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MATERIA:
CÓDIGO:
REQUISITOS:
PROGRAMAS:
PERÍODO ACADÉMICO:
INTENSIDAD HORARIA:
CRÉDITOS
1
ÁLGEBRA LINEAL
08091
Algebra y Funciones (08272), Lógica y Argumentación (08273)
Administración de Empresas, Biología, Economía (ENI), Economía (EPP),
Ingenierías, Química, Química Farmacéutica
2016-2
4 Horas por semana
3
OBJETIVO GENERAL:
Como resultado de aprobar este curso, el estudiante sabrá utilizar el Álgebra Lineal en la solución de
problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales, álgebra matricial y transformaciones
lineales. Igualmente, habrá fortalecido su competencia para entender demostraciones de resultados
matemáticos y su capacidad para proponer demostraciones propias.
2
OBJETIVOS TERMINALES. Al finalizar el curso el estudiante estará en capacidad de:
2.1
Definir los elementos necesarios para concebir, construir y solucionar modelos matemáticos que
involucren sistemas de ecuaciones lineales.
2.2
Utilizar las técnicas propias del Álgebra Lineal para manipular matrices, sistemas de ecuaciones,
espacios vectoriales, valores y vectores propios, y resolver problemas básicos que involucren
estos conceptos.
2.3
Identificar la estructura de espacio vectorial en diferentes contextos y sus propiedades comunes o
específicas.
2.4
Identificar transformaciones lineales típicas, a partir de su definición vectorial o de su
representación matricial, y utilizar esta última representación para resolver problemas que las
involucran.
2.5
Identificar las hipótesis y la conclusión de resultados básicos de Álgebra Lineal, analizarlos y
argumentar con base en dichos resultados, sobre posibles soluciones a problemas de carácter
teórico.
2.6
Utilizar las técnicas básicas de demostración matemática.
3
OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE FORMACIÓN ACADÉMICA.
NOTA: Para todas las unidades del curso se espera que el estudiante alcance el objetivo
específico de: proponer o reproducir la demostración de algunos resultados básicos de la unidad.
3.1
UNIDAD 1: Los Sistemas de Ecuaciones Lineales y las Matrices.
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.1.4
Identificar un Sistema de Ecuaciones Lineales (S.E.L) y escribir su matriz asociada.
Entender el concepto de solución de un sistema de ecuaciones lineales.
Utilizar el método de eliminación para resolver un sistema de ecuaciones lineales dado.
Reducir una matriz a su forma escalonada o escalonada reducida utilizando operaciones
elementales por fila.
Entender el concepto de matriz inversa y su relación con el conjunto de soluciones de un .sistema
de ecuaciones lineales.
Construir y resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando eliminación gaussiana.
3.1.5
3.1.6
3.2
UNIDAD 2: Los Determinantes.
3.2.1
3.2.2
3.2.3
Identificar el determinante como un número real único asociado a cada matriz cuadrada.
Calcular el determinante de una matriz cuadrada utilizando operaciones elementales por fila.
Asociar el valor del determinante con la existencia de la matriz inversa y su relación con la solución
del sistema de ecuaciones lineales asociado..
3.3
UNIDAD 3: Los vectores en
3.3.1
3.3.2
3.3.5
3.3.6
Ubicar puntos en el plano y en el espacio utilizando coordenadas cartesianas.
Realizar operaciones básicas (suma, resta, multiplicación por escalar) con vectores en el plano y
en el espacio, utilizando tanto el método geométrico (traslaciones, contracciones y dilataciones)
como el método analítico (operaciones coordenada a coordenada).
Calcular el producto punto y el producto cruz entro dos vectores dados.
Utilizar las propiedades algebraicas y geométricas tanto del producto punto como del producto cruz
para simplificar cálculos con estas operaciones y aplicarlos al cálculo del área de un triángulo o el
volumen de un paralelepípedo.
Determinar cuándo un par de vectores dados son paralelos o perpendiculares..
Resolver problemas típicos de rectas y planos.
3.4
UNIDAD 4: Los Espacios Vectoriales Reales.
3.4.1
3.4.2
Identificar las propiedades que caracterizan a R como un espacio vectorial.
Verificar las propiedades de espacio vectorial en conjuntos conocidos (clásicos), como matrices y
polinomios, con las operaciones usuales.
Identificar bajo qué condiciones un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio vectorial
del mismo.
3.3.3
3.3.4
3.4.3
3.4.4
Rn ,
n2.
n
Reconocer analítica y geométricamente los subespacios típicos de
R2
y
R3
(los triviales, las
3
rectas por el origen y los planos por el origen en R )
n
3.4.5
Identificar bajo qué condiciones un subconjunto dado de R o de un espacio vectorial clásico es
linealmente independiente, subconjunto generador o una base del espacio vectorial.
