Download Programa de Álgebra. Curso 2009/2010

DPTO. MATEMÁTICA APLICADA II
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR INGENIEROS
INGENIERÍA INDUSTRIAL
PLAN DE LA ASIGNATURA
ÁLGEBRA
CURSO
2009-2010
1. Información general.
La asignatura de Álgebra es una materia obligatoria que corresponde al primer curso de
la titulación de Ingeniería Industrial y su docencia está asignada al Departamento de Matemática Aplicada II. Tiene asignados un total de 9 créditos (6 teóricos y 3 prácticos), que
equivalen a tres horas de clase semanales a lo largo de todo el curso académico. Aunque no se hará distinción explícita entre clases de teoría y de problemas, el porcentaje
aproximado de estos contenidos será: 60% de horas de teoría (con ejemplos y cuestiones teóricas) y 40% de horas de ejercicios y problemas.
Además de las clases de teoría y de prácticas, los alumnos y alumnas disponen de 6
horas semanales de tutorías donde se podrán consultar aspectos relativos a la asignatura, así como disponer de una atención personalizada por parte de sus profesores. El
horario de tutorías se publicará en el tablón de anuncios del Departamento, que está
frente a la copistería de la Escuela, y también en la página web del Departamento, donde será posible obtener información adicional sobre esta asignatura así como descargar
material relacionado con ella. No existen requisitos previos para la matriculación en esta
asignatura.
2. Objetivos y desarrollo de la asignatura.
El objetivo fundamental de la asignatura es mostrar las herramientas y técnicas básicas
del álgebra en el nivel de primer curso de universidad y que serán necesarios para el seguimiento de otras asignaturas a lo largo de los estudios de la titulación. Junto a ello se
pretende dotar a los alumnos y alumnas de destreza en el uso del lenguaje matemático
para formular y resolver problemas relacionados con la ingeniería.
Dentro de los grandes campos que abarca el estudio del Álgebra, nos centraremos fundamentalmente en el Álgebra Lineal, que abordaremos siempre con un fuerte contenido
geométrico. De ese modo, afrontaremos el cálculo, la interpretación y el manejo de los
conjuntos de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales, así como su utilidad para resolver problemas de muy diversa índole.
Las tres horas semanales de clase se dedicarán, como ya hemos comentado en la introducción, a desarrollar los contenidos teóricos del programa (que se detallan mas adelante) y a la resolución de problemas y ejercicios que permitan la asimilación y manipulación
de los conceptos y métodos estudiados. Para el desarrollo de la asignatura proponemos
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como referencia básica el libro de texto D.C. Lay. Álgebra Lineal y sus aplicaciones. Segunda edición. Ed. Addison-Wesley/Longman/Pearson. 1999. Sin embargo, cambiaremos el orden o el enfoque de alguno de sus capítulos, así como, la profundidad en la que
se estudiarán ciertos contenidos. Para completar dicho texto, seguiremos un libro de
apuntes que se pondrá, en copistería, a disposición de los alumnos y alumnas. Estos
apuntes incluirán:
• Aspectos y resultados teóricos que no aparezcan o que aparezcan tratados de
forma incompleta, a nuestro modo de ver, en el libro.
• Ejercicios y problemas totalmente resueltos y otros propuestos, algunos de los
cuales se resolverán en clase.
3. Profesorado.
Todos los profesores y profesoras de esta asignatura pertenecen al Departamento de
Matemática Aplicada II y tienen sus despachos en la Escuela Superior de Ingenieros. En
la siguiente tabla se encuentran detallados los nombres y apellidos de cada uno de ellos,
indicando los grupos y cuatrimestres a los que están asignados. También aparecen unas
direcciones electrónicas de contacto, que pueden ser usadas para realizar consultas sobre la asignatura. La profesora Encarnación Algaba Durán es la coordinadora de la asignatura.
PROFESOR
GRUPOS (PARCIALES)
Encarnación Algaba Durán
José Miguel Díaz Báñez
Francisco Javier Ros Padilla
CORREO
ELECTRÓNICO
2 y 3 (P1 y P2)
ealgaba@us.es
1 (P1 y P2)
dbanez@us.es
4 y 5 (P1 y P2)
javieros@us.es
4. Programa de la asignatura.
Tema 1.- Elementos de geometría en el plano y el espacio.
