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ENSEÑANZA MEDIA SUPERIOR
MATEMÁTICA
Curso de Superación Integral para Jóvenes
IV SEMESTRE
TABLOIDE
AUTOR: Lic. Armando Sandoval Torres
CURSO ESCOLAR
2006 – 2007
Índice
Capítulo 1. Ecuaciones y funciones trigonométricas /
1.1. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera /
1.2. Funciones trigonométricas /
1.3. Identidades y ecuaciones trigonométricas /
1.4. Aplicaciones de la trigonometría /
Capítulo 2. Ecuaciones y funciones exponenciales y logaritmicas /
2.1. Ecuaciones e inecuaciones exponenciales /
2.2. Logaritmo. Propiedades. Aplicaciones. Ecuaciones e inecuaciones
logarítmicas /
2.3. Logaritmos decimales /
2.4. Funciones exponenciales y logarítmicas /
Capítulo 3. Geometría analítica de la recta en el plano /
3.1. Distancia entre dos puntos de un plano /
3.2. Pendiente de una recta determinada por dos puntos y su relación con el
ángulo de inclinación /
3.3. Paralelismo y perpendicularidad /
3.4. Ecuación general de la recta /
3.5. Punto de intersección entre dos rectas /
3.6. Distancia de un punto a una recta /
Capítulo 1. Trigonometría
Lic. Antonio Armando Sandoval Torres
1.1 Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera
Sistema circular de medidas de ángulos
Sabemos que la unidad de medida de ángulos en el sistema sexagesimal es el
grado sexagesimal, o simplemente grado. Un grado es cada una de las partes que
se obtiene de dividir un ángulo recto en 90 partes iguales.
Por lo tanto, 1 ángulo recto = 90°.
Los submúltiplos o divisiones del grado son el minuto (’) y el segundo (”). Un grado
tiene 60 segundos: o sea 1° = 60’, 1’ = 60’’.
No deben confundirse los submúltiplos de grados con las unidades de tiempo.
Para medir la amplitud de los arcos de circunferencia se utilizan las mismas
unidades que para medir ángulos.
La medida de la amplitud de un arco AB, de circunferencia de centro O y radio r es
la misma que la del ángulo central AOB. Por lo tanto, todo lo que expresemos en
lo sucesivo sobre medidas de ángulos se cumple también para arcos, y viceversa,
entonces si α = 50°, entonces AB = 50° y si CD = 30°, entonces β = 30°.
El sistema sexagesimal de medida de ángulos presenta ciertas limitaciones, en
Matemática, se usa con mucha frecuencia otro sistema denominado Sistema
Circular.
Sea una circunferencia de centro O y radio r, denotemos por α° la amplitud del
ángulo central AOB en grados. La longitud l del arco AB, se calcula mediante la
fórmula siguiente:
l=
π ⋅ r ⋅α o
180 o
La razón entre la longitud de este arco y el radio de la circunferencia es:
π ⋅ r ⋅ αo
o
l
π ⋅ r ⋅ αo 1 π ⋅ αo
= 180
=
⋅ =
r
r
180 o r 180 o
l π ⋅ αo
Luego:
=
r 180 o
Observa que
π
180
o
es constante, y esto significa que la razón
l
depende
r
solamente de la amplitud del ángulo.
Para un mismo ángulo α la razón
l
es constante, cualesquiera sea el radio de la
r
circunferencia ampliada, por esto esta razón puede utilizarse para medir el ángulo
α.
l l' π ⋅ α o
= =
r r ' 180 o
(1)
La medida de α en radianes (αr) es igual a la razón
l
,
r
luego:
αr =
l
r
(2)
Definición de radián
Un radián (1 rad) es la amplitud de un ángulo en el que la longitud del arco es
igual al radio. En efecto, en la fórmula anterior, si αr = 1 rad, entonces
l=r
l
= 1 , o sea:
r
Si en (2) tenemos en cuenta la relación (1) resulta que:
π ⋅αo
αr =
180 o
αo =
de donde:
α r ⋅ 180 o
π
(π ≈ 3,14)
Es decir, para expresar un ángulo en radianes dado en grados, se multiplica por la
π
constante
180 o
≈ 0,0175 y para expresar en radianes un ángulo dado en grados
se multiplica por la constante
180 o
π
≈ 57,3 o
Se observa entonces que:
1o =
π
180 o
1 rad =
rad = 0,0175 rad
180 o
π
= 57,3 o (Un poco menos de 60)
Nota:
Cuando la amplitud de un ángulo está expresada en el sistema circular suele no
indicarse la unidad. Por tanto, si un ángulo α mide 5 rad, se escribe α = 5o. No
habrá confusión porque si α está en grados se escribe α = 5o.
Ejercicios resueltos:
1. En una circunferencia de diámetro igual a 40 dm, la longitud del arco
correspondiente a un ángulo central ө es 25 dm. ¿Cuál es la amplitud en
grados y minutos sexagesimales del ángulo ө.
Solución:
θr =
l
r
d = 2r ; r =
(1)
40 dm
= 20 dm
2
como l = 25 dm, sustituyendo en (1), resulta:
θr =
25 dm
20 dm
θ r = 1,25 rad o simplemente θ r = 1,25
Expresemos θ = 1,25 en grados y minutos sexagesimales, basta multiplicar a
θ = 1,25 por la constante
180 o
π
= 57,3 , entonces:
θ = 1,25 ⋅ 57,3 ≈ 71,5o ≈ 71o30'
2.
Expresar las amplitudes siguientes en grados sexagesimales:
a)
7π
6
b)
7π
4
c)
11π
6
Solución:
7π 180 7 ⋅ 180 o
a)
⋅
=
= 210 o
6 π
6
Esto significa que un ángulo cuya amplitud en radianes es
7π
es equivalente
6
a 210o.
7π 180 o
b)
⋅
= 315 o
4
π
c)
3.
11π 180 o
⋅
= 330 o
6
π
Expresa en radianes:
a) 120o
b) 150o
c) 12,1o
Recuerda que para convertir grados en radianes debe multiplicarse por la
constante
a) 120 o =
b) 150 o ⋅
π
.
180 o
π
180
π
180
o
o
=
=
2π
3
( 120 o =
2π
rad )
3
5π
5π
( 150 o =
rad )
6
6
c) 12,1o ⋅
4.
π
180 o
≈ 12,1 ⋅ 0,0175rad ≈ 0,211rad
Supóngase que una máquina tiene una rueda de 1,5 m de diámetro, y gira a
una velocidad de 1 600 rpm (revoluciones por minuto):
a) Calcula la velocidad angular de la rueda.
b) Determina la velocidad lineal de un punto P en la circunferencia.
Solución:
La velocidad angular de una rueda que gira a velocidad constante es el
ángulo (en radianes) generado en una unidad de tiempo, por un segmento
girante que parte del centro de la rueda hasta el punto P sobre la
circunferencia.
La velocidad lineal de un punto P en dicha curva es la distancia que recorre P
por unidad de tiempo.
Solución:
a) Sea O el centro de la rueda, y P un punto de su circunferencia, como el
número de revoluciones por minuto es 1 600, y como cada revolución
corresponde a un ángulo de 2π rad, el ángulo generado por el segmento
girante OP en un minuto tiene una amplitud de (1 600) ( 2π ) rad o sea:
Velocidad angular = (1 600) ( 2π ) = 3200π
rad
.
min
Nótese que no importa el diámetro de la rueda en el cálculo de la velocidad
angular.
b) La velocidad lineal de P es la distancia circular que recorre en un minuto.
Se conoce que:
l
r
θ=
donde
θ es la amplitud en radianes, l la longitud del arco y r el radio, entonces
l = r ⋅ θ , como el diámetro de la rueda mide 3,0 m, entonces r =
1,5
m y
2
θ = 3 200 π .
Así:
r =
1,5
2
m = 0,75 m
l = 0,75 · 3 200 π
l = 7,54 km
A diferencia de la velocidad angular, la velocidad lineal sí depende del
diámetro de la rueda.
5.
La Luna está aproximadamente a 381 000 km de la Tierra. Si el ángulo
subtendido por el diámetro de la Luna a la superficie de la Tierra es de
0,0092 rad, ¿Cuál es el diámetro aproximado de la Luna en la centena de
kilómetros más cercano?
Solución:
Sabemos que θ =
radianes,
l
, donde θ se expresa en
r
l es la longitud del arco que
subtiende a la cuerda c. Si el radio de la
circunferencia es grande, y el ángulo central θ
pequeño, como sucede en el presente problema, entonces se usa a menudo
aproximar la longitud de la cuerda correspondiente, entonces:
c ≈ l = r ⋅θ
En este caso el diámetro de la Luna es l , r la distancia de la Tierra a la Luna
(381 000 km) y θ = 0,0092 rad , resulta:
l = 381000 ⋅ 0,0092 km
l = 3,81⋅ 10 5 ⋅ 9,2 ⋅ 10 −3 km ≈ 35,1⋅ 10 2 km
El diámetro de la Luna es aproximadamente 3 500 km.
Sabemos que los ángulos notables miden 30o, 45o y 60o, los ángulos que
limitan a los cuadrantes se les llaman ángulos cuadrantales (0o, 90o, 180o,
270o y 360o). Los cuadrantes se denotan con números romanos.
A continuación exponemos una tabla con las medidas de estos ángulos en el
sistema circular, o sea, en radianes:
Grados
30o
45 o
60 o
0o
90 o
180 o
270 o
360 o
Radianes
π
π
π
0
π
π
2π
6
4
3
3π
2
2
Círculo trigonométrico
Sea un círculo de radio r cuyo centro coincide con el origen de un sistema de
coordenadas rectangulares en un plano. A este círculo lo denominaremos
trigonométrico.
En el triángulo AOP, rectángulo en A, se cumple que r 2 = x 2 + y 2 (Teorema de
Pitágoras), de donde
r =
x2 + y2
Todo ángulo puede ser situado (de manera única) de forma tal que su vértice
coincida con el origen de coordenadas, uno de sus lados (lado inicial) coincida con
la semirrecta OX y que el otro lado (lado terminal) corte al círculo en el punto P (x;
y): Esta posición de α se denomina posición normal o estándar.
Se considera que el ángulo α se ha formado por el movimiento del lado terminal en
sentido contrario a las manecillas del reloj. La posición de P puede ser un punto de
cualquier cuadrante. Las consideraciones anteriores permite definir las razones
trigonométricas, no solo para ángulos agudos sino para ángulos cuyas amplitudes
pertenezcan al intervalo [0, 360o] o [0, 2π ].
Definiciones
Sean α un ángulo (en posición normal) y P (x; y) el punto que le corresponde en el
círculo trigonométrico de radio r, definimos:
senα =
y
(r › 0)
r
cos α =
x
r
tan α =
y
x
cot α =
x
(y ≠ 0)
y
(x ≠ 0)
Siendo r = x 2 + y 2
Observa que si α es un ángulo del primer cuadrante, todas las razones
trigonométricas son positivas, sin embargo, en la figura anterior el ángulo α es del
segundo cuadrante como x ‹ 0 y y › 0, el seno de α es un número negativo.
Puedes observar que el módulo del seno y el coseno de un ángulo no pueden ser
mayores que 1.
− 1 ≤ senα ≤ 1 y − 1 ≤ cos α ≤ 1
Signo de las razones trigonométricas en los distintos cuadrantes
I
o
o
(0 ‹ α ‹ 90 )
II
o
o
(0 ‹ α ‹ 180 )
o
o
o
o
III (180 ‹ α ‹ 270 )
IV (270 ‹ α ‹ 360 )
sen
+
+
-
-
cos
+
-
-
+
tan
+
-
+
-
cot
+
-
+
-
Sabemos que los ángulos que limitan los cuadrantes se denominan cuadrantes (0o
= 0, 90o =
π
2
, 180 o = π , 270 o =
3π
y 360 o = 2π ), obtengamos, por ejemplo, las
2
razones trigonométricas de α = 90o, senα =
y r
= = 1 (por ser en este caso y = r)
r
r
cos 90 o =
x 0
= = 0 (r › 0) (por ser x = 0)
r r
tan 90 o =
y
no está definida pues x = 0.
x
cot 90 o =
x 0
= =0
y r
De forma análoga obtendremos las razones trigonométricas de los ángulos
cuadrantales restantes, resultando la tabla siguiente:
0o
90o
180o
270o
360o
0
π
π
3π
2
2π
2
sen
0
1
0
-1
0
cos
1
0
-1
0
1
tan
0
–
0
–
0
cot
–
0
–
0
–
La raya (–) indica que la razón trigonométrica no está definida para el ángulo
correspondiente.
Generalización del concepto de ángulo
Es necesario ampliar el concepto de ángulo que tenemos hasta el momento, esta
ampliación o generalización propiciará darle sentido a expresiones como las
siguientes:
α = −30o , α = 1 320 o , α =
21
π,
3
o sea, ángulos negativos y mayores que 360o o 2π .
El punto puede moverse sobre la circunferencia y engendrar ángulos positivos si el
movimiento es contrario a las manecillas del reloj. Si el lado terminal da una vuelta
completa, el ángulo engendrado es de una vuelta y su amplitud es de 360o o sea
2π , pero este movimiento puede seguir y entonces se engendrarán ángulos
superiores a 360o, así, si da dos vueltas completas la amplitud del ángulo es de
2 ⋅ 360 o = 720 o , si el número de vueltas es un número natural k, la amplitud es
entonces k ⋅ 360 o .
Si el punto se mueve en el mismo sentido de las manecillas del reloj entonces los
ángulos así engendrados tienen amplitudes menores que 0o, o sea, son negativos,
pudiéndose
obtener
también
de
forma
similar
ángulos
de
–360o,
–720o y en general de amplitud k ⋅ 360 o , siendo ahora k un número entero.
En la figura representamos los ángulos de amplitudes –30 o, 720 o, 480 o y –510o.
Podemos prescindir del círculo trigonométrico.
Puedes observar que los ángulos de amplitudes 480o y 120o, tienen el mismo lado
terminal y se denominan coterminales, y su diferencia es 480o – 120o = 360o, un
múltiplo de 360o, se dice que se diferencian en un número exacto de
circunferencia.
Definición:
Dos ángulos de amplitudes α
y β
son coterminales si α − β = k ⋅ 360 o o
α − β = 2kπ (k ∈ Z)
Analiza si son coterminales los ángulos α y β se dan a continuación:
a)
α = 1 350o y β = 120o
b)
α = 1500o y β = 420o
Solución:
a)
α - β = 1350 o – 120 o = 3. 360 o + 150o
α y β no son coterminales, pues la diferencia de sus amplitudes no es un
múltiplo de 360o.
b)
α - β = 1500o – 420o = 1080o = 3 . 360o
Son coterminales ya que su diferencia es un múltiplo de 360o.
Sea α la amplitud de un ángulo, los ángulos coterminales con α, es el
conjunto de ángulos de amplitudes α + k360 o o α + 2kπ (k ∈ Z)
Así, si α = 40o, el conjunto de los ángulos coterminales con α tienen amplitudes
α + k360 o , algunas de estas amplitudes son:
Si k = 1, resulta 40 o + 1 ⋅ 360 o = 400 o
Si k = 10, resulta 40 o + 10 ⋅ 360 o = 3640 o
Si k = -8, resulta 40 o + (−8) ⋅ 360 o = −2840 o
Si α = −
3π
3π
, las amplitudes de los ángulos coterminales con α es −
+ 2kπ (k ∈
4
4
Z), algunas de estas amplitudes son:
Para k = 3 resulta: −
3π
3π
21π
+ 2 ⋅ 3π = −
+ 6π =
4
4
4
Para k = –15 resulta: −
3π
3π
123π
+ 2(−15π ) = −
− 30π =
4
4
4
Para k = 280 resulta: −
3π
3π
2237π
+ 2(280)π = −
+ 560π =
4
4
4
Con la generalización del concepto de ángulo podemos entonces definir razones
trigonométricas de ángulos cualesquiera de forma análoga a las definiciones de
las razones trigonométricas de ángulos cuyas amplitudes pertenecen al intervalo
[0, 360o] o [0, 2π ], entonces ya tienen para nosotros sentido expresiones como las
siguientes:
sen( −60 o ) ,
tan 1780 o ,
cos
20 π
,
3
 − 41π 
cot

 3 
Como los ángulos coterminales tienen el mismo lado terminal, sus razones
trigonométricas son iguales. Así en particular.
sen40 o = sen400 o
21π
 − 3π 
cos
 = cos
4
 4 
En general:
Si la amplitud α se expresa en el sistema sexagesimal:
(
) (k ∈ Z)
cos α = cos(α + k 360 )
tan α = tan(α + k 360 )
cot α = cot (α + k 360 )
senα = sen α + k 360 o
o
o
o
Y si la amplitud de α se expresa en el sistema circular:
senα = sen(α + 2kπ) (k ∈ Z)
cos α = cos(α + 2kπ )
tan α = tan(α + 2kπ)
cot α = cot(α + 2kπ)
Ejercicios resueltos:
1. ¿En qué cuadrantes pudiera estar situado θ si:
a) sen θ = −
3
2
b) tan θ = 4,16
c) cos θ = 0,018
d) cot θ = −2
Solución:
a) sen θ = −
3
< 0 (negativo), entonces θ puede estar en el tercer o cuarto
2
cuadrante.
b) tan θ = 4,16 > 0
(positivo), entonces θ puede estar en el primer o tercer
cuadrante.
c) cos θ = 0,018 > 0
(positivo), entonces θ puede estar en el primer o cuarto
cuadrante.
d) cot θ = −2 < 0
(negativo), entonces θ puede estar en el segundo o cuarto
cuadrante.
2. ¿En qué cuadrante estará θ si:
a) sen θ > 0 y cos θ > 0
b) tan θ > 0 y cos θ < 0
c) cot θ < 0 y cos θ < 0
d) sen θ > 0 y cot θ < 0 ?
Solución:
a) sen θ : positivo y cos θ : positivo, entonces θ ∈ I Q (primer cuadrante).
b) tan θ : positivo y cos θ : negativo, entonces θ ∈ II Q (tercer cuadrante).
c) cot θ : negativo y cos θ : negativo, entonces θ ∈ III Q (segundo cuadrante).
d) sen θ : positivo y cot θ : negativo, entonces θ ∈ IV Q (cuarto cuadrante).
3. En cada caso, calcula las restantes relaciones trigonométricas de θ, teniendo
en cuenta las condiciones dadas:
a) sen θ =
b)
3
y θ ∈ II Q.
4
1
13
=−
y sen θ < 0
cos θ
12
c) tan θ = −2,75 y cos θ > 0
Solución:
a) senθ =
3
y
; sen θ = , luego y = 3u , r = 4u
4
r
como x 2 + y 2 = r 2 , resulta:
x 2 + 3 2 = 4 2 ; x 2 + 9 = 16 ; x 2 = 16 − 9 ; x 2 = 7 ; x = ± 7u ;
se toma x = 7 ya que θ ∈ I Q.
cos θ =
x
7
y
3
3 7
; tan θ = =
(racionalizando)
=
=
r
4
x
7
7
cot θ =
x
7
=
y
3
b) Si
1
13
12
, entonces cos θ = −
=−
< 0 (negativo)
cos θ
12
13
y senθ < 0 (negativo), luego: θ ∈ III Q.
como cos θ =
x
, resulta que x = −12 y r = 13
r
x2 + y 2 = r 2
( −12)2 + y 2 = 13 2
144 + y 2 = 169
y 2 = 169 − 144
y 2 = 25 ; y = ±5 , entonces y = −5 puesto que θ Є III Q. Entonces:
senθ =
y −5
y −5
5
, tan θ = =
=
=
r
13
x − 12 12
y cot θ =
x − 12 12
=
=
y
−5
5
c) tan θ = −2,75 = −2 −
tan θ =
75
3
11
y cos θ > 0 , entonces θ ∈ IV Q y como
= −2 − = −
100
4
4
y
, y = −11 y x = 4 . Entonces:
x
x2 + y 2 = r 2
4 2 + (−11) 2 = r 2
16 + 121 = r 2
r = 137
senθ =
y
11
11 137
x
4
4 137
=−
=−
, cos θ = =
=
r
137
r
137
137
137
cot θ =
x
4
=−
y
11
3. ¿En qué cuadrantes se encuentran los ángulos cuyas amplitudes se dan a
continuación?
a) 60o
b) 135 o
d) 3918 o
e) −
c) -120 o
4π
3
f) − 15
π
4
Solución:
a) 0 < 60 o < 90 o (I Q)
b) 90 o < 135 o < 180 o
(II Q)
c) -120o = -120o + 360o = 240o, luego 240o es el coterminal de –120o como 180o <
240 < 270o, entonces –120 Є III Q.
d) 3918o, el ángulo es mayor que 360o. Para hallar su coterminal en el intervalo [0,
360o] se divide 830o por 360o, el resto es la amplitud del coterminal buscado.
3918o
360o
360
10
318o → (coterminal)
Como 270° < 318o < 360o , entonces 318o ∈ IV Q.
e) −
−
f) −
4π
4π
2π π 2π
, <
=−
+ 2π =
<π
3
3
3 2 3
4π
∈ II Q.
3
15π
15π
7π
π
=−
+ 2π = −
+ 2π = ,
4
4
4
4
π π
15π
∈IQ
< <0, −
2 4
4
Fórmulas de reducción
Por las frecuentes aplicaciones prácticas, en los textos de matemática, aparece
una tabla de valores de las razones trigonométricas para los ángulos entre 0o y
90o, en intervalos de un minuto, y una tabla similar para ángulos medidos en
radianes.
La razón por la cual las tablas de valores angulares se limitan al intervalo [0o, 90o],
es que los valores de las razones trigonométricas para cualquier ángulo pueden
ser expresadas en función de las razones trigonométricas de un ángulo del primer
cuadrante α, o sea, 0 < α <90º, este ángulo α es llamado ángulo de referencia y la
mencionada conversión se realiza mediante las llamadas fórmulas de reducción.
Teorema 1:
Sea α un ángulo agudo ( 0 < α < 90 o ), se cumple que:
a) sen(180 o − α ) = senα
b) cos(180 o − α ) = cos α
c) tan(180 o − α ) = tan α
Demostración:
Si α es un ángulo agudo (180 o − α ) es un ángulo del segundo cuadrante.
a) sen(180 o − α ) =
y
(definición de seno para un ángulo cualesquiera).
r
Pero en el triángulo OPP’, rectángulo en P’ senα =
Luego sen(180 o − α ) = senα
y
(definición de seno).
r
b) cos(180 o − α ) =
cos α =
x
OP '
(definición de coseno de un ángulo cualesquiera).
=−
r
OP
OP'
(definición de coseno en un triángulo rectángulo).
OP
cos(180 o − α ) = − cos α
Las relaciones c) y d) se demuestran análogamente, te dejamos estas
demostraciones.
Si α se expresa en radianes tenemos:
sen( π − α ) = senα
cos( π − α ) = − cos α
tan( π − α ) = − tan α
cot(π − α ) = − cot α
Ejemplos:
a) sen130 o = sen(180 o − 50 o ) = sen50 o
b) cos 120 o = cos(180 o − 60 o ) = cos 60 o =
c) tan
(180o – 130o = 50o)
−1
(180o – 120o = 60o)
2
π
− 3
π π
5π
π

