lado de un triángulo es menor que
la suma de los otros dos y mayor que su diferencia).
Sistemas de ecuaciones
a. Intentar encontrar, tanteando, la solución de cada uno de los sistemas de ecuaciones:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(No se pide utilizar técnicas especiales para resolver estos sistemas sino simplemente,
descubrir a ojo, tanteando, un valor de y otro de que sean válidos para las dos
ecuaciones).
b. Explicar por qué es imposible encontrar un valor de y otro de que hagan ciertas,
simultáneamente, las dos ecuaciones siguientes:
c. Explicar por qué si unos valores de e son solución de la ecuación
,
entonces, con seguridad, también son solución de
.
d. Ahora, intentar encontrar la solución a los sistemas del ejercicio a) resolviendo con
cualquiera de las técnicas de resolución de sistemas de ecuaciones disponibles.
Bloque 2: ÁLGEBRA. Trabajo Práctico
Pág. 4
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
BLOQUE 3: Funciones
Objetivos
-
Recordar la idea de función y manejar su
terminología básica.
-
Reconocer y designar los aspectos más
importantes de una función (crecimiento,
continuidad, máximos y mínimos) .
-
Interpretar funciones a partir de sus gráficas y
graficar funciones descriptas por un enunciado.
-
Relacionar gráficas y expresiones analíticas de funciones.
Problema:
Varios amigos van de vacaciones. Esta es la panorámica del recorrido.
En el siguiente diagrama se aprecia el lugar en que estaban en cada momento del día, desde
las 9 de la mañana, que salen, hasta que llegan.
 ¿Dónde se pararon a descansar?
 ¿En qué parte de la gráfica se
aprecia como Luis olvida la
mochila y deben volver a
buscarla?
 ¿Cuánto recorrieron antes de
darse cuenta?
 ¿A qué hora comieron? ¿Dónde?
¿Cuánto rato estuvieron allí?
 ¿Se nota en la gráfica las subidas
y bajadas del camino? ¿En qué?
Bloque 3: FUNCIONES
Pág. 1
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
Esa noche pernoctaron en el refugio. A la mañana siguiente salieron a las 9 del refugio y
volvieron hacia el pueblo.
Realizar una gráfica como la anterior, pero que salga a las 9 del refugio y que se llegue, por la
tarde, al pueblo.
Leticia opina que hay un cierto lugar donde estuvieron los dos días a la misma hora, ¿Puede
ser posible? (Sugerencia: superponer las dos gráficas y extraer conclusiones).
En general…

Las funciones sirven para describir fenómenos.
La variación del precio de un alimento respecto al tiempo es una información importante para
la economía familiar. Si en lugar de un alimento se valoran y ponderan la totalidad de los
productos de consumo doméstico (lo que se suele llamar “la canasta familiar“), la evolución
de su corte es una información de enorme importancia para la economía de un país. Es de
gran interés ser capaz de interpretar correctamente y con profundidad una gráfica en la que se
describa la función tiempo  costo de la canasta familiar. Ésta y otras funciones se
representan frecuentemente mediante una gráfica que se tiene que interpretar. Y, en otros
casos, es necesario que cada uno sea capaz de expresar mediante una gráfica una función
conocida.

Aspectos relevantes de una función
Para proceder eficazmente en esta doble tarea de interpretar gráficas de funciones y de
expresar gráficamente funciones conocidas, es necesario saber cuáles son los aspectos más
significativos de una gráfica y qué aportan a la comprensión del fenómeno que describen:
o El fenómeno descrito, ¿evoluciona suavemente o tiene saltos bruscos?
o ¿Aumenta, disminuye? ¿Cuándo se alcanza el mayor valor? ¿Decrece más o
menos rápidamente?
o ¿Qué cabe esperar que ocurra más allá del tramo en que ha sido estudiado? Es
decir ¿qué tendencia tiene?
La comparación, el estudio conjunto de dos o más
funciones, puede aportar mucha más información
que cada una de ellas por separado. Se utilizarán
algunas técnicas sencillas para realizar el estudio
conjunto de varias gráficas.

