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Ciclo Básico – Departamento de Matemática Aplicada
Código: 0250 – Viernes 06 de Mayo de 2011
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
Álgebra Lineal y
Geometría Analítica
Primer Examen Parcial (20%)
PRIMERA PARTE: RESPUESTA OBJETIVA. (5 puntos)
Instrucciones. Coloque al lado de cada proposición la
letra V o F según sea verdadera o falsa respectivamente.
1.
2.
Toda matriz diagonal es simétrica.
Si A y B son matrices cuadradas, entonces siempre se
verifica que det(A + B) = det(A) + det(B) .
3.
El producto de una matriz fila por una matriz columna
se conoce como producto interno o escalar.
Sean A, B y C matrices cuadradas. Si A.B = A.C
entonces siempre se puede afirmar que A = C.
Sean A y B matrices tal que A.B es posible. Se verifica
4.
5.
siempre que (A.B)t = A t .Bt .
La diagonal principal de toda matriz antisimétrica es
nula.
7. Toda matriz simétrica es invertible.
8. Una matriz ortogonal es una matriz cuadrada tal que
su matriz traspuesta y su matriz inversa coinciden. De
acuerdo a lo anterior la matriz identidad es una matriz
ortogonal.
9. Si el determinante de una matriz es cero, entonces la
matriz es nula.
10. Un sistema de ecuaciones lineales compatible
indeterminado posee infinitas soluciones.
x2
x3
x1 + 1

x2 + 1
x3
 x1
A =  x1
x2
x3 + 1

⋮
⋮
 ⋮
 x
x2
x3
 1
1. Sea A una matriz n × n invertible. Demuestre que:
a. det(adj(A)) = (det(A))n−1
b. Si A es tal que A2 = A , entonces A−1 = adj(A) .
(2 puntos + 1 punto = 3 puntos)
2. Resuelva la ecuación matricial
 4 1
 1 2 0 −1   0 −1 2 1 

 .X − 
=
.
−
1
0


 2 −1 0 1   1 0 −3 0 
(2 puntos)
3. Sea A una matriz n × n dada por
⋯
⋯
Demuestre que det(A) = 1 + x1 + x2 + ... + xn .
(3 puntos)
4. Las exportaciones en miles de millones de euros, de 3
países A, B, C a cada uno de los tres países X, Y, Z en
los años 2005 y 2006 están representadas por las
matrices
6.
SEGUNDA PARTE: DESARROLLO.
(15 puntos)
Instrucciones. Conteste, justificando cada uno de sus
procedimientos, a los siguientes planteamientos:
xn 

xn 
xn  .

