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CONTENIDO
Matemáticas simplificadas
I
Matemáticas simplificadas
ARTURO AGUILAR MÁRQUEZ
FABIÁN VALAPAI BRAVO VÁZQUEZ
HERMAN AURELIO GALLEGOS RUIZ
MIGUEL CERÓN VILLEGAS
RICARDO REYES FIGUEROA
REVISIÓN TÉCNICA
Ing. Carlos Lozano Sousa (M.Sc.)
Ing. Agustín Vázquez Sánchez (M. en C.)
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
Campus Estado de México
Prentice
e
Hall
a
México
o • Argentinaa • Brasil • Colombia
C
• Costa
C
Rica • Chile • Ecuador
u
España • Guatemala
G
• Panamá • Perú
P
• Puerto
o Rico • Uruguay
u
•V
Venezuela
ne
COLEGIO NACIONAL DE MATEMÁTICAS
Matemáticas simplificadas
Segunda edición
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009
ISBN: 978-607-442-348-8
Área: Matemáticas
Formato: 20 25.5 cm
Páginas: 1640
Todos los derechos reservados
Editor:
Lilia Moreno Olvera
e-mail: lilia.moreno@pearsoned.com
Editor de desarrollo:
Alejandro Gómez Ruiz
Supervisores de producción: Juan José García Guzmán
Rodrigo Romero Villalobos
José Hernández Garduño
SEGUNDA EDICIÓN, 2009
D.R. © 2009 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Atlacomulco 500-5° piso
Industrial Atoto
53519 Naucalpan de Juárez, Estado de México
Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. núm. 1031
Prentice-Hall es marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
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o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.
El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus
representantes.
ISBN: 978-607-442-348-8
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IWYREQEVGEHI
Impreso en México. Printed in Mexico.
Para los que enseñan y para los que aprenden
ING. ARTURO SANTANA PINEDA
El poder de las matemáticas
El que domina las matemáticas
piensa, razona, analiza y por ende
actúa con lógica en la vida cotidiana,
por tanto, domina al mundo.
ING. ARTURO SANTANA PINEDA
Prefacio
E
l Colegio Nacional de Matemáticas es una institución que, desde su fundación, ha impartido cursos
de regularización en las áreas de Matemáticas, Física y Química, con resultados altamente satisfactorios. Es por ello que su fundador y director general, el Ingeniero Arturo Santana Pineda, decidió
plasmar y compartir la experiencia adquirida en este libro que recopila lo aprendido en todos estos años y
cuyo principio fundamental es que la persona que aprende matemáticas, piensa, razona, analiza y por tanto
actúa con lógica.
A través de esta institución y sus docentes, se ha logrado no sólo resolver el problema de reprobación
con el que llega el estudiante sino, también, cambiar su apreciación sobre la materia, de tal forma, que se va
convencido de que es fácil aprender matemáticas y que puede incluso dedicarse a ellas. De ahí que jóvenes
que han llegado con serios problemas en el área, una vez que descubren su potencial han decidido estudiar
alguna carrera afín.
De esta forma, se decide unir a los docentes con mayor experiencia y trayectoria dentro de la institución
para que conjuntamente escriban un libro que lejos de presunciones formales, muestre la parte práctica que
requiere un estudiante al aprender matemáticas y que le sirva de refuerzo para los conocimientos adquiridos
en el aula.
Enfoque
El libro tiene un enfoque 100% práctico, por lo que la teoría que se trata es lo más básica posible, sólo se
abordan los conceptos básicos para que el estudiante comprenda y se ejercite en la aplicación de la teoría
analizada en el aula, en su libro de texto y con su profesor.
De esta manera, se pone mayor énfasis en los ejemplos, en donde el estudiante tendrá la referencia para
resolver los ejercicios que vienen al final de cada tema y poder así reafirmar lo aprendido. Estamos convencidos de que es una materia en la cual el razonamiento es fundamental para su aprendizaje, sin embargo, la
práctica puede lograr que este razonamiento se dé más rápido y sin tanta dificultad.
Estructura
Matemáticas simplificadas está formado por seis áreas básicas de las matemáticas: Aritmética, Álgebra,
Geometría y Trigonometría, Geometría Analítica, Cálculo Diferencial y Cálculo Integral. Cada una de ellas
está dividida en capítulos, los cuales llevan un orden específico, siempre tomando en cuenta que el estudio de
las matemáticas se va construyendo, es decir, cada tema siempre va ligado con los conocimientos adquiridos
en los apartados anteriores.
Cada capítulo está estructurado a base de teoría, ejemplos y ejercicios propuestos. Los ejemplos son desarrollados paso a paso, de tal forma que el lector pueda entender el procedimiento y posteriormente resolver
los ejercicios correspondientes. La solución a los ejercicios se encuentran al final del libro organizados por
área, de tal forma que el estudiante puede verificar si los resolvió correctamente y comprobar su aprendizaje.
En esta edición se identifican las secciones que corresponden a los problemas de aplicación, los cuales tienen
como objetivo hacer una vinculación con casos de la vida cotidiana en donde se pueden aplicar los conocimientos adquiridos en cada tema.
La primera parte del libro está dividida en once capítulos que corresponden al área de Aritmética, materia
clave para el estudio de las demás áreas, donde se inicia con los conceptos básicos, para dar paso al estudio de
IX
PREFACIO
los números enteros y racionales con sus respectivas operaciones, teoría de números, potenciación y radicación, notación científica, logaritmos, razones y proporciones, sistemas de numeración y al final, un capítulo
de razonamiento matemático, donde el lector podrá verificar lo aprendido en esta área.
El estudio del Álgebra corresponde a la segunda parte del libro, siendo fundamental para poder aprender
cualquier otra materia o tema relacionado con las matemáticas. Está dividida en 17 capítulos, donde se encuentran temas como: Lógica y conjuntos, conceptos básicos de Álgebra, productos notables, factorización,
fracciones algebraicas, ecuaciones de primer y segundo grado con aplicaciones, función lineal, sistemas de
ecuaciones, potenciación, radicación, números complejos, desigualdades, logaritmos, progresiones, matrices
y raíces de una ecuación. Cada tema está desarrollado con la teoría justa y siguiendo con la idea de brindar
al lector un gran número de ejemplos para facilitar el aprendizaje de esta materia.
La tercera parte corresponde a las áreas de Geometría Euclidiana y Trigonometría, se divide en 17 capítulos.
En Geometría se estudian conceptos básicos y temas esenciales como: ángulos, rectas, triángulos, cuadriláteros
y polígonos en general, circunferencia y como tema nuevo en esta edición, se agregó el tema de transformaciones (escala, rotación simetría axial, simetría central). Cada apartado con sus respectivas definiciones, teoremas
y aplicaciones. También se analiza conceptos como perímetros, áreas y volúmenes de figuras geométricas.
Para Trigonometría se estudian las funciones trigonométricas, desde su definición, su cálculo, sus gráficas,
identidades, ecuaciones con dichas funciones y, aplicaciones a la solución de triángulos rectángulos y oblicuángulos. Además, se da como un elemento extra la forma trigonométrica de los números complejos.
La Geometría Analítica se estudia en la cuarta parte de este libro, a través de trece capítulos que ofrecen
las herramientas básicas para abordar los temas de distancia, punto medio, punto de división pendiente,
etc., para posteriormente tratar los principales lugares geométricos como: la recta, circunferencia, parábola,
elipse e hipérbola. Continúa con un extenso capítulo sobre coordenadas polares y finaliza con el estudio de
las ecuaciones paramétricas.
Cálculo Diferencial e Integral son los dos apartados con los que concluye el libro. En el primero, se estudia
todo lo correspondiente a los conceptos básicos del cálculo diferencial, analizando temas como: funciones,
límites (tema que en esta edición fue modificado en su parte teórica), continuidad, la derivada y sus aplicaciones, los cuales son desarrollados de manera amplia y práctica. Algunos de estos temas han sido enriquecidos
en su teoría o ejercicios. Para el apartado de Cálculo Integral se estudia desde sumas de Riemann, pasando
por integrales inmediatas, métodos de integración, área bajo la curva, volúmenes y algunas aplicaciones en
la economía (temas también enriquecidos en esta edición).
El libro tiene la ventaja de contener el material necesario para aprender y verificar el conocimiento adquirido, así como tener la referencia para desarrollar temas, que en el caso de no contar con los elementos
necesarios, el lector podrá recurrir a ellos buscando en alguna de las áreas previas a las que está estudiando.
Todo lo anterior hace de este texto una referencia total para que el estudiante de nivel medio superior tenga
un material de consulta durante todo su bachillerato, o para aquel que inicie estudios superiores, así como para
los profesores que en función de necesidades especificas estén en posibilidad de realizar desde una consulta,
hasta contar un apoyo para la parte práctica de su curso empleando los ejercicios propuestos.
Cabe mencionar que para esta edición se tomaron en cuenta las observaciones hechas por estudiantes y
profesores que con su colaboración enriquecieron y mejoraron este material.
X
Agradecimientos
Según Benjamín Franklin, invertir en conocimientos produce siempre los mejores intereses, por lo que espero
que obtengas, a través de este libro, las más grandes ganancias para tu futuro profesional.
ARTURO SANTANA
DIRECTOR GENERAL DE CONAMAT
A mi madre por darme la vida y enseñarme a vivirla, Andrey por ser y estar conmigo, Chema e Hiram los
alumnos que se volvieron mis hermanos, a mi familia (Echeverría, Pineda y Sánchez), a la UNAM, al ingeniero
Santana, Rox llegaste a tiempo, a los cuatro fantásticos: Herman, Fabián, Ricardo y Miguel, fue un placer
compartir este trabajo. A mis alumnos que fueron y serán.
ARTURO AGUILAR
A mis padres María Elena y Álvaro, por brindarme la vida, por sus enseñanzas y consejos; a mi esposa e hijos
(Ana, Liam y Daniel), porque son la razón de mi vida y mi inspiración; a mis hermanos Belem, Adalid y
Tania por apoyarme incondicionalmente y sobre todo a mis compañeros y amigos: Ricardo, Miguel, Arturo
y Herman.
FABIÁN VALAPAI BRAVO
Una vez mi padre me dijo que “un hombre triunfador no es el que acumula riquezas o títulos, sino es aquel
que se gana el cariño, admiración y respeto de sus semejantes”, agradezco y dedico esta obra a la memoria de
mi padre el Sr. Herman Gallegos Bartolo que me dio la vida y que por azares del destino ya no se encuentra
con nosotros. A Eli y José Fernando que son el motor de mi vida.
HERMAN A. GALLEGOS RUIZ
A toda mi familia muy en especial a Lupita y Agustín, por haberme dado la vida y ser un ejemplo a seguir;
a mis hermanos Elizabeth y Hugo por quererme y soportarme. Quiero además, reconocer el esfuerzo de mis
amigos y compañeros Arturo, Fabián, Herman y Ricardo con quien tuve la oportunidad de ver cristalizado
este sueño.
MIGUEL CERÓN
A mis padres Rosa y Gerardo, por darme la vida; a mis hermanos Javier, Gerardo y Arturo; un especial
agradecimiento a mi esposa Ma. Mercedes; a mis hijos Ricardo y Allan por su sacrificio, comprensión y
tolerancia; un reconocimiento a mis amigos Herman, Arturo A., Fabián, Miguel, Roxana y Arturo S. por
hacer realidad nuestro sueño.
RICARDO REYES
Un agradecimiento especial a los alumnos que tomaron clase con alguno de nosotros, ya que gracias a ellos
logramos adquirir la experiencia para poder escribir este libro.
LOS AUTORES
XI
Acerca de los autores
Arturo Aguilar Márquez. Llegó como estudiante a Colegio Nacional de Matemáticas, desarrolló habilidades
y aptitudes que le permitieron incorporarse a la plantilla de docentes de la Institución. Realizó estudios de
Actuaría en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México y ha impartido clases
de Matemáticas por más de 11 años en CONAMAT.
Fabián Valapai Bravo Vázquez. Desde muy temprana edad, con la preparación de profesores de CONAMAT,
participó en concursos de matemáticas a nivel nacional. Posteriormente, se incorporó a la plantilla docente
de la misma institución donde ha impartido la materia de Matemáticas durante 12 años. Al mismo tiempo,
estudió la carrera de Diseño Gráfico en la Escuela Nacional de Artes Plásticas.
Herman Aurelio Gallegos Ruiz. Se inició como profesor en CONAMAT. Realizó estudios en la Escuela
Superior de Física y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional y Actuaría en la Facultad de Ciencias de
la Universidad Nacional Autónoma de México. Ha impartido clases de Matemáticas y Física por más de 15
años en Colegio Nacional de Matemáticas.
Miguel Cerón Villegas. Es egresado de la Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería y Ciencias
Sociales y Administrativas del Instituto Politécnico Nacional, realizó estudios de Ingeniería Industrial y tiene
más de 15 años de experiencia en docencia.
Ricardo Reyes Figueroa. Inició su trayectoria en la disciplina de las Matemáticas tomando cursos en
CONAMAT. Dejando ver su gran capacidad para transmitir el conocimiento, se incorpora como docente
en la misma institución donde ha impartido la materia de Matemáticas y Física durante 19 años. Realizó sus
estudios de Matemáticas en la Escuela Superior de Física y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional,
y de Matemáticas Puras en la Universidad Autónoma Metropolitana.
XIII
CONTENIDO
GEOMETRÍA
Y TRIGONOMETRÍA
CAPÍTULO 1 Conceptos básicos
Conceptos básicos, 636
CAPÍTULO 2 Ángulos
Definición, 640. Medidas, 640. Sistema sexagesimal, 640. Sistema cíclico o circular, 642. Conversión
de grados a radianes y de radianes a grados, 642. Operaciones, 644. Clasificación de acuerdo con su
medida, 646. Convexos, 646. Llano o de lados colineales, 647. Cóncavo o entrante, 647. Perigonal o
de vuelta entera, 647. Complementarios, 647. Suplementarios, 647. Conjugados, 648.
CAPÍTULO 3 Rectas perpendiculares y paralelas
Perpendicularidad, 654. Paralelismo, 654. Ángulos opuestos por el vértice, 655. Ángulos contiguos, 655.
Ángulos adyacentes, 655. Rectas paralelas cortadas por una recta secante, 655.
CAPÍTULO 4 Triángulos
Definición, 662. Clasificación de los triángulos, 662. Por sus lados, 662. Por sus ángulos, 662. Rectas
y puntos notables, 663. Teoremas, 664. Triángulos congruentes, 669. Teoremas de congruencia, 669.
Proporciones, 676. Teoremas de proporciones, 677. Semejanza, 678. Propiedades fundamentales, 678.
Teoremas de semejanza, 679. Teorema de Tales, 681. Teorema de Pitágoras, 686. Naturaleza del
triángulo a partir del teorema de Pitágoras, 688. Teoremas de semejanza en triángulos rectángulos, 689.
CAPÍTULO 5 Cuadriláteros
Definición, 694. Clasificación, 694. Teorema, 695. Propiedades de los paralelogramos, 695.
Demostraciones, 697. Paralelogramos especiales, 698. Propiedades de los trapecios, 700. Propiedades
de los trapecios isósceles, 700.
CAPÍTULO 6 Polígonos
Definición, 704. Clasificación, 704. Por sus lados, 704. Por sus ángulos, 704. Elementos, 705. Número
de diagonales, 705. Número de diagonales trazadas desde un mismo vértice, 705. Número de diagonales
totales, 705. Ángulos de un polígono, 707.
CAPÍTULO 7 Transformaciones
Escala, 714. Figuras a escala, 714. Transformaciones de figuras en el plano, 716. Traslación, 716.
Rotación, 719. Simetría axial, 723. Simetría central, 728.
CAPÍTULO 8 Circunferencia y círculo
Circunferencia, 734. Rectas notables, 734. Porciones de un círculo, 734. Circunferencia y polígonos, 735.
Ángulos notables, 735. Teoremas, 739. Tangente a una circunferencia, 744. Longitud de una tangente, 744.
Propiedades de las tangentes, 744. Posiciones relativas, 745.
XIX
CONTENIDO
CAPÍTULO 9 Perímetros y superficies
Definiciones, 750. Perímetro y área de una figura plana, 750. Triángulos, 750. Cuadriláteros, 751.
Polígonos regulares, 753. Circunferencia y círculo, 754. Sector y segmento circular, 754. Área de figuras
combinadas, 757.
CAPÍTULO 10 Cuerpos geométricos, áreas y volúmenes
Ángulo diedro, 764. Clasificación, 764. Ángulo triedro, 764. Clasificación, 765. Ángulo poliedro,
766. Clasificación, 766. Poliedro, 767. Elementos, 767. Clasificación, 767. Poliedros regulares,
768. Clasificación, 768. Desarrollo, 769. Área y volumen de un poliedro regular, 769. Prisma, 772.
Clasificación, 772. Área y volumen, 774. Pirámides, 776. Área y volumen, 777. Cuerpos con superficies
no planas, 779. Cilindro circular, 780. Cono circular, 780. Esfera, 783. Figuras esféricas y zonas
esféricas, 783. Área de figuras esféricas y volumen de cuerpos esféricos, 784.
CAPÍTULO 11 Funciones trigonométricas
Funciones trigonométricas, 790. Definiciones, 790. Cofunciones, 791. Rango numérico, 792. Valor, 792.
Signos de las funciones trigonométricas en el plano cartesiano, 794. Tabla de signos, 794. Funciones
trigonométricas para ángulos mayores que 90°, 796. Funciones trigonométricas de ángulos negativos,
798. Valores numéricos de las funciones trigonométricas circulares, 799.
CAPÍTULO 12 Funciones trigonométricas para ángulos notables
Valor de las funciones trigonométricas de los ángulos de 0°, 90°, 180°, 270° y 360°, 804. Valor de las
funciones trigonométricas de los ángulos de 30°, 45° y 60°, 805. Aplicación de los valores trigonométricos de los ángulos notables, 807.
CAPÍTULO 13 Representación gráfica de las funciones trigonométricas
Gráficas de las funciones trigonométricas, 812. Gráfica de y = sen x, 812. Gráfica de y = cos x, 813.
Gráfica de y = tan x, 813. Gráfica de y = ctg x, 814. Gráfica de y = sec x, 814. Gráfica de y = csc
x, 815. Resumen, 815. Amplitud, periodo y desplazamiento de fase, 816. Gráficas de y = sen–1 x, y =
cos–1 x, y = tan–1 x, 819.
CAPÍTULO 14 Identidades y ecuaciones trigonométricas
Identidades trigonométricas, 824. Obtención de las identidades trigonométricas básicas, 824. Demostración
de identidades trigonométricas, 825. Obtención de las identidades trigonométricas de la suma y la diferencia de
ángulos, 830. Valor de una función trigonométrica para la suma y la diferencia de ángulos , 832. Aplicación
de las funciones trigonométricas de la suma y la diferencia de ángulos, 833. Funciones trigonométricas del
ángulo doble, 837. Seno del ángulo doble sen (2a), 837. Coseno del ángulo doble cos (2a), 837.
Tangente del ángulo doble tan (2a), 838. Funciones trigonométricas de la mitad de un ángulo, 839. Seno
de la mitad de un ángulo: sen
, 839. Coseno de la mitad de un ángulo: cos
, 839. Tangente de la mitad
2
2
de un ángulo: tan
, 839. Identidades trigonométricas para transformar un producto en suma o resta, 844.
2
Demostración de identidades, 846. Identidades para transformar sumas o restas de funciones trigonométricas
en un producto, 848. Demostración de identidades, 851. Ecuaciones trigonométricas, 852.
CAPÍTULO 15 Triángulos rectángulos
Solución de triángulos rectángulos, 858.
XX
CAPÍTULO
REPRESENTACIÓN
GRÁFICA DE LAS FUNCIONES
13
TRIGONOMÉTRICAS
Ondas
SENOIDALES
S
e les considera como fundamentales por diversas razones: poseen
Onda senoidal
propiedades matemáticas muy
interesan tes (un ejemplo, con combinaciones de señales senoidales de diferente
amplitud y frecuencia se puede reconstruir
cualquier forma de onda), la señal que
Onda senoidal amortiguada
se obtiene de las tomas de corriente de
cualquier casa tiene esta forma, las señales de test producidas por los
circuitos osciladores de un generador de señal también son senoidales, la mayoría de las fuentes de potencia en AC (corriente alterna)
producen señales senoidales.
La señal senoidal amortiguada es un caso especial de este tipo de ondas
y se produce en fenómenos de oscilación, pero que no se mantienen en
el tiempo.
13
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
Gráficas de las funciones trigonométricas
Al establecer una regla de correspondencia entre dos conjuntos, por medio de las funciones trigonométricas, se establecen relaciones como:
⎛
3 ⎞
y = sen x, f(x) = cos (–x), y = tan ⎜ x + p ⎟
⎝ 2 ⎠
Para construir la gráfica de una función o razón trigonométrica se dan valores al ángulo (Argumento), éstos van sobre
el eje x, los valores obtenidos se grafican sobre el eje y.
Los valores asignados para el argumento se expresan en grados sexagecimales o radianes.
Gráfica de y = sen x
Tabulación
1o. cuadrante
0
π
4
π
2
3π
4
0
45°
90°
135°
0
0.7
1
0.7
X
Y
2o. cuadrante
3o. cuadrante
4o. cuadrante
5π
4
3π
2
7π
4
2π
180°
225°
270°
315°
360°
0
– 0.7
–1
– 0.7
0
π
Gráfica
Características
1. La función tiene periodo igual a 2p rad.
Y
2. La función es creciente en el primero y cuarto cuadrantes.
1
0
–1
3. La función decrece en el segundo y tercer cuadrantes.
2p
p
p
3p
2
2
X
4. La función es positiva en el primero y segundo cuadrantes
y negativa en el tercero y cuarto cuadrantes.
5. La función interseca al eje horizontal en múltiplos enteros de p.
6. –∞ < x < ∞.
7. –1 ≤ y ≤ 1.
812
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Representación gráfica de las funciones trigonométricas
13
Gráfica de y = cos x
Tabulación
1o. cuadrante
π
4
45°
0.7
0
X
0
1
Y
2o. cuadrante
π
2
90°
0
3
π
4
135°
– 0.7
3o. cuadrante
π
180°
–1
5π
4
225°
– 0.7
4o. cuadrante
3π
2
270°
0
7π
4
315°
0.7
2π
360°
1
Gráfica
Características
Y
1. La función tiene periodo igual a 2p rad.
1
2. La función decrece en el primero y segundo cuadrantes.
p
0
–1
2p
p
3p
2
2
3. La función crece en el tercero y cuarto cuadrantes.
X
4. La función es positiva en el primero y cuarto cuadrantes, y
negativa en el segundo y tercer cuadrantes.
5. La función interseca al eje horizontal en múltiplos impares
p
de .
2
6. –∞ < x < ∞.
7. – 1 ≤ y ≤ 1.
Gráfica de y = tan x
Tabulación
1o. cuadrante
0°
π
6
30°
0
0.57
0
X
Y
2o. cuadrante
π
3
60°
π
2π
2
3
90° 120°
1.7 No
–1.7
existe
5π
6
150°
–0.57
3o. cuadrante
180°
7π
6
210°
4π
3
240°
0
0.57
1.7
π
4o. cuadrante
3π
2
270°
No
existe
5π
3
300°
11π
6
330°
360°
– 1. 7
–0.57
0
2π
Gráfica
Características
Y
1. La función interseca al eje X en múltiplos de p.
2. La función es positiva en el primero y tercer cuadrantes.
1
0
–1
p
2
p
3p
2
2p
3. La función es negativa en el segundo y cuarto cuadrantes.
X
4. La función tiene periodo igual a p rad.
5. x es un número real tal que x ≠ ( 2n + 1)
n ∈ Z (asíntotas verticales).
6. –∞ < y < ∞.
813
p
con
2
13
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
Gráfica de y = ctg x
Tabulación
1o. cuadrante
X
π
6
30°
0
0°
No
Y existe 1.7
2o. cuadrante
π
3
60°
π
2
90°
2π
3
120°
5π
6
150°
.
0.57
0
–0.57
–1.7
3o. cuadrante
7π
π
6
180° 210°
No
existe 1.7
4o. cuadrante
4π
3
240°
3π
2
270°
5π
3
300°
11π
6
330°
0.57
0
– 0.57
–1.7
2π
360°
No
existe
Gráfica
Características
Y
p
.
2
2. La función es positiva en el primero y tercer cuadrante.
1. La función interseca al eje X en múltiplos impares de
1
p
2
0
–1
3. La función es negativa en el segundo y cuarto cuadrante.
p
3p
2
2p
X
4. La función tiene periodo igual a π rad.
5. x es un número real tal que x ≠ np con n ∈ Z (asíntotas
verticales).
6. –∞ < y < ∞.
Gráfica de y = sec x
Tabulación
X
Y
1o. cuadrante
π
π
0
4
2
1
14
2o. cuadrante
No existe
3π
4
π
– 1.4
–1
3o. cuadrante
5π
4
–1.4
4o. cuadrante
3π
2
7π
4
2π
No existe
1.4
1
Gráfica
Características
Y
1. La función no interseca al eje X.
2. La función es positiva en el primero y cuarto cuadrantes.
3. La función es negativa en el segundo y tercer cuadrantes.
1
4. La función tiene periodo igual a 2p rad.
0
–1
p
2
p
3p
2
2p
5. x es un número real tal que x ≠ ( 2n + 1)
X
(asíntotas verticales).
6. y ≥ 1 o y ≤ – 1.