Expresión analítica
Como se sabe, la expresión y  2 x  5 corresponde
a una recta y ésta puede interpretarse como una
función de x e y. Son muchas las funciones que,
Bloque 3: FUNCIONES
Pág. 2
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
además de ser descritas gráficamente, pueden ser traducidas al lenguaje analítico mediante
una fórmula. La expresión analítica aporta grandes ventajas al estudio de las funciones,
aunque conlleva dificultades. En este tema sólo se hará una mirada general de ellas.
LAS FUNCIONES DESCRIBEN FENÓMENOS
Con mucha frecuencia se recibe la información mediante gráficas. Unas son de tipo
estadístico. Otras tienen unas características tales que las denominamos funciones. Veamos
cuáles son sus principales rasgos y cuál es la nomenclatura adecuada para utilizarlas.
Estudio de un ejemplo
La gráfica adjunta describe el movimiento
(adelante-atrás) de un coche teledirigido
durante los primeros 20 segundos de una
prueba. Se trata de la función
tiempo transcurrido
 distancia del coche
a
nosotros
En el fenómeno estudiado intervienen dos
variables: tiempo t  y distancia d  . La
función relaciona la segunda variable con la
primera, pues al pasar el tiempo se modifica
la distancia.
Para la representación gráfica se ha utilizado un diagrama cartesiano que consiste en dos ejes,
ejes cartesianos, en cada uno de los cuales se representa una variable, utilizando una escala:
o
El tiempo (t) se ha representado en el eje horizontal y en él cada cuadrito significa 1
segundo.
o
La distancia (d) se ha representado en el eje vertical y cada cuadrito significa 2
metros.
Es muy importante señalar que en cada instante el coche está en un único lugar (por ejemplo,
a los 5s se encuentra en 10m), aunque puede haber distintos instantes en los que el coche se
encuentra en un mismo lugar (por ejemplo, en los instantes 7s, 15s y 17s se encuentra a 14m).
Función: idea y elementos básicos
Las funciones sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos, sociológicos
o, simplemente, para expresar relaciones matemáticas. Una función relaciona dos variables,
habitualmente designadas por x e y. Se representa por una gráfica sobre unos ejes cartesianos.
Bloque 3: FUNCIONES
Pág. 3
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
Al eje horizontal (eje de las abscisas) se le suele designar por la letra X; al vertical (eje de
ordenadas) por la letra Y.
Las variables x e y son numéricas. Para que puedan ser representadas sobre los respectivos
ejes, es necesario designar sobre éstos sendas escalas.
Cada punto de la gráfica corresponde a un par de valores: un valor x (variable independiente)
y el correspondiente valor de y (variable dependiente).
Para que una relación de este tipo entre dos variables numéricas pueda ser considerada una
función, es necesario que a cada valor de x corresponda un único valor de y.
Para expresar simbólicamente una función, se utiliza la letra f o alguna otra (g, h,…).
La expresión y  f  x  se lee “y es función de x” o simplemente, “y igual a f de x”, lo que
significa que el valor que toma y depende del valor que se le adjudique a x.
El conjunto de los valores de x a los cuales les corresponde algún valor de y, se llama
dominio de definición de la función.
Actividad:
1) La gráfica refleja una etapa de un ciclista cuyo itinerario se describe a la
izquierda.
a) ¿De qué distancia es la etapa y cuánto tarda en recorrerla?
b) ¿Cuándo pasa por la cima más alta?
c) ¿En qué tramo va rápido y en cuál más despacio?
d) ¿Qué variables intervienen? ¿Qué escala se utiliza para cada variable?
e) Señalar sobre ella los pueblos que aparecen en el dibujo de la izquierda.
f) ¿Qué distancia hay desde “La Seo” hasta “Andorra” y cuánto tiempo tardó
en recorrerla? ¿Qué velocidad media consiguió?
Bloque 3: FUNCIONES
Pág. 4
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
2) Estas cuatro gráficas representan, supuestamente, la temperatura máxima
diaria de cuatro ciudades durante un cierto año.
a) ¿En cuál de estas cuatro ciudades oscila menos la temperatura?
b) Una de ellas corresponde a nuestro país y otra a nuestras antípodas. ¿A
cuáles nos estamos refiriendo? Razonar la respuesta.
c) Alguna de las gráficas es absurda. Indicar cuál y por qué.
d) Elegir una escala adecuada para cada variable y graduar cada uno de los
ejes.