= tan π −  = − tan = −
π − 5 = 
6
6
6
3 
6 6

Teorema 2:
Si α es un ángulo agudo, se cumple:
sen(180 o + α ) = −senα o sen(π + α ) = − senα
cos(180 o + α ) = −senα o cos( π + α ) = − cos α
tan(180 o + α ) = tan α o tan( π + α ) = tan α
cot(180 o + α ) = cot α
o cot( π + α ) = cot α
Si α es agudo 180 o + α o π + α es un ángulo del tercer cuadrante.
Ejemplos:
a) sen 250 o = sen(180 o + 70 o ) = sen70 o (250o – 180o = 70o)
b) cos
4π
π
π
1
= sen( π + ) = − cos = −
3
3
3
2
(
4π
π
−π= )
3
3
Teorema 3:
Si α es un ángulo agudo, se cumple:
sen(360 o − α ) = −senα
o
sen(2π − α )
cos(360 o − α ) = cos α
o
cos(2π − α )
tan(360 o − α ) = − tan α
o
tan( 2π − α )
cot(360 o − α ) = − cot α
o
cot(2π − α )
Si α es agudo 360o − α o 2π − α es un ángulo del cuarto cuadrante. Como
(360 o − α ) − ( −α ) = 360 o − α + α = 360 o (múltiplo
de
360o),
los
ángulos
de
amplitudes (360o – α) y (-α) son coterminales y sus razones trigonométricas son
iguales, luego en las relaciones anteriores podemos sustituir (360o – α) por (-α);
por ejemplo:
sen( −α ) = −senα ; cos(−α ) = cos α ; tan(−α ) = − tan α y cot(−α ) = − cot α .
Ejemplos:
a) sen300 o = sen(360 o − 60 o ) = −sen60 o =
− 3
(360o – 60o = 60o)
2
b) cot 315 o = cot(360 o − 45 o ) = − cot 45 o = −1
π
 π
c) tan −  = − tan = − 3
3
 3
( 2π −
(360o – 315o = 45o)
π 5π
π
y − coterminales)
=
3 3
3
Una igualdad que se cumple para todos los valores admisibles de las variables, se
denomina identidad:
Ejemplo: ( x − y )2 = x 2 − 2 xy + y 2 , se cumple para los valores de x y y.
Si una igualdad se cumple para algunas de las variables llamadas raíces o
soluciones, se denomina ecuación:
Ejemplos:
1. 3x 2 + 7 x − 6 = 0 . Se cumple para x1 =
2
y x 2 = −3
3
2. x 2 + y 2 = 25 , x = 3 , y = 4 es una solución, esta ecuación tiene infinitas
soluciones.
Las identidades y ecuaciones en las que aparecen razones trigonométricas, se
denominan identidades y ecuaciones trigonométricas.
Ejemplos:
1. Las fórmulas de reducción son identidades trigonométricas, se demostró el
teorema 1 para un ánguloα del primer cuadrante, pero estas relaciones se
cumplen para todo valor de α, así sucede con las restantes fórmulas de
reducción. Más adelante veremos otras identidades que son básicas en el
cálculo trigonométrico.
2.
2senx − 1 = 0 , es una ecuación trigonométrica.
Ejercicios resueltos:
1. Demuestra las igualdades siguientes, para todos los valores admisibles de la
variable:
sen(90 o − x) 2 cot(90 o − x)
a)
−
=3
cos(360 o − x) tan(180 o − x)
b)
sen(2π − α ) cos α cos(π − α )
:
= cos α
π
cos(π + α )
sen( − α )
2
Solución:
a)
sen(90 o − x) 2 cot(90 o − x)
−
cos(360 o − x) tan(180 o − x)
=
b)
cos x 2 tan x
−
= 1+ 2 = 3
cos x − tan x
sen(2π − α ) cos α cos(π − α )
:
π
cos(π + α )
sen( − α )
2
=
cos α ⋅ cos α − cos α
:
− cos α
cos α
= (− cos α ) : −1
= cos α
2. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) senx = 0,6794
b) cos x =
(0 ≤ x ≤ 90 )
o
(0 ≤ x ≤ 90 )
7
3
o
[
]
c) senx = −2
x ∈ 0,90 o
d) 3 cos x = cos x − 1
(0 ≤ x ≤ 2π )
e) (3 tan x − 3)(2 senx − 3 ) = 0
f) 2sen(3 x +
π
2
)− 2 = 0
[
x ∈ 0,90 o
]
xЄR
Solución:
a) senx = 0,6794 ; x1 = 42,8o (Por tabla), el seno también es positivo en el segundo
cuadrante (180o –α), o sea el seno del suplemento por defecto de 42,8o, también
es igual a 0,6794, luego x2 = 1800 - 42,8o = 137,2o.
b) cos x =
cos x =
7
3
2,65
( 7 ≈ 2,65 por tabla)
3
cos x = 0,8333
x1 = 33,6 o
Pero como el coseno también es positivo en el cuarto cuadrante (360o – α), el otro
ángulo es el explemento por defecto de 33,6o, o sea:
x 2 = 360 o − 33,6 o = 326,4 o
c) senx = −2 (imposible ya que senx ≤ 1 )
d) 3 cos x = cos x − 1
3 cos x − cos x = −1
2 cos x = −1
cos x = −
1
2
El ángulo de amplitud x1 está en el segundo ( π − α ) o tercer (π + α ) cuadrante.
Para hallar los valores de x, hallamos el ángulo α de referencia (α =
x1 = π −
π
x2 = π +
3
π
3
=
2π
3
=
4π
3
π
3
) , entonces:
e) (3 tan x − 3 )(2senx − 3 ) = 0
Si a ⋅ b = 0 , entonces a = 0 o b = 0, luego:
3 tan x − 3 = 0 o (2 cos x − 3 ) = 0
de donde:
tan x = 1
(1)
o
cos x =
3
(2)
2
Entonces resolviendo (1) tendremos:
x1 = 45 o
x 2 = 180 o − 45 = 135 o
Por otra parte resolvemos (2):
x3 = 30 o
x 4 = 360 o − 30 o = 330 o
Por tanto las soluciones de la ecuación dada son: x1 = 45 o , x 2 = 135 o , x3 = 30 o y
x 4 = 330 o .
f) 2sen(3 x +
2sen(3 x +
π
2
π
2
)− 2 = 0
)= 2
En este ejercicio el argumento no es x sino (3 x +
π
2
) , tendremos:
π
2
sen(3 x + ) =
2
2
luego: 3 x +
π π
π 3π
= + 2kπ (k ∈ Z) (1) o 3 x + =
+ 2kπ
2 4
2
4
(k ∈ Z) (2)
De (1) resulta que:
3x =
π π
− + 2kπ ;
4 2
3x = −
π
π 2kπ
(k ∈ Z)
+ 2kπ , x = −
+
4
12
3
De (2) resulta que:
3x =
3π π
− + 2kπ ;
4 2
3x =
π
π 2kπ
(k ∈ Z)
+ 2kπ , x =
+
12
3
4
−
π 2kπ
(k ∈ Z)
+
12
3
S=
π 2kπ
+
12
3
Ejercicios propuestos:
1. Calcular utilizando tablas:
a) sen72 o
b) cos 21o 40'
c) cos 215 o
d) sen2 o
e) sen 2
2. Calcula:
a) cos 120 o
h) cos 60π
b) sen315 o
i) sen(60 o + k 360 o )
c) tan 210 o
j) sen17π
d) cos 3210 o
k) cos
23π
6
(k Є Z)
e) sen − 300 o
l) − sen(−1770 o )
3π
4
m) − cot(−585 o )
f) cot
g) − cos(−980 o )
n) cos(360 o − 135 o )
3. Traza, utilizando el semicírculo graduado, un ángulo:
a) α = 75 o
b) α = 120 o
c) α = −
π
6
d) α = 405 o
4. Simplifica:
a)
b)
[
tan(π − α )
⋅ cos(π − α )
2
sen(π + α )
]
tan(180 o − x) cot(180 o + x) tan(− x)
⋅
⋅
tan(180 o + x) cot(180 o − x) cot x
cos 2 0 + sen 5π + tan(90 o − 30 o )
6
c)
o
sen(−2370 ) + cos(2π − π )
6
5. Probar que las igualdades siguientes no son identidades:
a) sen 2 x − cos 2 x = 1
b) sen 2 x ⋅ cos 2 x = 1
c) tan 2 x + cot 2 x = 1
d) cos 2 x = 1 + sen 2 x
e)
1 − cos x
sen x
+
=0
sen x
1 + cos x
f) sen 2x − cos x + 1 = 0
Nota: Para indicar la potencia de una razón trigonométrica se expresa el
exponente sobre la abreviatura de la razón y no sobre el argumento, así
escribiremos sen 2 x y no sen x 2 , que no es lo mismo, por ejemplo, si x = 30 o ,
1
1
entonces: sen 2 30 o = ( ) 2 = y sen (30 o ) 2 = sen 900 o = sen 180 o = 0 .
2
4
6. Dí si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica.
a) sen x = π
b) x o =
π
es una solución de la ecuación 2 cos 2 x − sen x = 1
3
c) 2 cos 2 x − sen x = 1 cualquiera sea x.
d) El valor máximo de la expresión sen x + cos x es 2
e) La igualdad cos 2 x = 1 + sen 2 x es una identidad trigonométrica.
f) Una solución de la ecuación
cos 2 x
1
4π
+
+ cot x = 0 es x =
3
sen x sen x
g) No existen ángulos de amplitud x para los cuales sen x = cos x
π
h) sen ( π − x ) = cos( − α )
2
7. Determina si existe un ángulo θ para el cual:
a) sen θ =
1
5
y cos θ =
3
3
1
1
y
=2
2 cos θ
b) tan θ =
8. Resuelve las ecuaciones siguientes:
b) cos x = 1,23
(0
(0
c) sen x + 1 = 0
(x ∈ R)
a) tan x = 2,44
)
o
≤ x ≤ 90 o
o
≤ x ≤ 360 o
π
d) 2 cos(5 x − ) − 1 = 0
8
)
(x ∈ R)
9. Demuestra que para todos los valores admisibles de las variables se cumple:
a) m cos(
b) sen (
π
π
2
2
− x) ⋅ sen(
π
2
− x) = msenx ⋅ cos x
− x) ⋅ sen(π + x) + sen(− x) cos(π − x) = 0
10.
a) Calcula k = cos 2 x − sen 2 x , si se conoce que tan x = −1
b) Halla el valor de la fracción
1
y senx〈 0 .
3
senα
5
si tan α = −
y senα 〉 0
1 + cos α
12
c) Calcula A si:
A=
4sen 2135 o + 5 cos( −
2 tan 2 870 o
c) Comprueba que:
4π
)
3 − cot( − 41π
4
6 cos 315 o + tan( −240 o )
=3− 6
4sen135 o + 2 cos( −2460 o )
11. Sea la ecuación cuadrática en x: (2 cos α − 1) x 2 − 2 x + cos α = 0
a) ¿Para qué valores de α la ecuación dada tiene una solución o raíz?
b) Da tres valores para α de modo que la ecuación carezca de solución en R.
12. Calcula el valor numérico de las expresiones siguientes para los valores dados
de las variables:
a) m 2 − pq
(
b)
sen 3 x + cos 3 x
sen x
π

x = 
3

c)
2 cos 2 135 o + cos 0 o
a2 − b2
( a = cos 2
π
, b = tan( −3375 o ) )
6
13. El triángulo ABC es isósceles de base AB, ∠ C =
a) sen
)
( m = cos 135 , n = cos 300 o , q = cot − 225 o y p = tan 405 o )
2π
. Comprueba que:
3
A
B +C
= cos(
)
2
2
b) Demuestra que para cualquier triángulo ABC se cumple la identidad anterior.
14. La rueda de una bicicleta de rastreo tiene 40 cm de diámetro y la trasera 6,0
dm. ¿Qué ángulo, en radianes, gira la rueda trasera, si la delantera gira 15
radianes?
15. ¿Cuál es la medida en radianes del ángulo más pequeño que forman las
manecillas del reloj a la 1:30 p.m.? Expresa la respuesta exactamente en términos
de π.
16. Fundamenta las desigualdades siguientes, mediante un contraejemplo:
a) sen 2 x ≠ 2 senx
b) cos 2 x ≠ cos
x
2
c) sen( x − y ) ≠ senx − seny
17. Si x =
π
6
y y=−
25π
, verifica que se cumplen las desigualdades:
6
a) sen 2 x = 2 senx cos x
b) cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x
c) sen( x − y ) = senx cos y − seny cos x
18. En un sistema de ejes coordenadas rectangulares del plano, se representan
los puntos A (4; 0) y P (-10; 24). Denotemos por α, al ángulo AOP, donde O es el
origen de coordenadas. Calcular:
π

sen − α  ⋅ sen (π + α )
2

tan( −α ) ⋅ cot(2π − α )
19. Indaga cómo Erastótenes (275-194 a.n.e.), el cual fue durante un largo período
bibliotecario de la famosa Universidad griega de Alejandría, pudo calcular la
longitud de la circunferencia de la Tierra. Compara el resultado que obtuvo este
científico con el actual, obtenido mediante métodos más precisos y valora el grado
de aproximación del método utilizado por Erastótenes.
20. Dada la igualdad:
74 senα + k tan α = 0
Calcula k si cot α 〈 0 y cos α = −
12
37
21. Calcula:
π
π
2sen( π − ) + 2 cos( − )
6
4
a)
301π
tan
3
b) x si se conoce que 2sen 2 x = 3 ⋅ tan 225 o
22. (*) Sea el triángulo ABC, rectángulo en C y cuyos ángulos son α y β, tales que
sen2α = cos 3α . Calcula la amplitud de α y β.
1.3. Identidades y ecuaciones trigonométricas
En el epígrafe anterior vimos la definición de identidad y ecuación trigonométrica,
se demostraron algunas identidades trigonométricas y se resolvieron también
ecuaciones trigonométricas sencillas aplicando el uso de las tablas trigonométricas
y
las
fórmulas
de
reducción.
Ahora
sistematizaremos
este
trabajo
y
profundizaremos presentando algunas identidades fundamentales o básicas que
serán aplicadas en la demostración de otras identidades trigonométricas más
complejas y en la resolución de ecuaciones trigonométricas con un mayor grado
de complicación. Son diversas la aplicaciones de las ecuaciones e identidades
trigonométricas en el campo de la ciencia y la técnica, pues la física y la ingeniería
no pudieran estudiarse sin su conocimiento, muchas fórmulas de estas ramas del
conocimiento humano son ecuaciones trigonométricas.
Identidades básicas o fundamentales
Teorema:
Para cualquier ángulo de amplitud x real, con las restricciones necesarias en cada
caso, se cumple que:
a) sen 2 x + cos 2 x = 1
b) tan x =
senx
cos x
π

 x ≠ (2k + 1) 
2

c) cot x =
cos x
senx
( x ≠ kπ ) ;
(k ∈ Z)
d) 1 + tan 2 x =
1
cos 2 x
π

 x ≠ (2k + 1) 
2

e) 1 + cot 2 x =
1
sen 2 x
( x ≠ kπ )
Demostración:
Sea un ángulo α cualquiera, de amplitud x, en un sistema de coordenadas
rectangulares y en su posición estándar o típica:
a) senα = senx =
cos α = cos x =
y
(definición de seno)
r
x
(definición de coseno)
r
y2
Entonces: sen x = 2
r
2
(1)
Elevando ambos miembros al cuadrado
cos 2 y =
x2
r2
(2)
Sumando ordenadamente las igualdades 1 y 2, resulta:
sen 2 x + cos 2 x =
y 2 x2 y 2 + x2
,
+
=
r2 r2
r2
pero es conocido que x 2 + y 2 = y 2 + x 2 = r 2 , luego:
sen 2 x + cos 2 x =
r2
= 1. Como queríamos demostrar.
r2
A manera de ejercicio demuestra las relaciones b), c), d) y e) restantes.
Aplicaremos ahora estas identidades en la “demostración” de identidades más
compleja, utilizamos la palabra demostración para no romper con la norma de la
totalidad de los textos de matemática, realmente debe decirse comprobación de
identidades toda vez que no constituye una demostración formal en el sentido de
la Lógica Matemática.
Para demostrar identidades debe tener en cuenta las indicaciones de carácter
algoritmo siguiente, aunque debemos aclarar que no existen reglas generales.
1. Se establece el dominio de la identidad, esto garantiza conocer para qué
valores de la variable o las variables se verifica la identidad; en general esta
tarea no es fácil, en ocasiones es más difícil que demostrar la identidad, en el
texto del ejercicio esta dificultad se salva aclarando demostrar la identidad para
todos los valores admisibles de la variable o variables.
2. Se elige un miembro (generalmente el más complejo) y utilizando las
identidades básicas y mediante sustituciones y transformaciones algebraicas
se transforma en el otro miembro, muchos alumnos no llegan a demostrar la
identidad por tener dificultades en el trabajo con variables
(A → B o B → A).
3. Se invierten los pasos dados en 2, es necesario comprobar que los pasos
anteriores son reversibles, si en algunos pasos se introducen valores
inadmisibles no pueden estar en el dominio de la identidad.
4. En ocasiones no es fácil la transformación A → B o B → A, y se procede a
transformar A en otra expresión C y al otro miembro B a la misma expresión C,
o sea A →
C
o B → C, resultando evidentemente A → B, que es la
demostración de la identidad.
5. Lo más general es trabajar en función de senos y cosenos, pero a veces otras
transformaciones pueden resultar más apropiada.
Existe la idea muy generalizada que en las identidades no se pueden transponer
términos pero esto es falso ya que A = B es equivalente a A – B = 0, sin embargo
no es habitual transponer términos.
Ejercicios resueltos:
1. Demuestra que las siguientes igualdades se cumplen para todos los valores
admisibles de la variable:
a)
cos 2 x
= 1 + senx
1 − senx
b) (tan x ⋅ cos x ) 2 + (cot x ⋅ senx ) 2 − cos 2 x = sen 2 x
c)
senx + cos x ⋅ tan x
= 2 tan x
cos x
d)
2 cos 2 x − senx + 1
= 3 cos x
cos x
e) (senx + 2 cos x ) 2 + (2senx − cos x ) 2 = 5
f)
sen 2 x − senx + cos 2 x
senx
=
senx
1 + cos x
Solución:
cos 2 x
a)
= 1 + senx
1 − senx
tomemos el primer miembro, o sea,
cos 2 x
, el mismo debe ser transformado en
1 − senx
el segundo, o sea, 1+ senx .
=
cos 2 x
1 − senx
=
1 − sen 2 x
1 − sen 2 x
=
(1 + senx )(1 − senx )
1 − senx
= 1+ senx
(Sustituyendo cos 2 x = 1 − sen 2 x )
(Descomponiendo la diferencia de cuadrados)
(Simplificando la fracción)
b) (tan x ⋅ cos x ) 2 + (cot x ⋅ senx ) 2 − cos 2 x = sen 2 x
= (tan x ⋅ cos x ) 2 + (cot x ⋅ senx ) 2 − cos 2 x
=(
senx
cos x
⋅ cos x ) 2 + (
⋅ senx ) 2 − cos 2 x
cos x
senx
= sen 2 x + cos 2 x − cos 2 x
= sen 2 x
c)
senx + cos x ⋅ tan x
cos x
senx
cos x
y cot x =
)
cos x
senx
(Simplificando y elevando al cuadrado)
(Reduciendo términos semejantes)
senx + cos x ⋅ tan x
= 2 tan x
cos x
( tan x =
=
senx + cos x ⋅
senx
cos x
cos x
=
senx + senx
cos x
=
2senx
cos x
= 2 tan x
d)
( tan x =
senx
)
cos x
(Simplificando)
(Reduciendo términos semejantes)
(
senx
= tan x )
cos x
2 cos 2 x − sen 2 x + 1
= 3 cos x
cos x
=
2 cos 2 x − sen 2 x + 1
cos x
=
2 cos 2 x − (1 − cos 2 x) + 1
cos x
2 cos 2 x − 1 + cos 2 x + 1
=
cos x
=
3 cos 2 x
cos x
= 3 cos x
( sen 2 x = 1 − cos 2 x )
(Eliminando el paréntesis)
(Reduciendo términos semejantes)
(Simplificando)
e) ( senx + 2 cos x) 2 + (2 senx − cos x) 2 = 5
( senx + 2 cos x) 2 + (2senx − cos x) 2
= sen 2 x + 4 senx cos x + 4 cos 2 x + 4 sen 2 x − 4 senx cos x + cos 2 x
cuadrados)
f)
= 5sen 2 x + 5 cos 2 x
(Reduciendo términos semejantes)
= 5( sen 2 x + cos 2 x)
(Sacando factor común)
= 5.
( sen 2 x + cos 2 x = 1)
cos 2 x − cos x + sen 2 x
senx
=
senx
1 + cos x
=
cos 2 x − cos x + sen 2 x
senx
(Desarrollando
los
=
1 − cos x
senx
( sen 2 x + cos 2 x = 1 )
Como el segundo miembro es
senx
, esto sugiere que debemos multiplicar
1 + cos x
ambos componentes de la fracción anterior por 1 + cos x :
1 − cos x 1 + cos x
1 − cos 2 x
sen 2 x
senx
⋅
=
=
=
senx 1 + cos x senx(1 + cos x) senx(1 + cos x) 1 + cos x
x = cos 2 θ − sen 2θ (1)
2. Si
y = 2senθ cos θ
(2)
Demuestra que x 2 + y 2 = 1
Solución:
x 2 = (cos 2 θ − sen 2θ ) 2
Elevando al cuadrado ambos miembros de (1)
y 2 = (2 senθ cos θ ) 2
Elevando al cuadrado ambos miembros de (2)
Sumando ordenadamente y calculando los cuadrados:
x 2 + y 2 = cos 4 θ − 2 sen 2θ cos 2 θ + sen 4θ + 4 sen 2θ cos 2 θ
x 2 + y 2 = cos 4 θ + 2sen 2θ cos 2 θ + sen 4θ
x 2 + y 2 = (cos 2 θ + sen 2θ ) 2
Reduciendo términos semejantes
Descomponiendo
en
cuadrado perfecto
x 2 + y 2 = 12 = 1
( sen 2 x + cos 2 x = 1 )
3. Expresa en función de sen a la expresión:
E = sena cos 2 a +
tan a
cot a
−
cos a sena cos a
Solución:
E = sena(1 − sen 2 a ) +
E = sena − sen 3 a +
sena
1
cos a
1
⋅
−
⋅
cos a cos a sena sena cos a
sena cos a
1
−
⋅
2
cos a sena sena cos a
E = sena − sen 3 a +
sena
1
−
2
1 − sen a sen 2 a
factores
el
trinomio
E=
sen 3 a (1 − sen 4 a )
sen 2 a(1 − sen 2 a )
4. Demuestra que para todos los valores admisibles se cumple que:
senα
1 + cos α
2
+
=
1 + cos α
senα
senα
Tomando el miembro de la izquierda:
=
senα
1 + cos α
+
1 + cos α
senα
=
sen 2α + (1 + cos α )(1 + cos α )
senα (1 + cos α )
=
sen 2α + (1 + cos α ) 2
senα (1 + cos α )
=
sen 2α + 1 + 2 cos α + cos 2 α
senα (1 + cos α )
=
( sen 2α + cos 2 α ) + 1 + 2 cos α
senα (1 + cos α )
=
1 + 1 + 2 cos α
senα (1 + cos α )
=
2(1 + cos α )
2
=
senα (1 + cos α ) senα
5. Dados A =
cd: senα (1 + cos α ) ( senα ≠ −1 )
(Adicionando las fracciones)
1
⋅ cos(−2400 o ) y B = 1 + tan 2 x
7π
sen
6
a) Calcula el valor de A.
b) Demuestre que para todos los valores posibles de la variable se cumple:
B+
1
1
=
2
sen x senx cos x
Solución:
a) A =
1
π
− sen
6
⋅ (cos 2400 o ) =
(
)
1
1
⋅ cos 240 o = −2 − cos 60 o = −2( − ) = 1
1
2
−
2
1
=
sen 2 x
b)
(1 + tan 2 x ) +
=
sen 2 x + cos 2 x
sen 2 x cos 2 x
=
1
sen x cos 2 x
=
1
(1 + tan 2 x =
1
)
cos 2 x
( sen 2 x + cos 2 x = 1)
2
sen 2 x cos 2 x
1
1
+
2
cos x sen 2 x
=
1
senx cos x
6. Resolver las ecuaciones siguientes:
a) 2sen 2 x = 11senx + 6
b) cos 2 x − 2senx + 2 = 0
Solución:
a) 2 sen 2 x = 11senx + 6
Hasta el momento solo habíamos resuelto ecuaciones con una sola razón
trigonométrica de la forma af ( x) − t = 0 con a ≠ 0 y donde f (x) es una razón
trigonométrica y t ∈ R. En esta ecuación trigonométrica puede considerarse como
variable sen x y estamos en presencia de una ecuación cuadrática; como en
álgebra:
2sen 2 x − 11senx − 6 = 0
(2 senx + 1)(senx − 6) = 0
(Descomponiendo en factores)
2senx + 1 = 0
III Q
senx = −
(180o + α)
1
2
Fórmula de reducción
IV Q
(360o – α)
Ángulo base o de referencia α: El ángulo del primer cuadrante cuyo seno es
1
(α = 30 o ) , entonces x1 = 180o + 30o = 210o y x2 = 360o - 30o = 330o
2
Por otra parte senx − 6 = 0 ; senx = 6 , lo cual es imposible o absurdo ya que
senx ≤ 1 .
210o + k 360o
Luego el conjunto solución es
(k Є Z)
S=
330o + k 360o
b) cos 2 x − 2senx + 2 = 0
En esta ecuación tenemos dos razones trigonométricas (coseno y seno) con el
mismo argumento, debemos transformarla en una ecuación con una sola razón
trigonométrica con el mismo argumento.
Para ello, como sen 2 x + cos 2 x = 1 , resulta que:
cos 2 x = 1 − sen 2 x .
Sustituyendo en la ecuación resulta:
1 − sen 2 x − 2 senx + 2 = 0
− sen 2 x − 2 senx + 3 = 0
Reduciendo términos semejantes:
sen 2 x + 2 senx − 3 = 0
Multiplicando por (-1)
( senx + 3)(senx − 1) = 0
Descomponiendo en factores
senx + 3 = 0 ; senx = −3 (imposible)
senx − 1 = 0 ; senx = 1 , luego: x =
π
2
.
El conjunto solución de la ecuación es:
S ={x | x =
π
+ 2kπ; k ∈ Z}
2
7. Sean:
f ( x) =
1 + x2 ,
4
a) Calcula p (−
g ( x) = x −
1
y h( x) = cos x
2
23π
) si p = foh
6
b) Resuelve la ecuación:
p ( x) + g −1 ( senx) = 0
Solución:
(0 ≤ x〈 2π )
Es fácil darse cuenta que la ecuación h( x ) = cos x define una función, pues a
cada x ∈ R le corresponde su coseno (x → cos x), aunque hemos antecedido al
estudio de las funciones trigonométricas la resolución de ecuaciones
trigonométricas es natural dada la definición general de funciones componer
las funciones f y h.
a) p( x ) = (fog )( x ) = f (g ( x )) definición de compuesta.
p ( x ) = f (cos x)
1
+ cos 2 x
4
p( x) =
p(−
23π
)=
6
sustituyendo g ( x ) = cos x
(evaluando a f)
23π
1
+ cos 2 (−
)
4
6
Veamos:
cos(−
23π
23π
) = cos(
) ( cos( − x ) = cos x )
6
6
Hallamos el ángulo coterminal con
como
23π
〉 2π restamos 2π a esta amplitud:
6
23π
11π
− 2π =
6
6
cos(
23π
que pertenezca al intervalo [0, 2π],
6
Є IV Q, entonces:
23π
11π
π
π
3
) = cos
= cos(2π − ) = cos =
6
6
6
6
2
Luego:
p(−
23π
)=
6
1
3
+ ( )2 =
4
2
1 3
+ = 1 =1
4 4
b) p ( x) + g −1 ( senx) = 0 (0 ≤ x〈 2π )
Como g es una función lineal, g es inyectiva, y por lo tanto g-1 existe, hallamos
la ecuación de g-1 inversa de g:
g ( x) = x −
y = x−
1
2
1
2
x= y+
1
(despejando x)
2
y = x+
1
(cambio de variable)
2
g −1 ( x) = x +
1
2
g −1 ( senx) = senx +
1
2
(evaluando)
Entonces resulta la ecuación con radicales trigonométrica siguiente:
1
1
+ cos 2 x − ( senx + ) = 0
4
2
1
1
+ cos 2 x − senx − = 0
4
2
(1)
1
1
(aislando el radical)
+ cos 2 x = senx +
4
2
Elevando ambos miembros al cuadrado resulta:
1
1
+ cos 2 x = ( senx + ) 2
4
2
1
1
+ cos 2 x = sen 2 x + senx +
4
4
cos 2 x = sen 2 x + senx
1 − sen 2 x − sen 2 x − senx = 0
( cos 2 x = 1 − sen 2 x )
− 2 sen 2 x − senx + 1 = 0
2sen 2 x + senx − 1 = 0
(2 senx − 1)( senx + 1) = 0
senx =
1
o
2
senx = −1
π
6
x=
o
(x =3
π
2
)
5π
6
x1 =
π
x2 =
6
5π
6
y
x3 =
3π
2
Es necesario comprobar las soluciones, ya que elevamos ambos miembros de la
ecuación al cuadrado y pueden introducirse raíces extrañas.
Comprobación:
Consideremos la ecuación (1)
x1 =
π
6
M.D.: 0
1
π
1
+ cos 2 − senx −
4
6
2
M.I.:
1 3 1 1
+ − −
4 4 2 2
=
=1 −
1 1
−
2 2
M.D.: 0
Luego x1 =
5π
5π
es una solución análogamente sucede con x 2 =
.
6
6
Comprobemos para x3 =
3π
2
M.D.: 0
M.I.:
1
3π
3π 1
+ cos 2
− sen
−
4
2
2 2
=
1
1
+ (0 ) 2 − (0 ) −
4
2
=
1
1
+0 −0−
4
2
=
1 1
−
4 2
1 1
− =0
2 2
=
Luego x =
x3 =
3π
2
es también solución. Las soluciones son: x1 =
π
6
, x2 =
5π
6
y
3π
2
8. Sea f ( x) =
2 sen 3 x + sen 2 x ⋅ cot 2 x − 5senx − 3
senx + 1
Determina los ceros de f.
Solución:
2sen 3 x + sen 2 x ⋅ cot 2 x − 5senx − 3 = 0
( senx + 1) ≠ 0 o sea
senx ≠ −1
cos 2 x
2sen x + sen x ⋅
− 5senx − 3 = 0
sen 2 x
3
2
2 sen 3 x + cos 2 x − 5senx − 3 = 0
senx = t
cos 2 x
)
sen 2 x
(cancelando)
(cos 2 x = 1 − sen 2 x)
2sen 3 x + 1 − sen 2 x − 5senx − 3 = 0
2sen 3 x − sen 2 x − 5senx − 2 = 0
(sustituyendo cot 2 x =
(reduciendo términos semejantes)
(cambio de variable)
2t 3 − t 2 − 5t − 2 = 0
(sustituyendo)
(t + 1)(2t + 1)(t − 2) = 0
(descomponiendo en factores aplicando la
regla de Ruffini)
senx = −1
indeterminación
imposible pues anula al denominador y se origina la
0
, también senx = 2 es imposible.
0
1
7π
11π
y x2 =
. Los ceros de f son los elementos del
senx = − , o sea: x1 =
2
6
6
conjunto:
7π
+ 2kπ
6
(k Є Z)
S=
11π
+ 2kπ
6
Ejercicios propuestos:
1. Demostrar las identidades siguientes para todos los valores admisibles de la
variable:
a) (1 − sen 2 x)(1 + tan 2 x) = 1
b) tan x ⋅ senx + cos x =
1
cos x
c) cos 2 x − sen 2 x = 2 cos 2 x − 1
d)
1 − tan 2 x
= 2 cos 2 x − 1
2
1 + tan x
e)
1 − cot 2 x
= 1 − 2 cos 2 x
2
1 + cot x
f) cos x −
cos 2 ( x − 90 o )
1
=
(*)
o
sen( x − 90 ) cos x
g) ( senx + cos x) 2 + ( senx − cos x) 2 = 2
senx
1
1
+
=
1 − cos x tan x senx
h)
i) 1 − tan 2 x =
2
1
cos 2 x
2
2
 1
  1

j) 
+ 1 + 
− 1 =
sen 2 x
 tan x   tan x 
k) ( senx cot x) 2 − (cos x tan x) 2 = 2 cos 2 x − 1
l)
(senx + cos y ) 2 + (cos x + seny )(cos x − seny ) = 2 cos y
senx + cos y
m)
senx
senx
+
= 2 cot x
1
1
+1
cos x
cos x − 1
n)
cos 2 x − sen 2 x + 2 cos x + 1
=2
cos 2 x + cos x
p)
cos 3 x − sen 3 x
= cos xsenx
1 + senx cos x
2. Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) senx = 0,1389
b) tan x − π = 0
c) cos x − 4,72 = 0
d) senx(tan x + 1) = 0
e) 2sen 2 x + senx = 1
f) sen 2 x + 5 cos x − 1 = 0
g) 3(1 − cos x) = sen 2 x
senx
= 3
sen(90 o − x)
h)
i) 2 cos(6 x + 10π ) − 3 = 0
j) sen 3 x − 3sen 2 x + 3senx − 1 = 0
k) 2 cos 3 x − 5sen 2 x + cos x + 3 = 0
l) cos 2 x − sen 2 x + 4sen 2 x − 2 = 2(cos x + 1) 2
m)
n)
2
= tan x + cot x
cos x
senx + 1 − 2 cos x = 0
3. Dadas las expresiones:
M = 3 tan 2 x + 5
y
N=
a) Evaluar M para tan x = −
7
cos 2 x
4π
3
b) ¿Para qué x Є [0, 2π] ambas expresiones alcanzan el mismo valor?
4. Halla el conjunto solución:
a) 1 − 2sen 2 x = −(1 + cos x)
b) cot 2 x −
3
+3= 0
senx
c) sen 2 2 x − sen2 x = 2
d)
2 senx(cos x − 1)
=1
sen x + ( senx + cos x) 2
2
e) cos 2 x − sen 2 x + 4sen 2 x − 2 = 2(cos x + 1) 2
5. Sea g ( x) = 2sen 2 x + 3 cos x , halla los valores de x Є R, para los cuales g ( x) = 0 .
6.
¿Qué
valores
de
θ
expresados
en
radianes
anula
al
producto
P = (tan θ − 1)( 3 cot θ + 1) ?
7. ¿Para qué x Є [0, 2π] está definida la expresión: E =
1
1
(4 cos x − 3)(
+ 2)
senx
?
2
π