3.4.6
Identificar cuándo un subconjunto de R o de un espacio vectorial clásico es una base
ortonormal, y como encontrar conjuntos ortonormales para subespacios vectoriales dados.
Formular y entender el problema de los Mínimos Cuadrados.
Estudiar los espacios más relevantes asociados a todo subespacio vectorial: Rango y Espacio
Nulo.
3.4.7
3.4.8
n
3.5
UNIDAD 5: Valores y Vectores Propios. Aplicaciones.
3.5.1
3.5.2
3.5.3
Calcular los Valores Propios y Vectores Propios de una matriz cuadrada.
Identificar las condiciones bajo las cuales una matriz cuadrada es diagonalizable.
Dada una matriz cuadrada diagonalizable, utilizar sus vectores propios para construir una base
3.5.4
ortonormal de R .
Encontrar una matriz diagonal semejante a una matriz diagonalizable dada.
3.6
UNIDAD 6: Transformaciones Lineales.
3.6.1
3.6.2
Determinar cuándo una función entre espacios vectoriales es una Transformación Lineal.
Identificar y diferenciar los espacios vectoriales asociados a una transformación lineal: dominio,
codominio, núcleo e imagen.
Calcular el Núcleo y la Imagen de una Transformación Lineal dada.
Determinar si una Transformación Lineal dada es biyectiva.
n
3.6.3
3.6.4
3.6.5
3.6.6
n
Reconocer y usar la Identificación entre R y los espacios vectoriales clásicos de dimensión
finita: los polinomios y las matrices.
Encontrar la matriz de una transformación lineal dada.
4
CONTENIDO. El contenido total del curso se detalla por temas en la parcelación que se adjunta a
este programa.
5
METODOLOGIA.
5.1
El enfoque: En concordancia con los propósitos de la universidad, en el desarrollo de este curso
se considera que el aprendizaje es el resultado de un proceso de construcción del conocimiento,
que tiene como centro al estudiante y como guía al profesor. Este enfoque se concretará en la
práctica con el aprovechamiento de los resultados del estudio previo hecho por los estudiantes,
como elemento generador de preguntas, discusiones y conclusiones.
5.2
La discusión en clase: La discusión, orientada por el profesor es el elemento central en la
metodología del curso. Se fundamenta en el estudio preliminar de las secciones asignadas, en
las preguntas de los estudiantes y en sus respuestas a sus preguntas y a las del profesor, que
alimenten el proceso de aprendizaje activo. El profesor interviene esencialmente como guía y
moderador de las discusiones, y se encarga de hacer la síntesis final para socializar el
conocimiento consolidado en clase y de indicar al estudiante la labor que debe realizar como
preparación para la clase siguiente y los objetivos que debe alcanzar como parte de tal
preparación.
5.3
Las actividades del estudiante: Para el logro de los objetivos de aprendizaje el estudiante debe
desarrollar con total responsabilidad un conjunto de actividades antes, durante y después de la
clase, así:

Antes de la clase
Realizar todas las actividades indicadas por el profesor para la preparación del tema de clase,
hacer explícitas las dudas e inquietudes que le surjan como resultado de este proceso y
preparar las preguntas que formulará durante la clase de presentación del tema, con el fin de
resolver las dudas e inquietudes.

Durante la clase: Participar activamente en las discusiones que se generen a partir de las
preguntas formuladas por los estudiantes y por el profesor, y de las respuestas a las mismas.
Igualmente, presentar las dudas e inquietudes que le surgieron al prepararse para esta clase, y
discutir alternativas propias de solución de problemas, cuando las tenga.

Después de la clase: Asegurarse de consolidar el nuevo conocimiento resolviendo ejercicios y
problemas que en la fase de preparación no haya podido resolver, o que revisten mayor
complejidad, y relacionándolo con conocimientos previamente adquiridos.
6
EVALUACIÓN.
Preparación para la clase
Primer Parcial
Segundo Parcial
Examen Final
Pruebas cortas
EXAMEN FINAL:
EXÁMENES SUPLETORIOS:
15%
20%
20%
25% Todo el contenido del curso
20% Por lo menos tres; se elimina la de menor calificación. NO
HAY supletorio de pruebas cortas.
Noviembre 29 de 2016,
Octubre 29 de 2016,
Diciembre 5 de 2016,
9:30 a 12:00
9:30 a 12:00, (exámenes parciales)
9:30 a 12:00, (examen final)
OBSERVACIÓN IMPORTANTE
Si un estudiante obtiene una nota mayor o igual a 3.3 en el examen final y la nota así acumulada
está entre 2.8 y 3.0, la nota final del curso será de 3.0.
7
BIBLIOGRAFIA.
