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medio gráfico, audiovisual o computarizado, sin previa autorización escrita.
Universidad Nacional Abierta
Apartado Postal Nº 2096
Caracas 1.010 A, Carmelitas, Venezuela
Copyright
©
UNA 2009
ISBN 978-980-236-681-1
Primera edición, 2009
If 1352009620684
Registro de Publicaciones de la
Universidad Nacional Abierta
Nº UNA-2009-5951
4
Cómo citar este documento: Espejo, Alfredo. (2009). Topología de Espacios Métricos, Texto UNA. Caracas: UNA 5
TABLA DE CONTENIDO
OBJETIVO 1
ESPACIOS MÉTRICOS
Métricas o distancias
Distancia entre conjuntos
Isometría
Esferas o Bolas abiertas, Bolas cerradas
Conjuntos abiertos
Entornos y puntos de acumulación
Conjuntos cerrados. Clausura de un conjunto
Frontera y borde
Conjuntos densos, fronterizos y nada densos
Métricas equivalentes
17
21
23
24
27
28
30
31
33
34
OBJETIVO 2
ESPACIOS CONEXOS
Conjuntos conexos
Componente de un conjunto
Espacios localmente conexos
49
50
51
OBJETIVO 3
COMPACIDAD
Conjuntos acotados., Diámetro
Conjuntos precompactos o totalmente acotados.
Conjuntos separables
Conjuntos compactos.
Conjuntos relativamente compactos.
61
62
63
64
65
OBJETIVO 4
COMPLETITUD
Límite de una sucesión
Sucesión de Cauchy. Espacios completos
Teorema de Cantor
Teorema Baire
Límites Funcionales
7
73
75
77
78
78
OBJETIVO 5
CONTINUIDAD
Continuidad en un punto. Continuidad en un conjunto
Homeomorfismo.
Arcos. Arco-conectividad o Arcoconexidad.
Continuidad uniforme.
87
90
91
93
OBJETIVO 6
ESPACIOS NORMADOS
Norma. Espacio normado.
Segmento. Conjunto convexo.
Conjunto poli-conexo. Poli-conectividad.
Isomorfismo topológico: Isotopía.
103
104
104
105
OBJETIVO 7
ESPACIOS TOPOLÓGICOS GENERALES
Topología. Espacio topológico.
Base de una topología.
Subbase de una topología.
Continuidad. Homeomorfismo.
Propiedad topológica. Invariante topológica
Topología producto sobre X x Y
Topología cociente
113
116
117
119
120
122
123
Bibliografía
131
8
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Iconos empleados en el material instruccional
A lo largo de la lectura de este material encontrará diversos iconos, cuyo
significado se explica a continuación.
AMPLIACIÓN DE CONOCIMIENTOS: está dirigido al
estudiante que desea profundizar más sus conocimientos en
determinado tema.
ATENCIÓN: se presenta cuando se quiere hacer una
aclaratoria, una advertencia o una reflexión sobre algún
aspecto del contenido.
CASO DE ESTUDIO: es la exposición de una situación muy
similar a la realidad a la cual se le dará solución.
CONSULTA EN LA WEB: indica referencias a páginas Web.
CONSULTA EN OTROS LIBROS: se refiere a un llamado a
consulta en libros que no figuran como textos de carácter
obligatorio para el curso.
EJERCICIOS Y ACTIVIDADES PROPUESTAS: son
ejercicios o actividades sugeridas a manera de práctica
sobre algún tema de la unidad.
EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN: ejercicios que debe
realizar el estudiante y posteriormente verificar contra los
resultados aquí presentados.
RESPUESTA A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN:
presenta la clave de respuestas a los ejercicios de
autoevaluación, de manera que puedas reforzar tus
conocimientos o corregir cualquier error.
EJEMPLO: es la exposición de un caso alusivo al tema en
cuestión y su resolución.
RECORDATORIO: indica algún aspecto a ser enfatizado,
relacionado con los conocimientos adquiridos previamente
por el estudiante.
9
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
INTRODUCCIÓN
El propósito de la guía instruccional, es orientar al estudiante en su proceso
de aprendizaje en este curso y ayudar a la interacción con el texto Topología de
espacios métricos cuyo autor es el profesor Ignacio Iribarren, y el cual será
asignado como texto principal para esta asignatura. La guía incluye actividades
complementarias como ejercicios de autoevaluación, ampliación de conocimientos
y referencia de información en la Web.
El contenido está organizado siguiendo la estructura del curso de la
siguiente manera:
Unidad I:
Propiedades de los espacios métricos.
Unidad II:
Propiedades de los espacios métricos compactos y completos.
Unidad III:
Propiedades de la continuidad y de los espacios normados.
Unidad IV: Propiedades de los espacios topológicos generales
Para el buen uso de este material se sugiere tener a mano el Plan de Curso
y el libro: Iribarren Ignacio. (1973) Topología de espacios métricos. Limusa Wiley,
México; así como también seguir las recomendaciones aquí expuestas.
Objetivo del curso
Aplicar los métodos de la topología de espacios métricos en la resolución de
problemas matemáticos.
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Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
UNIDAD I
Propiedades de los espacios métricos
En esta unidad se introduce el importante concepto de métrica en un
conjunto general, para luego introducir la definición de espacio métrico. También
se desarrollará el concepto de espacio conexo y sus propiedades fundamentales.
Objetivos de la Unidad I
• Aplicar la noción de distancia para caracterizar bolas abiertas, bolas
cerradas y el manejo de distancia entre dos conjuntos.
• Aplicar el concepto de conjunto conexo de un espacio métrico y
propiedades.
Estructura de la Unidad I
Tema 1: Métricas y espacios métricos
Tema 2: Conectividad o conexidad
13
sus
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Tema: Espacios Métricos
OBJETIVO 1
Aplicar la noción de distancia para caracterizar bolas abiertas, bolas
cerradas y el manejo de distancia entre dos conjuntos.
ESPACIOS MÉTRICOS
Este tema está dedicado a generalizar la noción de distancia, para luego
desarrollar el concepto de métrica. Como caso particular, se introduce la noción de
distancia entre conjuntos. En este objetivo se define el concepto de punto interior a
un conjunto, para después introducir la noción de conjunto abierto, conjunto
cerrado y las propiedades más importantes de éstos. Otro tipo de noción que se
define en este objetivo es el de punto de acumulación, el cual es fundamental para
la definición rigurosa de límite de una función en un punto. También se introducen
los conceptos de borde y frontera de un conjunto, así como la definición de
conjunto denso, conjunto fronterizo y conjunto nada denso.
Para llevar a cabo el estudio de esta unidad, se presentan algunas
recomendaciones que incluyen un conjunto de actividades las cuales se sugiere
hacer antes de proseguir con el análisis de los ejemplos presentados.
Recomendaciones para el estudio del contenido del tema
• Repasar conceptos de Álgebra estudiados en las asignaturas Álgebra I y II.
• Repasar conceptos de análisis estudiados en la asignatura Análisis I.
• Leer la introducción del libro de texto principal.
• Estudiar los capítulos I y II del libro de texto principal.
• Resolver los problemas propuestos en el libro de texto y en la guía instruccional,
correspondientes a este objetivo.
• Resolver los problemas propuestos en la bibliografía complementaria,
correspondientes a este objetivo.
• Consultar otras fuentes bibliográficas.
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Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Competencias esperadas del alumno
Al concluir el estudio de este tema, el estudiante deberá estar capacitado
para responder las siguientes preguntas:
• ¿Cómo aplicar la definición métrica para medir distancia entre conjuntos?
• ¿Cómo aplicar las propiedades de un espacio métrico, para resolver
problemas en análisis?
• ¿Cómo aplicar el uso de las bolas abiertas para caracterizar un conjunto
abierto?
• ¿Qué tipo de distancia aplicar para medir la proximidad entre dos
conjuntos cualesquiera?
• ¿Cómo se aplica la noción de punto de acumulación para el uso de límites
de funciones?
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Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
ESPACIOS MÉTRICOS
Recomendaciones para desarrollar el tema
•
Leer con detenimiento los capítulos I y II del texto principal, págs. 15-62.
•
Escribir las definiciones con todo detalle para internalizar las mismas.
•
Estudiar y reproducir los teoremas expuestos en los capítulos anteriores,
verificando las condiciones de necesidad y suficiencia.
•
Resolver los ejercicios propuestos al final de cada capítulo.
Recordatorio (Métricas o distancias)
Si E es un conjunto no vacío, una métrica o distancia en E es una función
d : E × E ⎯⎯
→
con las propiedades siguientes:
1.
2.
3.
4.
Para todo x, y ∈ E : d ( x, y ) ≥ 0
Para x, y ∈ E : d ( x, y ) = 0 ⇔ x = y
Para todo x, y ∈ E : d ( x, y ) = d ( y, x)
Para todo x, y, z ∈ E : d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z, y )
Ejemplo 1.1 (Métrica)
Si
C [ a, b ]
denota la clase de todas las funciones continuas definidas en
[ a, b] , entonces una métrica en el conjunto mencionado se puede definir por:
b
d ( f , g) = ∫
f ( x ) − g ( x ) dx
a
Como se observa en la figura, esta métrica o distancia se interpreta como
el área entre las dos curvas, por lo tanto una función f está “cerca” o “lejos” de otra
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Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
función g si respectivamente el área entre las gráficas de las funciones es
“pequeña” o “grande”.
0
a
b
La comprobación de la validez de las propiedades 1 - 4, es muy sencilla,
por lo que se deja al alumno.
Ejemplo 1.2 (Métrica)
Considerando el conjunto del ejemplo anterior:
C [ a, b] , se define ahora esta
otra métrica:
d ( f , g ) = sup { f ( x )− g ( x ) : x ∈ [ a, b ]}
0
a
b
Como se observa en la figura, la métrica se interpreta como la mayor
“distancia” posible entre dos curvas.
La comprobación de la validez de las propiedades 1 - 4, es muy sencilla,
por lo que se deja al alumno.
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Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejercicios y actividades propuestas 1.1 (Métrica)
Pruebe que la aplicación d :
×
⎯⎯
→
definida por:
si x = y
⎧⎪ 0
d ( x, y ) = ⎨
⎪⎩ x + y si x ≠ y
es una métrica.
Demostración:
1) Es evidente que d ( x, y ) ≥ 0 para todo x, y ∈
2) Si d ( x, y ) = 0 , indica que si x ≠ y :
.
x + y = 0 , por lo tanto 0 = x = y , en
resumen x = y . La otra implicación es directa (hacerla).
3) La propiedad 3 es directa, usando la conmutatividad de los números reales.
4) Supongamos que x ≠ y , entonces
d ( x, y ) = x + y ≤ x + y + 2 z = ( x + z ) + ( z + y ) = d ( x, z ) + d ( z , y )
Ejercicios y actividades propuestas 1.2 (Métrica)
Demuestre que la función d :
n
×
n
⎯⎯
→
+
, definida como:
1
⎡ n
2 ⎤2
d ( x, y ) = ⎢ ∑ ( xi − yi ) ⎥
⎣ i =1
⎦
Es una métrica en el espacio
n
.
19
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Demostración:
Sean x = ( x1 , x2 ,..., xn ) ,
y = ( y1 , y2 ,..., yn ) , z = ( z1 , z2 ,..., zn )
Es evidente que
las tres primeras propiedades las cumple la función d. Para probar la propiedad
de la desigualdad triangular, se deberá demostrar que:
1
1
1
⎡ n
⎡ n
⎡ n
2 ⎤2
2 ⎤2
2⎤2
x
z
x
y
y
z
−
≤
−
+
−
(
)
(
)
(
)
i
⎢∑ i i ⎥
⎢∑ i
⎥ ⎢∑ i i ⎥
⎣ i =1
⎦
⎣ i =1
⎦ ⎣ i =1
⎦
ai = xi − yi
Realizando el cambio siguiente
(1)
y bi = yi − zi , entonces
tenemos que xi − zi = ai + bi , entonces (1) es equivalente a:
1
1
1
⎡ n
⎡ n 2 ⎤2 ⎡ n 2 ⎤2
2 ⎤2
a
b
+
≤
(
)
∑
i
i
⎢
⎥
⎢ ∑ ai ⎥ + ⎢ ∑ bi ⎥
⎣ i =1
⎦
⎣ i =1 ⎦ ⎣ i =1 ⎦
(2)
Ahora, la desigualdad (2) es una consecuencia directa de la desigualdad
de Cauchy vista en el curso de análisis I.
2
⎛ n
⎞ ⎛ n 2 ⎞⎛ n 2 ⎞
⎜ ∑ ai bi ⎟ ≤ ⎜ ∑ ai ⎟⎜ ∑ bi ⎟
⎝ i =1
⎠ ⎝ i =1 ⎠⎝ i =1 ⎠
Esto es así ya que:
1
n
∑(a + b )
i =1
i
i
2
n
⎡ n
⎤2 n
= ∑ ai + 2∑ ai bi + ∑ bi ≤ ∑ ai + 2 ⎢ ∑ ai 2 ∑ bi 2 ⎥ + ∑ bi 2 =
i =1
i =1
i =1
i =1
i =1
i =1
⎣ i =1
⎦
n
n
2
n
n
2
1
1
⎡ n
⎤
n
2
2
⎛
⎞
⎛
⎞
2
2
⎢
= ⎜ ∑ ai ⎟ + ⎜ ∑ bi ⎟ ⎥
⎢⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ ⎥
⎣
⎦
2
2
1
⎡ n
2 ⎤2
Luego la función d ( x, y ) = ⎢ ∑ ( xi − yi ) ⎥ es una métrica.
⎣ i =1
⎦
20
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Recordatorio (Distancia entre conjuntos)
Si A y B son conjuntos no vacíos de un espacio métrico E, la distancia
entre A y B, se define como:
d ( A, B ) = inf {d ( x, y ) : x ∈ A, y ∈ B}
Ejemplo 1.3 (Distancia entre conjuntos)
Si consideramos al espacio métrico
(
, d ) , donde d es la métrica usual, y
los conjuntos: A = ( −∞,1] , B = (10, 20] , entonces d ( A, B ) = 9 .
Ejemplo 1.4 (Distancia entre conjuntos)
Si dos conjuntos A y B no son disjuntos, entonces d ( A, B ) = 0 . El recíproco
de esta sentencia no es cierto, un ejemplo es el siguiente: Los números
irracionales y los racionales son disjuntos, pero su distancia es cero.
Ejercicios y actividades propuestas 1.3 (Distancia entre conjuntos)
Si consideramos al espacio métrico
(
, d ) , donde d es la métrica usual, y
⎧1
⎫
⎧ 1
⎫
los conjuntos: A = ⎨ , n ∈ ⎬ , B = ⎨− , m ∈ ⎬ . Hallar la distancia entre estos
⎩n
⎭
⎩ m
⎭
conjuntos.
Solución: Considerando a =
1
1
∈ A y b = ∈ B , supongamos que n ≤ m .
n
m
Entonces:
a−b =
m + n 2m
2
≤
=
nm
nm
n
21
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Por la propiedad arquimediana de los números naturales tenemos que
2
<ε
n
cuando n es “grande”. Por lo tanto:
⎧2
⎫
d ( A, B ) = inf a − b = inf ⎨ , n ∈ ⎬ = 0
a∈ A
⎩n
⎭
b∈B
Ejercicio 1.4 (Distancia entre conjuntos)
Consideremos los siguientes subconjuntos de
C = ( 0,1) ∪ {1/ 4} , D =
, E=
: A = [ 0 , 1 ] , B = ( 0 ,1 ) ,
−
y la métrica
⎧0 si x = y
d ( x, y ) = ⎨
⎩1 si x ≠ y
Hallar: a) d ( A, B ) , b) d ( A, C ) , c) d ( D, E )
Solución:
a) si a ∈ A y b ∈ B , entonces a ≠ b , por lo tanto :
d ( A, B ) = inf {d ( a, b ) a ∈ A, b ∈ B} = inf {1} = 1
b) En este caso,
d ( A, C ) = inf {d ( a, b ) a ∈ A, b ∈ B} = inf {0,1} = 0
c) Es obvio que
d( ,
−
22
) =1
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Recordatorio (Isometría)
( E, d )
El espacio métrico
es isométrico al espacio
( E , d ) , si existe una
1
1
biyección:
f : E ⎯⎯
→ E1
tal que:
para todo x, y ∈ E : d ( x, y ) = d 1 ( f ( x), f ( y ) )
La biyección f se denomina Isometría.
Ejemplo 1.5 (Isometría)
Consideremos al espacio métrico
Entonces, la función f :
2
⎯⎯
→
2
(
2
, d ) , donde d es la métrica usual en
2
definida como:
f ( x, y ) = ( x, − y )
Es una isometría en 2 . Geométricamente, la función se interpreta como una
reflexión con respecto al eje X. La comprobación de que efectivamente es una
isometría, es sencilla y se deja como ejercicio.
Ejemplo 1.6 (Isometría)
Considerando el mismo espacio métrico del ejemplo anterior, entonces, la
función definida como:
f ( x, y ) = ( x cos θ − ysenθ , x cos θ + ysenθ )
Es una isometría en 2 . Geométricamente, la función se interpreta como
una rotación de ángulo θ . Compruebe que efectivamente es una isometría.
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Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejercicios y actividades propuestas 1.5 (Isometría)
Sean
( X , d1 ) , (Y , d 2 ) , ( Z , d3 )
espacios métricos, f : X ⎯⎯
→ Y y g : Y ⎯⎯
→Z
isometrías. Demostrar que g f : X ⎯⎯
→ Z es una isometría.
Prueba
Si x, y ∈ X , tenemos:
d 3 ( ( g f ) ( x), ( g f ) ( y ) )
d 2 ( f ( x), f ( y ) )
=
Por ser g isometría
=
d1 ( x, y )
Por ser f isometría
Por lo tanto g f es una isometría.
Recordatorio (Esferas o bolas abiertas, bolas cerradas)
Si
( E, d )
es un espacio métrico. Eligiendo un punto a ∈ E y un número real
r > 0.
a) Se llama Esfera Abierta de centro a y radio r al conjunto:
B(a; r ) = { x ∈ E d ( x, a ) < r}
b) Se denomina Esfera Cerrada de centro a y radio r al conjunto:
B (a; r ) = { x ∈ E d ( x, a ) ≤ r}
Atención
En el libro de texto la notación para las bolas es dada por N (a; r ) o N (a; r ) ,
debido a la palabra inglesa Neighbourhood (vecindad).
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Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejemplo 1.7 (Bolas abiertas y bolas cerradas)
Considerando la métrica usual en el plano y en el espacio. Las bolas
genéricas abiertas y cerradas son discos o esferas con o sin interior.