VARIACIONES DE UNA FUNCIÓN
Observemos estas tres gráficas las cuales tratan de variaciones de presión:
Al sumergirnos en agua, la presión aumenta de
manera uniforme. Por cada 10m que
profundizamos, la presión aumenta una atmósfera
(1atm). Esta gráfica corresponde a la función
profundidad dentro del agua  presión
y es, evidentemente,
profundidad, más presión.
Bloque 3: FUNCIONES
creciente:
a
más
Pág. 5
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
La presión atmosférica disminuye con la
altura, aunque no lo hace uniformemente (al
principio disminuye más rápidamente que
después). Esta gráfica corresponde a la
función
altura en la atmósfera
 presión.
Es decreciente, pues a más altura menos
presión.
La variación de la presión atmosférica en un
lugar es indicio importante de cambios en el
tiempo meteorológico. (De ahí lo del parte
meteorológico, centro
de altas presiones,
isóbaras, etc.) Esta gráfica da la presión
atmosférica en un cierto lugar,
en cada
momento, a lo largo de 20 días. Corresponde a la
función
instante de tiempo
 presión.
Presenta un máximo el día 3º (alta presión que
supone buen tiempo), un mínimo del día 10º
(baja presión, tiempo tormentoso).
Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos
Para estudiar las variaciones de una función hay que mirarla de izquierda a derecha. (Esto es
debido a que la variable independiente que se usa con más frecuencia es el tiempo, y el
tiempo transcurre siempre en el mismo sentido.)

Una función se llama creciente cuando al aumentar la variable independiente, x, aumenta
la variable dependiente, y. Análogamente una función se llama decreciente cuando al
aumentar la variable independiente, x, disminuye y.
También podemos decir que una función tiene un tramo creciente o decreciente. Por
ejemplo, la gráfica anterior es creciente entre los días 0 y 3, y decreciente entre los días 3
y 10.

Una función tiene un máximo en un punto cuando en él toma un valor mayor que el que
toma en los puntos que la rodean. La función crece hasta el máximo y decrece a partir de
él. Análogamente se define mínimo de una función como un punto en el que ésta toma
valores menores que los que toma en los puntos próximos a él.
Bloque 3: FUNCIONES
Pág. 6
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
Actividad:
1) La siguiente gráfica representa la altura, con el paso del tiempo, a la que se
encuentra un globo de hidrógeno que se va elevando hasta que estalla.
a)
¿Cuánto tarda en estallar desde
que se suelta?
b)
¿Qué altura gana entre el
minuto 3 y el minuto 6? ¿Y
entre el 7 y el 11?
c)
¿Cómo es esta
¿Crece o decrece?
d)
¿Cómo continuaría la gráfica
si el globo no hubiera
estallado?
función?
2) Se toma una curiosa botella vacía y se la va llenando de agua con un vaso.
Cada vez que se echa un vaso de agua, se mide la altura alcanzada en la
botella.
Se realizó la gráfica imaginando que se ha echado el agua en forma continua.
a) Explicar la relación que hay entre la forma de la botella y la forma de la
gráfica.
b) Hacer la gráfica correspondiente al recipiente de la derecha.
Bloque 3: FUNCIONES
Pág. 7
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
3) Una compañía de transporte urbano ha recogido la siguiente información
sobre la venta de boletos:
a) ¿Durante cuánto tiempo se ha hecho este estudio?
b) ¿En qué mes del año 2008 se han vendido menos boletos? ¿Y en el año
2009? ¿Por qué sucede esto?
c) ¿En qué mes de 2009 se produce la máxima venta? ¿A qué se podría
atribuir?
d) ¿En qué períodos anuales es mayor el crecimiento en la venta de boletos?
¿Y en qué estación del año es decreciente esta venta?
e) ¿Qué tendencia hay sobre la venta de boletos a lo largo de los años?
DISCONTINUIDADES. CONTINUIDAD
Observemos las siguientes tres gráficas:
Las ganancias mensuales de un vendedor de
computadoras son $10000 fijos más $500 por cada
aparato vendido. Esta es la gráfica de la función
aparatos vendidos
 ganancias mensuales
La variable independiente sólo tiene sentido para los
valores 0, 1, 2, 3, 4…, pues no se puede vender un
número fraccionario de computadoras.