Vectores en \ 2 y \ 3 . Rectas en el plano. Rectas y planos en el espacio.
Cónicas: Secciones cónicas. Definición métrica y elementos notables. Propiedades focales. Ecuación reducida.
Cuádricas: Ecuaciones reducidas y representación gráfica.
Tema 2.- Formas cuadráticas.
Definición y representación matricial. Reducción a suma de cuadrados: método de Lagrange. Clasificación de las formas cuadráticas.
Tema 3.- Números complejos.
Los números complejos. Operaciones. Las raíces de un polinomio real.
Aplicaciones geométricas de los números complejos: transformaciones en el plano.
Tema 4.- Sistemas de ecuaciones lineales.
Sistemas de ecuaciones lineales. Notación matricial.
Reducción por filas y formas escalonadas.
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Vectores en \ n . Combinaciones lineales: Dependencia e independencia lineal.
El conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales.
Transformaciones lineales: matriz asociada, ejemplos geométricos en el plano y en el
espacio.
Tema 5.- Álgebra de matrices. Determinantes.
Operaciones con matrices. Propiedades. Matriz inversa de una matriz cuadrada.
Matrices elementales. Método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa. Transformaciones lineales invertibles.
Factorización PA = LU de una matriz.
Definición de determinante. Propiedades. Regla de Cramer.
Área, volumen y transformaciones lineales.
Tema 6.- El espacio \ n .
El espacio \ n . Espacios vectoriales generales. Ejemplos.
Subespacios vectoriales de \ n . Subespacio generado por un conjunto de vectores.
Espacio columna y espacio nulo de una matriz. Núcleo e imagen de una transformación
lineal.
Tema 7.- Bases de un subespacio vectorial.
Bases de un subespacio. Coordenadas. Dimensión. El teorema de la base.
Rango de una matriz. Teorema del rango.
Bases de \ n . Cambios de base.
Transformaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita. Matriz asociada respecto a bases prefijadas.
Tema 8.- Ortogonalidad.
Producto escalar. Norma, distancia, ángulos y ortogonalidad.
El subespacio ortogonal a un subespacio.
Conjuntos ortogonales. Conjuntos ortonormales. Bases ortonormales de un subespacio.
Proyección ortogonal sobre un subespacio. El teorema de la mejor aproximación. Interpretación geométrica. Propiedades.
El método de Gram-Schmidt. Factorizaciones QR de una matriz.
Tema 9.- Mínimos cuadrados.
Problemas de mínimos cuadrados. Ecuaciones normales de Gauss. Regresión lineal.
Tema 10.- Autovalores y autovectores.
Definición, propiedades e interpretación geométrica. La ecuación característica.
Matrices diagonalizables.
Autovalores y autovectores complejos.
Tema 11.- Matrices simétricas reales.
Diagonalización ortogonal. El teorema espectral. Descomposición espectral.
Aplicación a las formas cuadráticas, cónicas y cuádricas.
Tema 12.- Matrices no diagonalizables.
Matrices no diagonalizables. Autovectores generalizados. Aplicaciones.
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5. Distribución Temporal.
La distribución temporal se llevará a cabo conforme a la siguiente tabla:
CUATRIMESTRE
TEMAS
Primer cuatrimestre
1-6
Segundo cuatrimestre
7-12
6. Prácticas de laboratorio.
Esta asignatura no tiene prácticas de laboratorio.
7. Material de Trabajo.
• Notas de clase. Las clases se llevarán a cabo en el formato habitual de clase
magistral. En las mismas se presentarán los conceptos centrales de cada tema,
ilustrándolos con numerosos ejercicios y problemas resueltos y propuestos. Es
obvio que las notas tomadas en clase, así como la resolución de los ejercicios allí
propuestos, son una guía excelente, aunque no única, para enfrentarse por primera vez a los nuevos conceptos y para asimilarlos y manejarlos en distintas situaciones y aplicaciones.