Ejemplo 1.8 (Bolas abiertas y bolas cerradas)
Considerando las métricas definidas en el plano como
a. d1 ( ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ) = máx { x1 − x2 , y1 − y2 }
b. d 2 ( ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ) = x1 − x2 + y1 − y2
Entonces las bolas genéricas abiertas y cerradas son cuadrados o rombos
con o sin interior.
Bolas genéricas
asociadas a d1
Bolas genéricas
asociadas a d 2
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Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejercicios y actividades propuestas 1.6 (Bolas abiertas y bolas cerradas)
Sean a, b ∈ X , a ≠ b , X espacio métrico. Pruebe que existen bolas abiertas
y disjuntas centradas en a y b .
Prueba
Sean a, b ∈ X ; a ≠ b , entonces d (a, b) > 0 , donde d es la métrica del espacio
d ( a, b )
X, consideremos r =
> 0 . Entonces las bolas B(a,r) y B(b,r) son disjuntas
2
centradas en a y b respectivamente ¿por qué?
Ejercicios y actividades propuestas 1.7 (Bolas abiertas y bolas cerradas)
Caracterice las bolas abiertas en un espacio métrico discreto.
Solución
Recordemos que un espacio métrico discreto es aquel que tiene asociada la
métrica:
⎧0 si x = y
d ( x, y ) = ⎨
⎩1 si x ≠ y
Teniendo en cuenta esta observación, se tiene que:
{
}
a) Si 0 < r ≤ 1 entonces, B ( a, r ) = x ∈ X d ( x, a ) < r ≤ 1 = {a}
{
}
b) Si r > 1 entonces, B ( a, r ) = x ∈ X d ( x, a ) < r = X
26
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Recordatorio (Conjuntos abiertos)
Si ( E , d ) es un espacio métrico y A un subconjunto de E .
a) Se dice que x ∈ A es un punto interior de A si existe un número real r > 0 tal
que B( x; r ) ⊂ A .
b) Al conjunto A = { x ∈ A x es punto interior de A} , se le llama interior del
conjunto A
c) Decimos que el conjunto A es abierto si:
A= A
Atención
Se debe observar que siempre es válido que A ⊆ A , por lo tanto para
demostrar que un conjunto dado es abierto sólo hace falta probar que A ⊆ A , esto
es, probar que para todo elemento x ∈ A existe una bola B( x; r ) r > 0 contenida
en A.
Ejemplo 1.9 (Conjuntos abiertos)
Considerando el espacio métrico
entonces A es un conjunto abierto en
(
, d ) y A = ( a, b ) un intervalo abierto,
.
Ejemplo 1.10 (Conjuntos abiertos)
Si ( E , d ) es un espacio métrico, entonces E y ∅ son abiertos.
27
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejercicios y actividades propuestas 1.7 (Conjuntos abiertos)
Pruebe que todo subconjunto de un espacio discreto es un conjunto abierto.
Prueba
Elijamos un elemento x en un espacio X métrico discreto y S subconjunto
⎛ 1⎞
arbitrario de X. Si consideramos la bola B ⎜ x, ⎟ = { x} ⊆ S , por lo tanto S es un
⎝ 2⎠
conjunto abierto.
Ejercicios y actividades propuestas 1.8 (Conjuntos abiertos)
Sea X espacio métrico y x0 ∈ X . Pruebe que el conjunto X − { x0 } es un
conjunto abierto en X.
Prueba.
Elijamos x ∈ X − { x0 } , ahora si consideramos la bola B ( x, r / 2 ) , donde
r = d ( x, x0 ) se observa que
x ∉ B ( x, r / 2 ) , luego x ∈ B ( x, r / 2 ) ⊆ X − { x0 } , esto
indica que el conjunto X − { x0 } es abierto.
Recordatorio (Entornos y puntos de acumulación)
Sea ( E , d ) un espacio métrico y a ∈ E .
a)
Se llama Entorno del punto a, a todo conjunto abierto que lo contenga.
b)
Si A ⊂ E y x ∈ E . Se dice que x es un Punto de Acumulación del conjunto
A, si todo entorno de x, contiene puntos de A distintos de x. Es decir, para todo
entorno S de x se cumple:
( S − { x}) ∩ A ≠ ∅
28
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Atención
Al conjunto de todos los puntos de acumulación de un conjunto A se llama
Conjunto Derivado de A y se designa por A′
Ejemplo 1.11 (Puntos de acumulación)
Sea el espacio métrico
(
2
,d)
donde
d
es la métrica usual.
Considerando el conjunto
A = {( x, y ) : x 2 + y 2 < 2}
entonces el conjunto de los puntos de acumulación de A , es:
A′ = {( x, y ) : x 2 + y 2 = 2}
Ejemplo 1.12 (Puntos de acumulación)
Si se considera el espacio métrico
(
, d ) , donde d es la métrica usual
Entonces el conjunto de puntos de acumulación de
conjunto de los números irracionales.
⊆
es
1
= I , donde I es el
Ejercicios y actividades propuestas 1.9 (Puntos de acumulación)
Si A y B son subconjuntos de un espacio métrico X . Demuestre que:
(A
∪ B )′ = A′ ∪ B′ y que ( A ∩ B )′ ⊂ A′ ∩ B′
Demostración
a) Se verá que ( A ∪ B )′ = A′ ∪ B′ .
Sea x ∈ ( A ∪ B )′ entonces para todo entorno S de x se tiene que:
( S − { x}) ∩ ( A ∪ B ) ≠ ∅ ⇔ ⎡⎣( S − { x}) ∩ A⎤⎦ ∪ ⎡⎣( S − { x}) ∩ B ⎤⎦ ≠ ∅
⇔ ( S − { x} ) ∩ A ≠ ∅ o ( S − { x} ) ∩ B ≠ ∅ ⇔ x ∈ A′ ∪ B′
29
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
b) Veremos ahora que ( A ∩ B )′ ⊂ A′ ∩ B′
x ∈ ( A ∩ B )′ , luego para todo entorno S de x se tiene que:
⎧( S − { x} ) ∩ A ≠ ∅
⎪
y
( S − { x}) ∩ ( A ∩ B )′ ≠ ∅ ⇒ ⎪⎨
⎪
⎪⎩( S − { x} ) ∩ B ≠ ∅
Por lo tanto, x ∈ A′ ∩ B′ , donde obtenemos que: ( A ∩ B )′ ⊂ A′ ∩ B′ .
Recordatorio (Conjuntos cerrados. Clausura de un conjunto)
Sea
( E, d )
un espacio métrico y A ⊂ E . Entonces:
a) Se dice que A es un conjunto cerrado, si:
A′ ⊂ A
b) Se denomina clausura de A al conjunto:
A = A ∪ A′
Los elementos de A , reciben el nombre de puntos de adherencia de A.
Atención
Una definición equivalente y además práctica de conjunto cerrado es la
siguiente: Un conjunto en un espacio métrico ( E , d ) es cerrado sí, y sólo sí
E − A es abierto.
Para más detalles estudia el teorema nº 3 del primer capítulo.
30
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejemplo 1.13 (Conjuntos cerrados)
Todo intervalo cerrado [ a , b ] , es un conjunto cerrado, ya que sus puntos de
acumulación que son a y b pertenecen al conjunto.
Ejemplo 1.14 (Conjuntos cerrados)
de los números reales, con la topología usual, es cerrado.
El conjunto
En general cualquier espacio topológico ( X , d ) es cerrado.
Ejercicios y actividades propuestas 1.10 (Conjuntos cerrados)
Sea
(X,d)
espacio métrico y
C ⊆ X . Pruebe que: C es cerrado si, y
sólo si, para todo elemento x ∈ X , existe un entorno U x de x , que no contiene
puntos de C .
Prueba
Usaremos la definición equivalente de conjunto abierto dada anteriormente.
Entonces, C es cerrado si, y sólo si X − C es abierto, esto es equivalente a tener
que para todo x ∈ X − C existe un entorno U x de x, tal que U x ⊆ X − C , esto
equivale a que para todo
Ux ∩( X − C) = ∅ .
x∉ X
existe un entorno U x
Recordatorio (Frontera y borde)
Sea ( E , d ) un espacio métrico y A ⊂ E . Entonces:
a) Se denomina Frontera de A, al conjunto:
(
β ( A) = A ∩ E − A
31
)
de x, tal que
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
b) Se llama Borde de A al conjunto:
b ( A) = A ∩ β ( A)
Ejemplo 1.15 (Borde y frontera)
{
}
2
2
El borde y la frontera del conjunto B = ( x, y ) : x + y ≤ 1 es:
β ( B ) = {( x, y ) : x 2 + y 2 = 1}
β ( B)
B
Ejemplo 1.16 (Borde y frontera)
Si consideramos al conjunto:
⎧ 1 1 1 ⎫
A = ⎨1, , , ....⎬
⎩ 2 3 4 ⎭
Entonces:
⎧ 1 1 1 ⎫
A = ⎨1, , , ....⎬ ∪ {0}
⎩ 2 3 4 ⎭
Además, como:
− A = ( −∞, 0 ) ∪
( ) ∪ ( ) ∪ ... ∪ (
1,
1
2
1 1
,
2 3
1 1
,
n n +1
) ∪ (1, ∞ )
se tiene que:
− A = ( −∞, 0 ] ∪ ⎡⎢1, 1 ⎤⎥ ∪ ⎡⎢ 1 , 1 ⎤⎥ ∪ ... ∪ ⎡⎢ 1 ,
⎣ 2⎦
1 ⎤
∪
⎣ n n +1 ⎥⎦
⎣ 2 3⎦
Por lo tanto:
β ( A) = A ∩
(
)
− A = A∩
32
=A
[1, ∞ ) =
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
El borde de A , será:
b ( A ) = A ∩ β ( A ) = {0}
Recordatorio (Conjuntos densos, fronterizos y nada densos)
Sea ( E , d ) un espacio métrico y A ⊂ E . Entonces:
a) A es un conjunto denso si:
A=E
b) A es un conjunto fronterizo si su complemento es denso, esto es:
E−A= E
c) A es un conjunto nada denso si el complemento de su clausura es denso,
o sea:
E−A=E
Ejemplo 1.17 (Conjuntos densos)
Los conjuntos
Nada Densos
e I ( I = irracionales), son densos en
. Además no son
Ejemplo 1.18 (Conjuntos densos)
El conjunto
(
−
=
, no es denso en
). Además es nada denso (
−
33
, ya que
=
−
=
)
=
.Es Fronterizo
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejercicios y actividades propuestas 1.11 (Conjuntos densos)
Sea X un espacio métrico y A un subconjunto de X .Demostrar que A es
denso si, y sólo si, d ( x, A ) = 0 para todo x ∈ X
Demostración
Si A es denso, entonces para todo x ∈ X :
ε > 0.
B ( x, ε ) ∩ A ≠ ∅ para todo
Esto es equivalente a decir que para todo x ∈ X y para todo ε > 0 , existe
un y ∈ A tal que d ( x, y ) < ε . Lo que su vez significa que d ( x, A ) = 0 .

Recordatorio (Métricas equivalentes)
Sea E un conjunto no vacío, d1 y d 2 métricas en E. Si existen números
reales α y β tales que se cumple:
α d 2 ≤ d1 ≤ β d 2
Entonces se dice que las métricas d1 y d 2 son equivalentes.
Ejemplo 1.19 (Métricas equivalentes)
Considerando la métrica d sobre un conjunto X no vacío definida por
⎧5 si x ≠ y
d ( x, y ) = ⎨
⎩0 si x = y
Entonces d es equivalente a la métrica trivial de X. ¿Cuáles serían α y β ?
34
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejemplo 1.20 (Métricas equivalentes)
Consideremos las métricas d1 y d 2 , en
d1 ( ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ) =
( x2 − x1 )
2
+ ( y2 − y1 )
2
, definidas por:
2
d 2 ( ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ) = max { x2 − x1 , y2 − y1 }
Entonces d1 y d 2 son métricas equivalentes. El significado geométrico se
visualiza en las siguientes figuras.
Si denotamos por Bd1 y Bd2 las bolas genéricas obtenidas, asociadas a las
métricas d1 y d 2 respectivamente:
Bd1
Bd2
La equivalencia de las métricas se puede interpretar como la posibilidad de
incluir una bola genérica asociada a una métrica, dentro de la bola genérica
asociada a la otra métrica, y viceversa.
Bd1 ⊂ Bd2
Bd2 ⊂ Bd1
35
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Nota histórica
La noción de espacio métrico fue introducida en 1906 por M.Fréchet, y
fue desarrollada por F. Hausdorff en el trabajo titulado Grundzüge der
Mengenlehre (Teoría de conjuntos). El concepto alcanzó gran importancia
después de 1920 debido a la escuela polaca y fundamentalmente a los
trabajos de investigación sobre los espacios normados y Análisis
funcional.
Fréchet,
también
introdujo
la
noción
de
espacio
precompacto
o
“totalmente acotado”, concepto que se verá en este texto en el objetivo
Nº 3.
M. Fréchet
(1878-1973)
Consulta en otros libros
•
Realiza la lectura de la página 23 a la página 60 del libro UNA. J.
González, E. Torres y O. Monagas (1982).Topología. Tomo I.
36
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Consulta en la Web
Le recomendamos acceder a las siguientes direcciones electrónicas para
ampliar sus conocimientos en relación al concepto de métrica:
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/APtopo1.pdf
http://www.fceia.unr.edu.ar/~fismat2/practicas03/apun3-fismat2-2003.pdf
http://www.fing.edu.uy/~eleonora/dvi/espaciosmetricos04.pdf
Ejercicios y actividades propuestas
A continuación se propone una lista de ejercicios, que deberá tratar de
resolver, usando los conceptos, definiciones y métodos desarrollados en esta
unidad. Consulte las respuestas con su asesor.
1. Considerando el
C0 [ a, b]
, el conjunto de las funciones acotadas en [ a, b ] .
Pruebe que la función d definida por:
d ( f , g ) = sup { f ( x )− g ( x ) : x ∈ [ a, b ]}
es una métrica.
2. Sea
d
una métrica en X. Demuestre que la métrica definida por:
d1 = min {1, d ( x, y )} es equivalente a d .
3. Si ( E , d ) es un espacio métrico, a ∈ E y r > 0 , demuestre que la bola abierta:
B (a; r ) = { x ∈ E d ( x, a ) < r} es un conjunto abierto.
4. Si consideramos al espacio métrico
(
2
, d ) , donde d es la métrica usual, y los
conjuntos: A = {( x, y ) : y = x 2 − 2 x + 4} , B = {( x, y ) : y = 0} Hallar la distancia entre
ambos conjuntos.
5.
Demuestre
f:
que
la
función
f ( x, y, z ) = ( x + 1, y + 2, z ) , es una isometría en
Interprete este resultado geométricamente.
37
⎯⎯
→ 3
definida
como:
3
, respecto a la métrica usual.
3
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
6. Sea E = {a, b, c, d, e}, y d la métrica discreta. Halle:
( ) = { x ∈ E : d ( x, a ) < }
B ( a , ) = { x ∈ E : d ( x, a ) ≤ }
a. B a,
1
3
1
3
b.
1
3
1
3
c. B ( c, 2 ) = { x ∈ E : d ( x, c ) < 2}
d. B ( e, 4 ) = { x ∈ E : d ( x, e ) < 4}
7. Sea A ⊂ ( , d ) con d = métrica usual. Pruebe que si A es acotado, entonces
α = Sup ( A) y β = Inf ( A ) , son puntos de acumulación de A .
8. Considere el espacio métrico
(
2
, d ) ,( d =métrica usual). Pruebe que el conjunto
B = {( x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}
es un conjunto cerrado.
9. Consideremos al conjunto
⊂
. Halle la frontera y el borde de
.
⎛ ⎞
⎝ ⎠
10. Sea ( X , d ) un espacio métrico y A ⊂ X . Pruebe que β ⎜ A ⎟ ⊂ β ( A )
11. Demuestre que A es el menor conjunto cerrado que contiene a A.
12. Halle el conjunto derivado y la clausura del subconjunto del plano:
S = {( x, y ) : y ≤ − x + 1}
13. Consideremos las aplicaciones d1 y d 2 definidas sobre el plano de la siguiente
forma: d1 ( x, y ) = x 3 − y 3 y d 2 ( x, y ) = x 2 − y 2 . Demuestre que:
a) d1 es una métrica en
b) d 2 no es una métrica en
1
6n + 1
+ 1 y bn =
. Halle el
3n + 2
n
conjunto derivado y el conjunto de adherencia de los conjuntos:
A = {a1 , a2 , a3 ,..., an ,...} ; B = {b1 , b2 , b3 ,..., bn ,...} ; C = {a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ,..., an + bn ,...}
14.
Considere las sucesiones numéricas:
38
an =
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
⎧
3x 2 − x + 1⎫
15. a) Halle la distancia entre el conjunto A = ⎨( x, y ) ∈ R 2 / y =
⎬
x +1 ⎭
⎩
conjunto B = {( x, y ) ∈ R 2 / y = 3x}
y el
b) Demuestre que si d1 , d 2 ,..., d n son métricas en un conjunto X , entonces la
n
→ R + , definida por d ( x, y ) = ∑ di ( x, y ) , es una métrica en
función d : X × X ⎯⎯
i =1
X.
16. Sea el conjunto de números reales S = {1/n, tal que n ≥1}.
a. Pruebe que S no es cerrado en R.
b. Halle la clausura de S
17. Considere el siguiente conjunto:
X = {amor, ramo, armo}
→ R , de la manera siguiente:
Definiendo la función d : X × X ⎯⎯
d (Palabra 1, Palabra 2) = Nro. de letras distintas, en la misma posición .
Ejemplos
Ejemplo1: d (amor, armo) = 3
a)
(Sólo coinciden en la letra de la primera posición: la
Ejemplo2: d (amor, amor) = 0
(no difieren en letras en la misma posición)
a) Pruebe que (X ,d ) es un espacio métrico.
b) Halle todas las palabras de X que disten a la palabra ramo una cantidad
menor a tres unidades
18. Considere en el espacio métrico
{
subconjunto B[a , r ] = x ∈
abierto en 3 .
19. Sea
f ( x) =
3
(
3
, d ) donde d
es la métrica usual, el
: d ( x, a ) ≤ r} . Pruebe que B[ a , r ] no es un conjunto
R ∗ = R ∪ {∞, −∞} , y sea
f : R ∗ → [ −1,1] la función definida por:
x
si x∈ R, f (∞ ) = 1 y f ( −∞) = −1
1+ x
Pruebe que la función: d ( x, y ) = f ( x) − f ( y ) es una métrica de R ∗ .