8. Podríamos definir en el conjunto }  x x ≠ (2k + 1) ; k ∈ Z  una función mediante
2


la ecuación:
f ( x) = tan 2 x − ( 3 + 1) tan x + 3
Calcula los ceros de f.
9. Resuelve
la
ecuación
4senx = 3(1 − cos x ) utilizando
dos
procedimientos
diferentes.
10. Resolver:
a)
1
= 2(tan 2 x − 1)
cos 2 x
b) 2 cos 2 x − 1 − 3 cos x + sen 2 x = −2
1
cos x
2
c) 4(1 − cos x) = 3sen 2 x
d) cos 2 x − sen 2 x + sen 2 x =
e) 5 = 2 sen 2 x + 5 cos x
f) 1 − 2 sen 2 x + sen(90 o − x) = 0
g)
9
10 + cos x = 3 + 3 cos x
2
h) 4(cos 2 x + 2senx) + 1 = 0
i) 2 cos 2 x + 5senx + 1 = 0
11. Sean: f ( x) = 3(1 − cos 2 x) y g ( x ) = 10senx − 7
a) Calcula f (
23π
)
4
b) ¿Para qué x Є R f ( x) = g ( x) ?
12. Demuestra que:
a)
1 − cos x
senx
=
senx
1 + cos x
Establezca previamente el dominio de la identidad.
b)
(1 + cot x) sen 2 x + (1 + tan x) cos 2 x
=1
( senx + cos x) 2
13. Una solución de la ecuación
a) x =
π
2
b) x = π
cos x − sen 2 x
cos x
es:
= 6 tan x +
2 − senx
2
c) x = −π
d) ninguno de los valores
14. De las afirmaciones siguientes, dí cuáles son las verdaderas. Justifícalas.
a) La igualdad tan 2 x(cos 2 x + cot 2 x) − 1 = sen 2 x no es ninguna identidad.
b) El conjunto solución de la ecuación tan x +
c) x0 =
23π
es una solución de la ecuación
8
d) Si f ( x) = cos 2 x − sen 2 x , entonces f (
e) La expresión E =
2
= 1 es el vacío (Φ).
cos x
2sen 2 2 x + 8 − 3 = 0
37π
) = 0,25
6
1 + tan x 1 + cot x
se reduce a cero.
+
1 − tan x 1 − cot x
15. Resolver:
a)
cos 2 x − sen 2 x + senx − cos x
b)
3senx + cos x = 2
c)
4sen 2 x + 2 + 2 cos 2 x − 3 = 0
16. Sean:
f ( x) =
2 cos 2 x
,
cos 2 x − sen 2 x
g ( x) =
2 senx
cos x − senx
y
h( x ) =
k + 2 senx
cos 2 x − sen 2 x
π
a) Calcula k si h( ) = 3
6
b) Demuestra que para todos los valores admisibles de x se cumple que:
f ( x ) + g ( x ) = h( x )
c) ¿Existe x Є R tal que g ( x) = cos x ?
17. Sean: f ( x) = 2 x 2 ,
a) Calcula g (−
40π
)
3
g ( x) = 5 x + 1
y
h( x ) = cos x
b) Resolver la ecuación ( foh)( x ) + g ( senx) = 0
c) Evalúa g-1 en x =
10π
3
18. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
sen( x + y ) =
cos 2 x = −
2
2
1
2
para los valores de x y y entre 0o y 90o.
19. El caudal (corriente o flujo de agua) en la desembocadura del río Orinoco, en
Venezuela, se puede calcular, en forma aproximada, mediante la fórmula:
π

F (t ) = 26000sen  (t − 5,5) + 34000 , donde t es el tiempo en meses y F(t) es el
6

caudal en m3/s. ¿Durante aproximadamente cuántos meses del año el flujo de
agua supera a 55000 m3/s.
Nota: Usa la computadora.
20. La ecuación I = 100sen(30πt − 0,12) representa la intensidad I (en amperes) de
una corriente eléctrica alterna en el instante t. Calcula:
a) El valor de I para t = 0,05
b) El valor de t para I = 50 ampere
Nota: Usa la calculadora
Fórmulas del seno, coseno y tangente de la suma y diferencia de dos
ángulos
Sea f una función cualquiera y sus valores f ( x1 ) y f ( x 2 ) , donde x1 y x2 están en el
dominio de f y (x1 + x2) y (x1 – x2) también pertenecen al dominio de la función. Es
necesario prevenir al estudiante contra el error prevaleciente de suponer que se
cumplen las igualdades:
f ( x1 + x2 ) = f ( x1 ) + f ( x2 )
f ( x1 − x2 ) = f ( x1 ) − f ( x2 )
Así sen ( x + y ≠ sen x + sen y
cos( x − y ) ≠ cos x − cos y
El siguiente ejemplo numérico ilustrará esto:
Si x = 60o y y = 30o entonces x + y = 90o
De modo que: sen ( x + y ) = sen 90o = 1, pero
sen x + sen y = sen 60o + sen 30o
=
3 1
+
2
2
=
3 +1
2
≈ 1,37
lo que evidencia que:
sen ( x + y ) ≠ sen x + sen y .
También análogamente podríamos comprobar que:
cos ( x ± y ) ≠ cos x ± cos y
y
tan ( x ± y ) ≠ tan x ± tan y
Teorema:
Sean x y y las amplitudes de dos ángulos cualesquiera, para todos los valores
admisibles de las variables se cumple:
a) sen ( x + y ) = sen x cos y + cos x sen y
b) sen ( x − y ) = sen x cos y − cos x sen y
c) cos( x + y ) = cos x cos y − sen x sen y
d) cos( x − y ) = cos x cos y + sen xsen y
e) tan ( x + y ) =
f) tan ( x − y ) =
tan x + tan y
1 − tan x tan y
tan x − tan y
1 + tan x tan y
Estas identidades se conocen con el nombre de Fórmulas de adición.
A continuación presentamos una justificación geométrica de las identidades a) y
c), en el caso en que los ángulos y su suma sean ángulos agudos, una
demostración formal, podrá se estudiada una vez que se estudie el capítulo o
unidad 3 del tabloide, y que aparece en el texto Fundamentos de Matemáticas
Preuniversitarias de Allendoserfor Carl B. y Oakley Cletus O. páginas 352 a la 354.
Supongamos que ∠ LOM = x y ∠ MON = y; entonces ∠ LON = x + y.
Tomemos un punto P de la semirrecta ON y tracemos PQ y PR perpendiculares a
OL y OM respectivamente; tracemos también RS y RT perpendiculares a OL y
PQ respectivamente.
En el triángulo QOP rectángulo en Q:
sen ( x + y ) =
PQ
(definición de seno)
OP
=
TQ + TR
(suma de segmentos)
OP
=
RS + TP
( TQ = RS , lados opuestos del rectángulo QSRT)
OP
=
RS TP
(propiedad distributiva de la división)
+
OP OP
=
RS OR PT PR  OR
PR

⋅
+
⋅
=1y
= 1 (*)

OR OP PR OP  OR
PR

Pero en el triángulo ROS rectángulo en S resulta que sen x =
RS
por definición
OR
de seno y en el triángulo PTR rectángulo en T se tiene que:
cos ∠TPR =
PT
pero los ángulos ROL = x y TPR son iguales por ser ángulos
PR
agudos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares, entonces:
cos x =
PT
. Por otra parte en el triángulo ROP, rectángulo en R se tiene que
PR
cos y =
OR
PR
y seny =
. Si sustituimos en la igualdad anterior señalada con un
OP
OP
asterisco (*), resulta que:
sen ( x + y ) = sen x cos y + cos xsen y
Daremos ahora una justificación geométrica de la identidad c) la que
expresaremos de forma más concisa:
cos ( x + y ) =
OQ OS − TR OS TR OS OR TR PR
=
=
−
=
⋅
−
⋅
OP
OP
OP OP OR OP PR OP
= cos x cos y − sen ∠TPR ⋅ sen y
= cos x cos y − sen xsen y
El alumno deberá justificar cada uno de los pasos dados anteriormente.
Hemos “demostrado” que:
sen( x + y ) = sen x cos y + cos xseny a)
y que cos( x + y ) = cos x cos y − sen xsen y c)
Si en a) y c) sustituimos y por –y resulta que:
sen ( x − y ) = sen x cos(− y ) + cos xsen ( − y )
y cos( x − y ) = cos x cos( − y ) − sen xsen ( − y )
Pero como sen ( − y ) = −sen y y cos(− y ) = cos y , resultan que las identidades b) y
d), o sea: sen ( x − y ) = sen x cos y − cos xseny
cos( x − y ) = cos x cos y + sen xsen y
Las demostraciones de las identidades e) y f) el alumno las estudiará de forma
independiente.
Podremos ahora de forma más breve presentar las llamadas fórmulas de adición.
sen ( x ± y ) = sen x cos y ± cos xsen y
cos( x ± y ) = cos x cos y ± sen xsen y
tan( x ± y ) =
tan x ± tan y
1 ± tan x tan y
Aplicaremos ahora las fórmulas de adición en la demostración de identidades y
resolución de ecuaciones:
Ejemplos resueltos:
1. Sin el empleo de tablas trigonométricas, calcula:
sen75 o ,
cos 75 o
y
tan 15 o
Solución:
Calculando sen75 o
75 o = 30 o + 45 o , luego sen75 o = sen(30 o + 45 o ) , luego, aplicando la fórmula de
adición correspondiente resulta que:
sen75 o = sen(30 o + 45 o ) = sen30 o ⋅ cos 45 o + cos 30 o ⋅ sen45 o
Sustituyendo los valores notables:
sen75 o =
≈
1 2
3 2
2
6
⋅
+
⋅
=
+
=
2 2
2 2
4
4
2+ 6
4
1,41 + 2,45
≈ 0,965
4
Al buscar sen75 o en la tabla (con tres cifras decimales) encontramos
aproximando sen75 o = 0,966 o sea, el error es e = 0,966 − 0,965 = 0,001 , menor
que una milésima.
Calculemos ahora el cos 75 o
75 o = 45 o + 30 o , luego cos 75 o = cos(45 o + 30 o ) , aplicando la fórmula de adición
correspondiente resulta:
cos 75 o = cos(45 o + 30 o ) = cos 45 o cos 30 o − sen45 o sen30 o
sustituyendo los valores notables
cos 75 =
≈
2 3
2 1
6
2
⋅
−
⋅ ==
−
=
2 2
2 2
4
4
6− 2
4
2,45 − 1,41
≈ 0,260
4
En la tabla cos 75 o ≈ 0,259 (aproximando a 3 cifras decimales), el error es
e = 0,259 − 0,260 = 0,001 .
Calculando tan 15 o
15 o = 60 o − 45 o , luego tan 15 o = tan(60 o − 45 o ) , aplicando la fórmula de adición
correspondiente tenemos:
tan 15 o = tan(60 o − 45 o ) =
tan 60 o − tan 45 o
1 + tan 60 o tan 45 o
sustituyendo los valores notables:
tan 15° =
3 −1
3 −1
=
=
1+ 3 ⋅1 1+ 3
3 −1
3 +1
Racionalizando para obtener así una mejor aproximación
tan 15o =
3 −1 3 −1
(multiplicando el numerador y el denominador por la
⋅
3 +1 3 −1
conjugada del denominador.)
tan15 o =
( 3 − 1) 2 3 − 2 3 + 1 4 − 2 3
=
=
= 2− 3
3 −1
2
( 3 ) 2 12
tan 15 o ≈ 2 − 1,73 ≈ 0,270
Buscando en las tablas trigonométricas se obtiene que tan 15 o ≈ 0,268
(aproximando a tres cifras decimales).
El error es e = 0,270 − 0,268 = 0,002 , aunque permisible es mayor que en los
ceros anteriores por la complejidad del cálculo.
2. Demuestra que las igualdades siguiente se cumplen para todos los valores
admisibles de las variables:
a) tan α + tan β =
b) cos
sen(α + β )
cos α cos β
x
x
3x
3x
2x
⋅ cos − sen ⋅ sen
= cos
15
5
15
5
3
Soluciones:
a) tan α + tan β =
sen(α + β )
cos α cos β
Partiendo del segundo miembro:
sen(α + β ) senα cos β + cos αsenβ
(fórmula de adición)
=
cos αsenβ
cos α cos β
=
senα cos β cos αsenβ
+
cos α cos β cos α cos β
(aplicando la ley de distribución de la división
respecto a la suma)
=
senα senβ
+
(simplificando)
cos α cos β
tan α + cot β (L.Q.Q.D.)
Pudiéramos haber partido también del primer miembro:
tan α + tan β =
senα senβ
(definición de tangente de un ángulo)
+
cos α cos β
=
senα cos β + cos αsenβ
(calculando la adición)
cos α cos β
=
sen(α + β )
(aplicando de atrás hacia delante la fórmula de adición
cos α cos β
correspondiente)
b) cos
x
3x
x
3x
2x
⋅ cos − sen ⋅ sen
= cos
15
5
15
5
3
Podrás observar que el primer miembro es de la forma cos α cos β − senαsenβ
con α =
x
3x
y β=
y esta expresión es igual a cos(α + β ) , esto sugiere partir
15
5
de este miembro para ver si α + β =
cos
2x
y probar la identidad.
3
x
3x
x
3x
⋅ cos − sen ⋅ sen
15
5
15
5
x 3x
= cos( + ) (coseno de la adición de dos ángulos)
15 5
= cos(
x + 9x
) (efectuando la adición)
15
= cos
10 x
(Reduciendo términos semejantes)
15
= cos
2x
(simplificando el argumento)
3
Queda demostrada la identidad.
3. Sean f ( x) = senx
y
g ( x ) = cos x
Halla los valores de t ∈ R para los cuales se cumple que:
f (t +
π
6
) + g (t +
π
3
) = 1 + g (2t )
Solución:
Se tiene f (t +
π
6
) + g (t +
π
3
) = 1 + g (2t )
Evaluando las funciones resulta:
sen(t +
π
6
) + cos(t +
π
3
) = 1 + cos 2t
Se ha obtenido una ecuación trigonométrica de variable t, que desempeña el
mismo rol que la variable x.
(sent ⋅ cos
(
)
π
π
π
π
+ cos tsen ) + (cos t cos − sentsen ) = 1 + 2 cos 2 t − 1
6
6
3
3
Hemos aplicado las fórmulas de adición correspondientes al seno de la suma y
el coseno de la suma de dos ángulos y además se ha sustituido cos 2t por
2 cos 2 t − 1 .
3
1
1
3
sent + cos t + cos t −
sent = 2 cos 2 t (sustituyendo los valores notables y
2
2
2
2
simplificando el segundo miembro)
cos t = 2 cos 2 t (cancelando opuestos y reduciendo los términos semejantes)
2 cos 2 t − cos t = 0 (transponiendo)
cos t (2 cos t − 1) = 0 (factor común)
cos t = 0 ; t = (2k + 1)
2 cos t − 1 = 0 ;
π
2
π
(k Є Z)
cos t =
1
;
2
3
+ 2kπ (k ∈ Z )
t=
5π
+ 2kπ
3
La igualdad se cumple para todo t ∈ S,
siendo S =
(2kπ )
π
3
π
2
;k ∈ Z
+ 2kπ
5π
+ 2kπ
3
4. Sea la ecuación y = mx + n , define la denominada función lineal que ya
conoces y cuya representación gráfica es una línea recta r, el número m real
se denomina pendiente de r, el ángulo α que forma r con el eje x se denomina
ángulo de inclinación de la recta, el valor de la pendiente m es igual a la
tangente trigonométrica de α, o sea, m = tan α .
Si dos rectas r1 y r2 de pendientes m1 y m2 se intersecan en un punto C, se
denomina ángulo θ de intersección entre r1 y r2 al ángulo agudo entre ellas.
a) Demuestra que tan θ =
m 2 −m 1
1 + m1m 2
b) Determina qué ángulo forman las rectas de ecuaciones y = 3 x − 4
y = x + 7 al cortarse.
Solución:
a) Expresemos el ángulo θ entre r1 y r2, en términos de α1 y α2
α 2 = α 1 + θ (Propiedad del ángulo exterior de ∆ABC)
y
θ = α 2 − α 1 (despejando θ)
Si conocemos la tangente de θ podemos determinar su amplitud, luego:
tan θ = tan( α 2 − α1 )
tan θ =
tan α 2 − tan α1
(fórmula de adición)
1 + tan α 2 tan α 1
tan θ =
m2 − m1
( m1 = tanα 1 y m2 = tanα 2 )
1 + m1m2
Queda, pues, probada la relación.
b) Debemos hallar el ángulo que se forma al cortarse dos rectas de ecuaciones
y = 3 x − 4 y y = x + 7 , para ello podemos utilizar la relación anterior, solo
que como este ángulo es agudo tomaremos siempre, m2 > m1
para
garantizar que tanθ sea positiva, o en caso contrario escribir la fórmula con
el signo de valor absoluto o sea:
tan θ =
m2 − m1
, si tomamos m1 = 1 y m2 = 3 es innecesario las barras:
1 + m1m2
tan θ =
3 −1
2 1
= = = 0,500
1+ 3 ⋅1 4 2
Haciendo uso de las tablas trigonométricas, resulta que θ ≈ 26,6 o .
Fórmulas del seno, coseno y tangente del ángulo duplo
Sea x la amplitud de un ángulo cualquiera, obtendremos ahora las fórmulas para
hallar el seno, coseno y tangente del ángulo duplo cuya amplitud es 2x. Al igual
que sucede con las fórmulas de adición, la intuición falla aquí, pues se pudiera
pensar por ejemplo que sen 2x = 2 sen x , es decir, si x = 45 o , 2 x = 90 o y
sen 90 o = 1 pero no es igual a 2 sen 45° = 2
2
= 2
2
Sabemos que:
sen ( x + y ) = sen x cos x + cos xsen y
Si x = y , entonces:
sen ( x + y ) = sen 2x = sen x cos x + cos xsen x
= 2 sen x cos x
Luego: sen 2 x = 2 senx cos x
Análogamente:
cos( x + y ) = cos x cos y − senxseny
pero si x = y entonces:
cos( x + x) = cos 2 x = cos x cos x − senxsenx
= cos 2 x − sen 2 x
o sea: cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x
En ocasiones conviene expresar cos 2 x con la función del seno o coseno
solamente,
vemos
cómo
cos 2 x = 1 − sen 2 x ,
cos 2 x = 1 − sen 2 x − sen 2 x = 1 − 2 sen 2 x ,
por
otra
podemos
parte
como
escribir
que
sen 2 x = 1 − cos 2 x ,
tenemos que cos 2 x = cos 2 x − (1 − cos 2 x) = cos 2 x − 1 + cos 2 x = 2 cos 2 x − 1 .
Por último obtengamos la tangente del ángulo duplo:
tan( x + y ) =
tan x + tan y
1 − tan x tan y
Si x = y resulta:
tan( x + y ) = tan 2 x =
tan x + tan y
2 tan x
=
1 − tan x tan x 1 − tan 2 x
Resumamos las funciones trigonométricas del ángulo duplo:
sen 2 x = 2 senx cos x
cos 2 x − sen 2 x
cos 2 x =
1 − 2 sen 2 x
2 cos 2 x − 1
tan 2 x =
2 tan x
1 − tan 2 x
Nota importante:
Merece hacer un importante comentario sobre el contenido que expresan las
identidades trigonométricas básicas, por ejemplo, sabemos que sen 2 x + cos 2 x = 1
expresa que la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo es igual
a 1, escribiremos por tanto sen 2
x
x
+ cos 2 = 1 , sen 2 2 x + cos 2 2 x = 1 .
3
3
Análogamente el significado de la identidad trigonométrica sen 2 x = 2 senx cos x es el
siguiente:
El seno de un ángulo es igual al duplo del producto del seno de la mitad de este
ángulo y el coseno del mismo. Esta interpretación nos permite escribir identidades
como las siguientes:
x
x
senx = 2sen cos ;
2
2
senx = 2sen
sen4 x = 2 sen2 x cos 2 x ;
nx
nx
⋅ cos
2
2
sen 20 x = 2 sen10 x cos10 x . En general
(n ∈ R; x ∈ R).
Ahora aplicaremos las fórmulas del ángulo duplo, en la demostración de
identidades y resolución de ecuaciones trigonométricas.
Ejercicios resueltos:
1. Demostrar que se cumplen las siguientes igualdades para todos los valores
admisibles:
a) tan 2 x(1 + cos 2 x) + sen 2 x cot x = 2
b)
cos( w + 2 x ) + cos( w − 2 x) cot x − tan x
=
sen( w + 2 x ) − sen( w − 2 x )
2
Solución:
a) tan 2 x(1 + cos 2 x) + sen 2 x cot x = 2
Tomemos el primer miembro:
tan 2 x (1 + cos 2 x) + sen2 x cot x
sen 2 x
cos x
(1 + 2 cos 2 x − 1) + 2 senx cos x ⋅
2
senx
cos x
( tan x =
senx
,
cos x
cos 2 x = 2 cos 2 x − 1 , esta es la más conveniente de las identidades del
coseno del ángulo duplo, ya que 1 y -1 se cancelan, sen 2 x = 2 senx cos x y
cot x =
cos x
)
senx
=
sen 2 x
⋅ 2 cos 2 x + 2 cos 2 x (simplificando)
cos 2 x
= 2 sen 2 x + 2 cos 2 x = 2( sen 2 x + cos 2 x) = 2 ⋅ 1 = 2
(sacando factor común 2 y
teniendo en cuenta la identidad sen 2 x + cos 2 x = 1 )
b)
cos( w + 2 x) + cos( w − 2 x) cot x − tan x
=
sen( w + 2 x) − sen( w − 2 x)
2
Tomando el primer miembro:
cos( w + 2 x) + cos( w − 2 x)
sen( w + 2 x) − sen( w − 2 x)
Desarrollando el numerador y el denominador de la fracción anterior,
aplicando las fórmulas de adición:
=
(cos w cos 2x − senwsen 2 x ) + (cos w cos 2 x + senwsen 2 x )
(senw cos 2 x + cos wsen 2 x ) − (senw cos 2x − cos wsen 2 x )
=
cos w cos 2 x − senwsen2 w + cos w cos 2 x + senwsen2w
senw cos 2 x + cos wsen 2 x − senw cos 2 x + cos wsen 2 x
=
2 cos w cos 2 x
2 cos wsen2 x
(cancelando términos opuestos en el numerador y
denominador)
=
cos 2 x
sen 2 x
=
cos 2 x − sen 2 x
2 senx cos x
=
cos 2 x
sen 2 x
−
2 senx cos x 2 senx cos x
(simplificando)
cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x
sen 2 x = 2 senx cos x
(aplicando la ley distributiva de la división
respecto a la sustracción)
=
1 cos x 1 senx
⋅
− ⋅
2 senx 2 cos x
=
1
(cot x − tan x)
2
(
=
cot x − tan x
2
(quedando la identidad probada)
(simplificando)
cos x
senx
= cot x y
= tan x )
senx
cos x
2. Si senα =
5
13
cos α < 0 . Calcula sen 2α , cos 2α y tan 2α
y
Solución:
Antes de calcular los valores solicitados, determinemos el cuadrante donde se
encuentra α.
Como cos α < 0 y senα > 0 , entonces α Є II Q. Calculando sen 2α .
Como sen 2α + cos 2 α = 1 , resulta despejando cos α :
cos α = − 1 − sen 2α
cos α = − 1 − (
(En el II Q el coseno es negativo)
5 2
25
144
12
) = − 1−
=−
=−
13
169
169
13
Luego sen 2α = 2senα cos α
sen 2α = 2(
5
12
120
)( − ) = −
≈ 0,710
13
13
169
Calculando cos 2α :
cos 2α = 1 − 2 sen 2α
cos 2α = 1 − 2(
5 2
25
50
) = 1 − 2(
) = 1−
≈ 0,704
13
169
169
Calculando tan 2α :
tan 2α =
2 tan α
;
1 − tan 2 α
5
senα
−5
tan α =
= 13 =
cos α − 12 12
13
−5
−5
2