⋱
⋮ 
⋯ xn + 1
⋯
X
E2005
Y
Z
A  11.0 6.7 0.5 


= B  14.5 10 1.2 
C  20.9 3.2 2.3 
X
Y
Z
A  13.3 7.0 1.0 


E2006 = B  15.7 11.1 3.2 
C  21.0 0.2 4.3 
Encuentre la matriz que representa la variación que
han sufrido las exportaciones, en miles de millones de
euros, del año 2005 al año 2006 e indique la
exportación que tuvo el mayor crecimiento y la
exportación que sufrió una baja respecto al año
anterior.
(2 puntos)
5. Para el control de plagas en una siembra, se necesita
fumigarla con 48 unidades de una sustancia I y 20
unidades de una sustancia II. En el mercado eyxisten
tres productos comerciales A, B y C; donde cada litro
de estos productos tiene la siguiente composición:
A: 5 unidades de sustancia I; 2 unidades de sustancia II
B: 3 unidades de sustancia I; 1 unidad de sustancia II
C: 9 unidades de sustancia I; 4 unidades de sustancia II
Se desea determinar la cantidad de producto A,
producto B y producto C a adquirir a fin de satisfacer
los requerimientos de la fumigación.
a. Formule el sistema de ecuaciones lineales que
modele la situación planteada.
(1 punto)
b. Determine las soluciones del sistema. (3 puntos)
c. El producto C en grandes cantidades es dañino.
Halle la solución si se desea ocasionar el menor
daño posible.
(1 punto)
Álgebra Lineal y Geometría Analítica (0250) / 06 de Mayo de 2011
PRIMERA PARTE: RESPUESTA OBJETIVA. Instrucciones. Coloque al lado de cada proposición la
letra V o F según sea verdadera o falsa respectivamente.
(5 puntos)
1. Toda matriz diagonal es simétrica.
V
2. Si A y B son matrices cuadradas, entonces siempre se verifica que det(A + B) = det(A) + det(B) .
f
F
3. El producto de una matriz fila por una matriz columna se conoce como producto interno o
escalar.
V
4. Sean A, B y C matrices cuadradas. Si A.B = A.C entonces siempre se puede afirmar que A = C.
f
F
t
t
t
5. Sean A y B matrices tal que A.B es posible. Se verifica siempre que (A.B) = A .B .
F
6. La diagonal principal de toda matriz antisimétrica es nula.
V
7. Toda matriz simétrica es invertible.
F
8. Una matriz ortogonal es una matriz cuadrada tal que su matriz traspuesta y su matriz inversa
coinciden. De acuerdo a lo anterior la matriz identidad es una matriz ortogonal.
V
9. Si el determinante de una matriz es cero, entonces la matriz es nula.
F
10. Un sistema de ecuaciones lineales compatible indeterminado posee infinitas soluciones.
V
SEGUNDA PARTE: DESARROLLO. Instrucciones. Conteste a los siguientes planteamientos:
1. Sea A una matriz n × n invertible. Demuestre que:
a. det(adj(A)) = (det(A))n−1
Solución.
(2 puntos)
Se sabe que A−1 =
A −1 =
1
det(A)
1
det(A)
adj(A) , de modo que:
adj(A) ⇒ det(A).A−1 = adj(A) ⇒ det[det(A).A−1 ] = det[adj(A)]
⇒
(det(A))n
det(A)
= det(adj(A)) ⇒ (det(A))n−1 = det(adj(A))
b. Si A es tal que A2 = A , entonces A−1 = adj(A) .
Solución.
(1 punto)
Se sabe que A es invertible de modo que
A2 = A ⇒ det(A2 ) = (det(A))2 = det(A) ⇒ det(A) det(A) − 1) = 0 ⇒ det(A) = 1
Como A−1 =
1
det(A)
adj(A) , entonces A−1 = adj(A) .
2. Resuelva la ecuación matricial
 4 1
1 2

 .X − 
−
1
0


 2 −1
Solución.
 4 1
 1 2 0 −1   0 −1 2

 .X − 
=
−
1
0


 2 −1 0 1   1 0 −3
 4 1
⇒X=

 −1 0 
−1
0 −1   0 −1 2 1 
=
.
1   1 0 −3 0 
0
(2 puntos)
1
 4 1
1 1 2 0
⇒
 .X = 

0
−
1
0


 3 −1 −3 1 
3
−1 
1 1 2 0 
 0 −1   1 1 2 0 
 −3 1

⇒X=

⇒X=

 3 −1 −3 1 
 1 4   3 −1 −3 1 
 13 −3 −10 4 
Álgebra Lineal y Geometría Analítica (0250) / 06 de Mayo de 2011
3. Sea A una matriz n × n dada por
x2
x3
x1 + 1

x2 + 1
x3
 x1
A =  x1
x2
x3 + 1

⋮
⋮
 ⋮
 x
x2
x3
 1
⋯
xn 

⋯
xn 
⋯
xn  .