1. Texto Guía: Álgebra Lineal. Bernard Kolman y David R Hill. Octava Edición. Pearson (Prentice
Hall), 2006.
2. Álgebra lineal aplicada. Ben Noble Prentice Hall, 1989.
ÁLGEBRA LINEAL.
S#: Sesión número.
S#
1
TEMA
SAE: Sección del texto guía asignada al estudiante para la clase siguiente
Ejercicios recomendados SAE Ejercicios recomendados para que
el estudiante confronte su manejo
para programar la
previo de los temas.
discusión en clase
(*1)
ES OBLIGATORIO EL ESTUDIO
DE LOS EJEMPLOS DE CADA
SECCIÓN DEL TEXTO
PRESENTACION DEL PROGRAMA
Preliminares sobre sistemas de ecuaciones
lineales
Sistemas de ecuaciones lineales.
2
Matrices.
3
Producto punto y de matrices. (Hasta el ejemplo
17)
Propiedades de las operaciones con matrices.
4
5
6
7
8
Propiedades de las operaciones con matrices.
(Continuación)
Solución de sistemas de ecuaciones lineales
(Método de eliminación de Gauss)
El rango de la matriz (# de pivotes) y análisis de #
de soluciones (apoyarse en 6.5)
Relación entre soluciones del sistema no
homogéneo y el homogéneo asociado
Análisis de soluciones (continuación)
La inversa de una matriz cuadrada (relación con
sistemas de ecuaciones)
Determinantes (definición y propiedades)
Desarrollo por cofactores. Propiedades (excluir
regla de Cramer)
9
Determinantes (continuación)
10
Vectores en el plano y en Rn (n – vectores)
11
Vectores en Rn (continuación). Énfasis en las
propiedades de las operaciones.
12
PERÍODO ACADÉMICO 2016 - 2
3
Producto cruz en R .
De 1.1: 2, 6, 16, 18, 22, 24.
T4.
De 1.2: 2, 10.
T : 4, 7.
De 1.3: 4, 8, 15, 22, 34.
T: 1, 6, 10, 14.
De 1.4: 8, 16.
T: 19, 24, 26, 27, 32.
1.4
De 1.6: 10, 16, 18, 22, 24,
38, 46, 54.
T: 5, 10, 11, 13.
De 6.5: 21,22
1.1 1.1: 3, 7, 11, 15, 17, 19, 23, 27.
Interprete el significado de T: 1,2,
1.2 3.
1.2: 1, 3, 7, 9. T: 1, 4, 5.
1.3 1.3: 1, 5, 7, 11, 13, 19, 21, 31. T:
3, 6, 7.
1.4 1.4: 1, 9, 13, 15. T: 10, 18, 20, 21,
23, 31.
1.4
1.4
1.6 1.6 1, 5, 7, 13, 15, 21, 23, 25, 29,
35, 37, 39, 43, 45. T: 8, 12, 14.
Ejemplos 4 y 5 de 6.5
1.7 1.7: 1, 5, 20, 22, 25. T: 1, 6, 8, 9.
De 1.7: 10, 15, 16, 18, 19,
24, 26. T: 3, 4, 7, 10
De 3.1: 2, 8, 14, 16, 18, 22.
T: 3, 9, 10, 15, 16.
De 3.2: 6, 16.
T: 7, 8, 11, 12.
3.1 – 3.2
De 4.1: 4, 8, 13, 20, 26, 30.
T: 6, 7, 8, 9.
De 4.2: 4, 6, 14, 16, 20, 28.
T: 6, 8, 10, 11, 13.
De 4.2:
discusión del Teorema 4.2
3.1 3.1: 3, 9, 11, 13, 15, 17, 23.
T: 6, 8, 12, 18.
3.2 3.2: 3c, 5a, 15, 17. T: 3, 5, 10.
3.1 3.1 – 3.2
3.2
4.1 4.1: 3, 7, 14, 17, 19, 21, 29.
T: 3, 4, 5.
4.2 4.2: 7, 11, 13, 15, 17, 21, 27, 29,
30, 31. T: 5, 9, 14, 15, 16.
4.2 4.2
5.1 5.1: 1, 3, 7, 11, 13.
T: 2, 3, 4.
De 5.1: 2, 6, 12. T: 5, 6.7
5.2 5.2: Todos los impares. (**)
13
PRIMER PARCIAL (hasta sesión 10 )
14
Rectas y planos
15
Rectas y planos (continuación)
16
Definición y ejemplos de espacios vectoriales.
(De 6.1 Ejemplos 1,4, 6, 7,8)
(Rn como espacio vectorial. Subespacios. Casos
especiales de R2 y R3. Énfasis en significados
Pruebas
cortas
De 5.2: pares b), 14, 18,
20, 22. T3
De 6.1: 5,6,10
T: 1 al 6.