814
p
con n ∈ Z
2
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Representación gráfica de las funciones trigonométricas
13
Gráfica de y = csc x
Tabulación
1o. cuadrante
2o. cuadrante
3o. cuadrante
4o. cuadrante
X
0
π
4
π
2
3π
4
π
5π
4
3π
2
7π
4
2π
Y
1
1.4
No existe
– 1.4
–1
–1.4
No existe
1.4
1
Gráfica
Características de la función cosecante
Y
1. La función no interseca al eje X.
2. La función es positiva en el primero y segundo cuadrantes.
1
3. La función es negativa en el tercero y cuarto cuadrantes.
4. La función tiene periodo igual a 2π rad.
0
p
p
3p
2
2
–1
2p
X
5. El valor de x es un número real tal que x ≠ np con n ∈ Z
(asíntotas verticales).
6. y ≥ 1 o y ≤ – 1.
Resumen
La siguiente tabla muestra el periodo, la amplitud, las asíntotas verticales, el dominio y el rango de cada una de las
funciones trigonométricas.
Asíntotas
verticales
Periodo Amplitud
Valores de x
Valores de y
y = sen x
2π
1
No tiene
{ x ∈ R}
{ y ∈ R / –1 ≤ y ≤ 1}
y = cos x
2π
1
No tiene
{ x∈ R }
{ y ∈ R / –1 ≤ y ≤ 1}
y = tan x
π
y = ctg x
π
y = sec x
2π
y = csc x
2π
π
2
( 2 n + 1), n ∈ Z
{
2
( 2 n + 1), n ∈ Z
nπ , n ∈ Z
815
π
2
}
( 2 n +1)
{ x ∈ R / x ≠ nπ }
nπ , n ∈ Z
π
x ∈R / x ≠
{
x∈R / x ≠
π
2
{ y ∈ R}
}
( 2 n +1)
{x ∈ R / x ≠ n π }
{ y ∈ R}
{ y ∈ R / y ≤ – 1 o y ≥ 1}
{ y ∈ R / y ≤ – 1 o y ≥ 1}
13
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
Amplitud, periodo y desplazamiento de fase
Si y = a sen bx, o bien y = a cos bx, para a, b ∈ R, distintos de cero, entonces la gráfica tiene amplitud a, y
periodo
2π
b
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Calcula la amplitud, el periodo y traza la gráfica de y = 4 sen 2x.
Solución
De y = 4 sen 2x se obtiene a = 4 y b = 2, los cuales al sustituir en las fórmulas se determinan la amplitud y el periodo:
Amplitud: a=4= 4
Periodo:
2π 2π
=
=π
b
2
Luego, la gráfica tiene amplitud 4 y periodo π.
Tabulación
X
0
π
4
π
2
3
π
4
π
5π
4
3π
2
7
π
4
2π
Y
0
4
0
–4
0
4
0
–4
0
Gráfica
Y
4
Amplitud
–p
–
3p
4
–
p
2
–
p
0
4
p
4
p
2
–4
Periodo
816
3p
4
p X
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Representación gráfica de las funciones trigonométricas
2
Calcula la amplitud, el periodo y traza la gráfica de y = 2 sen
13
1
x.
2
Solución
De y = 2 sen
periodo:
1
1
x se obtiene a = 2 y b = , los cuales al sustituirlos en las fórmulas se determinan la amplitud y el
2
2
Amplitud: a=2= 2
Periodo:
2π 2π
=
= 4π
1
b
2
Entonces, la gráfica tiene amplitud 2 y periodo 4p.
Y
X
0
Y
0
p
2
p
1.41
3p
2
2p
5p
2
3p
7p
2
4p
3
2
2
1.41
p
0
2p
3p
–2
–2
–1.41
y = 2 sen
0
Determina la amplitud y el periodo de y =
2
1
cos x .
3
3
Solución
En este caso a =
4p
–1.41
2
1
y b = , por tanto,
3
3
Amplitud =
Entonces, la gráfica tiene amplitud
2 2
=
3 3
Periodo =
2p 2p
=
= 6p
1
b
3
2
y periodo 6p.
3
Desplazamiento de fase (desfasamiento)
Ú Caso 1. Si y = a sen (b x + c), o bien y = a cos (b x + c) con a ≠ 0 y b ≠ 0
El desplazamiento de fase se calcula resolviendo las siguientes ecuaciones:
bx+c=0
817
y
b x + c = 2p
1
x
2
13
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
Ejemplo
Calcula la amplitud, periodo y desplazamiento de fase y traza la gráfica de:
y = 3 sen (2x +
p
)
2
Solución
y = 3 sen (2x +
p
p
), tiene la forma de y = a sen (bx + c) donde a = 3, b = 2 y c = , por consiguiente:
2
2
Amplitud =a=3= 3
Periodo =
2p 2p
=
=p
b
2
Para determinar el desplazamiento de fase y el intervalo, se resuelven las siguientes ecuaciones:
2x +
Donde x = −
p
=0
2
y
2x +
p
= 2p
2
π
3
y x = π , respectivamente.
4
4
5
− π –π
4
X
Y
0
3
3
− π
4
−
0
π
2
π
4
0
π
4
π
2
3
π
4
π
5
π
4
3
π
2
7
π
4
0
3
0
–3
0
3
0
–3
0
−
–3
Y
p⎞
⎛
y = 3 sen ⎜ 2 x + ⎟
2⎠
⎝
3
–
5p
4
–p
– 3p
4
–
p
2
–
0
p
4
p
4
p
2
3p
4
p
5p
4
X
–3
Ú Caso 2. Si y = a tan (bx + c) con a ≠ 0 y b ≠ 0, entonces:
a) El periodo es
π
b
Se pueden determinar las asíntotas verticales sucesivas en la gráfica resolviendo las ecuaciones:
bx+c= −
b) El desplazamiento de fase es −
π
2
c
b
818
y bx+c=
π
2
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Representación gráfica de las funciones trigonométricas
13
Ejemplo
Calcula el periodo y traza la gráfica de y =
1
p
tan (x + )
2
4
Solución
1
p
a = , b = 1 y c = , entonces,
2
4
a) El periodo es
π π
= =π
b 1
b) Para determinar las asíntotas verticales sucesivas se resuelven las ecuaciones:
x+
π
π
=−
4
2
x+
y
π π
=
4 2
3
π
Donde x = − π y x = , respectivamente, esto significa que cada π rad se traza una asíntota.
4
4
1
⎡ 3 π⎤
⎢⎣ − 4 π , 4 ⎥⎦ tiene la forma de y = 2 tan x, debic
π
π
y b = 1, el desplazamiento de fase se define como − = − , por consiguiente, la gráfica se
do a que c =
4
4
b
1
π
tan x hacia la izquierda una distancia de
obtiene desplazando y =
4
2
c) En la función a =
1
, la gráfica de la ecuación en el intervalo
2
Gráfica
Finalmente se traza la gráfica de la función y =
1
p
tan (x + ) con los datos ya obtenidos.
2
4
Y
–
–
5p
4
7p
4
–
–
p
p
4
4
0
3p
4
5p
4
3p
4
X
7p
4
Gráficas de y = sen–1 x, y = cos–1 x, y = tan–1 x
Seno inverso (y = sen–1 x)
Se representa como sen– 1 y se define como sigue:
y = sen–1 x
x = sen y
si y sólo si
donde –1 ≤ x ≤ 1, – ∞ < y < ∞
La expresión se puede escribir de las siguientes formas:
y = sen–1 x = arc sen x
o
y = ang sen x
Las cuales se leen, respectivamente, arco seno de x o ángulo seno de x.
819
13
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
Tabulación
X
0
Gráfica
Y
Y
–π
1
− π
2
1
− π
4
1
− π
6
0
1
π
6
1
π
4
1
π
2
π
–1
2
−
2
1
−
2
0
1
2
2
2
1
0
2p
3p
2
p
p
2
0
–1
–
p
1
X
2
–p
–
3p
2
– 2p
Coseno inverso (y = cos–1x)
La expresión coseno inverso se define como:
y = cos–1x
si y sólo si
x = cos y
donde –1 ≤ x < 1, –∞ < y < ∞.
La expresión se puede escribir de la siguiente forma:
y = cos–1 x = arc cos x = ang cos x
Las cuales se leen, respectivamente, arco coseno de x o ángulo coseno de x.
Tabulación
X
Gráfica
–1
π
2
−
2
3
π
4
−
1
2
Y
Y
2p
3p
2
2
π
3
0
1
π
2
1
2
1
π
3
2
2
1
π
4
1
0
p
p
2
p
4
0
–1
–
1
p
2
–p
–
–2 p
820
3p
2
X
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Representación gráfica de las funciones trigonométricas
Tangente inversa (y = tan–1x)
La expresión tangente inversa se define como:
y = tan–1x
x = tan y
si y sólo si
p
con n ∈ Z.
2
La tangente inversa se puede escribir de la siguiente forma:
donde –∞ < x < ∞, “y” es un real tal que y ≠ (2n + 1)
y = tan–1x = arc tan x = ang tan x
Y
2p
3p
2
p
p
2
–1
0
p
–
2
1
–p
–
3p
2
–2 p
821
X
13
13
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
EJERCICIO 41
Obtén la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase de las siguientes funciones:
π⎞
⎛
1. y = 2 cos ⎜ 3x − ⎟
⎝
2⎠
⎛1
p⎞
4. y = 5 sen ⎜ x + ⎟
⎝4
2⎠
7. y =
2. y = 2 sen 4x
3 ⎞
⎛
5. y = 4 cos ⎜ x − p ⎟
⎝
4 ⎠
1
π⎞
⎛1
8. y = − cos ⎜ x + ⎟
⎝4
3
3⎠
6. y = –3 cos 2x
⎛x⎞
9. y = sen ⎜ ⎟
⎝ 3⎠
3. y =
⎛ 2
4
3 ⎞
sen ⎜− x + p ⎟
⎝ 3
3
2 ⎠
3
⎛1
⎞
sen ⎜ π − 5 x ⎟
⎝2
⎠
2
Calcula el periodo, las asíntotas verticales y el desplazamiento de fase de las siguientes funciones:
1
p⎞
⎛
tan ⎜ 3 x − ⎟
⎝
2
3⎠
10. y = 3 tan(2x)
12. y =
⎛ p⎞
11. y = 2 tan ⎜ x + ⎟
⎝
4⎠
⎛1
⎞
13. y = −4 tan ⎜⎝ x − p ⎟⎠
2
Traza la gráfica de:
16. y =
1
3 ⎞
⎛
sen ⎜ x + p ⎟
⎝
2
4 ⎠
23. y = sec–1x
17. y = sen 2x
24. y = ang csc x
4 ⎞
⎛
18. y = −3 cos ⎜⎝ 2 x + p ⎟⎠
3
25. y = 2 + sen 3x
⎛x⎞
19. y = sen ⎜ ⎟
⎝ 3⎠
26. y = cos(2x) – 3
20. y = tan 2x
27. y = 1 + 2 sen 4x
⎛x⎞
21. y = tan ⎜ ⎟
⎝4⎠
28. y = sen(3x – p)
22. y = arc ctg x
Ú
Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
822
3
p⎞
⎛1
14. y = − tan ⎜⎝ x − ⎟⎠
2
4
2
15. y = tan (x – p)
CAPÍTULO
IDENTIDADES
Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
14
Identidades
PITAGÓRICAS
r=1
sen α
α
cos α
Definiciones de
ángulos del libro
Los elementos de Euclides
A
sí se denomina a las identidades
que resultan del teorema de Pitágoras y se obtienen del círculo unitario
mediante un triángulo rectángulo de hipotenusa 1 y catetos con longitudes sen a y
cos a.
Por definición del teorema de Pitágoras:
(1)2 = (sen a)2 + (cos a)2
1 = sen2 a + cos2 a
A la cual se le denomina identidad fundamental.
14 CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Identidades trigonométricas
Son igualdades en las que intervienen funciones trigonométricas y es válida para cualquier valor angular.
Obtención de las identidades trigonométricas básicas
Para determinar las identidades se hace uso de las definiciones de las funciones trigonométricas.
En el triángulo las funciones del ángulo a se definen:
b
a
sen a =
c
cos a =
b
c
a
tan a =
b
ctg a =
b
a
c
csc a =
a
sec a =
c
a
a
c
b
b
Al multiplicar una función directa por cada una de sus recíprocas se obtiene:
(sen a )(csc a ) =
a
c
c
a
=
a c
=1
c a
(cos a )(sec a ) =
b
c
c
b
=
b c
=1
c b
(tan a )(ctg a ) =
a
b
b
a
=
a b
=1
b a
Por tanto, se deducen las identidades recíprocas.
Identidades recíprocas
(sen a)(csc a) = 1
(cos a)(sec a) = 1
(tan a) (ctg a) = 1
Al realizar los respectivos despejes en las identidades anteriores, se obtienen las siguientes relaciones:
sen a =
1
csc a
tan a =
1
ctg a
csc a =
1
sen a
cos a =
1
sec a
ctg a =
1
tan a
sec a =
1
cos a
Identidades de cociente
Si se realiza el cociente de la función seno (sen a) por la función coseno (cos a), se obtiene la función tan a:
a
sen a
a c
a
= c =
= tan a
=
b
cos a
b c
b
c
De manera análoga se obtiene la función cotangente (ctg a),
b
cos a
b c
b
= c =
= ctg a
=
a
sen a
a c
a
c
Por tanto:
tan a =
sen a
cos a
;
824
ctg a =
cos a
sen a
GEOMETRÍA
CAPÍTULO 14
Y TRIGONOMETRÍA •
Identidades y ecuaciones trigonométricas
Identidades pitagóricas
En el triángulo se aplica el teorema de Pitágoras:
a2 + b 2 = c 2
Se divide entre c2 a ambos miembros.
a2 b 2
+
=1
c2 c2
Se aplica la ley de los exponentes.
a
c
2
+
b
c
2
=1
Los cocientes son equivalentes a las funciones sen a y cos a
(sen a )2 + (cos a )2 = 1,
por consiguiente sen2 a + cos2 a = 1
En forma semejante se obtienen las demás identidades pitagóricas, entonces:
sen2 a + cos2 a = 1
; tan2 a + 1 = sec2 a
y
1 + ctg2 a = csc2 a
De las identidades anteriores se realizan despejes, con el fin de obtener otras identidades:
sen2 α + cos2 α = 1
tan2 α + 1 = sec2 α
1 + ctg2 α = csc2 α
sen α = ±
(1 − cos α )
tan α = ±
(sec α
− 1
)
ctg α = ±
( csc α
− 1
cos α = ±
(1 − sen α )
sec α = ±
( tan α
+ 1
)
csc α = ±
( ctg α
+ 1
2
2
2
2
2
2
)
)
Demostración de identidades trigonométricas
Para realizar la demostración de una identidad trigonométrica se aplican procesos algebraicos como la factorización, las
operaciones entre fracciones así como su simplificación, además de las identidades trigonométricas básicas.
La aplicación de estos procesos depende de la identidad en sí; esto significa que no existe un orden o procedimiento
específico, debido a esta situación sugerimos iniciar con el lado más complejo o elaborado de la igualdad, con el fin
de llegar a demostrar el lado más sencillo, como a continuación se ejemplifica.
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Demuestra la siguiente identidad: sen x =
cos x
ctg x
Demostración
Se trabaja del segundo hacia el primer miembro, se sustituye ctg x =
sen x =
cos x
ctg x
S
sen x =
Por tanto queda demostrada la identidad.
825
cos x
cos x
sen x
cos x
y realiza el cociente correspondiente:
sen x
S
sen x =
sen x cos x
cos x
sen x
sen x
14 CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
2
SIMPLIFICADAS
Demuestra la siguiente identidad: sen b + cos b ctg b = csc b
Demostración
Para esta identidad se trabaja con el primer miembro para obtener el segundo.
sen b + cos b ctg b = csc b
sen b + cos b
cos b
= csc b
sen b
sen b +
cos 2 b
= csc b
sen b
sen 2 b + cos 2 b
= csc b
sen b
1
= csc b
sen b
csc b
se utiliza la identidad del cociente ctg b =
se efectúa el producto.
se realiza la suma fraccionaria.
se sustituye la identidad pitagórica sen2 b + cos2 b = 1
se aplica
1
= csc b
sen b
csc b
Finalmente, queda demostrada la identidad.
3
Demuestra la siguiente identidad:
csc a
= cos a
tan a + ctg a
Demostración
Se utiliza el primer miembro de la igualdad y se realizan los siguientes cambios:
1
sen a
= cos a
sen a cos a
+
cos a sen a
csc a
= cos a
tan a + ctg a
1
sen a
= cos a
sen 2 a + cos2 a
sen a cos a
Se realiza la suma del denominador,
Yposteriormente la división,
cos b
sen b
sen a cos a
= cos a
sen a ( sen 2 a + cos 2 a )
sen a cos a
= cos a
sen a ( 1)
Se sustituye sen2 a + cos2 a = 1
Yfinalmente se simplifica la fracción:
cos a
826
cos a
GEOMETRÍA
4
CAPÍTULO 14
Y TRIGONOMETRÍA •
Identidades y ecuaciones trigonométricas
Demuestra la siguiente identidad:
1
cos x
sen x
=
1+ sen x
cos x
Demostración
Se utiliza el segundo miembro como base para la demostración:
1
5
cos x
1 + sen x
=
sen x
cos x
cos x
1 + sen x 1 sen x
=
1 sen x
cos x
1 sen x
Se multiplica por el conjugado del numerador.
1 sen 2 x
cos x
=
1 sen x ( cos x ) ( 1 sen x )
se reemplaza 1 – sen2 x = cos2 x.
cos 2 x
cos x
=
1 sen x
( cos x ) ( 1 sen x )
se simplifica la fracción.
cos x
1 sen x
se demuestra la identidad.
cos x
1 sen x
Demuestra la siguiente identidad:
2cos2 x – 1 = 1 – 2sen2 x
Demostración
En este caso se utiliza el primer miembro para obtener el segundo.
2cos2 x – 1 = 1 – 2sen2 x
Se utiliza la identidad 1 = sen2 x + cos2 x.
2cos2 x – (sen2 x + cos2 x) = 1 – 2sen2 x
2cos2 x – sen2 x – cos2 x = 1 – 2sen2 x
cos2 x – sen2 x = 1 – 2sen2 x
1 – sen2 x – sen2 x = 1 – 2sen2 x
1 – 2sen2 x ; 1 – 2sen2 x
Por lo que la identidad queda demostrada.
827
se simplifican términos semejantes.
se emplea cos2 x = 1 – sen2 x.
14 CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
6
SIMPLIFICADAS
Demuestra la siguiente identidad:
cos 2 a sen 2 a
1 tan a
=
1+ 2sen a cos a
1+ tan a
Solución
Se utiliza el lado izquierdo para demostrar la identidad:
cos 2 a sen 2 a
1 tan a
=
1+ 2sen a cos a
1+ tan a
cos 2 a sen 2 a
1 tan a
=
sen a + 2sen a cos a + cos 2 a
1+ tan a
2
( cos a sen a ) ( cos a + sen a )
( sen a + cos a )
2
=
1 tan a
1+ tan a
1 tan a
cos a sen a
=
1+ tan a
sen a + cos a
cos a sen a
1 tan a
cos a
=
sen a + cos a 1+ tan a
cos a
EJERCICIO 42
Demuestra las siguientes identidades:
1. sen x (1 + cot x) = sen x + cos x
2. (1 + tan2 x) cos x = sec x
3.
sen x
tan x
2
+
1
csc x
2
=1
4. (sec x + sen2 x + cos2 x)(sec x – 1) = tan2 x
5. csc u (1 – cos2 u) = sen u
6.
ctg a
= csc a
cos a
7.
1 sen 2 f
= cos 4 f
sec 2 f
8. ctg2 y – cos2 y = ctg2 y cos2 y
9.
sec y =
ctg y + tan y
csc y
10. 1+ cos v = sen v
sen v
1 cos v
11. sec b ? sen b ? ctg b = 1
828
Se emplea la identidad sen2 a + cos2 a = 1
se factoriza denominador y numerador
se simplifica la fracción
se divide entre cos a numerador y
denominador.
1 tan a
1+ tan a
1 tan a
1+ tan a
GEOMETRÍA
12. ctg x – tan x =
13. 2csc2 y =
14.
CAPÍTULO 14
Y TRIGONOMETRÍA •
2 cos 2 x 1
sen x cos x
1
1
+
1 cos y 1 + cos y
1
= csc a – ctg a
csc a + ctg a
15. 3sen2 x – 9sen x ? ctg x + 7cos2 x – 4cos x = (4cos x – 1)(cos x – 3)
2
16. cos x +
tan 2 x
+ sen2 x = sec x
1+ sec x
17. cos4 x + sen2 x + sen2 x cos2 x = 1
18.
1 cos b
+
1 + cos b
1 + cos b
= 2csc b
1 cos b
19. cos x (2sec x + tan x)(sec x – 2tan x) = 2cos x – 3tan x
20. 1 +
sen x ctg 2 x
= csc x
1 + sen x
21. 2(sen6 x + cos6 x) – 3(sen4 x + cos4 x) + 1 = 0
22. sen x (1 + ctg x) = cos3 x (1 + tan x) + sen3 x (1 + ctg x)
23. (csc x – sen x)2 + (sec x – cos x)2 = tan2 x + ctg2 x – 1
24.
2 csc 2 x
– csc2 x + 1 = ctg x
tan x 1
25.
tan x + ctg x
= sec3 x
csc x sen x
26.
cos x sec x
= sec x (sec2 x – 1) sen x
sen x csc x
3
27. sec x =
sec 3 x sec x tan 2 x
( 1 sen x ) ( 1 + sen x )
28. sen2 x + tan2 x + cos2 x =
1
cos 2 x
29. sec2 x + csc2 x = (csc x sec x)2
30. sec2 x ; sen x csc x + sen x (sen x sec2 x)
31.
1
csc x + ctg x
32. 1 – ctg x =
Ú
1
ctg x
2
( csc x
csc x
=
2
sen x
2ctg x )
Este ejercicio no tiene soluciones al final del libro por ser demostraciones
829
Identidades y ecuaciones trigonométricas
14 CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Obtención de las identidades trigonométricas
de la suma y la diferencia de ángulos
Considerando que OB ⊥ BC , OC ⊥ DC , se realiza una proyección de OD con el eje X y OA ⊥ AD , DE ⊥ CE ,
donde AE = BC , así como AB = CE
Para obtener sen (α + b)
Y
D
a
E
C
b
a
A
O
sen (a + b) =
B
X
AD
pero AD = AE + ED ;
OD
entonces,
sen (a + b) =
AE + ED
OD
sen (a + b) =
AE ED
+
OD OD
Para obtener las funciones trigonométricas de los ángulos a y b
sen a =
BC
AE
CE
=
=
…(1)
OC
OC
CD
sen b =
CD
…(3)
OD
cos a =
OB
ED
=
…(2)
OC
CD
cos b =
OC
…(4)
OD
Si se realiza el producto de (1) y (4); (2) y (3) se tiene:
(sen a)(cos b) =
AE OC
AE
?
=
…(5)
OC OD
OD
(sen b)(cos a) =
CD ED
ED
?
=
…(6)
OD CD
OD
Al sumar (5) y (6):
(sen a)( cos b) + (sen b)( cos a) =
AE ED
;
+
OD OD
Se obtiene sen (a + b), entonces:
sen (a + b) = (sen a)(cos b) + (sen b)(cos a)
Para obtener cos (a + b)
cos (a + b) =
OA
;
OD
pero
OA = OB − AB ;
entonces,
cos (a + b) =
OB − AB
OD
830
cos (a + b) =
OB AB
−
OD OD
GEOMETRÍA
CAPÍTULO 14
Y TRIGONOMETRÍA •
Identidades y ecuaciones trigonométricas
Si se realiza el producto de (2) y (4); (1) y (3) se tiene:
(cos a)(cos b) =
OB OC
OB
?
=
… (7)
OC OD
OD
(sen a)(sen b) =
CE CD
CE
AB
?
=
=
… (8)
CD OD
OD
OD
Al restar (8) de (7):
(cos a)(cos b) – (sen a)(sen b) =
OB
AB
;
–
OD
OD
Se obtiene cos (a + b)
cos (a + b) = (cos a)(cos b) – (sen a)(sen b)
Para obtener tan (a + b), se emplean identidades básicas:
tan (a + b) =
sen (α + β )
;
cos (α + β )
tan (a + b) =
( sen α )(cos β ) + ( sen β )(cos α )
(cos α )(cos β ) − ( sen α ) ( sen β )
Si se divide entre (cos a)(cos b) ? 0, entonces,
( sen α )(cos β ) + ( sen β )(cos α )
( sen α )(cos β ) + ( sen β )(cos α )
cos α )( cos β )
(
(cos α )(cos β ) (cos α ) (cos β ) ;
tan (a + b) =
=
(cos α )(cos β ) − ( sen α )( sen β )
(cos α ) (cos β ) − ( sen α )( sen β )
(cos α )(cos β )
(cos α )(cos β ) (cos α )(cos β )
( sen α ) + ( sen β )
( cos α ) ( cos β )
tan (a + b) =
( sen α ) ⋅ ( sen β )
1−
( cos α ) ( cos β )
=
tan α + tan β
1 − tan α ⋅ tan β
Finalmente se deduce que:
tan ( + ) =
tan + tan
tan
1 − tan
Para obtener las identidades trigonométricas de la diferencia se emplean las identidades de los ángulos negativos en
función de ángulos positivos, es decir:
sen (– x) = – sen (x)
cos (– x) = cos (x)
tan (– x) = – tan (x)
Por tanto:
sen (a + b) = (sen a)(cos b) + (sen b)(cos a)
Se cambia b por – b y se obtiene:
sen (a – b) = (sen a)(cos(–b)) + (sen (–b))(cos a)
sen (a – b) = (sen a)(cos b) – (sen b)(cos a)
De una manera semejante se realiza la diferencia para las demás funciones trigonométricas y se obtiene:
cos (a – b) = (cos a)(cos b) + (sen a)(sen b)
tan ( – ) =
831
tan – tan
tan
1 + tan
14 CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Resumen de fórmulas
Identidades trigonométricas de la suma de ángulos:
sen (a + b) = (sen a)(cos b) + (sen b)(cos a)
cos (a + b) = (cos a)(cos b) – (sen a)(sen b)
tan + tan
tan ( + ) =
1 − tan
tan
Identidades trigonométricas de la diferencia de ángulos:
sen (a – b) = (sen a)(cos b) – (sen b)(cos a)
cos (a – b) = (cos a)(cos b) + (sen a)(sen b)
tan – tan
tan ( – ) =
1 + tan
tan
Valor de una función trigonométrica para la suma y la diferencia de ángulos
Los valores de las funciones trigonométricas de ángulos notables se emplean para obtener el valor de una función
cuyo ángulo se pueda descomponer en una suma o diferencia.
