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UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN NICOLÁS DE HIDALGO
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
DIVISIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO
ÁLGEBRA LINEAL
No. Hrs. /Semana:
Duración en semanas:
Total de Horas:
Número de Créditos:
4
16
64
8
Conocimientos previos recomendados: Curso de Matemáticas Discretas.
Objetivo: Que el estudiante conozca y domine los conceptos fundamentales del álgebra lineal, revisando
su aplicación en particular en la geometría cartesiana, como pasos previos para tener las
herramientas matemáticas necesarias para abordar cursos de visión computacional y robótica.
Programa sintético:
Duración (hrs.)
Tema
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Repaso de álgebra básica
Sistemas de ecuaciones lineales
Rango de vectores y matrices
Operaciones con matrices
Espacios vectoriales
Aplicaciones lineales
Formas cuadráticas
Espacios vectoriales euclídeos
Diagonalización de endomorfismos y matrices
Consideraciones numéricas y de programación
Los Espacios geométricos bi y tridimensionales
Espacios puntuales
Total de Horas
Programa desarrollado:
1.
Repaso de álgebra básica
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
2.
Introducción
Nociones sobre lógica
Teoría de conjuntos
Aplicaciones o funciones
Relaciones de equivalencia
Relaciones de orden
Cardinal de un conjunto
Estructuras algebraicas
Grupos
Anillos
Cuerpos
Sistemas de ecuaciones lineales
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
Definición
Sistemas equivalentes
Matrices escalonadas y sistemas escalonados
El método de Gauss
Sistemas homogéneos con menos ecuaciones que incógnitas
5
5
5
5
5
5
5
6
6
5
6
6
64
3.
Rango de vectores y matrices
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
4.
Operaciones con matrices
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
5.
Formas bilineales
Formas cuadráticas
Conjugación respecto de una forma cuadrática
Diagonalización de una forma cuadrática (congruencia)
Formas cuadráticas reales
Espacios vectoriales euclídeos
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.
8.7.
9.
Definición y propiedades
Isomorfismos
Ecuaciones y matriz de una aplicación lineal
Matrices equivalentes
Variedades afines
Teorema de Rouché
Formas cuadráticas
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
8.
Espacios vectoriales
Subespacios vectoriales
Dependencia e independencia lineal
Espacios de dimensión finita
Coordenadas
Rango de un sistema de vectores
Suma de subespacios (suma y suma directa)
Dimensión de la suma
Aplicaciones lineales
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
7.
Definiciones
Producto de matrices
Traspuesta de una matriz
Matrices invertibles
Cálculo de la inversa
Determinantes
Cálculo efectivo de determinantes
Espacios vectoriales
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
5.8.
6.
El espacio vectorial Kn
Dependencia e independencia lineal
Rango
Operaciones elementales
Cálculo del rango de un sistema de vectores
Existencia y cálculo del rango de una matriz
Matrices equivalentes
Producto escalar de vectores
Normas y ángulos
Vectores ortogonales y ortonormales
Transformaciones ortogonales
Matrices ortogonales
Transformaciones ortogonales en 2 y 3 dimensiones
Producto mixto y producto vectorial
Diagonalización de endomorfismos y matrices
9.1.
9.2.
9.3.
Autovalores y autovectores
Multiplicidad algebraica y geométrica de un autovalor
Complejificación de un espacio vectorial real
9.4.
9.5.
9.6.
9.7.
Diagonalización por semejanza
Diagonalización ortogonal
Diagonalización por bloques de una transformación ortogonal
Forma de Jordan de una matriz
10. Consideraciones numéricas y de programación
10.1. Pivote parcial, reescritura de matrices y sistemas mal condicionados
10.2. Mínimos cuadrados y proyecciones ortogonales
10.3. La descomposición en valores singulares
10.4. El problema general de mínimos cuadrados y una aproximación a los sistemas mal
condicionados
11. Los Espacios geométricos bi y tridimensionales
11.1.
11.2.
11.3.
11.4.
11.5.
11.6.
Axiomas y definiciones
Las rectas y los planos
Geometría plana (afín y euclídea)
Geometría tridimensional (afín y euclídea)
Espacio afin ampliado, coordenadas homogéneas, espacio afín ampliado
Introducción a la geometría proyectiva
12. Espacios puntuales
12.1. Espacios afín y afín euclídeo, los espacios puntuales, coordenadas cartesianas, variedades
lineales afines, variedades lineales de dimensión finita
12.2. Intersección y sima de variedades lineales
12.3. Coordenadas baricéntricas
12.4. Ortogonalidad y distancia mínima
12.5. La esfera
12.6. Introducción al estudio de cónicas
12.7. Introducción al estudio de las cuádricas
Bibliografía:
[1] Juan de Burgos. Álgebra lineal. McGraw-Hill. 1993.
[2] Richard Hill. Algebra lineal elemental con aplicaciones. Prentice-Hall. Lugar. Tercera
Edición. 1997.
[3] J.G. Semple & G.T. Kneebone. Algebraic Projective Geometry. Oxford University Press. 1952.
Metodología de enseñanza-aprendizaje:
Revisión de conceptos, análisis y solución de problemas en clase
Lectura de material fuera de clase
Ejercicios fuera de clase (tareas)
Investigación documental
Elaboración de reportes técnicos o proyectos
X
X
X
X
X
Metodología de evaluación:
Asistencia
Tareas
Elaboración de reportes técnicos o proyectos
Exámenes
Programa propuesto por: Leonardo Romero Muñoz
Fecha de aprobación: sep2005 / enero 2006
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