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 GPT-04_M1AA2L2_Funciones
Versión: Septiembre 2012
Revisor: Sandra Pérez
Funciones trigonométricas Por Sandra Elvia Pérez Márquez
Las funciones trigonométricas son funciones de la medida de un ángulo, es decir, si el valor del
ángulo cambia, el valor de éstas también. La tabla 1 muestras las seis funciones trigonométricas.
Función
trigonométrica
Seno
Coseno
Tangente
Cotangente
Secante
Cosecante
Su forma
abreviada
sen (A)
cos (A)
tan (A)
cot (A)
sec (A)
csc (A)
Se lee
Seno de A
Coseno de A
Tangente de A
Cotangente de A
Secante de A
Cosecante de A
Tabla 1. Nombre de las funciones trigonométricas.
Las funciones trigonométricas, al igual que el teorema
de Pitágoras, son relaciones existentes entre los lados de
un triángulo rectángulo que permiten determinar el valor
de los ángulos del triángulo y, con el apoyo del teorema de
Pitágoras, también los lados desconocidos.
Para el caso de las funciones trigonométricas, a diferencia del teorema de Pitágoras en donde no
es relevante identificar con detalle los catetos, cada uno de los lados y los ángulos del triángulo
rectángulo toman un nombre específico de acuerdo al ángulo que se tome como referencia. La figura 1
muestra un triángulo rectángulo en donde:
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sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.
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1. Los ángulos se identifican con las literales A y B
(mayúsculas).
2. Los lados (catetos) se identifican con las literales a y b
(minúsculas).
3. Los ángulos y lados opuestos se identifican con la
misma letra.
Figura 1. Denominación de los lados y ángulos en un triángulo.
En este triángulo, es importante observar que:
•
•
Para el ángulo A, el cateto opuesto es a y el cateto adyacente (o contiguo) es b.
Para el ángulo B, el cateto opuesto es b y el cateto adyacente (o contiguo) es a.
La siguiente tabla, muestra con detalle lo anterior, dependiendo del ángulo que se tome de referencia.
Ángulo de referencia A
Hipotenusa: es el lado que se
encuentra frente al ángulo de 90° y se
denota por h.
Cateto opuesto: es el lado que se
encuentra frente al ángulo que se está
tomando como referencia; en este caso,
a es el cateto opuesto.
Cateto adyacente: es el lado que se
encuentra junto al ángulo que se está
tomando como referencia; en este caso
b es el cateto adyacente.
Ángulo de referencia B
Hipotenusa: es el lado que se encuentra
frente al ángulo de 90° y se denota por h.
Cateto opuesto: es el lado que se
encuentra frente al ángulo que se está
tomando como referencia; en este caso,
b es el cateto opuesto.
Cateto adyacente: es el lado que se
encuentra junto al ángulo que se está
tomando como referencia; en este caso,
a es el cateto adyacente.
Tabla 2. Denominación de los catetos conforme al ángulo tomado como referencia.
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Tomando como base lo anterior, para todo triángulo rectángulo, las funciones trigonométricas se
definen como sigue:
Tabla 3. Funciones trigonométricas y la relación con los lados de un triángulo.
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Aplicando estas definiciones a los dos ángulos de referencia en un triángulo rectángulo tenemos:
Ángulo de referencia A
Ángulo de referencia B
a
h
b
cos(A) =
h
a
tan(A) =
b
b
cot(A) =
a
h
sec(A) =
b
h
csc(A) =
a
b
h
a
cos(B ) =
h
b
tan(B ) =
a
a
cot(B ) =
b
h
sec(B ) =
a
h
csc(B ) =
b
sen(A) =
sen(B ) =
Tabla 4. Funciones trigonométricas conforme al ángulo tomado como referencia.
A continuación se presentan algunos ejemplos que muestran cómo calcular las funciones
trigonométricas y cómo utilizarlas para determinar datos del triángulo no conocidos.
Donde sea necesario, se utilizarán las abreviaciones h para denominar a la hipotenusa, co para el
cateto opuesto y ca para el cateto adyacente
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Ejemplo 1
Para el triángulo rectángulo mostrado en la siguiente
figura, determina las 6 funciones trigonométricas
tomando como referencia el ángulo A.
Figura 2. Triángulo tomando como referencia el ángulo A.
Solución
Lo primero es identificar el cateto opuesto y el cateto adyacente, para este caso el cateto opuesto es a = 3 y el
cateto adyacente es b = 4. Partiendo de la definición de la funciones trigonométricas tienes que:
co 3
=
h 5
ca 4
cos( A) =
=
h 5
co 3
tan( A) =
=
ca 4
sen( A) =
ca 4
=
co 3
h 5
sec( A) =
=
ca 4
h 5
csc( A) =
=
co 3
cot( A) =
Ejemplo 2
Para el triángulo rectángulo de la figura 3, determina
las 6 funciones trigonométricas tomando como
referencia el ángulo B.