39
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
20. Sea X un espacio métrico y A ⊂ X. Pruebe que x es un punto de adherencia
de A , si y sólo si, d ( x, A ) = 0
Ejercicios de Autoevaluación
A continuación se propone una lista de ejercicios, que evaluarán el grado de
aprendizaje que ha alcanzado. Deberá resolver todos los ejercicios, usando los
conceptos, definiciones y métodos desarrollados en la Unidad I. Las respuestas de
estos ejercicios las puede consultar al final del capítulo.
1. Considere el conjunto
2
{ xn }n≥1 , de números reales
de todas las sucesiones
tales que la serie
∞
∑x
n =1
es convergente. Demuestre que la función
d ({ xn } , { yn }) =
es una métrica de sobre
2
2
n
2
d:
∞
∑( x
n =1
n
×
2
− yn )
→
, definida por:
2
.
2. Sea ρ una seudo métrica (écart) sobre un conjunto F . Para x, y ∈ F
definimos x ∼ y ⇔ ρ ( x, y ) = 0
a) Demostrar que es una relación de equivalencia sobre F .
b) Sean x ∼ x ', y ∼ y ' . Compruebe que ρ ( x, y ) = ρ ( x ', y ')
c) Sea E = F / ∼ (conjunto cociente respecto ∼ ). Para cada X , Y ∈ E tomemos
x ∈ X , y ∈ Y , y definamos: d ( X , Y ) = ρ ( x, y ) .
Demostrar que d es una métrica sobre E .
3. Sea
{d n } una
sucesión de métricas, todas ellas sobre el mismo conjunto E,
d n ( x, y ) ≤ 1 para todo n ∈
, y para todo x, y ∈ E. Demostrar que:
40
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
∞
dn
, es una métrica sobre E.
n
n=0 2
b) Si n =1, entonces la métrica e ( x, y ) = mìn {1, d1 ( x, y )} es equivalente a d1
a) d = ∑
4. Demostrar que todo subconjunto U abierto del plano R 2 es unión de discos
abiertos.
5. Sea C [ 0,1] la clase de todas las funciones reales continuas en el
intervalo I = [ 0,1] .
a) Demostrar que d ( f , g ) = ∫ f ( x) − g ( x) dx es una métrica en C [ 0,1] .
1
0
{
1
}
b) Demostrar que la métrica d1 ( f , g ) = mín 1, ∫ f ( x) − g ( x) dx es equivalente a
0
la métrica d definida en el punto a).
6. Dados un conjunto no vacío X; (Y, d) un espacio métrico y f : X ⎯⎯
→ Y una
función inyectiva. Entonces si se define d1 : X × X ⎯⎯
→ R de la manera
siguiente: d1 ( x, y ) = d ( f ( x), f ( y )) para x, y ∈ X . Demostrar que d1 es una métrica
en X.
7. Dado (X, d) espacio métrico y A subconjunto de X. Probar que:
o
∂ ( A) ⊂ ∂ ( A)
8. Dados
X=
,
(
, d ) el espacio métrico con la métrica usual y f :
⎯⎯
→
la función definida por:
d ( x, y ) = e x − e y
Demostrar que d es una métrica en
9. Sea B [ a, r ] una bola cerrada de centro a y radio r en un espacio métrico X .
Demostrar que el conjunto X − B [ a, r ] es un conjunto abierto.
41
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Respuestas a los ejercicios de autoevaluación
1. Antes que todo es importante observar que la función está bien definida,
∞
sean { xn } y
∞
∑x
n =1
n
{ yn } elementos de
2
, entonces
∞
∑x
n =1
2
n
∞
<∞
y
∑y
n =1
2
n
< ∞ , luego
∞
− yn = ∑ x n − 2 xn yn + y n ≤ ∑ x n2 + 2 xn yn + y n2
2
2
2
n =1
n =1
∞
(
∞
)
∞
¿ por qué? →≤ ∑ x n + x n + y n + y n = 2∑ x n + 2∑ y n2 < ∞
n =1
2
2
2
2
2
n =1
n =1
Veremos ahora que la función dada es una métrica sobre
2
.
a. Es claro que d ({ xn } , { yn }) ≥ 0
∞
b. d ({ xn } , { yn }) = 0 ⇔ ∑ ( xn − yn ) = 0 ⇔ xn = yn . Por lo tanto
2
n =1
d ({ xn } , { yn }) = 0 ⇔ { xn } y { yn } son iguales.
∞
∞
c. d ({ xn } , { yn }) = ∑ ( xn − yn ) = ∑ ( yn − xn ) = d ({ yn } , { xn })
2
n =1
n =1
d. Sean { xn } , { yn } , { zn } elementos de
k
∑ ( xn − yn )
n =1
2
2
≤
2
k
, entonces:
∑ ( xn − zn )
n =1
2
+
k
∑(z
n =1
n
− yn )
2
para todo entero positivo k. Tomando límite cuando k tiende a
(*)
∞ , tenemos que:
d ({ xn } , { yn }) ≤ d ({ xn } , { zn }) + d ({ zn } , { yn })
entonces, se verifica la desigualdad triangular. De 1, 2,3 y 4 se obtiene que d es
una métrica sobre
2
42
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
2.
Parte a)
i.
Reflexividad:
Como ρ ( x, x ) = 0 ⇒ x ∼ x
ii.
Simetría:
Si x ∼ y ⇒ 0 = ρ ( x, y ) = ρ ( y, x ) , entonces y ∼ x
iii.
Transitividad:
Sean x ∼ y ∧
y ∼ z , entonces
ρ ( x, z ) ≤ ρ ( x, y ) + ρ ( y , z ) = 0 + 0 = 0
Entonces x ∼ z .
Parte b)
Si x ∼ x ' ∧
y ∼ y ' , por lema 1 de 1.1, tenemos que
ρ ( x, y ) − ρ ( x ', y ') ≤ ρ ( x, x ') + ρ ( y, y ') = 0 + 0 = 0 .
entonces
ρ ( x, y ) = ρ ( x ', y ')
Nota: Verificar que el lema usado es válido para seudo métricas
Parte c)
i) Si X , Y ∈ E , es obvio que ρ ( X , Y ) ≥ 0 .
ii) Sea X , Y ∈ E
d ( X , Y ) = 0 ⇔ ∀x ∈ X ∧ ∀y ∈ Y : ρ ( x, y ) = 0 ⇔ x ∼ y ∧ y ∼ x ⇔ x ∈ Y ∧ y ∈ X ⇔ X = Y
iii)
Sea X , Y ∈ E; x ∈ X ∧ y ∈ Y , entonces d ( X , Y ) = ρ ( x, y ) = ρ ( y, x ) = d (Y , X )
iv)
Sea X , Y , Z ∈ E; x ∈ X , y ∈ Y , z ∈ Z , entonces
d ( X , Y ) = ρ ( x, y ) ≤ ρ ( x, z ) + ρ ( y , z ) = d ( X , Z ) + d ( Y , Z )
En resumen, ρ es una métrica.
3. Parte a)
i) Se debe observar que d ( x, y ) es un número real positivo, ya que:
∞
dn ∞ 1
≤ ∑ n = 2.
n
n=0 2
n=0 2
d =∑
d n ( x, y )
⇔ d n ( x, y ) = 0 para todo n, entonces x = y .
2n
n=0
∞
d ( x, y ) ∞ d n ( y , x )
iii) d ( x, y ) = ∑ n n
=∑
= d ( y, x ) .
2
2n
n=0
n=0
∞
ii) Si 0 = d ( x, y ) = ∑
43
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
d n ( x, y ) ∞ d n ( x, z ) ∞ d n ( z , y )
≤∑
+∑
= d ( x, z ) + d ( z , y ) .
2n
2n
2n
n=0
n=0
n=0
∞
iv) d ( x, y ) = ∑
Parte b)
Se debe observar que por definición:
1
d1 ( x, y ) ≤ e ( x, y ) ≤ 1.d1 ( x, y ) , por lo tanto
2
e y d1 son equivalentes.
4. Si U es un abierto del plano, y p ∈U, entonces existe un disco B ( p, ε ) de
centro p y radio ε>0 tal que: p ∈ B ( p, ε ) ⊂ U , entonces:
∪ B ( p, ε ) ⊂ U , por lo
p∈U
tanto:
∪ B ( p, ε ) = U .
p∈U
5.
a) Debemos recordar que d : X ⎯⎯
→ R es una métrica en X si se cumple que:
i ) d ( x, y ) ≥ 0 y d ( x, y ) = 0 ⇒ x = y
ii ) d ( x, y ) = d ( y, x)
iii ) d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z , y )
Para todo x, y, z ∈ X
Es obvia la primera parte de i), se probará la segunda parte de i)
Si d ( f , g ) = 0 ⇒ ∫ f ( x) − g ( x) dx = 0 como f y g son continuas en [ 0,1] ,
1
0
f ( x) − g ( x)
es
[0,1] ,
f ( x) = g ( x) , para todo x ∈ [ 0,1] .
continua
tanto f ( x) − g ( x) = 0 ¿ por qué? ⇒
en
por
lo
También es obvia la parte ii). Se probará la parte iii).
1
1
d ( f , g ) = ∫ f ( x) − g ( x) dx = ∫ f ( x) − h( x) + h( x) − g ( x) dx ≤
0
∫
1
0
0
1
f ( x) − h( x) dx + ∫ h( x) − g ( x ) dx = d ( f , h) + d (h, g ) .
0
b) Recordemos que dos distancias d1 y d son equivalentes si podemos encontrar
α,β
tales
que
para
cualquier
x,
y:
constantes
positivas
αd1 ( x, y ) ≤ d ( x, y ) ≤ βd1 ( x, y )
Se puede observar que por definición: d1 ≤ d ≤ 2d1
44
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
6. Debemos recordar que una métrica en un conjunto X no vacío, es una función
d : X × X ⎯⎯
→ R , que cumple con las siguientes condiciones para todo x, y, z ∈ X :
a) d ( x, y ) ≥ 0 y d ( x, y ) = 0 ⇔ x = y
b) d ( x, y ) = d ( y, x)
c) d ( x, z ) = d ( x, y ) + d ( y, z )
Veremos que d1 cumple con las propiedades anteriores.
i. Es obvio que d1 ( x, y ) ≥ 0 , si
ii. 0 = d1 ( x, y ) = d ( f ( x), f ( y )) ⇒ f ( x) = f ( y ) ⇒ x = y por ser f inyectiva.
iii. Además, también es obvio que x = y ⇒ d1 ( x, y ) = 0
iv. d1 ( x, y ) = d ( f ( x), f ( y )) = d ( f ( y ), f ( x)) = d1 ( y, x)
v. d1 ( x, z ) = d ( f ( x), f ( z )) ≤ d ( f ( x), f ( y )) + d ( f ( y ), f ( z )) = d1 ( x, y ) + d1 ( y, z )
Luego d1 es una métrica en X .
o
o
7. Sea x ∈ ∂ ( A) y ε > 0 , entonces: B ( x, ε ) ∩ A ≠ ∅ y B( x, ε ) ∩ ( X − A) ≠ ∅ . Como
o
o
A ⊂ A , resulta B ( x, ε ) ∩ A ⊃ B( x, ε ) ∩ A , entonces B( x, ε ) ∩ A ≠ ∅ .
o
o
Por otra parte, como x ∈ ∂ ( A) , se tiene que: x ∉ A . Luego quedan dos
posibilidades para x: o bien x ∈ ∂ ( A) o bien x ∈ X − A . En cualquier caso se tiene
o
que: B( x, ε ) ∩ ( X − A) ≠ ∅ . Por lo tanto ∂ ( A) ⊂ ∂ ( A) .
8. Debemos recordar que una métrica en un conjunto X no vacío, es una función
d : X × X ⎯⎯
→ R , que cumple con las siguientes condiciones para todo x, y, z ∈ X :
i) d ( x, y ) ≥ 0 y d ( x, y ) = 0 ⇔ x = y
ii) d ( x, y ) = d ( y, x)
iii) d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y, z )
Veremos que d cumple con las propiedades anteriores.
i) Es obvio que d ( x, y ) = e x − e y ≥ 0 , si 0 = d ( x, y ) = e x − e y ⇒ e x = e y ⇒ x = y
por ser f inyectiva. Además también es obvio que x = y ⇒ d ( x, y ) = 0
ii) d ( x, y ) = e x − e y = e y − e x = d ( y , x)
iii) d ( x, z ) = e x − e z = e x − e y + e y − e z ≤ e x − e y + e y − e z = d ( x, y ) + d ( y, z )
Luego d es una métrica en X .
45
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
9. Si x ∈ X − B [ a, r ] , x no es punto adherente de B [ a, r ] , o sea x es un punto
aislado de B [ a, r ] , y esto indica ¿porqué? que x ∈ X − B [ a, r ] , y por lo tanto es
abierto.
46
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Tema: Espacios Conexos
OBJETIVO 2
Aplicar el concepto de conjunto conexo de un espacio métrico y sus
propiedades.
ESPACIOS CONEXOS
En este tema, se introduce la noción de conectividad o conexidad de un
espacio métrico. Específicamente, se introduce la noción de componente conexa
de un espacio métrico. Se estudia la clausura y la unión de espacios conexos.
También es introducida la noción de espacio localmente conexo y algunas de
sus propiedades.
Recomendaciones para el estudio del contenido de la unidad
•
Repasar conceptos de métrica y espacio métrico estudiadas en el objetivo 1.
•
Estudiar el capítulo III del libro de texto principal.
•
Resolver los problemas propuestos en el libro de texto y en la guía
instruccional, correspondientes a este objetivo.
•
Resolver los problemas propuestos en la bibliografía complementaria,
correspondientes a este objetivo.
•
Consultar otras fuentes bibliográficas.
Competencias esperadas del alumno
Al concluir el estudio de esta unidad, el estudiante deberá estar capacitado
para responder las siguientes preguntas:
• ¿Cómo se caracteriza un conjunto conexo?
• ¿Cómo determinar cuando una componente es conexa?
• ¿Cómo determinar cuando un espacio métrico es localmente conexo?
• ¿Qué tipo de conjuntos caracterizan a los conjuntos conexos en la recta
real?
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Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
ESPACIOS CONEXOS
Recomendaciones para desarrollar el tema
•
Leer con detenimiento el capítulo III del texto principal.
•
Escribir las definiciones con todo detalle para internalizar las mismas.
•
Estudiar y reproducir los teoremas expuestos en este capítulo, verificando las
condiciones de necesidad y suficiencia.
•
Resolver los ejercicios propuestos al final de cada capítulo.
Recordatorio Conjuntos conexos
Sea A un conjunto no vacío en un espacio métrico ( E , d ) .
a) Se dice que los conjuntos S , T son una disconexión de A , si son no vacíos,
disjuntos, abiertos en el subespacio ( A, d ) y A = S ∪ T .
b) Decimos que el conjunto A es disconexo o no conexo si admite una
disconexión.
c) Decimos que el conjunto A es conexo si no es disconexo.
Ejemplo 2.1 (Conjunto conexo)
El conjunto de números reales
el conjunto
, es conexo. Esto se puede interpretar que
, es de una sola “pieza”.
Ejemplo 2.2 (Conjunto no conexo)
El conjunto A = [ 0,1] ∪ [ 2,3] no es conexo. A no es conjunto de una sola “pieza”.
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Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejercicios y actividades propuestas 2.1 (Conjuntos conexos)
Sea X = el conjunto de los números racionales con la métrica usual y sea
A ⊂ X un subconjunto con más de un elemento. Pruebe que A es disconexo.
Prueba
Elijamos a y b en A , supongamos que a < b , también escogemos
c ∈ ( a, b ) y construimos los siguientes conjuntos abiertos:
U = {x ∈
: x < c} y V = { x ∈
un
: x > c}
Es claro que U y V abiertos son disjuntos y su reunión es el conjunto A , o
sea forman una disconexión de A .
Recordatorio (Componente de un conjunto)
Sea A es un conjunto no vacío en un espacio métrico
( E, d ) .
Si x ∈ A ,
denotaremos por C( x ) al conjunto conexo maximal, contenido en A y que
contiene a x .
Ejemplo 2.3 (Componente de un conjunto)
La única componente conexa de
un conjunto conexo
es él mismo. Esto ocurre porque
es
Ejemplo 2.4 (Componente de un conjunto)
En
(
, d ) con la métrica usual, consideremos el conjunto A = ( 0,1) ∪ (1, 2 ) ,
entonces las componentes de A son C1 = ( 0,1) y C2 = (1, 2 ) .
50
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Recordatorio (Espacios localmente conexos)
Consideremos el espacio métrico
( E, d ) .
Diremos que E es localmente
conexo si para todo punto x ∈ E y todo entorno S de x , existe un entorno T de
x , tal que T ⊂ S y T es conexo.
Ejemplo 2.5 (Espacios localmente conexos)
Todo intervalo de
conexo.
, es localmente conexo, y por lo tanto
, es localmente
Ejemplo 2.6 (Espacios localmente conexos)
Consideremos a
con la métrica usual, entonces el subespacio
A = ( −∞, 0 ) ∪ ( 0, ∞ )
es localmente conexo, pero no es conexo.
Ampliación de conocimientos
La propiedad de conexidad en la recta real, sólo atribuida a los intervalos,
no es una propiedad algebraica, es más bien una propiedad del orden en la recta
real. Para ampliar más el conocimiento sobre esta importante propiedad, el
alumno puede remitirse al libro de Munkres (2000). Topología. Páginas 174-175.
Consulta en la Web
Se recomienda acceder a la siguiente dirección electrónica para ampliar sus
conocimientos en relación al concepto de espacio conexo:
http://www.um.es/docencia/pherrero/conexos.pdf
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Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejercicios y actividades propuestas
A continuación se propone una lista de ejercicios, que deberá tratar de
resolver, usando los conceptos, definiciones y métodos desarrollados en esta
unidad. Consulte las respuestas con su asesor.
1. Decir cuáles de los conjuntos siguientes es conexo y ¿por qué?
A = {( x, y, z ) ∈
3
: x ≠ 2}
B = {( x, y, z ) ∈
3
: x 2 + y 2 − z = 0}
C = {( x, y, z ) ∈
3
: x 2 + y 2 + z 2 = 1}
2. Sea ( E , d ) un espacio métrico y A subconjunto de E . Demostrar que si A es
conexo entonces A es conexo. ¿Es cierto el recíproco?
3. Sea ( X , d ) un espacio métrico y A , B subconjuntos de X . Pruebe:
Si A y B son conexos con A ∩ B ≠ ∅ , entonces A ∪ B es conexo.
4. Explicar con ejemplos la independencia de los conceptos de espacio conexo y
espacio localmente conexo.
5. Sabiendo que las componentes conexas son siempre cerradas, demostrar que
si hay un número finito de éstas, entonces también son abiertas.