− 120
12
 =
6
tan 2α = 
=
≈ −1,01
2
25
119
−5
1−
1− 

144
12


3.
Determina los ceros en el intervalo (−3π ,6π
]
de la función definida por la
ecuación:
g ( x) = log senx + log cos x − log
1
2
Solución:
Si x0 es un cero de f tal que xo ∈ (−3π ,6π
] , entonces
g ( x o ) = 0 , luego:
log senx o + log cos x o − log
log(senx o ⋅ cos x o ) − log

 senx cos x
o
o
log 
1


2

1
=0
2
(igualando a cero)
1
=0
2


=0



( log a + log b = log ab )
a
( log a − log b = log )
b
log( 2senx o cos x o ) = 0
log sen 2 x o = 0
( sen 2 x o = 2senx o cos x o )
sen 2 x o = 1
(definición de logaritmo)
2xo =
xo =
π
+ 2kπ ; k ∈ Z
2
( sen
π
= 1)
2
π
+ 2kπ (Despejando xo)
4
Dándole ahora valores a k para hallar todos los ceros de g en el intervalo
(–3; 6π].
k
–3
x0
−
11π
4
–2
−
7π
4
–1
−
3π
4
0
1
2
3
4
5
π
5π
4
9π
4
13π
4
17π
4
21π
4
4
Los ceros de g en el intervalo dado son:
x1 = −
x8 =
4.
11π
,
4
x2 =
− 7π
,
4
x3 = −
3π
,
4
x4 =
π
4
,
x5 = −
5π
,
4
x6 =
9π
,
4
x7 =
13π
,
4
17π
21π
y x9 =
.
4
4
Sea un triángulo isósceles cuyos lados iguales tienen longitud l y el ángulo
entre ellos es θ.
a) Expresa el área A del triángulo en términos de l y θ.
b) Calcula el área de triángulo isósceles si los ángulos bases tienen una
amplitud de 30o y la longitud de sus lados iguales es de 230 m.
Solución:
He aquí una aplicación de las identidades trigonometricass relativas al ángulo
duplo a la Geometría.
a)
En la figura se representa al ∆ABC isósceles de base AB, AC = BC = l,
∠ACB = θ y CD = hAB, o sea: CD ┴ AB, luego CD es bisectriz del ∠ACB y por
tanto ∠ ACD = ∠ DCB = θ/2: agudo, pero también es mediana correspondiente
a la base, luego AD = DB =
A( ∆ABC ) =
b=c
c
.
2
bh
(área de un triángulo cualquiera)l
2
(base)
h : altura.
A( ∆ABC ) =
ch c
= ⋅ h (1)
2 2
En el ∆ADC rectángulo en D, por definición:
c
θ 2
c
θ
de donde = l ⋅ sen
sen =
2 l
2
2
cos
θ h
=
2 l
de donde
(2)
h = l ⋅ cos
θ
(3)
2
sustituyendo en (1) las relaciones (2 y (3)
θ
θ
A( ∆ABC ) = l ⋅ sen ⋅ l cos
2
2
θ
θ
A( ∆ABC ) = l 2 sen ⋅ cos
2
2
(4)
Pero sabemos que sen 2 x = 2 sen x cos x (seno del ángulo duplo) de aquí
sen x cos x =
1
sen 2 x , o sea, el contenido de esta relación es que el producto
2
del seno y coseno de un ángulo es igual a
1
del seno del ángulo duplo, por
2
θ
θ 1
θ 1
tanto sen cos = sen 2  = sen θ , por tanto, teniendo en cuenta este
2
2 2
2 2
resultado se tiene la fórmula pedida A( ABC ) =
1 2
l senθ .
2
b) α = 30 o , luego θ + 2 ⋅ 30o = 180o , θ = 120o y como l = 230 m, entonces:
A( ∆ABC ) =
=
1
1
(230 m)2 ⋅ sen 120 o = ⋅ 52 900 ⋅ sen 60 o m 2
2
2
1
3 2
⋅ 52 900 ⋅
m ≈ 2,29 hm 2 ≈ 2,29 ha. (1 km2 = 1 ha)
2
2
Respuesta: El área del triángulo es de 2,29 ha.
Ejercicios propuestos:
1. a) Si sen α = 0,6
y 0<α<
π
, calcula las razones trigonométricas de 2α .
2
π

b) Calcula tan  − α  si se conoce que tan α = 7 .
4

c) Sabiendo que sen α =
4
5
y cos β = −
8
17
y que α y β están en el segundo
cuadrante, calcula el seno, coseno y tangente de α + β y de α – β.
2. Demostrar que las siguientes igualdades se cumplen para todos los valores de
las variables.
a)
cos 2 x + 2 cos x + 1
=2
cos 2 x + cos x
b)
2 cos 2 x
2 sen x
2 + sen 2 x
+
=
cos 2 x
cos x − sen x
cos 2 x
c)
cos 2 x ⋅ tan2 x (1 + cos 2 x ) + 2 cos 4 x
= − cot x
sen (2x − π)
d)
cos 3 x sen 3 x
−
= cot 2 x
2 sen x 2 cos x
1
sen 2x tan x
2
= cos x − 1
cos 2 x − 3 cos 2 x + 2
sen 4 x cos x + sen 2 x cos 3 x −
e)
sen (2 x + y ) − sen y cos 2 x
= 2 tan x
cos y − sen 2 x cos y
f)
3. Aplicando la fórmula de adición correspondiente justifica que tan 90 o no está
definida.
4.
Resolver:
a) sen 2 x ⋅ cot x + 5senx + 1 = 0
b) cos 2 x =
1
1
cos x − sen 2 x ⋅ tan x
2
2
c) cos 2 x = 3 − 5 sen x
( 0 ≤ x < 2π )
d) cos 2 x + 4 cos x = sen 2 x ⋅ tan x
( − 2π ≤ x ≤ 2π )
e) sen 2 x ⋅ cot x − sen x = cos 2 x + 2 tan 2 x ⋅ cos 2 x
cos 2 x − 2 sen 2 x ⋅ cot x = 3 cos x
f)
g) cos 2 x + 2 sen 2 x ⋅ tan x − 2 = 2(cos x + 1)2
5.
h)
3
1
(1 − sen x ) = sen 2 x ⋅ cot x
2
2
i)
 3π

cos 2 
− x  − 3 sen x = 4
 2

Sean
f (x) =
x
,
2
g( x ) =
1
cos 2x
2
y
h( x ) = x 2 + 2 :
Determina para qué x ∈ R se cumple que:
(f −1og )( x ) + h(senx ) = 3 cos x
6.
Halla todos los valores de x para los cuales las funciones dadas por las
ecuaciones f ( x ) = 3 −
valor.
3
sen 2 x ⋅ cot x y g ( x ) = 10 sen x − 7 alcanza el mismo
2
7. Sean f ( x ) = sen x y g ( x ) = tan x :
Halla todos los valores reales de t para los cuales se cumple que:
π 1
f (2t − ) − f (2t ) ⋅ g (t ) = 2 cos2 t + 10[f (t ) − 1]
2 2
8. Sean f y g funciones definidas por las ecuaciones:
f (x) =
2 tan x − sen 2 x
y g ( x ) = 2 cot 2 x + tan x
1 − cos 2 x
a)
Determina el dominio de f.
b)
 5π 
π
Calcula 2f   − 4,5 g  
 4 
3
c) Determina que para todos los valores admisibles de la variable se cumple
que f ( x) ⋅ g ( x) = 1
9.
A 2 + cos 2 x
= A ⋅ cot x
Dada la igualdad
sen 2 x
a) Demuestra que para A = 1, la igualdad que se obtiene es una identidad
para todos los valores admisibles de la variable x.
b) En la igualdad dada considera A =
10. Sabiendo que sen α =
3
5
y
1
y resuelve la ecuación obtenida.
2
sen β =
5
y que α y β están en el primer
13
cuadrante, calcular el seno, coseno y tangente de α + β y de α – β.
11. Comprobar que las igualdades siguientes son verdaderas para todos los
valores admisibles de las variables:
a) sen (α + 60°) ⋅ sen (α − 60°) =
1
− cos 2 α
4
π
π
3
b) cos(α + ) ⋅ cos(α − ) = − sen 2 α
6
6
4
π
cos α + sen α
c) tan( α + ) =
4
cos α − sen α
d) cot α + cot β =
sen (α + β)
sen αsen β
e) sen 2 x =
f) cos 2x =
2 tan x
1 + tan 2 α
1 − tan 2 α
1 + tan 2 α
g) cos( x + y ) cos( x − y ) + 1 = cos 2 x + cos 2 y
12. Selecciona la respuesta correcta:
a) El valor del producto sen 15
1
( ) , 0,25( ) ,
2
−
o
2
( ),
2
⋅ cos 15
−
1
(
2
o
es igual a:
)
b) Al simplificar la expresión 4sen10 x cos 10 x , se obtiene:
sen 5 x ( ) ,
4 sen 5 x ( ) ,
c) El valor de la fracción
− 1( ) ,
2 sen 5 x ( ) ,
sen 40 x cos 10(
)
tan x + tan( 45 o − x )
es:
1 − tan x tan( 45 o − x )
2( ) ,
2
(
2
1( ) ,
)
d) Determina los valores de x y y para que se cumpla que sen ( x + y ) = 0,5 3
x = y = 45°( ) ,
x=
π
π
( ),
;y =
4
12
x = 90°; y = 45°( ) ,
x = 60°; y = 30°( ) ,
no existen x ni y.
e) sen 40 x cos 40 x
sen 80 x ( ) ,
cos 20 x ( ) ,
sen 20 x
( ),
2
1
sen 80 x (
2
)
13. Dí si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas sin realizar cálculo
escrito, solo mental. Justifica tu respuesta:
a) sen (80° + 20°) = sen 100°
b) sen 60° = 2 sen 30°
c) 1 − sen 2 α cos 2 α = cos 2 α
d) Si el triángulo ABC es rectángulo en A, entonces (cos 2 B + cos 2 C ) ≠ 1
e)
2 tan 15 o
= tan 2 15 o
o
1 − tan 15
f) Si tan( x + y ) = 1 , entonces x + y =
π
4
g) sen 2(α + β) + cos 2 (α + β) = 2(α 2 + 2αβ + β 2 )
h) cos 2 a − sen 2 b = cos 2 b − sen 2a
i)
π
π
2
sen ( + θ) cos θ − cos ( + θ) sen θ =
4
4
2
j)
sen 60 x = 2 sen 120 x cos 120 x
14. Resolver los sistemas:
sen x − sen y =
1
2
a)
x + y = 120 o
3 cos 2 x − tan y + 4 = 0
b)
2 cos 2 x + 5 tan y = 3
x ∈ (0o, 360o)
y ∈ (0o, 600o)
Nota: Te sugerimos para mayor facilidad en este último sistema hacer el
cambio de variables siguiente: cos 2 x = m y tan y = n
15. Demostrar que para todos los valores admisibles de la variable se cumplen las
igualdades siguientes:
a)
cos( x + y ) cos y + sen ( x + y )sen y
= tan x
sen x
b) cos 3θ = 4 cos 3 ϑ − 3 cos θ
Nota: Expresa cos 3θ como cos(2θ + θ) y aplica la fórmula de adición
correspondiente y posteriormente ten en cuenta el seno y coseno del ángulo
duplo.
16. Si sen α =
4
15
y
cos β = −
12
13
y
α ∈ I Q β ∈ II Q :
a) Calcula los valores exactos de sen (α + β) y tan (α + β)
b) Determina el cuadrante a que pertenece α + β
sen 2 x ⋅ cot x
+2
2 cos x
17. Sean: m( x ) = cos 2 x + sen 2 x y n( x ) =
a) Fundamenta que m ( −
7π
) , es mayor que 1.
6
b) Halla el conjunto solución de la ecuación m( x ) − n( x ) = 0 .
18. Sean g −1( x ) =
x
,
2
a) Calcula p( −
h( x ) = 2 − 2 x 2
y
f ( x) = cos x
13 π
) si se conoce que p( x ) = (hof )( x ) + cos 2x
6
b) Resuelve la ecuación:
sen x (2 sen x − 1) =
g −1(sen x )
+ p( x )
cos x
19. Sea f ( x ) = log3 (sen x + 2 cos 2 x ) = 1 + log3 (sen x + cos 2 x )
Determina los puntos cuyas abscisas pertenecen al intervalo [0, π] y en los
cuales se intersecan las representaciones gráficas de las funciones dadas.
20. Prueba que las igualdades siguientes son válidas para todos los valores
admisibles de la variable.
a)
sen 2x + cos 2 x + 1
= sen x + cos x
2 cos x
π
π

sen  + 2 x  − cos
4
4

b)
= cos x − sen x
2 sen x
c) 1 − 4sen 4 x − 2sen 2 x cos 2 x = cos 2x
d)
1 + sen 2 x + cos 2 x
= cot x
1 + sen 2 x − cos 2 x
π
1
e) sen ( + 2 x ) + sen 2 x ⋅ tan x = cos 2 x
2
2
21. Si
cos x + cos y = p
cos( x − y ) =
1 2
( p + q 2 − 2)
2
y
sen x + sen y = q ,
demuestra
que
22. Determina para qué valores de x entre 0 y
π
se cumplen simultáneamente las
2
igualdades siguientes:
sen ( x + y ) =
1
2
y cos 2 x = −
1
2
23. Resuelve el sistema:
y=
1
sen 2 x cot x + 2 sen x
2
y − 3 = cos 2 x + 3
( 0 ≤ x ≤ 2π )
3 cos x − sen x puede expresarse como 2 cos( x + 30 o ) o
24. Muestra que
2 sen (60 o − x ) .
25. Dada la función g de ecuación
π

g ( x ) = sen  + x  + 3 cos 2 x − 8 cos x ,
2

determina los puntos P de la representación gráfica de g tales que su
ordenada es la solución de la ecuación:
3
3x
+ 16 = 27
3x
43 x
+
256
26. Halla el conjunto solución:
2
cos( 2 x + π )
⋅( 2)
sen 2 x
sen x
=1
27. Sea f ( x ) = cos 2 x + sen x + 2sen 2x ⋅ tan x definida en el conjunto D = [0, 2π]
 π 3π 
 ,
 . Determina los puntos de la gráfica de la función f que se encuentra
2 2 
a una distancia de 1 cm del eje x.
28. Demuestra que para x ≠ ( 4k + 1)
π
, k ∈ Z se cumple que:
4
2 cos 2 x
2 sen x
2 + sen 2 x
+
=
cos 2 x
cos x − sen x
cos 2 x
29. Halla las soluciones de la ecuación.
log
3
2 sen 2 x
sen x
⋅ 3 log(cos 2 x +1) = 9 log 2 cos x
30. Sea f ( x ) = 2 cos3 x −
( 0 ≤ x < π)
5
sen 2 x ⋅ tan x − 14 cos x
2
¿Para qué x ∈ Dom f, la función f toma valor 3?
31. Demuestra que para todos los valores admisibles se cumple la siguiente
igualdad:
1
sen2 x ⋅ tan x
2
= cos x − 1
cos 2 x − 3 cos 2 x + 2
sen 4 x cos x + sen2 x cos 3 x −
32. Construye una ecuación trigonométrica en la que para resolverla halla que
aplicar una fórmula de adición y el coseno del ángulo duplo y cuyas
soluciones en el intervalo [0, 2π] sean:
π 11π
y
6
6
33. Calcula los ceros de g si se conoce que:
g ( x ) = log(cos 2 x + sen x ) − log cos 2 x
x ∈ [0, 2π)
34. Consideremos un cuadrado ABCD. Sobre cada uno de sus lados, y hacia el
exterior del cuadrado construimos un triángulo equilátero, sea O el baricentro
del triángulo ADH y sea P el punto medio de DG. Comprueba que las
tangentes exactas de los ángulos del triángulo OGB son:
tan ∠OGB = 1 ,
tan ∠GBO =
3 +1
y
2
tan ∠GOB = 3 + 2 3 .
35. En la figura:
∆ABC rectángulo en C ∠CBD = θ
BC = 7,0 m
BD bisectriz del ∠ ABC
BD = 8 m
Calcula el valor exacto de AB.
Sugerencia: Use la identidad del coseno del
ángulo duplo.
1.4 Aplicaciones de la trigonometría
Como es conocido, la Trigonometría tiene su origen en la antigua Grecia en la
medición de triángulos; sin embargo, esta rama de la matemática tiene otras
aplicaciones más novedosas e importantes, las funciones trigonométricas o
circulares nos permiten dar solución a muchos problemas del mundo real, como
de navegación, topografía, entre otros.
Estas funciones posibilitan la elaboración de modelos de fenómenos periódicos del
mundo circundante, por ejemplo, el movimiento armónico simple (MAS), la
sucesión del día y la noche, las fases de la Luna, el flujo y reflujo de las mareas, el
estudio de los tsunamis –ondas de mareas provocados por sismos submarinos, el
movimiento del péndulo y otros.
Resolución de triángulos cualesquiera
Un triángulo consta de seis elementos fundamentales, tres lados y tres ángulos, y
el mismo está determinado cuando se conocen tres de ellos, uno por lo menos un
lado; al cálculo de los tres elementos restantes se denomina resolución del
triángulo, algunos autores incluyen también el cálculo del área del triángulo.
La Geometría no nos proporciona métodos o procedimientos exactos, dentro de
ciertos límites, para la resolución de triángulos. Precisamente es la Trigonometría
la que nos proporciona métodos más aproximados.
Resolución de triángulos rectángulos
Si el triángulo es rectángulo está determinado si se conocen dos de sus
elementos, uno por lo menos lados ya que se conoce de antemano el ángulo
recto. Resultan entonces los siguientes casos:
Cuando se conocen:
1. Los dos catetos
2. Un cateto y la hipotenusa
3. Un cateto y un ángulo agudo
4. La hipotenusa y un ángulo agudo
En el segundo semestre al alumno se le propusieron ejercicios en los que, para su
solución, era necesario la resolución parcial de triángulos rectángulos, a
continuación presentamos ejemplos de cada uno de los casos de resolución de
triángulos rectángulos.
Ejercicios resueltos:
1. Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. resuelve el triángulo dado si se conoce
que:
a) a = 3,2 m y b = 24 dm
b) b = 1,9 km
c = 6,5 km
y
c) a = 100 hm
d) c = 78 cm
β = 60 o
y
y
α = 47,2 o
Solución:
a) En este caso se dan por datos los catetos ( a = 3,2 m
y
b = 24 dm ), es
necesario calcular la hipotenusa (c), los ángulos agudos del triángulo (α y β).
Cálculo de c:
c 2 = a 2 + b 2 (T. de Pitágoras)
c = a 2 + b 2 (despejando)
a = 3,2 m = 32 dm
y
b = 24 dm
c = 32 2 + 24 2
(sustituyendo)
c = 1024 + 576 = 1600 = 40
(calculando)
c = 40 m
Cálculo de α:
tan α =
a
b
tan α =
32 4
= ≈ 1,33
24 3
α = 53 o
(Por definición)
(sustituyendo y calculando)
(Utilizando tablas trigonométricas)
Cálculo de β:
α + β = 90 o
(Propiedad de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo)
β = 90 o − α (despejando)
β ≈ 90 o − 53 o
β ≈ 37 o
(sustituyendo)
(calculando)
b) b = 1,9 km,
c = 6,5 km
Conocemos un cateto (b) y la hipotenusa (c),
debemos calcular el otro cateto (a) y los ángulos
agudos α y β.
Cálculo de a:
c 2 = a 2 + b 2 (T. de Pitágoras)
a = c 2 − b 2 (despejando a)
a = (6,5) 2 − (1,9) 2 (sustituyendo)
a = 42,25 + 361 ≈ 403 ≈ 20
(calculando)
a = 20 km
Cálculo de α:
cos α =
b
c
cos α =
1,9
(sustituyendo)
6,5
(definición de la razón seno)
cos α = 0,292
α = 73,7 o
(efectuando)
(Utilizando las tablas trigonométricas)
Cálculo de β:
α + β = 90 o
β = 90 o − 73,7 o
β = 16,3 o
c) a = 100 hm
y
β = 60 o
Como conocemos un cateto (a) y un ángulo agudo (β),
es necesario calcular el otro cateto (b), la hipotenusa (c)
y el otro ángulo agudo (α).
Cálculo de b:
tan β =
b
c
(definición de la razón tangente)
b = c ⋅ tan β
(despejando)
b = 100 ⋅ tan 60 o (sustituyendo)
b = 100 ⋅ 1,73
b = 173
(por tablas)
(calculando)
b = 173 km
Cálculo de c:
cos β =
c=
a
c
(definición de la razón coseno)
a
(despejando)
cos β
100
100
=
= 200
o
1
cos 60
2
c = 200 km
c=
Cálculo de α:
α + β = 90 o
α = 90 o − β
α = 90 o − 60 o
α = 30 o
d) c = 78 cm
y
α = 47,2 o
Se conocen la hipotenusa (c) y un ángulo agudo (α), es
necesario calcular los catetos (a y b) y el otro ángulo
agudo (β).
Solución:
Cálculo de a:
sen α =
a
c
(Por definición)
a = c ⋅ sen α
(despejando)
a = 78 cm ⋅ sen 48,2 o (sustituyendo)
a = 78 cm ⋅ 0,746
a ≈ 58 cm
Cálculo de b:
cos α =
b
c
(por definición)
b = c ⋅ cos α
(despejando)
b = 78 cm ⋅ cos 48,2 o
b = 78 cm ⋅ 0, 665
b ≈ 52 cm
Cálculo de β:
α + β = 90 o
β = 90 o − α
β = 90 o − 48,2 o
β ≈ 41,8 o
Observaciones importantes:
1.
En la resolución (parcial o total) de triángulos rectángulos deben seguir los
siguientes pasos:
a) Dibujar un triángulo rectángulo señalando los elementos conocidos, deben
llevar estos datos sobre la figura y señalar en la misma qué elementos
hay que calcular.
b) Cuando se conoce un ángulo agudo, el otro puede ser calculado restando
de 90o la amplitud conocida, ya que los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo son complementarios, es decir, suman 90o.
c) Para hallar un elemento desconocido se selecciona una relación que
contenga a dicho elemento y a otros dos desconocidos, y se despeja en
ella al elemento que se busca. La relación seleccionada puede ser una
razón trigonométrica o el teorema de Pitágoras. Es muy importante tener
en cuenta que los elementos desconocidos (incógnitas) deben se
calculados a partir de los datos y no de los resultados parciales que se
han obtenido ya que estos pueden se errados o de ser correctos pueden
afectar la aproximación de los resultados finales.
2.
Para hallar las incógnitas puede haber más de una vía, si es un ángulo se
determina más exactamente por medio de una razón trigonométrica que varía
rápidamente como la tangente. Si es un lado es mejor emplear una razón que
varíe como el seno o coseno, siempre que sea posible y no se utilicen datos
parecidos.
3.
En las operaciones deben aplicarse las reglas para el cálculo aproximado. En
los ejercicios y problemas propuestos asumiremos que todas las cifras son
exactas, aunque en la práctica, no obstante, se debe conocer con qué
aproximación se dan los datos y debe la respuesta a un grado de seguridad
compatible con la de las medidas.
4.
En la resolución de triángulos rectángulos es conveniente comprobar los
resultados obtenidos mediante el teorema de Pitágoras (c2
= a2 + b2) y
mediante la relación α + β = 90o.
Ejercicios propuestos:
1. En la figura ABC, rectángulo en C, CD ┴ AB: sea P su perímetro y A su área.
Resuelve el triángulo dado si se conoce que:
a) a = 36 km
b) α = 30 o
b = 39000 m
y
β = 8,5 m
y
c) c = 4,8 cm
y
b = 25 cm
d) β = 48 o 75'
y
c = 10 hm
e) h = 60 cm
y
= 56,3 o
f) cos α =
4
5
g) a = 3,0 cm
c = 10 cm
y
y
c - b = 0,1 dm
(Sin uso de las tablas trigonométricas)
Demuestra que:
a) sen α + cos α = sen β + cos β
b) sen 2α =
4a
c2
c) tan β ⋅ sen β =
d) cos 2α =
b2
ac
(P − c ) ( b ⋅ a )
a2 + b2
e) tan α + tan β =
2.
(b › a)
Sea el triángulo ABC, rectángulo en C.
Si sen α =
3.
c2
a
2m
m2 + 1
(m ≠ 0, │m│≠ 1). Calcula cot α.
Si los puntos de los brazos de un compás distan 8,32 cm y cada brazo mide
1,15 dm.
a)
¿Qué amplitud tiene el ángulo que forman los brazos?
b)
¿Qué distancia hay entre los puntos del compás si se conoce que el
ángulo que forman sus brazos es de 48o?
4.
Completa la tabla siguiente en los casos posibles. Los datos se refieren al
triángulo SQR rectángulo en Q.
s
q
r
ρ
30o
20 km
38o,2’
250 hm
150 dm
36 m
25o
5.
θ
65o
Di cuál de las afirmaciones siguientes son verdaderas (V) o falsas (F).
Justifica tu respuesta:
a)
Si en un triángulo rectángulo se conocen las amplitudes de sus ángulos
agudos podemos calcular su hipotenusa.
b)
Si en un triángulo rectángulo se conocen las longitudes de dos de sus
lados es posible determinar las amplitudes de sus ángulos agudos.
c)
Si se conocen el seno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo,
es posible calcular la hipotenusa del triángulo.
d)
Si en un rombo se conoce la longitud de una de sus diagonales y uno de
sus ángulos interiores es posible determinar la longitud de la otra
diagonal.
e)
Si se conoce el área de un triángulo rectángulo y uno de sus ángulos
agudos, entonces no es posible resolver el triángulo.
f)
No podrá resolverse un triángulo isorrectángulo cuya hipotenusa mida
6 dm .
6.
En el triángulo ABC, rectángulo en C, la razón entre el seno y el coseno del
ángulo β es
7.
3
y AB = 10 3 dm , resuelve el triángulo dado.
3
En la figura se representa una circunferencia de centro O y diámetro CD, el
arco ED mide 38o. Resuelve el triángulo CDE.
8.
a) Sea ABC un triángulo isósceles cuyo ángulo vertical es γ y su base es
AB = C. Explica cómo podríamos resolver este triángulo.
b) Si AB = 12 dm
9.
y γ = 130o. Resuelve el triángulo ABC y calcula su área.
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 4,0 dm y la razón entre el
cateto mayor y el menor es igual a
3 . Resuelve el triángulo dado.
10. En un triángulo rectángulo la amplitud del ángulo agudo es igual al duplo de
la amplitud del otro. Si la longitud del cateto mayor es de 6,0 dm:
a) Resuelve el triángulo dado.
b) Calcula su perímetro.
11. Sea el triángulo ABC rectángulo en C, de perímetro P y área A:
a)
Demuestra que el perímetro del triángulo viene
dado por:
P = c (sen α + cos α + 1)
b) Calcula el perímetro de un triángulo en el cual si
c = 4 3 cm
y
α = 30 o .
c) Demuestra que tan α + tan β =
c2
A
12. En la figura se representa una armadura (elemento constructivo) que tiene 10
m en cada uno de sus tirantes. Si su longitud total (perímetro) es de 17 m. ¿Cuál
es la altura (x) en el centro de la armadura y qué inclinación (θ) se le dará al
tejado?
La ley o teorema de los senos y los cosenos
Estos teoremas, de gran aplicación en la práctica, nos relacionan cantidades de
magnitudes lineales y angulares en un triángulo cualquiera, una de estas
aplicaciones es la resolución de triángulos oblicuángulos, o sea, no rectángulos.
Teorema o ley de los senos:
En todo triángulo, el cociente de la longitud de un lado y el seno del ángulo
opuesto a ese lado, es constante e igual a la longitud del diámetro de la
circunferencia circunscrita a este triángulo.
Demostración:
Debemos probar que
a
b
c
=
=
= d , donde d es el diámetro de la
sen α sen β sen γ
circunferencia circunscrita al triángulo.
Sea el triángulo ABC (acutángulo) inscrito en una circunferencia de centro O y
diámetro d.
Tracemos el diámetro CD = d y la cuerda OB, formándose el ∆ DBC rectángulo en
β, por estar inscrito en un diámetro.
En el ∆ DBC:
sen θ =
a
t
(por definición)
a = d ⋅ sen θ
Pero θ = α
(despejando)
(1)
(inscrito en el mismo arco BC)
Luego a = d ⋅ sen α (sustituyendo en d)
De donde
a
=d.
sen α
Esto puede hacerse con cualquier ángulo interior del ∆ ABC, trazando cada vez el
diámetro que posee por su vértice se obtiene análogamente:
b
=d
sen β
y
c
= d , de donde resulta:
sen β
a
b
c
=
=
=d
sen α sen β sen γ
(2)
O sea: en cualquier triángulo las longitudes de los lados son proporcionales a los
senos de los ángulos opuestos.
La relación (2) puede también escribirse:
sen α sen β sen γ 1
=
=
=
a
b
c
d
(3)
Nota: Hemos realizado la demostración para un triángulo ABC acutángulo, pero la
misma es válida para un triángulo obtusángulo, le proponemos al estudiante como
trabajo independiente que demuestre la ley de los senos. En este caso debe tener
en cuenta que sen α = sen (180 o − α) , siendo α el ángulo obtuso.
Aplicamos la ley o teorema de los senos.
Ejemplo 1:
Sea el ∆ ABC. Si se conoce que a = 12,5 m,
a)
La amplitud del ángulo β.
b)
La longitud del lado c.
b = 6,8 m y α = 42o. Calcula:
Solución:
a) Cálculo de β:
Es evidente que los datos (a, b y c) están
relacionados con la incógnita (β), mediante la ley de los senos:
a
b
=
sen α sen β
de donde:
sen β =
b ⋅ sen ⋅ α
a
(1)
Sustituyendo los datos en (1)
6,8 ⋅ sen 42 o
sen β =
12,5
(1)
sen β =
6,8 ⋅ 0,669
12,5
sen β =
4,55
(Calculando el producto)
12,5
(Buscando sen 42 o en la tabla trigonométrica)
sen β = 0,364
(Calculando el cociente)
sen β ≈ 21,3 o
(Utilizando la tabla trigonométrica)
b) Cálculo de c.
Apliquemos la ley de los senos:
a
c
a sen γ
, de donde c =
=
sen α sen γ
sen α
(2)
α + β + γ = 180 o
(Suma de los ángulos internos de un triángulo)
γ = 180 o − (α + β)
(despejando)
γ = 180 o − ( 42 o + 21,3 o )
(Sustituyendo)
γ = 180 o − 63,3 o = 116,7 o
Sustituyendo en (2)
c=
3,2 ⋅ sen 116,7 o
(3)
sen 42 o
Pero sen 116,7o = sen 63,3o
sen (180 − α) = sen α
c=
3,2 ⋅ 0,893
0,669
c=
2,86
0,669
y
(Aplicando la fórmula de reducción)
sen 42o = 0, 669. Sustituyendo en (3):
(calculando)
c = 4,28
c ≈ 4,28 m
Ejemplo 2:
Un bote pesquero comercial emplea equipo sonar para detectar un cardumen a
2,0 km al oriente, los peces van un rumbo o dirección N 51o W a una velocidad de
8 km/h. Si el bote viaja a 20 km/h, considerando que las trayectorias del bote y los
peces sean rectilíneas y las velocidades constantes, calcula:
a) La dirección que debe seguir el bote para intersecar al cardumen.
b) Calcula el tiempo que tarda el bote en alcanzar a los peces.
Solución:
a) Recordemos, de Geografía general, los cuatro puntos cardinales:
El rumbo N 51o W se representa:
Representemos la situación planteada en un gráfico:
En la figura, el cardumen se encuentra en A, el bote en B y el punto de
intersección en C. Nota que α = 90 o − 51o = 39 o
y
c = 2,0 km . Para calcular β,
aplicaremos la ley de los senos:
a
b
=
sen α sen β
sen β =
b ⋅ sen α
a
sen β =
b ⋅ sen 39 o
(1)
a
No es posible hallar β por no tener como dato la razón b , pero podemos
a
obtenerla mediante el razonamiento siguiente:
V=
d
(Velocidad en el movimiento rectilíneo uniforme)
t
d =V ⋅t
(distancia es el producto de la velocidad y el tiempo)
Luego resultan las igualdades:
(2) b = 8 t
(La velocidad de los peces es de 8 km/h)
(3) a = 20t
(La velocidad del bote es de 20 km/h.
Entonces
8t
2
b
=
=
a 20t 5
Por tanto, sustituyendo en (1)
sen β =
2
⋅ sen 39 o
5
sen β ≈
2
⋅ 0,629
5
sen β = 0,252
β = 14,6 o
Como 90o – 14,6o = 75,4o, el bote debe viajar con el rumbo aproximado N 75,4o
(Ver gráfico)
b) Calculemos
la
distancia
a
de
B
a
C.
Observa
que
γ ≈ 180 o − (39 o + 14,6 o ) ≈ 126,4 o , aplicando nuevamente la ley de los senos:
a
c
c sen α
; a=
=
sen α sen γ
sen γ
a=
2 sen 39 o
sen 126,4 o
a=
2 ⋅ 0,629
sen 53,6
( sen 126,4 = sen 53,6 )
a=
2 ⋅ 0,629
0,805
( sen 53,6 o = 0,805 )
a ≈ 1,6 km
Como a = 20 t, resulta que t =
t=
a
20
(t: tiempo en horas)
1,6
= 0,08 h
20
t ≈ 5 min
El bote tardará aproximadamente 5 min en llegar al punto c.
Ley o teorema de los cosenos:
Este es otro teorema muy importante que relaciona los lados y ángulos de
triángulos cualquiera.
Teorema:
En todo triángulo el cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de
los cuadrados de las longitudes de los otros lados menos el duplo del producto
de las longitudes de estos lados por el coseno del ángulo que forman.
Sea el ABC (acutángulo), cuyos lados tienen longitudes a, b y c y los ángulos
opuestos a estos lados de amplitudes α, β y γ.
Tenemos que probar que:
I) a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α
II) b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos β
III) c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos γ
Demostración:
Tracemos CD ┴ AB, formándose los triángulos ACD y BCD rectángulos en D.
Sean CD = h, AD = x entonces DB = c – x (diferencia de segmentos).
En el BCD:
a 2 = h 2 + (c − x ) 2
(Teorema de Pitágoras)
a 2 = h 2 + c 2 − 2 c x + x 2 (Elevando el binomio al cuadrado)
a 2 = ( x 2 + h 2 ) + c 2 − 2cx
(1) (agrupando términos)
En el ∆ ADC:
b 2 = x 2 + h 2 (Teorema de Pitágoras)
por otra parte:
cos α =
x
b
(definición de razón coseno)
x = b cos α (3)
(Despejando x)
Sustituyendo las relaciones (2) y (3) en (1) resulta:
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α
Por lo tanto queda demostrada la relación (I).
Análogamente se demuestran las relaciones II y III.
Despejando en las expresiones I, II y III obtenemos otra forma de expresar el
teorema o ley de los cosenos:
IV) cos α =
b2 + c 2 − a2
2bc
V) cos β =
a2 + c 2 − b2
2ac
VI) cos γ =
a2 + b2 − c 2
2ab
El alumno deberá realizar como estudio independiente la demostración de la ley o
teorema del coseno, en el caso que el triángulo sea obtusángulo.
La ley de los senos y cosenos se cumple en cualquier triángulo y por lo tanto en los
triángulos rectángulos, pero no es usual aplicarlas en estos triángulos, como en un
triángulo rectángulo un ángulo es recto, o sea, mide 90o y sen 90o = 1, resulta que las
razones trigonométricas de los ángulos agudos es un caso particular de la ley de los
cosenos que no es más que una generalización de este teorema.
Es interesante que de cada ley o teorema se puede obtener el otro, es un
problema difícil que requiere gran creatividad, aquellos alumnos más aventajados
podrían intentar obtener la ley de los senos a partir de la de los cosenos y
viceversa.
Ejercicios resueltos:
1.
En el triángulo ABC, b = 2,0 km; c = 3,0 km y α = 60o. Calcula el perímetro del
∆ ABC.
Solución:
P =a+b+c
(1)
Desconocemos la longitud de a, la que se relaciona con los datos (b, c y α)
mediante el teorema o ley de los senos:
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α
a 2 = (2,0) 2 + (3,0) 2 + 2 (2,0) (3,0) cos 60 o
(sustituyendo)
1
a 2 = 4,0 + 9,0 + 12 ( ) (calculando)
2
a 2 = 4,0 + 9,0 + 6,0
a 2 = 19
a = 19
a = 4,4 km
Sustituyendo en (1) resulta:
P = 4,4 km + 2,0 km + 3,0 km
P = 9,4 km
Respuesta: El perímetro del triángulo es aproximadamente 9,4 km.
2. En la figura se representa el triángulo isósceles ABC de base: BC =
el valor del cos A.
Solución:
Como el triángulo ABC isósceles de
base BC entonces b = c y como
b
. Calcula
2
BC =
b
, resulta b = 2 BC , o sea b = 2 a , se tiene que b = c = 2 a. Deberíamos
2
calcular cos A, luego:
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A
cos A =
b2 + c 2 − a2
2bc
(Ley de los cosenos), de donde:
(1)
Pero b = c y b = 2ª de donde a =
b
, sustituyendo estas relaciones en (1),
2
resulta:
b
b 2 + b 2 − ( )2
2
cos A =
2b ⋅ b
2
cos A =
b
7b 2
− a2
7
4
= 42 =
2
8
2b
2b
2b 2 −
O sea, el valor de cos A es independiente de las medidas de los lados del
triángulo bajo las condiciones dadas en el problema.
3.
Sea el triángulo ABC cuyos lados tienen longitudes a, b y c tal que a = 15 cm, b
+ c = 27 cm y cos A =
4
. Calcula
5
las longitudes b y c.
Solución:
Podemos relacionar los datos del
problema y las incógnitas o valores
a hallar mediante la ley o teorema
de los cosenos.
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A
(1)
a = 15 cm, b + c = 27 cm, de donde c = (27 – b) cm.
Sustituyendo en (1) resulta:
4