Ejemplos
EJEMPLOS
1
⎛π π ⎞
Obtén el valor de sen ⎜ + ⎟ .
⎝4 6⎠
Solución
Al aplicar la identidad para el seno de la suma de ángulos, se determina que:
⎛ 2 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1⎞
π
π
π
π
π π
cos
+ cos
sen
= ⎜
sen ⎛⎜ + ⎞⎟ = sen
⎟⎜
⎟ +⎜
⎟⎜ ⎟
⎝ 4 6⎠
4
6
4
6
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠
2
Calcula el valor exacto de tan (90°– 60°).
=
6
2
+
4
4
=
6+ 2
4
Solución
Se aplica la identidad de la tangente de la diferencia de ángulos y se obtiene:
tan (90°– 60°) =
tan 90° − tan 60°
1 + tan 90°tan 60°
tana − tanb
La tan 90° no está definida, por consiguiente, se multiplica la identidad tan(a − b ) =
por la unidad
1 + tana tanb
ctg a
expresada como 1 =
ctg a
⎛ tana − tan b ⎞ ⎛ ctg a ⎞ tan a ctg a − tan b ctg a
tan(a − b ) = ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ =
ga
⎝ 1 + tan a tan b ⎠ ⎝ ctg a ⎠ ctg a + tan a tan b ctg
Por identidades tan a ctg a = 1, entonces:
1 − tanb ctg a 1 − tanb ctg a
=
tan(a − b ) =
ctg a + 1( tan b) ctg a + tan b
Sustituyendo a = 90°, b = 60° y posteriormente los valores de ctg 90° = 0 y tan 60° = 3 , se obtiene como resultado:
tan(90° − 60°) =
1 − tan 60° ctg 90° 1 − ( 3 )(0) 1 − 0 1
1
3
3
=
=
=
=
.
=
ctg 90° + tan 60°
0+ 3
3
3
3 3
3
832
GEOMETRÍA
3
CAPÍTULO 14
Y TRIGONOMETRÍA •
Identidades y ecuaciones trigonométricas
⎛3
⎞
Expresa en función de x la identidad cos ⎜ π − x ⎟
⎝2
⎠
Solución
Se aplica la identidad del coseno de la diferencia de ángulos:
cos(a – b) = cos a cos b + sen a sen b
Se obtiene:
⎛3
⎞
3
3
cos ⎜ π − x ⎟ = cos π cos x + sen π sen x = (0) cos x + (– 1)sen x
⎝2
⎠
2
2
= 0 – sen x
= – sen x
⎛3
⎞
Resulta que, cos ⎜ π − x ⎟ = – sen x
⎝2
⎠
EJERCICIO 43
Aplica las identidades de suma o diferencias de ángulos y determina el valor de las siguientes funciones trigonométricas:
π π
1. sen ⎛⎜ + ⎞⎟
⎝ 2 6⎠
⎛
π⎞
5. sec ⎜ π − ⎟
⎝
4⎠
⎛3
π⎞
2. cos ⎜ π − ⎟
⎝4
3⎠
6. cos(270° – 45°)
3. sen(45° + 60°)
4. tan(45° + 90°)
⎛π π ⎞
7. ctg ⎜ + ⎟
⎝2 3⎠
⎛ π 3π ⎞
8. csc ⎜ + ⎟
⎝4 2 ⎠
⎛π
⎞
9. tan ⎜ − π ⎟
⎠
⎝4
⎛
7 ⎞
10. ctg ⎜ 2p − p ⎟
⎝
4 ⎠
Expresa en función del ángulo indicado las siguientes expresiones:
Ú
⎛ π⎞
11. sen ⎜θ + ⎟
⎝
6⎠
⎛π
⎞
15. csc ⎜ − α ⎟
⎠
⎝3
19. tan(3p – a)
⎛3
⎞
12. cos ⎜ π − x ⎟
⎝4
⎠
⎛π
⎞
16. ctg ⎜ + β ⎟
⎝4
⎠
⎛3
⎞
20. sen ⎜ π − θ ⎟
⎝4
⎠
13. sen(2p + b)
⎛ 8 ⎞
17. cos ⎜ x − π ⎟
⎝
3 ⎠
⎛π
⎞
14. tan ⎜ − x ⎟
⎝2
⎠
18. sec(p + 2v)
Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Aplicación de las funciones trigonométricas
de la suma y la diferencia de ángulos
Para determinar el valor de una función trigonométrica de determinados ángulos, éstos se descomponen como la suma
o la diferencia de dos ángulos notables.
833
14 CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Determina el cos 75° y expresa 75° como una suma de ángulos notables.
Solución
El ángulo de 75°, como la suma de ángulos notables, es 75° = 30° + 45°
Entonces,
cos 75° = cos (30° + 45°)
Se emplea la identidad cos (a + b) = cos a cos b – sen a sen b
cos (75°) = cos (30°+ 45°) = (cos 30°)(cos 45°) – (sen 30°)(sen 45°)
Al sustituir el valor de cada función trigonométrica, se determina que:
⎛ 3⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 2 ⎞
6
2
=
−
cos 75° = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
⎟⎟ − ⎜ ⎟ ⋅ ⎜⎜
⎟⎟ =
4
4
⎝
⎠
2
2
2
2
⎝ ⎠ ⎝
⎠
⎝
⎠
6− 2
4
Por tanto, cos 75° =
2
6− 2
4
Determina tan 15° y expresa 15° como una diferencia de ángulos notables.
Solución
El ángulo de 15° se expresa como 60° – 45°, entonces:
tan (15°) = tan (60°– 45°)
tan α − tan β
Se emplea la identidad tan (a – b) =
en la que se sustituyen los valores de los ángulos a = 60° y
1 + tan α ⋅ tan β
b = 45°,
tan 60° − tan 45°
tan (15°) = tan (60°– 45°) =
1 + tan 60° ⋅ tan 45°
Se sustituyen los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos notables:
3 −1
3 −1
tan (15°) = tan (60°– 45°) =
=
3 + 1
1 + 3 (1)
Al racionalizar el denominador, se obtiene:
tan 15° = 2 – 3
3
π
5
Calcula las funciones trigonométricas básicas de (a + b) si sabes que sen a =
para
≤ a ≤ p y tan b =
para
2
5
12
3π
p≤b≤
.
2
Solución
( )
3
Se obtienen las funciones de los ángulos a y b, con el teorema de Pitágoras y se respetan los signos de las funciones
en los cuadrantes indicados.
Para sen a, el segundo cuadrante
Para tan b, el tercer cuadrante
Y
Y
3
5
a
–4
– 12
b
X
–5
13
4
3
3
, cos a = − y tan a = −
5
4
5
5
12
5
y tan b =
Funciones del ángulo b: sen b = − , cos b = −
13
13
12
Funciones del ángulo a: sen a =
834
X
GEOMETRÍA
CAPÍTULO 14
Y TRIGONOMETRÍA •
Identidades y ecuaciones trigonométricas
Por consiguiente, estos valores se sustituyen en las identidades de sumas de ángulos.
⎛ 3 ⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 4 ⎞
sen (a + b) = (sen a)(cos b) + (sen b)(cos a) = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜− ⎟ + ⎜− ⎟ ⋅ ⎜− ⎟
⎝ 5 ⎠ ⎝ 13 ⎠ ⎝ 13 ⎠ ⎝ 5 ⎠
36 20
16
+
=−
65 65
65
⎛ 4 ⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 5 ⎞
cos (a + b) = (cos a)(cos b) – (sen a)(sen b) = ⎜− ⎟ ⋅ ⎜− ⎟ − ⎜ ⎟ ⋅ ⎜− ⎟
⎝ 5 ⎠ ⎝ 13 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 13 ⎠
=−
48 15 63
+
=
65 65 65
⎛ 3⎞ ⎛ 5 ⎞
4
⎜− ⎟ + ⎜ ⎟
−
16
tan α + tan β
⎝ 4 ⎠ ⎝ 12 ⎠
12
tan (a + b) =
=
=
=−
63
1 − tan α ⋅ tan β 1 − ⎛− 3 ⎞ ⋅ ⎛ 5 ⎞ 63
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 4 ⎠ ⎝ 12 ⎠ 48
=
4
Por tanto, los resultados son:
16
16
63
sen (a + b) = − , cos (a + b) =
y tan (a + b) = −
65
63
65
Demuestra la siguiente identidad:
2 t
1
– arc ctg t = arc sen
arc tan
t
−
1
t
+1
Solución
2 t
1
y a = arc ctg t , entonces u – a = arc sen
que es la identidad a demostrar donde
t −1
t +1
2 t
tan u =
y ctg a = t
t −1
Se construyen los triángulos respectivamente,
Por el teorema de Pitágoras
Para el ángulo u
Sean u = arc tan
h2 = ( 2 t
h=t+1
2 t
u
)2 + (t – 1 )2
h=
4t + t 2 − 2t + 1
h=
t 2 + 2t + 1
h=
(t + 1)2
=t+1
t–1
Para el ángulo a
Por el teorema de Pitágoras
h=
t +1
1
h2 = ( t
h =
)2 + (1)2
t +1
a
t
Se realiza la demostración aplicando seno a (u – a)
sen (u – a) = sen u cos a – sen a cos u
2 t
t −1
t
1
Pero sen u =
, cos u =
, cos a =
y sen a =
, entonces
t +1
t +1
t +1
t +1
2 t
t
⋅
–
t + 1 t +1
Donde,
1
sen (u – a) =
t +1
Así queda demostrada la identidad.
sen (u – a) =
1
t −1
2t − t + 1
(t + 1) =
⋅
=
=
t +1 t +1
(t + 1) t + 1 (t + 1) t + 1
1
S
u – a = arc sen
t +1
835
1
t +1
14 CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
EJERCICIO 44
Determina los valores de las siguientes funciones trigonométricas y expresa los ángulos como suma o diferencia:
1. tan 105°
2. cot 75°
11. Si cos α = −
3.
4.
csc 15°
sec 105°
tan 255°
cos 285°
5.
6.
7.
8.
tan 345°
sec 165°
9. csc 255°
10. sen 165°
4
2
π
π
con ≤ α ≤ π y tan β = con 0 ≤ β ≤ , halla sen(a + b), cos(a + b) y tan(a + b).
5
3
2
2
3
3
12. Si tan a = 1 con π ≤ α ≤ π y sec b = 2 con π ≤ β ≤ 2π , halla sen(a – b), cos(a – b) y tan(a – b).
2
2
13. Si sec a = −
y (a – b).
3
3
con π ≤ α ≤ π y ctg b =
2
2
2 con 0 ≤ β ≤
π
, halla las seis funciones trigonométricas de (a + b)
2
Demuestra las siguientes identidades:
⎡
⎛π
⎞⎤
14. ⎢ sen (π − x ) + sen ⎜
− x⎟ ⎥
⎝2
⎠⎦
⎣
[ sen x
− cos x ] ≡ 1 − 2 cos 2 x
⎡
⎤
⎡
⎛ 3π
⎞
⎛π
⎞
⎛π
⎞⎤
15. ⎢ cos ⎜
+ x ⎟ − cos (π − x )⎥ − ⎢ sen ⎜
+ x ⎟ + cos ⎜
+ x ⎟ ⎥ ≡ 2 sen x
⎝ 2
⎠
⎝2
⎠
⎝2
⎠⎦
⎣
⎦
⎣
⎡
⎤
⎡
⎛π
⎞⎤
⎛π
⎞
16. ⎢ cos ⎜ − x ⎟ − sen (π + x )⎥ − ⎢ cos (π + x ) + cos ⎜
+ x ⎟ ⎥ ≡ 3 sen x + cos x
⎝2
⎠⎦
⎝2
⎠
⎣
⎦
⎣
3π ⎞
⎛
sen ⎜ β −
⎟
⎝
2 ⎠
17.
sec β
⎛π
⎞
cos ⎜
− β⎟
⎝2
⎠
≡ 1
+
csc β
⎛
3π ⎞
2
18. tan ( π − α ) ⋅ sen ⎜α +
⎟ ⋅ sen ( π − α ) ≡ 1 − cos α
⎝
2 ⎠
19.
[ sen α
− sen β ] − 2 cos (α + β ) + [ cos α + cos β ]
20.
sec (π − ω )
⎛π
⎞
csc ⎜
+ ω⎟
⎝2
⎠
2
+
sen (π + ω )
≡ tan ω − 1
cos (π + ω )
−
tan (π − x )
≡ sec x ⋅ ( csc x + 1)
sen x
⎡
⎛π
⎞⎤
23. ⎢ sen ( x + 2π ) + cos ⎜
− x⎟ ⎥
⎝2
⎠⎦
⎣
24.
≡ 2
cos (π + y )
≡ sen y
tan (π + y )
21. csc (π − y ) +
⎛π
⎞
csc ⎜
+ x⎟
⎝2
⎠
22.
⎛π
⎞
cos ⎜
− x⎟
⎝2
⎠
2
2
+
4 cos ( x − 2π )
≡ 4
⎛π
⎞
csc ⎜
− x⎟
⎝2
⎠
sen (α + β + γ ) + sen (α − β − γ )
≡ tan α
cos (α + β + γ ) + cos (α − β − γ )
836
GEOMETRÍA
( sen θ
25. sen (θ + ω ) ⋅ sen (θ − ω ) ≡
CAPÍTULO 14
Y TRIGONOMETRÍA •
Identidades y ecuaciones trigonométricas
+ sen ω ) ( sen θ − sen ω )
⎛π
⎞
⎛π
⎞
2
26. tan ⎜ + δ ⎟ + tan ⎜ − δ ⎟ ≡ –
sen 2 δ − cos 2 δ
⎝4
⎠
⎝4
⎠
3 ⎞
1 ⎞
⎛
27. 4 arc tan ⎛⎜ −
⎟ + π ≡ 4 arc tan ⎜⎝ −
⎟
⎝
2 ⎠
5 ⎠
28. sen −1
29. cos
−1
2
1 π
− ≡ − sen −1
5
5 2
12
13
t2 + 1
t
30. sec −1
1
31. arc sen
32. sen −1
33. sen −1
− cos
t +1
2
t
t2 +1
−1
≡ − sen −1
3
5
− ctg −1t ≡ 0, t > 0
− arc cos
+ sen −1
t2 −1
1
≡ − arc tan , t > 0
t2 +1
t
1
t2 +1
≡ sen −1 ( 1 ) , t > 0
1
t
t −1
− sen −1
≡ sen −1
, t ≥1
t +1
t +1
t +1
34. arc tan s − arc sen
Ú
33
65
t
t
2
+ 1
≡ arc tan
s − t
,s > 0yt > 0
1 + st
Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Funciones trigonométricas del ángulo doble
Estas funciones se obtienen a partir de las identidades de la suma de ángulos, como se muestra a continuación:
Seno del ángulo doble sen (2a)
Para obtener el sen (2a) se emplea la identidad sen (a + b) donde b = a
Entonces:
sen (a + b) = (sen a)(cos b) + (sen b)(cos a)
sen (2a) = (sen a)(cos a) + (sen a)(cos a)
sen (2a) = 2 (sen a)(cos a)
Coseno del ángulo doble cos (2a)
Para obtener cos (2a) se emplea la identidad cos (a + b) donde b = a
Entonces:
cos (a + b) = (cos a)(cos b) – (sen a)(sen b)
cos (2a) = (cos a)(cos a) – (sen a)(sen a)
cos (2a) = cos2 a – sen2 a (con el empleo de identidades trigonométricas básicas)
cos (2a) = 1 – 2 sen2 a
cos (2a) = 2 cos2 a – 1
837
14 CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Tangente del ángulo doble tan (2a)
Para obtener tan (2a) se emplea la identidad tan (a + b) donde b = a
Entonces:
tan α + tan β
tan (a + b) =
1 − tan α ⋅ tan β
tan α + tan α
1 − tan α ⋅ tan α
2tan α
tan (2a) =
1 − tan 2 α
tan (2a) =
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Obtén las funciones trigonométricas de (2v), si se sabe que tan v = 3, para π ≤ v ≤
3π
2
Solución
−3
En este caso el ángulo v se encuentra en el tercer cuadrante, entonces: tan v =
−1
Y
Por el teorema de Pitágoras
r2 = (–1)2 + (–3)2
–1
r2 = 1 + 9
ω
–3
2
X
r=
10
r
Se obtienen las funciones trigonométricas de v:
−3
3
3 10
1
10
=3
sen v = −
=−
, cos v = −
=−
y tan v =
−1
10
10
10
10
Por tanto,
⎛ 3 10 ⎞ ⎛ 10 ⎞ ( 6 )(10 )
3
sen 2v = 2 (sen v)(cos v) = 2 ⎜⎜−
=
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜−
⎟⎟ =
5
100
⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠
2
2
⎛ 10 ⎞ ⎛ 3 10 ⎞ 10 − 90
4
2
2
cos 2v = cos v – sen v = ⎜⎜−
= −
⎟⎟ − ⎜⎜−
⎟⎟ =
100
5
10
10
⎝
⎠ ⎝
⎠
2tan ω
6
3
2 ⋅ ( 3)
tan 2v =
=
=
= −
2
1 − tan 2 ω
−
8
4
1 − ( 3)
Demuestra la siguiente identidad:
3
6
6
sen x + cos x = 1 – sen2 2x
4
Demostración
3
(sen2 x + cos2 x)(sen4 x – sen2 x⋅cos2 x + cos4 x) = 1 – sen2 2x
4
3
(1)(sen4 x – sen2 x⋅cos2 x + cos4 x) = 1 – sen2 2x
4
3
sen4 x – sen2 x⋅cos2 x + cos4 x + 3sen2 x⋅cos2 x – 3sen2 x⋅cos2 x = 1 – sen2 2x
4
3
(sen4 x + 2sen2 x⋅cos2 x + cos4 x) – 3sen2 x⋅cos2 x = 1 – sen2 2x
4
3
(sen2 x + cos2 x)2 – 3sen2 x⋅cos2 x = 1 – sen2 2x
4
3
1 – 3sen2 x⋅cos2 x = 1 – sen2 2x
(pero sen 2x = 2 sen x⋅ cos x)
4
3
3
1 – sen2 2x ; 1 – sen2 2x
4
4
838
GEOMETRÍA
3
CAPÍTULO 14
Y TRIGONOMETRÍA •
Identidades y ecuaciones trigonométricas
Demuestra la siguiente identidad:
1 + cos 2 x
= sen 2 x
ctg x
Demostración
Se inicia con la sustitución de las siguientes identidades:
1 = sen 2 x + cos 2 x, cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x y ctg x =
cos x
sen x
Se realizan las operaciones correspondientes y se simplifica:
1 + cos 2 x
2 cos 2 x
2 cos 2 x sen x
(sen 2 x + cos 2 x ) + (cos 2 x − sen 2 x )
= 2sen x cos x
=
=
=
cos x
ctg x
ctg x
cos x
sen x
Pero 2 sen x cos x = sen 2x, por consiguiente se comprueba la igualdad:
1 + cos 2 x
≡ sen 2 x
ctg x
Funciones trigonométricas de la mitad de un ángulo
Seno de la mitad de un ángulo: sen
2
⎛v⎞
ω
Para obtener el sen ⎜ ⎟ , se emplea la identidad cos(2a) = 1 – 2 sen2 a, entonces se realiza el cambio α =
⎝2⎠
2
⎛v⎞
⎛ ω⎞
cos ⎜ 2 ⋅ ⎟ = 1 – 2sen2 ⎜ ⎟
⎝2⎠
⎝ 2⎠
⎛v⎞
⎛v⎞
Se despeja sen ⎜ ⎟ , resultando sen ⎜ ⎟ =
⎝2⎠
⎝2⎠
S
⎛v⎞
cos v = 1 – 2sen2 ⎜ ⎟
⎝2⎠
1 – cos v
2
Coseno de la mitad de un ángulo: cos
2
⎛v⎞
Para obtener cos ⎜ ⎟ , se emplea la identidad cos (2a) = 2 cos2 a – 1
⎝2⎠
ω
Entonces se realiza el cambio α =
2
⎛v⎞
⎛ ω⎞
cos ⎜ 2 ⋅ ⎟ = 2 cos2 ⎜ ⎟ – 1
⎝2⎠
⎝ 2⎠
⎛v⎞
⎛v⎞
Se despeja cos ⎜ ⎟ , resultando cos ⎜ ⎟ =
⎝2⎠
⎝2⎠
S
⎛v⎞
cos v = 2 cos2 ⎜ ⎟ – 1
⎝2⎠
1 + cos v
2
Tangente de la mitad de un ángulo: tan
2
⎛v⎞
Para obtener tan ⎜ ⎟ , se emplean identidades trigonométricas básicas:
⎝2⎠
⎛ω ⎞
1 − cos ω
1 − cos ω
sen ⎜ ⎟
⎛v⎞
⎝2⎠
2
2
tan ⎜ ⎟ =
=
=
=
1 + cos ω
⎛ω ⎞
⎝2⎠
1
+
cos
ω
cos ⎜ ⎟
2
⎝2⎠
2
839
1 − cos ω
1 + cos ω
14 CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Al racionalizar el denominador:
(1 − cos ω ) ⋅ (1 − cos ω )
(1 + cos ω ) ⋅ (1 − cos ω )
⎛v⎞
tan ⎜ ⎟ =
⎝2⎠
=
(1 − cos ω )2
1 − cos 2 ω
=
(1 − cos ω )2
sen 2 ω
=
1− cos ω
sen ω
Por tanto:
⎛v⎞
tan ⎜ ⎟ =
⎝2⎠
Ejemplos
EJEMPLOS
1
1 – cos v
1 – cos v
=
1 + cos v
sen v
55
ω
Obtén las funciones trigonométricas básicas de ⎛⎜ ⎞⎟ si se sabe que: sen v = −
para 270° ≤ v ≤ 360°.
⎝ 2⎠
8
Solución
Se ubica el ángulo v en el cuarto cuadrante:
Y
Por el teorema de Pitágoras
x=3
(8)2 = (x)2 + (– 55 )2
v
X
64 = x2 + 55
64 – 55 = x2
– 55
8
x=
9
x=3
Se obtienen las funciones trigonométricas del ángulo v:
sen v = −
55
8
cos v =
3
8
tan v = −
55
3
ω
De acuerdo con el resultado anterior, las funciones trigonométricas del ángulo ⎛⎜ ⎞⎟ son:
⎝ 2⎠
⎛ω ⎞
sen ⎜ ⎟ =
⎝2⎠
1 − cos ω
=
2
⎛ 3⎞
1− ⎜ ⎟
⎝8⎠
=
2
5
8 =
2
⎛v⎞
cos ⎜ ⎟ =
⎝2⎠
1 + cos ω
=
2
⎛ 3⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝8⎠
=
2
11
8 =
2
5
5
=
16
4
11
=
16
11
4
⎛ 3⎞
5
1− ⎜ ⎟
⎛v⎞
1− cos ω
5
55
⎝8⎠
8
tan ⎜ ⎟ =
=
=
= −
= −
⎛ 55 ⎞
sen ω
⎝2⎠
11
55
55
−
⎜−
⎟
8
⎝ 8 ⎠
840
GEOMETRÍA
2
CAPÍTULO 14
Y TRIGONOMETRÍA •
Identidades y ecuaciones trigonométricas
Obtén el valor de las funciones trigonométricas básicas del ángulo de 15°, haciendo 15° =
30°
2
Solución
a) Para hallar el valor de sen 15° se utiliza la siguiente fórmula:
⎛v⎞
sen ⎜ ⎟ =
⎝2⎠
1 − cos ω
2
Entonces,
⎛ 30° ⎞
sen 15° = sen ⎜
⎟ =
⎝ 2 ⎠
1 − cos 30°
=
2
1−
2
3
2 =
2− 3
=
4
2− 3
2
2+ 3
=
4
2+ 3
2
Por tanto:
sen 15° =
2− 3
2
b) Para hallar el valor de cos 15° se utiliza la siguiente fórmula:
⎛v⎞
cos ⎜ ⎟ =
⎝2⎠
1 + cos ω
2
Entonces,
⎛ 30° ⎞
cos 15° = cos ⎜
⎟=
⎝ 2 ⎠
1 + cos 30°
=
2
1+
2
3
2 =
Por tanto,
cos 15° =
2+ 3
2
c) Para hallar el valor de tan 15° se utiliza la siguiente fórmula:
⎛v⎞
1− cos ω
tan ⎜ ⎟ =
sen ω
⎝2⎠
Entonces,
2− 3
3
⎛ 30° ⎞ 1 − cos 30° 1 − 2
2− 3
2
=
=
=
tan 15° = tan ⎜
⎟ =
1
1
sen 30°
⎝ 2 ⎠
1
2
2
Por consiguiente,
tan 15° = 2 – 3
841
14 CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
3
SIMPLIFICADAS
Demuestra la siguiente identidad:
cos α − cos 2α
sen α + sen 2α
≡
α
2
α
cos
2
sen
Demostración
Se aplican las identidades del doble del ángulo
cos α − cos 2α
sen α + sen 2α
α
2
=
α
cos
2
sen
cos α − ( cos 2 α − sen 2 α )
S
sen α + 2sen α cos α
α
2
=
α
cos
2
sen
α
sen
cos α − cos 2 α + sen 2 α
2
=
α
sen α + 2 sen α cos α
cos
2
α
sen
cos α − cos 2 α + 1 − cos 2 α
2
=
α
sen α + 2 sen α cos α
cos
2
α
sen
1 + cos α − 2cos 2 α
2
=
sen α + 2 sen α cos α cos α
2
Se realiza una factorización tanto en el numerador como en el denominador,
(1 − cos α ) (1 + 2cos α ) 1 − cos α
1 + cos α − 2cos 2 α
=
=
sen α (1 + 2cos α )
sen α
sen α + 2 sen α cos α
Se aplican identidades básicas con el nuevo resultado,
1 − cos α
1 − cos α
=
=
sen α
1 − cos 2 α
Pero sen
1 − cos α
=
=
(1 + cos α ) (1 − cos α ) 1 + cos α
1 − cos α
1 − cos α
2
=
1 + cos α
2
1 − cos α
1 + cos α
α
α
=
y cos =
, entonces se demuestra la igualdad
2
2
2
2
cos α − cos 2α
sen α + sen 2α
842
≡
α
2
α
cos
2
sen
1 − cos α
2
1 + cos α
2
GEOMETRÍA
CAPÍTULO 14
Y TRIGONOMETRÍA •
Identidades y ecuaciones trigonométricas
EJERCICIO 45
π 3
5
7
, π, π y π.