6. Sea X localmente conexo. Demostrar que si A ⊂ X es abierto, entonces A
es localmente conexo. Dar un contraejemplo si A es cerrado.
7. Probar que todo espacio métrico discreto con más de un elemento, es
totalmente disconexo.
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Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
8. Probar que si C es conexo y x es un punto de acumulación de C, entonces
C ∪ { x} es conexo.
9. Exhibir un ejemplo de un conjunto conexo que no sea arcoconexo.
10. Demostrar que los puntos son los únicos subconjuntos conexos de
con la
métrica usual.
11. Demostrar que en
2
con la métrica usual, los complementos de conjuntos
numerables son conexos.
12. Demostrar que en un espacio métrico el interior, la frontera, la intersección y la
unión de conjuntos conexos no tienen por qué ser un conjunto conexo.
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Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejercicios de autoevaluación
A continuación se propone una lista de ejercicios, que evaluarán el grado de
aprendizaje que ha alcanzado. Deberá resolver todos los ejercicios, usando los
conceptos, definiciones y métodos desarrollados en esta unidad Las respuestas
de estos ejercicios las puede consultar al final del capítulo.
1. Pruebe que un espacio métrico
( X , d ) es
conexo si, y sólo si los únicos
subconjuntos con frontera vacía son X y ∅ .
2. Sean A y B conjuntos cerrados y no vacíos de un espacio métrico
( E, d ) .
Demostrar que si A ∪ B y A ∩ B son conexos, entonces A y B son conexos.
3. Sea
( X , d ) un espacio métrico. Demostrar que toda componente C es cerrada.
4. Probar que la unión finita de subconjuntos localmente conexos no es en
general, localmente conexa.
5. Demostrar que si f : X ⎯⎯
→ Y es continua, y X es un espacio Conexo,
entonces f ( X ) es conexo. Considerar la topología de f ( X ) como la relativa en
Y
6. Probar que [ 0,1] es conexo.
7. Demostrar que si A ⊂ X es conexo, entonces cualquier subconjunto B ⊂ X , tal
que A ⊂ B ⊂ A , es también conexo.
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Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Respuestas a los ejercicios de autoevaluación
1. a) Supongamos que ( X , d ) es conexo, eligiendo A ⊂ X , distinto de vacío y de
X veremos que β ( A ) ≠ ∅ . Si
(
)
β ( A) = A ∩ X − A = ∅
se tendría que
(
( (
)
))
A ∪ X − A ⊃ ( X − A) ∪ X − X − A = X
o sea
(
)
A∪ X − A = X
Esto indica que A y
( X − A) forman una disconexión de X
por cerrados
no vacíos lo cual es una contradicción, por lo tanto:
(
)
β ( A) = A ∩ X − A = ∅
b) Suponiendo que X no es conexo, entonces existen dos cerrados disjuntos
A y B que cumplen:
X = A∪ B , ∅ = A∩ B
Por lo tanto
(
)
β ( A) = A ∩ X − A = A ∩ B = A ∩ B = ∅
Contradicción, por lo tanto X es conexo.
2. Se debe observar que A ∩ B ≠ ∅ , ya que si esto no ocurre, A y B sería una
partición de cerrados no vacíos de A ∪ B , y por lo tanto A ∪ B no sería conexo.
Si suponemos que A no es conexo, entonces existen dos cerrados no
vacíos M y N , en A tales que A = M ∪ N y M ∩ N = ∅ . Como A es cerrado
M y N son cerrados en E. Considerando los cerrados M ∩ B y N ∩ B .
Entonces
( M ∩ B) ∪ ( N ∩ B) = A ∩ B
( M ∩ B) ∩ ( N ∩ B) = ∅
Se tiene que si M ∩ B ≠ ∅ y N ∩ B ≠ ∅ , resultaría que A ∩ B no sería
conexo, contradiciendo la hipótesis. Si alguno de ellos fuera distinto de ∅, por
55
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
ejemplo M ∩ B ≠ ∅ ( se debe notar que ambos no pueden ser vacíos, porque su
unión es A ∩ B ≠ ∅ ).
Entonces
conjunto
M y N ∪ B forman una partición de cerrados no vacíos del
A ∪ B (comprobarlo!), por lo tanto A ∪ B no sería conexo, esto
contradice la hipótesis, luego
A es conexo. Similarmente se prueba que B es
conexo.
3. Como C ⊂ C y C es conexa (Ejercicio1 de ejercicios y actividades
propuestas), entonces C = C por maximalidad de C , por lo tanto C es
cerrado.
4. Considerando los subconjuntos de
:
⎧1
⎫
A = ⎨ : n ∈ ⎬ , B = {0}
⎩n
⎭
Entonces A y B son localmente conexos, ya que son espacios discretos.
Pero A ∪ B , no es localmente conexo, ya que los entornos de 0 no son conexos.
5. Si se supone que f ( X ) no es conexo en Y, existen U y V abiertos tales que:
f ( X ) = U ∪ V y U ∩ V = ∅ , entonces: X = f −1 ( X ) = f −1 (U ) ∪ f −1 (V ) , como f es
continua, f −1 (U ) y f −1 (V ) son abiertos y además son disjuntos ¿por qué?,
formando una desconexión de X , lo cual es una contradicción. Por lo tanto f ( X )
es conexo.
6. Supongamos que no es conexo, sea U , V una disconexión de [ 0,1] . Podemos
suponer que 1 ∈ V . Sea α = sup { x : x ∈ U } , es claro que α ∈ [ 0,1] . Se puede
suponer también que α ≠ 0,1 , porque en estos casos se llega a una contradicción
( α = 0 ⇒ V = [ 0,1] , y α = 1 ⇒ V no es abierto, ya que no existiría ningún entorno de
1 contenido en V). Ahora si α ∈ U , como U es abierto, existe ε > 0 tal que
ε
α ∈ (α − ε , α + ε ) ⊂ U , obteniendo una contradicción, porque α < α + ∈ U y α no
2
sería cota superior de U . Similarmente, si α ∈ V entonces, α ∈ (α − ε , α + ε ) ⊂ V y
α−
ε
es también cota superior de U , y por lo tanto no sería mínima. En
2
conclusión α ∉ U ∪ V contradiciendo que U , V es una separación.
56
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
7. Si U , V fuera una disconexión de B, entonces A ⊂ U o A ⊂ V , ya que si no
A ∩ U , A ∩ V , sería una disconexión de A . Supongamos entonces que A ⊂ U ,
entonces A ⊂ X − V , porque X − V es cerrado y contiene a A . Esto último implica
que B ⊂ X − V y por lo tanto U ,V no sería una separación o disconexión de B.
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Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Tema: Compacidad
OBJETIVO 3
Aplicar el concepto de conjunto compacto de un espacio métrico y sus
propiedades a problemas de topología y análisis.
COMPACIDAD
En este tema se establece la noción de espacio métrico compacto. También
se introduce el concepto de Conjunto acotado, y el Diámetro de un conjunto. Una
parte de este capítulo se dedica a desarrollar el concepto de Espacio precompacto
y sus propiedades. La noción y definición de Conjunto relativamente compacto, se
destaca al final del capítulo.
Recomendaciones para el estudio del contenido de la unidad
•
Repasar los conceptos de los objetivos 1 y 2.
•
Estudiar el capítulo IV del libro de texto principal.
•
Resolver los problemas propuestos en el libro de texto y en la guía
instruccional, correspondientes a este objetivo.
•
Resolver los problemas propuestos en la bibliografía complementaria
correspondientes a este objetivo.
•
Consultar otras fuentes bibliográficas.
Al concluir el estudio de esta unidad en el libro, el estudiante deberá estar
capacitado para responder las siguientes preguntas:
• ¿Cómo se caracteriza un conjunto compacto?
• ¿Cómo determinar cuando un conjunto es separable?
• ¿Cómo se determina cuando un espacio relativamente compacto?
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Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Recordatorio (Conjuntos acotados. Diámetro)
Sea
A un conjunto no vacío en un espacio métrico ( E , d ) .
a.) Se dice que A es acotado, si existe algún número real k > 0 tal que:
Para todo x, y ∈ A : d ( x, y ) ≤ k
b.) Se define Diámetro del conjunto A al número:
δ ( A) = sup {d ( x, y )}
x , y∈ A
Ejemplo 3.1 (Conjunto acotado)
Si consideramos en el plano con la métrica usual, la bola de radio r
B (a; r ) = { x ∈ E d ( x, a ) ≤ r}
entonces, esta conforma un conjunto acotado y además su diámetro es 2 r
Ejemplo 3.2 (Conjunto no acotado)
Si consideramos el plano con la métrica usual y el conjunto:
A = {( x, y ) x ≥ 0; y ≥ 0}
resulta que A no es acotado, ya que se puede escoger dos puntos en el conjunto
A arbitrariamente “lejanos”.
61
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Recordatorio (Conjuntos precompactos o totalmente acotados)
Si A es un conjunto no vacío en un espacio métrico ( E , d ) .
Se dice que
A es precompacto, si para todo número real ε > 0
corresponde un conjunto finito de puntos x1 , x2 ,..., xn ∈ A , tales que
N
A ⊂ ∪ N ( xk ; ε )
k =1
Ejemplo 3.3 (Conjunto precompacto)
El intervalo [ 0,1] en
, con la métrica usual es precompacto. Esto se
infiere haciendo uso del teorema de Heine-Borel estudiado en el curso de Análisis
I. Las hipótesis usadas para aplicar este teorema son, que [ 0,1] es cerrado y
acotado.
Ejercicios y actividades propuestas 3.1 (Conjunto precompacto)
Si A y B son subconjuntos precompactos, pruebe que
precompacto.
A ∪ B es
Prueba
Dado ε > 0 existen x 1 , x 2 , ..., x n ∈ A y y 1 , y 2 , ..., y n ∈ B tales que
A ⊂
n
∪
B ( xi , ε ) y B ⊂
i =1
m
∪
B ( yi , ε )
i =1
Entonces,
A ∪ B ⊂
n+m
∪
i =1
Por lo tanto A ∪ B es precompacto.
62
B ( zi , ε )
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Recordatorio (Conjuntos separables)
Se dice que A es separable si existe un conjunto contable (numerable) S
con S ⊂ A , tal que:
A=S
Se dice que el espacio ( E , d ) es separable, si el conjunto E es separable.
En otras palabras:
( E, d )
es separable, si contiene un subconjunto denso y
numerable.
Ejemplo 3.4 (Conjunto separable)
Considerando el espacio métrico
un espacio separable ya que el conjunto
(
n
n
, d ) , donde d es la métrica usual, es
=
×
× ... ×
es denso en el.
n-veces
Ejemplo 3.5 (Espacio separable)
En el espacio de las funciones continuas C [ 0,1] consideremos el
subconjunto C0 de todos los polinomios a coeficientes racionales. C0 es
numerable y además también es denso en C [ 0,1] .
En efecto, si tomamos una función arbitraria f en C [ 0,1] , de acuerdo al
teorema de Weierstrass (visto en el curso de Análisis I), dado un ε > 0 , existe un
polinomio P tal que
máx f (t ) − P (t ) <
t∈[0,1]
ε
2
Como P es a su vez una función continua en [0,1], de nuevo por el teorema
de Weierstrass, existe un polinomio P0 tal que
máx P(t ) − P0 (t ) <
t∈[0,1]
63
ε
2
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Por lo tanto
d ( f , P ) = máx f (t ) − P0 (t ) < ε
t∈[ 0,1]
En resumen C [ 0,1] es un espacio separable.
Recordatorio (Conjuntos compactos)
Sea A un conjunto no vacío en un espacio métrico ( E , d ) .
Se dice que A es compacto, si toda cobertura abierta de A admite una
subcobertura finita.
Ejemplo 3.6 (Conjunto compacto)
Todo intervalo cerrado [ a, b ] es un conjunto compacto, como en el ejemplo
3.3 esta aseveración se obtiene utilizando el Teorema de Heine-Borel.
Ejemplo 3.7 (Conjunto compacto)
Todo subconjunto finito de un espacio métrico es compacto. En cierto
sentido la compacidad es una generalización de la finitud de un conjunto.
Ejemplo 3.8 (Conjunto no compacto)
El conjunto n con la métrica usual no es compacto, ya que no es acotado.
(ver . Cap. IV, corolario 2, pág. 93.)
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Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejercicios y actividades propuestas 3.2 (Conjunto compacto)
Demuestre que todo subconjunto cerrado de un espacio compacto es
compacto.
Demostración
Sea C un subconjunto cerrado de un espacio métrico compacto X ,
considerando la cobertura por abiertos {U i ∩ C}i∈I , se tiene que
{U i ∩ C} ∪ ( X − C ) ,
es una cobertura o recubrimiento por abiertos de X , al ser
X − C , U1 , U 2 ,..., U n .
este compacto, existe un recubrimiento finito de X :
Entonces, U1 ∩ C , U 2 ∩ C ,..., U n ∩ C es una subcobertura o subrecubrimiento de C .
Recordatorio (Conjuntos relativamente compactos)
Sea A es un conjunto no vacío en un espacio métrico ( E , d ) . Se dice que A
es relativamente compacto, si su clausura es compacta.
Ejemplo 3.9 (Conjunto relativamente compacto)
En el espacio
(
n
, d ) con d la métrica usual, entonces toda bola abierta
B ( x, r ) , r > 0 es un conjunto relativamente compacto.
En efecto, B ( x, r ) = B ( x, r ) es compacto en
cerrado y acotado en
n
n
, ya que es un conjunto
.
Ampliación de conocimientos
Para ampliar más el conocimiento del concepto de espacio métrico
compacto, el alumno puede remitirse al libro de Seymour Lipschutz (1970).
Topología general. Páginas 151-166.
65
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Consulta en la Web
Se recomienda acceder a la siguiente dirección electrónica para ampliar sus
conocimientos en relación al concepto de espacio compacto
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/vmunoz/chamizo.pdf
Ejercicios y actividades propuestas
A continuación se propone una lista de ejercicios, que deberá tratar de
resolver, usando los conceptos, definiciones y métodos desarrollados en esta
unidad. Consulte las respuestas con su asesor.
1. Probar que toda bola abierta es un conjunto acotado
2. Probar que todo espacio métrico discreto, finito es compacto.
3. Probar que el intervalo abierto (0,1) en R no es compacto.
4. Probar que la unión de dos conjuntos compactos es compacto.
5. Sea X un espacio métrico compacto y {U α } un cubrimiento por abiertos de X.
Demostrar que existe un número real positivo λ tal que para cualquier bola de
radio λ , B ( λ , y ) se tiene que B ( λ , y ) ⊂ U α para algún α .
6. Encontrar dos subconjuntos compactos cuya intersección no lo sea.
7. Probar usando la definición que el conjunto
{0} ∪ {an : n ∈ } es
compacto,
donde an es una sucesión real que converge a 0. Mostrar que el intervalo (0, 1]
no es compacto.
8. Sea ( X , d ) un espacio métrico y S ⊂ T ⊂ X . Probar que S es compacto
en ( X , d ) si y sólo si S es compacto en el subespacio métrico (T , d ) .
9. Demostrar que un conjunto S, en un espacio métrico
( X , d ) es
relativamente
compacto si y sólo si, toda sucesión de elementos de S, tiene una subsucesión
que converge en X .
10. Sean A, K subconjuntos no vacíos y disjuntos de un espacio métrico X. Si A
es cerrado y K es compacto, pruebe que d ( A, K ) > 0
66
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejercicios de autoevaluación
A continuación se propone una lista de ejercicios, que evaluarán el grado de
aprendizaje que ha alcanzado. Deberá resolver todos los ejercicios, usando los
conceptos, definiciones y métodos desarrollados en esta unidad Las respuestas
de estos ejercicios las puede consultar al final del tema.
1. Demostrar que la recta real no es compacta.
2. Demostrar que en un espacio métrico cualquiera, todo conjunto compacto
es acotado.
3. Probar que si E es compacto y F es cerrado, entonces E ∩ F es compacto.
4. Demostrar que
n
, con la métrica usual es separable.
5. Demostrar que en un espacio métrico discreto, un conjunto es precompacto
si y sólo si es finito.
6. Probar que si un conjunto es precompacto, su clausura también lo es
Respuestas a los ejercicios de autoevaluación
:
1. Considerando el cubrimiento de
subcubrimiento finito
{( −n, n ) : n ∈ } ,
si este admite un
{( −n , n ) ,..., ( −n , n )} ,
1
k
1
k
sea n j = màx {n1 , n2 ..., nk } elijamos, entonces existe x ∈
: x > n j , lo que significa
que x ∉ ∪ ( − ni , ni ) = ( − n j , n j ) , por lo tanto la recta real no es compacta.
k
i =1
2. Consideremos un espacio A compacto en un espacio métrico (X,d).
Tomando la familia de bolas abiertas de la forma { B ( a,1) : a ∈ A} ,
evidentemente forman un recubrimiento por abiertos de A , por lo tanto: existen
a1 , a2, ..., an en A tales que: A ⊂ ∪ B(a1 ,1) . Sea h = máx d ( ai , a j ) , tomando x, y
{
i =1
}
∈ A cualesquiera:
d ( x, y ) ≤ d ( x, ai ) + d ( y, ai ) ≤ d ( x, ai ) + d ( y, a j ) + d ( ai , a j ) < 2 + h ,
por lo tanto A es acotado.
67
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
3. Consideremos {Uα } un cubrimiento por abiertos de E ∩ F, entonces F c ∪ {Uα }
es un cubrimiento de abiertos de E, por lo tanto existen
{U } , i = 1,..., n , tales
αi
{ }
que: F c ∪ U αi es un subcubrimiento finito de E, por lo que
{U }
αi
subcubrimiento finito de E ∩ F.
4. Considerando el subconjunto
n
= {( x1 , x2 ,..., xn ) : xi ∈ , i = 1...n}
entonces es claro que
n
por lo tanto
5. Supongamos que
n
=
n
¿porqué?.
es separable.
A ⊂ X es precompacto, eligiendo ε = 2 , existen
1
n
n
i =1
i =1
x1 , x2 ,..., xn ∈ A tal que A ⊂ ∪ B ( xi , ε ) = ∪ { xi } , entonces A es finito.
Si
A es finito, A = { x1 , x2 ,..., xn } , entonces para todo ε > 0 :
n
A ⊂ ∪ B ( xi , ε )
i =1
En resumen,
6. Sea
A es precompacto.