15 2 = b 2 + (27 − b ) 2 − 2 b (27 − b ) ⋅ 
5

Calculando las potencias y producto tenemos:
225 = b 2 + 729 − 54 b + b 2 − (54 b − 2 b 2 ) ⋅
225 = b 2 + 729 − 54 b + b 2 −
4
5
216
8
b + b2
5
5
Reduciendo términos semejantes, se obtiene la ecuación de segundo grado:
18 2 486
b −
b + 504 = 0
5
5
Multiplicando por 5 ambos miembros de la ecuación anterior:
18b 2 − 486 b + 2520 = 0
Dividiendo por 18 ambos miembros de la ecuación anterior:
b 2 − 27b + 140 = 0
Descomponiendo en factores:
(b – 20) (b – 7) = 0
b1 = 20
b2 = 7
Y como c = 27 – b, sustituyendo tendremos:
c1 = 27 − 20 = 7
c 2 = 27 − 20 = 7
y
El problema tiene doble solución, los lados miden b = 20 cm
o b = 7,0 cm
y
y
c = 7,0 cm
c = 20 cm
El alumno puede observar en este ejercicio cómo se integra la trigonometría
con el cálculo algebraico y cómo los conocimientos adquiridos en semestres
anteriores se aplican a través de todo el plan de estudio de la asignatura.
Ejercicios propuestos:
1.
En el triángulo PQR, si PQ = 12 cm y PR = 1,5 dm y ∠ P = 28,6o. Calcula la
longitud del lado QR.
2.
En la figura ABCD: paralelogramo
DCB = 60o. Si AB =
Calcula la longitud de la diagonal AC.
y AD =
.
3.
Desde dos baterías antiaéreas se abre fuego a un helicóptero enemigo. El
piloto observa dichas baterías con un ángulo de depresión de 42,8o y 58o
respectivamente. Si la distancia de la primera batería al helicóptero es de 720
m, ¿cuál es la lectura que registrará su altímetro? Determina la distancia
entre las dos baterías?
Nota: Altímetro: instrumento que determina la altura de un avión o
helicóptero.
4.
Un cable eléctrico aéreo ve en dirección Este desde A hasta B, una distancia
de 5,0 km. Desde otro cable va en línea recta a una fábrica C en dirección S
65o E. Un tercer cable se dirige en la dirección N 52o E a unir con B. Hallar la
longitud del cable en las secciones AC y CB.
5.
Demuestra que en todo triángulo ABC de lados a, b y c se cumple que:
a) b cos C − c cos B =
b)
6.
b2 − c 2
2a
a 2 + b 2 + c 2 cos A cos B cos C
=
+
+
2abc
a
b
c
Determina la amplitud del ángulo mediano del triángulo cuyos lados miden
a = ( 3 + 1) dm,
b = 20 cm
y
c = 6 dm
7.
Tres circunferencias con un radio de 2,0; 5,0 y 8,0 cm respectivamente son
tangentes dos a dos. Calcula la amplitud de los tres ángulos formados por los
segmentos que unen sus centros.
8.
(*) Sea el ∆ ABC de perímetro P inscrito en
una circunferencia de centro O y radio r:
a)
Demuestre que:
P
a
=
sen α + sen β + sen γ sen α
b)
Si a = 10 cm, α = 30o y β = 25,2o,
utilizando la fórmula anterior calcula el
perímetro del triángulo.
c) Calcula la longitud de la circunferencia y el área del círculo que está
determinado.
Resolución de triángulos oblicuángulos
La ley o teorema de los senos y cosenos nos permitirán ahora resolver triángulos
no rectángulos, o sea, oblicuángulos.
Como es conocido, para determinar un triángulo es necesario conocer tres de sus
elementos, uno de los cuales sea un lado. Pueden darse varias posibilidades.
Todas ellas se han ido viendo como ejercicios en el epígrafe anterior.
Ahora los vamos a exponer en forma sistemática, discutiéndolos.
Discutir un problema teórico (datos variables) es estudiar la existencia de solución,
o multiplicidad de esta, según los datos.
En este estudio, la discusión consistirá en ver si con tales datos hay o no triángulo.
Y en caso de haberlo, si hay uno solo o más.
a) La longitud de los lados son números reales positivos.
b) La amplitud de los ángulos anteriores del triángulo están comprendidos entre
0o y 180o.
Primer caso:
Datos: Un lado y dos ángulos cualesquiera (α, β, y γ)
Conocidos los ángulos se calcula el otro, α = 180 o − (β + γ )
El teorema de los senos permite calcular b y c.
a
b
c
=
=
sen α sen β sen γ
b=
a ⋅ sen β
sen α
c=
a ⋅ sen γ
sen α
Discusión: Conocidos a, β y γ se construye de forma única el triángulo, solo
debemos imponer una condición: que la suma de las amplitudes de los ángulos
dados sea menor que 180o, o sea β + γ ‹ 180o.
Ejemplo 1:
Si a = 37 m, β = 43o y γ = 57o. Calcular los elementos restantes.
Cálculo de α:
α = 180 o − ( 43 o + 57 o ) = 180 o
Cálculo de b:
a sen β
b=
,
sen α
37 ⋅ sen 43 o 37 ⋅ 0,682
b=
≈
≈ 26 m
0,985
sen 80 o
Cálculo de c:
c=
a sen γ
37 ⋅ sen 57 o 37 ⋅ 0,839
; c=
≈
≈ 32 m
sen α
0,985
sen 80 o
A manera de ejercicio resuelve en tu estudio independiente el triángulo MNP si se
conoce que MP = 11 cm, ∠ M = 37o y ∠ N = 66o.
Investiga si existe un triángulo ABC tal que mediante cálculo
.
Fundamenta tu respuesta:
Segundo caso:
Datos: dos lados y el ángulo comprendido (α, β y γ).
Por el teorema del coseno podemos calcular c:
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos γ
c = a 2 + b 2 − 2 a b cos γ
El teorema de los senos nos permite ahora calcular sen α y sen β. Para calcular α
y β, hay dos valores en cada caso (un ángulo agudo y otro obtuso cuyo seno es el
valor obtenido). Pero como a mayor lado se opone mayor ángulo y solo uno de
ellos puede ser obtuso, calculamos el ángulo opuesto al lado menor. Supongamos
que a > b:
b
c
=
;
sen β sen γ
sen β =
b sen
c
γ
,
α < 90 o
y posteriormente:
α = 180 o − (β + γ )
Discusión: Conocidos a, b y γ, el triángulo queda perfectamente determinado,
sean cualesquiera los datos. Por tanto: la solución existe y es única.
Ejemplo 2:
En un triángulo PQR conocemos que PQ = 37 km, QR = 54 km, Q = 125.
Calcula los demás elementos.
Cálculo de PR
PR 2 = PQ 2 + QR 2 − 2 PQ ⋅ QR cos θ
PR = 37 2 + 54 2 − 2 ⋅ 37 ⋅ 54 cos 125 o
PR = 1369 + 2916 − 3990 (− 0,574 )
(cos 125 0 − cos 55 o ≈ −0,574 )
PR = 1369 + 2916 + 2 290
PR ≈ 81 km
Cálculo ∠ R:
PQ
PR
=
sen∠R sen∠θ
sen∠R =
PQ ⋅ senlθ 37 km ⋅ sen 125o
=
PR
81 km
sen∠R =
37 km ⋅ sen 55o 37 km ⋅ 0,819
≈
≈ 0,374
81km
81 km
22o
R=
180-22 = 58o
Nos decidimos por ∠ R = 22o que es el menor ángulo ya que el ángulo R se opone
al menor lado.
Cálculo de ∠ P:
∠ P = 180o – (125o + 22o) = 180o -147o = 33o
A manera de ejercicio independiente resuelve un triángulo ABC si se conoce que:
a = 1,26 m,
c = R ┴, 1 dm
y
β = 49o
(Usa calculadora)
Tercer caso:
Dados tres lados, a, b y c, el teorema del coseno nos permite calcular la amplitud
de los tres ángulos, despejando el coseno del ángulo desconocido.
cos α =
b2 + c 2 − a2
;
2bc
cos β =
a2 + c 2 − b2
2ac
y
cos γ =
a2 + b2 − c 2
2ab
Discusión: El triángulo que unívocamente determinado siempre que se cumpla la
desigualdad triangular, o sea, la longitud del mayor lado debe ser menor que la
suma de las longitudes de los otros dos lados.
Ejemplo 3:
Sea ABC cuyos lados miden a = 37 hm, b = 42 hm y
c = 68 hm
Resulta:
Cálculo de α:
cos α =
42 o + 68 o − 37 o
= 0,878;
2 (42)(68 )
cos β =
68 o + 37 o − 42 o
= 0,840; β = 33 o
2 (37 ) (68 )
cos γ =
37 o + 42 o − 68 o
= −0,480; β = 118 o 30'
2 (37 ) (42)
α = 28 o 30'
(Observa que al ser el cos γ negativo, γ es un ángulo del segundo cuadrante)
Puede comprobarse los cálculos aplicando la propiedad de la suma de los ángulos
interiores de un triángulo:
α + β + γ = 180o
28o 30’ + 33o + 118o 30’ = 180o
A manera de trabajo independiente realiza la ejercitación siguiente:
1.
Resolver el ∆ ABC de la figura C según los
datos dados:
a) α = 60o;
β = 70o
b) a = 10,4 m, b = 86 dm
2.
y
b = 5,0 hm
α = 83,2o
y
c) a = 7,0 cm, b = 3,0 cm
y
c = 5,0 cm
d) α = 18o 12’, b = 5,0 cm
y
c = 6,0 cm
¿Existe un triángulo ABC en el cual se cumple que α = 30o, a = 3,0 cm y
b
= 7,0 cm?
a)
Solucione el problema gráficamente (usa regla graduada en cm, y
semicírculo graduado)
b)
3.
Justifica tu respuesta mediante cálculo.
De un triángulo se conocen sus tres ángulos: α = 40o, β = 70o y γ =70o,
¿puede resolverse el mismo? Fundamenta tu respuesta.
4.
En un ángulo de área igual a 7396 π dm2, se traza una cuerda que une los
extremos de un arco de 110o. Calcula la distancia del centro a la cuerda.
5.
Dos barcos salen de un puerto con rumbos diferentes, formando un ángulo
de 127o. El primero partió a las 10 a.m. con una velocidad de 17 km/h. El
segundo lo hizo a las 11:30 a.m. con una velocidad de 26 km/h. Si el alcance
de sus equipos de radio es de 150 km/h. ¿Podrán comunicarse los barcos a
las 3 de la tarde?
6.
Un hombre desde P observa a un avión situado en el punto A según un
ángulo de elevación β = 33o, en el mismo instante que otro hombre divisa
desde Q al avión según un ángulo de elevación α = 44o. Si la distancia entre
los hombres es de 3 500 m, calcula la distancia del avión a los observadores.
7.
Se necesita hallar la distancia inaccesible BD, debiéndose hacer todas las
mediciones desde la margen opuesta al río representado. ¿Cómo
procederías? (Describe el algoritmo de trabajo).
8.
Sea el ∆ ABC con la notación habitual, si a = 10 mm, b = 8 mm y γ = 72o y el
cual está dividido en dos partes cuyas áreas están en la razón 4 : 5.
9.
Partiendo de la ley de los senos demuestra que
10. a)
a + b sen α + sen γ
.
=
c
sen γ
Busca en una enciclopedia, texto o cualquier otro medio la llamada
fórmula de Mollweide.
b)
Demuestra la misma.
c)
Aplicada para comprobar la resolución de un triángulo ABC en el cual se
conoce que a = 10,3 dm, c = 6,45 dm y β = 32,4o. Emplea la
computadora de tu escuela o una calculadora.
Cuarto caso:
Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: a, b y β.
A este caso se le denomina caso dudoso.
El teorema o ley de los senos nos permite calcular α.
a
b
a ⋅ sen β
de donde sen α =
(hay dos
=
sen α sen β
b
posibilidades como explicamos en el caso anterior)
ϕ = 180 o − (α + β)
(dos
posibilidades,
consecuencia de las dos de α)
El lado c se calcula por el teorema de los senos:
como
b
c
b ⋅ sen γ
(dos posibilidades como consecuencia de las dos de
=
; c=
sen β sen γ
sen β
β y γ)
Discusión: Resumamos las posibilidades que pueden darse:
b 〈 a sen β , no hay solución.
b = a sen β , una solución.
β < 90o
b 〉 a sen β, b 〈 a , dos soluciones.
b ≥ a , una solución.
b ≤ a , no hay solución.
β > 90o
b 〉 a , una solución.
Como estudio independiente aquellos alumnos, mediante un procedimiento gráfico
podrán analizar la existencia de solución y si existe sí existirá. No obstante en la
práctica, al realizar el ejercicio obtendremos el resultado:
Ejemplo 4:
Sea el ∆ ABC, conocemos b = 74 cm, c = 45 cm y γ = 57o. Calcular los demás
elementos.
Solución:
Cálculo de β
b
c
bsen γ
de donde sen β =
=
sen β sen γ
c
sen β =
14 cm ⋅ sen 57 o
45
sen β =
14 cm ⋅ 0,839
45
sen β ≈
61
> 1, imposible.
45
Por tanto no hay solución, o sea, no existe un triángulo cuyas medidas sean las
dadas.
Ejemplo 5:
En el ∆ ABC, b = 74 dm, c = 45 dm, γ = 57o. Calcula los elementos restantes.
Solución:
Cálculo de β:
sen β =
b sen γ
c
sen β =
74 ⋅ 0, 839
69
sen β = 0, 899
De donde hay dos posibilidades:
β1 = 64o
β2 = 180o – 64o = 116o
Cálculo de α:
Como existen dos valores para β existirán dos valores para α.
Si β1 = 64o, entonces α1 = 180o – (γ + β1);
α1 = 180o – (57o + 640) = 59o;
Si β2 = 166o, entonces α2 = 180o – (γ + β2);
α2 = 180o – (57o + 116o) = 180o – 173o = 7o;
Cálculo de a:
Existirán dos valores posibles de a, dado que α tiene dos valores:
45 ⋅ sen 59 o
sen 57 o
Si α = 59o, a =
a=
a=
c sen α
sen γ
45 o ⋅ 0,857
0,839
a ≈ 46 cm
Si α = 7
o
a=
a≈
45 ⋅ sen 7 o
sen 57 0
45 ⋅ 0,122
0,839
a ≈ 6,5 cm
Existen dos soluciones posibles que resumimos en la siguiente tabla:
α
β
γ
59o
64o
46 cm
7o
116o
6,5 cm
No sabremos cuál es el resultado real por eso es que este caso se denomina
“caso dudoso”.
Aplicaciones de la Trigonometría plana
Son innumerables las aplicaciones de la trigonometría plana en distintas
actividades del hombre en el campo de la ciencia; la resolución de triángulos vista
con antelación es una de estas aplicaciones, aquí mostraremos otras que no solo
son en matemática sino en otras disciplinas.
Veamos el siguiente:
Teorema:
El área de un triángulo cualquiera es igual a la mitad del producto de dos lados y
el seno del ángulo formado por estos lados.
Sea el ABC de área A, la tesis de este teorema es:
A=
1
b c sen α
2
Veamos la demostración.
Tracemos CD ┴ AB, luego CD = h es una altura del ∆ ABC, tenemos que:
(1) A =
1
c h (El área de un triángulo es la mitad del producto de un lado y la
2
altura correspondiente a este lado.
En el ∆ ADC rectángulo en c ya que CD ┴ AB, tenemos:
sen α =
h
de donde:
b
h = b ⋅ sen α (2)
Sustituyendo (2) en (1) resulta finalmente:
A=
1
b c sen α
2
Expresión de gran aplicación en Agrimensión y Topografía.
Aunque la demostración se ha realizado considerando α agudo, es válida en
cualquier triángulo. Podemos también plantear:
A=
1
1
a c sen β y A = ab sen γ
2
2
Ejemplos:
1. En el ∆ ABC, β = 100o, γ = 50o, b = 325 m y c = 0,45 km. Calcula el perímetro y
el área del triángulo.
Solución:
P=a+b+c
(1)
Calculamos α:
α = 180o - (100o + 50o) = 180o - 150o = 30o
apliquemos la ley de los senos para hallar a:
a
c
c sen α
=
de donde a =
sen α sen γ
sen γ
c = 0,45 km = 450 km
sen α = 30 o =
(2)
1
2
y
sen γ = sen 50 o = 0,766 ,
sustituyendo en (2) resulta:
1
2 = 225 ≈ 294
a=
0,766
0,766
450 ⋅
a = 294 m
Entonces P ≈ 294 + 325 + 450 ≈ 1060 m
P ≈ 1,07 km
Calculamos el área del triángulo dado:
A=
1
b c sen α
2
A≈
1
⋅ 325 m ⋅ 450 m ⋅ sen 30 o
2
A≈
1
1
⋅ 146 250 ⋅ m 2 (calculando)
2
2
(sustituyendo)
A ≈ 36 563 m 2
A ≈ 3,67 hm 2
A ≈ 3,67 ha
(Recuerda que un hectómetro cuadrado es igual a una
hectárea).
Veamos ahora una aplicación de la trigonometría en el campo de la topografía,
aunque antes vamos a definir dos términos necesarios:
Ángulo de elevación y depresión:
Como se ve en la figura, si un observador en un punto x ve un objeto, entonces el
ángulo que forma la visual con la horizontal l, es el ángulo de elevación del objeto
si está por encima de la horizontal, o el ángulo de depresión del mismo , si el
objeto está debajo de la horizontal.
2. Desde la azotea de un edificio que da al mar, un observador ve un
embarcación navegando directamente hacia el edificio. Si el observador está a
100 m sobre el nivel del mar, y si el ángulo de depresión de la embarcación
cambia de 25o a 40o durante el período de observación, calcula la distancia
aproximada que recorrió la embarcación.
En la figura A y B representan las posiciones de la embarcación a los ángulos de
depresión α = 25 o
y
β = 40 o . El punto D indica la posición del observador y C
es el punto 100 m directamente abajo, AB = d , BC = k . La recta l representa la
horizontal y la recta h la superficie del mar (l || h), observa que los ángulos DAC y
α son iguales y también los ángulos β y DBC por alternos entre las paralelas l y h y
segmentos AD y BD respectivamente.
Como el BCD es rectángulo en D por ser el edificio vertical al suelo, tenemos:
cot β = cot 40 o =
k = 100 ⋅ cot 40 o
k
100
(por definición de la razón cotangente)
(1)
En el DAC rectángulo en C:
cot α = cot 25 o =
d +k
de donde:
100
d + k = 100 ⋅ cot 25 o
d = 100 ⋅ cot 25 o − k
(2) (Despejando k)
Sustituyendo (1) en (2) resulta:
d = 100 ⋅ cot 25 o − 100 ⋅ cot 40 o
d = 100 (cot 25 o − cot 40 o )
d = 100 (2,15 − 1,19 ) ≈ 95
(sacando factor común)
(sustituyendo valores de la tabla trigonométrica)
Respuesta: Luego, la embarcación recorrió aproximadamente 95 m.
La trigonometría nos facilita el cálculo de distancias inaccesibles cuya medición
directa sería muy difícil o imposible, altura de elevaciones, distancia entre dos
puntos entre los cuales haya un obstáculo insalvable, veamos el ejemplo
siguiente:
Polígonos regulares
Las figuras representadas se denominan polígonos:
Llamaremos polígono a la región del plano limitada por una poligonal cerrada.
ABCDE: polígono
Vértices A, B, C, D, E y E
Ángulos interiores: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D y ∠E
Lados: AB, BC, CD, DE y EA
Un polígono regular es aquel que tiene iguales lados y sus ángulos interiores.
El triángulo es equilátero, es un polígono regular por tener iguales sus ángulos
interiores y sus lados, sin embargo el rectángulo no lo es ni el rombo, ¿podrías
explicar por qué?
Elementos de un polígono regular:
n: número de lados.
l: longitud de un lado.
r: radio de la circunferencia circunscrita.
a: apotema.
El cálculo de un elemento cualquiera de un polígono regular se facilita mediante la
trigonometría.
Ejemplos resueltos:
1. Un pentágono regular está inscrito en una circunferencia cuya longitud es de
20 π dm.
Calcula su perímetro y área.
Solución:
Si en un polígono regular de n lados, se trazan los radios desde el centro de la
circunferencia circunscrita a los vértices del polígono
este queda descompuesto en n triángulos isósceles.
AB
: lado del pentágono regular de longitud l.
Cálculo del perímetro:
P = n⋅l
n = 5 (pentágono regular) (1)
∠A o B = α =
360 o 360
=
= 72 o
n
5
aplicando la ley de los cosenos en el AOB:
l 2 = r 2 + r 2 − 2 ⋅ r ⋅ r ⋅ cos α
l 2 = 2r 2 − 2r 2 ⋅ cos α
l 2 = 2r 2 (1 − cos α)
l = 2r 2 (1 − cos α)
l = r 2 − 2 cos α
(1)
Calculemos r partiendo de la fórmula L = 2 π ⋅ r ;
l = 10 2 − 2 cos 72 o
r =
L
20 π
=
= 10 dm
2π
2π
(sustituyendo en (1))
l ≈ 10 2 − 2 ⋅ 0,309
(cos 72o = 0,309)
l ≈ 10 2,62
l ≈ 11,7 dm
P = 5 ⋅ 11,7 dm
P = 58,5 dm
(sustituyendo en (1))
Cálculo del área:
El polígono queda dividido en cinco triángulos iguales al AOB, luego su área es
igual a:
A = 5 A(∆AOB )
A(∆AOB ) =
1
r ⋅ r ⋅ sen 72o
2
A(∆AOB ) =
A(∆AOB ) ≈
1 2
⋅ r ⋅ sen 72 o
2
1
⋅ 10 2 ⋅ 0,951 dm 2
2
A(∆AOB ) ≈ 47,5 dm 2
El área A de un polígono regular de n lados es igual a su semiperímetro por la
apotema.
Demostraremos este teorema, tracemos OH ⊥ AB , la altura OH del AOB se
denomina apotema del polígono regular, tenemos que: A(∆AOB ) =
l ⋅a
, y como el
2
polígono queda dividido en n triángulos iguales al ∆ AOB al trazarse los radios
cuyos extremos son el centro y los vértices del polígono resulta:
P
 l ⋅a   n ⋅l 
A(polígono regular ) = n
=
 ⋅ a = ⋅ a = p ⋅ a , quedando demostrada la
2
 2   2 
propiedad. Obtengamos el área del pentágono regular aplicando la fórmula
anterior.
Hallemos p =
P
2
(semiperímetro) p =
58,5 dm
= 29,3 dm .
2
En el ∆ OHB, rectángulo en H:
cos ∠HOB =
a
r
a = r ⋅ cos HOB
α
(OH bisectriz del α, por ser AOB isósceles de base AB y OH altura relativa a AB )
2
72 o
∠OHB =
= 36 o
2
∠HOB =
a = 10 ⋅ cos 36 o
a ≈ 10 ⋅ 0,809
a ≈ 8,09 dm
A (pentágono regular) = 29,3 dm · 8,09 dm
A ((pentágono regular) = 237 dm2
Veamos otras aplicaciones de la trigonometría, por ejemplo, a la física.
Ejercicio propuesto:
1. Un bloque de madera tiene una masa de 5 kg, se encuentra en un plano
inclinado que forma un ángulo de 20o con la horizontal. Haciendo caso omiso
de todas las fuerzas, excepto de la gravedad, calcula la fuerza que se requiere
para mantener el bloque sin movimiento.
Solución:
Si el bloque tiene una masa de 5 kg, su peso es numéricamente igual, o
sea, está representado por una fuerza cuya intensidad es 5 kgf, esta es la
intensidad del vector AB , el mismo se descompone en los vectores AC y
AD que forma un ángulo recto y que se denominan respectivamente
componentes horizontal y vertical de AB, la fuerza que mueve al vector es
AC. En la figura se forma un rectángulo BDAC, resulta:
α = ∠ BAD (por ser ángulos agudos que tienen sus lados respectivamente
perpendiculares)
Luego, en el ABD, rectángulo en D:
sen 20 o =
DB
AB
=
AC
AB
AC = AB ⋅ sen 20 o
AC = 5 kgf ⋅ 0,342
AC ≈ 1,7 kgf
Respuesta: Es necesaria una fuerza de 1,7 kgf de intensidad para mantener
el bloque sin moverse, la misma deberá actuar en sentido opuesto a la
fuerza AC, o sea, esta fuerza es CA.
2. Dos fuerzas F1 = 30 N y F2 = 20 N actúan sobre un punto de un cuerpo rígido y
sus direcciones forman un ángulo de 60o. Calcula:
a) La intensidad de la fuerza resultante.
b) ¿Qué ángulo forma la fuerza mayor con la resultante?
Solución:
a) Representemos la situación mediante un gráfico:
b) Como sabes la fuerza resultante se representa mediante la diagonal del
llamado
paralelogramo
de
fuerza
(OABC)
cuyos
lados
son
las
representaciones gráficas de F1 y F2.
En el AOB, apliquemos la ley de los cosenos:
2
2
2
R = F1 + F2 − 2 F1 ⋅ F2 ⋅ cos 120 o
( AB = OC , y COA suman 180 )
o
1
2
R = (30 ) 2 + (20 ) 2 − 2 (30 ) (20 ) ( − ) (cos 120o = -cos 60o)
2
2
R = 900 + 400 + 600
2
R = 1900
R = 1900
R ≈ 44 La fuerza resultante es de 44 N.
Debemos calcular qué ángulo forma R con F1, llamaremos θ a este ángulo.
En el triángulo AOB conocemos │R│, │F1│, │F2│ y el ángulo OAB = 120o, para
hallar θ apliquemos la ley de los senos:
F2
sen θ
R
=
sen 120 o
F2 ⋅ sen 120 o
sen θ =
R
sen θ =
sen θ =
20 ⋅ 0,866
44
17,3
= 0,393
44
θ ≈ 23,1o
(sen 120o = sen 60o = 0,866)
La resultante R forma con la fuerza mayor F1 un ángulo de aproximadamente
23,1o. Ahora sí estará determinada la fuerza R ya que conocemos su
intensidad, dirección y su punto de aplicación, en ocasiones los estudiantes
suelen reconocer a un vector solo por su módulo o intensidad y esto es un
grave error conceptual, pues los vectores se caracterizan por tener dirección,
sentido, módulo y punto de aplicación, son las magnitudes escalares como el
volumen, la longitud entre otras las que pueden ser expresadas por un número
y su correspondiente unidad de medida.
Ejercicios propuestos:
1. Sea el triángulo ABC, resuelve el mismo en cada
caso y calcula su área:
a) a = 44,6 m
b = 34, m
γ = 90o
b) b = 120 hm
c = 80 hm
α = 60o
c) α = 80o
β = 45o
b = 60 dm
d) a = 8,0 km
b = 7,0 km
c = 9,0 km
Nota: Puedes utilizar calculadora para agilizar los cálculos.
2. Demuestra que el área de un triángulo equilátero de lado (l) viene dada por la
fórmula siguiente:
A=
l2 ⋅ 3
4
3. a) En la figura:
ABCD es un cuadrado de área igual a 144 dm2.
∆ BCE: equilátero.
Calcula el área del triángulo ABE por dos vías diferentes.
b) Calcula el ángulo que forman entre sí dos tangentes a una circunferencia de
15 cm de radio, trazadas desde un punto que dista 2,7 dm del centro.
4. En un triángulo isósceles, su ángulo vertical mide 120o y uno de sus lados
iguales tiene una longitud de 2,4 dm.
a) Resuelve el triángulo dado.
b) Calcula el área del triangulo por dos vías diferentes.
5. Un exágono regular está inscrito en una circunferencia cuya longitud es de 10
π dm. Calcula el perímetro y el área del exágono dado.
6. En un triángulo dos lados miden 10 cm y 0,6 dm, y el área es de 15 cm2. Halla
la longitud del otro. ¿Cuántas soluciones hay?
7. Los lados de un triángulo miden a = 14 cm, b = 13 cm y c = 15 cm. Halla la
longitud de la altura relativa al lado a.
8. a) Halla la intensidad de la resultante de dos fuerzas de 20 N y 30 N que
actúan en un punto de un cuerpo y forman un ángulo de 60o.
b) Sea la longitud de una cuerda de una circunferencia de centro O y diámetro
d y α el ángulo central correspondiente, demuestra que: l = d sen
α
.
2
9. Dos fuerzas de 10 N y 20 N actúan en el punto de un cuerpo y dan una
resultante de 13 N.
a) Halla el ángulo que forman las dos fuerzas.
b) Calcula los ángulos que forma cada una con la resultante.
(N: newton, unidad de fuerza)
10. Demuestra que la longitud an de la apotema de un polígono regular de n lados
inscrito en una circunferencia de radio r se calcula por la expresión:
an = r
 180 o
cos
 n