Figura 3. Triángulo tomando como referencia el ángulo B.
Solución
Lo primero es identificar el cateto opuesto y el cateto adyacente. Para este caso el cateto opuesto es b = 4 y el
cateto adyacente es a = 3. Partiendo de la definición de la funciones trigonométricas tienes que:
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co 4
=
h 5
ca 3
cos( B ) =
=
h 5
co 4
tan( B ) =
=
ca 3
sen( B ) =
ca 3
=
co 4
h 5
sec( B ) =
=
ca 3
h 5
csc( B ) =
=
co 4
cot( B ) =
Observa cómo en los ejemplos 1 y 2, aunque se analizó el mismo triangulo, las funciones
trigonométricas son distintas para cada ángulo de referencia (A o B).
Ejemplo 3
A partir de la función trigonométrica
tan(A) =
15
determina las funciones trigonométricas faltantes.
20
Solución
Recuerda que la función tangente se define como:
De esta relación se puede obtener que
cateto opuesto = 15
y
cateto adyacente = 20
Ya que:
Si se representa en un triángulo rectángulo, puedes observar que hace falta calcular el valor de la hipotenusa,
para ello puedes utilizar el teorema de Pitágoras.
h2 = a2 + b2
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Sustituyendo los datos conocidos:
h 2 = 15 2 + 20 2
h 2 = 225 + 400
h 2 = 625
Figura 4. Triángulo conocidos dos catetos.
h = 625 = 25
Una vez que tienes el valor de todos los lados del triángulo, puedes establecer las 6 funciones trigonométricas
como se muestra a continuación.
co 15
=
h 25
ca 20
cos( A) =
=
h 25
co 15
tan( A) =
=
ca 20
sen( A) =
ca 20
=
co 15
h 25
sec( A) =
=
ca 20
h 25
csc( A) =
=
co 15
cot( A) =
Funciones trigonométricas recíprocas ¿Has notado la similitud existente entre algunas funciones trigonométricas?, ¿cuáles son similares?
Observa la función tangente y la función cotangente, ¿en qué son parecidas? Si se consideran los
resultados del ejemplo anterior, puedes observar lo siguiente:
Tangente
tan( F ) =
co
5
=
ca
119
Cotangente
cot( F ) =
ca
119
=
co
5
Al observar estas funciones trigonométricas, se puede apreciar que son recíprocas entre sí. Si no lo
recuerdas, dos números son recíprocos si al multiplicarse son iguales a la unidad. Multipliquemos la
tangente y la cotangente para verificar su reciprocidad.
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es recíproca de
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(
)
 5  119  (5) 119
=


=1

119 (5)
 119  5 
(
)
Tabla 5. Tangente y cotangente.
En la tabla 6 se muestra la reciprocidad que existe entre las funciones trigonométricas.
Funciones trigonométricas
Esto implica que:
Tabla 6. Funciones trigonométricas recíprocas.
Conocer que las funciones trigonométricas son recíprocas en parejas, es de utilidad cuando se quiere
determinar el valor de las funciones cotangente, secante y cosecante, usando una calculadora
científica.
En los ejemplos anteriores se determinó el valor de las funciones trigonométricas mediante las
relaciones de los lados de un triángulo rectángulo. Cuando se conocen los ángulos del triángulo, se
puede utilizar una calculadora científica para calcular las funciones trigonométricas. Observa el
siguiente ejemplo.
Ejemplo 1
Para el triángulo rectángulo mostrado en la siguiente figura, determina las 6 funciones trigonométricas para el
ángulo de 30º.
Figura 5. Triángulo conocidos dos ángulos.
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Solución
Las calculadoras científicas incluyen las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente. Para calcularlas se
pulsa la tecla correspondiente con la función trigonométrica a calcular y el valor del ángulo.
Calcula las funciones trigonométricas utilizando la calculadora científica. Para ello, te recomiendo
utilizar la calculadora científica UVEG. Si no sabes cómo acceder a ella haz clic en Apoyo 1.Guía para
acceder a la Calculadora UVEG, localizado en la parte derecha de tu pantalla en la sección Recursos,
en el área de Lecturas.
Posteriormente realiza las siguientes operaciones:
Calcular el valor de
sen(30 º )
cos(30º )
tan(30º )
Si las calculadoras científicas sólo consideran las funciones anteriores, ¿cómo calcularás las tres
funciones restantes? Regresa a las relaciones de reciprocidad.
sen( A) ∗ csc( A) = 1
cos( A) ∗ sec( A) = 1
tan( A) ∗ cot( A) = 1
Utilizando las expresiones anteriores y los valores obtenidos de las funciones trigonométricas en la
calculadora (seno, coseno y tangente) se pueden obtener los valores de las funciones reciprocas del
ángulo de 30º.