8 8
8
8
⎛α ⎞
π
2. Obtén las funciones trigonométricas de (2a) y ⎜ ⎟ , si se sabe que csc a = 4 para ≤ α ≤ π .
⎝2⎠
2
1. Utiliza las identidades del ángulo mitad para obtener las funciones trigonométricas de los ángulos
⎛β ⎞
12
3
, para π ≤ β ≤ π , halla las funciones trigonométricas de (2b) y ⎜ ⎟ .
⎝2⎠
5
2
5
3
donde π ≤ ω ≤ 2 π , encuentra las funciones trigonométricas de
4. Dada la función trigonométrica cos v =
8
2
⎛ω ⎞
(2v) y ⎜ ⎟ .
⎝2⎠
⎛α ⎞
π
7
5. Obtén las funciones trigonométricas de (2a) y ⎜ ⎟ si se sabe que: sec a = −
para ≤ α ≤ π .
⎝2⎠
2
2
3. Si se sabe que tan b =
6. Si sen
α
=
2
7. Si cos 2b =
8. Si sen
3+ 5
π
y ≤ α ≤ π , determina sen a, cos a y tan a.
2
6
15
β
3
y π ≤ β ≤ π , encuentra las funciones trigonométricas de b y .
2
17
2
1
α =
4
10 − 50 + 10 5
π
, determina las funciones trigonométricas de a si 0 ≤ α ≤ .
20
2
9. Si csc
1
6
β
π
β=
y 0 ≤ β ≤ , halla las funciones trigonométricas de b y .
2
4
2
3− 6
10. Si ctg
ω
3
= – 3 y π ≤ ω ≤ 2 π , halla las funciones trigonométricas de v, 2v y 4v.
2
2
Demuestra las siguientes identidades:
11.
12.
2
1 + cos α
[cos 2x
= sec 2
α
2
− sen 2x ] 2 − 1 = sen (− 4x )
13. cos 8x + cos 4x = 2cos 2x – 4sen2 3x ⭈ cos 2x
14. sen 4x + sen 6x = 2 ( sen 5x ⋅ cos x )
⎛π
⎞
1 + sen 2ω
15. ctg ⎜ − ω ⎟ =
⎝4
⎠
cos 2ω
16. cos 8 β − sen 8 β =
17.
1
cos 2β ⋅ ( 3 + cos 4β )
4
2 ( sen α + cos α )
⎛
π⎞
2 sec ⎜α − ⎟ =
⎝
4⎠
1 + sen 2α
18. cos 12° cos 24° cos 48° cos 96° = –
19.
cos 3 x − sen 3 x
cos 2x
= cos x −
1
16
sen 2x
2 ( sen x + cos x
)
843
+ sen x
14 CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
20.
SIMPLIFICADAS
1
1 + sen ϕ
1 + tan 2
=
ϕ
2
⎛ 2 ϕ⎞ ⎛
ϕ⎞
⎜tan
⎟ ⋅ ⎜1 + ctg ⎟
⎝
2⎠ ⎝
2⎠
2
y
y
y
y
21. 2 ⎡⎢ cos − sen ⎤⎥ ⋅ ⎡⎢ sen + cos ⎤⎥ cos x = cos ( x + y ) + cos ( x − y )
2
2
2
2
⎣
⎦ ⎣
⎦
22. sen ( x + 2y ) − sen x = 2sen y ⋅ cos ( x + y )
23. 4 csc 2 β ⋅ cos β = ctg 2
β
β
− tan 2
2
2
⎡
θ
θ⎤ ⎡
θ
θ⎤
− sen ⎥ ⋅ ⎢cos
24. ⎢3 cos
+ sen ⎥ = 2 cos θ + sen θ + 1
⎣
2
2⎦ ⎣
2
2⎦
25.
Ú
sen 6 x + cos 6 x = 1 −
3
sen 2 2x
4
Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Identidades trigonométricas para transformar un producto en suma o resta
De las identidades:
sen (x + y) = (sen x) (cos y) + (sen y) (cos x) se realiza la suma con
+ sen (x – y) = (sen x) (cos y) – (sen y) (cos x)
sen (x + y) + sen (x – y) = 2 (sen x)(cos y)
Al despejar,
(sen x) (cos y) =
1⎡
⎣sen ( x + y) + sen ( x − y)⎤⎦
2
De forma semejante se obtiene:
(cos x) (sen y) =
1⎡
⎣sen ( x + y) − sen ( x − y)⎤⎦
2
De las identidades:
cos (x + y) = (cos x) (cos y) – (sen x) (sen y) se realiza la suma con
+ cos (x – y) = (cos x) (cos y) + (sen x) (sen y)
cos (x + y) + cos (x – y) = 2 (cos x)(cos y)
Al despejar,
(cos x) (cos y) =
1⎡
⎣cos ( x + y) + cos ( x − y)⎤⎦
2
De la misma manera se obtiene:
1
(sen x) (sen y) = − ⎡⎣cos ( x + y) − cos ( x − y)⎤⎦
2
844
GEOMETRÍA
CAPÍTULO 14
Y TRIGONOMETRÍA •
Identidades y ecuaciones trigonométricas
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Expresa el siguiente producto en forma de suma o resta:
cos (8x) cos (2x)
Solución
Se emplea la identidad (cos x) (cos y) =
1⎡
⎣cos ( x + y) + cos ( x − y)⎤⎦ y se obtiene:
2
cos (8x) cos (2x) =
2
1
[cos(8 x + 2 x ) + cos(8 x − 2 x )]
2
1
cos (8x) cos (2x) = ⎡⎣cos (10 x ) + cos ( 6 x )⎤⎦
2
Encuentra el valor del siguiente producto:
⎛ 3π ⎞ ⎛ π ⎞
sen ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟
⎝ 4 ⎠ ⎝ 12 ⎠
Solución
1
Se emplea la identidad (sen x) (cos y) = ⎡⎣sen ( x + y) + sen ( x − y)⎤⎦
2
⎛ 3π π ⎞⎤
1 ⎡ ⎛ 3π π ⎞
⎛ 3π ⎞ ⎛ π ⎞
sen ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ = ⎢sen ⎜ + ⎟ + sen ⎜ − ⎟⎥
⎝ 4 12 ⎠⎦
2 ⎣ ⎝ 4 12 ⎠
⎝ 4 ⎠ ⎝ 12 ⎠
⎛ 9 π − π ⎞⎤
1 ⎡ ⎛ 9π + π ⎞
⎛ 3π ⎞ ⎛ π ⎞
⎟ + sen ⎜
⎟⎥
sen ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ = ⎢sen ⎜
⎝
⎠
⎝ 12 ⎠⎦
2
12
⎣
⎝ 4 ⎠ ⎝ 12 ⎠
⎛ 3π ⎞ ⎛ π ⎞
1 ⎡ ⎛ 5π ⎞
⎛ 2π ⎞ ⎤
sen ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ = ⎢ sen ⎜
⎟ + sen ⎜⎝
⎟
2⎣ ⎝ 6 ⎠
3 ⎠ ⎥⎦
⎝ 4 ⎠ ⎝ 12 ⎠
Al sustituir el valor de las funciones trigonométricas de ángulos notables:
⎛ 3π ⎞ ⎛ π ⎞
1+ 3
1 ⎡1
3⎤
1 ⎡1 + 3 ⎤
sen ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ = ⎢ +
⎥ =
⎥ = ⎢
4
⎝ 4 ⎠ ⎝ 12 ⎠
2 ⎣2 2 ⎦
2⎣ 2 ⎦
EJERCICIO 46
Convierte los siguientes productos en sumas o diferencias de funciones trigonométricas:
1. sen(a + b) cos(a – b)
11. 4 sen(3a) sen(a)
2. cos(45°) sen(60°)
12. 5cos(2a) sen(6a)
3. sen(y + b) sen(y – b)
13. cos(47°) sen(43°)
⎛ 5π ⎞ ⎛ π ⎞
4. cos ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟
⎝ 12 ⎠ ⎝ 4 ⎠
2
5
14. cos ⎛⎜ α⎞⎟ cos ⎛⎜ β ⎞⎟
⎝3 ⎠
⎝3 ⎠
1
15. 3sen(9a) cos ⎛⎜ α⎞⎟
⎝2 ⎠
5. sen(82° 309) cos(37° 309)
Ú
6. sen(37° 309) sen(7° 309)
⎛π ⎞ ⎛π ⎞
16. sec ⎜ ⎟ sec ⎜ ⎟
⎝ 3⎠ ⎝6⎠
7. cos(x + a) sen(x – a)
17. tan 2a ctg a
⎛ 7π ⎞ ⎛ 5π ⎞
8. cos ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟
⎝ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠
3
π
18. sec ⎛⎜ π ⎞⎟ csc ⎛⎜ ⎞⎟
⎝4 ⎠
⎝ 4⎠
9. sen(187° 309) cos(217° 309)
19. tan(x + a) tan(x – a)
⎛ 7π ⎞
⎛π ⎞
10. cos ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟
⎝ 4 ⎠
⎝ 12 ⎠
20.
Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
845
sen ( 2α + β )
sec ( 2α − β )
14 CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Demostración de identidades
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Demuestra la siguiente igualdad: sen
π
π
1
cos
=
12
12
4
Demostración
Se aplica la identidad (sen x) (cos y) =
sen
Pero sen
1
⎡ sen ( x + y ) + sen ( x − y ) ⎤⎦
2⎣
π
π
1⎡ ⎛ π π ⎞
⎛ π π ⎞⎤ 1
π
cos
= ⎢ sen ⎜ + ⎟ + sen ⎜ − ⎟ ⎥ = ⎡ sen + sen 0 ⎤
⎥⎦
⎝ 12 12 ⎠ ⎦ 2 ⎢⎣
12
12
2 ⎣ ⎝ 12 12 ⎠
6
π
1
=
y sen0 = 0, entonces:
6
2
sen
π
π
1
1 1
cos
= ⎡ + 0⎤ =
⎢
⎥
12
12
4
2 ⎣2
⎦
Por tanto queda demostrada la igualdad.
2
Demuestra la siguiente expresión:
sen x cos y + sen y cos x = sen(x + y)
Demostración
Se aplica la transformación de productos a sumas y se obtiene:
sen x cos y =
1
⎡ sen ( x + y ) + sen ( x − y ) ⎤⎦
2⎣
sen y cos x = cos x sen y =
1
⎡ sen ( x + y ) − sen ( x − y ) ⎤⎦
2⎣
Al sumar ambas expresiones:
sen x cos y + sen y cos x =
1
1
⎡ sen ( x + y ) + sen ( x − y ) ⎤⎦ + ⎡⎣ sen ( x + y ) − sen ( x − y ) ⎤⎦
2⎣
2
sen x cos y + sen y cos x =
1
1
1
1
sen ( x + y ) + sen ( x − y ) + sen ( x + y ) − sen ( x − y )
2
2
2
2
Se simplifican términos semejantes, entonces:
sen x cos y + sen y cos x = sen(x + y)
Por tanto, queda demostrada la igualdad.
846
GEOMETRÍA
CAPÍTULO 14
Y TRIGONOMETRÍA •
Identidades y ecuaciones trigonométricas
EJERCICIO 47
Demuestra las siguientes igualdades:
1.
1
3
=
sec 30° csc 120 °
4
2.
sen 75° cos 45°
=–2– 3
sen 225° cos 75°
3.
6
cos 35° sen 10° + cos 10° sen 35°
=
3
cos 20° cos 10° sen 20° sen 10°
tan
4.
p
p
5p
5p
tan
+ tan tan
6
12
12
12 = 2 +
p
p
1 tan tan
6
12
1
sen 4x
2
5. sen x cos x + cos 3x sen x =
6. cos x +
p
sen x
6
sen 2
7.
3
p
2
x ) cos 2
cos ( 2p
p
6
=
1
sen 2x
2
x cos 2 x
3
p
2
3
3
2
p
2
x sen 2
p
2
= sec x
x
8. cos x[cos 2x – 2sen2 x] = cos 3x
9. tan x +
p
3
tan
p
3
x
=
2 cos 2x + 1
2 cos 2x 1
10. sen(10° + x) cos (20° – x) + cos(80° – x)sen(70° + x) = sen(2x – 10°)
2
1
p + x cos
p +x
9
18
11. sen
p
x
2
csc 2x
sen
12.
– sen
5
p
18
x cos
4
p
9
x
sen x
= sen 3x
3p
csc
+ 2x
2
13. cos 2x + 2[sen x cos y + cos x sen y] sen(x – y) = cos 2y
14. sen
Ú
p
2
x
· sen
3
p
2
x
· cos (p
x ) = cos3 x
Este ejercicio no tiene soluciones al final del libro por ser demostraciones
847
=
1
2
14 CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Identidades para transformar sumas o restas de funciones trigonométricas
en un producto
Dados los ángulos x y y, tales que
x+y=a
x–y=b
;
Al resolver el sistema de ecuaciones para x y y se obtienen los siguientes resultados:
x=
α+β
2
y=
;
α−β
2
Estos valores angulares se sustituyen en la identidad:
(sen x) (cos y) =
1
⎡ sen ( x + y ) + sen ( x − y ) ⎤⎦
2⎣
Y el resultado es:
⎛α + β ⎞
⎛α − β ⎞ 1
sen ⎜
⎟ cos ⎜
⎟ = [ sen α + sen β ]
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠ 2
Ahora, al despejar la suma de los senos, se determina que:
sen a + sen b = 2 sen
a+b
2
cos
a−b
2
De la misma manera se obtiene:
⎛ a + b⎞
⎛a − b⎞
sen ⎜
sen a – sen b = 2 cos ⎜
⎝ 2 ⎟⎠
⎝ 2 ⎟⎠
⎛ a + b⎞
⎛ a − b⎞
cos ⎜
cos a + cos b = 2 cos ⎜
⎝ 2 ⎟⎠
⎝ 2 ⎟⎠
⎛ a + b⎞
⎛ a − b⎞
sen ⎜
cos a – cos b = – 2 sen ⎜
⎝ 2 ⎟⎠
⎝ 2 ⎟⎠
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Efectúa lo siguiente: sen
π
π
– sen
2
6
Solución
Al aplicar la transformación de diferencia de senos a productos, se obtiene:
⎛π π⎞
⎛π π⎞
+
−
π
π
⎜ 2 6⎟
⎜ 2 6⎟
·
sen
sen – sen = 2 cos ⎜
⎜ 2 ⎟ ; simplificando
2
6
2 ⎟
⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠
sen
π
π
π
π
– sen = 2 cos ⎛⎜ ⎞⎟ · sen ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ 3⎠
⎝ 6⎠
2
6
sen
π
π
1
1 1
– sen = 2 ⎛⎜ ⎞⎟ ⎛⎜ ⎞⎟ =
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
2
6
2
848
GEOMETRÍA
2
CAPÍTULO 14
Y TRIGONOMETRÍA •
Identidades y ecuaciones trigonométricas
Calcula, sin hacer uso de las tablas trigonométricas:
⎛ 7π ⎞
⎛ 5π ⎞
sen ⎜ ⎟ + sen ⎜ ⎟
⎝ 12 ⎠
⎝ 12 ⎠
Solución
⎛α + β ⎞
⎛α − β ⎞
⎟
⎟ ⋅ cos ⎜
Se emplea la identidad, sen a + sen b = 2 sen ⎜
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎡ ⎛ 7 π 5 π ⎞ ⎛ 7 π 5 π ⎞⎤
−
+
⎢ ⎜
⎟ ⎜
⎟⎥
⎛ 7π ⎞
⎛ 5π ⎞
sen ⎜ ⎟ + sen ⎜ ⎟ = 2 ⎢sen ⎜ 12 12 ⎟ cos ⎜ 12 12 ⎟⎥
⎝ 12 ⎠
⎝ 12 ⎠
2
2
⎢ ⎜
⎟ ⎜
⎟⎥
⎠ ⎝
⎠⎦
⎣ ⎝
Se simplifica,
⎛ 7π ⎞
⎛ 5π ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
sen ⎜ ⎟ + sen ⎜ ⎟ = 2 sen ⎜ π ⎟ cos ⎜ π ⎟
⎝ 12 ⎠
⎝ 12 ⎠
⎝ 2 ⎠ ⎝ 12 ⎠
Dado que
π
no es un ángulo notable, se puede emplear la identidad:
12
π
π
Donde
= 6 , entonces,
12
2
⎛x⎞
1 + cos x
cos ⎜ ⎟ =
⎝2⎠
2
⎛π ⎞
⎜ ⎟
⎛π ⎞
cos ⎜ ⎟ = cos ⎜ 6 ⎟ =
⎝ 12 ⎠
⎜2⎟
⎝ ⎠
Por tanto,
3
⎛π ⎞
1 + cos ⎜ ⎟
⎝6⎠
=
2
1+
2
3
2 =
2+ 3
=
4
2+ 3
2
⎡
⎛
⎞⎤
⎛ 7π ⎞
⎛ 5π ⎞
2 + 3 ⎟⎥
sen ⎜ ⎟ + sen ⎜ ⎟ = 2 ⎢( 1 ) ⋅ ⎜
⎜
⎟⎥
⎢
⎝ 12 ⎠
⎝ 12 ⎠
2
⎝
⎠⎦
⎣
⎛ 7π ⎞
⎛ 5π ⎞
sen ⎜ ⎟ + sen ⎜ ⎟ = 2 + 3
⎝ 12 ⎠
⎝ 12 ⎠
⎛
⎛
π⎞
π⎞
Simplifica la siguiente expresión: cos ⎜ω + ⎟ − cos ⎜ω − ⎟
⎝
⎝
3⎠
3⎠
Solución
⎡ ⎛α + β ⎞
⎛ α − β ⎞⎤
Se emplea la identidad, cos a – cos b = – 2 ⎢sen ⎜
⎟ ⋅ sen ⎜
⎟⎥
⎝ 2 ⎠⎦
⎣ ⎝ 2 ⎠
π⎞ ⎛
π⎞⎞
π⎞ ⎛
π⎞⎞
⎛⎛
⎛⎛
⎜ ⎜⎝ ω + 3 ⎟⎠ + ⎜⎝ ω − 3 ⎟⎠ ⎟
⎜ ⎜⎝ ω + 3 ⎟⎠ − ⎜⎝ ω − 3 ⎟⎠ ⎟
⎛
⎛
π⎞
π⎞
cos ⎜ω + ⎟ − cos ⎜ω − ⎟ = – 2 sen ⎜
⎟ ⋅ sen ⎜
⎟
⎝
⎝
3⎠
3⎠
2
2
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠
⎛
⎛
⎛p⎞
π⎞
π⎞
cos ⎜ω + ⎟ − cos ⎜ω − ⎟= – 2 sen (ω ) ⋅ sen ⎜⎝ ⎟⎠
3
⎝
⎝
3⎠
3⎠
⎛ 3⎞
⎛
⎛
π⎞
π⎞
cos ⎜ω + ⎟ − cos ⎜ω − ⎟ = – 2 sen (ω ) ⋅ ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎝
⎝
3⎠
3⎠
⎛
⎛
π⎞
π⎞
cos ⎜ω + ⎟ − cos ⎜ω − ⎟ = − 3 ⋅ sen ω
⎝
⎝
3⎠
3⎠
849
14 CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
4
SIMPLIFICADAS
⎛x π⎞
⎛x π⎞
Simplifica la siguiente expresión: sen ⎜ + ⎟ − sen ⎜ − ⎟
⎝2 2 ⎠
⎝2 2 ⎠
Solución
⎛α +β⎞
⎛α −β⎞
sen ⎜
, se obtiene:
Al utilizar la identidad, sen a – sen b = 2 cos ⎜
⎝ 2 ⎟⎠
⎝ 2 ⎟⎠
⎛⎛ x π⎞ ⎛ x π⎞⎞
⎛⎛ x π⎞ ⎛x π⎞⎞
⎜ ⎜⎝ 2 + 2 ⎟⎠ − ⎜⎝ 2 − 2 ⎟⎠ ⎟
⎜ ⎜⎝ 2 + 2 ⎟⎠ + ⎜⎝ 2 − 2 ⎟⎠ ⎟
⎛x π⎞
⎛x π⎞
sen ⎜ + ⎟ − sen ⎜ − ⎟ = 2 cos ⎜
⎟
⎟ sen ⎜
2
2
⎝2 2 ⎠
⎝2 2 ⎠
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠
⎛x π⎞
sen ⎜ + ⎟ − sen
⎝2 2 ⎠
⎛x π⎞
x
π
⎜ − ⎟ = 2cos sen
⎝2 2 ⎠
2
2
⎛x π⎞
⎛x π⎞
x
sen ⎜ + ⎟ − sen ⎜ − ⎟ = 2cos (1)
⎝2 2 ⎠
⎝2 2 ⎠
2
⎛x π⎞
⎛x π⎞
x
sen ⎜ + ⎟ − sen ⎜ − ⎟ = 2cos
⎝2 2 ⎠
⎝2 2 ⎠
2
EJERCICIO 48
Convierte en producto las siguientes sumas y restas de funciones trigonométricas:
⎛ 3π ⎞
⎛π ⎞
9. cos ⎜ ⎟ − cos ⎜ ⎟
⎝ 4 ⎠
⎝ 12 ⎠
1. sen 165° + sen 75°
Ú
2. cos ( 7 β ) + cos (−2 β )
⎛
⎛
π⎞
π⎞
10. cos ⎜ β + ⎟ + cos ⎜ β − ⎟
⎝
⎝
6⎠
6⎠
3. sen ( 240°) + sen (120°)
⎛π ⎞
⎛π ⎞
11. sen ⎜ ⎟ + sen ⎜ ⎟
⎝4⎠
⎝ 3⎠
4. cos ( 5θ ) − cos ( 3θ )
⎛
⎛α
⎞
β⎞
12. sen ⎜α + ⎟ + sen ⎜ + β ⎟
⎝
⎝2
⎠
2⎠
5. cos ( 37° 29 ') + cos ( 52 o 31')
⎛
⎛
π⎞
π⎞
13. cos ⎜α + ⎟ − cos ⎜α − ⎟
⎝
⎝
4⎠
4⎠
⎛ 7π ⎞
⎛π ⎞
6. sen ⎜ ⎟ − sen ⎜ ⎟
⎝ 12 ⎠
⎝ 12 ⎠
⎛
⎛
π⎞
π⎞
14. sen ⎜ β + ⎟ + sen ⎜ β − ⎟
⎝
⎝
8⎠
8⎠
⎛ 5π ⎞
⎛ 2π ⎞
7. cos ⎜ ⎟ + cos ⎜ ⎟
⎝ 9 ⎠
⎝ 18 ⎠
⎛5
⎞
⎛7
⎞
15. sen ⎜ π + α ⎟ + sen ⎜ π − α ⎟
⎝8
⎠
⎝8
⎠
8. sen 35° – sen 25°
⎛α + β ⎞
⎛α − β ⎞
⎟ − cos ⎜
⎟
16. cos ⎜
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
850
GEOMETRÍA
CAPÍTULO 14
Y TRIGONOMETRÍA •
Identidades y ecuaciones trigonométricas
Demostración de identidades
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Demuestra la siguiente igualdad:
sen 50 º + sen 10 º
3
=
cos 50 º + cos 10 º
3
Solución
Se aplica la suma de senos y cosenos
sen 50 º + sen 10 º
=
cos 50 º + cos 10 º
Pero tan 30º =
2
1
1
⎡
⎤
2 ⎢ sen ( 50 º +10 º ) cos ( 50 º −10 º ) ⎥
2
2
⎣
⎦ = sen 30 º cos 20 º = tan 30º
1
1
cos 30 º cos 20 º
⎡
⎤
2 ⎢ cos ( 50 º +10 º ) cos ( 50 º −10 º ) ⎥
2
2
⎣
⎦
3
, por lo que la igualdad queda demostrada.
3
Demuestra la siguiente igualdad:
sen x + sen 3x + sen 5x + sen 7x = 4 sen 4x cos 2x cos x
Solución
Se agrupan dos a dos los sumandos
sen x + sen 3x + sen 5x + sen 7x = (sen x + sen 3x) + (sen 5x + sen 7x)
Se aplica la transformación de suma de senos a productos
⎡
⎤
1
1
sen x + sen 3x = 2 ⎢sen ( x + 3x ) cos ( x − 3x )⎥ = 2 [ sen 2 x cos ( − x )] = 2 sen 2x cos x
⎣
⎦
2
2
⎡
⎤
1
1
sen 5x + sen 7x = 2 ⎢sen ( 5 x + 7 x ) cos ( 5 x − 7 x )⎥ = 2 [ sen 6 x cos ( − x )]= 2 sen 6x cos x
⎣
⎦
2
2
Entonces,
sen x + sen 3x + sen 5x + sen 7x = 2sen 2x cos x + 2sen 6x cos x = 2cos x (sen 2x + sen 6x)
En esta nueva expresión se aplica la transformación de sumas a productos,
⎡
⎤
1
1
2 cos x (sen 2x + sen 6x) = 2 cos x · 2 ⎢sen ( 2 x + 6 x ) cos ( 2 x − 6 x )⎥
⎣
⎦
2
2
= 4 cos x [sen 4x cos(–2x)]
= 4 cos x sen 4x cos 2x
Por tanto, queda demostrada la igualdad.