a) Valiéndote del resultado anterior calcula la apotema de un exágono regular
inscrito en una circunferencia cuyo diámetro mide 40 dm.
b) Calcula el área del exágono regular.
12. En la figura:
∆ APC rectángulo en C
P es un punto de AB tal que
AP 1
=
PB 2
AB = 27 dm
¿Cuál debe ser la amplitud, en radianes del ángulo α para que el área del
triángulo dado sea
3 3
dm 2 ?
8
13. Sea ∆ ABC en el cual se cumple que:
3
3
4
=
=
sen ∠A sen ∠B sen ∠C
Calcular:
a) sen
c
2
b) cos ∠C
Nota: No se necesita la fórmula del seno del ángulo mitad.
14. El triángulo ABC rectángulo en C, tan ∠A =
3
4
y
AB = 30 cm.
Calcula el perímetro y el área del triángulo dado.
b) (**) En un triángulo rectángulo en el que b y c representan la longitud de los
catetos. La longitud x de la bisectriz correspondiente al ángulo recto es:
x=
bc 2
(
b+c
),
x=
bc 2
(
b−c
),
x=
bc 2
(
c −b
) , no se puede determinar (
)
15. a)
El ángulo principal o vértice de un triángulo isósceles, cuya base mide
8,0 dm, tiene una amplitud de 54o. Calcular:
•
Los elementos restantes del triángulo.
•
El perímetro y el área del triángulo.
b) En la figura se representa el cuadrilátero
ABCD,
tal
que
∠
ADC
=
120o,
AD = 3,0 m , CD = 5,0 m y BC ⊥ AC . Si
A(∆ABC) = 14 dm2. Calcular el perímetro
del ∆ABC y halla el valor de cot ∠BAC.
16. En los puntos A y B están situados dos torres de vigilancia de incendios a una
distancia de 7,0 km. De acuerdo con los datos que aparecen en la figura, si se
detecta un incendio en C, ¿a qué distancia de la torre ubicada en B se
encuentra el incendio?
17. Demuestra trigonométricamente el teorema siguiente:
En todo triángulo la bisectriz de un ángulo interior, divide al lado opuesto en
dos segmentos proporcionales a los otros dos lados.
18. a) El triángulo ABC es la base de una pirámide recta de altura 6,0 dm. Si ABC
= 80o, B < A = 55o y AC = 10 dm . Calcula el 75 % del
volumen de la pirámide.
b) En la figura se representa un cono circular recto de r = 6,0
dm, si el ángulo que forma su generatriz g con su altura
h es de 37o, calcula su área total y volumen.
Nota: Busque en un formulario la información necesaria.
19. El caudal (corriente o flujo de agua) en la desembocadura del río Orinoco, en
Venezuela se puede calcular en forma aproximada mediante la fórmula:
π

F (t ) = 26000 sen  (t − 5,5) + 34000 donde t es el tiempo en meses y F(t) es
6

el caudal en m3/s. Durante aproximadamente cuántos meses del año el flujo de
agua es superior a 55 000 m3/s.
20. Un acueducto suministra agua a una comunidad. Durante los meses de
verano, la demanda D (t) de agua, en m3/días, está dada por la expresión:
D(t ) = 200 sen
π
t + 4000 en la cual t es el tiempo en días, t = 0 corresponde
90
al inicio del verano.
Traza el gráfico aproximado de D (0 ≤ t ≤ 90o).
¿Cuándo es máxima la demanda de agua?
21. Demuestra que la suma de los cuadrados de las longitudes de dos lados
cualesquiera de un triángulo es igual a dos veces el cuadrado de la longitud de
la mediana al tercer lado, más un medio del cuadrado de la longitud del tercer
lado.
22. Determinar el ángulo de refracción de r de un rayo de luz que pasa a través de
un diamante, si el ángulo de incidencia (i) es 30o y el índice de refracción n es
2,42.
(Refracción de la luz)
Nota: Cuando la luz pasa de un medio a otro de distinta velocidad, el rayo se
desvía, este fenómeno se denomina refracción.
Se cumple que la razón entre el seno del ángulo de incidencia y el seno del
ángulo de refracción es una constante, denominada índice de refracción.
sen i
=n
sen r
Interesante, estamos rodeados de fenómenos naturales, que el más simple no
escapa de la atención de la matemática.
23. Un topógrafo determina la anchura de un río de la siguiente manera: Desde un
punto A situado a 1,50 m de distancia de una orilla dirige con el tránsito o
teodolito una visual a una piedra B, que hay en la otra orilla, justamente
enfrente. Después hace girar el anteojo el ángulo BAC = 90o y traza
AC = 30,5 m y coloca el teodolito en C. Desde este punto dirige una visual al
punto A y otra a la piedra B. Encuentra que el
ángulo ACB mide 73o 42’. Determina la anchura
del río?
Nota: Teodolito o tránsito: Instrumento para
medir distancias y ángulos.
24. Desde los puntos A y B de una costa se divisa un faro F. Si los ángulos FAB y
FBA miden 30o y 48,6o y la distancia a A a B es de 5,0 km. ¿A qué distancia
está situado el faro del punto A?
25. (**) Resolver y calcular el área de los triángulos ABC, rectángulo en C,
P = 24 dm y hc = 4,8 dm.
Nota: hc es la altura correspondiente al lado c.
Capítulo 2. Ecuaciones y funciones exponenciales y logarítmicas
2.1 Ecuaciones e inecuaciones exponenciales
En el primer semestre se estudian las potencias de exponente real, y base
positiva, o sea, en la igualdad:
a c = b , se tiene a > 0 y b > 0.
A
continuación
(a 〉 0, b 〉 0,
resumimos
m∈R
y
las
propiedades
n ∈ R)
1. a m ⋅ b m = a m +n
2. a n ⋅ b n = (a ⋅ b ) n
3.
am
= a m −n
an
an  a 
4. n =  
b
b
( )
5. a m
n
n
= a m⋅n
1
an
6. a −n =
m
7. a n = n a m
Ejemplo 1:
Calcula aplicando las propiedades de las potencias:
1
2
a) 6 ⋅ 6
(x
b) 3 : 3
2
−9
e) 2
x + 6x + 9
8
(x ) ⋅ (x ) (x 〉 0)
f)
(x )
2
2n 3
12
)
4
3
−n 2
2 n −1 3
5
2
c) 60 3 : 20 3
2 2
g)   ⋅  
3 3
( )
a 2n −1 ⋅ b n −3
h) 4 n +3 4−2 n
a
⋅b
d) 3
1
−6 3
Solución:
(x ≠ 0 )
(a 〉 0,
b 〉 0)
de
estas
potencias:
1
a) 6 2 ⋅ 6
3
4
1 3
+
4
= 62
=6
5
4
= 4 6 5 = 4 7776
b) 312 : 3 8 = 312−8 = 3 4 = 81
3
 60 
c) 60 : 20 =   = 3 3 = 27
 20 
3
3
( )
=3
(x
)
1
3
d) 3 −6
−6 1
3
= 3 −2 =
1 1
=
32 9
(
2
)
[(x + 3)(x − 3)]
−9
x2 − 9
e) 2
=
=
2
x + 6 x + 9 (x + 3 )
(x + 3 )2
=
2
2
(x + 3 )2 (x − 3 )2 = (x + 3 )0 (x − 3 )2 = 1⋅ (x − 3)2 = x − 3
(x + 3 )2
(x ) ⋅ (x )
f)
(x )
2n 3
−n 2
2 n −1 3
5
3 2
g)   ⋅  
2 3
5
−2
3 3
=   ⋅ 
2 2
h)
2
=
x 6 n ⋅ x −2n
x 4n
=
= x 3 −2 n
x 6 n −3
x 6 n −3
 
3  1
=   ⋅ 
2 3
 2 
−2
−1
5
 3   3  
=   ⋅   
 2   2  
5
−2
(x ≠ −3)
2
3
3 3 27
3
=  = 3 =
8
2
2
a 2n −1 ⋅ b n −3
a 2 n −1 b n −3
=
⋅
a 4 n + 3 ⋅ b 4 − 2 n 4n + 3 b 4 − n
a − 2 n − 4 ⋅ b 2 n − 7 = a − (2 n + 4 ) ⋅ b 2 n − 7 =
b 2 n −7
a 2n+4
(a 〉 0,
b 〉 0)
Teorema 1:
Si a x = a α , entonces x = y
(x ∈ R, y ∈ R;
a 〉 0; a ≠ 1)
Ecuaciones exponenciales
Son aquellas que contienen potencias de bases positivas en las cuales las
incógnitas son los exponentes o forman parte de estos.
Ejemplos:
a) 4
b) 5
− 64 = 0
2x
x −1
3
= 625 x
c) 3 2 x = 90 − 3 x
Estos tipos de ecuaciones se presentan con mucha frecuencia en determinadas
aplicaciones de la matemática, la ciencia y la ingeniería.
Las ecuaciones exponenciales no requieren se comprobadas una vez resuelta
sino que están combinadas con otros tipos de ecuaciones que sí requieren
comprobación.
Ejemplo 2:
Resolver:
a) 2 2 x −1 =
1
1024
b) 5 2 x −12 − 25 2 x = 0
c) 4
2 x +1
d) 27 cos
e)
2
= 2 x +2
x
= 3 10 sen x −7
10 ( x −1)
x +1
( 2)
2 x +1
= (0,5) 1− x
Solución:
Las propiedades de las potencias y el teorema 1, nos permitirán la resolución de
ciertos tipos de ecuaciones exponenciales.
Resolveremos ecuaciones exponenciales del tipo a f ( x ) = a g ( x )
a) 2 2 x −1 =
2 2 x −1 =
1
1024
1
210
2 2 x −1 = 2 −10
(potencia de exponente negativo)
2 x − 1 = −10
(aplicando el teorema 1)
2 x = −9
x=−
9
2
x = −4,5
(a 〉 0)
No es necesario comprobar las ecuaciones exponenciales de este tipo.
b) 5 2 x −12 − 25 2 x = 0
5 2 x −12 = 25 2 x
(transponiendo)
5 2 x −12 = (5 2 ) 2 x
(expresando 252x como potencia de base 5).
5 2 x −12 = 5 4 x
2 x − 12 = 4 x
(teorema 1)
− 2 x = 12
(transponiendo)
x = −6
Tampoco aquí es necesaria la comprobación
c) 4
2 x +1
= 2 x +2
(ecuación exponencial-radical)
Expresando el primer miembro como potencia de base 2
22
2 x +1
= 2 x +2
2 2x + 1 = x + 2
(teorema 1)
Elevando ambos miembros al cuadrado:
4(2 x + 1) = x 2 + 4 x + 4
x 2 − 4x = 0
x( x − 4) = 0
x1 = 0
x2 = 4
La presencia de radicales nos obliga a realizar la comprobación.
Para x1 = 0
M. D.: a 0+ 2 = 2 2 = 4
M. I.: 4
2⋅0 +1
=4
0 +1
=4
9
=4
M. D. = M. I.
Para x = 4
M. D.: 4
2⋅4 +1
= 4 3 = 64
M. I.: 24+2 = 26 = 64
M. D. = M. I.
El conjunto solución es S =
d) 271−cos
2
x
= 310 sen x −7
0; 4
(Trigonométrica exponencial)
(3 )
(3 )
2
3 1− cos x
2
3 sen x
3 3 sen
2
x
= 310 sen x −7
= 3 10 sen x −7
= 310 sen x −7
3 sen 2 x = 10 sen x − 7
3 sen 2 x − 10 sen x + 7 = 0
(3 sen x − 7)(sen x − 1) = 0
sen x =
7
3
imposible ya que
7
〉1
3
sen x = 1
x=
e)
π
+ 2kπ
2
10 ( x −1)
x +1
( 2)
 21 
2 
 
 
2
2
5 ( x −1)
x +1
2 x +1
= (0,5) 1− x
10 ( x −1)
x +1
5 ( x −1)
x +1
(k ∈ Z )
2 x +1
 1  1− x
= 
2
( )
= 2 −1
=2
(x ≠ 1
2 x +1
1− x
−2 x −1
1− x
5(x − 1) − 2x − 1
=
x +1
1− x
5(x + 1) 2 x + 1
=
x +1
x −1
5(x − 1) = (x + 1)(2 x + 1)
2
5(− 2 x + 1) = 2 x 2 + x + 2 x + 1
3 x 2 − 13 x + 4 = 0
(3 x − 1) (x − 4) = 0
x1 =
1
3
x2 = 4
y
x ≠ −1)
Estudiaremos ahora un tipo más complejo de ecuación exponencial, o sea, de la
forma:
a 2x + a x + b = 0
b ∈ R,
(a 〉 0,
x ∈ R)
Aplicaremos para su solución un cambio de variable, veamos los ejemplos
siguientes:
2. Resolver las ecuaciones siguientes:
a) 3 2 x − 27 = 2 ⋅ 3 x +1
b) 9 x −
5 x 9 2x
⋅6 = ⋅2
4
4
Solución:
a) 3 2 x − 27 = 2 ⋅ 3 x +1 (Cuidado con 2 ⋅ 3 x +1 ≠ −6 x +1 ya que las potencias no
tienen
exponentes iguales.)
3 2 x − 2 ⋅ 3 x +1 − 27 = 0
(Transponiendo)
3 2 x − 2 ⋅ 3 ⋅ 3 x − 27 = 0
(Desdoblando 3x+1 como 3 ⋅ 3 x )
3 2 x − 6 ⋅ 3 x − 27 = 0
Haciendo 3x = t > 0 resulta (3 x ) 2 = 3 2 x = t , sustituyendo:
t 2 − 6t − 27 = 0
(t − 9) (t + 3) = 0
t1 = 9 〉 0
t 2 = −3 〈 0 (imposible)
3 x = 9; 3 x = 3 2 ;
S=
b) 9 x −
(3 )
x=2
2
5 x 9 2x
⋅6 = ⋅2
4
4
x 2
−
5 x x 9 2x
⋅3 ⋅2 = ⋅2
4
4
Necesitamos pensar un poco, estamos tentados a realizar los cambios de
variables:
3x = t
2 x = v , lo cual no nos condiciona a resolver la ecuación ya que
y
estamos ante potencias de distintas bases, escribamos la ecuación de manera
que quede una sola potencia de igual base, para ello dividamos ambos
miembros de la misma por 22x > 0:
9 2x
⋅2
32x 5 2x ⋅ 3 x 4
−
⋅
=
22x 4 2 2x
22x
3
 
