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UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI
LECCIÓN Nº 06
EXPRESIONES COMPLEJAS PARA LA CORRIENTE Y
EL VOLTAJE
1. ELEMENTOS PASIVOS
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2. FASORES
Es necesario conocer las entidades de Euler y números complejos para entender
favores.
Sean a y b dos números reales cualesquiera.
Un número complejo, z, construido a partir de tales números, puede expresarse en
cualquiera de las formas siguientes, que son todas equivalentes entre sí:
siendo:
unidad de los números imaginarios
módulo de z
fase de z
parte real de z
parte imaginaria de z
complejo conjugado de z
Una señal de corriente o voltaje AC se representa por un fasor (vector) cuya magnitud
puede ser el valor pico o RMS y su dirección es el ángulo de fase respecto a la señal
de referencia cuyo ángulo de fase es cero. Si se toma el valor pico del estímulo, todas
las respuestas son valor pico, si se tomo el valor RMS del estímulo, todas las
respuestas son RMS.
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3. PROBLEMAS APLICATIVOS
Problema 01
Si y1 = 20 cos (ωt - 30°) y y2 =40 cos (ωt + 60°), expresar y = y1 + y2 como una sola
función sinusoidal.
a) Resolver mediante identidades trigonométricas.
b) Resolver con base en el concepto de fasor.
a) Primero desarrollamos y1 y2 usando el coseno de la suma de los dos ángulos, para
obtener
y1 = 20 cos (ωt) cos (30°) + 20 sen (ωt) sen (30°)
y2 = 40 cos (ωt) cos (60°) - 40 sen (ωt) sen (60°)
Al sumar y1 y y2 se tiene
y = (20 cos 30 + 40 cos 60) cos (ωt) + (20 sen 30 - 40 sen 60) sen (ωt)
= 37.32 cos (ωt) - 24.64 sen (ωt).
Para combinar estos dos términos los coeficientes del seno y del coseno se
consideran como los lados de un triángulo rectángulo y luego se multiplica y se
divide el lado derecho por la hipotenusa
y = 44.72 (37.42/44.72 cos (ωt) – 24.64/44.72 sen (ωt))
= 44.72 (cos (33.43°) cos (ωt) - sen (33.43°) sen (ωt))
Una vez más, invocamos la identidad que comprende el coseno de la suma de dos
ángulos y escribimos
y = 44.72 cos (ωt + 33.43°).
b) Podemos resolver el problema utilizando fasores, como sigue. Ya que
y = y1 + y2
entonces
Y = Y1 + Y2
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Y = (17.32 – j10) + (20 + j34,64)
= 37.32 + j24.64
Una vez que se conoce el fasor Y, se puede escribir la función trigonométrica
correspondiente para y tomando la transforma da fasorial inversa:
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ANALISIS DE CIRCUITOS DE CA
4. ELEMENTOS DE CIRCUITOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
5. ANALISIS DE CIRCUITOS CA EN SERIE
A fin de combinar impedancias en serie para formar una sola impedancia basta con
sumar las impedancias individuales. El circuito que aparece en la figura define el
problema en términos generales. Las impedancias Z1, Z2,…, Zn se conectan en serie
entre las terminales a y b. Cuando las impedancias están en serie llevan el mismo
fasor de corriente I. De la ecuación, la caída de voltaje en cada impedancia es Z1I,
Z2I,…, ZnI, y por la ley de Kirchhoff para el voltaje
La impedancia equivalente entre las terminales a y b es
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6. IMPEDANCIA
Es la oposición de cualquier elemento de circuito al paso de corriente AC, significa una
generalización del concepto de resistencia eléctrica, por tanto su valor se calcula por la
ley de OHM generalizada.
Z = (V/I) (Ω)
Z: es la impedancia, V e I son voltaje y corrientes indicados como fasores.
Para las cálculos aritméticos en análisis fasorial se toman las cantidades como número
complejos.
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Ejemplo 01:
Una resistencia de 90Ω, un inductor de 32 mH y un condensador de 5 µF se conectan
en serie entre las terminales de una fuente de voltaje sinusoidal, como se aprecia en la
figura. La expresión en estado estacionario del voltaje fuente Vs es 750cos(5000t+30°).
a) Construir el circuito equivalente en la representación fasorial.
b) Calcular la corriente en estado estacionario i utilizando fasores.
a) De la expresión de VS tenemos que ω=5000 rad/s. Por lo tanto, la impedancia del
inductor de 32 mH es
y la impedancia del condensador es:
La transformada fasorial de VS es
La figura ilustra el circuito equivalente en la representación fasorial que corresponde
al circuito
b) El fasor de corriente se calcula dividiendo el voltaje de la fuente entre la impedancia
equivalente en las terminales a y b
Entonces:
Ahora es posible escribir en forma directa la expresión de i en estado estacionario:
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7. AUTOEVALUACION
Problema 01:
Encuentre la transformada fasorial de las siguientes funciones trigonométricas:
a) v = 170 cos (377t - 40°) V;
b) i = 10 sen (1000t+20°) A;
c) i = [ 5 cos (ωt - 36.87°) + 10 cos (ωt - 53.13°)] A;
d) v = (300 cos(20000πt + 45°) – 100 sen (20 000 πt + 30°)] mV.
Respuesta: (a) V = 17OL V; (b) 1 = l0L7Q
Problema 02:
Encuentre la expresión en el dominio del tiempo correspondiente a cada fasor:
Respuesta:
Problema 03:
La corriente en el inductor de 75 mH es de 4 cos (40 000t - 38°) mA. Calcule (a) la
reactancia inductiva; (b) la impedancia del inductor; (c) el fasor de voltaje V, y (d) la
expresión en estado estacionario de v(t).
Respuesta: (a) 3000 Ω (b) j3000 Ω (c) 12L
Problema 04:
El voltaje en las terminales del condensador de 0.2 µF es de 40 cos (105t - 50°)V.
Calcule (a) la reactancia capacitiva; (b) la impedancia del condensador; (c) el fasor de
corriente I, y (d) la expresión en estado estacionario de i(t).
Respuesta:
Problema 05:
Un voltaje sinusoidal de 50 kHz tiene un ángulo de fase cero y amplitud máxima de 10
mV. Al aplicar este voltaje a las terminales de un condensador, la corriente en estado
estacionario resultante tiene una amplitud máxima de 628.32 µA.
a) ¿Cuál es la frecuencia de la corriente en radianes por segundo?
b) ¿Cuál es el ángulo de fase de la corriente?
c) ¿Cuál es la reactancia capacitiva del condensador?
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d) ¿Cuál es la capacidad del condensador, en microfarads?
e) ¿Cuál es la impedancia del condensador?
Respuesta:
Problema 06:
Encuentre la expresión de io(t) en estado estacionario en el circuito de la figura si vs =
100 sen 50t mV.
Respuesta:
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