Para obtener
el valor de
Utilizamos
Despejando y sustituyendo
Valor obtenido
Como sen(A) está multiplicando pasa
dividiendo al 1, así la fórmula despejada es:
csc(30º )
sen(30º ) = 0.5
csc( A) =
1
sen( A)
y
sen( A) ∗ csc( A) = 1
Sustituyendo:
csc(30º ) =
csc(30º ) = 2
1
1
=
=2
sen(30º ) 0.5
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Como cos( A) está multiplicando pasa
dividiendo al 1, así la fórmula despejada es:
sec(30º )
cos(30º ) = 0.866
sec( A) =
1
cos( A)
y
cos( A) ∗ sec( A) = 1
Sustituyendo:
csc(30º ) = 1.154
1
1
=
= 1.154
cos(30º ) 0.866
tan( A) está multiplicando pasa
sec(30º ) =
Como
dividiendo al 1, así la formula despejada es:
cot(30º )
tan(30º ) = 0.577
cot( A) =
1
tan( A)
y
tan( A) ∗ cot( A) = 1
Sustituyendo:
cot(30º ) =
cot(30º ) = 1.732
1
1
=
= 1.732
tan(30º ) 0.5773
Tabla 7. Funciones reciprocas del ángulo de 30º.
Como se pudo observar en el ejemplo anterior, las funciones trigonométricas se pueden calcular
utilizando una calculadora científica. Pero debido a que estos aparatos contemplan solamente a las
funciones seno, coseno y tangente, para continuar con los triángulos rectángulos, centraremos nuestro
estudio en estas tres funciones trigonométricas.
Obtención de los datos desconocidos en un triángulo rectángulo En muchas ocasiones, sólo se conocen algunos datos de un triángulo rectángulo pero con esta
información y aplicando el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas, es posible determinar
los datos que faltan. En los siguientes ejemplos se muestran algunas de las situaciones antes
mencionadas.
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Ejemplo 1
Para el triángulo rectángulo mostrado en la siguiente
figura, determina el valor de los ángulos A y B.
Figura 6. Triángulo del cual se conocen
3 lados.
Solución
Como se conocen todos los lados del triángulo, es posible utilizar cualquiera de las funciones trigonométricas.
Si utilizas la función seno y se toma de referencia el ángulo A, obtendrás:
sen( A) =
4
65
sen( A) =
4
65
A partir de la función:
 4 
A = sen −1 
 = sen −1 (0.4961) = 29.74º
 65 
Recordando que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º,
B = 180º −(29.74 + 90 º )
B = 60.25º
Ejemplo 2
Para el triángulo rectángulo mostrado en la siguiente
figura, determina el valor de los datos que faltan.
Figura 7. Triángulo del cual se conoce 1 lado y un
ángulo.
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Solución
A diferencia del ejemplo anterior y debido a que sólo se conoce el ángulo B = 50º y su lado opuesto, es
necesario decidir qué función trigonométrica utilizar. Observa que no es posible la función coseno porque se
desconoce tanto el cateto opuesto como el cateto adyacente pero sí es posible aplicar la función seno y la
función tangente. Si aplicas la función seno, tienes:
sen(50º ) =
6
h
Si despejas h de esta expresión, tienes que:
6
sen(50 º )
h = 7.8324
h=
Ahora que ya se conoce la hipotenusa es posible calcular el lado a utilizando el teorema de Pitágoras.
a = 7.8324 2 − 6 2
a = 5.0345
Finalmente, encuentra el ángulo A.
A + 50 º = 90 º
A = 90 º −50 º
A = 40 º
Los ejemplos anteriores muestran cómo aplicando las funciones trigonométricas y el teorema de
Pitágoras se puede encontrar todos los datos de un triángulo rectángulo.
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Bibilografía Clemens, S., OʼDaffer, P. & Cooney, T. (1998). Geometría. (Addison- Wesley
Iberoamericana, l López Mateos, M. Trad.). México: Pearson.
Fuenlabrada, S. (2007). Geometría y trigonometría (3ª. ed.). México. McGraw-Hill.
Geltner, P. & Peterson, D. (1998). Geometría (3ª. ed., Villagómez, H. Trad.).
México: Thomson.
Geltner, P., Peterson, D., Swokowski, E. & Cole, J. (2002). Geometría y
Trigonometría. (3ª. ed., Villagómez, H. y Romo, J. H. Trad.). México:
Thomson.
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