2
2x
3
 
2
2x
−
5 2x ⋅ 3x 9
⋅
=
4 2x ⋅ 2x 4
x
5 3
9
− ⋅  =
4 2
4
Ahora esta claro el cambio de variable siguiente:
x
3
  = t ; de donde
2
t2 −
2
 3  x 
2
   = t , resultando la ecuación:
 2  
5
9
t=
4
4
4t 2 − 5t − 9 = 0
(4t − 9)(t + 1) = 0
t1 =
9
〉0
4
t 2 = −1
x
x
(imposible)
2
9 3
3
3
  = ;   =   ; de donde x = 2.
4  2
2
2
3. Resuelva los sistemas de ecuaciones siguientes:
a)
( 2)
2 x +8 y
=
1
32
b)
92x+y − 3 = 0
a)
1
32
(1)
92x+y − 3 = 0
(2)
2 x +8 y
=
2
−y
= 243
2 2 x ⋅ 4 0,5 y = 8
Solución:
( 2)
3x
Expresando los miembros de la ecuación (1) como una potencia de base 2 y el
primer término del miembro izquierdo de la ecuación (2) como una potencia de
base 3.
 21 
2 
 
 
2 x +8 y
(3 )
=
2 2 x +y
1
25
2 x + 4 y = 2 −5
~
3 4 x +2y = 3
−3 = 0
De este último sistema de ecuaciones exponenciales, se obtiene el sistema lineal:
x + 4 y = −5
(3)
4 x + 2y = 1
(4)
Multiplicando por –2 ambos miembros de la ecuación (4)
x + 4 y = −5
− 8 x − 4 y = −2
− 7 x = −7;
x =1
Sustituyendo en (4) se obtiene 4(1) + 2y = 1;
3
y = − , luego el conjunto solución
2
 − 3 
del sistema es S = 1;
 .
 2 
b)
3x
2
−y
= 243
~
3x
2
−y
= 35
( )
2 2 x ⋅ 4 0,5 y = 8
22x ⋅ 22
~
0,5 y
= 23
3x
2
−y
= 35
22x+y = 22
Del último sistema de ecuaciones exponenciales se obtiene el sistema cuadrático:
x2 − y = 5
(1)
2x + y = 3
( 2)
Despejando en (2) se tiene: y = 3 − 2 x
x 2 − (3 − 2 x ) = 5;
x 2 − 3 + 2x − 5 = 0
x 2 + 2x − 8 = 0
(x + 4)(x − 2) = 0
x 2 − 3 + 2 x − 5 = 0;
(3) , sustituyendo (3) en (1) resulta:
x 2 + 2x − 8 = 0
x1 = −4
x 2 = 2 , sustituyendo en (3) se obtienen y 1 = 11 y
y
y 2 = −1, el
conjunto solución es: S = {(− 4; 11); (2; − 1)}
Ejercicios propuestos:
1. Calcula aplicando las propiedades de las potencias:
a) 100
1
4
e)
8 2 n ⋅ 16 1−n
 n 3+ 2 
4 




3
−2
b) (0,16)
−
 8 3
f)  
 27 
3
2
 2
0
3 −6
c) 
2
−

3
 9





−
2
3
g)
d) (0,000125)
2
b)  
3
x +5
c) 100 2 x
2
1
27
9
= 
4
+ 2 x −1
d) 2 2 x −1 = 4 x
e) 8 x
f) 3 x
2
2
−2
2
8−4 x
− 10 = 0
− 0,25
= 4 5 x −3
+ 4 x +1
=
1
27
g) 4 x − 5 ⋅ 2 x + 4 = 0
h) 8 3 x
2
−5
= 64 − x
i) 4 x − 5 ⋅ 2 x + 4 = 0
j) 3 x −1 + 69 = 3 2 x − 3 x
k) 2 x ⋅ x 4
7
3
− 32 0,4
2


−4

h) 36 + 2 ⋅ 343 3 




4
3
2. Resolver:
a) 3 3 x = 3
( 1000 )
0,75
1


3 

− 4 + 9 ⋅ 64




−1,5
l) 2 2 x + 3 − 3 ⋅ 2 x +1 + 1 = 0
m) 2 x ⋅ x 4 ⋅ 8 x −2 = 1
n) 3 2 x − 27 = 2 ⋅ 3 x +1
( )
x
p) 3 x
r) 10 ⋅ 2 x
⋅ 9 x = 27
2
= 320
4
3. Halla el conjunto solución:
1
32
a) 2 4 −x =
2
b) 3 x + 31−x = 4
c) 3 2 y + 27 = 4 ⋅ 3 y +1
d) 9 x − 6 ⋅ 3 x = 27
e) 2 x (x
2
f)  
3
2
)
− 6 x +11x
−
( 2)
16 ( x − 2 )+12
=0
( x +1)
− 28 ⋅ 3 x + 3 = 0
g) 7 x + 2 + 2 ⋅ 7 x −1 = 345
h) 5
x
2
− 625 = 0
 1
i) 3 x  
3
j) 32
x +5
x −7
x −3
 1 
= 
 27 
x
= 0,25 ⋅ 128
x +17
x −3
4. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
2
3
c)
y
x + =16
2
y+
x
2
b)
16 x = 4 4 y + 3 x
= 243
2x − y = 3
4 x +y − 64 = 0
 1
3 x =  y
 81 
d)
10 ⋅ 5 x − 4 ⋅ 2 y = 1
(
)
20 5 x 2 y −
9
=0
20
2x
e)
2
+y 2
= 21024
( 2)
( 5)
( 5)
2 x 2 − 6 xy
f)
y
3 ⋅ 3 = 27
x
y
x
=
= 2 2 (y
2
)
+1
1
25
5. Resolver:
(
a) 5 x
b) 2
c)
d)
2
+ x −2
x 2 −6 x −
3 x −1
3
)
3− x
5
2
=1
= 16 2
310 x +5 + 3 x −9 27 3 x −7 = 0
x ( x +1)−
1
2
=43
6. Determina las soluciones de las ecuaciones siguientes:
( )
− 6(2 ) = 6
a) 4 x − 3 4 − x = 8
b) 2 x
−x
c) 2 x − 6 ⋅ 2 − x = 6
( )
d) 5 x + 125 5 − x = 30
e) 8 sen 2 x ⋅cot x − 4 cos 2 x = 0
( )
7. ¿Para qué valor de x la expresión E = 3 ⋅ 3 x + 9 ⋅ 3 − x − 2 7 se anula?
8. Demuestra que las igualdades siguientes se cumplen para todos los valores de
la variable x.
(
a) e x + e − x
b)
(e
x
) − (e
2
x
)(
)(
) (
+ e − x e x − e − x = 2 1 + e −2 x
) (
+ 2 e x − 2 + e x + e −x
)
2
)
+ 2e 2 x − e −2 x = 2e x
Nota: La base e de las potencias que aparecen en las identidades dadas
anteriormente es un número muy interesante, denominado número de Euler, en
honor a este matemático suizo que vivió en el período 1707-1783. Este número el
cual nos referiremos nuevamente más adelante interviene en diversas
aplicaciones de la matemática, es irracional y su valor aproximado es 2,72
9. Sea P ( x ) = 2 x e − x − 2 x 3 e − x , calcula los ceros del polinomio P.
2
10. Resolver:
2
a) 3 3 x + 1 = 27 x + 5 0,75 − x
(
− 6(2
b) 4 x − 3 4 − x = 8
c) 2 x
−x
)
)
+1 = 0
d) 2 x 2 e − x + xe − x = e − x
e) 0,5 4 2 x = 2 x +2
f) (*) 3 4 x +10 ⋅ 5 6 x +2 = 15 5 x + 6
11. Sean las expresiones A =
( 2+ 3)
x
y B=
( 2 − 3 ) . ¿Para qué x Є R se
x
cumple que A + B = 4.
12. Determina las soluciones de las siguientes ecuaciones:
a) (2)
cos 2 x
2
b)
c)
4
x
−
=
( 2)
4 −10 cos x
1
2
2 x +1
=0
3 3 − 2t + 5 ⋅ 9 t
=8
3
(
d) 2 3 2 x
2
− 3 x +1
)+ 9
(t ∈ Q )
x 2 − 3 x − 63
2
=0
13. Si 410x es la expresión que permite calcular el valor del perímetro de un
cuadrado ABCD, entonces 420x-2 es la expresión que permite calcular el valor
de:
___ el duplo del perímetro disminuido en 2.
___ el área del cuadrado.
___ el cuadrado del perímetro disminuido en 2.
___ el cuadrado del perímetro disminuido en 16.
(
)
3 + 6 1 − 3 x − 3 x +1 = 0 .
14. Resolver la ecuación
15. El volumen de un cubo o exaedro viene dado por la expresión 8x metros
cúbicos y su arista por 22x-1 metros. Calcula el área total de sus caras.
16.
Sean
(
)
A = 21− x cm
dos
y
cubos
(
cuyas
)
aristas
son
las
expresiones
B = 4 x ⋅ 24 cm . Calcula x Є Z para que la razón entre los
volúmenes de los cubos sea igual a
8
.
27
Inecuaciones exponenciales
Definición: Son desigualdades que contienen la incógnita o variable en el
exponente de una potencia.
Ejemplos:
1. 3 x −1 〈 9 2 x
x2
 1  x −1
2.   ≥ − 1
2
Para resolver inecuaciones exponenciales es necesario conocer la propiedad de
monotonía de la potenciación, que se expresa en el siguiente:
Teorema 2:
a) Si a 〉 1 y
a x 〈 a y entonces, x 〈 y
b) Si 0 〈 a 〈 1 y
a x 〈 a y entonces, x 〉 y
El teorema puede también ser expresado así:
a) Si a 〉 1 y
a x 〉 a y entonces, x 〉 y
b) Si 0 〈 a 〈 1 y
a x 〉 a y entonces, x 〈 y
Nota: Las desigualdades entre las potencias que aparecen en el teorema están
expresadas en sentido estricto pero pueden incluir la igualdad, así, por ejemplo:
Si a 〉 1 y
a x ≥ a y entonces, x ≥ y
El recíproco de este teorema se cumple, no realizaremos aquí ninguna
demostración, aunque si aplicamos estos resultados es los ejemplos resueltos
siguientes:
1. Compara los exponentes de las potencias dadas en cada una de las relaciones
siguientes:
3
 1  1
a)   〉  
2 2
n
b)
( 2) 〈 ( 2)
x
y
 1
c) 27 =  
 81 
n
m
 1
d)  
π
e) e
x −1
x
x 2 −2 x
≤e
 1
〈 
π
−3
2 x +1
x −1
(e: número de Euler)
Solución:
Es necesario para obtener la respuesta aplicar el teorema 2.
3
a) Aquí la base A =
n
1
 1  1
está entre 0 y 1 y como   〉   entonces 3‹ n ó n › 3.
2
2 2
b) a = 2 ≈ 1,41, luego
2 〉 1, la base es mayor que 1 y como
( 2) 〈 ( 2)
x
y
,
entonces x ‹ y.
c) En este caso es necesario igualar las bases para poder comparar los
exponentes, expresemos las potencias en base 3.
 1
27 ≥  
 81
n
m
3 3 m ≥ 3 −4 n
La base a = 3 〉 0 y como 3 3 m ≥ 3 −4 n , entonces 3m ≥ −4n .
d) En este caso a =
1
1
≈
≈
π 3,14
, luego está entre 0 y 1 y como la relación
entre los potencias es menor que, entonces x 2 − 2 x 〉 − 3 .
e) La base es a = e ≈ 2,72 〉 1
e
x −1
x
〈
, y como
2x + 1
x − 1 2x + 1
entonces
〈
x −1
x
x −1
2. Compara las potencias dadas con cada una de las siguientes relaciones:
a) 4 −3
(
b) 10 − 2
y
)
5
45
y
(10 )
−2 2 6
2
1
 1  11
c)  
6
y
 14
 
6
d) sen 4 45 o
e) (2k )
k +1
y
y
cos 3 45 o
(2k )k (k 〉 0 )
Soluciones:
Aquí aplicamos el recíproco del teorema 2.
a) La base a = 4 〉 1 y como − 3 〉 5 entonces 4 −3 〈 4 5 .
b) Como en base a = 10 −2 =
1
= 0,01 se encuentra entre 0 y 1 y 5 〉 2 6 = 4,9
100
entonces:
(10 ) 〈 (10 )
−2 5
−2 2 6
1
2 1
, está entre 0 y 1 y
〈 ya que 2 ⋅ 4 〈 11⋅ 1 entonces
6
11 4
c) Como la base a =
2
1
 1  11
 
6
 14
〉 
6
d) Aquí la base a = sen 45 o =
2
≈ 0,7 , está entre 0 y 1 y como 4 〉 3 , se cumple
2
que sen 4 45 o 〈 cos 3 45 o .
e) Como la base a = 2k, con k 〉 0 se deduce que 2k + 1 y como k + 1 〉 k , se tiene
entonces que (2k )
k +1
〉 (2k ) .
k
Resolución de inecuaciones exponenciales
El teorema 2 no facilitará la resolución de algunos tipos de inecuaciones
exponenciales, el siguiente ejemplo ilustrará lo expuesto, podrás notar que estas
inecuaciones se reducen a algebraicas.
Ejemplos resueltos:
1. Resuelve la inecuaciones:
a) 2
2 x +3
≤4
x
−2
2
b) 3 x
c)
− 3x
2
1
9
〉
2 x +1
〉1
3 x −1
d) 5 x + 3 ⋅ 5 x −2 〉 140
Soluciones:
x
a) 2 2 x +3 ≤ 4 2
−2
( )
2 2 x +3 ≤ 2 2
x
−2
2
(Expresando la potencia con base 2)
2 2 x +3 ≤ 2x − 4
(potencia de una potencia)
2x − 3 ≤ x − 4
(Teorema 2 (a)) (Inecuación lineal)
x ≤ −7
S = (− ∞; − 7]
b) 3 x
2
−3 x
〉
1
9
1
32
3x
2
−3 x
〉
3x
2
−3 x
〉 3 −2
(Transponiendo y reduciendo términos semejantes)
(Interpretación del exponente negativo)
x 2 − 3x 〉 − 2
(Teorema 2 (a))
x 2 − 3 x + 2 〉 0 (Inecuación cuadrática)
(x − 2)(x − 1) 〉 0
x1 = 2;
(Descomponiendo en factores)
x2 = 1
S = (− ∞, 1) ∪ (2, + ∞ )
c)
2 x −1
〉1
3 x −1
2
 
3
2
 
3
x −1
n
an  a 
(Aplicando la propiedad n =   )
b
b
〉1
x −1
2
〉 
3
0
(a
0
= 1; a ≠ 0
)
x − 1〉 0
(Teorema 2 (b))
x 〉1
S = (− ∞, 1)
d) 5 x + 3 ⋅ 5 x −2 〉 140
5x + 3 ⋅
5x +
5x
〉 140
52
3
⋅ 5 x 〉 140
25
25 ⋅ 5 x + 3 ⋅ 5 x 〉 140 ⋅ 25
28 ⋅ 5 x 〉 3500
5x 〉
3500
28
5 x 〉 125
5 x 〉 53
x〉3
S = (3; + ∞ )
2. Sean f ( x ) =
2x − 5
x +5
y
9(x ) =
1
x −3
Determina para qué valores de x Є R se cumple que 3 f ( x ) ≥ 3 g ( x )
Solución:
Como 3 f ( x ) ≥ 3 g ( x )
f (x) ≥ g (x)
y
3 〉 1 resulta que
(Teorema 2 (a))
2x − 5
1
≥
x +5
x −3
(Inecuación fraccionaria)
2x − 5
1
−
≥0
x +5 x −3
(2x − 5) (x − 3) − (x + 5) ≥ 0 (x ≠ −5; x ≠ 3)
(x + 5 ) ( x − 3 )
2 x 2 − 12 x + 10
≥0
(x + 5 ) (x − 3 )
(
)
2 x 2 − 6x + 5
≥0
(x + 5 ) (x − 3 )
2(x − 5 ) (x − 1)
≥0
( x + 5 ) (x − 3 )
x1 = 5
x2 = 1
x3 = -5
x4 = 3
S = (− ∞, 5 ) ∪ [1, 3 ) ∪ [5, + ∞ )
3. La arista de un cubo (en dm) viene dada por la expresión:
a=4
8
x2 + x
3
. ¿Para qué valores de la variable del cubo es menor que 64 dm3?
Solución:
3
(
)
 x 2 + 83 x 
2
 = 4 3 x +8 x dm 3
V =  4



3
V=a ,
Como el volumen es menor que 64 dm3, entonces resulta la inecuación
exponencial:
43x
2
+8 x
〈 64
43x
2
+8 x
〈 43
3x 2 + 8x 〈 3
3x 2 + 8x − 3 〈 0
(3 x − 1) (x + 3) 〈 0
x1 =
1
3
x 2 = −3
1

Para x ∈  − 3,  el volumen del cubo que 64 dm3.
3

Ejercicios propuestos:
1. Resolver las inecuaciones exponenciales siguientes:
a) 2 3 x −2 〈 2 x +3
x − 2  1
b) 2
〉 
x
2
x
6 −x 2
 1
c)  
4
d) 8 3 x
2
−5
5
e)  
4
3
f)  
5
 1
≥ 
4
5
〈 64 − x
0,8 x
−
x2
64
≥0
125
5
〉 
3
3 (3 − 2 x )
g) 0,2 x − 0,2 6−x ≥ 0
2
h) (0,25 )
x +6
 1
≥ 
4
x2
i) 4 x + 2 x +1 〈 80
3
j)  
5
x2
− (0,6 )
6 x −9
=0
2. Determina para qué x ∈ R se cumple que
( 2)
f (x)
−
( 2)
g −1 ( x )
〉 0 , se conoce
que:
f (x) =
5(x − 1)
x +1
g −1 ( x ) =
x +1
x −2
3. Halla el conjunto solución de la siguiente inecuación:
 1
 
2
x 2 +9 x
−
( 2)
9 x − 24
〈0
4. La arista de un cubo (en cm) viene dada por la expresión a = 2
1
2 x 2 + x.
3
¿Para qué valores de x ∈ R , el volumen del cubo es mayor que 32 cm3?
5. El lado de un cuadrado (en metros) viene dado por la expresión:
11
 1 2
l = 
3
x −5 x 2
que 729 m2?
. ¿Para qué valores de x el área del cuadrado es mayor o igual
6. Sean las funciones definidas por las ecuaciones:
f (x) = x 2 y
h( x ) =
12 − x
5
¿Para qué valores de t se cumple que:
( 3)
4f (t )
− 3h
−1
(x)
≥ 0?
7. Resolver:
4 x 2 3 x +5
 1  x 2 −2 x +13 1
a)  
≥
4
2
3x
b)
27
8.
≤3
1
x
3x−
9
x −2
Halla el conjunto solución de la siguiente inecuación:
3
x +2
x
 1
⋅ 
3
1− x
x −2
≤9
1 2
x −1
2
2
x −2 x
9. El conjunto solución de la inecuación: 7 2 x +1 ≥ 3 (49 )
x
es:
3