ε > 0 , entonces existen x1 , x2 ,..., xn ∈ A
Si
(( )
ε
)
tal que A ⊂
∪B(x , 2) .
n
i =1
x ∈ A′ , entonces B x, 2 − { x} ∩ A ≠ ∅ , entonces
68
ε
i
es un
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
( B ( x, )
ε
2
)
( )
⎛ n
ε ⎞
− { x} ∩ ⎜ ∪ B xi , ⎟ ≠ ∅
2
⎝ i =1
⎠
Lo que indica que para un
i ∈ {1,..., n} :
( B ( x, ) − {x}) ∩ B ( x , ) ≠ ∅
ε
ε
i
2
O sea,
2
d ( xi , x ) < ε ⇒ x ∈ B ( xi , ε ) .
n
En resumen, dado ε > 0 x1 , x2 ,..., xn ∈ A tal que A ⊂ ∪ B ( xi , ε ) .
i =1
Esto demuestra que
A es precompacto.
69
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Tema: Completitud
OBJETIVO 4
Aplicar el concepto de Espacio Completo y sus propiedades a
problemas de topología y análisis.
COMPLETITUD
En el presente tema, se establece la noción de completitud de un espacio
métrico. Se introduce la definición del límite de una sucesión, el concepto de
sucesión de Cauchy. Se estudia la relación entre la completitud y la
precompacidad en n . También se enuncian los teoremas de Cantor y Baire. Al
final del objetivo se estudian los límites de funciones.
Recomendaciones para el estudio del contenido de la unidad
•
Repasar los conceptos de los objetivos 1, 2 y 3.
•
Estudiar el capítulo V del libro de texto principal.
•
Resolver los problemas propuestos en el libro de texto y en la guía
instruccional, correspondientes a este objetivo.
•
Resolver los problemas propuestos en la bibliografía complementaria
correspondientes a este objetivo.
•
Consultar otras fuentes bibliográficas.
Al concluir el estudio de esta unidad en el libro, el estudiante deberá estar
capacitado para responder las siguientes preguntas:
• ¿Cómo se determina el límite de una sucesión en un espacio métrico?
• ¿Cómo se caracteriza una sucesión de Cauchy en un espacio métrico?
• ¿Qué propiedades posee un espacio topológico métrico completo?
71
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
ESPACIOS MÉTRICOS COMPLETOS
Recomendaciones para desarrollar el tema
•
Leer con detenimiento el capítulo V del texto principal.
•
Escribir las definiciones con todo detalle para internalizar las mismas.
•
Estudiar y reproducir los teoremas expuestos en este capítulo, verificando las
condiciones de necesidad y suficiencia.
•
Resolver, los ejercicios propuestos al final de cada capítulo.
Recordatorio (Límite de una sucesión)
Si
{ xn } es
una sucesión en el espacio métrico
( E, d ) ,
entonces un punto
x ∈ X se dice que es límite de { xn } , si a cada entorno S de x existe un k ∈
tal
que para todo n ≥ k : xn ∈ S .
En tal caso, se escribirá:
xn → x
Atención
La definición anterior es un poco rigurosa, en consecuencia su aplicación al
estudio de casos particulares tiende a complicar las cosas. Es recomendable que
revise en la página 104 del libro de texto, una definición equivalente que usa el
concepto de distancia.
73
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejemplo 4.1 (Límite de una sucesión)
Consideremos un conjunto X cualquiera con la métrica trivial
⎧1 si x ≠ y
d ( x, y ) = ⎨
⎩0 si x ≠ y
entonces, las sucesiones convergentes en ( X , d ) son precisamente aquellas con
términos iguales a partir de un n ∈
En efecto si existe un K ∈
.
tal que: xn = x para todo n > K , entonces dado
ε > 0 , existe un N = K , talque d ( xn , x ) = 0 < ε , o sea: xn → x .
Ahora si xn es una sucesión convergente a un x ∈ X , entonces si en
particular elegimos ε = 1 , se tiene que existe N ∈
tal que para todo n > N :
d ( xn , x ) = 0 , o sea xn = x para todo n > N .
Ejemplo 4.2 (Límite de una sucesión)
Consideremos el conjunto de las funciones continuas en [ 0,1] , y midamos la
“distancia” en este conjunto por:
1
d ( f , g) = ∫
f ( x ) − g ( x ) dx
0
Entonces, la sucesión
f n , definida por:
f n ( x) = e− nx para x ∈ [ 0,1]
converge a la función constante f = 0 en [ 0,1] con la métrica anteriormente
definida.
→0
Efectivamente, sabemos por lo visto en el curso de análisis, que f n ⎯⎯
uniformemente y por lo tanto:
1
1
0
0
1
lim ∫ f n ( x) dx = ∫ lim f n ( x )dx = ∫ f dx = 0
n →∞
En resumen:
n →∞
0
lim d ( f n , f ) = 0
n→∞
74
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejercicios y actividades propuestas 4.1 (Límite de una sucesión)
Sea A un subconjunto de un espacio métrico X y x0 ∈ X . Demostrar que
x0 ∈ A , si y sólo si existe una sucesión { xn } en A que converge a x0 .
Demostración
⎛ 1⎞
Si x0 ∈ A , en particular se tiene que B ⎜ x0 , ⎟ ∩ A ≠ ∅, n = 1, 2,3.... Eligiendo
⎝ n⎠
elementos arbitrarios xn en estas bolas, tenemos una sucesión { xn } de elementos
de A tal que d ( xn , x0 ) < 1/ n , o sea d ( xn , x0 ) → 0 , por lo tanto xn → x0 .
Ahora, si { xn } es una sucesión en A que converge a x0 ; dado ε > 0 existe
un entero N tal que xn ∈ B ( x0 , ε ) para n > N , por lo cual
B ( x0 , ε ) ∩ A ≠ ∅ para
todo ε > 0 , luego x0 ∈ A .
Recordatorio (Sucesión de Cauchy. Espacios completos)
Sea { xn } es una sucesión en ( E , d ) . Se dice que { xn } es una sucesión de
Cauchy, si para cada número real ε > 0 existe un k ∈
números n, m ∈
n, m ≥ k se tiene que d ( xn , xm ) < ε .
tal que para todo par de
Diremos que un espacio topológico X , es completo si toda sucesión de
Cauchy en X, es convergente.
Ejemplo 4.3 (Espacios métricos completos)
Sea X un espacio métrico finito, entonces X es completo.
En efecto, { xn } una sucesión de Cauchy en X . Si ε = mín {d ( p, q ) : p, q ∈ X } ,
entonces existe N ∈
tal que, para todo n, m > N : d ( xm , xn ) < ε , pero por la
naturaleza del ε > 0 , d ( xm , xn ) = 0 ∀m, n > N . Luego xn = a, a ∈ { x1 , x2 ..., xn } ⊂ X , a
partir de un n > N , lo que indica que xn ⎯⎯
→ a . En resumen, X es completo.
75
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejemplo 4.4 (Espacios métricos completos)
El espacio métrico de funciones continuas en [ 0,1] ( C [ 0,1]) , es un espacio
métrico completo.
Ciertamente, si xn es una sucesión de Cauchy de funciones continuas en
[0,1] ,
entonces para cada t0 ∈ [ 0,1] fijo, la sucesión xn (t0 ) es una sucesión de
Cauchy en los números reales, por lo tanto convergente a un número real x(t0 ) , ya
que
es completo. Entonces la sucesión xn converge uniformemente ¿por qué?,
a la función x = x (t ), t ∈ [ 0,1] , y por lo tanto también es continua. Resumiendo,
C [ 0,1] es completo.
Ejercicios y actividades propuestas 4.2 (Sucesiones de Cauchy)
{ xn } es una sucesión de Cauchy en un espacio métrico X la
cual posee una subsucesión convergente { xn } , entonces { xn } es convergente.
Pruebe que si
k
Prueba
Sea ε > 0 y supongamos que
que
xn ⎯⎯
→ x0 entonces existe un entero N1 tal
k
d ( xn , x0 ) < ε / 2 cuando n > N1 , al ser { xn } de Cauchy existe un entero N2
k
tal que
d ( xm , xn ) < ε / 2 si n > N 2 . Sea N = máx { N1 , N 2 } .
Si n > N entonces nk > N , por lo tanto
que
d ( xn , xn ) < ε / 2 , de lo cual se deduce
k
d ( xn , x0 ) ≤ d ( xn , xn ) + d ( xn , xn ) < ε , cuando n > N .
k
k
76
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejercicios y actividades propuestas
La completitud y la precompacidad, son propiedades muy importantes en un
espacio métrico y recobran más importancia en los espacios métricos
n
.Se
recomienda leer y estudiar las secciones 5.4 y 5.5 del capítulo V del libro de texto
principal.
El teorema de Cantor, establece otra equivalencia o caracterización de los
espacios métricos. Este teorema es muy útil en análisis matemático (ver página
129 del libro de texto).
Recordatorio (Teorema de Cantor)
Se dice que un espacio métrico posee la propiedad de Cantor, si toda
familia contable de conjuntos { A0 , A1 ,...} , cada uno cerrado y no vacío, cumple
que: ∀n ∈
: An +1 ⊂ An e inf {δ ( An )} = 0 , tiene intersección no vacía.
Teorema (Cantor)
Un espacio métrico es completo sí y sólo sí posee la propiedad de Cantor.
Ejemplo 4.5 (Teorema de Cantor)
Consideremos
en
An = B ( x,1/ n ) , x ∈ X , éstas
la
familia
de
las
bolas
cerradas
son conjuntos cerrados, contables, además
n
An +1 ⊂ An y δ ( An ) ⎯⎯
→0
por lo tanto como
Cantor que
n
es completo (teorema 2), podemos afirmar por el teorema de
∞
∩A
n
≠∅
n =1
77
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Recordatorio (Teorema de Baire)
Se dice que un conjunto en un espacio métrico es magro (o de primera
categoría), si es la unión de una familia contable de conjuntos nada densos
Teorema (Baire)
Todo conjunto magro en un espacio métrico completo es fronterizo.
Ejercicios y actividades propuestas
1.
El teorema enunciado anteriormente, posee una serie equivalencias
y de consecuencias interesantes. Es recomendable que se estudie con detalle
estas equivalencias y consecuencias, en la sección 5.6 del capítulo 5 del libro de
texto.
Recordatorio (Límites funcionales)
→ F y un punto a ∈ A de acumulación
Consideremos la función f : A ⊆ E ⎯⎯
de A , se dice que un punto b ∈ F es límite de f en a , sii para todo entorno T
de b corresponde un entorno S de a tal que
f ⎣⎡( S −{a}) ∩ A⎦⎤ ⊂T
es decir,
(
)
Para todo x ∈ S − {a} ∩ A : f ( x ) ∈ T
En tal caso se denotará como:
lim f ( x ) = b
x →a
78
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Atención
Se debe observar en la definición anterior, que no se exige que el punto a
debe estar en el dominio de la función, sólo se exige que sea punto de
acumulación de A.
Ampliación de conocimientos
Para ampliar más el conocimiento del concepto de espacio completo, el
alumno puede remitirse a los libros:
Seymour, Lipschutz (1970). Topología general. Capítulo 14.
Munkres, J. (2000). Topología. Capítulo 7.
Consulta en la Web
Se recomienda acceder a la siguiente dirección electrónica para ampliar sus
conocimientos en relación al concepto de espacio completo:
http://www.um.es/docencia/pherrero/completos.pdf
Ejercicios y actividades propuestas
A continuación se propone una lista de ejercicios, que deberá tratar de
resolver, usando los conceptos, definiciones y métodos desarrollados en esta
unidad. Consulte las respuestas con su asesor.
1. Sean ( X , d ) un espacio métrico y A un subconjunto cerrado de X . Considere
el espacio métrico ( A, d A ) , donde la métrica d A : A × A →
d A ( x, y ) = d ( x, y ) para todo x, y ∈ A
79
, está definida por
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Demostrar que si
( X,d)
es un espacio métrico completo, entonces
( A, d A ) también es completo.
2. Sea {x n } una sucesión del espacio métrico ( E , d ) .
a. Probar con un ejemplo que una sucesión {x n } que no tenga límite, puede
tener subsucesiones convergentes.
b. Mostrar un ejemplo de una sucesión que no posea ninguna subsucesión
convergente.
3. Sean {x n } , { yn } sucesiones en un espacio métrico ( E , d ) .
a. Demostrar que si {x n } y
{ yn } son de Cauchy, entonces existe
lim d ( xn , yn )
n →∞
b. Probar que si las subsucesiones { x2n } ,
{( x
2 n +1
)( x 2 n )} , { x 2 n +1 } y { x 3 n } son
convergentes, entonces {x n } es convergente.
4. Demostrar que si X e Y , son espacios isométricos, y X es completo, entonces
Y es completo.
5. Dar un ejemplo de dos métricas equivalentes d1 y d 2 en un conjunto X, y una
sucesión {x n } de Cauchy respecto de la métrica d1 y que no sea respecto de
d2
6. Si X es un espacio métrico completo, demostrar que un subespacio A de X es
completo sí y sólo sí, es cerrado en X .
7. Sea { xn } una sucesión en un espacio métrico X. Considérese los conjuntos
A1 = { x1 , x2 ,...} , A2 = { x2 , x3 ,...} ,…, An = { xn , xn +1 ,...} .
Demostrar
que
{ xn } es
de
Cauchy sí y sólo sí los diámetros de los conjuntos An tienden a cero.
8. Sea
{ xn } una
sucesión de Cauchy en un espacio métrico X, y sea
sucesión en X tal que: d ( xn , yn ) < . Demostrar que:
1
n
80
{ yn } una
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
a.
b.
{ yn }
{ yn }
es también de Cauchy
converge a L ∈ X , si y solo si { yn } converge a L
9. Sea X un espacio métrico. Demuestre que si
entonces A ∪ B es completo.
A, B ⊂ X son completos,
Ejercicios de autoevaluación
A continuación se propone una lista de ejercicios, que evaluarán el grado de
aprendizaje que ha alcanzado. Deberá resolver todos los ejercicios, usando los
conceptos, definiciones y métodos desarrollados en esta unidad Las respuestas
de estos ejercicios las puede consultar al final del capítulo.
1. Si X es un espacio métrico, demostrar que si {x n } es una sucesión en X que
converge a x0 , entonces toda subsucesión de {x n } , también converge a x0 .
2. Si
( X , d ) es un espacio métrico. Demostrar o dar un contraejemplo:
a) Toda sucesión convergente es de Cauchy
b) Toda sucesión de Cauchy es convergente.
3. Demostrar que todo subconjunto A cerrado, de un espacio métrico completo X,
es completo.
4.
Demostrar que un espacio métrico
( X , d ) es
completo si toda sucesión de
Cauchy tiene una subsucesión convergente.
5. Demostrar que todo espacio X métrico finito, es completo.
81
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Respuestas a los ejercicios de autoevaluación
1. Sea
{ x } , una subsucesión de {x } .Como {x } es convergente, entonces es
n
nk
n
de Cauchy, esto quiere decir: que dado ε > 0 existe N1 ∈
(
)
ε
nk , n > N1 : d xnk , xn < .
2
tal que para todo
Por otra parte, si L es el límite de { xn } , se tiene que:
ε
tal que para todo n > N 2 : d ( xn , L ) < . Entonces,
que dado ε > 0 existe N 2 ∈
dado ε > 0 y tomando N = max { N1 , N 2 } , se tiene que para todo
(
)
(
)
d xnk , L ≤ d xnk , xn + d ( xn , L ) <
ε
2
+
ε
2
=ε
2
n>N:
.
En resumen, xn ⎯⎯
→L.
k
2. a) Es cierto.
Prueba:
Sea { xn } una sucesión convergente a L en X, entonces para un ε > 0 se tiene
que:
ε
Existe N1 ∈
tal que para todo n > N1 : d ( xn , L ) <
Existe N 2 ∈
tal que para todo m > N 2 : d ( xm , L ) <
2
igualmente,
por lo tanto, si N = max { N1 , N 2 } ocurre que, para todo n, m > N :
d ( xn , xm ) ≤ d ( xn , L ) + d ( xm , L ) =
esto dice que { xn } es una sucesión de Cauchy.
b)
Es falso. Si consideramos el
entonces xn =
resumen xn =
3. Sea
1
n
1
n
ε
2
+
ε
2
ε
2
=ε
conjunto A = ( 0,1] con métrica usual de
,
es una sucesión de Cauchy ¿por qué?, pero converge a 0 ∉ A . En
es una sucesión convergente, pero no es de Cauchy en A
{an } una
sucesión de Cauchy de elementos de A⊆X, entonces
{an } converge a un elemento x ∈ X. Como x es un punto de acumulación de A,
x ∈ A, lo que indica que A es completo.
82
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
4. Sea
{ xn } una
sucesión de Cauchy en X. Se probará que si
{ xn } tiene
una
{ } que converge a un punto x , entonces es convergente.
subsucesión xnk
0
Dado ε > 0 , podemos elegir un número natural
grande, para que d ( xn , xm ) <
{ xn } es de Cauchy).
ε
2
lo suficientemente
, para todo n, m ≥ N (Esto se puede realizar porque
{ } converge a x , se puede elegir k suficientemente grande para
Como xnk
que nk ≥ N y d ( xnk , x0 ) <
{ }
0
ε
2
(Ya que n1 < n2 < ... es una sucesión creciente de enteros
y xnk converge a x0 )
Entonces para n ≥ N se tiene que d ( xn , x0 ) ≤ d ( xn , xnk ) + d ( xnk , x0 ) <
Lo que indica que { xn } converge a x0 .
ε
2
+
ε
2
=ε .
5. Sea {an } una sucesión de Cauchy en X , entonces {an } = { x1 , x2 ,..., xn , p, p, p,....} ,
para algún p ∈ X , por lo tanto es claro que an → p . En resumen X es completo.
83
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Tema: Continuidad
OBJETIVO 5
Aplicar las propiedades de la continuidad de una función en forma
global y puntual en un Espacio Métrico.
CONTINUIDAD
En este tema, se introduce el concepto de continuidad local y global en un
espacio métrico. Se hará uso de la continuidad para establecer la semejanza entre
dos espacios métricos, los cuales denominamos espacios homeomorfos. También
se introduce el concepto de camino o arco y se definirá lo que es un conjunto arcoconexo (o conexo por arcos). Cuando una función continua se define sobre un
conjunto conexo o un conjunto compacto, adquiere una gran variedad de
propiedades. En este tema se hace referencia a dichas propiedades. Finalmente,
se estudia el concepto de continuidad uniforme.
Recomendaciones para el estudio del contenido de la unidad
•
Repasar los conceptos de los objetivos 1 , 2 , 3 y 4.
•
Estudiar el capítulo V del libro de texto principal.
•
Resolver los problemas propuestos en el libro de texto y en la guía
instruccional, correspondientes a este objetivo.
•
Resolver los problemas propuestos en la bibliografía complementaria
correspondientes a este objetivo.