851
14 CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
EJERCICIO 49
Demuestra las siguientes igualdades:
1. cos
2.
5
11
2
p + cos p = −
12
12
2
sen 40 º + sen 20 º
3
=
ctg 10 º
sen 40 º − sen 20 º
3
p
5p
2p
sen + sen
tan
6
18
9
3.
=
5p
p
p
− sen
sen
tan
18
6
18
4. cos (x – π) + cos (x + π) = – 2 cos x
5. sen 2x + sen 4x – sen 6x = 4sen x sen 2x sen 3x
6. sen x – sen 2x + sen 3x – sen 4x = – 4sen
7. cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 4cos
8. tan x =
9.
Ú
x
5x
cos
cos x
2
2
5x
x
cos x cos
2
2
sen 5 x − sen 3 x
cos 5 x + cos 3 x
1 − 2 sen 2 x
1
= csc x
sen 3 x − sen x
2
10.
cos ( x + y) − cos ( x − y)
= – tan x
sen ( x + y) − sen ( x − y)
11.
1
1
3x
x
= csc sec x sec
sen x + sen 2 x + sen 3x 4
2
2
12.
1⎡
⎣cos ( a + b + c) + cos ( a + b − c) + cos ( a − b + c) + cos ( a − b − c)⎤⎦ = cos a cos b cos c
4
Este ejercicio no tiene soluciones al final del libro por ser demostraciones
Ecuaciones trigonométricas
Una ecuación trigonométrica es una expresión que tiene como incógnita valores angulares bajo los signos de funciones
trigonométricas.
Al resolver una ecuación trigonométrica se debe encontrar el o los valores que satisfacen dicha ecuación, esto es,
que en una ecuación trigonométrica no siempre existe una solución única, en ocasiones existen varias, las cuales se
expresan como conjunto solución.
852
GEOMETRÍA
CAPÍTULO 14
Y TRIGONOMETRÍA •
Identidades y ecuaciones trigonométricas
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Resuelve la siguiente ecuación para 0 ≤ x ≤ 2p.
⎛ p⎞
sen ⎜ x + ⎟ = 1
⎝
4⎠
Solución
Se despeja la incógnita x y la función seno se representa como arc sen en el segundo miembro, luego el intervalo
indica que se tomarán como solución aquellas entre 0° y 360°
⎛ p⎞
sen ⎜ x + ⎟ = 1
⎝
4⎠
⎛ p⎞
⎜ x + ⎟ = arc sen (1)
⎝
4⎠
S
x+
p
p
=
4
2
p p p
x=
– = = 45°
2 4 4
El resultado puede expresarse en grados o en radianes.
2
Resuelve la siguiente ecuación para u si 0° ≤ u ≤ 360°.
3 tan u – 4 = tan u –2
Solución
Se agrupan los términos que tienen a las incógnitas y se reducen:
S
3 tan u – 4 = tan u –2
3 tan u – tan u = –2 + 4
2 tan u = 2
tan u = 1
De esta expresión se despeja el ángulo u
S
tan u = 1
u = arc tan (1)
p
= 45°
u=
4
p
5p
Luego, la tangente es positiva en el primero y tercer cuadrantes, por consiguiente, el conjunto solución es
y
.
4
4
3
Resuelve la siguiente ecuación para x si 0 ≤ x ≤ 2p.
2 sen2 x –1 = – sen x
Solución
Se agrupan los términos en el primer miembro:
S
2 sen2 x –1 = –sen x
2sen2 x + sen x – 1 = 0
La expresión resultante se factoriza,
(2sen x –1)(sen x + 1) = 0
Por tanto, 2sen x – 1 = 0 y sen x + 1 = 0, de las cuales se despeja la incógnita x, entonces,
2sen x –1 = 0
sen x =
sen x + 1 = 0
1
2
sen x = –1
1
x = arc sen ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ 2⎠
p 5p
x= ,
6 6
Luego, el conjunto solución es
p 5p
3p
.
,
y
6 6
2
853
x = arc sen (– 1)
x=
3p
2
14 CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
4
SIMPLIFICADAS
Resuelve la siguiente ecuación para u, si 0° ≤ u ≤ 360°.
4 cos2 u – 3 = 0
Solución
Se despeja cos u de la ecuación:
S
4 cos2 u – 3 = 0
S
4 cos2 u = 3
3
4
cos2 u =
cos u = ±
Se obtienen dos ecuaciones
3
2
3
2
y
cos u = –
⎛ 3⎞
u = arc cos ⎜⎜ ⎟⎟ = 30°, 330°
⎝ 2 ⎠
;
⎛ 3⎞
u = arc cos ⎜⎜−
⎟⎟ = 150°, 210°
⎝ 2 ⎠
cos u =
Se despeja el ángulo u
3
2
Al final, el conjunto solución es 30°, 150°, 210° y 330°.
5
Resuelve la siguiente ecuación para u si 0° ≤ u ≤ 360°.
2 sen2 u = – sen u
Solución
Se resuelve la ecuación:
S
2sen2 u + sen u = 0
sen u (2 sen u + 1) = 0
Se obtienen dos ecuaciones:
sen u = 0
2 sen u + 1 = 0
sen u = 0
2 sen u + 1 = 0
Se despeja el ángulo u,
u = arc sen (0)
u = 0°, 180°, 360°
⎛ 1⎞
u = arc sen ⎜− ⎟
⎝ 2⎠
u = 210°, 330°
Por tanto, el conjunto solución es 0°, 180°, 210°, 330° y 360°.
6
Resuelve la siguiente ecuación para x si 0° ≤ x ≤ 360°.
2 cos2 x = sen x – 1
Solución
S
2 cos2 x = sen x – 1
2(1 – sen2 x) = sen x – 1
2 – 2sen2 x = sen x – 1
2 – 2sen2 x – sen x + 1 = 0
– 2sen2 x – sen x + 3 = 0
2sen2
(÷ – 1)
x + sen x –3 = 0
(2sen x + 3)(sen x – 1) = 0
Se despeja el ángulo x de ambas ecuaciones:
sen x – 1 = 0
2 sen x + 3 = 0
x = arc sen (1)
sen x = –
3
(no existe solución)
2
x = 90°
Cabe mencionar que 2 sen x + 3 = 0 no tiene solución porque –1 ≤ sen x ≤ 1, entonces el conjunto solución es 90°.
854
GEOMETRÍA
CAPÍTULO 14
Y TRIGONOMETRÍA •
Identidades y ecuaciones trigonométricas
EJERCICIO 50
Resuelve las siguientes ecuaciones, tales que 0° ≤ x ≤ 360°.
Ú
⎛p
⎞
1. sen x = sen ⎜ − x ⎟
⎝2
⎠
16. 2sen x + csc x = 3
2. cos x + 2 sen x = 2
17. sen x ⋅ ctg x – sen x = 0
⎛p
⎞
3. 2 cos ⎜ − x ⎟ = 1
⎝4
⎠
18. 2cos3 x + cos2 x – 2cos x – 1 = 0
4. csc x = sec x
19. 4cos x – 2 = 2 tan x ⋅ ctg x – sec x
5. 2 cos x ⋅ tan x – 1 = 0
20. tan5 x – 9 tan x = 0
6. 4 cos2 x = 3 – 4 cos x
21.
7. 3 cos2 x + sen2 x = 3
22. sen x ⋅ sec x + 2 sen x − 2 = sec x
8. 2 sen2 x + sen x = 0
23.
( 2 − 3 ) sen x + ( 2 − 3 ) = 2cos
9. cos x + 9 sen2 x = 1
24.
(2 +
1
+ 3 tan x = 0
ctg 2 x
) (
2
x
)
5 − 1 + 2 5 cos x = 2 sen 2 x
10. csc2 x = 2 cot2 x
25. sec x(2sen x + 1) – 2(2sen x + 1) = 0
11. sen x ⋅ tan x + 1 = sen x + tan x
26.
3 tan x
− cos x = 0
sec x
12. 2cos2 x + 3sen x = 0
27.
2 cos x − 2 sen x = − 3
13. sen x – cos x = 0
28. 5sen2 x + cos2 x = 2
14. 3cos2 x – sen2 x = 0
29.
15. cos x – 3 sen x = 0
30. cos2 x + cos x = sen2 x
Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
855
5
− 5 3 cos x = 0
csc x
CAPÍTULO
TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS
15
El triángulo
RECTÁNGULO
Su origen se encuentra en la cultura egipcia, específicamente en la geometría egipcia.
Los egipcios dominaban a la perfección los triángulos, ya que fueron la base para la construcMedición de tierras
ción de sus pirámides así como la medición de
en el antiguo
tierras. Se auxiliaban de los anudadores, hacían
Egipto mediante
nudos igualmente espaciados para medir y se
los anudadores
dieron cuenta que al ubicar cuerdas de diversas
longitudes en forma de triángulo obtenían ángulos rectos y, por tanto, triángulos rectángulos, lo cual significa que tenían
conocimiento de la relación que existe entre la hipotenusa y los catetos de
un triángulo rectángulo.
Sin embargo, Pitágoras fue el primero en demostrar el teorema que lleva
su nombre, el cual establece la relación entre los lados de un triángulo
rectángulo, aunque los egipcios y babilónicos lo utilizaban en sus cálculos
y construcciones pero sin haberlo demostrado.
15 CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Solución de triángulos rectángulos
Dados tres datos de un triángulo, si uno de ellos es un lado, encontrar el valor de los datos restantes.
Para los triángulos rectángulos basta conocer el valor de uno de los lados y algún otro dato, el cual puede ser un
ángulo u otro lado, debido a que el tercer dato siempre está dado ya que, al ser triángulo rectángulo, uno de los ángulos
siempre será de 90°.
Cabe destacar que el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas son de suma importancia para la resolución de triángulos rectángulos.
Ejemplos
EJEMPLOS
1
En el triángulo ABC, a = 12 cm, b = 9 cm. Resuelve el triángulo.
Solución
B
c
A
a = 12 cm
C
b = 9 cm
Se proporcionan catetos; entonces, para encontrar la hipotenusa se utiliza el teorema de Pitágoras:
c=
a2 + b2
c=
(12 )2 + ( 9 )2
= 144 + 81 = 225 = 15
Por lo tanto c = 15 cm.
Para encontrar los ángulos se utilizan funciones trigonométricas; en este caso, al tener los tres lados se puede
aplicar cualquier función. Por ejemplo, en el caso del ángulo A se aplica la función tangente, entonces:
tan A =
12
9
Se despeja el ángulo A:
⎛ 12 ⎞
∠ A = arc tan ⎜ ⎟ = 53° 7’ 48’’
⎝ 9⎠
Para encontrar el tercer ángulo, se tiene que ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°, en particular ∠ A + ∠ B = 90° ya que ∠ C = 90°,
por tanto:
53° 7’ 48’’ + ∠ B = 90°
∠ B = 90° – 53° 7’ 48’’
∠ B = 36° 52’ 12’’
858
GEOMETRÍA
2
CAPÍTULO 15
Y TRIGONOMETRÍA •
Triángulos rectángulos
En el triángulo MNP, m = 13.4 cm, ∠ P = 40°. Resuelve el triángulo.
Solución
Para hallar el ∠ N, se aplica:
P
∠ N + ∠ P + ∠ M = 180°
40°
Ya que ∠ M = 90°, entonces,
m = 13.4 cm
n
∠ N + ∠ P = 90° donde ∠ N = 90° – ∠ P
∠ N = 90° – 40°
∠ N = 50°
p
M
N
Lado n
Se elige uno de los ángulos agudos, en este caso ∠ P y se establece la función trigonométrica de acuerdo al lado que
se va a encontrar (n) y el lado conocido (m = 13.4), por lo que la función que se busca es el coseno de P, entonces:
n
m
cos P =
n
13.4
cos 40° =
donde
Al despejar n:
n = (13.4) (cos 40°) = (13.4) (0.76604) = 10.265 cm
Para hallar el lado restante (p) se utiliza el teorema de Pitágoras:
p=
3
(13.4 )2 − (10.26 )2
m2 − n2 =
=
179.56 − 105.27 =
74.29 = 8.62 cm
En el triángulo ABC, a = 54 cm, A = 36° 20’. Resuelve el triángulo.
Solución
B
En el triángulo ABC:
∠ B = 90° – ∠ A
∠ B = 90° – 36° 20’
c
∠ B = 53° 40’
a = 54 cm
36° 20’
A
b
C
Para hallar el lado b, se utiliza la función tangente de ∠ A:
tan A =
a
b
donde
tan 36° 20’ =
54
54
=
= 73.42 cm
0.7354
tan 36 º 20 '
El valor de la hipotenusa se encuentra mediante el teorema de Pitágoras:
Al despejar b: b =
c=
a2 + b2 =
( 54 )2 + ( 73.42 )2
859
= 91.14 cm
54
b
15 CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
EJERCICIO 51
Resuelve el siguiente triángulo rectángulo según los datos proporcionados:
C
a
b
c
A
B
1. a = 12, b = 17
2. ∠ A = 32°, b = 4
3. ∠ C = 46° 20’, a = 5
4. a = 32.5, c = 41.3
5. ∠ A = 45°, a = 13
6. ∠ C = 54°, b = 22.6
7. b = 22.5, c = 18.7
8. ∠ A = 48° 12’, b = 34.5
9. ∠ C = 34° 32’, c = 56.9
10. a = 18.23, b = 19.86
11. ∠ A = 32° 27’, a = 12
12. b = 17 , a = 2
13. ∠ C = 48° 23’, b = 23
14. a = 7.5, c = 2.5
15. c = 13, ∠ A = 25° 49’
c
.
2
17. Determina el valor de los ángulos agudos y el valor de los lados si a = x, b = x + 8 y c = x + 7.
16. Calcula el valor de los ángulos agudos si a =
18. Calcula el valor de los ángulos agudos y el valor de los lados si a = x + 1, b = x + 2 y c = x.
19. Determina el valor de los ángulos agudos si a = c.
20. Calcula el valor de los ángulos agudos si b = 3a.
Ú
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860
GEOMETRÍA
CAPÍTULO 15
Y TRIGONOMETRÍA •
Triángulos rectángulos
PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1
Se sitúa un punto a 20 metros de un edificio. Si el ángulo de elevación al punto más alto del edificio es de 46° 23’,
encuentra la altura del edificio.
Solución
Se representa el problema con un dibujo:
h
46º 23’
20 m
Para hallar la altura del edificio se utiliza la función tangente, ya que se tienen como datos un ángulo y el cateto
adyacente a éste, y la altura representa el cateto opuesto al ángulo dado:
tan 46° 23’ =
Al despejar h:
h
20
h = (20) (tan 46° 23’) = (20) (1.04949) ≈ 21 m
De acuerdo con el dato anterior, la altura del edificio es de 21 m.
2
En la construcción de una carretera se encuentra una montaña de 250 metros de altura, a través de ella se construirá un
túnel. La punta de la montaña se observa bajo un ángulo de 48° 30’ desde un punto P en un extremo de la montaña,
y bajo un ángulo de 38° desde el otro extremo. ¿Cuál será la longitud del túnel?
Solución
T
250
48º 30’
38º
R
P
a
Q
b
La longitud del túnel está determinada por a + b.
Para obtener a, se utiliza el triángulo PRT y se aplica la función tangente de ∠ P:
tan 48° 30’ =
250
a
Al despejar a
250
250
=
= 221.19 m
tan 48°30 ' 1.1302
Para obtener b, se utiliza el triángulo QRT y se aplica la función tangente de ∠ Q:
250
tan 38° =
b
Al despejar b
250
250
b=
=
= 320.02 m
tan 380° 0.7812
a=
Por tanto, la longitud del túnel es: 221.19 + 320.02 = 541.21 m.
861
15 CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
EJERCICIO 52
Resuelve los siguientes problemas:
1. En una torre de 40 m que está sobre un peñasco de 65 m de alto junto a una laguna, se encuentra un observador que
mide el ángulo de depresión de 20° de un barco situado en la laguna. ¿A qué distancia de la orilla del peñasco se
encuentra el barco?
20º
40 m
65 m
d
2. A una distancia de 10 m de la base de un árbol, la punta de éste se observa bajo un ángulo de 23°. Calcula la altura
del árbol.
h
23º
3. Una persona cuyos ojos están a 1.20 metros del suelo, observa una pintura que se encuentra a un metro del suelo y
mide 1.50 metros. Dicha persona se encuentra a dos metros de distancia de la pintura.
a) ¿Cuál es el ángulo de visión?
b) ¿A qué distancia se debe parar la persona para
que el ángulo de visión sea de 45°?
1.5 m
1.5 m
q
45º
1.2 m
1.2 m
1m
2m
1m
d
862
GEOMETRÍA
CAPÍTULO 15
Y TRIGONOMETRÍA •
Triángulos rectángulos
4. Un niño tiene un papalote, el cual hace volar sosteniendo una cuerda a un metro del suelo. La cuerda se tensa formando
un ángulo de 45° con respecto a la horizontal. Obtén la altura del papalote con respecto al suelo si el niño suelta 20
metros de cuerda.
20 m
h
45º
1m
5. Determina el ángulo de elevación del Sol si un poste de 2.56 metros proyecta una sombra de 1.85 metros.
2.56 m
1.85 m
q
6. Un globo de aire caliente sube con un ángulo de elevación con respecto a un punto A de 46° 10’. Calcula la altura a
la que se encuentra el globo, con respecto a un punto P del suelo, si la distancia de éste al punto A es de 50 metros.
h
P
46º 10’
50 m
863
A
15 CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
7. Desde lo alto de una torre cuya altura es de 25 m, se observa un automóvil alejándose de la torre, con un ángulo de
depresión de 32°; si un instante después el ángulo es de 26°, ¿qué distancia se ha desplazado el automóvil?
32º 26º
25 m
d
8. Un maleante es perseguido por un patrullero, quien es apoyado desde el aire por un helicóptero, como se muestra en
la figura. Si el ángulo de depresión desde el helicóptero hasta donde se encuentra el delincuente es de 25° y el ángulo
de depresión hasta donde se encuentra el patrullero es de 65°, y su distancia a éste es de 25 metros,
65°
25°
25 m
PDF
calcula:
La distancia entre el helicóptero y el delincuente.
La distancia entre el patrullero y el delincuente.
La altura del helicóptero.
9. Un ingeniero civil desea conocer el ángulo de elevación del topógrafo, así como la distancia a la que se encuentra
del asta bandera, si se sabe que el asta bandera mide la cuarta parte de la altura del edificio que es de 16 metros, y la
distancia entre ambas es de 9 metros.
16 m
q
d
9m
864
GEOMETRÍA
CAPÍTULO 15
Y TRIGONOMETRÍA •
Triángulos rectángulos
10. Una araña que se encuentra en la base de una caja desea alcanzar una mosca ubicada en la esquina opuesta de la
caja, como se muestra en la figura. Las esquinas están conectadas por un cable tenso, determina cuál es el ángulo de
elevación del cable y la distancia que recorrería la araña hasta llegar a la mosca por el cable.
3 3 dm
Cable
5 dm
12 dm
11. Se tienen dos poleas de radios R, r y la distancia entre sus ejes es l, ¿cuál es la longitud de la cadena de transmisión?
R
l
r
12. Debido a un accidente en unos laboratorios químicos, se tuvieron que desalojar las casas que estuvieran en un radio
de 500 m de los laboratorios. Una familia vivía a 250 m al este y 195 m al sur de los laboratorios. Determina si la
familia desalojó su casa.
N
E
O
S
Laboratorio
químico
Casa
de la
familia
195 m
250 m
Ú
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865
CAPÍTULO
TRIÁNGULOS
OBLICUÁNGULOS
16
Johann
MÜLLER
Astrónomo y matemático alemán que realizó tratados sobre la trigonometría y la astronomía, inventor de diversas herramientas para la observación
y la medida del tiempo.
Su obra se compone de cinco libros llamados: De
triangulis omnimodis, ¡publicada en Nuremberg
70 años después de haber sido escrita! Es interesante desde el punto de vista matemático, ya que
en el primer libro se establecen las definiciones
básicas de radio, arcos, igualdad, círculos, cuerdas y la función seno. En el segundo, la ley de senos para la resolución
de problemas con triángulos, y del tercero al quinto libros se expone la
trigonometría esférica.
Johann Müller Von
Königsberg
(regiomontanus)
1436 - 1476
16 CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
Solución de triángulos oblicuángulos
Un triángulo es oblicuángulo cuando sus tres ángulos son oblicuos, es decir, no tiene un ángulo recto. Este tipo de
triángulos se resuelven mediante la ley de senos, de cosenos o de tangentes.
Ley de senos
La razón que existe entre un lado de un triángulo oblicuángulo y el seno del ángulo opuesto a dicho lado es proporcional
a la misma razón entre los lados y ángulos restantes.
C
Ley de senos:
b
a
b
c
=
=
sen A sen B sen C
a
c
A
B
La ley de senos se utiliza cuando:
Ú Los datos conocidos son 2 lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Ú Los datos conocidos son 2 ángulos y cualquier lado.
Ejemplos
EJEMPLOS
1
En el triángulo ABC, b = 15 cm, ∠ B = 42° y ∠ C = 76°. Calcula la medida de los lados y ángulos restantes.
Solución
Para obtener ∠ A, se aplica ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°, despejando,
A
∠ A = 180° – ∠ C – ∠ B = 180° – 42° – 76° = 62°
76°
C
Se conoce el valor del lado b y el ángulo B, opuesto a dicho lado,
también se proporciona el ángulo C, por tanto, se puede determinar
la medida del lado c,
c
b = 15 cm
c
b
=
sen C sen B
42°
a
B
Al sustituir ∠ C = 76°, ∠ B = 42° y b = 15 cm, se determina que,
c
15
=
sen 76° sen 42°
De la expresión anterior se despeja c,
c=
(15)(sen 76°) (15)(0.9703)
=
sen 42°
0.6691
= 21.75 cm
Por último, se determina el valor del lado a con la siguiente relación:
a
b
=
sen A sen B
a
15
=
sen 62° sen 42°
donde
Al despejar a:
a=
(15)(sen 62°) (15)(0.8829)
=
= 19.8 cm
sen 42°
868
0.6691
GEOMETRÍA
2
CAPÍTULO 16
Y TRIGONOMETRÍA •
Triángulos oblicuángulos
En el triángulo MNP, ∠ P = 76º, p = 12 cm y m = 8 cm. Resuelve el triángulo.
Solución
P
76°
n
m = 8 cm
M
N
p = 12 cm
Con los datos del problema, se calcula el valor de ∠ M con la siguiente relación:
m
p
=
sen M sen P
Al despejar sen M y sustituir los valores, se obtiene:
sen M =
m sen P (8)(sen 76°) (8)(0.97029)
=
=
= 0.6469
p
12
12
Entonces:
∠ M = arc sen (0.6469)
∠ M = 40° 18’
Por otro lado,
∠ N = 180° – ∠ P – ∠ M = 180° – 76° – 40° 18’ = 63° 42’
Se aplica la ley de senos para encontrar el valor del lado n:
n
p
=
sen N sen P
Al despejar n,
n=
p sen N
sen P
=
(12)(sen 63°42')
sen 76°
=
(12)(0.8965)
0.9703
= 11.09 cm
Por consiguiente,
∠ M = 40° 18’, ∠ N = 63° 42’ y n = 11.09 cm
869
16 CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
3
SIMPLIFICADAS
En el triángulo ABC, ∠ A = 46°, ∠ B = 59° y a = 12 cm. Determina los elementos restantes del triángulo.
Solución
C
b
a = 12 cm
46°
59°
A
c
B
En el triángulo:
∠ C = 180º – ∠ A – ∠ B = 180º – 46º – 59º = 75º
Para hallar el valor del lado c se utiliza la relación:
c
a
=
sen C sen A
c=
donde
a sen C (12)(sen 75°) (12)(0.9659)
=
=
= 16.11 cm
sen A
sen 46°
0.7193
Asimismo, para obtener el valor del lado b se utiliza la relación:
b
a
=
sen B sen A
donde
b=
a sen B (12)(sen 59°) (12)(0.8571)
= 14.3 cm
=
=
0.7193
sen A
sen 46°
Finalmente, los elementos restantes son:
∠ C = 75º, c = 16.11 cm y b = 14.3 cm
Ley de cosenos
El cuadrado de un lado de un triángulo oblicuángulo es igual a la suma de los cuadrados de los lados restantes,
menos el doble producto de dichos lados por el coseno del ángulo opuesto al lado buscado.
Ley de cosenos:
C
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
a
b
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
A
c
B
870
GEOMETRÍA
CAPÍTULO 16
Y TRIGONOMETRÍA •
Triángulos oblicuángulos
Al despejar
La ley de cosenos se utiliza cuando:
Ú Se tiene el valor de 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Ú Se tiene el valor de los 3 lados.
Ejemplos
EJEMPLOS
1
En el triángulo ABC, a = 15 cm, c = 18 cm, ∠ B = 70º. Resuelve el triángulo.
