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C A P ÍTULO I I I
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ALGUNAS PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO
Conocimientos previos:
- Suponemos conocido lo siguiente:
a)
El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de
dos puntos dados A y B, es una recta, llamada mediatriz de AB,
que es perpendicular a AB en su punto medio.
b)
El lugar geométrico de los puntos del interior de un ángulo que
equidistan de los lados del mismo, es una semirrecta llamada
bisectriz del ángulo.
c)
Lugar geométrico = conjunto de puntos que cumplen una
determinada condición.
d)
Segmentos de paralelas comprendidos entre paralelas son
iguales.
e)
Al cortar dos paralelas por una secante, se obtienen:
−
ángulos alternos internos, iguales.
−
ángulos alternos externos, iguales.
−
ángulos correspondientes, iguales
−
ángulos conjugados, suplementarios.
f) Los criterios de congruencia de triángulos:
1)
Si dos triángulos tienen respectivamente iguales dos lados y el
ángulo que forman, son congruentes.
2)
Si dos triángulos tienen respectivamente iguales un lado y los
dos ángulos contiguos, son congruentes.
3)
Si dos triángulos tienen respectivamente iguales los tres lados,
son congruentes.
(Congruentes = superponibles mediante un movi miento).
g) La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que pasa por
el punto de contacto.
- También se supone conocido lo siguiente:
Trazar: la mediatriz de un segmento; Ia perpendicular a una recta desde un
punto cualquiera del plano; y la para lela a una recta que pase por un punto
dado; usando como herramientas la regla y el compás.
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Teorema III-1 Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto,
llamado circuncentro, que es el centro de la cir cunfe rencia circunscrita al
triángulo.
Dem.: Sea un triángulo ABC.
La mediatriz de AB y de BC se cortan en un punto O, que
equidista de A y de B (por ser la mediatriz de AB); equidista de B y de C
por; ser la mediatriz de BC; luego equidis ta de A, B y C y con centro en
él se puede trazar una circunferencia circunscrita al triángulo:
Teorema III- 2 Las tres bisectrices interiores de un triángulo se cortan en
un punto, llamado incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita en
el triángulo.
Dem.: La bisectriz del ángulo A y la del ángulo B se cortan en I; el
cual punto equidista de AB y AC; de BC y BA; luego equidista de CA y CB
y está también en la bisectriz del ángulo C.
Por distar igual de 3 rectas, puede trazarse con centro en él una
circunferencia tangente a las tres; y situada den tro del triángulo
(circunferencia inscrita).
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Teorema III - 3 Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado
ortocentro. (altura = perpendicular trazada desde cada vértice al lado opuesto).
Dem : Por cada vért ice del triángulo ABC se trazan para lelas al lado opuesto,
las cuales forman un nuevo triáng ulo. Las alturas de ABC se convierten en las
mediatrices de A'B'C', (Pues B'C = CA' = AB) que por tanto se cortan en un punto.
EJERCICIOS
CAPÍTULO III
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Nota: Para las construcciones gráficas se supondrá que sólo se usan la regla y el compás.
La notación de los elementos de un triángulo será habitualmen te así:
- a, b y c, lados.
- A, B y C, vértices opuestos (en el mismo orden).
-
ˆ,
ˆ , Bˆ y C
A
ángulos.
- h a , h b, h c, alturas.
- m a, mb , m c, medianas.
Método de los lugares geométricos
Usando este método se pueden resolver muchos problemas de construcciones
geométricas.
Consiste en determinar dos lugares geométricos en los que debe hallarse un punto
buscado (conocidos por las condiciones que debe cumplir dicho punto). En la intersección
de los dos lugares geomé tricos debe hallarse el punto que se busca.
Figuras auxiliare s
Para hacer el análisis de un problema de construcciones gráficas, es una gran ayuda
una figura auxiliar, construida suponiendo el problema resuelto.
En esa figura auxiliar se identifican las relaciones entre ele mentos de la solución.
Con esas relaciones, puede hacerse a continuación la síntesis, o construcción de la
figura buscada a partir de los elementos que se conocen.
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Ejercicios resueltos
III-1. Construir un triángulo conociendo a, b y c.
Resolución:
Construimos una figura auxiliar suponiendo el problema resuelto:
Observamos en ella que A está a distancia c de B. O sea, A está en una
circunferencia de centro B y radio c. Esta circunferencia es el primer lugar
geométrico de A.
Por análogo motivo, A está también en otra circunferencia de centro C y radio b
(segundo lugar geométrico de A).
En la intersección de las 2 circunferencias está el Punto A.
Como 2 circunferencias secantes se cortan en los 2 puntos, habrá 2 soluciones,
en general. Si las circunferencias no se cortaran, no habría solución posible.
Hecho ya el análisis anterior, podemos pasar a la síntesis usando los datos
siguientes:
a
b
c
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Colocamos a en posición; sus dos extremos son B y C. Desde B trazamos una
circunferencia de radio c y desde C otra de radio b; en su intersección está A, que
unido con B y C, resuelve el problema:
Se obtienen 2 soluciones, A1BC y A2BC, triángulos congruentes (por tener los 3
lados respectivamente iguales).
III - 2.
Construir un triángulo conociendo a, b y A.
Resolución:
Suponiéndolo resuelto:
es).
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Observamos que A y C están a distancia b; que B está en el 2 º lado del ángulo A (una
recta, primer lugar geométrico de B); y que B está a distancia a de C (o sea, en una
circunferencia de centro C y radio a, que es el segundo lugar geométrico de B).
Donde se corten dicha recta y dicha circunferencia, estará el punto B .
Como la intersección de una recta con una circunferencia puede ser dos puntos,
un punto, o ningún punto, puede haber dos soluciones, una, o ninguna.
Datos:
Colocamos b en posición; sus extremos son A y C; y sobre el extremo A
construimos el ángulo
Â
Trazamos una circunferencia de centro C y radio a; corta a la recta, en nuestro
caso, en 2 puntos B1 y B 2, obteniendo dos soluciones: AB1C y AB2 C, dos
triángulos diferentes (y no congruentes) que cumplen las especificaciones de los
datos:
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Ejercicios propuestos
Construir un triángulo conociendo:
III-3
a, b y ma .
III -4. a, b y ha .
III - 5.
Construir un paralelogramo conociendo las diagonales y el ángulo que forman.
III - 6.
Construir la bisectriz de un ángulo:
a) de vé rtice accesible.
b) de vértice inaccesible (los lados del ángulo se cortan fuera de los límites del
dibujo).
III -7.
III - 8.
III - 9.
Trazar la perpendicular a una recta desde un punto P, usando sólo la regla y el
compás.
Trazar la paralela a una recta por un punto P , usando sólo regla y compás.
Dadas 2 rectas paralelas a y b y un punto P cualquiera situado entre ellas, trazar una
circunferencia tangente a a y b y que pase p or P.
III -10. Dadas 2 rectas paralelas a y b y una circunferencia c, trazar una circunferencia que
sea tangente a a, b y c.