Junto a estas notas de clase es conveniente, sin embargo, utilizar otro tipo de material de trabajo que abordamos en los apartados siguientes.
• Textos de consulta. A continuación damos una lista de los libros de consulta que
se recomiendan. El primero de ellos, marcado como “Libro de texto”, será la referencia que proponemos en la mayor parte del curso (la estructura del libro es similar al programa de la asignatura que acabamos de describir y además tiene un
gran número de problemas, cuestiones y ejercicios, propuestos y resueltos).
Para aquellos aspectos del programa que no están tratados en el libro de texto,
así como para completar los que sí aparecen, proponemos un grupo de libros que
hemos marcado como “Bibliografía básica”. Creemos importante comentar que un
buen uso de esta bibliografía básica, con el fin de contrastar y obtener diferentes
enfoques de los diversos temas estudiados, ayudará a los alumnos y alumnas en
la comprensión de la asignatura y aportará numerosa información sobre las múltiples aplicaciones de la misma.
De todos los libros recomendados y, en particular, del libro de texto principal, hay
numerosos ejemplares en la Biblioteca de la Escuela.
Libro de texto:
D.C. Lay. Álgebra Lineal y sus aplicaciones. Segunda edición. Ed. AddisonWesley/Longman/Pearson. 1999.
Bibliografía básica:
J. Burgos. Álgebra lineal y geometría cartesiana. Tercera Edición. Ed.
McGraw-Hill. 2006.
S.I. Grossman. Álgebra lineal con aplicaciones. Ed. McGraw-Hill. 1996.
E. Hernández. Álgebra y geometría. Ed. Addison-Wesley. 1994.
B. Kolman. Álgebra lineal con aplicaciones y Matlab. Ed. Prentice-Hall. 1999.
L. Merino y E. Santos. Álgebra lineal con métodos elementales. Ed. Thomson.
2006.
W.K. Nicholson. Álgebra lineal con aplicaciones. Ed. McGraw-Hill. 2003.
B. Noble y J.W. Daniel. Álgebra lineal aplicada. Ed. Prentice-Hall. 1988.
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G. Strang. Álgebra lineal y sus aplicaciones. Fondo Educativo Interamericano.
1982.
Libro de apuntes. Los estudiantes tendrán a su disposición, en la Copistería de
la Escuela un libro de apuntes de la asignatura que se seguirá a lo largo del curso.
Exámenes resueltos de cursos anteriores. De la página web del Departamento
se pueden descargar los exámenes de cursos anteriores con todos los problemas
resueltos. También está disponible esta información en la Biblioteca de la Escuela.
Creemos fundamental para un buen aprendizaje de la asignatura el enfrentarse a
problemas y cuestiones de examen. Este tipo de ejercicios suele ser más completo, por lo general, que aquellos que se encuentran en los textos de referencia, en
la medida en que suelen interrelacionar conceptos estudiados en distintos temas.
No cabe duda de que, una vez asimilados los conceptos, se llega a un mejor entendimiento de los mismos cuando se relacionan, se comparan y se enfrentan entre sí.
8. Evaluación.
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Para evaluar el rendimiento de los estudiantes se realizarán exámenes parciales y
finales. En el curso se convocan cuatro exámenes: dos exámenes parciales y dos
finales (examen final de Junio y examen final de Septiembre). Cada uno de estos
exámenes consiste en la resolución de problemas teórico–prácticos que medirán
el grado de asimilación por parte del alumno/a de los conceptos, los resultados,
las técnicas y los métodos correspondientes a la materia objeto del examen.
Los exámenes parciales serán, si se aprueban, liberatorios con respecto al examen final de Junio. Es decir, el alumno o alumna sólo tendrá que presentarse en
el examen final de Junio de la materia correspondiente al examen o exámenes
parciales no aprobados.
Finalmente, en caso de acudir al examen de Septiembre, el alumno o alumna se
examinará de toda la asignatura.
Las fechas de estos exámenes son las siguientes:
PRIMER PARCIAL
SEGUNDO PARCIAL
FINAL
FINAL (SEPTIEMBRE)
27/01/2010
11/06/2010
1/07/2010
10/09/2010
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