Solución
C
b
a = 15 cm
70º
A
B
c = 18 cm
Para calcular el valor del lado b se utiliza la fórmula:
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
Donde,
2
2
b = (15 ) + (18 ) − 2 (15 )(18 ) cos 70 º = 225 + 324 − 2 (15 ) (18 )( 0.34202 ) = 364.3
b = 19.09 cm
Conocidos los 3 lados del triángulo se calcula el valor de ∠ A:
b 2 + c 2 − a 2 (19.09 ) + (18 ) − (15 )
364.43 + 324 − 225
=
=
= 0.6743
2bc
2 (19.09 )(18 )
687.24
2
cos A =
2
2
Donde: ∠ A = arc cos 0.6743 = 47° 36’
Por último, se determina la medida de ∠ C:
∠ C = 180º – ∠ A – ∠ B = 180° – 47° 36’ – 70° = 62° 24’
Por tanto, los elementos restantes del triángulo ABC son:
b = 19.09 cm, ∠ A = 47° 36’ y ∠ C = 62° 24’
871
16 CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
2
SIMPLIFICADAS
En el triángulo ABC, a = 50, b = 45, c = 32. Resuelve el triángulo.
Solución
C
b = 45
a = 50
A
c = 32
B
Para obtener ∠ A:
2 025 + 1024 − 2 500
b 2 + c 2 − a 2 ( 45 ) + ( 32 ) − ( 50 )
=
=
= 0.1906
2bc
2 ( 45 )( 32 )
2 880
2
cos A =
2
2
Donde,
∠ A = arc cos 0.1906 = 79º
Para obtener ∠ B:
2 500 + 1 024 − 2 025
a 2 + c 2 − b 2 ( 50 ) + ( 32 ) − ( 45 )
=
=
= 0.4684
2 ac
2 ( 50 )( 32 )
3200
2
cos B =
2
2
Donde,
∠ B = arc cos 0.4684 = 62° 4’
Para calcular ∠ C:
∠ C = 180° – ∠ A – ∠ B = 180° – 79° – 62° 4’ = 38° 56’
Por consiguiente, los ángulos del triángulo ABC son:
∠ A = 79°, ∠ B = 62° 4’ y ∠ C = 38° 56’
Ley de tangentes
En todo triángulo oblicuángulo la razón entre la diferencia de 2 lados y la suma de los mismos, es igual a la razón
entre la tangente de la semidiferencia de los ángulos opuestos a cada uno de los lados, y la tangente de la semisuma
de dichos ángulos.
Fórmulas:
a−c
=
a+c
⎛ A−C⎞
⎛ B−C⎞
⎛ A − B⎞
tan ⎜
tan ⎜
tan ⎜
⎝ 2 ⎟⎠ b − c
⎝ 2 ⎟⎠
⎝ 2 ⎟⎠
a−b
,
y
=
=
a+b
⎛ A+C⎞ b+c
⎛ B+C⎞
⎛ A + B⎞
tan ⎜
tan ⎜
tan ⎜
⎝ 2 ⎟⎠
⎝ 2 ⎟⎠
⎝ 2 ⎟⎠
872
GEOMETRÍA
CAPÍTULO 16
Y TRIGONOMETRÍA •
Triángulos oblicuángulos
Ejemplos
EJEMPLOS
1
En el triángulo ABC, c = 10, A = 68°, C = 36°. Resuelve el triángulo.
Solución
Se determina el ∠ B:
C
∠ B = 180° – ∠ A – ∠ C = 180° – 68° – 36° = 76°
Se aplica la ley de tangentes para encontrar el valor del lado a:
36°
b
a
a−c
=
a+c
68°
A
⎛ A−C⎞
tan ⎜
⎝ 2 ⎟⎠
⎛ A+C⎞
tan ⎜
⎝ 2 ⎟⎠
Al sustituir los valores de c = 10, ∠ A = 68° y ∠ C = 36°, se obtiene:
c = 10
B
a − 10
=
a + 10
⎛ 68° − 36° ⎞
tan ⎜
⎟⎠ tan 16° 0.2867
⎝
2
=
=
= 0.2240
⎛ 68° + 36° ⎞ tan 52° 1.2799
tan ⎜
⎟⎠
⎝
2
Entonces, de la expresión resultante:
a − 10
= 0.2240
a + 10
Se despeja a:
S
a – 10 = 0.2240a + 2.240
a – 0.2240a = 2.240 + 10
0.776a = 12.240
12.240
a=
0.776
a = 15.77 cm
Se aplica la ley de tangentes para encontrar el valor del lado b:
b−c
=
b+c
⎛ B−C⎞
tan ⎜
⎝ 2 ⎟⎠
⎛ B+C⎞
tan ⎜
⎝ 2 ⎟⎠
Al sustituir los valores de c = 10, ∠ B = 76° y ∠ C = 36°, se determina que:
b − 10
=
b + 10
⎛ 76° − 36° ⎞
tan ⎜
⎟⎠ tan 20° 0.3639
⎝
2
=
=
= 0.2454
⎛ 76° + 36° ⎞ tan 56° 1.4826
tan ⎜
⎟
⎝
⎠
2
De la expresión resultante,
b − 10
= 0.2454
b + 10
Se despeja b:
S
b – 10 = 0.2454b + 2.454
b – 0.2454b = 10 + 2.454
0.7546b = 12.454
b = 16.5 cm
Por tanto, los elementos restantes del triángulo son:
∠ B = 76º, a = 15.77 cm y b = 16.5 cm
873
16 CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
EJERCICIO 53
Resuelve el siguiente triángulo oblicuángulo de acuerdo con los datos proporcionados.
C
a
b
c
A
1. ∠ B = 57º 20’, ∠ C = 43º 39’, b = 18
2. ∠ A = 63º 24’, ∠ C = 37º 20’, c = 32.4
3. ∠ A = 85º 45’, ∠ B = 26º 31’, c = 43.6
4. ∠ C = 49º, ∠ A = 54º 21’, a = 72
5. ∠ B = 29º, ∠ C = 84º, b = 12.3
6. ∠ A = 32º, ∠ B = 49º, a = 12
7. a = 5, ∠ A = 32º, b = 8
8. c = 13, b = 10, ∠ C = 35º 15’
9. ∠ B = 56º 35’, b = 12.7, a = 9.8
10. a = 9, c = 11.5, ∠ C = 67º 21’
11. a = 15, b = 16, c = 26
12. a = 32.4, b = 48.9, c = 66.7
13. a = 100, b = 88.7, c = 125.5
14. a = 15, b = 12, c = 20
15. a = 12, b = 15, ∠ C = 68º
16. a = 28, c = 32, ∠ B = 76º
17. b = 45, c = 75, ∠ A = 35º
18. a = 12.6, b = 18.7, ∠ C = 56º
Demuestra que para el triángulo se cumple:
Ú
a
b
c
=
=
sen A sen B sen C
Ú a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
Ú b2 = a2 + c2 − 2ac cos B
Ú c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
Ú
Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
874
B
GEOMETRÍA
CAPÍTULO 16
Y TRIGONOMETRÍA •
Triángulos oblicuángulos
PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1
Para calcular la distancia entre 2 puntos a las orillas de un lago, se establece un punto P a 100 metros del punto M;
al medir los ángulos resulta que ∠ M = 110º y ∠ P = 40º. ¿Cuál es la distancia entre los puntos M y Q?
Solución
Se realiza una figura que represente el problema:
M
d
110°
Q
100 m
40°
P
De acuerdo con los datos se determina el valor de ∠ Q:
∠ Q = 180° – 110° – 40° = 30°
Sea MQ = d, entonces, al aplicar la ley de senos se obtiene:
d
100
=
sen 40° sen 30°
De la cual se despeja d:
d=
(100)(sen 40°)
sen 30°
=
(100 )( 0.6427 )
0.5
= 128.54
En consecuencia, la distancia entre los puntos es de 128.54 metros.
2
Un observador se encuentra en un punto P que dista de 2 edificios, 250 m y 380 m, respectivamente. Si el ángulo
formado por los 2 edificios y el observador es 38º 20’, precisa la distancia entre ambos edificios.
Solución
d
250 m 38° 20’
380 m
P
Sea d la distancia entre ambos edificios; entonces, por la ley de cosenos:
d=
( 250 )2 + ( 380 )2 − 2 ( 250 )( 380 ) cos 38 º 20 ' =
Finalmente, la distancia entre los edificios es de 240.55 m.
875
62 500 + 144 400 − 149 038.98 = 240.55
16 CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
3
SIMPLIFICADAS
Se inscribe un octágono regular de lado 1 cm en una circunferencia; determina el área del círculo.
Solución
Si se inscribe un polígono regular en una circunferencia, la distancia del centro al vértice es el radio, si se trazan 2
360°
= 45°, como lo muestra
radios a 2 vértices se forma un triángulo isósceles y la medida del ángulo central es
8
la figura:
45 °
r
x
r
x
1 cm
Sea x la medida de cada ángulo de la base en un triángulo isósceles, entonces:
2x + 45º = 180º
S
S
2x = 135º
x=
135 º
= 67.5º
2
Por la ley de senos se tiene la igualdad:
r
1
=
sen 45º sen 67.5º
Al despejar r de la expresión anterior:
r=
sen 67.5
= 1.3 cm
sen 45º
Luego, el área del círculo está dada por la expresión:
A = π r2
Se sustituye r = 1.3 cm y se obtiene:
A = π (1.3 cm)2 = 1.69π cm2
EJERCICIO 54
Resuelve los siguientes problemas:
1. Para establecer la distancia desde un punto A en la orilla de un río a un punto B de éste, un agrimensor selecciona
un punto P a 500 metros del punto A, las medidas de ∠ BAP y ∠ BPA son 38° y 47° 32’. Obtén la distancia entre
A y B.
500 m
A
38°
47° 32’
B
876
P
GEOMETRÍA
CAPÍTULO 16
Y TRIGONOMETRÍA •
Triángulos oblicuángulos
2. El horario y el minutero de un reloj miden respectivamente 0.7
y 1.2 cm. Determina la distancia entre los extremos de dichas
manecillas a las 13:30 horas.
d
3. Un barco sale de un puerto a las 10:00 a.m. a 10 km/h con dirección sur 30°20’O. Una segunda embarcación sale del mismo
puerto a las 11:30 h a 12 km/h con dirección norte 45°O. ¿Qué
distancia separa a ambos barcos a las 12:30 horas?
N
E
O
S
45°
30° 20’
4. La distancia entre 2 puntos A y B es de 20 km. Los ángulos de
elevación de un globo con respecto a dichos puntos son de 58° 20’
y 67° 32’. ¿A qué altura del suelo se encuentra?
A
67° 32’
58° 20’
20 km
5. Una persona se encuentra a 3.7 m de un risco, sobre el cual se
localiza una antena. La persona observa el pie de la antena con
un ángulo de elevación de 30° y la parte superior de ésta con un
ángulo de 70°. Determina la altura de la antena.
h
70°
30°
3.7 m
877
B
16 CAPÍTULO
MATEMÁTICAS
SIMPLIFICADAS
6. ¿Cuál es la longitud de los lados de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 4 centímetros de radio?
l
4 cm
4 cm
7. Dos aviones parten de una ciudad y sus direcciones forman un
ángulo de 74° 23’. Después de una hora, uno de ellos se encuentra
a 225 km de la ciudad, mientras que el otro está a 300 km. ¿Cuál
es la distancia entre ambos aviones?
300 km
225 km
74° 23’
8. En un plano inclinado se encuentra un poste vertical de 20 metros
de altura. Si el ángulo del plano con respecto a la horizontal es de
20°, calcula la longitud de un cable que llegaría de un punto a
300 metros cuesta abajo a la parte superior del poste.
20 m
300 m
20°
9. Un barco parte de un puerto y navega hacia el norte con una velocidad de 70 km por hora. Al mismo tiempo, pero en dirección noreste,
otro buque viaja a razón de 80 km por hora. ¿A qué distancia se
encontrarán uno del otro después de media hora?
70 km/h
d
80 km/h
45º
N
O
E
S
878
GEOMETRÍA
CAPÍTULO 16
Y TRIGONOMETRÍA •
Triángulos oblicuángulos
10. La distancia que hay de un punto hacia los extremos de un lago
son 145 y 215 metros, mientras que el ángulo entre las 2 visuales
es de 56° 10’. Calcula la distancia entre los extremos del lago.
P
215 m
56° 10’
145 m
A
d
11. En un paralelogramo que tiene un lado que mide 20.8 cm, su diagonal mide 46.3 cm. Determina la longitud del otro lado si se sabe
que el ángulo entre la diagonal y el primer lado es de 28° 30’.
B
28° 30’
20.8 cm
46.3 cm
d
B
12. Si Δ ABC triángulo cualquiera y DE es el diámetro de la circunferencia, demuestra que:
DE =
AB
BC
CA
=
=
sen C
sen A
sen B
D
E
O
C
A
13. Observa la siguiente figura:
P
q
R
r
p
Q
a) Demuestra que dado un lado y 2 ángulos adyacentes, el área del triángulo será:
A =
r 2 sen Q sen P
q 2 sen P sen R
p 2 sen R sen Q
=
=
2 sen (Q + P )
2 sen ( P + R )
2 sen ( R + Q )
b) Demuestra que el área del triángulo está dada por cualquiera de las siguientes fórmulas:
Ú
Ú A =
1 2
r sen P sen Q csc R
2
Ú A =
2pqr ⎡
⎛1 ⎞
⎛1 ⎞
⎛ 1 ⎞⎤
cos ⎜ P ⎟ cos ⎜ Q ⎟ cos ⎜ R⎟ ⎥
⎝2 ⎠
⎝2 ⎠
⎝ 2 ⎠⎦
p + q + r ⎢⎣
Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
879
CAPÍTULO
TRIGONOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
HISTÓRICA
Reseña
FORMA
17
A
braham de Moivre es conocido por la
fórmula de Moivre y por su trabajo en la distribución normal y probabilidad. Fue amigo
de Isaac Newton y Edmund Halley. En 1697 fue
elegido miembro de Royal Society de Londres.
Abraham de Moivre
(1667-1754)
La fórmula de Moivre afirma que:
∀x ∈R∧∀n ∈Z (cos u + i sen u)n = (cos n u + i sen n u)
Esta fórmula es importante porque conecta los números imaginarios con la trigonometría.
17
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
Forma trigonométrica o polar
⎛ b⎞
Sea el número complejo z = a+ bi, r = z = a 2 + b 2 su valor absoluto y u = arc tan ⎜ ⎟ el argumento o módulo de
⎝ a⎠
z, entonces su forma trigonométrica o polar se define como:
z = r (cos u + i sen u) = r cis u = r q con cos u + i sen u = cis u
Demostración
En el triángulo
cos u =
Imaginario
a
b
, sen u =
r
r
z = a + bi
P(a, b)
Al despejar a y b respectivamente
b
r
a = r cos u, b = r sen u
Si sustituyes en z = a + bi, obtienes:
a
Real
z = r cos u + i r sen u = r(cos u + i sen u) = r cis u = r q
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Transforma el complejo z = 4 + 3i a su forma trigonométrica con 0° ≤ u ≤ 360°.
Solución
Se obtiene u y r, entonces:
Imaginario
z = 4 + 3i
z = 5 cis 36° 52’
⎛ b⎞
⎛ 3⎞
u = arc tan ⎜ ⎟ = arc tan ⎜ ⎟ = 36° 52’
⎝ a⎠
⎝ 4⎠
r=
( 4 )2 + ( 3)2
= 16 + 9 = 25 = 5
3
Por tanto, la forma trigonométrica es:
36° 52’
z = 5(cos 36° 52’ + i sen 36° 52’)
0
z = 5 cis 36° 52’ = 5 36°52’
2
Real
4
Transforma el complejo z = –1 + i a su forma trigonométrica con 0° ≤ u ≤ 360°.
Solución
Se obtiene u y r, entonces:
Imaginario
⎛ 1⎞
u = arc tan ⎜ ⎟ = 135°
⎝ −1⎠
r=
( −1)2 + (1)2
= 1+1 =
z = 2 (cos 135° + i sen 135°)
2 cis 135° =
2
1
2 cis 135°
– 45º
–1
Por tanto, la forma trigonométrica es:
z=
z=
2 135°
882
0
Real
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Forma trigonométrica de los números complejos
Operaciones fundamentales
Ú Multiplicación
Sean los complejos z1 = r1 (cos u1 + i sen u1) y z2 = r2 (cos u2 + i sen u2), entonces:
z1 · z2 = r1 · r2 [cos (u1 +u2) + i sen (u1 + u2)] = r1 r2 cis (u1 + u2)
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Si z1= 2(cos 60° + isen 60°) y z2 = 2 (cos 45° + isen 45°), determina z1· z2.
Solución
Se aplica la definición del producto de dos números complejos
z1 · z2 = (2)( 2 ) [cos (60° + 45°) + i sen (60° + 45°)] = 2 2 [cos 105° + i sen 105°]
2
Determina z1· z2 si z1 = 4 cis
π
π
y z2 = 3 cis .
6
12
Solución
Aplicando la definición del producto
π
p
⎛π π ⎞
z1 · z2 = r1 r2 cis (u1 + u2) = (4)(3) cis ⎜ + ⎟ = 12 cis = 12
⎝ 6 12 ⎠
4
4
Ú División
Sean los complejos z1 = r1 (cos u1 + i sen u1) y z2 = r2 (cos u2 + i sen u2), entonces:
z1
r
r
r
r ( cos θ 1 + isen θ1)
= 1
= 1 ⎡⎣ cos (θ1 − θ 2 ) + isen (θ1 − θ 2 ) ⎤⎦ = 1 cis (θ1 − θ 2 ) = 1 q1 − q 2
z2 r2 ( cos θ 2+ isen θ 2 )
r2
r2
r2
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Sean z1= 8(cos 50° + i sen 50°) y z2 = 4(cos 15° + i sen 15°), determina
Solución
z1
.
z2
Se aplica la definición del cociente de dos números complejos
z1
8
= ⎡⎣cos ( 50° − 15°) + i sen ( 50° − 15°)⎤⎦
z2
4
z1
= 2[cos 35° + i sen 35°]
z2
2
Encuentra
⎛
π
π⎞
⎛
z2
π
π⎞
, si z1 = 12 ⎜ cos + i sen ⎟ y z2 = 3 ⎜ cos + i sen ⎟.
⎝
3
3⎠
z1
⎝
15
15 ⎠
Solución
Aplicando la definición del cociente:
⎛ π π ⎞⎤
z2
3 ⎡ ⎛π π ⎞
=
⎢cos ⎜ − ⎟ + i sen ⎜ − ⎟⎥
z1
12 ⎣ ⎝ 3 15 ⎠
⎝ 3 15 ⎠⎦
Simplificando, se obtiene:
z2 1
=
z1 4
⎡ ⎛ 4π ⎞
⎛ 4 π ⎞⎤
⎢cos ⎜ ⎟ + i sen ⎜ ⎟⎥
⎝ 15 ⎠⎦
⎣ ⎝ 15 ⎠
883
17
17
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
3
Si z =
π
2 cis , z1 =
4
8 cis
2π
π
1
5π
z ⋅ z2
, z = 2 cis
y z3 = cis , determina
.
12
3 2
2
6
z1 ⋅ z3
Solución
Se realizan las operaciones del numerador y del denominador por separado:
⎡ ⎛π π ⎞
⎛ π π ⎞⎤
π⎞⎛
π⎞
⎛
z · z2 = ⎜ 2 cis ⎟ ⎜ 2 cis ⎟ = 2 2 ⎢cos ⎜ + ⎟ + i sen ⎜ + ⎟⎥
⎝
4⎠⎝
12 ⎠
⎝ 4 12 ⎠⎦
⎣ ⎝ 4 12 ⎠
⎡ ⎛π ⎞
⎛ π ⎞⎤
= 2 2 ⎢cos ⎜ ⎟ + i sen ⎜ ⎟⎥
⎝ 3 ⎠⎦
⎣ ⎝ 3⎠
⎛ 2 π 5 π ⎞⎤
8 ⎡ ⎛ 2π 5π ⎞
2π 1
5π
z1· z3 = ⎛⎜ 8 cis ⎞⎟ ⎛⎜ cis ⎞⎟ =
+
+
⎟ + i sen ⎜
⎟⎥
⎢cos ⎜
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝ 3
2
3
6
6 ⎠⎦
⎣
3
2
6
⎡ ⎛ 3π ⎞
⎛ 3π ⎞⎤
2 ⎢cos ⎜ ⎟ + i sen ⎜ ⎟⎥
⎝ 2 ⎠⎦
⎣ ⎝ 2 ⎠
=
Por consiguiente la división se define como:
z ⋅ z2
z1 ⋅ z3
⎡ ⎛π ⎞
⎛ π ⎞⎤
2 2 ⎢cos ⎜ ⎟ + i sen ⎜ ⎟⎥
⎝ 3 ⎠⎦
⎣ ⎝ 3⎠
=
⎡ ⎛ 3π ⎞
⎛ 3π ⎞⎤
2 ⎢cos ⎜ ⎟ + i sen ⎜ ⎟⎥
⎝ 2 ⎠⎦
⎣ ⎝ 2 ⎠
=
⎛ π 3π ⎞⎤
2 2 ⎡ ⎛ π 3π ⎞
⎢cos ⎜ − ⎟ + i sen ⎜ − ⎟⎥
⎝ 3 2 ⎠⎦
2 ⎣ ⎝3 2 ⎠
⎡ ⎛ 7π ⎞
⎛ 7 π ⎞⎤
= 2 ⎢cos ⎜− ⎟ + i sen ⎜− ⎟⎥
⎝ 6 ⎠⎦
⎣ ⎝ 6 ⎠
Pero −
7π
5π
es igual al ángulo positivo
, entonces:
6
6
⎡ ⎛ 5π ⎞
⎛ 5 π ⎞⎤
z ⋅ z2
= 2 ⎢cos ⎜ ⎟ + i sen ⎜ ⎟⎥
z1 ⋅ z3
⎝ 6 ⎠⎦
⎣ ⎝ 6 ⎠
Ú Potencia (fórmula de Moivre)
Dado el complejo z = r (cos u + i sen u), entonces,
zn = rn (cos nu + i sen nu)
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Sean z = 2(cos 15° + i sen 15°), encuentra z2.
Solución
Aplicando la definición de la potencia para hallar z2:
z2 = 22(cos 2(15º) + i sen 2(15º) ) = 4(cos 30º + i sen 30º)
Es importante mencionar que algunos de los resultados están expresados en términos de un ángulo notable y se pueden
sustituir por sus valores respectivos.
⎛ 3 1 ⎞
z2 = 4(cos 30º + i sen 30º) = 4 ⎜
+ i ⎟ = 2 3 + 2i
⎝ 2 2 ⎠
884
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Forma trigonométrica de los números complejos
2
1
(cos 36° + i sen 36°), encuentra z5.
2
Sea z =
Solución
Se aplica la definición de potencia de un número complejo
5
z5 = ⎛⎜ 1 ⎞⎟ (cos 5(36º) + i sen 5(36º)) = 1 (cos 180º + i sen 180º) = 1 ( −1 + i ( 0 )) = − 1
⎝ 2⎠
32
32
32
Por tanto, z5 = −
3
Si z =
1
32
1 ⎛
π
π⎞
z2
2⎛
3π
3π ⎞
+ i sen ⎟ , determina .
⎜ cos + i sen ⎟ y z1 =
⎜ cos
12
12 ⎠
z1
2 ⎝
4
4 ⎠
3⎝
Solución
Se obtiene la potencia de z:
2
⎛ 1 ⎛
1⎛
2π
2π ⎞ 1 ⎛
π
π⎞
π
π ⎞⎞
+ i sen
⎟ = ⎜ cos + i sen ⎟
z2 = ⎜
⎜ cos + i sen ⎟⎟ = ⎜ cos
3⎝
12
12 ⎠ 3 ⎝
6
6⎠
12
12 ⎠⎠
⎝ 3⎝
Se procede a realizar la división, entonces:
1⎛
π
π⎞
⎜ cos + i sen ⎟
⎛ π π ⎞⎞
z2
3 ⎛ ⎛π π ⎞
3⎛
π
π⎞
3⎝
6
6⎠
=
=
⎜ cos + i sen ⎟
⎜ cos ⎜ − ⎟ + i sen ⎜ − ⎟⎟ =
⎛
⎞
1
π
π
z1
⎝ 6 12 ⎠⎠
3 ⎝ ⎝ 6 12 ⎠
3 ⎝
12
12 ⎠
⎜ cos + i sen ⎟
12
12 ⎠
3⎝
Ú Raíz
Sea el complejo z = r (cos u + i sen u), entonces su raíz enésima se define como:
n
z =
n
⎛
θ + 2π k
θ + 2π k ⎞
+ i sen
r ⎜ cos
⎟
⎝
n
n ⎠
Donde k toma los valores 0, 1, 2, 3,…, n – 1
Ejemplos
EJEMPLOS
1
Determina la raíz cúbica de z = 8 cis 240º.
Solución
Las raíces se obtienen aplicando la definición y k adopta los valores de 0, 1 y 2, entonces:
Para k = 0
3
z0 =
⎛
240 º +360 º ( 0 )
240 º +360 º ( 0 ) ⎞
8 ⎜ cos
+ i sen
⎟ = 2(cos 80º + i sen 80º)
3
3
⎝
⎠
Para k = 1
z1 =
3
⎛
240 º +360 º (1)
240 º +360 º (1) ⎞
8 ⎜ cos
+ i sen
⎟ = 2(cos 200º + i sen 200º)
3
3
⎝
⎠
Para k = 2
z2 =
3
⎛
240 º +360 º ( 2 )
240 º +360 º ( 2 ) ⎞
8 ⎜ cos
+ i sen
⎟ = 2(cos 320º + i sen 320º)
3
3
⎝
⎠
885
17
17
2
MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
Dado el número z = 1, determina
4
z.