Bloque 3: FUNCIONES
Pág. 8
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
Una llamada telefónica urbana en España cuesta lo
siguiente: 3 duros para comenzar, y con ellos se
puede hablar 3 minutos. A partir de ese momento
cada minuto cuesta un duro. Esta es la función
duración
 costo
Hay variaciones bruscas de costo cada minuto a
partir del tercero.
Esta gráfica describe el crecimiento de una
cierta planta con el paso del tiempo.
Concretamente, se trata de la función
Tiempo
 altura
La variación de la altura es suave, sin saltos
bruscos.
Las dos primeras son funciones discontinuas. Esta tercera es continua.
Definiciones
Hay ocasiones en las que la variable independiente no es continua, sino que pasa dando saltos
de cada valor al siguiente (Gráfica 1). Cuando esto sucede la variable se denomina discreta y,
en casos, la gráfica de la función no es una línea, sino una serie de puntos.
En otras ocasiones, aunque la variable independiente sea continua, la función presenta saltos
bruscos (Gráfica 2). Estos saltos se llaman discontinuidades y la función que los tiene se dice
que es discontinua.
Una función se llama continua cuando no tiene discontinuidad de ningún tipo.
Bloque 3: FUNCIONES
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INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
Actividad:
1) Se ha tomado la temperatura de un enfermo cada dos horas durante tres días.
A la vista de la gráfica, realizar un estudio de la función tiempo 
temperatura, contestando las siguientes preguntas:
a) ¿Parece correcto haber representado la gráfica en forma continua?
b) ¿Qué representa la franja que aparece en torno a los 37ºC?
c) ¿En qué intervalo de tiempo la temperatura es muy inferior a los 37ºC?
d) ¿En qué instante la temperatura alcanza el máximo valor?
e) ¿Cuáles son el aumento y el descenso más brusco que se observa en el
gráfico?
2) El estacionamiento de un centro comercial tiene la siguiente tarifa de
precios
Tarifas
Precio desde las 9 hasta las 22 horas
Las dos primeras horas…………………….gratuito
3º hora o fracción sucesiva…………...……..$10
Máximo diario………………………………$100
Representar gráficamente la función
costo.
Bloque 3: FUNCIONES
tiempo de estacionamiento

Pág. 10
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UNA FUNCIÓN
Casi todas las funciones consideradas hasta ahora han venido dadas por su gráfico o bien por
un enunciado que, de forma aproximada, permite conocer las principales características del
fenómeno estudiado. Hay, sin embargo, una gran cantidad de funciones que pueden darse
mediante una fórmula que relaciona de manera exacta y sintética las dos variables.
Estudio de un ejemplo
Se tiene una chapa de 40cm por 30cm y se desea construir con ella un recipiente realizando
los cortes y plegados que se indican en la figura.
Largo: 40  2 x
Ancho: 30  2 x
Alto:
x
Por lo cual el volumen, expresado en centímetros cúbicos, es:
V  40  2 x   30  2 x   x (se aplica la propiedad distributiva para obtener una expresión
equivalente)
V  4 x 3  140 x 2  1200 x
Realizando algunos cálculos podemos obtener el volumen para distintas medidas del corte:
Si x  1cm , V  38cm  28cm 1cm  1064cm3
Si x  2cm , V  36cm  26cm  2cm  1872cm3
Si x  3cm , V  34cm  24cm  3cm  2448cm 3
Si x  4cm , V  32cm  22cm  4cm  2816cm 3
Si x  5cm , …..
Si x  7cm , …..
Si x  6cm , …..
Si x  8cm , …..
Completar los cálculos e indicar de qué medida conviene recortar los cuadrados de las
esquinas para obtener mayor volumen.
Bloque 3: FUNCIONES
Pág. 11
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
Al realizar el gráfico de la función podemos comparar la respuesta.
Ventajas de la expresión analítica de una función
Cuando una función viene dada de forma gráfica, podemos, de un solo golpe de vista, adquirir
una idea clara de su comportamiento global. Esta es una enorme ventaja que presenta la
forma gráfica sobre la analítica. Ahora bien, una función dada analíticamente puede, con un
poco de trabajo, ser representada gráficamente.