•
Consultar otras fuentes bibliográficas.
Al concluir el estudio de esta unidad en el libro, el estudiante deberá estar
capacitado para responder las siguientes preguntas:
• ¿Cómo se determina cuándo una función es continua?
• ¿Cuál es la utilidad de la continuidad uniforme?
• ¿Cómo se caracteriza una aplicación contráctil?
• ¿Qué propiedades posee un conjunto arcoconexo?
85
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
CONTINUIDAD
Recomendaciones para desarrollar el tema
•
Leer con detenimiento el capítulo VI del texto principal.
•
Escribir las definiciones con todo detalle para internalizar las mismas.
•
Estudiar y reproducir los teoremas expuestos en este capítulo, verificando las
condiciones de necesidad y suficiencia.
•
Resolver, los ejercicios propuestos al final de cada capítulo.
Recordatorio (Continuidad en un punto. Continuidad en un conjunto)
Sean
( E , d ) y ( F , d ') espacios
métricos cualesquiera y A un subconjunto
de E . Si consideramos una función:
f : A ⊂ E ⎯⎯
→F
a) Diremos que
f es continua en el punto a ∈ A si para todo entorno T de
f (a), existe un entorno S de a tal que:
f ( S ∩ A) ⊂ T
b) Se dice que f es continua en el conjunto A si f es continua en todo punto
de A .
Atención
Existe una definición equivalente de continuidad en un punto, en función de
bolas abiertas que puede resultar más “intuitiva”. El alumno la puede ubicar en la
página 150 del texto principal. Ver figura.
87
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
F
E
f(a)
a
Figura 5.1. Continuidad
Ejemplo 5.1 (Función continua)
Sean
( X , d ) y (Y , d1 )
espacios métricos, y0 ∈ Y y f : X → Y , definida como
f ( x) = y0
entonces f es una función continua en X .
Esto es así porque si U es un abierto en Y
⎧∅ = ∅ ∩ A, si y0 ∉ U
f −1 (U ) = ⎨
⎩ X = X ∩ A, si y0 ∈ U
En cualquier caso, f −1 (U ) es un abierto en X , lo cual prueba que f es una
función continua en X .
Ejemplo 5.2 (Función continua)
Sean d y d1 dos métricas equivalentes definidas sobre el conjunto X .
Entonces la función identidad I d : ( X , d ) → ( X , d1 ) como
Id ( x ) = x
88
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Es una función continua. Esto se debe a que toda bola abierta con la
métrica d1 contiene a una bola con el mismo centro, con la métrica d .
Ejemplo 5.3 (Función continua)
La función f : [ 0,1] ∪ {2} →
, definida como
⎪⎧ x si x ∈ [ 0,1]
f ( x) = ⎨
⎪⎩3 si x = 2
Es continua en su dominio. La continuidad en cada punto de [ 0,1] es
evidente, la continuidad en x = 2 , se debe a que éste es un punto aislado (Ver
Teorema 1, Cáp.VI).
Ejemplo 5.4 (Función continua)
→ F , f continua en A y b ∈ F un punto cualquiera.
Sea f : A ⊂ E ⎯⎯
Pruebe que el conjunto B = { x ∈ A : f ( x ) = b} es un conjunto cerrado en el
subespacio
( A, d ) .
Prueba
→ F es continua
Usaremos el resultado siguiente: una función f : A ⊂ E ⎯⎯
en A si para todo conjunto abierto U de F , f −1 (U ) es abierto en A .
Se probará que el conjunto
B C = { x ∈ A : f ( x) ≠ b} es abierto. Sea
x ∈ B C ⇒ f ( x) ≠ b , entonces por ser f continua, existe una bola abierta B ( x, r ) ,
r > 0 contenida en A tal que f ( y ) ≠ b para todo y ∈ B ( x, r ) ¿por qué?. Esto nos
dice que existe una bola B ( x, r ) , r > 0 contenida en B C para todo x ∈ B C , lo que
indica que B C es abierto y por lo tanto B es cerrado.
89
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejercicios y actividades propuestas
Es importante caracterizar a las funciones continuas en un conjunto
cualquiera, porque nos ayuda a establecer de manera más práctica la continuidad
de las mismas en cualquier conjunto. Se recomienda leer y estudiar el Teorema 2,
Cáp.VI.
Recordatorio (Homeomorfismo)
Sean ( X , d ) y (Y , d1 ) espacios métricos. Diremos que
X e Y , son
Homemorfos, si existe una función f : X → Y biyectiva y bicontinua. La función
f se denomina Homeomorfismo.
Atención
Existe una correspondencia biunívoca entre los conjuntos abiertos de dos
espacios homeomorfos (también esto vale para los conjuntos cerrados). Esta
correspondencia permite “transportar” de uno a otro espacio las propiedades que
puedan caracterizarse en términos de conjuntos abiertos o cerrados. Ver Capítulo
VI, página 160 del libro de texto.
Ejemplo 5.5 (Homeomorfismo)
El intervalo [ 0,1] es homeomorfo al intervalo [ a, b ] con a < b .
En efecto, basta con definir el homeomorfismo f : [ 0,1] → [ a, b ] como:
f ( x) = (b − a ) x + a
90
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejemplo 5.6 (Homeomorfismo)
x
La función f ( x ) =
es un homeomorfismo de
1+ x
en el intervalo ( 0,1)
Ejercicios y actividades propuestas
Las funciones continuas en un conjunto compacto o en un conjunto conexo
adquieren propiedades muy importantes. Por ejemplo, se establece que si X , Y
→Y continua y A ⊆ X es compacto y
son espacios métricos cualesquiera, f : X ⎯⎯
B ⊆ X es conexo entonces, las imágenes de estos conjuntos son, conjuntos
compactos y conjuntos conexos respectivamente en Y . Estas propiedades se
utilizarán con frecuencia en este curso. Por lo tanto se recomienda leer y estudiar
estos puntos en el texto principal (Cáp.6, secciones 6.3 y 6.4).
Recordatorio (Arcos. Arco-conectividad o arcoconexidad)
Sea ( E, d ) un espacio métrico.
→ E continua en [0,1].
a) Un arco en ( E, d ) , es el rango de una función f : [ 0,1] ⎯⎯
A los puntos f ( 0) y f (1) , se les llama extremos del arco, también se dice que
dichos puntos están unidos por un arco.
b) Sea
A un conjunto no vacío, en ( E, d ) . Se dice que A es arco-conexo, si
para todo par de puntos x, y ∈ A , estos están unidos por un arco.
91
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Atención
En algunos textos, a un arco se le denomina camino.
Ejemplo 5.7 (Espacio arcoconexo)
Todo bola en
n
, es un conjunto arco-conexo.
En efecto, si consideramos x, y ∈ B ( a, ε ) para algún a ∈
n
, y ε >0 .
Entonces definiendo f : [ 0,1] → B(a, ε ) por:
f ( λ ) = λ y + (1 − λ ) x
Obtenemos un arco que une a x e y . Además este arco esta contenido en
B ( a, ε ) ¿porqué?.
Ejemplo 5.8 (Espacio no arcoconexo)
Considerando los conjuntos:
{
A = ( x, y ) : 0 ≤ x ≤ 1, y =
x
,n∈
n
} , B = {( x,0) :
1
2
}
≤ x ≤ 1 . A y B son arcoconexos, por lo
tanto son conexos. Como A y B no son separados, ya que cada p ∈ B es un
punto de acumulación de A , por lo tanto A ∪ B es conexo. Pero A ∪ B no es
arcoconexo ya que no existe una trayectoria que una algún punto de A con alguno
de B .
92
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
El conjunto presentado como ejemplo se denomina espacio peine
1
A
1/2
1
B
Figura 5.2. Espacio peine
Recordatorio (Continuidad uniforme)
Sea ( E, d ) un espacio métrico.
→ F es uniformemente continua en A,
Se dice que la función f : A ⊂ E ⎯⎯
si para cada ε >0 existe un δ >0 tal que:
Para todo x, y ∈ A si d ( x, y) < δ entonces d1 ( f ( x), f ( y)) < ε
Atención
Se debe notar que la definición de continuidad uniforme es más potente que
la de continuidad. De hecho la continuidad uniforme implica la continuidad. Ver
Capítulo VI, pág. 181.
Ejemplo 5.8 (Continuidad uniforme)
La función f :
⎯⎯
→ , definida por f ( x ) = x2 es uniformemente continua
en [ 0,1] , ya que si consideramos la métrica usual en
, tenemos que:
x2 − y 2 = x − y x + y < 2 x − y
O sea f satisface la condición de Lipschitz en [ 0,1] (Ver Cáp.6, sección 6.6
del libro).
93
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejemplo 5.9 (Continuidad uniforme)
Consideremos x, y ∈
n
, entonces la función f : [ 0,1] ⎯⎯
→
n
definida por
f (t ) = x + t ( y − x)
Es uniformemente continua en [ 0,1] . Esto es así ya que:
f ( t ) − f ( t ′) = t − t ′ y − x
O sea también satisface la condición de Lipschitz. Explícitamente, si ε > 0 ,
se toma δ = y − x , luego para todo x, y ∈ A si d ( x, y) < δ se tiene que
d1 ( f ( x), f ( y)) < ε (donde las distancias d1 y d2 son las distancias usuales en
y
n
respectivamente)
Ejercicios y actividad propuestas
La completitud de un espacio métrico, es una propiedad muy importante, de
hecho, esta propiedad se usará extensamente en el capítulo siguiente. Una
consecuencia importante de tener la propiedad de completitud, es la de poder
establecer resultados, llamados teoremas de punto fijo, que son de vital
importancia en numerosas disciplinas de la matemática.
Es muy recomendable que se estudie la definición formal de completación
de un espacio métrico, así como todo el proceso desarrollado para tal fin. Se
recomiendo que lea y estudie las secciones 6.7 y 6.8 del capítulo 6 del libro de
texto principal.
94
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ampliación de conocimientos
Para ampliar más el conocimiento del concepto de continuidad en un
espacio métrico, el alumno puede remitirse al libro de Seymour Lipschutz (1970).
Topología general. Cáp. 7.
Consulta en la Web
Se recomienda acceder a la siguiente dirección electrónica para ampliar sus
conocimientos en relación al concepto de continuidad:
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001005/docs_curso/contenid
o.html
Ejercicios y actividades propuestas
A continuación se propone una lista de ejercicios, que deberá tratar de
resolver, usando los conceptos, definiciones y métodos desarrollados en esta
unidad. Consulte las respuestas con su asesor.
1.
Demuestre que si X tiene la métrica discreta y Y es un espacio métrico
cualquiera, entonces cualquier función definida de X en Y es continua.
¿Qué ocurre si Y es un espacio seudométrico?
2.
Sea T : Rn ⎯⎯
→Rm
3.
Demostrar que si X tiene la métrica discreta, entonces cualquier función
una transformación lineal. Probar que T es continua.
es continua.
4.
Demuestre que si X es un espacio métrico cualquiera y Y tiene la
seudométrica definida por d (w, z ) = 0 para todo w y todo z en Y, entonces
cualquier función definida de X en Y es continua. Qué ocurre si X es un
espacio seudométrico?
5.
Dé un ejemplo de dos métricas d1 y d2 , definidas sobre un mismo
conjunto X , de tal manera que la función idéntica de ( X , d1 ) en ( X , d2 ) no
resulte continua.
95
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
6.
Suponga que d1 y d2 son dos métricas definidas sobre un mismo conjunto
X . Si toda función definida de ( X , d1 ) en ( X , d2 ) es continua, ¿qué puede
afirmar con seguridad de d1 y d2 ?. Demuestre su conjetura.
f y f −1 son
7.
Pruebe que si f : X → Y
funciones continuas.
8.
Pruebe que el intervalo [0,1] es isométrico a cualquier otro intervalo
de la misma longitud.
cerrado de
9.
Pruebe que si
isométricos.
10.
Pruebe que si X e Y tienen cada uno la métrica discreta entonces X e Y,
son isométricos sí y sólo sí tienen la misma cardinalidad.
11.
Sea X un espacio métrico y sea χA : X → , la función característica de
algún subconjunto de X . Demostrar que χA es continua en p ∈ X , sí y
sólo sí p no es un elemento de la frontera de A .
12.
Demostrar que las siguientes propiedades son invariantes por funciones
continuas (propiedad topológica):
a) Puntos de acumulación
b) Interior
c) Frontera
d) Densidad
e) Entorno
13.
Sea f : X →Y un homeomorfismo entre dos espacios métricos, y A ⊆ X
y
2
es una isometría, entonces
tienen cada uno su métrica usual, entonces no son
tal que A∩ A′ ≠ ∅ . Entonces f ( A) ∩ ⎡⎣ f ( A) ⎤⎦′ =∅ . O sea la propiedad de ser
aislado es una propiedad topológica.
14.
Sean f , g : [ a, b] ⎯⎯
→ , aplicaciones continuas, tales que: f ( x) ≤ g ( x) para
todo x ∈[ a, b] . Pruebe que el conjunto M = {( x, y) ∈
es conexo en
15.
2
2
: a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g(x)}
, con la topología usual.
Probar que S 1 = {( x, y ) : x 2 + y 2 = 1} es un subconjunto conexo de
2
con
la topología usual.
16.
Sea Ω la clase de todos los espacios métricos, si se define en Ω , la
relación: X ∼ Y ⇔ X , es homeomorfo a Y . Probar que la relación es de
equivalencia.
96
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
17.
Demostrar que el área no es una propiedad topológica (no se preserva
mediante funciones continuas)
Ejercicios de autoevaluación
A continuación se propone una lista de ejercicios, que evaluarán el grado de
aprendizaje que ha alcanzado. Deberá resolver todos los ejercicios, usando los
conceptos, definiciones y métodos desarrollados en esta unidad Las respuestas
de estos ejercicios las puede consultar al final del capítulo.
1.
⎡ ⎤
→ Y es continua si y sólo si f −1⎢ A⎥ ⊂
Demostrar que f : X ⎯⎯
⎢⎣ ⎥⎦
( f −1[ A])
para todo
A⊂Y .
2.
Probar que si
( E, d )
un espacio métrico y A ⊂ E , A ≠ ∅ . Entonces la función
de X en los números reales definida como f ( x) = d ( x, A) es continua.
3.
Sea A ⊆
4.
Demostrar que el intervalo [ a, b ] es homeomorfo al intervalo unidad [ 0,1]
5.
Demostrar que el intervalo ( 0,1) de la recta real, es conexo.
6.
Demostrar que si p = ( 0,1) , entonces S 1 − { p} es homeomorfo a
n
convexo, entonces es arco-conexo.
97
.
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Respuestas a los ejercicios de autoevaluación
1.
Sea
⎛ ⎞
f continua y A ⊂ Y , entonces A ⊂ A , luego f −1 ⎜ A ⎟ ⊂ f −1 ( A ) , como
⎝ ⎠
⎛ ⎞
f −1 ⎜ A ⎟ es abierto,
⎝ ⎠
(
⎡ ⎤
f −1 ⎢ A⎥ ⊂ f −1[ A]
⎢⎣ ⎥⎦
).
Recíprocamente, sea A abierto de Y. Luego
f −1 ( A ) es abierto, por lo tanto f es continua.
2.
(
⎡ ⎤
f −1( A)= f −1 ⎢ A⎥ ⊂ f −1[ A]
⎣⎢ ⎦⎥
Sean x0 ∈ E y ε > 0 . Escogiendo 0 < γ < ε , y tomando δ =
) , entonces
γ
.
2
Si d ( x, x0 ) < δ y a ∈ A tal que d ( x0 , a ) < d ( x, A) + δ , se tiene que:
d ( x, A ) ≤ d ( x, a ) ≤ d ( x, x0 ) + d ( x0 , a ) < 2δ + d ( x0 , A ) = γ + d ( x0 , A ) < ε + d ( x0 , A) .
De manera similar se escoge b ∈ A tal que d ( x0 , b ) < d ( x, A) + δ , por lo que
se tiene que d ( x0 , A) < d ( x, A) + ε . Entonces d ( x, A) − d ( x0 , A) < ε , lo que indica
que f ( x) = d ( x, A) es continúa.
3.
Sean x , y en A , el segmento L = {ty + (1 − t ) x : 0 ≤ t ≤ 1} ⊆ A . Definiendo
f : [ 0,1] → A
por f ( t ) = ta + (1 − t ) b ∈ A , se tiene que f ( 0) = x y f (1) = y .
En resumen tenemos un arco que une x con y , por lo tanto A es
arcoconexo.
f ( x ) = ( b − a ) x + a , entonces
4.
f : I → A , definida por
biyectiva y bicontinua.
5.
Si (0,1) no es conexo, entonces existen conjuntos U , V abiertos, tales
y
son
disjuntos,
tales
que:
( 0,1) ∩U ≠ ∅ y
( 0,1) ∩V ≠ ∅
Considerando
⎡⎣( 0,1) ∩U ⎤⎦ ∪ ⎡⎣( 0,1) ∩V ⎤⎦ = ( 0,1) . Definiendo la función: f : ( 0,1) →
⎧⎪1 si x ∈ ( 0,1) ∩U
f ( x) = ⎨
⎪⎩0 si x ∈ ( 0,1) ∩V
98
por
f
es
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Entonces f es continua, ya que la imagen recíproca de cualquier abierto es
( 0,1) ∩U ; ( 0,1) ∩V ; ∅
ó (0,1) , por lo tanto es abierta. Aplicando ahora el
1
Teorema del Valor Medio, se tiene que existe x0 tal que f ( x0 ) = , y como esto
2
es imposible, se tiene que ( 0,1) es conexo.
6. Considerando
la
f : [ 0,1] →
función
2
,
definida como
f ( t ) = ( cos ( 2π t ) , sen ( 2π t ) ) . Entonces f ([ 0,1]) = S1 , por lo tanto S1 es conexo.
La recta y − y0 = m ( x − x0 ) , que pasa por ( 0,1) y un punto ( x, y ) genérico de
y −1
. Además esta recta se
x
−1
x
=
intersecta con el eje x, cuando y = 0 , por lo que −1 = mx ⇒ x =
. Por lo
m 1− y
x
como, f : ( x, y ) =
, la cual es biyectiva y
tanto se define: f : S1 − { p} →
1− y
S 1 − { p} , queda de la forma y − 1 = mx , por lo tanto m =
(
)
⎛ 2a a 2 − 1 ⎞
continua. La inversa de esta función es g (a) = ⎜ 2 , 2 ⎟ , se observa que
⎝ a +1 a +1 ⎠
1
también es continua (verificarlo!!). Por lo tanto S − { p} es homeomorfo a .
p
( x, y )
f ( x, y )
99
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Tema: Espacios Normados
OBJETIVO 6
Aplicar el concepto de Espacio Normado y sus aplicaciones al Análisis
Matemático.