Solución
El número complejo z = 1 en su forma trigonométrica es z =1 (cos 0º + i sen 0º), luego k adopta los valores de 0, 1, 2
y 3, entonces las raíces son:
z0 =
⎛
0 º +360 º ( 0 )
0 º +360 º ( 0 ) ⎞
1 ⎜ cos
+ i sen
⎟ = 1 (cos 0° + i sen 0°) = 1
4
4
⎝
⎠
4
z1 =
4
z2 =
4
z3 =
4
⎛
0 º +360 º (1)
0 º +360 º (1) ⎞
1 ⎜ cos
+ i sen
⎟ = 1 (cos 90° + i sen 90°) = i
4
4
⎝
⎠
⎛
0 º +360 º ( 2 )
0 º +360 º ( 2 ) ⎞
1 ⎜ cos
+ i sen
⎟ = 1 (cos 180° + i sen 180°) = –1
4
4
⎝
⎠
⎛
0 º +360 º ( 3)
0 º +360 º ( 3) ⎞
1 ⎜ cos
+ i sen
⎟ = 1 (cos 270° + i sen 270°) = – i
4
4
⎝
⎠
En consecuencia, los valores de la raíz cuarta de z = 1 son los complejos z0 = 1, z1 = i, z2 = –1 y z3 = – i.
EJERCICIO 55
Transforma a su forma trigonométrica los siguientes números complejos:
1. z = 4 – i
2. z =
5. z = – 3i
3+i
6. z =
1 2
+ i
2 3
1
1
−
i
2
2
3. z = – 2 + 2i
7. z =
4. z = 5
8. z = −
Sean los complejos z1 =
2 cis 45º, z2 = 13 cis
π
, z = 2 cis 60º y z4 =
6 3
3 1
+ i
2 2
2 cis
3π
, determina:
4
9. z1 · z2
12. z1 · z2 · z3
15.
z2
z4
18.
z2
z1 ⋅ z4
10. z2 · z4
13. z1· z3 · z4
16.
z1
z3
19.
z2 ⋅ z 3
z1 ⋅ z4
11. z1 · z3
14.
z1
z4
17.
z1 ⋅ z2
z3
20.
z1 ⋅ z2 ⋅ z3
z4
886
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Forma trigonométrica de los números complejos
Resuelve lo que se te pide.
21. Si z = 3 cis 120º, determina z2
22. Encuentra z4 si z = 3(cos 25º + i sen 25º)
23. Determina z3 si z = 5 cis 15º
⎛
π
π⎞
z si z = 16 ⎜ cos + i sen ⎟
⎝
3
3⎠
24. Encuentra
25. Si z = 64 cis 120º, determina
26. Encuentra
27. Si z = 4 cis
3
6
z
z si z = –1
π
3 2π
y z1 = cis
, determina (z · z1)2
9
2
9
28. Si z = 2(cos 30º + i sen 30º) y z1= 4(cos 60º + i sen 60º), determina
3
z ⋅ z1
29. Encuentra el resultado de: ⎡⎣ 2 (cos 32º + i sen 32º)⎤⎦ ⋅ 7(cos 36º + i sen 36º)
2
2
⎡ ⎛
π
π ⎞⎤ 3
30. Determina el resultado de: ⎢8 ⎜ cos + i sen ⎟⎥
12
12 ⎠⎦
⎣ ⎝
Ú
Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
887
17
Solución a los ejercicios de
geometría y trigonometría
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
CAPÍTULO 2
19. a) COB = 30º, BOA = 60º
EJERCICIO 1
b) AOB = 45º, BOC = 30º, COD = 15º
1. 40.1708º
5. 9.1525º
9. 18º 15’ 18”
2. 61.7058º
6. 98.3791º
10. 29º 24’ 39”
3. 1.03416º
7. 40º 19’ 12”
11. 19º 59’ 24”
e) AOB = 30º, BOC = 90º, COD = 60º
4. 73.6777º
8. 61º 14’ 24”
12. 44º 00’ 36”
f) AOB = COD = 45º, BOC = 55º, DOE = 35º
c) AOB = 50º, DOB = 130º
d) AOB = 65º, BOC = 45º, COD = 70º
g) AOB (convexo) = 134º, AOB (cóncavo) = 226º
EJERCICIO 2
h) AOB (convexo) = 50º, AOB (cóncavo) = 310º
1.
7
P rad = 3.665 rads
6
8.
11
P rad = 5.759 rads
6
2.
5
P rad = 5.236 rads
3
9.
2
P rad = 2.094 rads
3
3.
5
P rad = 3.927 rads
4
10.
3
P rad = 2.356 rads
4
4.
5
P rad = 7.854 rads
2
11.
4523
P rad = 0.789 rad
18000
5.
2
P rad = 1.256 rads
5
12.
1283
P rad = 2.239 rads
1800
6.
5
P rad = 1.745 rads
9
13.
2711
P rad = 2.628 rads
3240
EJERCICIO 6
48 R rad
1. 135º
5. 22º 30’
9.
2. 115º.
6. 115°
10. 3:40 h
3. S = 25º, C = 30º
7. 292° 30’
4. O63º 18’S, S26º 42’O
8. 12:30 h
CAPÍTULO 3
EJERCICIO 7
1. x = 60º, a = 60º, b = 120º
2. x = 46.5º, a = b = e = 46.5º, c = d = f = 133.5º
3. x = 40º, a = b = e = 80º, c = d = f = 100º
4. a = c = 137º, b = 43º
1
P rad = 0.523 rad
7.
6
33601
14.
P rad = 7.330 rads
14400
5. a = c = d = g = 47º, b = e = f = 133º
6. x = 25º
EJERCICIO 3
7. x = 26º, a = 128º, b = 52º
1. 120º
5. 1260º
9. 90º
13. 360º
2. 330º
6. 20º
10. 270º
3. 135º
7. 468º
11. 9º 38’ 34”
10. x = 40º, y = 110º
4. 240º
8. 15º
12. 64º 10’ 37”
11. x = 80º, y = 60º
8. 10 = 4 = 7 = 70º, 1 = 13 = 16 = 110º
14. 28º 38’ 52”
9. x = 115º, y = 65º
12. R = 120º
EJERCICIO 4
1. 55º 46’ 50”
6. 75º 44’ 22”
11. 4º 33’ 11”
2. 40º 13’ 15”
7. 246º 34’ 15”
12. 15º 41’ 18”
3. 49º 19’ 33”
8. 875º 11’40”
13. 3º 21’ 41”
4. 59º 19’ 45”
9. 383º 51’ 21”
14. 13º 15’ 18”
5. 108º 7’ 48”
13. a = c = e = f = 126º, b = d = 54º
14. n = z = 50º, m = s = y = r = 130º
15. x = q = p = k = 35º, y = r = s = 145º
16. q = z = y = 60º, r = w = p = 120º
17. a), b), d) y f)
10. 227º 3’ 18”
EJERCICIO 5
1. Suplementarios
6. Complementarios
2. Complementarios
7. Suplementarios
3. Conjugados
8. Complementarios
4. Conjugados
9. Conjugados
5. Conjugados
10. Suplementarios
11. 10º
13. 80º
15. 18º
17. 36º
12. 57º
14. 30º
16. 20º
18. 120º
CAPÍTULO 4
EJERCICIO 8
1. 105°, 110°
5. 118º, 38º y 24º; 68º, 70º y 42º
2. 10°, 80°
6. S = 54º y D = 72º
3. 80°, 80°, 20°
7. A = 35º, B = 95º, C = 50º
4. 55°, 41°
8. ABC = 69º, BCA = 73º, BAC = 38º,
ACD = 107º, CDA = 35º, CAD = 38º
1498
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
EJERCICIO 9
EJERCICIO 17
1. Teorema II (LAL) x = 85° y = 12
2. Teorema III (ALA) x = 13 y = 19.8
3. Teorema I (LLL) x = 32° y = 62°
EJERCICIO 10
1. 100 73 m
6.
2. 2 5 m
7. 5 cm
3. 40 cm
8. 8 3 cm
4. 5 3 cm
1 a 8. No se incluye la solución por ser demostraciones.
1. a = 36º, b = 8º 4. x = 25, y = 14
2. x = 15, y = 45 5. a = 12º, b = 25º
12. 2
3. x = 15º, y = 20º
CAPÍTULO 5
4. x = 7, x = 0
5. x = ± 4 2
6. x = 2
7. x = ± 6y
8. x = ± 5
9. x = ± 4
10. x = 3
EJERCICIO 18
1. A = C = 140°, B = 40°
2. DCA = 40°, CAD = 60°, DAB = DCB = 100°, D = B = 80°
3. ADC = B = 110°, A = C = 70°
EJERCICIO 13
4. x = 30°, z = 120°, y = 60°
5. x = 127°, y = 53°
6. x = 120°, y = 55°, z = 125°
1. a’= 3, c’= 5
2. a = 30, b’ = 16
3. Lados 12 y 22; x = 11, y = 36
4. Lados 8 y 4; x = 7, y = 5
7. x = 60°, y = 120°, z = 60°
8. x = 15°, y = 70°, z = 110°
5. Lados 8 y 6; u = 3, t = 10
6. Lados 10 y 9; x = 5, y = 3
EJERCICIO 19
1 a 6. No se incluye la solución por ser demostraciones.
EJERCICIO 14
1. x = 10
12
4. x =
5
9
2
3. x = 6
25
3
6. x = 16
7. x = 4
10. x = 30
27
22
9. x = 10
5. x =
2. x =
8. x =
EJERCICIO 20
1. x = 4 cm
4. NPO = 24º
2. 4 y 8 u
5. x = 20º, y = 68º
8. AB = a, IJ = b
3. 41 u
6. AB = 11 cm
9. AE = 5
EJERCICIO 15
1. 68 m
3. 160 m
2. 481.6 m
4. 15 m
EJERCICIO 21
b) 120 m
1. c = 25
8. b = 5 2
15. Acutángulo
2. c =
9. c = 3 5 m
16. Rectángulo
3. c = 4 5
10. b = 5 m
17. Rectángulo
4. c = 7 2
11. c =
18. Obtusángulo
5. b = 16
12. a = 5 7 dm
19. Rectángulo
6. a = 2 7
13. Obtusángulo
20. Acutángulo
7. c = 8
14. Rectángulo
21. Rectángulo
421 cm
22. a) 2 15 , b) 5 13 , c) 2 10 , d) 6 21 e)
f)
91 218
169
30
, g)
218
60
7. MN = 20 u
CAPÍTULO 6
5. a) 28 m
EJERCICIO 16
41
10. 5 2 cm
2
2
2
2
m2 n2
4m n
4n m
, 2
y 2
15
15
5
EJERCICIO 12
1. x = 3
2. x = 7.2
3. x = ± 9
9. 9 2 km
5. 4 2 m
2 2
m
m,
11.
3
3
EJERCICIO 11
91 m
40
,
3
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
1499
d=8
Icoságono
d=7
Dodecágono
Nonágono
a) 170, b) 54, c) 27, d) 9, e) 90, f)14, g) 104, h) 135, i) 44
Heptágono
Hexadecágono
Heptadecágono
Nonadecágono
Heptágono
Undecágono
Pentágono
Tridecágono
Dodecágono
Octágono
Icoságono
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
EJERCICIO 22
2.
1. a) 120°, b) 135°, c) 150°, d) 162°, e) 160°, f) 171° 25’42”
2. a) 540°, b) 1 440°, c) 2 340°, d) 1 080°, e) 1 980°, f) 6 300°
3. Nonágono (nueve lados)
4. Heptágono (siete lados)
5. Hexadecágono (16 lados)
6. Undecágono (11 lados)
7. Hexágono (seis lados)
8. Hexadecágono (16 lados)
9. Nonágono (nueve lados)
3.
10. Dodecágono (12 lados)
11. Octágono (ocho lados)
12. Triángulo
13. Hexágono (seis lados)
14. Pentadecágono (15 lados)
15. Nonágono (nueve lados)
16. Pentágono (cinco lados)
4.
17. 54°, 129.6°, 129.6°, 108° y 118.8°
18. 110°, 100°, 115°, 135° y 80°
19. 30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 210° y 240°
20. A = 70°, B = 65°, C = 10°, D = 110° y E = 105°
21. A = 54°, B = 64°, C = 116°, D = 64°,
E = 17° y F = 45°
CAPÍTULO 7
EJERCICIO 23
1.
5.
1500
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
6.
7.
8.
1501
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
EJERCICIO 24
6.
T
S
Di
re
ctr
Direct
riz
Q
1.
Q
iz
S
2.
T
A
7.
B
A
B
triz
ec
Dir
3.
C
R
C
Directriz
A
A
R
Directriz
B
4.
8.
B
A
B
rec
triz
C
A
Directriz
Di
A
D
5.
R
B
R
S
C
rec
tri
z
A
D
Di
S
1502
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
9.
12..
D
B
E
C
B
A
C
C
F
A
B
Directriz
D
F
D
E
F
A
Directr
iz
G
E
10
R
D
E
Q
P
O
R
S
C
F
B
P
Q
T
S
O
A
Dire
ctriz
G
T
EJERCICIO 25
11.
P
1.
C
B
P
O
A
D
F
2.
R
210˚
E
0
C
B
R
A
3.
0
D
–90°
W
rec
E
Di
F
tri
z
W
1503
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
7.
4.
S
–300˚0
R
R
–110˚
A
O
8.
A
5.
S
T
W
B
A
–150
O
A
T
B
100°
O
W
6.
9.
B
B
P
225º
O
C
A
Q
Q
A
45°
45°
C
O
P
10.
C
B
C
D
A
B
D
A
1504
O
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
C
11.
D
B
D
E
E A
O –270˚
C
A
B
12.
A
F
.
B
C
E
D
240˚
O
B
C
D
A
F
E
1505
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
6. P
EJERCICIO 26
A
1.
A
Q
A
Q
P
2.
Q
B
Q
P
B
A
7.
A
Q
3.
B
A
P
P
A
B
Q
C
B
4.
C
P
A
B
8.
P
B
Q
P
A
B
A
B
5. R
X
C
R
Q
S
S
C
A
Y
1506
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
9.
C
X
B
D
A
E
B
A
C
Y
E
D
B
10
C
D
A
Q
E
F
E
P
D
F
C
A
B
1507
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
EJERCICIO 27
6.
1.
W
O
W
A
D
B
C
2. P
O
C
O
B
P
D
A
7.
3.
A
O
A
B
C
A
O
4.
B
A
C
B
8.
A
O
A
B
B
5.
P
D
C
Q
O
A
A
D
O
Q
C
B
P
1508
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
9.
B
C
A
D
O
E
E
D
A
C
10.
B
B
C
D
A
E
F
O
F
E
A
D
C
1509
B
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
EJERCICIO 32
CAPÍTULO 8
1. a) TS = 24 cm, b) BC = 13 cm, c) P = 44 cm, A = 14 11 cm2
EJERCICIO 28
)
ABC = 30°, AOC = 60°, BOC = 104°, AD = 116°
a = 75°, b = 50°, c = 55°, d = 55°, e = 50°, f = 75°
ABC = 27.5° = 27°30’
ABC = 85°, DBA = 95°
A = 105°, B = 95°, C = 75°, D = 85°
a) A = 30°, b) A = 40°
a = 60°, b = 15°, c = 25°, d = 30°, e = 50°
a) A = 15°, b) A = 40°, c) A = 30°, d) a = 35°
e) c = 120°, f )c – a = 140°, g) a = 70°, h) a = 40°
9. u = 120°, x = 60°, y = 30°, w = 60°, z = 90°
10. a = 90°, b = 90°, c = 90°, d = 90°, e = 25°, f = 25°,
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
g = 65°, h = 65°, i = 40°
1. a) 10.8, b) 7.8, c) 9.4
2. a) 10.09, b) 16.2, c) 17.29
8. 2u
2. Tangentes exteriores
9. 2 3 u
7.
8. As = 100P dm2
11.
10. 5 cm
5. Tangentes interiores
6. Tangentes exteriores
13.
15.
b) A= 256 3 dm2
17. As = 36R cm2
1
18. As =
R cm2
8
EJERCICIO 31
19. As = 2 cm2,
15. A = 400 cm2
16. $ 2.6/m2
17. $ 725.5
18. Altura = 36 m, base = 27 m
P = 2(1 + R)cm
5
R cm2
2
P = (6 + 4R)cm
20. As =
19. Altura = 10 m
6. P = 65.4 m, A = 37.375 m2 20. 80 círculos, 1280R cm2
8. P = 10 m, A = 6 m2
9. A = 150 m2
10. A = (x2 – 3x +2)m2
11. A = 63 dm2
12. A = 17.5 dm2
13. A = 900R
cm2
14. A = 81R cm2
As = 256 4 P cm2
16. a) A = 3 3 dm2
5
R
2
CAPÍTULO 9
7. P = 36 cm, A = 81 cm2
14. As = 128 P 2 mm2
7. 3r
P = 24.9 m, A = 29.4 m2
P = 38.6 m, A = 82.5 m2
P = 52.5 m, A = 118.12 m2
P = 40.0 m, A = 110 m2
As = 4 10 P dm2
As = 196 4 P cm2
As = 1 152 P 2 mm2
9. As = 64 4 P mm2
13. As = 32 6 P mm2
7
1
11. C1C3 = R , C1C2 = R
18
6
12. r
2.
3.
4.
5.
As = 25 4 P cm2
6. A = 25 2 3 π dm2
P = 96R mm
1. Exteriores
1. P = 8.4 m, A = 4.25 m2
4. A = 3P r 2
12.
EJERCICIO 30
4. Secantes
3. A = 2r 2 4 P
10.
EJERCICIO 29
3. Interiores
2. A = 84 cm2
CAPÍTULO 10
21. a) 12 14 u2, b) 2 255 u2,
15
15 u2
c)
4
22. x = 9, A = 98 m2
23. a) 2R cm2, b)
1
R cm2,
6
9
32
R cm2, d)
R cm2
4
3
24. a) (R – 2)cm2
c)
3
3
3 )cm2
b) (R –
2
2
c) 16(R – 2)cm2
EJERCICIO 33
1. AT = 4 3 cm2, VT =
2
2 cm3
3
2. AT = 3 3 cm2 , VT =
6
cm3
4
3. AT = 72 cm2, VT = 24 3 cm3
4. AT = 150 cm2, VT = 125 cm3
5. AT = 72 3 cm2, VT = 72 2 cm3
1510
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
180 25 3
cm2
2
81 3
15. VT =
cm
2
6. AT = 6 3 cm2, VT = 6 cm3
14. AT =
7. AT = ¤¥ 60 25 10 5 ³´ cm2, VT = (350 + 150 5 )cm3
µ
¦
8. AT = ¤¥ 12 25 10 5 ³´ cm2, VT = (30 + 14 5 )cm3
µ
¦
16. AL = 16 1 2 cm2
¤ 15 3 5 15 ³
3
9. AT = 15 3 cm2, VT = ¥
´ cm
4
¦
µ
17. VT =
¤ 1875 2 625 10 ³
3
10. AT = 250 3 dm2, VT = ¥
´ dm
6
¦
µ
11. AT = 9 3 cm2
19. VT =
27 6
cm3
4
12. VT =
13. h =
18. VT =
20. VT =
2 m, AT = 6 4
m2
2. AL =
VT =
3 5 •
4
3 3
cm2, AT =
4
2
cm3
12
3 cm2, VT =
75 At
6. AL = 32R cm2, AT = 64R cm2, VT = 64R cm3
VT = 147R
2
2. AL = 72 cm2, AT (72 8 3 )cm , VT 24 3cm
9. AL =
5. AL = 16 2 8 cm2, AT = 24 2 8 cm2, VT = 16 cm3
VT =
6. AL = 16 cm2, AT = 24 cm2, VT = 8 cm3
8. AL = 400 cm2, AT = 400 2 2 cm2, VT = 1000 1 2 cm3
5
15 3
5 3 3 R cm2
R cm2, AT =
4
4
9. AL = 1200 cm2, AT = 300 4 5 cm2, VT = 3000 3 cm3
11. VT = 12 cm3
12. VT = 8 cm3
13. VT = 12 46 cm3
14. VT =
560
cm3
3
15. AB = 24 3 cm2
16. VT = 24R cm3
1511
25 3
R cm3
6
10. AL= 3R cm2, AT = 4R cm2, VT =
7. AL = 64 3 cm2, AT = 64 3 24 cm2, VT = 96 cm3
32
R cm3
VT =
3
195 75 3
975
3 cm3
cm2, VT =
2
8
cm3
8. AL = 4 17 R cm2, AT = 4 4 17 R cm2,
3
3. AL = 16 cm2, AT = 18 cm2, VT = 4 cm3
10. AL = 16 3 cm2
7. AL = 7 150 R cm2, AT = 7 150 49 R cm2,
1. AL = 50 cm2, AT = 62 cm2, VT = 30 cm3
4. AL = 97.5 cm2, AT =
35 3
cm3
3
5. AL = 30R cm2, AT = 48R cm2, VT = 45R cm3
3
EJERCICIO 34
21 3
13. VT =
cm
4
4. AL = 38.4 cm2, AT = 64 cm2, VT = 81.92 cm3
180
12. AL = 48 cm2
2
15 2 5 10
cm3
6
11. VT = 27u3
27 2
cm3
4
3. AL = 12 7 cm2, AT = 12 7 7 3 cm2,
4 3
cm
3
8
3
18. VT = 36 cm3
19. VT =
AL 3
1. AL= 3 55 cm2, AT = 9 3 55 cm2, VT = 12 cm3
16. h = 6 2 cm, AT = 72 3 cm2
17. VT =
36
EJERCICIO 35
14. VT = 2 2 cm3
15. L =
3
20. AL = 3 3 3Vt
4 3
cm
3
3
6 At
2 2
R cm3
3
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
17. AL = 70R cm2
b)
18. VT = 12R cm3
19. AT = 48R cm2
3
1
2
20. AT = 3 18 1 5 P VT
2
EJERCICIO 36
1. A = 64R cm2, V =
2. V = 180 5 R
256
R cm3
3
sen M =
10 149
149
cos M =
7 149
149
tan M =
ctg M =
7
10
sec M =
149
7
csc M =
sen N =
7 149
149
cos N =
10 149
149
tan N =
ctg N =
10
7
sec N =
149
10
csc N =
sen A =
2
3
cos A =
5
3
tan A =
2 5
5
ctg A =
5
2
sec A =
3 5
5
csc A =
3
2
cm3
149
10
7
10
149
7
c)
3. V = 6R cm3
4. V = 270R cm3
5. A = 60R cm2
cm2
6. A = 96R
10
7
7. V =
28
R cm3
3
sen B =
5
3
cos B =
2
3
tan B =
5
2
8. V =
52
R cm3
3
ctg B =
2 5
5
sec B =
3
2
csc B =
3 5
5
sen M =
2
2
cos M =
2
2
sec M =
2
cos N =
2
2
sec N =
2
9. V = 339R cm3,
d)
A = 72R cm2
211
10. V =
R cm3
216
ctg M = 1
200
11. A =
R cm2
3
2
2
sen N =
12. n = 120º
ctg N = 1
13. V = 72 3 R cm3
2
tan N = 1
csc N =
2
a)
243
R cm3
2
CAPÍTULO 11
sen S =
2 6
5
cos S =
ctg S =
6
12
sec S =5
sen C =
1
5
cos C =
EJERCICIO 37
ctg C = 2 6
Inciso 1)
a)
2 14
9
cos A =
ctg A =
5 14
28
sen B =
ctg B =
sen A =
csc M =
Inciso 2)
9
14. r = cm, A = 9R cm2
2
V=
tan M = 1
5
9
tan A =
sec A =
9
5
csc A =
5
9
cos B =
2 14
9
2 14
5
sec B =
9 14
28
2 14
5
1
5
tan S = 2 6
csc S =
5 6
12
2 6
5
tan C =
6
12
sec C =
5 6
12
csc C = 5
b)
sen A =
3 13
13
cos A =
2 13
13
tan A =
9 14
28
ctg A =
2
3
sec A =
13
2
csc A =
tan B =
5 14
28
sen B =
2 13
13
cos B =
3 13
13
tan B =
csc B =
9
5
ctg B =
3
2
sec B =
13
3
csc B =
1512
3
2
13
3
2
3
13
2
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
EJERCICIO 38
c)
1
sen N =
2
3
cos N =
2
3
tan N =
3
ctg N =
3
sec N =
2 3
3
csc N = 2
sen M =
3
2
cos M =
1
2
tan M =
3
ctg M =
3
3
sec M = 2
csc M =
2 3
3
1.
33
6
cos S =
3
6
tan S =
5
13
cos C =
ctg C = 12
5
sec C =
sen C = 4 65
65
cos C = 7 65
65
65
7
11
ctg S =
11
11
sec S = 2 3
csc S =
2 33
11
sen C =
3
6
cos C =
33
6
tan C =
11
11
ctg C =
11
sec C =
2 33
11
sen D =
6
4
cos D =
10
4
tan D =
ctg D =
15
3
sec D =
2 10
5
csc D =
2 6
3
sen C =
10
4
6
cos C =
4
tan C =
15
3
ctg C =
15
5
sec C =
sen A =
4 29
29
cos A =
377
29
ctg A =
13
4
sen B =
ctg B =
5
12
tan C = 13
12
csc C = 13
5
2.
d)
sen S =
12
13
sen C = tan C =
4
7
ctg C =
7
4
sec C = sen D =
3 13
13
cos D =
2 13
13
tan D =
ctg D =
2
3
sec D =
13
2
csc D =
cos Y =
2
2
tan Y = – 1
sec Y =
2
csc Y = 2
65
4
csc C = 3.
csc C = 2 3
3
2
13
3
e)
4.
2 6
3
15
5
2
2
sen Y = ctg Y = – 1
5.
csc C =
2 10
5
tan A =
4 13
13
sec A =
377
13
csc A =
29
4
sen C = 77
11
377
29
cos B =
4 29
29
tan B =
13
4
ctg C = 2 7
7
4 13
13
sec B =
29
4
csc B =
377
13
f)
ctg C =
2 5
5
2
3
cos C = 5
3
5
2
sec C = 3 5
5
csc C = cos C =
2 11
11
tan C = 7
2
sec C =
11
2
csc C = 77
7
sen C = tan C =
3
2
6.
