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 GPT-04_M3AA1L1_Ecuaciones
Versión: Septiembre 2012
Revisor: Sandra Pérez
Ecuaciones trigonométricas Por Sandra Elvia Pérez Márquez
En el curso de Fundamentos de Álgebra pudiste ver que:
Una ecuación es una expresión matemática que contiene
un símbolo de igualdad. En ambos lados de la igualdad
existen términos.
A continuación se presentan algunos ejemplos:
x − 3y = 0
3x − 2 = 8 x − 3
El propósito de una ecuación es representar una situación o problema real en lenguaje matemático.
De la misma forma y de acuerdo con Fuenlabrada (2007, p. 149)
“Una ecuación trigonométrica es una igualdad entre
funciones trigonométricas que sólo se satisface para un
determinado valor o valores de ángulo”.
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.
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A continuación te presento algunos ejemplos:
2sen( A) = 1
cos2 ( A) + 2 cos( A) = 3
Para resolver una ecuación trigonométrica es necesario que consideres lo siguiente:
•
Toma las funciones trigonométricas que se presenten en la ecuación como una variable.
•
Si se presenta más de una función trigonométrica, utiliza las identidades para simplificar la
expresión y deja solamente en función de una sola variable (seno, coseno, tangente).
•
Utiliza tus conocimientos algebraicos como las propiedades de la igualdad, la factorización y la
fórmula para la solución de cuadráticas, para despejar la función trigonométrica.
•
Por último, despeja el valor del ángulo utilizando la función trigonométrica inversa
correspondiente (seno, coseno, tangente, etc.) para que lo puedas obtener por medio de la
calculadora.
Antes de comenzar a resolver ecuaciones debes tomar en consideración que:
Los ángulos de una función trigonométrica pueden tomar
cualquier valor (positivo o negativo). Además, los signos
de las funciones trigonométricas pueden tener valores
positivos o negativos dependiendo del cuadrante en que
se encuentren.
En la tabla 1 se muestran los signos que tienen cada una de las funciones trigonométricas de
acuerdo al cuadrante en que se encuentre el triángulo.
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Primer cuadrante
0° a 90°
Funciones trigonométricas y sus signos
co (+)
=
=+
h (+)
ca (+)
cos( A) =
=
=+
h (+)
co (+)
tan( A) =
=
=+
ca (+)
sen( A) =
Segundo cuadrante
90° a 180°
Funciones trigonométricas y sus signos
co (+ )
=
=+
h (+)
ca (−)
cos( A) =
=
=−
h (+)
co (+ )
tan( A) =
=
=−
ca (−)
sen( A) =
Tercer cuadrante
180° a 270°
ca (+)
=
=+
co (+)
h (+)
sec( A) =
=
=+
ca (+)
h (+)
csc( A) =
=
=+
co (+)
cot( A) =
ca (−)
=
=−
co (+ )
h (+)
sec( A) =
=
=−
ca (−)
h (+)
csc( A) =
=
=+
co (+)
cot( A) =
Funciones trigonométricas y sus signos
co ( −)
=
=−
h (+)
ca (−)
cos( A) =
=
=−
h (+)
co (−)
tan( A) =
=
=+
ca (−)
sen( A) =
ca (−)
=
=+
co (−)
h (+)
sec( A) =
=
=−
ca (−)
h (+)
csc( A) =
=
=−
co (−)
cot( A) =
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Cuarto cuadrante
270° a 360°
Funciones trigonométricas y sus signos
co (−)
=
=−
h (+)
ca (+ )
cos( A) =
=
=+
h (+)
co (−)
tan( A) =
=
=−
ca (+)
sen( A) =
ca (+)
=
=−
co (−)
h (+)
sec( A) =
=
=+
ca (+)
h (+)
csc( A) =
=
=−
co (−)
cot( A) =
Tabla 1. Signos de las funciones trigonométricas de acuerdo al cuadrante.