Además, desde un punto de vista matemático, la expresión analítica presenta una serie de
ventajas:
o Comodidad de expresión.
o Precisión en los cálculos que se realicen en ella y con ella.
o La posibilidad de recurrir a modelos conocidos y muy estudiados. Por ejemplo, la
función que acabamos de obtener será catalogada como “polinómica de tercer grado”
y esa simple asignación, permite a los expertos reconocerle una buena cantidad de
peculiaridades.
o Aplicar una serie de métodos específicos para examinar, analizar las funciones
extrayendo de ella una enorme cantidad de información. Buena parte de la actividad
en matemática, en los cursos universitarios, consistirá en aprender y aplicar esos
métodos de análisis de funciones.
A partir de este momento, la forma analítica de las funciones se irá abriendo camino y llegará
a ser la que más se presente en la actividad matemática.
Bloque 3: FUNCIONES
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INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
Notación
Como la variable dependiente (el volumen en el caso analizado) es función de la variable
independiente (el lado del cuadrado que representamos con la letra x) es frecuente escribir:
V  f  x  que se lee “V es igual a f de x”. También suele escribirse: y  f  x  .
Con lo cual, tenemos diferentes notaciones para el mismo objeto, en el caso analizado:
3
2
3
2
V  4 x 3  140 x 2  1200 x ; y  4 x  140 x  1200 x ; f x   4 x  140 x  1200 x .
Esta última expresión es muy útil al momento de calcular el valor numérico de la función.
Determinar, por ejemplo, f 1 (se lee “f de 1”) es equivalente a realizar los cálculos: cuando
x  1 , f  x   4 13  140 12  1200 1  1064 . Así, decimos que f 1  1064 .
Actividad:
1. Dada la función f x   5  x 2  8  x , calcular f 3 , f 100  y f  8 .
2. Escribir la expresión analítica de una función g tal que g 2   12 .
DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES
Las funciones se pueden clasificar atendiendo a la forma de su gráfica o al tipo de expresión
analítica, lo cual permite estudiar “familias de funciones” de modo que los resultados de este
estudio sean válidos para todas las funciones de cada familia.
Funciones polinómicas de grado 1: Rectas
Hemos visto, algunos ejemplos de funciones cuya expresión analítica corresponde a una
expresión de primer grado (el mayor exponente de la variable independiente es 1)
-
La relación entre la profundidad y la
presión al sumergirnos en agua dulce.
Bloque 3: FUNCIONES
Pág. 13
2017
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
-
El área de los rectángulos de lado fijo
3cm, en función del otro lado.
a  3l
Todas las expresiones de primer grado darán lugar a rectas cuyas características se hallan
asociadas a la expresión analítica.
Actividad:
Graficar las siguientes funciones de primer grado y extraer conclusiones.
y  2 x , y  2 x  1 , y  2 x  3 , y  2 x , y 
1
x , y  3 x , y  3 x  1 ,
2
y  3 , x  2
Funciones polinómicas de grado 2: Parábolas
Hemos visto algunos ejemplos de funciones de este tipo, entre otras podemos mencionar:
-
Relación entre el área de un cuadrado y la medida de su
lado.
A  l2
Bloque 3: FUNCIONES
Pág. 14
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
-
2017
Relación entre la distancia recorrida y el tiempo
transcurrido si se deja rodar una bola por un tobogán.
d  10t 2
Todas las expresiones de segundo grado dan lugar a parábolas cuyas características se hallan
asociadas a la expresión analítica.
Actividad:
Graficar las siguientes funciones de segundo grado y extraer conclusiones.
y  x2 ,
y
y  x2  3 ,
y  x2 1,
y  x  2 ,
2
y  x  3 ,
2
y   x  1 ,
2
1 2
x , y  3x 2
2
Funciones con otro tipo de expresión algebraica
En los ejemplos considerados han aparecido otras funciones cuya expresión algebraica no
responde a ninguno de los modelos anteriores
-
Volumen de una caja en función del
lado de los cuadrados que hay que
recortar para construirla.
V  4 x 3  140 x 2  1200 x
Bloque 3: FUNCIONES
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INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
-
2017
Relación entre la altura y la base en los rectángulos de
144cm 2 de área.
a
-
144
b
Número de amebas en un cultivo en función del tiempo
transcurrido.