a) S =  ; + ∞ 
4

 3

b) S = − , + ∞ 
 4

 4

c) S =  − , + ∞ 
 3

3

d) S =  − ∞, 
4

10. Sean las funciones definidas por las inecuaciones:
f ( x ) = x 2 + 4x y
h( x ) =
x +3
2
Determina los valores de x Є R para los cuales se cumple que:
2( f o h
−1
)
−
( 2)
11. Sean f ( x ) =
4 x 2 −14 + 34
1
,
x
≤0
g(x) = x − 1
y
h( x ) =
1− x
x
Determina los x Є R para los cuales se cumple que:
(x ≠ 1
y
x ≠ 0) .
(0,25 )
(f
o g )( x )
 1
≤ 
2
h −1 ( x )− 2
.
12. Determina para qué valores negativos de m se verifica que:
4−2m
2
m −3
≤ 4m
2
−4
(
13. Sea ABCD un cuadrado tal que la longitud de sus lados es l = 3 2 x
2
+ 3,5 x
) dm .
¿Para qué valores reales de x, el cuadrado dado sea de área menor o igual
que 4 dm3?
Capítulo 3. Geometría analítica de la recta en el
plano
Lic. Lidia V. García Díaz
Lic. Antonio Armando Sandoval Torres
En este capítulo vamos a hacer un uso más sistemático de las coordenadas de
puntos como medio de establecer un nexo, muy importante entre el Álgebra y la
Geometría que hasta ahora se han venido estudiando separadamente. La función
de estas dos ramas de la matemática constituye una nueva disciplina, llamada
Geometría Analítica que tiene múltiples aplicaciones. Fue iniciada por el gran
matemático francés Renato Descartes iniciando una nueva era en Matemática y
un desarrollo extraordinario de esta ciencia durante los siglos XVIII, XIX y XX.
3.1 Distancia entre dos puntos de un plano
De tus estudios anteriores aprendiste a representar puntos en un sistema de
coordenadas rectangulares y para ello representamos dos rectas numéricas
perpendiculares entre si que se intersecan en un punto cuya representación en el
dominio de los números reales está dado por las coordenadas (0; 0).
Estudiaremos los sistemas de coordenadas aplicadas a la geometría analítica y
comenzaremos por la obtención de fórmulas que representan en términos de
coordenadas hechos básicos de la Geometría.
Busquemos una fórmula que nos permita calcular la distancia entre dos puntos
cualesquiera del plano P1(x1; y1) P2(x2; y2) se trata de hallar la distancia del
segmento P1 P2.
Trazamos por P1 una recta paralela al eje y, y por P2 una recta paralela al eje X,
evidentemente estas rectas son perpendiculares entre sí y se intersecan en un
punto Q(x1; x2) luego:
Y
| P1Q | = | x2 – x1 |
y1 - - - - - P1 (x1; y1)
| P2Q | = | y2 – y1 |
en virtud del teorema de Pitágoras:
| P1 P2 | 2 = | P1Q | 2 + | P2Q | 2
y2 - - - - - - - - - - - - Q (x1; y2) P2 (x2; y2)
| P1 P2 | = √ | P1Q | 2 + | P2Q | 2
como d = | P1 P2 | entonces sustituyendo
0
x1
x2
X
d = √ | P1Q | 2 + | P2Q | 2
d = √ ( x2 – x1 )2 + ( y2 – y1 ) 2
=
√ ( x1 – x2 ) 2
+ ( y1 – y2 ) 2
Ejemplo 1:
Calcula la distancia entre los puntos A ( 4 ; 4 ) y B ( 8 ; 7 )
d ( A ; B ) = √ ( x2 – x1 ) 2 + ( y2 – y1 ) 2
d (A;B)=√(8-4)2 + (7-4)2
sustituyendo en la fórmula
d (A;B)=√42 + 32
d ( A ; B ) = √ 16 + 9
d ( A ; B ) = √ 25
d (A;B)=5ul
recuerda que las longitudes se expresan en alguna unidad
Ejemplo 2:
Demostrar que el cuadrilátero cuyo vértice son los puntos A (-4;-3), B (-1;-2),
C (2; 1), D (–1; 0) es un paralelogramo.
d1 = |AB| = √ ( –1+4 ) 2 + ( -2+3 ) 2 = √ 32 + 12 = √ 10
d2 = |BC| = √ (2+1)2 + (1+2)2 = √ 32 + 32 = √ 9 + 9 = √ 18 = 3 √2
d3 = |CD| = √ (-1-2)2 + (0-1)2 = √ (-3)2 + (-1)2 = √ 9 + 1 = √ 10
d4 = |DA| = √ (-1+4)2 + (0-3)2 = √ 32 + (-3)2 = √ 9 + 9 = √ 18 = 3 √2
Como d1 = d3 y d2 = d4, los lados opuestos del cuadrilátero son iguales, luego
es un paralelogramo.
b) Representemos gráficamente al cuadrilátero dado:
y
1 ------C
D
2
-1 0
-1
-4
x
B ---- -2
A------------- -3
Ejercicio 1:
Calcular las longitudes de los lados de los triángulos cuyos vértices son los puntos
dados a continuación. Comprobar gráficamente los resultados.
a) A (3;-1),
B (6;3),
C (-1;2)
b) M (7;0),
N (0;5),
P (-1;3)
c) R (-2;-2), S (4;1),
T (10;9)
Ejercicio 2:
Demostrar que el triángulo cuyos vértices son:
A (4; 5), B (9;1),
C (8;10)
es isósceles.
Ejercicio 3:
Demostrar que la figura cuyos vértices son los puntos:
M (4; 1), N (5;-2),
P (2;-3), Q (1;0) es un cuadrado.
Ejercicio 4:
Hallar un punto del eje x cuya distancia al punto P (-1; 5) sea 13.
Ejercicio 5:
Halla un punto de coordenadas iguales tal que su distancia al punto (-2; -4) sea
10.
Ejercicio 6:
Determina el punto cuya distancia al punto (-1; -1) sea 2, y cuya distancia al punto
(0; 3) sea 1.
Ejercicio 7:
Comprueba que los puntos M (-1;4) N (2; -1) y P (12; 5) son los vértices de un
triángulo rectángulo. Calcula su área.
Ejercicio 8:
Comprueba que los puntos A (-5;2) B (1; 4) y C (4; 5) son alineados.
Ejercicio 9:
Sean los puntos A (8; y) y B (2; 2). Calcula si AB = 10 unidades lineales.
Ejercicio 10:
Sean A, B, C y D puntos del plano tal que:
•
A (3; -2) y B (-1; 2)
•
_AB_ =
√2
CD
Calcula la longitud (en cm) del segmento CD.
3.2 Pendiente de una recta determinada por dos puntos y su relación con el
ángulo de inclinación
Un concepto básico es el de la inclinación de una recta, para caracterizar esta
dirección utilizamos un concepto conocido como es la pendiente de la recta y que
representamos por m.
Recordemos que se llama ángulo de inclinación de una recta, al ángulo que forma
esta recta con el eje x, contado a partir del semieje positivo en sentido contrario al
sentido que giran las manecillas del reloj, puede ser agudo, recto u obtuso según
la posición de la recta respecto al eje de abscisas. Cuando la recta es paralela al
eje x, se considera que su ángulo de inclinación es cero.
y
Θ
β
α
0
x
Recibe el nombre de pendiente de una recta la tangente trigonométrica de su
ángulo de inclinación si m es la pendiente de la recta y α su ángulo de inclinación
por definición.
m = tan α
( 0o ≤ α ≤ 180o )
Ejemplo 3:
a) La pendiente de una recta que forma un ángulo de 45o con el semieje OX
es m = 1 porque:
m = tan 45o
m=1
b) La pendiente de una recta que forma un ángulo de 120o con el semieje OX
es m = -
√ 3 porque:
m = tan 120o
m=-
√3
Si conocemos dos puntos P1 (x1; y1) y P2 (x2; y2) de una recta, no paralela al eje y,
la pendiente m = y2 – y1
x2 ≠ x1 es la tangente del ángulo α que forma la recta
x2 – x1
con el semieje positivo OX.
Ejemplo 4:
Calcula el ángulo de inclinación de la recta con el semieje positivo, si pasa por los
puntos P1 (1;3) y P2 (6;7).
1. Hallemos m = y2 – y1 = 7 – 3 = 4_ = 0,800
x2 – x1
6–1
5
2. Reconocemos que m = tan α = 0,800
3. Buscamos en la tabla α = 38,7o
Ejercicio 11:
Hallar las pendientes de las rectas que tienen los siguientes ángulos de
inclinación.
a) 30o
b) 60 o
c) 75 o
d) 135 o
e) 150 o
Ejercicio 12:
Calcular los ángulos de inclinación de las rectas que tienen las pendientes
siguientes.
a) 1/2
b) 3/4
c) 2
d) – 4/5
e) – 0,357
Ejercicio 13:
Hallar las pendientes de las rectas que pasan por los puntos siguientes:
a) (4;2) (6;8)
e) ( 2/3; 1/4) (1; 3/4)
b) (-3;-4) (3;1)
f) (1/2; 3/8) (2; 5/8)
c) (-4;0) (8;5)
g) ( a; -a) ( 3a; a)
d) (7;2) (-1;2)
3.3 Paralelismo y perpendicularidad
Como la pendiente de una recta determina su dirección, se puede decidir sobre el
paralelismo o perpendicularidad de estas rectas.
y
y
r1
r2
α
β
0
α
0
r1
r1 ┴ r2
x
β
180-β
r2
x
r1 | | r2
Si dos rectas son paralelas sus ángulos de inclinación α y β son iguales (por
correspondientes), luego tan α = tan β, es decir, m = m’ y recíprocamente.
Cuando las rectas son perpendiculares el producto de sus pendientes es igual a
( -1), veamos: m1 = tan α
y m2 = tan β
m1 . m2 = tan α . tan β
= cot ( 180 – β ) . tan β
= - cot β . __1__ = -1
cot β
Ejemplo 5:
Demostrar que el cuadrilátero cuyos vértices son los puntos A (3;3) B (7;5) C (6;7)
y D (2;5) es un rectángulo.
Llamemos m1 , m2 , m3 , m4 , a las pendientes respectivas de los lados AB, BC; CD
y DA.
Bastará calcular las pendientes.
m1 = _5 – 3_ = _2_ = _1_
7–3
4
2
m2 = _7 – 5 _ = _2_ = -2
6–7
Como
-1
m1 = m3
Además m1 . m2 = -1
m3 = _5 – 7_ = _-2_ = _1_
2–6
-4
2
m4= _3 – 5_ = _-2_ = - 2
3–2
1
m2 = m4
m3 . m4 = -1
El cuadrilátero tiene sus lados opuestos paralelos y sus lados consecutivos
perpendiculares por tanto es un rectángulo.
Ejercicio 14:
Probar que el triángulo cuyos vértices son los puntos:
M (3; -1) N ( -3; 8) P (9;3) es rectángulo.
Ejercicio 15:
Demostrar que la recta que pasa por (4; -2) y (-2;2) es paralela a la recta que pasa
por (1;-2) y (-2;0).
Ejercicio 16:
Verifica que la recta que une los puntos (-1;2) y (1;6) es paralela a la recta que
une los puntos (3;1) y (2; -1) y perpendicular a la recta que une los puntos (3;-1)
y (5;-2).
Resulta de gran utilidad en el trabajo geométrico conocer cómo calcular el punto
medio de un segmento:
A (xa; ya) y B (xb; yb), entonces las coordenadas del punto medio M (xm; ym) de AB
son:
xm = xa + xb
ym = ya + yb
2
2
Ejemplo 6:
Halla las coordenadas de los puntos medios de los segmentos que unen los pares
de puntos siguientes:
a) (3; 6) y (5; 2)
M
M
x1 + x2 ; y1 + y2
2
3 + 5
;
6 + 2
2
(4 ; 4)
b) (-a; b) y (3a; 3b)
M
-a + 3a ; b + 3b
2
4b_
2
2
M
;
2
M
M
2a_
2
( a ; 2b)
2
Ejercicio 17:
Halle las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo cuyos
vértices son los puntos (3; 4), (2; -7), (1; -6).
Ejercicio 18:
Demostrar que los lados del triángulo obtenido al unir los puntos medios de los
lados del triángulo cuyos vértices son (-3; -2) (2; 5) y (6; -3), tienen longitudes
iguales a las mitades de los lados del triángulo dado.
Ejercicio 19:
Hallar las coordenadas de los puntos que dividen en cinco partes iguales al
segmento que une los puntos (-3; -2) y (2; -7).
Ejercicio 20:
Prueba que las diagonales del paralelogramo cuyos vértices son:
P (-2; -1) Q (2 ; 1)
R (3 ; 4) S (-1 ; 2) se cortan en su punto medio.
3.4 Ecuación general de la recta
Ya conoces de tus estudios anteriores, ecuaciones en dos variables como
y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) para los que existe un conjunto de puntos del plano que la
satisfacen. Este conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen a la ecuación
se llama gráfico de la ecuación o lugar geométrico.
Ahora comenzaremos a estudiar la relación existente entre las figuras geométricas
y las ecuaciones que la representan.
Nos ocuparemos de la ecuación del lugar geométrico de una ecuación de primer
grado en dos variables que es una recta:
-
El lugar geométrico de la ecuación Ax + By + C = 0 con (A ≠ 0; B ≠ 0) es
una recta.
Si B ≠ 0 en la ecuación Ax + By + C = 0, despejando y obtenemos:
y = - _A_ x - _C_ Su gráfico es una recta conocida con pendiente m = - _A_
B
B
B
Se deduce que si se conoce la ecuación de la recta puedes determinar fácilmente
su pendiente.
a) Si A = 0 entonces se obtiene una recta paralela al eje x, y = - _C_, la
pendiente es 0
B
b) Si B = 0 entonces la ecuación adopta la forma Ax + C = 0 ó x = - _C_ se
A
obtiene una recta paralela al eje y, en este caso no existe la pendiente.
c) Si C = 0 la ecuación se reduce a y = - _A_ x y como m = - _A_ entonces
B
B
y = m x y la recta pasa por el origen de coordenadas.
Observa los gráficos:
y
y
Paralela al eje “x”
x
y=-A x
B
x = -_C
A
y = - _C
B
0
y
0
Paralela al eje “y”
x
0
x
Pasa por el
origen de coordenadas
Hemos analizado ecuaciones con dos variables de la que hemos partido para
hallar el lugar geométrico correspondiente, pero también es posible hacer el
proceso inverso, es decir, partir del lugar geométrico para obtener su ecuación.
En el caso de la recta hay diferentes posibilidades ya que la recta queda
determinada de diferentes formas.
a) Conocido un punto y la pendiente.
b) Conocidos dos puntos.
¿Cómo proceder? Observa los ejemplos y tendrás un algoritmo para su solución.
Ejemplo 7:
a) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A ( 3 ; 2 ) y tiene
pendiente m = _1_
2
Como A es un punto de la recta y m = y – y0 entonces x0 = 3
y0 = 2.
x – x0
Podemos sustituir _1_ = y – 2
2
Aplicando productos cruzados
x–3
x – 3 = 2 (y – 2)
Efectuando
x–3=2y–4
x–2y+1=0
Expresando en la forma general
b) Halla la ecuación de la recta determinada por los puntos B (2; -3) y C (4; 5).
Hallemos m.
m = y2 – y1 = 5 + 3 = _8_ = 4
x2 – x1
4–2
2
Tomo uno de los puntos dados (cualquiera) y procedemos igual al inciso a).
4= y+3
x–2
4(x–2)= y+3
4x–8=y+3
4 x – y – 11 = 0
Tomando al punto B
Si tomas el punto C obtendrás la misma ecuación ya que B y C son puntos de esta
recta.
En resumen:
Para obtener la ecuación de la recta seguimos el algoritmo.
1. Conocido un punto y la pendiente
Consideramos un punto P ( x0; y0) cualquiera de la recta y sustituimos las
coordenadas de P y la pendiente en la ecuación de la recta.
Efectuamos y la expresamos en la forma A x + B y + C = 0 ó y = m x + n
2. Conocidos dos puntos:
Hallamos la pendiente y seguimos el procedimiento anterior utilizando uno
de los puntos dados.
Ejercicio 21:
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos que equidistan de A ( 1; 3) y
B (2;5).
Ejercicio 22:
Los vértices del triángulo ABC son A (-2;2) B (3; 0) y C (2;5). Halla la ecuación de
la recta que contiene a los lados del triángulo.
Ejercicio 23:
Determina la ecuación de la recta r1 que pasa por el punto Po (-5; 2) y tiene
pendiente m = -3.
a) Halla la ecuación de la recta perpendicular a r1 que pasa por el punto P1 (2;-7)
Ejercicio 24:
Halla la ecuación de la recta de pendiente 3 y que interseca al eje x en el punto de
abscisa –2.
Ejercicio 25:
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A (-6;-3) y tiene un ángulo de
inclinación α de:
a) 30o
b) 60o
c) 135o
Ejercicio 26:
Sea la recta de la ecuación 2 x – 3 y + 5 = 0. Halla la ecuación de la recta que
pasa por el punto M (4;-5) y es:
a) Paralela a la recta dada.
b) Perpendicular a la recta dada.
3.5 Punto de intersección entre dos rectas
En el II Semestre aprendiste a resolver sistemas de ecuaciones utilizando los
métodos de sustitución y de adición, sustracción o reducción, veamos su
aplicación en la determinación del punto de intersección entre dos rectas.
-
Si el sistema tiene solución, o sea, es posible, las rectas se cortan en un
punto cuyas coordenadas son la solución del sistema.
-
Si el sistema es indeterminado, o sea, tiene infinitas soluciones, entonces
las rectas son coincidentes.
-
Si el sistema no tiene solución, o sea es imposible, las rectas son paralelas,
no tienen puntos comunes.
Ejemplo 8:
Determina el punto de intersección entre las rectas dadas:
r1: 2 x – y – 4 = 0
r2: x – 2 y = - 1
Método de reducción:
(1)
2x–y=4
preparamos el sistema y multiplicamos la
(2)
x–2y=-1
ecuación 1 por (-2) para eliminar y.
-4x + 2y = - 8
x – 2y = - 1
adicionamos algebraicamente y eliminamos y
-3x=-9
x = - 9_
-3
x=3
Sustituimos x en (2)
despejamos x
3–2y=-1
-2y=-1–3
-2y=-4
y = - 4_
-2
y=2
El punto de intersección es I (3 ; 2) las rectas se cortan.
Ejemplo 9:
a) Halla el punto de intersección entre las rectas r1 y r2 si existe.
r1 : 3x + 4y = 10
r2 : y = -4 x + 9
Resolveremos el sistema por el método de sustitución ya que tenemos una
variable despejada.
Sustituyendo y en (1)
3 x + 4 ( -4 x + 9 ) = 10
la ecuación contiene una sola variable al sustituir.
3 x - 16 x + 36 = 10
efectuando el paréntesis
- 13 x = 10 – 36
despejando x
- 13 x = - 26
x = - 26
- 13
x=2
Sustituyendo x = 2 en (2)
y = - 4 (-2) + 9
y = -8 + 9
y=1
Representemos gráficamente estas rectas a partir del punto de intersección y sus
pendientes.
Llamemos A (2 ; 1) al punto de intersección entre r1 y r2.
r1 tiene pendiente m1 = - 3/4
r2. tiene pendiente m2 = 4/1 = 4.
Con el punto y la pendiente representamos las rectas r1 y r2.
Situamos el punto de intersección A (2 ; 1), trazamos por A un segmento paralelo
a OX de 4 unidades y uno paralelo a OY de 3 unidades que se corten
perpendicularmente en sentido negativo para obtener el punto B de la recta r1.
Por el punto A se traza un segmento paralelo a OX de 1 unidad y uno paralelo a
OY de 4 unidades para obtener el punto C de la recta r2.
y
-
C
-
4
A 1
4
1- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0
2
-
x
3
---------------------- B
-
Estos sistemas pueden resolverse por el método más cómodo.
b) r1 : 4 x – 7 y = 3
r2 : 8 x – 14 y = 1
r1 : 4 x – 7 y = 3
( -2)
r2 : 8 x – 14 y = 1
- 8 x + 14 y = -6
8 x – 14 y = 1
0 = -5
imposible el sistema es incompatible, por tanto r1 y r2
son paralelos, no tienen punto de intersección.
c) r1 : 3 x – 2 y = 5
r2 : 6 x –4 y = 10
r1 : 3 x – 2 y = 5
(-2)
r2 : 6 x –4 y = 10
si resolvemos el sistema veremos que el mismo
es indeterminado.
-6 x + 4 y = -10
6 x – 4 y = 10
0=0
la segunda ecuación se obtiene multiplicando la
primera por 2, luego todo par de valores que
satisfaga la primera ecuación también satisface
la segunda, esto significa que las rectas r1 y r2
coinciden.
Ejercicio 27:
Determina el punto de intersección de los siguientes pares de rectas.
a) 5 x – 3 y – 1= 0
4 x – 5 y + 32 = 0
b) 2 x + 3 y = 1
8 x + 12 y - 4 = 0
c) x + 3 y = 0
15 x – 5 y = 0
d) 2 x – 3 y + 7 = 0
4x–3y=1
e) x – 4 y + 13 = 0
3x=2y–9
Ejercicio 28:
Para qué valor de α las rectas:
y=αx+3
y
y = - 3 x+ 2
a) Son paralelas.
b) Son perpendiculares.
Ejercicio 29:
Las ecuaciones de los lados de un triángulo son:
3 x – y – 7 = 0;
x + y – 5 = 0;
2x–y–7=0
Halla las coordenadas de los vértices.
Ejercicio 30:
Investiga si las rectas dadas por las ecuaciones r1 y r2 tienen punto común.
r1 : 2 x + 3 y = 0
r2:: 4 x + 6 y = 2
3.6 Distancia de un punto a una recta
En el epígrafe anterior aprendiste una expresión para calcular la distancia entre
dos puntos cualesquiera en el plano. Ahora estudiarás una relación que permite
calcular distancias, en este caso desde un punto a una recta.
La distancia de un punto a una recta es el segmento perpendicular trazado del
punto a la recta.
La distancia de un punto P ( x0; y0) a la recta r de ecuación A x + B y + C = 0 se
denota d ( P; r ) y es:
d ( P ; r ) = | A x0 + B y0 + C |
√ A2 + B2
Ejemplo 10:
En el ∆ MNP, Calcula la altura relativa al lado MN si sus vértices son:
M ( 4; -2) N ( -8; 7) y P ( 2; 7)
Hallar la altura pedida es calcular la distancia del vértice P a la recta que contiene
al lado MN.
Busquemos la ecuación de la recta a través de los puntos M y N.
1o Hallamos la pendiente:
m = 7 – ( -2)
=
-8–4
7 + 2
= _9_ =
-_3_
- 12
- 12
4
o
2 Buscamos la ecuación de la recta MN:
-
_3_ = y + 2
4
x–4
-
3(x–4)=4(y+2)
-
3 x – 4 y + 4 = 0 ( - 1)
3x+4y–4=0
ecuación de la recta MN.
o
3 Calculamos la altura pedida que será la distancia del punto P a la recta MN.
h = d (P ; MN) = | 3 ( 2) + 4 ( 7 ) – 4 | = | 6 + 28 – 4 | = __30_ = _30_ = 6
√ 32 + 42
√ 9 + 16
√ 25
5
R/ La altura relativa al lado MN es de 6 unidades.
Ejercicio 31:
1. Halla la distancia del punto dado a la recta indicada.
a) A ( 3; 1 )
6x–8y–5=0
b) B ( 0; 1 )
x–2y+3=0
c) C ( 2; 1 )
y=3x+7
d) D ( 3/2; 9 )
4x+3y–8=0
2. Halla la altura relativa al lado AB del triángulo cuyos vértices son:
A ( 4; -2), B ( 1;4), C ( -2; 0)
Representa el triángulo ABC en un sistema de coordenadas rectangulares.
3. La base de un triángulo está contenida en la recta que pasa por los puntos
(-3; 1) y ( 5; -1). ¿Cuál es la distancia del tercer vértice ( 6;3) a la base?.
4 .Halla el área del triángulo cuyos vértices son los puntos (3;5) (-2;4) y (-3;-1)
Ejercicios complementarios:
1.
Prueba que los triángulos de vértices G (3 ; 5), H (1 ; 1), I (-1 ; 2) y J (0 ; -1),
K ( 2 ; 3), L ( 4 ; 2) son rectángulos y congruentes.
2.
Demuestra que la recta que pasa por los puntos A ( -2;5) y B ( 4; 1) es
perpendicular a la que contiene los puntos P ( -1 ; 1) y Q ( 3 ; 7 ).
3.
Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos D ( -1;5) y E (3; 5).
4.
Los siguientes puntos representan vértices de un triángulo. Clasifícalos
según la longitud de sus lados. Represéntalo gráficamente.
a) A ( -1;1) B (3;1) C ( 1;3)
b) M ( 1; -1) n (5; 1) P ( 1; 5)
5.
¿Cuál es la ecuación de la recta perpendicular a la recta r: x + 2 y – 2 = 0 y
que pasa por el punto ( 1; -3)
6.
Sean A ( -3;-2) B ( 5;0)
C ( 6;4) y D ( -2;2) vértices de un cuadrilátero.
Prueba que es un paralelogramo.
7.
Calcula la longitud de la mediana relativa al lado PQ del triángulo PQR si las
coordenadas de sus vértices son P (1;3) Q (-2;-1) R ( -3;4)
a) Determina el perímetro de dicho triángulo.
8.
Sean M (-2; -3) N (3; 2) y P (-3; 4) vértices del triángulo MNP.
a) Escribe la ecuación de la recta que contiene al lado MN.
b) Calcula la longitud del segmento que une a P con lado MN.
9.
Sea x – 2 y – 19 = 0 la ecuación de la recta que contiene al lado CD del
triángulo CDE. Escribe la ecuación de la recta que contiene a su mediatriz.
10. Los puntos A ( -6;-3) y B ( 2; -3) son vértices consecutivos de un cuadrado
ABCD.
a) Halla las coordenadas de los vértices C y D.
b) Calcula la longitud de la diagonal AC.
c) Representa gráficamente al cuadrado ABCD
d) Escribe la ecuación de la recta AB.
e) Determina la ecuación de la recta BC.
11. Halla las coordenadas de los puntos de la parábola de ecuación y = x2 + 1
situados a 5 unidades lineales del punto A (5; 1)
12. De un cuadrado ABCD conocemos dos vértices consecutivos
A (-2;3) y
B (-1; -1). Halla los vértices C y D.
13. La diagonal de un cuadrado mide 2 √ 10 cm, un vértice es el punto (3; 0), y
su centro está sobre el eje de las ordenadas. Halla los demás vértices.
14. Dos vértices de un triángulo equilátero son los puntos A (2; 0) y B (-1; 1).
Halla el tercer vértice.
15. El baricentro de un triángulo equilátero es el punto G (-1;0), la altura mide
3,0 dm, uno de sus lados es perpendicular al eje de las ordenadas, y un
vértice está en el primer cuadrante. Halla los vértices del triángulo.
16. Hallar k sabiendo que la recta 2 x + k y – 7 = 0 es perpendicular a la recta
que pasa por los puntos A (3; -4) y B (1;2).
17. Dados los puntos A (1;-2) y B (5; 0) ¿Cuál es el punto C de la recta de
ecuación x – 3 y + 1 = 0 tal que el triángulo ABC sea isósceles.
18. Hallar x si la distancia entre los puntos A (2;5) y (x; -7) es 13 unidades lineales.
19. Sean r1 y r2 dos rectas tales que:
•
r1 | | r2
•
r1 pasa por los puntos A (-6; 1) y B (4; -1)
•
r2 pasa por los puntos C (-2; 5) y D (x; 2)
Calcula la longitud del segmento BD
20. Sean r1 y r2 dos rectas tales que:
•
r1 ┴ r2
•
r1 pasa por los puntos M (-2; -1) y N (4; 1)
•
r2 pasa por los puntos P (2; -2) y O (1; y)
Calcula la razón _MN_
PO
21. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto en que la recta de
ecuación 2 x – 3 y – 8 = 0 corta al eje x, y es perpendicular a la recta que
pasa por los puntos A (1; 3) y B (2; -1).
22. Mostrar que los puntos A ( 1; 9), B (-2; 3) y C (-5; -3) son alineados.
23. Mostrar que las rectas dadas a continuación son concurrentes:
r1 : 3 x – 5 y + 8 = 0
r2 : x + 2 y – 4 = 0
r3 : 4 x – 3 y + 4 = 0
24. Las rectas r1 y r2 se intersecan en un punto de la parábola, representada por
la ecuación y = x2 – 6 x + 5 y forma con el eje x un triángulo isósceles de
base AB. Si tan α = 2, calcula el área del triángulo ABC.
y
C
α
0
A
B
r1
x
r2
25. En el triángulo ABC, rectángulo en A, se conoce que B (1; 1) y que las rectas
que contienen a los lados BC y AC son :
rBC : 3 x – y – 2 = 0
rAC : X – 2 Y + 11 = 0
Halla las coordenadas de los vértices A y C.
26. En un sistema de coordenadas rectangulares del plano se dan los puntos
A (2; 6) , B (5; -9) y C (-2; 0).
a) Representa gráficamente el triángulo ABC.
b) Halla la ecuación de la recta r1 que pasa por los puntos A y C.
c) Halla la ecuación de la recta r2 que pasa por B y es perpendicular a r1.
d) Determina las coordenadas del punto I donde se intersecan las rectas r1 y
r2.
27. En un sistema de coordenadas en el plano se ha representado el rectángulo
ABCD. Se conoce que A (0; -1), B (3; -2) y C (4; 1).
Demuestra que ABCD es un cuadrado.
Escribe una ecuación de la recta AD.
Halla las coordenadas del vértice D.
28. La recta “m” es la mediatriz del triángulo ABC, correspondiente al lado AB, y su
ecuación es 2 x + y + 6 = 0. El punto de intersección de m y el lado AB es un
punto situado en el eje x, siendo “q” la recta que contiene el lado AC y su
ecuación es
3 x – y – 1 = 0. Determina las coordenadas de los vértices A y B.
29. Sean los vértices del triángulo ABC; A (-5; -1), B (-1; 4) y C (3; 2).
Representa gráficamente al triángulo dado en un sistema de coordenadas (1
u = 1 cm).
Por el vértice A se trazan una paralela al lado BC y por punto B, una
perpendicular al eje x. Halla, mediante cálculos, las coordenadas del punto D,
donde se intersecan las rectas trazadas.
30. En el triángulo ABC rectángulo en A se conoce que B (1; 1) y que las rectas
que contienen a los lados BC y AC son:
rBC: 3 x – y – 2 = 0
rAC: x – 2 y + 11 = 0
Comprueba que el triángulo ABC es isósceles.
Calcula el perímetro y el área del triángulo dado.
31. Los extremos de una de las diagonales del rombo ABCD son los puntos
B (3; 1) y D (3; -5)
Halla la ecuación de la recta d que contiene a la otra diagonal AC del rombo.
Si la ecuación de la recta l que contiene al lado BC es 3 x + 4 y – 13 = 0,
determina las coordenadas de los vértices A y C del rombo dado.
32. Dadas las rectas :
r1: y = _2_ x – 1
3
r2: pasa por el punto A (5; -1) y su ángulo de inclinación mide 135o.
Analiza la relación de posición entre r1 y r2. En caso que se corten, halla el
punto de intersección.
Calcula k Є R para que la recta r3 : (2 k + 1) x – 4 y + 3 sea perpendicular a r1.
Si r1 | | r3, halla la ecuación de r3.
33. Sea el triángulo ABC cuyos vértices son los puntos A (0; 0), B (a; 0) y C (b;
c), demuestra que el segmento que une los puntos medios de los lados AC y
BC es paralelo al tercer lado e igual a su mitad.
34. un extremo de un segmento es el punto (3; 7), el punto medio del segmento
pertenece a la recta x + 2 y – 11 = 0, y la mediatriz pasa por el punto (-3; -1).
Determina las coordenadas del otro extremo del segmento.
35. Dado el triángulo ABC, tal que: A (1; -2) y la ecuación de la recta “h” que
contiene a la altura sobre el lado AC es x – y – 1 = 0:
Calcula las coordenadas del punto D donde h interseca al lado AC.
Escriba la ecuación de la recta r que pasa por D y es paralela a la recta de
ecuación x – 4 = 3 y + 5
2
3
36. Dados los puntos P (1; -2) , Q ( 3; 2) y R (-3;-6).
Calcula el área del triángulo PQR.
Comprueba que la suma de los cuadrados de las medianas del triángulo
PQR es igual a _3_ de la suma de los cuadrados de sus lados.
4
37. Hallar el vértice A de un triángulo, sabiendo que los otros dos vértices son
B (-1; 5) y C (4; 0 ), y que el ortocentro es el punto O (3; 3).
38. Selecciona la respuesta correcta:
las rectas r y r’ son tales que la suma de sus pendientes es 6 y la razón ½, si
las rect6as dadas pasan por los puntos A (0; -3) y B (0; 5) respectivamente,
entonces r y r’ se intersecan en el punto:
(-11; -4) ( )
(-4; -11) ( )
(-1; -5) ( )
(4/3; -1/3) ( )
Sea la función lineal f cuyo cero es xo = - 2, si el ángulo de inclinación de la
recta r que representa a f es α = 45o, la gráfica de f interseca a la gráfica de la
función cuadrática g de ecuación y = x2, en los puntos:
(-1; 1) y (2; 4) ( )
(1, -1) y (4; 2) ( )
(-2; 0) y (1; 3) ( )
No se intersecan ( )
39. Selección de las afirmaciones siguientes ¿Cuál es verdadera?.
Si la suma de las pendientes de dos rectas es igual 0, las rectas son
paralelas.
Dados A (-4; -7),
B (2; -4), C (4; -3) y D (8; -1) puntos alineados, el valor
de la razón _AB_ es _21_ ; _6_
CD
5
5
La recta que pasa por los puntos A (1; 5) y B (3; 0) es perpendicular a la recta
de ecuación 2 x + 5 y – 8 = 0.
La distancia del punto P (2; -1) a la recta que pasa por los puntos M (0; _5_)
y N (-7; 3) es d = 7
√
_17_ unidades lineales.
17
4
e) El área del triángulo cuyos vértices son los puntos P (2; 0) R (-3; 4) y S
(1; -1) es 6,0 dm2.
f) El baricentro del triángulo de vértices A (1; 0) B (5; 0) y C (4; 3) es el
punto (3 1_ ; 1).
3
40. Halla las coordenadas de un punto P (x; y) tal que la recta OP, que pasa por
este punto y el origen de coordenadas, tenga pendiente igual a –2 y que la
recta AP trazada por los puntos P y A (-1; 0) tenga un ángulo de inclinación
de 45o.