A continuación te presento algunos ejemplos.
Ejemplo 1
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica para valores positivos de 0° a 360°.
2 cos( A) − 1 = 0
Solución
Resolver una ecuación trigonométrica implica encontrar el valor que hace verdadera la ecuación. En
este caso, el valor desconocido es el de A , que representa el ángulo de la función trigonométrica. Sin
embargo, es conveniente despejar primero la función trigonométrica utilizando las propiedades de la
igualdad.
2 cos( A) − 1 = 0
Despejando: cos( A)
2 cos( A) = 1
1
cos( A) =
2
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Ahora, el problema es encontrar en qué cuadrantes el coseno es positivo y para qué valores de A el
1
coseno es igual a 2 .
Para encontrar el valor del ángulo, puedes utilizar la función inversa del coseno y encontrar el valor en
la calculadora científica.
Te recomiendo utilizar la calculadora científica UVEG. Si no sabes cómo acceder a ella, haz clic en
Apoyo 1.Guía sobre el uso de la Calculadora UVEG, localizado en la parte derecha de tu pantalla en
la sección Recursos, en el área de Lecturas.
Así
cos( A) =
1
2
1
A = cos −1  
2
Por lo tanto, el valor del ángulo A = 60°
Sin embargo, la calculadora científica solamente proporciona los resultados del ángulo del primer
cuadrante, ya que en éste todas las funciones trigonométricas son positivas.
Si observas la tabla anterior, el coseno es positivo solamente en el primer y cuarto cuadrante.
Por lo tanto, los ángulos que hacen verdadera la
ecuación son:
A = 60° que representa el ángulo del primer
cuadrante y A = 360° − 60 = 300° que representa el
ángulo de 60° en el cuarto cuadrante.
Recuerda que los ángulos siempre se miden a
partir del eje positivo de las ʻequisʼ (X).
Figura 1. Representación de ángulos de 60° y 300°.
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Si deseas comprobarlo, puedes hacer las operaciones correspondientes en la calculadora científica.
cos(60°) = 0.5
cos(300°) = 0.5
Ejemplo 2
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica para valores positivos de 0° a 360°
sen 2 ( A) − 2 cos( A) = 0
Solución
En este caso tienes una ecuación con dos variables, por lo que es conveniente utilizar las identidades
trigonométricas para dejar la ecuación en función de una sola variable.
De la identidad pitagórica
Así
sen 2 ( A) + cos 2 ( A) = 1 despeja el sen 2 ( A)
sen 2 ( A) = 1 − cos 2 ( A) y sustituyendo en la ecuación:
sen 2 ( A) − 2 cos( A) = 0
1 − cos 2 ( A) − 2 cos( A) = 0
Obtendrás una ecuación cuadrática de una sola variable. En ella reacomodas las cifras escribiendo
primero el término cuadrático, después el lineal y por último el término independiente para aplicar la
fórmula de las cuadráticas.
− cos 2 ( A) − 2 cos( A) + 1 = 0
2
Comparando con una ecuación cuadrática de la forma ax + bx + c = 0
a = −1, b = −2, c = 1, x = cos( A)
Aplicando la ecuación cuadrática:
x=
− b ± b 2 − 4ac
2a
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cos( A) =
− (−2) ±
(− 2)2 − 4(−1)(1)
2(−1)
=
2 ± 4 + 4 2 ± 8 2 ± 2.8284
=
=
−2
−2
−2
De aquí se desprenden dos respuestas:
2 + 2.8284
= −2.4142
−2
2 − 2.8284
cos( A) =
= 0.4142
−2
cos( A) =
−1
De la primera respuesta, si despejas el valor de A como A = cos (−2.4142) , la calculadora te marcará
un error, ya que los valores permitidos (rango) de la función coseno son de –1 a 1, por lo que puedes
desechar esta respuesta.