N  41,5
x
El estudio de cada una de estas familias de funciones se realizará en espacios específicos.
Bloque 3: FUNCIONES
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INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
BLOQUE 3: Funciones. Trabajo Práctico
1. Hacemos una excursión en bicicleta a un bosque que está a 40km de nuestro pueblo, para
llegar al cual hay que seguir un itinerario con subidas y bajadas. Estamos allí un rato y
volvemos. Mirando la gráfica, contestar las siguientes preguntas:
a) ¿Qué significa cada cuadrito en el eje horizontal de la gráfica tiempo → espacio? ¿Y
en el eje vertical?
b) ¿A qué hora salimos?
c) ¿Cuántos kilómetros hay aproximadamente desde el comienzo de la primera cuesta
hasta la cima? ¿Cuánto tiempo tardamos en subirla?
d) ¿Cuántos kilómetros hay de bajada? ¿Qué tiempo se tarda?
e) ¿Qué distancia hay desde a hondonada hasta el bosque? ¿Cuánto tardamos en
recorrerla?
f) ¿Cuánto tiempo estamos descansando en el bosque?
g) ¿Cuánto hemos tardado en ir del pueblo al bosque?¿Y del bosque al pueblo?¿A qué
puede deberse la diferencia?
2. Inventar otra excursión en bicicleta. Dibujar el itinerario y representar la gráfica espacio
→ tiempo correspondiente.
3. La siguiente gráfica describe la evolución de la
temperatura de un paciente con el paso del
tiempo:
a) ¿Qué variables se relacionan?, ¿qué unidades
se toman para cada variable?
b) ¿Cuántos días ha estado enfermo el paciente?
(se considera normal una temperatura de
36,5°C )
c) ¿Qué ocurre entre los días 2 y 5?, ¿qué ocurre
el 6to día?
d) ¿Cuándo es máxima la temperatura?, ¿y
mínima?
e) ¿En qué períodos ha sido estable?
Bloque 3: FUNCIONES. Trabajo Práctico
Pág. 1
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
4. Las siguientes gráficas muestran la marcha de seis montañistas. Describir el ritmo de cada
uno. ¿Cuáles de estas gráficas parecen menos realistas?
Al observar que los ejes no están graduados, es importante considerar únicamente las
características globales.
5. En las escuelas de conducción tienen precios fijos que se aplican a todo aquel que requiera
sus servicios. En la autoescuela Ramírez las tarifas son las siguientes
Tarifas
Precio de cada clase……………………. $200
Precio matrícula de carnet………………$2500
a) Se han utilizado los servicios de Ramírez y con 5 clases se obtuvo el carnet. ¿Cuánto
se ha pagado?
b) ¿Cuánto se hubiese pagado con 6 clases? ¿Y con siete?
c) Realizar la gráfica en la que se relacione el costo para obtener el carnet según el
número de clases recibidas.
6. En el contrato de trabajo de un vendedor de libros ofrecen dos alternativas:
Contrato tipo A: Sueldo fijo mensual de $100000
Contrato tipo B: Sueldo fijo mensual de $80000 más el 20% del valor de las ventas que
haga de libros.
a) Hacer una gráfica que muestre lo que ganaría en un mes este vendedor según la
modalidad del contrato que eligiera tomando como variable independiente el valor de
las ventas que haga, y como variable dependiente el sueldo.
b) ¿A cuánto tienen que ascender sus ventas para que gane lo mismo con cualquiera de
las dos modalidades de contrato? ¿Cuáles son esas ganancias?
Bloque 3: FUNCIONES. Trabajo Práctico
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MATEMÁTICA
2017
7. Una empresa de automóviles dispone de 200 obreros para fabricar 100 coches al día, pero
quiere aumentar la producción. Para ello, tiene que contratar más obreros de manera que
cada 10 nuevos obreros produzcan 5 coches más.
a) Dibujar la gráfica que relaciona el número de obreros con los coches fabricados al
día. ¿Cuál es el dominio de la función? ¿Es continua?
b) ¿Cuántos obreros se necesitaban antes para construir un auto al día? ¿Cuántos coches
fabricaba un obrero al día? ¿Y con la nueva contratación?
