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UNIVERSIDAD DEL ROSARIO
ESCUELA DE CIENCIAS HUMANAS
Nombre de la asignatura: Introducción a la Teoría de conjuntos
Número de créditos: 3
Intensidad horaria semanal: 4 horas (clase magistral) y 2 horas adicionales (monitoría)
Tipo de asignatura: Pensamiento formal (ciclo básico)
Horario sugerido
1. Ubicación en el programa
Este curso corresponde al segundo nivel en el área de pensamiento formal y está contenido
en el ciclo básico de Ciencias humanas.
Justificación
A lo largo de todo el siglo XX y aún en la actualidad, la teoría de conjuntos, que se
desarrolla como una rama de las Matemáticas, ha arrojado resultados sorprendentes que se
han constituido como herramientas de análisis fundamentales en la reflexión que ésta
disciplina realiza de sí misma tomándose como su propio objeto de estudio. Si bien los
cimientos sobre los que se construye son elementales y de fácil comprensión, los
eventuales alcances de esta teoría son inconmensurables. Adicionalmente, la Teoría de
conjuntos presenta un interés intrínseco, tanto por la riqueza de su estructura formal como
por sus posibles aplicaciones en otras áreas del saber, en tanto que la noción de
“conjunto”, junto con los conceptos que se derivan de ésta, aparece recurrentemente en
múltiples disciplinas.
2. Objetivos
a. Desarrollar la noción intuitiva de “conjunto” que contempla, entre otras, las
definiciones precisas de “relación” y de “función”.
b. Exhibir la posibilidad de construir sistemas de un alto grado de complejidad, sobre
la base de la teoría de conjuntos.
c. Introducir algunos conceptos centrales en Teoría de conjuntos como “cardinalidad”
y “enumerabilidad", comentando ciertos axiomas y teoremas relacionados con
dichos conceptos.
Observación: Con respecto a este último objetivo, es preciso tener en cuenta que
el estudio detallado y la presentación rigurosa de los axiomas y los teoremas aquí
mencionados requiere de una sólida formación matemática. Por lo tanto, la
exposición de los mismos se realizará a un nivel meramente introductorio.
3. Logros
Por habilidades. El estudiante estará en capacidad de:
a. Demostrar proposiciones sobre los conceptos definidos.
b. Aplicar las propiedades de las relaciones y las funciones en la resolución de
problemas teóricos.
Por contenidos. El estudiante debe adquirir conocimientos relacionados con los siguientes
temas:
a. Noción intuitiva de conjunto
b. Álgebra de conjuntos
c. Construcción y axiomática de los números naturales y su aritmética
d. Cardinal de un conjunto infinito
4. Contenidos y lecturas por sesiones
Sesión 1 y 2
Tema: Elementos de lógica formal: proposiciones y predicados
Lectura: Muñoz, ITC, Cáp. 1, § 1 y § 4
Sesión 3 y 4
Tema: Álgebra de conjuntos: definiciones, operaciones fundamentales y diagramas de Venn
Lecturas: Muñoz, ITC, Cáp. 1, § 2 , § 3 y § 5; Enderton, EST, Cáp. 2.
Sesión 5 y 6
Tema: Álgebra de conjuntos: Leyes conmutativa, asociativa, distributiva, de De Morgan e
identidades.
Lectura: Ross y Wright, MD, Cáp. 1; Enderton, EST, Cáp. 2.
Sesión 7
Tema: Taller. Ejercicios de Repaso.
Lectura: Todas las anteriores.
Sesión 8
Tema: El álgebra de conjuntos como sistema formal: Axiomas y operaciones
Lectura: Muñoz, ITC, Cáp. 2; Enderton, EST, Cáp. 2.
Sesión 9
Tema: Álgebras boolenas. Relaciones entre el cálculo de proposiciones y el álgebra de
conjuntos.
Lectura: Ross y Wright, MD, Cáp. 10.3; Enderton, EST, Cáp. 2.
Sesión 11
Tema: El producto cartesiano
Lectura: Muñoz, ITC, Cáp. 3, §1; Enderton, EST, Cáp. 3: “Ordered Pairs”
Sesión 12
Tema: Definición del concepto de “relación”.
Lectura: Muñoz, ITC, Cáp. 3, §2; Enderton, EST, Cáp. 3: “Relations”
Sesión 13 y 14 y 15
Tema: Funciones. Dominio, rango, funciones inversas y composición de funciones.
Lectura: Ross y Wright, MD, Cáp. 3.1 – 3.3; Muñoz, ITC, Cáp. 3, §3 y §4; Enderton, EST,
Cáp. 3: “Fuctions”
Sesión 16
Tema: Primer parcial
Sesión 17
Tema opcional: Uniones e intersecciones arbitrarias y productos infinitos.
