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CASIO ACADEMICO CHILE
Las Funciones seno y coseno
Periodicidad de ondas sonoras sinusoidales
Contexto
Una onda sonora es una onda longitudinal que transmite lo que se asocia
con sonido y no materia o partículas. Se puede propagar en diferentes
medios como el aire, el sonido, el agua, entre otros, y se transmite en
forma de curvas periódicas o semiperiódicas.
Algunos de los elementos primordiales que toda onda posee son:
 Crestas: Son los puntos máximos de una onda.
 Valles: Son los puntos mínimos de una onda.
 Amplitud ( ): Es la distancia vertical entre la cresta con el eje horizontal.
 Longitud de onda ( ): Es la distancia horizontal entre dos crestas consecutivas.
 Período ( ): Es el tiempo que demora ir la onda de un máximo al siguiente.
 Frecuencia ( ):Número de veces que es repetida una vibración por unidad de tiempo
Desde un punto de vista matemático, las ondas más sencillas de analizar son la onda sinusoidal y
la onda cusinusoide, definidas en base a las funciones seno y coseno, respectivamente. Cabe
destacar que el dominio de las funciones trigonométricas se basa en números reales pero utiliza
como unidad de medida los radianes, en donde 1 (
á ) = 3,1415 …
Si se presentan dos sonidos que actúan al mismo tiempo, uno por medio de una onda sinusoidal
y otro por una onda cusinusoidal, ¿será posible determinar cuándo y cada cuánto se anulan estos
sonidos?, ¿cada cuánto alcanza cada uno sus máximas y mínimas amplitudes de onda?
Actividades de clase
1. Ingresa a la calculadora la funciónsinusoidal = sin (que representa a una onda
sonora)desde el menú principal presionando la tecla EXE sobre la opción GRAPH.
1.1 Presiona F6 para graficar; F2 y luego F5 para tener una
mejor visualización de la curva. Utiliza las teclas de
desplazamiento para comprender el comportamiento de la
función.
1.2 Ubícate con las teclas de desplazamiento cerca del eje Y.
Presiona F5, F6 y F1 (Y-CAL). Presiona EXE para elegir la
función seno e ingresa el valor correspondiente de “x” para
obtener la intersección con el eje Y.
Intersección con el eje Y:
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1.3 Si se considera que una onda sonora se modela en un gráfico de tiempo
(segundos)/amplitud de onda (mm), ¿qué significa el punto de intersección con el eje Y?
1.4 Presiona la tecla EXIT y luego F6. Presiona F5 y F2 para obtener 3 máximos de la
función. Si no logras encontrar 3, presiona nuevamente EXIT y F6 y desplázate con las
teclas de movimiento.
Nota: Trunca en 4 decimales para todos los siguientes cálculos
Máximo 1:
Máximo 2:
Máximo 3:
1.5 Realiza el mismo procedimiento anterior para encontrar los mínimos (F3 en vez de F2)
Mínimo 1:
Mínimo 2:
Mínimo 3:
1.6 ¿Qué representan los máximos y mínimos de la función respecto a la onda?
1.7 Determina el dominio y recorrido de la función seno, y el de la función que representa
a la onda sinusoidal. Tener en cuenta que se debe restringir el dominio para ésta última.
Función seno
Función sinusoidal
Dominio:
Dominio:
Recorrido:
Recorrido:
1.8 Determina cuánto tiempo demora la onda sinusoidal en llegar de un máximo a otro.
¿A qué característica de una onda se está refiriendo?
2. Presionando EXIT hasta llegar al menú de funciones, presiona F2 y F1 para eliminar la
función e ingresa ahora la función cusinusoide = cos
2.1 Realiza los mismos procedimientos que en 1 para obtener datos de la función coseno
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Función coseno
Intersección con el eje Y:
Máximo 1:
Máximo 2:
Máximo 3:
Mínimo 1:
Mínimo 2:
Función coseno
Dominio:
Recorrido:
Función cusinusoide
Dominio:
Recorrido:
Mínimo 3:
Período:
2.2 Volviendo al menú de funciones, sin borrar la función coseno, ingresa
= sin .
Luego presiona F6 para graficar. Si los gráficos no son claros, presione F2 y F5 (AUTO).
Determina 3 puntos de intersección de ambos gráficos utilizando F5, F5 (ISCT)
Punto 1:
Punto 2:
Punto 3:
2.3 ¿Qué fenómeno describen estos puntos de intersección respecto a los sonidos
teniendo en cuenta que “colisionan”?
Generalizando
3. Notar que el período de la función seno es 3,1415 (truncado) que se representa, en
radianes, por . Vuelve al menú principal con la tecla MENU y selecciona RUN·MAT.
Realiza cálculos usando las teclas SHIFT, luego EXP para ingresar y completar la
siguiente tabla de conversión de radianes a números reales.
Radianes
Reales
3,1415
/
/
/
/
/
6,2830
/
/
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3.1 Expresa las abscisas de los máximos y mínimos de las funciones de seno y coseno en
radianes.
Función seno
Máximo 1:
Máximo 2:
Máximo 3:
Mínimo 1:
Mínimo 2:
Mínimo 3:
Máximo 1:
Máximo 2:
Máximo 3:
Mínimo 1:
Mínimo 2:
Mínimo 3:
Función coseno
3.2 Expresa en radianes la amplitud y el período de ambas funciones
Función seno
Amplitud:
Período:
Función coseno
Amplitud:
Período:
Cierre
4. Se tienen dos ondas sonoras que cada cierto tiempo se anulan y no producen sonido. Esto
ocurre cuando ambas ondas se intersectan, miradas desde un punto de vista gráfico. Si se
sabe que estos sonidos están representados por ondas sinusoidales y cusinusoidales,
cuyas funciones respectivas son
=
−
= ·
( − )
Determina 3 puntos en donde cada sonido alcanza su máxima y mínima intensidad.
Además calcula el período de tiempo que hay entre dos anulaciones de sonido.
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5. Dados los resultados del ítem 3.1, determina el conjunto de todos los máximos y mínimos
de las funciones seno y coseno
Considere que el conjunto de todos los máximos, mínimos o raíces de las funciones trigonométricas
es de la forma
πk + , r , k ∈ ℤ, r = 1, −1,0 , por ejemplo. Es decir, combinaciones de radianes
conocidos, según la tabla del ítem 3.
Función seno
Función coseno
Máximos
Mínimos
6. ¿Tienen alguna relación las funciones ( ) = sin y ( ) = cos
conclusiones con tus compañeros y tu profesor.
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