8. Se deja caer una piedra desde una torre de 245m. En la tabla siguiente se indica la
distancia recorrida por la piedra en distintos tiempos:
Tiempo transcurrido (en segundos)
Distancia (en metros)
0
0
1
5
2
30
3
45
4
80
5
125
Realizar una gráfica de esta función, ¿se observa alguna regularidad en los datos de la tabla?
9. Para cada una de las siguientes gráficas, indicar cuál es el dominio de definición, dónde
crece y decrece la función; los máximos y mínimos, la continuidad; y si tiende a algún
valor fijo. ¿Alguna de ellas es periódica? En caso afirmativo, decir cuál es el período.
10. Relacionar cada una de estas gráficas con una de las siguientes expresiones analíticas.
1) y = x+1
2) y = x3
3) y = x2
Bloque 3: FUNCIONES. Trabajo Práctico
Pág. 3
INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
11. En un libro de pesca hemos encontrado la siguiente
gráfica que relaciona la resistencia de un tipo de hilo
según su grosor:
a) ¿Qué grosor debe tener el hilo de pesca (o sedal) de
un pescador que quiera pescar salmones cuyo peso
esté comprendido entre 1000 y 1500 g?
b) ¿Con cuántos gramos se podría romper un sedal de
0,2mm de grosor? ¿Y de 0,5mm?
12. Se sabe que el peso es proporcional al volumen. Las siguientes gráficas muestran la
relación Peso  Volumen para algunas sustancias.
a) Consideremos la recta correspondiente a la
madera. Sobre ella podemos leer que 1 dm3
pesa 1,8kg . ¿Cuánto pesan 5 dm3 y 10 dm3?
b) ¿Cuál es el peso por unidad de volumen?
c) A
aumentos
iguales
de
volumen
¿corresponden aumentos iguales de peso?
d) ¿Cuál será la ecuación que relacione el peso
con el volumen? Observar ahora las otras
gráficas y con el mismo planteamiento de las
preguntas anteriores llegar a las expresiones de
las rectas que representan al granito y al
corcho sintético. ¿Cuál es la pendiente de estas
rectas y qué significado tienen esas cantidades?
1
2
13. Dada la función f x   6  x 3  x 2  8  x  5 , calcular f 3 , f  1 y f   .
14. Escribir la expresión analítica de una función h tal que h 1  2 y h2   8 .
15. La energía eléctrica E consumida por un aparato eléctrico (bombita, televisión, lavarropas,
etc.) viene dada por la fórmula:
Energía  Potencia  tiempo
si la potencia de cierto aparato es de 0,35 amperios, construir una tabla de valores y la
gráfica correspondiente dando al tiempo valores de 0 a 10hs.
16. Un viajero quiere alcanzar un tren en marcha. Las funciones que relacionan el espacio (s)
y el tiempo (t) son, en cada caso:
Viajero: S v  400t
Tren: S t  500  30t 2
Representar las gráficas correspondientes, ¿llega a producirse el alcance?, ¿en qué
momento?
Bloque 3: FUNCIONES. Trabajo Práctico
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INTRODUCCIÓN A LA
MATEMÁTICA
2017
17. Dibujar un triángulo rectángulo isósceles ABC en el que el cateto AB mida 10cm. Marcar
un punto P cualquiera sobre la hipotenusa y dibujar el rectángulo PEAD.
a) Comprobar que el perímetro del rectángulo es
20cm cualquiera que sea el punto P elegido.
b) Llamar x a la distancia PE y construir una tabla
dando valores a x y calculando el área del
rectángulo.
c) Dibujar la gráfica correspondiente, ¿cuándo es
máxima el área?, ¿cuándo es mínima?
18. Representar las siguientes funciones y señalar dos puntos que pertenezcan a cada una de
ellas:
a)
yx
b)
y  2x
c)
y
d)
y  2x2  3
e)
y  3 x  1
1 2
x
2
1
x  22
2
g) y  0,75 x  1
f)
y
h)
y  2x 2
19. Escribir la expresión analítica de alguna función que pase por los puntos:
a) 1,1 y 5,1
b) 0,0  y  2,4 
c) 1,5 y 3,1
Bloque 3: FUNCIONES. Trabajo Práctico
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