Lectura: Ross y Wright, MD, Cáp. 3.1; Enderton, EST, Cáp. 2: “Arbitrary unions and
intersections”
Sesión 18
Tema: Propiedades de las relaciones. Reflexividad, simetría, antisimetría y transitividad.
Lectura: Ross y Wright, MD, Cáp. 7.1 – 7.4; Muñoz, ITC, Cáp. 3, §5 - §7
Sesión 19
Tema: Relaciones de equivalencia.
Lectura: Ross y Wright, MD, Cáp. 7.1 – 7.4; Muñoz, ITC, Cáp. 3, §5 - §7; Enderton, EST,
Cáp. 3: “Equivalence Relations”
Sesión 20 y 21
Tema: La construcción de los números naturales, los axiomas de Peano y los axiomas de la
aritmética.
Lectura: Muñoz, ITC, Cáp. 4 §1 y §2; Enderton, EST, Cáp. 4.
Sesión 22 y 23
Tema: Recursividad en los números naturales y el principio de inducción matemática.
Lectura: Ross y Wright, MD, Cáp. 6.3 y 6.4; Muñoz, ITC, Cáp. 4, §3 y §4;Enderton, EST,
Cáp. 4.
Sesión 24
Tema: Filosofía de las matemáticas (lectura complementaria).
Lectura: Hempel, Carl G. “Sobre la naturaleza de la verdad matemática”
Entrega de la primera reseña
Sesión 25 y 26
Tema: Cardinalidad de un conjunto y conjuntos infinitos
Lectura: Ross y Wright, MD, Cáp. 5.4; Muñoz, ITC, Cáp. 6, §1; Enderton, EST, Cáp. 6.
Sesión 27 y 28
Tema: Conjuntos enumerables y no enumerables. El teorema de Cantor
Lectura: Muñoz, ITC, Cáp. 6, §2; Enderton, EST, Cáp. 6.
Sesión 28
Tema: Segundo examen parcial.
Apéndice: Temas opcionales.
Sesión 29 y 30
Tema: Intuicionismo y formalismo. Comentarios sobre la hipótesis del continuo y el
axioma de elección
Lectura: Muñoz, ITC, Cáp. 6, §5 - §7; Enderton, EST, Cáp. 6.
Sesión 31 y 32
Tema: Ordenes parciales y el principio del buen orden.
Lectura: Enderton, EST, Cáp. 2.
Entrega de la segunda reseña sobre un fragmento del texto de Ludwig Wittgenstein,
Observaciones sobre los fundamentos de la matemática.
5. Principales prácticas pedagógicas
El curso se desarrollará principalmente mediante clases magistrales, en las cuales se
cubrirán los contenidos teóricos y se discutirán algunos de los ejercicios asignados. En las
monitorías se resolverán los respectivos talleres. Se realizarán discusiones previas sobre
los textos asignados para la elaboración de las reseñas.
6. Formas de evaluación
Durante el semestre se realizarán dos exámenes parciales (20 % c/u) y dos reseña
reconstructivas (20 % c/u). El 20 % restante corresponde a quices, tareas y participación
en clase. Todos los trabajos se devolverán al estudiante, evaluados y corregidos, en un
plazo máximo de quince días después de la fecha en que hayan sido presentados. La fecha
de entrega de las reseñas será la que establezca el cronograma elaborado para tal fin por la
secretaria académica de la Escuela de Ciencias Humanas. En caso que un examen no sea
presentado o las reseñas no sean entregadas en la fecha prevista, el estudiante sólo podrá
recuperar la nota posteriormente mediante el pago de supletorio dentro de los plazos y en
los términos establecidos por la universidad.
7. Bibliografía
Básica:
ƒ Muñoz, José M. Introducción a la teoría de conjuntos. Universidad Nacional de
Colombia: Bogotá D.C., 1994.
ƒ Ross, Kennteth A. y Wright, Charles R.B. Matemáticas Discretas. Prentice Hall:
México, 1990.
Especializada:
ƒ Enderton, Herbert B. Elements of set Theory. Academic Press: New York, 1977
ƒ Newman, J.R. Sigma: El Mundo de las Matemáticas, 6 vols. Ed. Grijalbo:
Barcelona, 1974.
ƒ Wittgenstein, Ludwig Observaciones sobre los fundamentos de la matemática.
Alianza Universidad: Madrid, 1987.
8. Resumen o abstract
Este curso constituye una primera aproximación a la Teoría de conjuntos. Se busca
promover en los estudiantes el desarrollo del pensamiento formal, de manera que
puedan asimilar los fundamentos y la estructura general del sistema que aquí se les
presenta. En el curso se abordará la Teoría de conjuntos desde dos enfoques
complementarios, uno algebraico y el otro axiomático, se enunciarán algunos teoremas
y axiomas fundamentales y se analizarán sus implicaciones desde una perspectiva
filosófica.