ESPACIOS NORMADOS
En el presente tema, se introduce la noción de espacio normado, concepto
básico para una introducción al análisis funcional. Se realiza un breve repaso de
los conceptos más importantes del álgebra lineal. También se desarrollan los
conceptos de convexidad, poli-conectividad, isomorfismo topológico y producto de
dos espacio normados.
Recomendaciones para el estudio del contenido de la unidad
•
Repasar los conceptos de los objetivos 1 , 2 , 3 , 4 y 5.
•
Estudiar el capítulo VII del libro de texto principal.
•
Resolver los problemas propuestos en el libro de texto y en la guía
instruccional, correspondientes a este objetivo.
•
Resolver los problemas propuestos en la bibliografía complementaria
correspondientes a este objetivo.
•
Consultar otras fuentes bibliográficas.
Al concluir el estudio de esta unidad en el libro, el estudiante deberá estar
capacitado para responder las siguientes preguntas:
•
¿Cómo se caracteriza un conjunto convexo en un espacio normado?
•
¿Cómo hacer uso de isomorfismo topológico?
•
¿Qué propiedades posee la poli-conectividad?
101
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
En muchas situaciones en matemáticas, se hace necesario conocer en un
conjunto, el “tamaño” o longitud de sus elementos. El desarrollo de esta noción dio
origen al concepto de norma y de espacios normados.
Recordatorio (Norma. Espacio normado)
Sea E un espacio vectorial sobre
ó . Una norma sobre E , es una
aplicación
: E ⎯⎯
→ que satisface las siguientes propiedades:
i)
x =0⇔ x=0
ii) λ x = λ x , ∀λ ∈
ó , ∀x ∈ E
iii) x + y ≤ x + y , , ∀x ∈ E
Al número
par ( E ,
x , se le denomina norma del vector x , y se dice que el
) es un espacio normado.
Ejemplo 6.1 (Espacio normado)
, entonces la función valor absoluto es una
Si se considera al conjunto
norma en , por lo que ( , ) es un espacio normado. Verificarlo!!
Ejemplo 6.2 (Espacio normado)
Considerando el conjunto
n
, entonces la función
:
n
⎯⎯
→
como:
(x x
1, 2,
es una norma de
n
,y
(
n
,
..., xn )
1/ 2
⎡ n
⎤
= ⎢ ∑ xi2 ⎥
⎣ i =1 ⎦
) es un espacio normado. Verificarlo!!
103
, definida
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Recordatorio (Segmento. Conjunto convexo)
Sea H un espacio normado y x, y ∈ H , denominaremos segmento con
extremos
x e y al conjunto: [ x, y ] = { z ∈ H : z = λ x + (1 − λ ) y} , donde λ ∈ ó .
Sea A ⊂ H no vacío. Se dice que A es convexo si:
∀x, y ∈ A : [ x, y ] ⊂ A
Ejemplo 6.3 (Conjuntos convexos)
Consideremos el par
(
n
,
) , donde
x =
n
∑x
i =1
2
i
, entonces este espacio
normado convexo. Geométricamente esto indica que para cualquier par de puntos
n
x, y ∈ n , el segmento de recta que los une también se encuentra en
Ejemplo 6.4 (Conjuntos convexos)
Consideremos el espacio normado ( C0 [ a, b ] ,
) , donde
f = max f ( x) y
x∈[ a ,b ]
el subconjunto A = { f ∈ C0 [ a, b ] : f (a) ≤ 1} . Entonces A es un subconjunto convexo
de C0 [ a, b ]
Recordatorio (Conjunto poli-conexo. Poli-conectividad)
Sea H un espacio normado, A ⊂ H no vacío. Se dice que A , es
Policonexo si para x, y ∈ A , existe un conjunto finito de puntos z0 , z1 ,..., zn ∈ A ,
tales que
z0 = x, zn = y, [ z0 , z1 ,..., zn ] ⊂ A
104
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Figura 6.1: Conjunto poli-conexo
Ejemplo 6.5 (Conjuntos policonexos)
El espacio normado ( n , ) como en el ejemplo 6.1 es un espacio
policonexo.
Recordatorio (Isomorfismo topológico: Isotopía)
Sean
H
y
K
espacios normados. Diremos que
H
y
K
son
Topológicamente Isomorfos o Isótopos, si existe una transformación lineal
continua no singular:
T : H ⎯⎯
→K
cuya inversa T −1 es también continua. En este caso la función T , se denomina
Isotopía.
Ejemplo 6.6 (Conjuntos isótopos)
Los espacios normados ( 2 , 1 ) y ( ,
2
)
con las normas usuales, son
espacios topológicamente isomorfos.
Ampliación de conocimientos
Una clase muy importante de conjuntos normados, son los que son
completos con la distancia inducida por su norma. A estos espacios se les
denomina Espacios de Banach.
105
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Para ampliar el conocimiento del concepto de espacio normado, espacio de
Banach y de sus
propiedades, el alumno puede remitirse a los libros de
Dieudonne (1960) Fundamentos de análisis moderno, Editorial Reverté y también
a Kolmogoroff y Fomin (1975) Introducción al análisis funcional. Editorial Mir.
Consulta en la Web
Se recomienda acceder a la siguiente dirección electrónica para ampliar sus
conocimientos en relación al concepto de espacio normado:
http://www.fi.uba.ar/materias/6119/NotasDelCurso/BSV.pdf
Ejercicios y actividades propuestas
A continuación se propone una lista de ejercicios, que deberá tratar de
resolver, usando los conceptos, definiciones y métodos desarrollados en esta
unidad. Consulte las respuestas con su asesor.
→ F un operador lineal y
1. Sean E y F espacios normados y sea T : E ⎯⎯
continuo. Verificar las siguientes fórmulas:
T = sup T ( x) = sup T ( x) = sup
x ≤1
x =1
x≠0
T ( x)
= inf {M / T ( x) ≤ M x }
x
2. Sea C 1 [ a, b ] el conjunto de funciones con derivada continua en [ a, b ] , sea
x0 ∈ [ a, b ] . Probar que f
3. Sea k : [ 0,1] × [ 0,1] ⎯⎯
→
x0
= f ( x0 ) + f ′ 0 es una norma en C 1 [ a, b ] .
continua y sea K : C [ 0,1] ⎯⎯
→ C [ 0,1] dada por:
1
Kf ( x) = ∫ k ( x, y ) f ( y )dy
0
Probar que K es lineal y continua. Acotar su norma.
4. Sea ψ ∈ C [ 0,1] , y sea Tψ : C [ 0,1] ⎯⎯
→
106
dada por:
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
1
Tψ f = ∫ ψ ( x ) dx
0
Probar que Tψ es una función lineal y continua, y además que:
1
Tψ = ∫ f ( x)ψ ( x ) dx
0
5. Probar la proposición verdadera y dar un contraejemplo para la falsa:
a. La unión de dos conjuntos policonexos es un conjunto policonexo.
b. La intersección de dos conjuntos policonexos es un conjunto
policonexo.
6. Sea
( E, )
1
un espacio normado de dimensión finita. Dada
una base
→
B = {v1 , v2 ,..., vn } de E , si consideramos la transformación: T : E ⎯⎯
n
dada por:
⎛ n
⎞
T ⎜ ∑ λi vi ⎟ = ( λ1 , λ2 ,..., λn )
⎝ i =1
⎠
a. Probar que
:
n
⎯⎯
→
, definida por: x = T −1 ( x ) es una norma en
1
n
b. Deducir que T es un homeomorfismo.
c. Probar que toda transformación lineal f : E ⎯⎯
→
(
d. Probar que E ,
1
es continua
) es un espacio de Banach.
7. Probar que todo conjunto A ⊆
n
convexo, es arco-conexo.
Ejercicios de autoevaluación
A continuación se propone una lista de ejercicios, que evaluarán el grado de
aprendizaje que ha alcanzado. Deberá resolver todos los ejercicios, usando los
conceptos, definiciones y métodos desarrollados en esta unidad Las respuestas
de estos ejercicios las puede consultar al final del capítulo.
107
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
1. Probar que los espacios
(
2
,
1
)y (
,
2
)
con las normas usuales, son
espacios topológicamente isomorfos.
2. Si E es un espacio normado de dimensión finita n, entonces existe alguna
norma sobre n , tal que E es isométrico a n con esa norma.
3. Sean ( E ,
) espacios normados. Considerando
L ( E , F ) = {T : E ⎯⎯
→ F / F es lineal y continua} , y para cada T ∈ L ( E , F ) , se define:
1
) y ( F,
2
T = sup T ( x)
x 1 ≤1
2
Probar que:
a.
( L ( E, F ) , )
es un espacio normado.
b. Si F es de Banach, L ( E , F ) también lo es.
→ K continuas en el espacio normado H , si se supone
4. Sean f , g : H ⎯⎯
que K es euclídeo, probar que la función h : H × H ⎯⎯
→ , tal que
∀x, y ∈ H : h ( x, y ) = f ( x) ⋅ f ( y )
es continua en H × H
Respuestas a los ejercicios de autoevaluación
1. Consideremos la aplicación T :
2
⎯⎯
→ , definida como:
T ( x, y ) = x + iy
entonces es claro que T es lineal (probarlo) y además:
T ( x, y ) 2 = x 2 + y 2 = ( x, y ) 1
luego, usando el
isotopía.
Teorema 1. Sección 7.4,
podemos afirmar que T es una
→ n,
2. Considerando el isomorfismo de espacios vectoriales sobre : T : E ⎯⎯
definido como T ( x ) = ( x1 , x2 ,..., xn ) , donde se asocia a cada vector x de E , las
coordenadas en una base dada. Si se define en
y 0 = T −1 ( y )
108
n
la norma:
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Entonces
es una norma en
0
n
(comprobarlo). Además por su
definición, es directo que con esta norma, por lo que se deduce que T es una
isometría.
3.
Parte a)
i) Por definición T ≥ 0
ii) Si T = 0 ⇔ 0 = sup T ( x) 2 ⇔ T ( x) = 0 ∀x ∈ E ⇔ T = 0
x 1 ≤1
iii) Si λ ∈ , entonces: λT = sup λT ( x) 2 = sup λ T ( x) 2 = λ sup T ( x) 2 = λ T
x 1 ≤1
iv)
T + S = sup T ( x) + S ( x) 2 ≤ sup
x 1 ≤1
x 1 ≤1
x 1 ≤1
x 1 ≤1
({ T ( x) + S ( x) } ) ≤ sup T ( x) + sup S ( x)
2
x 1 ≤1
x 1 ≤1
= T + S
Parte b)
Sea Tn , una sucesión de Cauchy en L ( E , F ) . Entonces
∀ε > 0 ∃N ∈
: ∀n > N Tm − Tn < ε
Con lo cual,
∀ε > 0 ∃N ∈
: ∀n > N Tm ( x ) − Tn ( x ) < ε
∀x ∈ E
Esto indica que Tn ( x ) es una sucesión de Cauchy en F , por lo tanto existe
y ∈ F , tal que lim Tn ( x ) = y , entonces es claro que si definimos T : E ⎯⎯
→F
n →∞
Como T ( x ) = lim Tn ( x ) , para x ∈ E , se tiene que Tn a T en la norma de
n →∞
L ( E , F ) , o sea lim Tn − T = 0 . En resumen tenemos que toda sucesión de
n →∞
Cauchy en L ( E , F ) es convergente, por lo cual L ( E , F ) es un espacio de Banach
4. Como tenemos que: h( x, y ) = f ( x) ⋅ g ( y ) = f ( x ), g ( x) . Entonces
h( x, y ) = f ( x), g ( y )
≤
Cauchy
Schwartz
f ( x) g ( y )
≤
k1 x k2 y = ( k1k2 ) x y
Continuidad
de f y g
Por lo tanto por Teorema 1, sección 7.5, h( x, y ) es continua.
109
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Nota histórica
Unas de las fuentes que nutrieron a la topología en su desarrollo fue el
análisis funcional. Durante los primeros años del siglo XX, se examinó
la noción de convergencia en espacios de funciones; la distancia se
define a través de un producto interior.
Stephan Banach (1892-1945) realiza un paso posterior en la
abstracción en 1932, cuando pasa de los espacios con producto
interior a los espacios normados.
S. Banach
(1892-1945)
110
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Tema: Espacios Topológicos Generales
OBJETIVO 7
Aplicar los conceptos de espacio topológico, bases y sub-bases de
una topología, continuidad en espacios topológicos, propiedades topológicas,
topología producto y topología cociente.
ESPACIOS TOPOLÓGICOS GENERALES
En este objetivo, se introduce la noción de espacio topológico general.
Además se desarrollarán los puntos siguientes: topología y espacio topológico,
base de una topología, subbase de una topología, topología relativa, funciones
continuas en espacios topológicos, homeomorfismos e invariantes topológicos,
espacios topológicos conexos, espacios topológicos compactos, topología
producto y topología cociente.
Recomendaciones para el estudio del contenido de la unidad
•
Repasar los conceptos de los objetivos 1 , 2 , 3 , 4 , 5 y 6.
•
Estudiar los capítulos 2 y 3 del libro de Munkres. (2000). Topología.
•
Resolver los problemas propuestos en el libro Munkres. (2000). Topología, y
en la guía instruccional, correspondientes a este objetivo.
•
Resolver los problemas propuestos en la bibliografía complementaria,
correspondientes a este objetivo.
•
Consultar otras fuentes bibliográficas.
Al concluir el estudio de esta unidad en el libro, el estudiante deberá estar
capacitado para responder las siguientes preguntas:
•
¿Cómo usar las propiedades de un espacio topológico?
•
¿Cómo verificar cuándo una clase de conjuntos es una base de una
topología?
•
¿Cómo saber cuándo una propiedad es un invariante topológico?
•
¿Cómo usar las propiedades de una topología producto?
•
¿Cómo usar las propiedades de una topología cociente?
111
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Espacios Topológicos
El título del presente curso coincide con el del libro de texto principal, el
cual es: “Topología de espacios métricos”. Sin embargo en los objetivos
anteriores, no se ha precisado el concepto de topología, ni de espacio topológico
general. En este objetivo se pretende realizar una introducción a lo que
comúnmente se denomina topología general.
La definición de espacio topológico que se dará en este objetivo, tardó
mucho tiempo en ser formulada. Matemáticos como Fréchet, Hausdorff y otros,
propusieron distintas definiciones, pero no eran lo suficientemente adecuadas para
englobar todo los ejemplos importantes que se empleaban en matemática. Por un
proceso de refinamiento de las distintas definiciones, y de explotar las propiedades
generales de los ejemplos citados, los matemáticos desarrollaron la definición que
se usará en este objetivo.
Se recomienda leer los capítulos 1 y 2 del libro de Munkres, James.(2000)
Topología.
Topología. Espacio topológico
Sea X un conjunto cualquiera, y sea Γ una familia de subconjuntos de X .
Entonces se dice que la familia Γ es una topología de X si:
i) ∅ y X están en Γ
ii) La unión de cada subfamilia de Γ , pertenece a Γ
iii) La intersección de cada subfamilia finita de Γ , pertenece a Γ
En tal caso, el par
( X , Γ)
se denomina espacio topológico, y los
elementos de la topología Γ se llaman Γ -abiertos o abiertos simplemente.
113
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejemplo 7.1 (Espacios topológicos)
Sea X un conjunto cualquiera, entonces la familia definida como:
Γ = {∅, X }
es una topología del conjunto X .
La topología de este ejemplo, se denomina topología indiscreta o trivial.
Consecuentemente, el par ( X , Γ ) se denomina espacio topológico indiscreto o trivial
Ejemplo 7.2 (Espacios topológicos)
Si se considera el conjunto X = {a, b} , entonces la familia Γ = {∅, {a} , {b} , X }
es una topología de X . En este caso el conjunto de partes de X , es precisamente
una topología de X .
En general esto es cierto para cualquier conjunto. Esta topología se denomina
topología discreta. El par
( X , Γ)
se denomina en este caso espacio topológico
discreto.
Ejemplo 7.3 (Espacios topológicos)
La intersección de dos topologías Γ1 y Γ 2 cualesquiera de X, es también una
topología de X
114
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejemplo 7.4 (Espacios topológicos)
Consideremos el conjunto X = {1, 2,3} . Entonces las familias: Γ1 = {∅, {1, 2} , X } ,
Γ 2 = {∅, {2,3} , X } son topologías de X, pero Γ1 ∪ Γ 2 = {∅, {1, 2} , {2,3} , X } no es una
topología, ya que {1, 2} ∩ {2,3} = {2} ∉ Γ1 ∪ Γ 2
Ejemplo 7.5 (Topología métrica)
Sea ( X , d ) un espacio métrico, y ℑ la familia de todos los conjuntos abiertos
de X . Entonces, ℑ forma una topología de X . Esta topología se denomina
topología métrica.
Ejemplo 7.6 (Topología relativa)
Dado un espacio topológico
( X , ℑ)
y un subconjunto A ⊂ X . Entonces la
familia de partes de A :
Γ A = {U ∩ A : U ∈ ℑ}
es una topología del conjunto A . Esta topología se denomina topología relativa. El
espacio topológico ( A, Γ A ) se llama subespacio topológico de X .
Ejercicios y actividades propuestas
a. La cantidad de abiertos o elementos de una topología determinan muchas
características de la misma, al tener varias topologías en un mismo conjunto es
inevitable indagar cuál de éstas posee más abiertos, para definir estas
diferencias, es recomendable que revise los conceptos de topologías más finas
115
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
y topologías menos finas. Se puede referir a Munkres (2000), Capítulo 3,
sección 12.
b. Muchos conceptos introducidos en los capítulos anteriores se generalizan para
espacios topológicos en general, entre estos están:
i.Conjuntos cerrados y puntos límite
ii.Clausura e interior de un conjunto
Se le recomienda que revise estos conceptos en Munkres (2000), Capítulo 3,
sección 17.
Base de una topología
Si X es un conjunto, una base para una topología sobre X , es una colección
B de subconjuntos de X (elementos básicos) tales que:
a) Para cada x ∈ X , hay al menos un elemento básico B que contiene a x
b) Si x pertenece a la intersección de dos elementos básicos B1 y B2 , entonces
existe un elemento básico B3 que contiene a x y tal que B3 ⊂ B1 ∩ B2 .
Si B satisface estas dos condiciones, se define la topología T generada por
B como sigue: un subconjunto U de X se dice que es abierto en X ( U ∈ T ), si para
cada x ∈ U , existe un elemento básico B ∈ B , tal que x ∈ B y B ⊂ U .