De 6.2: 11, 14, 18, 24, 25
T: 2, 5, 7, 8 al 13
5.2 5.2
6.1 6.1: 5, 6, 10
6.2 6.2: 1, 2, 3, 5, 7, 9, 15. T: 1, 3
6.1 6.1 – 6.2
6.2
1
18
geométricos)
(De 6.2 Ejemplos 1, 2,4 al 7, 9 al 11, 13. Atención
especial al ejemplo 9 y ejercicio T3)
Definición y ejemplos de espacios vectoriales
(continuación)
Independencia lineal
(De 6.3 Ejemplos 1, 3 al 14)
19
Independencia Lineal (continuación)
Bases y dimensión (Teoremas. 6.5, 6.6, 6.7!)
6.3
De 6.4: 2, 4, 8, 12, 13
T: 3, 4, 9, 12 y 13
6.4
6.7 6.7: ejemplos 1,2 y 3
20
Bases y dimensión (continuación).
De 6.5: 6,12 y discutir T: 1, 2 y 3 (Sistemas
Homogéneos)
6.6 6.6: 3, 5, 7, 13, 15, 19, 21.
T: 4, 7, 10, 11.
21
Rango de una matriz y Aplicaciones
22
Bases Ortonormales. El proceso de Gram.Schmidt
SEGUNDO PARCIAL (hasta sesión 20 )
6.4
De 6.7: 2, 4, 8,10 y discutir
T: 2 al 4. (Coordenadas. NO
se hace cambio de base)
De 6.6: 4, 6, 8, 14, 18,
20, 22. T: 5, 6, 8, 9, 12.
De 6.8: 2, 8, 12, 16, 18, 20.
T: 3, 9, 11.
17
23
24
6.1 – 6.2
6.3 6.3: 1, 3, 5, 7, 10 T: 1, 3
De 6.3: 6, 12, 15.
T:2, 7, 8(!), 9, 10, 13, 14, 15
6.3 6.3
6.4 6.4: 3, 5, 7, 12, 13
T: 1, 2, 4
6.8 6.8: 1, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 21. T:
1, 5, 6, 8.
6.9 Solo lo necesario para hacer
mínimos cuadrados
7.2
Complementos ortogonales (solo la teoría
necesaria para hacer mínimos cuadrados )
25
8.1 8.1: Ejemplos 1a 7.
Ejercicios: 1, 9, 13, 15, 19, 21.
T: 1, 2, 4, 8, 12.
8.2 8.2: 5, 7, 9, 13, 15, 21, 23, 35, 39,
43. T: 4, 5, 8, 11.
26
Vectores y valores propios.
De 7.2: Todos los ejemplos.
Ejercicios: 1, 3, 9, 11, 15,
16, 17. T: 1, 2.
De 8.1: 2, 12, 16, 22. T: 5,
7, 11, 13.
Diagonalización.
De 8.2: 8, 10, 16, 22, 24,
36, 38. T: 9, 10, 12
8.3 8.3: 1, 7, 9, 15, 16. T: 2, 4, 6.
27
Diagonalización de matrices simétricas
De 8.3: 2, 8, 12, 18.
T: 1, 7, 9, 10.
9.4 9.4: Ejemplos 1 a 6
28
29
Revisión de aplicaciones: Formas cuadráticas
De 9.4: 5, 6 ,8, 11 al 16
30
Transformaciones lineales
Clase magistral: Aplicaciones de espacios
vectoriales reales. Mínimos cuadrados
31
32
El núcleo y la imagen de una transformación
lineal.
De 4.3: 23, 24, 29, 30
De 10.1: 5, 12, 19.
T: 8, 9, 11
De 10.2: 4, 12, 14, 20.
T: 4, 7, 8, 9, 11(!)
Núcleo e imagen (continuación)
Representación matricial de las transformaciones
lineales.
De 10.3: 6, 14, 16, 20 a) y
b). T: 7, 9
10.1 10.1: Teorema 10.3 y ejemplo 8
Ejercicios 1,3, 17, 18. T: 4, 7
10.2 10.2: 1, 3, 5, 11, 17, 19. T: 4, 5,
10.2
10.3 10.3: Ejemplos 1al 7.
Ejercicios 3, 5, 11, 17. T: 2, 3, 7
Repaso
(*1) En el desarrollo de la clase el profesor puede proponer ejercicios y ejemplos adicionales para apoyar y complementar
el trabajo con el texto guía. El estudiante debe responder en cada clase, como mínimo, por haber estudiado los
ejemplos de las secciones asignadas previamente.
*
**
2
Se excluye en todos los casos el estudio de aplicaciones al sistema binario.
Se excluye en la sección 5.2 los ejemplos 1 y 7.
3