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FACULTAD DE INGENIERIA-UBA
ALGEBRA II. Primer cuatrimestre de 2013
EXAMEN PARCIAL
18 de mayo de 2013(Primera oportunidad)
Justifique todas las respuestas. Numere las hojas y firme al final del examen.
El examen se aprueba resolviendo correctamente 3 ejercicios
1. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justificar:
(a) Dados A = {u1 , u2 , ...uk } y B = {v1 , v2 , ..., vr } dos conjuntos incluidos en el espacio vectorial V
=⇒ gen(A ∩ B) = gen(A) ∩ gen(B)
Rta: Falso (buscar contraejemplo)
(b) T1 : V −→ W y T2 : V −→ W Transformaciones lineales
Si N u(T1 ) = N u(T2 ) e Im(T1 ) = Im(T2 ) =⇒ T1 = T2
Rta: Falso (buscar contraejemplo)
  
 

−1
1 k
0
 1
2. Sea T : P2 −→ ℜ3 : [T ]BC =  0 1 k + 2  con C =  0  ,  0  , 

1
0
−1 0
−1
{
}
y B = 1, 1 + t, 1 + t2 base de P2 .
Es posible hallar k ∈ ℜ de modo que existan p, q ∈ P2 : p ̸= q y T (p) = T (q) = (1 0


0 
1  base de ℜ3

1
− 1)t ?
Sugerencia:
La transformación no es inyectiva ⇐⇒ k = −1. Luego hay que ver si para k = −1 el vector
(1 0 − 1)t ∈ Im(T)
Rta: No existe k que cumpla lo pedido.
3. Sea B = {v1 , v2 } base de un espacio vectorial real V con producto interno. Siendo (v1 , 2v2 ) = 4,
2
2
∥v2 ∥ = ∥v1 ∥ = 3 y S = gen {v1 − v2 }
(a) Calcular la distancia de w = 3v1 + 3v2 al subespacio S
Sugerencia:
(
)
3 2
Con los datos: GB =
2 3
⊥
Ver que w ∈ S por lo tanto √
la distancia de w a S es la norma de w
Rta: Distancia de w a S es 3 10
(b) calcular la matriz del pi en B ∗ , siendo B ∗ = {v1 + v2 , v1 − v2 } es base de V y .
Sugerencia:
Como B∗ es(BOG, la) matriz es diagonal.
10 0
Rta: GB∗ =
0 2

1
4. Sean A =  0
1
t
(1 0 0 0) pertenece
0
0
0
al

1 0
0 2  y B ∈ ℜ4x2 de rango 1, sabiendo que el Col(B) ⊆ N ul(A) y que el vector
1 2
espacio nulo de B t .
(a) Hallar la matriz de proyección al espacio columna de B
Sugerencia:
{
}
Siendo Nul(A)=gen (1 0 − 1 0)t , (0 1 0 0)t
t
t
t
⊥
Si (1 0 0 0) ∈ Nul(B
{ ) ⇒ (1t }0 0 0) ∈ (Col(B))
=⇒ Col(B) = gen
 (0 1 0 0) 
0 0 0 0
 0 1 0 0 


Rta: PCol(B) = 
0 0 0 0 
0 0 0 0
t
(b)
la PcolA (1 0 2) =
Sabiendo
 que
1 Ab
 0 .
x
−
2 4
3 Col1 (A)
+ 16 Col4 (A), hallar todos los x
b ∈ ℜ4 que minimizan
b = ( 43 0 0 16 )t + α(1 0 − 1 0)t + β(0 1 0 0)t , α, β ∈ ℜ
Rta: x
5. Sea V = {f : ℜ → ℜ / f (x) = a g1 (x) + b g2 (x) , a, b ∈ ℜ} donde g1 (x) = ex y g2 (x) = xex . Con el pi:
∫1
(f, g) = −1 e−2x f (x)g(x)dx . Sea T : V −→ ℜ2x2 de modo tal que :
)
(
)
(
(g1 , g2 )
0
0
(g1 , g2 )
T (g1 + g2 ) =
y T (g1 − g2 ) =
2
2
2
1
3 ∥g2 ∥
− 83 ∥g1 + g2 ∥ − 12 ∥g1 ∥
(a) Hallar N u(T ) e Im(T )
Sugerencia:
Siendo (g1 , g2 ) = 0; (g1 , g1 ) = 2; (g2 , g2 ) = 23
2
2
2
∥g1 + g2 ∥ =(∥g1 ∥ + ∥g)2 ∥ porque (
son ortogonales
)
0 0
0
0
=⇒ T(g1 ) =
y T(g2 ) =
0 1/2
{(1 3/2 ) (
)}
0
0
0 0
Rta: Nu(T) = {0v } y Im(T) = gen
,
0 1/2
1 3/2
{(
) (
) (
1 0
0 1
0
(b) Elegir ina BOG B1 de V y hallar [T ]B1 B2 ; B2 =
,
,
0 0
0 0
1
2x2
base de ℜ


0
0
 0
0 

Rta: Elegimos B1 = {g1 , g2 } ; [T]B1 B2 = 
 0
1 
1/2 3/2
0
0
) (
0
,
0
0
1
)}