1513
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
c) cos 80° = sen 10°
7.
sen D =
2 22
13
9 22
44
ctg D = 9
13
tan D = 13
9
csc D =
cos D = sec D = 2 22
9
13 22
44
8.
d) csc 60° = sec 30°
e) sec 2° = csc 88°
f) –sen 60° 37’ 25” = –cos 29° 22’ 35”
g) –ctg 45° = –tan 45°
h) tan 74° 46’ 24” = ctg 15° 13’ 36”
65
65
sen Y = ctg Y = – 8
cos Y =
8 65
65
65
8
sec Y =
tan Y = 1
8
csc Y = 65
i) –cos 84° 35’ = –sen 5° 25’
j) sec 39° 11’ 48” = csc 50° 48’ 12”
k) csc 53° = sec 37°
l) –ctg 48° = –tan 42°
9.
m) cos 38° 54’ = sen 51° 6’
5
sen F =
13
12
cos F = 13
5
tan F = 12
n) –sen 28° 35’ 24” = –cos 61° 24’ 36”
Inciso 2)
12
5
ctg F = sec F = 13
12
csc F =
13
5
10.
6
3
sen D = ctg D =
2
2
3
3
cos D = sec D = 3
tan D =
2
csc D = –
6
2
11.
sen C =
3
2
ctg C = 3
3
cos C = 1
2
sec C = 2
tan C = 3
csc C =
2 3
3
12.
sen C = 3
2
3
ctg C = 3
cos C =
1
2
sec C = 2
tan C = 3
2 3
csc C = 3
a) –sen 160°
f) –csc 90°
b) –ctg 140°
g) cos 225° 15’ 46”
c) sec 240°
h) –ctg 176° 45’ 23”
d) cos 280°
i) sec 108° 32’
e) –tan 345°
j) –sen 228°15’
Inciso 3)
a)
–sen 20°
g) –sen 55°
b)
–ctg 20°
h) –tan 76° 34’ 42”
c)
cos 80°
i) cos 68° 45’ 24”
d)
tan 45°
j) ctg 20°
e)
–csc 81° 27’ 48”
k) –sec 40°
f)
–sec 50°
l) –csc 31° 26’ 19”
Inciso 4)
a) 0.3090
f) 1.0187
b) 0.9657
g) 0.9261
c) 1.1034
h) 3.8208
EJERCICIO 39
d) 0.1219
i) 1.0170
Inciso 1)
a) – sen 30° = –cos 60°
e) 0.7536
j) 0.4975
b) –tan 15° = –ctg 75°
1514
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
CAPÍTULO 12
EJERCICIO 40
Grados
Radianes
sen
cos
tan
csc
sec
ctg
0°
0
0
1
0
No existe
1
No existe
30º
P
6
1
2
3
2
3
3
2
2 3
3
45°
P
4
2
2
2
2
1
2
60°
P
3
3
2
1
2
3
90°
P
2
1
0
120°
2P
3
3
2
135°
3P
4
2
2
150°
5P
6
1
2
180°
R
0
210°
7P
6
–
1
2
–
225°
5P
4
–
2
2
–
240°
4P
3
–
3
2
270°
3P
2
300°
5P
3
–
315°
7P
4
–
330°
11P
6
360°
2R
–1
–
3
2
1
2 3
3
2
3
3
No existe
1
No existe
0
1
2
– 3
2 3
3
–2
–
2
2
–1
–
3
2
–
–
–1
–
2
–
0
No existe
3
2
3
3
–2
2
2
1
– 2
1
2
3
0
No existe
3
2
1
2
– 3
2
2
2
2
–1
1
2
3
2
0
1
–
3
3
0
–
–
–
3
3
–1
– 2
2
3
3
–
2 3
3
– 3
–1
No existe
2 3
3
3
– 2
1
2 3
3
–2
3
3
–1
No existe
0
2 3
3
2
– 2
2
–
3
3
–1
–2
2 3
3
– 3
No existe
1
No existe
1515
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
1.
3
2
5.
3
16
2.
3
2
6.
1
8
3.
9. 1
10.
13. –1
3
4
P
2
P P
Asíntotas verticales: …, ,
,…
4 4
Desplazamiento de fase: no existe
10. Periodo:
14. 0
11. Periodo: R
3
2
7. 9
4. 0
8.
11. 2
2
12. 1
16 a 20. No se incluye la solución por ser demostraciones.
CAPÍTULO 13
41
1. Amplitud: 2, Periodo: 2 P
3
EJERCICIO
P
3
Asíntotas verticales:…, P , ,…
4
4
15. 2
P
Desplazamiento de fase: a la izq.
4
P
12. Periodo:
3
P 5P
Asíntotas verticales: …, ,
,…
18 18
P
a la der.
Desplazamiento de fase:
9
13. Periodo: 2R
Asíntotas verticales:…, R, 3R,…
P 5
Desplazamiento de fase: , P
6 6
2. Amplitud: 2, Periodo:
3. Amplitud:
14. Periodo: 4R
1
P
2
Desplazamiento de fase: 0,
Desplazamiento de fase: 2R a la der.
Asíntotas verticales: …,0, 4R,…
1
P
2
Desplazamiento de fase: 2R a la der.
15. Periodo: R
4
, Periodo: 3R
3
9
3
Desplazamiento de fase: P , P
4
4
1
3
Asíntotas verticales:…, P , P ,…
2
2
Desplazamiento de fase: R a la der.
16.
Y
4. Amplitud: 5, Periodo: 8R
1
Desplazamiento de fase: 2R, 6R
1
5. Amplitud: 4
2
−
Periodo: 2R
3P 11
,
P
Desplazamiento de fase:
4
4
6. Amplitud: 3
7p
−
4
−
5p
4
−
3p
−
4
3p
−
2
p
p
3p
5p
4
4
4
4
p
p
2
2
p
7p
4
3p
X
2
1
−
2
Periodo: R
−1
Desplazamiento de fase: 0, R
3
7. Amplitud:
2
2
Periodo: P
5
3P P
Desplazamiento de fase: ,
10 10
1
8. Amplitud:
3
Periodo: 8R
4P 20P
Desplazamiento de fase: ,
3
3
9. Amplitud: 1
17.
Y
1
5p
−
4
−
3p
2
p
−
4
−p
−
3p
4
−
p
2
p
2
0
−1
Periodo: 6R
Desplazamiento de fase: 0, 6R
1516
p
4
3p
4
p
5p
4
3p X
2
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
18.
22.
Y
2p
3
−
7p
−
6
−
11p
−
12
7p
p
13p
12
12
12
2p
−
3
0
p
6
3p
2
p
7p
5p
4p
3
12
6
3
X
p
−3
p
2
–1
1
19.
Y
−
p
2
1
−
− 6p
−
p
3p
−
2
2
− 3p
9p
2
−p
9p
2
−p
p p 3p
2
2
6p
3p
−
X
3p
2
−1
–2p
23.
Y
20.
3p
Y
2
p
−
5p
−
2
3p
−
2
p
1
2
2
3p
5p
2
2
0
p
X
2
–1
−1
0
−
5p
4
−
3p
−
4
p
p
3p
5p
4
4
4
4
1
X
−
p
2
−p
21.
−
Y
− 2p
3p
2
−
5p
2
−
−p
p
24.
1
−1
Y
p
2
p
3p
5p
2
2
2
4p
X
3p
2
p
2
−1
0
1
− p
2
− 3p
2
1517
X
3p
2
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
25.
11.
Y
3
–
1
2
16.
1 tan B
1 tan B
2
sen x cos x
2
17.
1
2
1
13. sen D
18. – sec 2Y
1
cot x
14.
tan x
19. – tan C
0
6
p
p
5p
7p
6
2
6
6
X
2
15.
Y
p
2
p
2
p
X
−1
−2
2 3
2.
2 3
−3
−4
27.
1.
6 2
4
7.
32
8. 9.
2 6
10.
2 3
2
2 1 3
4.
2 1 3
5.
2 3
6.
3.
2
sen Q cos Q
2
20.
3cos A sen A
EJERCICIO 44
0
Y
3
2
3p
8
1
0
−1
7p
8
p
8
11. sen (C + D) =
5p
8
Y
0
p
2p
3
4p
X
3
tan (C D) = 2 3
3
2 10 , cos A B 93 5 2 2 9
CAPÍTULO 14
tan A B 3 2 2 5 , ctg A B EJERCICIO 42
1 a 32. No se incluye la solución por ser demostraciones.
sec A B EJERCICIO 43
3
2
2.
6 2
4
3.
6 2
4
13. Funciones del ángulo (C + D)
sen A B 1.
6.
7.
6 2
,
4
2 6
, cos(C D) =
4
12. sen (C D) = p
3
2 5 3 2
,
2
15 2 6 , csc A B 3 1
30
2
Funciones del ángulo (C – D)
2
2
3
3
2 10 , cos A B 9
9
sen A B 52 2
3
tan A B 2 5 3 2 , ctg A B 4. – 1
1
18
1
−1
X
tan (C + D) = p
3
6 2
13
18 13
, cos (C + D) = ,
65
65
28.
−
3sen x cos x
12.
p
p
−
8
2
26.
−
3sen Q cos Q
8. 2
2 53 2
2
sec A B 15 2 6 , csc A B 3 9. 1
1
30
2
14 a 34. No se incluye la solución por ser demostraciones.
5. 2
10. 1
1518
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
EJERCICIO 45
Funciones trigonométricas del ángulo 2C
1.
sen
cos
tan
P
=
8
2 2
2
ctg
P
=
8
2 2
2
sec
P
=
8
3 2 2
csc
P
=
8
P
=
8
42 2
P
=
8
42 2
3
P
8
3
cos P =
8
2 2
2
3
sec P =
8
3
P =
8
3 2 2
2 2
2
5
P =
8
cos
5
2 2
P =–
8
2
5
tan P = – 3 2 2
8
2 2
2
7
2 2
cos P = –
8
2
tan
7
P = – 3 2 2
8
ctg
B
2
= 2
3
cos
B
2 13
= 2
13
sec
B
13
= 2
2
tan
3
B
= 2
2
csc
B
=
2
ctg
5
P = – 3 2 2
8
sec
5
P =– 42 2
8
5
csc P =
8
sen 2D =
ctg 2D = 119
120
169
119
cos 2D = 119
169
sec 2D = tan 2D = 120
119
csc 2D =
Funciones trigonométricas del ángulo
42 2
7
sec P = – 4 2 2
8
169
120
W
2
sen
W
3
=
4
2
ctg
39
W
= 3
2
cos
13
W
= 4
2
sec
4 13
W
= 13
2
tan
39
W
= 13
2
csc
W
4 3
=
3
2
Funciones trigonométricas del ángulo 2Y
42 2
2.
Funciones trigonométricas del ángulo
120
169
4.
7
ctg P = – 3 2 2
8
7
P =
8
13
3
Funciones trigonométricas del ángulo 2D
csc
csc
B
2
B
3 13
=
13
2
7
Funciones trigonométricas del ángulo P
8
7
sen P =
8
8 15
15
sen
42 2
3
P = 42 2
8
5
Funciones trigonométricas del ángulo P
8
sen
8
7
csc 2C = Funciones trigonométricas del ángulo
ctg
3 2 2
sec 2C =
15
7
7 15
15
ctg 2C = 3.
2 2
2
tan
7
8
tan 2C= 3
P =
8
3
P =
8
cos 2C =
3 2 2
Funciones trigonométricas del ángulo
sen
15
8
sen 2C = P
8
Funciones trigonométricas del ángulo
A
2
A
sen
=
2
8 2 15
4
A
ctg
=
2
cos
A
=
2
8 2 15
4
sec
A
= 2 8 2 15
2
tan
A
=
2
31 8 15
csc
A
= 2 8 2 15
2
sen 2Y = 5 39
32
ctg 2Y =
cos 2Y = 7
32
sec 2Y = 32
7
5 39
7
csc 2Y = 32 39
195
31 8 15
tan 2Y =
1519
7 39
195
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
5.
8.
A
Funciones trigonométricas del ángulo
2
A
sen
=
2
cos
98 28 7
14
A
=
2
98 28 7
14
Funciones trigonométricas del ángulo C
A
ctg
=
2
33 12 7
3
A
=
2
42 12 7
3
A
csc
=
2
42 12 7
3
sec
sen C =
2 5
5
cos C =
5
5
tan C = 2
sec C =
5
1
2
csc C =
5
2
ctg C =
9.
Funciones trigonométricas del ángulo
A
tan
=
2
33 12 7
3
B
2
sen
B
3
=
3
2
tan
B
2
=
2
2
sec
B
6
=
2
2
cos
B
6
=
3
2
ctg
B
=
2
csc
B
=
2
Funciones trigonométricas del ángulo 2C
sen 2C = 4 3
7
2
sec 2C = 7
tan 2C = 4 3
csc 2C = sen D =
2 2
3
tan D= 2 2
cos D =
1
3
ctg D =
7 3
12
6.
sec D = 3
2
4
csc D =
10.
Funciones trigonométricas del ángulo C
sen C =
2
3
cos C = 5
3
Funciones trigonométricas del ángulo Y
tan C = 2 5
5
cos Y =
Funciones trigonométricas del ángulo
cos
578 136 17
34
B
2
B
csc
=
2
cos D = tan D =
1
4
sec Y =
3
4
5
4
csc Y = 5
3
Funciones trigonométricas del ángulo 2Y
sen 2Y = cos 2Y =
34 8 17
24
25
7
25
tan 2Y = Funciones trigonométricas del ángulo D
sen D = 4
3
ctg Y = 4
5
tan Y = B
ctg
= 33 8 17
2
578 136 17
B
B
= sec
= 34 8 17
34
2
2
B
tan = 33 8 17
2
3
5
sen Y = 7.
B
sen =
2
3
Funciones trigonométricas del ángulo D
1
7
cos 2C =
3
12
ctg 2C = 24
7
ctg 2Y = sec 2Y =
7
24
25
7
csc 2Y = 25
24
Funciones trigonométricas del ángulo 4Y
17
17
ctg D = 4
4 17
17
sec D = 17
4
csc D = 17
sen 4Y = 336
625
ctg 4Y =
cos 4Y = 527
625
sec 4Y = 625
527
csc 4Y = 625
336
tan 4Y =
336
527
527
336
11 a 25. No se incluye la solución por ser demostraciones.
1520
3 2
4
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
EJERCICIO 46
EJERCICIO 47
1.
1
§sen 2A sen 2B ¶
¸
2©
2.
1
§sen 105n sen 15n ¶
¸
2©
1
3. §©cos 2 y cos 2B ¶¸
2
4.
¤ 1 ³¶
1§ ¤2 ³
¨cos ¥ P ´ cos ¥ P ´·
2© ¦3 µ
¦ 6 µ¸
1
§ sen 120n sen 45n ¶
5.
¸
2©
6. –
1
§cos 45n cos 30n ¶
¸
2©
7.
1
§sen 2 x sen 2A ¶
¸
2©
8.
¤ 1 ³¶
1§
¨cos P cos ¥ P ´·
2©
¦ 6 µ¸
9.
10.
1
§ sen 45n sen 30n ¶
¸
2©
¤ 5 ³¶
1 § ¤ 11 ³
¨cos ¥ P ´ cos ¥ P ´·
2© ¦ 6 µ
¦ 3 µ¸
11. 2 §©cos 4A cos 2A ¶¸
12.
5
§sen 8A sen 4A ¶
¸
2©
13.
1
§ sen 90n sen 4n ¶
¸
2©
14.
¶
1§ 1
1
cos 2A 5B cos 2A 5B ·
¸
2 ¨© 3
3
15.
¤ 17 ³¶
3 § ¤ 19 ³
¨sen ¥ A ´ sen ¥ A ´·
2© ¦ 2 µ
¦ 2 µ¸
2
16.
cos
17.
18.
P
P
cos
2
6
sen3A senA
sen3A senA
2
senP sen
P
2
cos2A cos2x
19.
cos2A cos2x
20.
1 a 14. No se incluye la solución por ser demostraciones.
EJERCICIO 48
1. 2 §©sen 120n • cos 45n ¶¸
§ ¤5 ³
¤ 9 ³¶
2. 2 ¨cos ¥ B ´ cos ¥ B ´·
2
µ
¦ 2 µ¸
© ¦
3. 2 §©sen 180n cos 60n ¶¸
4. 2 §©sen 4Q sen Q ¶¸
5. 2 §©cos 45n cos 7n31 ' ¶¸
§ ¤1 ³
¤ 1 ³¶
6. 2 ¨cos ¥ π ´ sen ¥ π ´·
¦ 4 µ¸
© ¦3 µ
§ ¤1 ³
¤ 1 ³¶
7. 2 ¨cos ¥ π ´ cos ¥ π ´·
4
¦
µ
¦ 36 µ¸
©
8. 2 §©cos 30n sen 5n ¶¸
§ ¤ 5 ³
¤1 ³¶
9. 2 ¨sen ¥ π ´ sen ¥ π ´ ·
¦3 µ¸
© ¦ 12 µ
§
¤ 1 ³¶
10. 2 ¨cos B cos ¥ P ´·
¦ 6 µ¸
©
§ ¤ 7 ³
¤ 1 ³¶
11. 2 ¨sen ¥ P ´ cos ¥ P ´·
24
µ
¦ 24 µ¸
© ¦
§ ¤3
³
¤1
³¶
12. 2 ¨sen ¥ A B ´ cos ¥ A B ´·
4
4
µ
¦
µ¸
© ¦
§
¤ P ³¶
13. 2 ¨sen A sen ¥ ´·
¦ 4 µ¸
©
§
¤ P ³¶
14. 2 ¨sen B cos ¥ ´·
¦ 8 µ¸
©
§ ¤3 ³
¤
P ³¶
15. 2 ¨sen ¥ P ´ cos ¥ A ´·
4
8 µ¸
µ
¦
© ¦
§ ¤A ³
¤ B ³¶
16. 2 ¨sen ¥ ´ sen ¥ ´·
2
¦ 2 µ¸
© ¦ µ
1
§sen 4A sen 2B ¶
¸
2©
1521
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
EJERCICIO 49
1 a 12. No se incluye la solución por ser demostraciones.
21. 0,
2
5
P , P , R, 2R
3
3
22.
P 5
, P
4 4
1
3
5
P, P, P
2
4
4
23.
P
, 36° 52’ 11”
2
3
1
2
P, P, P
2
3
3
24.
7
23
P ,
P
12
12
1
5
P, P
3
3
25.
1
5
P, P
4
4
7
11
1
5
P,
P, P, P
6
6
3
3
26.
1
5
5. P , P
6
6
7
1
P, P
6
6
27.
1
5
6. P , P
3
3
7
11
P ,
P
12
12
28.
7
11
1
5
P,
P, P, P
6
6
6
6
29.
1
4
P, P
3
3
30.
1
5
P , R, P
3
3
EJERCICIO 50
1.
2.
3.
4.
7. 0, R, 2R
8. 0, R, 2R,
7
11
P,
P
6
6
9. 0, 2R, 152° 44’, 207° 15’
1
7
3
5
10. P , P , P , P
4
4
4
4
1
1
5
11. P , P , P
2
4
4
7
11
12.
P,
P
6
6
CAPÍTULO 15
EJERCICIO 51
1. c 145 , A 44° 54b,  C 45° 6b
2. a 2.11, c 3.39,  C 58°
1
5
P, P
4
4
3. c 5.23, b 7.24,  A 43° 40b
14.
1
2
4
5
P, P, P, P
3
3
3
3
5. c 13, b 13 2 ,  C 45°
15.
1
7
P, P
6
6
16.
1
1
5
P, P, P
2
6
6
17.
1
5
P, P
4
4
13.
4. b 52.55,  A 38° 11b 40r,  C 51° 48b 20r
6. a 13.28, c 18.28,  A 36°
18. 0, R, 2R,
19.
7. a 12.51,  A 33° 46b 46r,  C 56° 13b 14r
2
4
P, P
3
3
1
5
P, P
3
3
20. 0,
1
2
4
5
P , P , P , P , R, 2R
3
3
3
3
8. a 25.71, c 22.9,  C 41° 48b
9. a 82.68, b 100.36,  A 55° 28b
10. c 7.87,  A 66° 39b 17r,  C 23° 20b 43r
11. b 22.36, c 18.86,  C 57° 33b
12. c 13 ,  A 29° 1b 1r,  C 60° 58b 59r
13. a 15.27, c 17.19,  A 41° 37b
14. b 7.9,  A 71° 33b 54r,  C 18° 26b 5r
15. a 6.28, b 14.44,  C 64° 11b
16.  A 26° 33b 54r,  C 63° 26b 6r
1522
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS
17. a 5, b 13, c 12,  A 22° 37b 11r,  C 67° 22b 48r
17. a = 46.05,  B = 34° 5’ 24”,  C = 110° 54’ 36”
18. a = 4, b = 5, c = 3,  A 53° 7b 49r,  C 36° 52b 11r
18. c = 15.65,  A = 41° 52’ 18”,  B = 82° 7’ 42”
19.  A  C 45°
EJERCICIO 54
20.  A 19° 28b 16r,  C 70° 31b 44r
1. AB 369.95 m
7. 322.92 km
EJERCICIO 52
2. 1.76 cm
8. 307.4 m
1. 288.4 m
3. 30.34 km
9. 29.07 km
2. 4.2 m
4. 19.4 km
10. 180.37 m
5. 8.03 m
11. 29.7 cm
6. 4.7 cm
12 a 13. No se incluye la solución
por ser demostraciones.
3. 38° 44b 4r, 1.65m
4.
10
2 1 m
5. 54° 8
6. 52.07 m
7. 11.25 m
CAPÍTULO 17
8. a) 53.6 m , b) 59.1 m, c) 22.6 m
EJERCICIO 55
9. 53° 7b, 3 m
1. z =
10. 21° 47, 14 dm
11. L πR §
πr
1 ¤ R r ³ ¶
1 ¤ R r ³
2 l2 R r
cos ¥
¨180 cos ¥
·
90 ©
¦ l ´µ
¦ l ´µ ¸ 90
17cis345º 37 ' 49 "
2. z = 2cis 30º
2
3. z = 2 2 cis 135º
4. z = 5cis 0º
12. sí
5. z = 3cis 270º
CAPÍTULO 16
EJERCICIO 53
5
cis 53º 7’ 48”
6
7. z = cis 315º
6. z =
1. a = 20.9, c = 14.7,  A = 79º 1’
8. z = cis 150º
2. b = 52.4, a = 47.7,  B = 79º 16’
9. z1 · z2 =
26 cis 75º
3. b = 21.03, a = 46.9,  C = 67º 44’
10. z2 · z4 =
26 cis 165º
4. b = 86.21, c = 66.87,  B = 76º 39’
11. z1 · z3 = 2 2 cis 105º
5. a =23.35, c = 25.23,  A = 67º
6. b = 17.09, c = 22.3,  C = 99º
7. c = 9.43,  B = 57° 58’ 51”,  C = 90° 1’ 8”
8. a = 19.8,  A = 118° 23’ 35”,  B = 26° 21’ 24”
12. z1 · z2 · z3 = 2 26 cis 135º
13. z1 · z3 · z4 = 4cis 240º
14.
9. c = 15.11,  A = 40° 5’ 50”,  C = 83° 19’ 9”
10. b = 11.4,  A = 46° 14’ 25”,  B = 66° 24’ 34”
z2
26
cis 255°
z4
2
16.
z1
2
cis 345°
z3
2
13.  A = 52° 17’ 24”,  B = 44° 33’ 55”,  C = 83° 8’ 41”
14.  A = 48° 20’ 58”,  B = 36° 42’ 37”,  C = 94° 56’ 23”
15. c = 15.3,  A = 46° 39’ 8”,  B = 65° 20’ 52”
= cis 270º
15.
11.  A = 31° 48’ 52”,  B = 34° 12’ 58”,  C = 113° 58’ 10”
12.  A = 27° 25’ 16”,  B = 44° 1’ 54”,  C = 108° 32’ 50”
z1
z4
17.
18.
16. b = 37.07,  A = 47° 7’ 45”,  C = 56° 52’ 15”
1523
z1 z2
z3
z2
z1 • z4
=
26
cis 15º
2
=
13
cis 210º
2
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
19.
z 2 • z3
= 13 cis 270º
z1 • z4
25. z1 = 2cis 20º, z2 = 2cis 80º, z3 = 2cis 140º, z4 = 2cis 200º
z5 = 2cis 260º, z6 = 2cis 320º
z z z
20. 1 2 3 2 13 cis 0°
z4
21. z2 = 9cis 240º
27. (z · z1)2 = 36cis 120º
22. z4 = 81cis 100º
28. z1 = 2cis 30º, z2 = 2cis 150º, z3 = 2cis 270º
23. z3 = 125cis 45º
29. 28cis 100º
24. z1 = 4cis 30º, z2 = 4cis 210º
30. z1 = 4cis 10º, z2 = 4cis 130º, z3 = 4cis 250º
26. z1 = cis 60º, z2 = cis 180º, z3 = cis 300º
1524
TABLAS
DE LOGARITMOS Y ANTILOGARITMOS
TABLA Tabla
DE LOGARITMOS
de logaritmos
N
0
1
2
3
4
5
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3
4
5
6
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8
9
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11
12
13
14
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0453
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1173
1492
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1523
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1239
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1271
1584
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0969
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1004
1335
1644
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1673
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1072
1399
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1732
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4
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3
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8
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6
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10
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23
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28
26
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3
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5
5
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11
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12
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6435
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1603
TABLAS
TABLA
DE
LOGARITMOS
(CONT
...)
Tabla
de logaritmos
(cont…)
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DE
ANTILOGARITMOS
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TABLAS
Tabla de valores de las funciones trigonométricas (cont…)
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DE VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Tabla de valores de las funciones trigonométricas (cont…)
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BIBLIOGRAFÍA
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