−1
De la segunda, al despejar el valor de A como A = cos (0.4142) , el valor que proporciona la
calculadora es de A = 65.53° .
El coseno es positivo, por ello recuerda que solamente el primer y el cuarto cuadrante son positivos y la
calculadora sólo proporciona el ángulo del primer cuadrante. Para obtener el ángulo del cuarto
cuadrante solamente se lo restas a 360°.
Así para calcular el ángulo del cuarto cuadrante, el valor del ángulo será.
A = 360° − 65.53° = 294.47°
Por lo tanto, los ángulos que satisfacen la ecuación son:
A = 65.53° y
A = 294.47°
Si quieres, puedes comprobarlo calculando el coseno de los ángulos obtenidos:
cos(65.53°) = 0.4142
cos( 294.47°) = 0.4142
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Ejemplo 3
Como se dijo al inicio de la lectura, el propósito de una ecuación es representar una situación real en
lenguaje matemático. Por tal motivo a continuación te presento el siguiente problema.
tan θ =
La fórmula
m2 − m1
1 + m1m2 se usa para calcular
el ángulo entre dos líneas que se cruzan, donde m1
y m2 indican la pendiente (inclinación) de cada una
de las rectas.
Figura 2. Triángulo formado por 3 rectas donde se conocen sus
pendientes.
Utilizando esta información determina los ángulos
internos de un triángulo formado por 3 rectas cuyas
pendientes son
ma = 0,
mb = −1
y
mc = 3
.
Solución
Comienza calculando el ángulo C. Utiliza
tan C =
mb = m2 = 0,
y
ma = m1 = −1
y sustituye en la fórmula
m2 − m1
1 + m1m2
tan C =
(0) − (−1) 1
= =1
1 + (0)(−1) 1
C = tan −1 (1) = 45°
En este caso, como estás buscando los ángulos internos del triángulo, toma como resultado el valor
encontrado.
Continúa con el ángulo A. Utiliza
tan A =
mb = m1 = 0,
y
mc = m2 = 3
y sustituye en la fórmula
m2 − m1
1 + m1m2
tan A =
(3) − (0) 3
= =3
1 + (3)(0) 1
A = tan −1 (3) = 71.56°
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Para encontrar el tercer ángulo, puedes realizar el mismo cálculo o utilizar la propiedad de los triángulos
que dice que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°.
Así A + B + C = 180° , sustituyendo los ángulos conocidos
71.56° + B + 45° = 180°
Despejando el valor de B:
B = 180° − 71.56° − 45° = 63.44°
Por lo tanto, los valores de los ángulos internos del
triángulo son:
A = 71.56°,
B = 63.44°
y
C = 45°
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Referencia Fuenlabrada, S. (2007). Geometría y trigonometría (3ª. ed.). México: McGrawHill.
Bibilografía Ayres, F. Jr. & Moyer, R. E. (1991). Trigonometría (2ª. ed., Ruiz Sánchez, M. C.
Trad.). México: McGraw-Hill.
Baley, J. & Sarell, G. (2004). Trigonometría (3ª. ed., González Ruiz, Á. C. Trad.).
México: McGraw-Hill.
Hughes-Hallet, D., Gleason, A., Frazer, P., Flath, D., Gordon, S., Lomen, D.,
Lovelock, D., McCallum, W., Osgood, B., Quinney, D., Pasquale, A.,
Rhea, K., Tecosky-Feldman, J., Trash, J. & Tucker, T. (2004). Cálculo
aplicado (García Hernández, A. E. Trad.). México: CECSA.
Martínez, M. (1996). Matemática 3 Geometría Analítica. México: McGraw-Hill.
Swokowski, E. & Cole J. (2002). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica
(10ª. ed., Villagómez, H. Trad.). México: International Thomson.
Zill, D. & Dejar, J. (1992). Álgebra y Trigonometría. (2ª. ed., Ramírez Mariño, G.
Trad.). México: McGraw-Hill.
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