⋱
⋮ 
⋯ xn + 1
Demuestre que det(A) = 1 + x1 + x2 + ... + xn .
Solución.
x1 + 1
x2
x3
⋯
x1
x2 + 1
x3
⋯
A = x1
x2
x3 + 1 ⋯
⋮
x1
⋮
x2
⋮
x3
x1 + 1 x2
−1
1
xn
xn
xn
⋱
⋮
⋯ xn + 1
=
x3 ⋯ xn
0 ⋯ 0
1 + x1 + x2 + ... + xn
0
(3 puntos)
x2 x3 ⋯ xn
1 0 ⋯ 0
−1
0
1
⋯
0 =
0
0
1
⋯
0
⋮
−1
⋮
0
⋮
0
⋱
⋯
⋮
1
⋮
0
⋮
0
⋮
0
⋱
⋯
⋮
1
fi ← fi − f1 (i = 2,...,n)
c1 ← c1 + ci (i = 2,...,n)
= 1 + x1 + x2 + ... + xn
4. Las exportaciones en miles de millones de euros, de 3 países A, B, C a cada uno de los tres
países X, Y, Z en los años 2005 y 2006 están representadas por las matrices
X
Y
Z
X
Y
Z
A  11.0 6.7 0.5 
A  13.3 7.0 1.0 




E2005 = B  14.5 10 1.2  , E2006 = B  15.7 11.1 3.2 
C  20.9 3.2 2.3 
C  21.0 0.2 4.3 
Encuentre la matriz que representa la variación que han sufrido las exportaciones, en miles de
millones de euros, del año 2005 al año 2006 e indique la exportación que tuvo el mayor
crecimiento y la exportación que sufrió una baja respecto al año anterior.
Solución.
(2 puntos)
Matriz que representa la variación que han sufrido las exportaciones del año 2005 al año 2006:
X
Y
Z
A  2.3 0.3 0.5 


E2006 − 2005 = B  1.2 1.1 2.0 
C  0.1 −3.0 2.0 
De acuerdo a la matriz anterior la exportación que tuvo el mayor crecimiento es la del país A al
país X y la exportación que sufrió una baja es la del país C al país Y.
5. Para el control de plagas en una siembra, se necesita fumigarla con 48 unidades de una
sustancia I y 20 unidades de una sustancia II. En el mercado existen tres productos comerciales
A, B y C; donde cada litro de estos productos tiene la siguiente composición:
A: 5 u. de sustancia I; 2 u. de sustancia II , B: 3 u. de sustancia I; 1 u. de sustancia II , C: 9 u. de sustancia I; 4 u. de sustancia II
Se desea determinar la cantidad de producto A, producto B y producto C a adquirir a fin de
satisfacer los requerimientos de la fumigación.
a. Formule el sistema de ecuaciones lineales que modele la situación planteada.
Solución.
(1 punto)
5A + 3B + 9C = 48 , 2A + B + 4C = 20 , A,B, C ≥ 0 enteros
b. Determine las soluciones del sistema.
Solución.
(3 puntos)
3
9
48
3
9
48
3
9
48 
1

1

1
5 3 9 48
5
5
5
1
5
5
5
5
5
5


f
←
f
f
←
f
−
2f
f
←
−
5f





 1
2
2
1
2
2
5 1
1
2
4 2
1
4
20
0
−




2 1 4 20
0 1 −2 −4 
5
5
5 
Sistema de ecuaciones equivalente:
A + 53 B + 59 C = 48
, B − 2C = −4
5
Resolviendo:
Álgebra Lineal y Geometría Analítica (0250) / 06 de Mayo de 2011
C = t , B = 2t − 4 , A = − 35 (2t − 4) −
9
5
t+
48
5
= −3t + 12
Hallando todas las soluciones del sistema se tiene que
C = t ≥ 0 , B = 2t − 4 ≥ 0 ⇒ t ≥ 2 , A = −3t + 12 ≥ 0 ⇒ t ≤ 4 ⇒ 2 ≤ t ≤ 4
t = 2 : (A,B, C) = (6, 0, 2) ; t = 3 : (A,B, C) = (3, 2, 3) ; t = 4 : (0, 4, 4)
c. El producto C en grandes cantidades es dañino. Halle la solución si se desea ocasionar el
menor daño posible.
Solución.
(1 punto)
La solución indicada para satisfacer este requerimiento es t = 2 : (A,B, C) = (6, 0,2) .