Ejemplo 7.7 (Base de una topología)
Los intervalos abiertos forman una base de la topología usual (constituida por
los conjuntos abiertos generados por la métrica usual) de la recta real. De manera
análoga las bolas abiertas en
n
forman una base de la topología usual de
116
n
.
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejemplo 7.8 (Base de una topología)
Los rectángulos abiertos, en el plano
2
, que poseen los lados paralelos a los
ejes coordenados, forman una base para la topología usual de
rombos, forman una base para la topología usual de
2
2
. También los
. Ver figura 7.1
Figura. 7.1
Ejercicios y actividades propuestas
En varios textos de Topología General, se define base de una topología de
manera diferente, pero todas estas definiciones son equivalentes a la dada aquí,
para comprender estas equivalencias es importante que estudie con detenimiento
los temas 13.1 al 13.3 en Munkres (2000), Capítulo 2, sección 13.
Subbase de una topología
Una subbase S para una topología sobre X es una colección de X cuya
unión es igual a X .
La topología generada por la subbase S , se define como la colección T de
todas las uniones de intersecciones finitas de elementos de S .
117
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejemplo 7.9 (Subbase de una topología)
, definido como
Consideremos el conjunto de los intervalos infinitos en
S ={( −∞, a ) : a ∈
} ∪ {( b, ∞ ) : b ∈ } .
una subbase de una topología de
Entonces como
= ∪ {s} , tenemos que S es
s∈S
¿cuál es esta topología?.
Ejemplo 7.10 (Subbase de una topología)
Consideremos en
2
el conjunto de franjas horizontales y verticales sin bordes
laterales, entonces la unión de todas estas franjas es igual a
conjunto es una subbase de una topología de
Figura. 7.2
118
2
2
. Por lo tanto este
. ¿Cuál es esta topología?.
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejercicios y actividades propuestas
En los espacios métricos, todo conjunto de un solo punto es
cerrado,
sorprendentemente ésto no siempre es así en un espacio topológico general. Los
espacios topológicos que conservan esta propiedad son denominados espacios de
Hausdorff. Es recomendable que lea y estudie este concepto en Munkres (2000),
Capítulo 2, sección 17.
Continuidad. Homeomorfismo
Consideremos dos espacios topológicos
( X , Γ)
y (Y , ϒ ) . Diremos que una
función f : X → Y es una función continua, sí
U ⊆ Y (U ∈ ϒ ) su imagen recíproca
f
−1
(U )
y sólo sí para cada abierto
es un subconjunto abierto de X
( f −1 (U ) ∈ Γ ).
Un homeomorfismo de X sobre Y es una función continua f : X → Y que
es biyectiva, y tal que la función inversa f −1 : Y → X es también una función
continua. A estos espacios se les denomina espacios homeomorfos.
Ejemplo 7.11 (Función continua)
Sea ( X , Γ ) un espacio topológico, entonces la función identidad: i : X → X
i ( x) = x
es una función continua.
Ejemplo 7.12 (Función continua)
Sean ( X , Γ ) y (Y , ϒ ) dos espacios topológicos, y ( X , Γ ) un espacio discreto,
entonces cualquier función f : X → Y es continua.
119
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejemplo 7.13 (Función continua)
Sean ( X , Γ ) y (Y , ϒ ) dos espacios topológicos, y (Y , ϒ ) un espacio indiscreto,
entonces cualquier función f : X → Y es continua.
Ejemplo 7.14 (Homeomorfismo)
La función f ( x ) =
x
1+ x
es un homeomorfismo de
en el intervalo ( 0,1)
Ejemplo 7.15 (Homeomorfismo)
La función f : ( 0,1) → ( a, b ) definida por f ( x ) = ( b − a ) x + a
es un homeomorfismo entre los conjuntos ( 0,1) y
( a, b ) .
Propiedad topológica. Invariante topológica
Una propiedad topológica P, es una propiedad referida a los espacios
topológicos que se preserva a través de funciones continuas. Es decir, si
f : X ⎯⎯
→ Y es una función continua y si X verifica la propiedad, entonces el
espacio topológico f ( X ) ⊆ Y (con la topología relativa) también verifica la propiedad
P.
Un invariante topológico, es una propiedad P que se preserva a través de
homeomorfismos: Sí X e Y son espacios homeomorfos, entonces X verifica P sí y
sólo sí Y verifica P.
120
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejemplo 7.16 (Propiedad topológica)
La propiedad de ser punto interior de un conjunto es una propiedad topológica.
Para probar ésto, consideremos que x un punto interior del conjunto A, se verá que
f ( x) es un punto interior de f ( A) .
En efecto, tomando U f ( x ) = f (U x ) , donde U x es la vecindad abierta de x , que
cumple x ∈U x ⊂ A , entonces U f ( x ) es una vecindad abierta de f ( x) ¿por qué?,
entonces: f ( x) ∈U f ( x ) ⊂ f ( A) . Por lo tanto, f ( x) es un punto interior de f ( A) .
Ejemplo 7.17 (Invariante topológica)
La longitud no es un invariante topológica, ya que si consideramos los
subconjuntos de
: A = ( 0,1) y B = ( 2,10) , con la topología relativa inducida por la
usual, entonces longitud (A) = 1≠ 8 = longitud (B), pero ellos son homeomorfos (ver
ejemplo 7.15).
Ejercicios y actividades propuestas
Es importante que estudie algunas generalizaciones de importantes conceptos
vistos en capítulos anteriores, como son:
•
Espacio topológico conexo
•
Espacio topológico compacto
•
Espacio topológico separable
Para estos puntos, consultar: Munkres (2000), Capítulo3, secciones 23 a la
30.
121
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Topología producto sobre
X ×Y
Sean X , Y espacios topológicos. La topología producto sobre X × Y es la
topología que tiene como base la colección B de todos los conjuntos de la forma
U × V , donde U es un abierto de X y V es un abierto de Y .
Ejemplo 7.18 (Topología producto sobre
X ×Y
)
Sean X e Y dos espacios topológicos. Sea X × Y el producto cartesiano,
π 1 ( x, y ) = x y π 2 ( x, y ) = y las proyecciones de X × Y . Si A ⊆ X y B ⊆ Y ,
π −1 ( A ) = A × Y y π −1 ( B ) = X × B . Entonces los conjuntos de la forma
1
2
π −1 ( A ) ∩ π −1 ( B ) = A × B
1
2
donde A es abierto en X y B es abierto en Y , es una base de la topología producto
sobre X × Y .
Ejemplo 7.19 (Topología producto sobre
Sean
X = {1, 2, 3} , Y = {7,8}
con
X ×Y
topologías
)
TX = {∅ , {1} , {2, 3} , X }
y
TY = {∅ , Y } , entonces una base para la topología producto sobre X × Y , es:
B = {U × V : U ∈ TX , V ∈ TY } = {∅, {1} × Y , {2,3} × Y , X × Y }
Ejercicios y actividades propuestas
La topología sobre X × Y , definida anteriormente se puede generalizar al
producto de un número finito de espacios topológicos, y esta topología es
122
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
comúnmente denominada topología por cajas. Existe otro método para generalizar
esta topología a un producto arbitrario de espacios topológicos no vacíos. Esta
generalización se denomina topología producto.
a. Estudie la construcción de la topología producto, así como sus principales
propiedades.
b. Compare la topología por cajas y la topología producto
Puede referirse a: Munkres (2000), Capítulo2, sección 19.
Topología cociente
Sea f : X ⎯⎯
→ Y una función, donde X es un espacio topológico e Y un
conjunto cualquiera. La topología C definida por la siguiente condición: un conjunto
U ⊆ Y es miembro de C , si y sólo si f −1 (U ) es un conjunto abierto en X, se
denomina topología cociente de Y.
Atención
Se debe observar que la topología cociente de Y depende de la topología de X
y de la función f.
Ejemplo 7.20 (Topología cociente)
Sea
+
= {x ∈
topología cociente de
: x ≥ 0} , f :
+
⎯⎯
→
+
, definida como f ( x ) = x 2 , entonces la
, es la topología relativa de
123
+
como subconjunto de
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejemplo 7.21 (Topología cociente)
→ Y definida
Consideremos los conjuntos: X = {a, b, c} , Y = {1, 2} y f : X ⎯⎯
como:
⎧1 si x = a
f ( x) = ⎨
⎩2 si x ≠ a
También consideremos la topología de X definida como: TX = {∅, {a} , {b, c} , X }
y todos los subconjuntos de Y : P (Y ) = {∅, {1} , {2} , Y } .
Entonces: , f
−1
(∅ ) = ∅ ∈ TX
f −1 (Y ) = X ∈ TX . Por lo tanto TCY
(1 ) = {a } ∈ T X f − 1 ( 2 ) = {b , c } ∈ T X ,
= {∅, {1} , {2} , Y } , es la topología cociente en Y,
, f
−1
asociada a f y TX .
Atención
La definición de topología cociente, dada
anteriormente
difiere en forma
aparente a la dada en el libro de referencia (Munkres, 2000. Topología), de hecho
son definiciones equivalentes. La razón de escoger esta definición es que, es más
sencilla de entender y usar que la dada en el libro de referencia.
Ampliación de conocimientos
Para ampliar más el conocimiento de los conceptos de este objetivo, consulte
los siguientes textos:
1. Seymour Lipschutz (1970). Topología general. Mc Graw-Hill.
2. Kelley. J. (1975). Topología general. Eudeba.
124
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejercicios y actividades propuestas
A continuación se propone una lista de ejercicios, que deberá tratar de
resolver, usando los conceptos, definiciones y métodos desarrollados en esta unidad.
Consulte las respuestas con su asesor.
1. Sea X = {a, b, c, d } . Determinar si cada una de las siguientes familias de
subconjuntos de X, es una topología de o no de X .
a. ℑ1 = {∅, {a} , {a, b} , {a, c, d } , {a, b, c, d } , X }
b. ℑ2 = {∅, {a} , {a, b} , {c, d } , {a, b, c, d } , X }
c. ℑ3 = {∅, {a} , {a, c} , {c, d } , {a, b, c, d } , X }
constituida por , ∅ y todos los
2. Sea ℑ la clase de los subconjuntos de
intervalos abiertos infinitos Ea = ( a, ∞ ) , a ∈ . Demostrar que ℑ es una
topología de
.
3. Sea ℑ la clase de los subconjuntos de , formada por ∅ y por todos los
de la forma En = {n, n + 1, n + 2,...} , n ∈ .
subconjuntos de
Demostrar que ℑ es una topología de
contienen el entero positivo 3.
. Escribir los conjuntos abiertos que
4. Escribir todas las posibles topologías del conjunto X = {a, b}
5. Sea X un conjunto infinito y sea ℑ una topología de X en la que todos los
subconjuntos infinitos de X son abiertos. Demostrar que ℑ es la topología
discreta de X .
6. Sea X un espacio topológico y un elemento ∞ ∉ X . Sea X * = X ∪ {∞} y Γ* la
familia formada por los subconjuntos abiertos de X y aquellos subconjuntos
A ⊆ X * tales que X * − A es un subconjunto cerrado y compacto de X.
Demostrar que:
a) Γ* es una topología del conjunto X *
b) X * es un espacio topológico compacto
7. Demostrar que la completitud no es una propiedad topológica.
8. Comprobar dando un ejemplo, que no todo invariante topológico, es una
propiedad topológica.
125
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
9. Probar que si X es un espacio métrico separable, entonces contiene una
base numerable.
10. Sean
{ X α ,α ∈ A} una familia de espacios topológicos, y X un conjunto, y
fα : X α ⎯⎯
→X .
sólo si fα −1 (U ) es un
supongamos que para cada α ∈ A tenemos una función
Se define en X la topología Γ siguiente U ∈ Γ si y
abierto en X α (topología cociente).
Probar que esta topología cumple con estas dos condiciones:
a)
Para todo
b)
Una
→X
α ∈ A , la función fα : X α ⎯⎯
g : X ⎯⎯
→ Y es
g fα : X α ⎯⎯
→ Y es continua.
función
es continua.
continua
si
y
sólo
si
11. Dado un espacio topológico ( X , ℑ) y B1 una base de ℑ , si B2 es una clase de
conjuntos de X, tal que B1 ⊂ B2 ⊂ ℑ , demostrar que B2 es una base de ℑ .
12. Sean X e Y espacios topológicos. Probar que f : X ⎯⎯
→ Y es continua si y
sólo si, para cada conjunto cerrado en C ⊆ Y , el conjunto f −1 ( C ) es cerrado
en X.
13. Probar que el conjunto:
subconjunto conexo de
⎧
G = ⎨( x, y ) ∈ [ −π , π ] ×
⎩
:y=
senx ⎫
⎬ es un
x ⎭
2
14. Sea T la topología cofinita de un conjunto cualquiera X. Demostrar que
( X , T ) es separable.
15. Demostrar que todo conjunto infinito X con la topología cofinita es conexo.
126
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Ejercicios de autoevaluación
A continuación se propone una lista de ejercicios, que evaluarán el grado de
aprendizaje que ha alcanzado. Deberá resolver todos los ejercicios, usando los
conceptos, definiciones y métodos desarrollados en esta unidad Las respuestas de
estos ejercicios las puede consultar al final del capítulo.
→ Y es
1. Sea Γi es una colección de topologías de un conjunto X . Si f : X ⎯⎯
continua respecto a cada una de las topologías Γi , entonces f es continua
respecto a la topología intersección ℑ = ∩ Γi
i∈I
2. Dado un espacio topológico ( X , ℑ) y B1 una base de ℑ , si B2 es una clase de
conjuntos de X, tal que B1 ⊂ B2 ⊂ ℑ , demostrar que B2 es una base de ℑ .
→ Y , una función constante por
3. Sean X , Y espacios topológicos y f : X ⎯⎯
ejemplo definida por: f ( x ) = p . Demostrar que f es continua respecto a
cualquier topología de X e Y .
→ Y una función continua.
4. Sean X , Y espacios topológicos y sea f : X ⎯⎯
Si X es conexo entonces, el conjunto f ( X ) es conexo.
5. Sea X α una colección de espacios de Hausdorff. Demostrar que X = ∏ X α es
un espacio de Hausdorff.
6. Considere el espacio topológico X = R , con la topología usual
conjunto Y = ( 0,1] , si f : X ⎯⎯
→ Y , es una función definida por
ℑ , y el
f ( x) =
1
,
1 + x2
x ∈ R . Indique cuáles de los siguientes conjuntos pertenecen a la topología
cociente inducida por f , y por la topología usual ℑ de R
A = ( 0,1) ,
⎛1 ⎤
C = ⎜ ,1⎥ ,
⎝2 ⎦
B = ( 0,1] ,
127
D = {1}
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Respuestas a los ejercicios de autoevaluación
1. Si U es un subconjunto abierto de Y, entonces por hipótesis f −1 (U ) ∈ Γi para
toda i , luego f −1 (U ) ∈ ∩ Γi = ℑ , por lo tanto f es continua con respecto a la
i∈I
topología:
∩Γ
i
=ℑ
i∈I
2. Sea U ∈ ℑ , entonces U = ∪ bi donde los bi ∈ B1 y por lo tanto bi ∈ B2 , luego,
i∈I
B2 es una base de ℑ .
3. Se debe probar que para cualquier U abierto en la topología de Y, f −1 (U ) es
abierto en la topología de X .
Tenemos que:
⎧ X si p ∈ U
f −1 (U ) = ⎨
⎩∅ si p ∉ U
en ambos casos se tienen abiertos en la topología de X . Por lo tanto la función
constante es continua.
4. Primero, se debe observar que f : X ⎯⎯
→ f ( X ) es continua ¿porqué?
Veremos que cualquier conjunto D que sea cerrado y abierto a la vez en f ( X ) ,
o es vacío o es todo f ( X ) .
Sea D ⊆ f ( X ) , abierto y cerrado. Entonces f −1 ( D ) es abierto y cerrado en X ,
como
X
es conexo, se tiene que f −1 ( D ) = ∅ o f −1 ( D ) = X .Entonces como
D ⊆ f ( X ) , se tiene que: D = f ( f −1 ( X ) ) , por lo que se tiene que D = ∅
D = f (X ) .
128
o
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
5. Sean p = pα , α ∈ I
y q = qα , α ∈ I
puntos distintos de X , entonces p y q
se diferencian en al menos un espacio coordenado, por ejemplo en X α 0 , o sea
pα 0 ≠ qα 0 , como X α 0 es Hausdorff, existen abiertos disjuntos U y V en X α 0 y
→ X α 0 es continua ¿por
pα 0 ∈ U y qα 0 ∈ V . Como la proyección π α 0 : X ⎯⎯
qué?, tenemos que π α 0 −1 (U ) y π α 0 −1 (V ) son abiertos disjuntos en X
que
contienen respectivamente a p y q , entonces X es un espacio topológico
Hausdorff.
6.
f −1 (0,1) = (−∞, 0) ∪ (0, ∞) ∈ ℑ , entonces A pertenece a la topología cociente
f −1 ( 0,1] = R ∈ ℑ , entonces B pertenece a la topología cociente
⎛1 ⎤
f −1 ⎜ ,1⎥ = (−1,1) ∈ ℑ , entonces C pertenece a la topología cociente
⎝2 ⎦
f −1 {1} = {0} ∉ ℑ , entonces D no pertenece a la topología cociente
129
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Nota histórica
La Topología como disciplina matemática moderna se inicia
a
comienzos del siglo XX, cuando en el Congreso Internacional de
Matemáticos de Roma de 1909, F. Riesz propone un nuevo
acercamiento axiomático a la topología, basado en una definición
conjuntista de puntos límite, sin un concepto de distancia
subyacente.
En 1914, F. Hausdorff define los entornos a través de cuatro
axiomas, sin consideraciones métricas. Este trabajo de Riesz y
Hausdorff realmente da lugar a la definición de espacio topológico
abstracto.
F. Riesz
(1880-1956)
F. Hausdorff
(1868-1942)
Consulta en la Web
Se recomienda acceder a la siguiente dirección electrónica para ampliar sus
conocimientos en relación al concepto de espacio topológico:
www.uam.es/personal_pdi/ciencias/vmunoz/chamizo.pdf
130
Espejo, Alfredo. (2009).Topología de Espacios Métricos, Material Instruccional de Apoyo. Caracas: UNA
Bibliografía
Bibliografía básica
Iribarren, I. (2007) Topología de espacios métricos. México: Limusa Wiley.
Bibliografía complementaria
González , J., Torres, E. y Monagas O. (1982) Topología. Caracas: UNA
Munkres, J. (2002) Topología. Madrid: Editorial Pearson
Lipschutz , S. (1979) Teoría y problemas de topología general. México: Mc Graw-Hill
131