Download 1. ÁLGEBRA - UniversidadFinanciera.mx

HABILIDADES MATEMÁTICAS
Alejandro Vera Trejo
TEMARIO
1
2
3
4
5
6
7
8
ÁLGEBRA
MODELOS LINEALES
MODELOS NO LINEALES
INTERÉS SIMPLE
INTERÉS COMPUESTO
ANUALIDADES
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
BIBLIOGRAFIA
BÁSICA
1. Aurelio Baldor, “ALGEBRA”, por Editorial Patria, septiembre 2007.
2. Villalobos José Luis, "Matemáticas Financieras“ 2a Edición 2001 por Prentice Hall.
3 Alfredo
3.
Alf d Dí
Díaz Mata,
M
Ví
Víctor
M
Manuel
l Aguilera
A il
Gó
Gómez
" Matemáticas
M
ái
Fi
Financieras",
i
"
Tercera edición 1999 por Mc Graw Hill Interamericana.
4. Estadísticas para administración y economía, by David R. Anderson and Dennis J.
Sweeneyy ((Paperback
p
- Jan. 2,, 2008))
COMPLEMENTARIA
11. Perelman
Perelman, Yakov
Yako “Matemáticas recreativas”
recreati as” Martínez
Martíne Roca,
Roca España 2002.
2002
2. Deulofeu Jordi, “Gimnasia mental 131 juegos”, Martínez Roca, México 2003.
3. Cuellar Romero Nicolás, “Matemáticas para negocios, banca y comercio”, México
2001.
4. Tan Soo Tang, “Matemáticas para administración y economía”, 3ª Edición Cengage
Learning, México 2005.
OBJETIVO GENERAL
El estudiante será capaz
p de ggenerar un
razonamiento dirigido a la aplicación
de
operaciones
financieras
y
soluciones de diversos problemas
relativos al ámbito de negocios a través
de casos prácticos y solución de
problemas,
bl
utilizando
ili d
técnicas
é i
matemáticas.
1. ÁLGEBRA
Objetivo
Desarrollará la habilidad del uso del
álgebra como herramienta que
promueva
el
análisis
sobre
situaciones particulares de una
organización.
Plantearáá casos reales
Pl
l que conlleven
ll
al análisis y solución de problemas
g
Se aplicarán
p
expresiones
p
algebraicos.
algebraicas de situaciones reales para
el análisis y el razonamiento.
1. ÁLGEBRA
¿Qué es el Álgebra?
La ppalabra Álgebra
g
pprocede del árabe y
significa reducción y es la rama de las
matemáticas
que
estudia
las
estructuras las relaciones y las
estructuras,
cantidades.
Álgebra
Ál
b a diferencia
dif
i de
d la
l aritmética,
i éi
en donde solo se usan los números y
p
aritméticas ((como +,
sus operaciones
−, , ), en álgebra los números son
representados
por
símbolos
(usualmente a,
a b,
b c,
c x,
x y,
y z).
z)
1. ÁLGEBRA
¿Qué es el Álgebra?
Esto es útil porque:
p q
Permite la formulación general de
leyes de aritmética (como a + b = b +
a), y esto es el primer paso para una
exploración
sistemática
de
las
propiedades
i d d de
d los
l números
ú
reales.
l
Permite
referirse
a
números
"desconocidos", formular ecuaciones y
el estudio de cómo resolverlas.
Permite la formulación de relaciones
funcionales.
1. ÁLGEBRA
1.1 ¿Qué es un término algebraico?
Término algebraico:
g
es el pproducto
y/o división de una o más variables
(factor literal) y un coeficiente o factor
numérico Por ejemplo:
numérico.
3 xy 2
E este término
En
é i
algebraico,
l b i
tenemos
que 3 es el factor numérico y xy el
factor literal.
− ab
En este término algebraico,
algebraico tenemos
que -1 es el factor numérico y
el
coeficiente literal ab.
1. ÁLGEBRA
1.2 ¿Qué es una expresión algebraica?
Expresión
p
algebraica:
g
es el resultado
de combinar uno o más términos
algebraicos mediante las operaciones
de adición y/o sustracción.
sustracción Por
ejemplo:
− ab + 8x 2
4xy + x3 yz − 0,25y 2
1
3
− 5 pq − q 2 + 8 p 2 − r
3
5
1. ÁLGEBRA
1.2 ¿Qué es una expresión algebraica?
Se denomina ggrado absoluto de un
término algebraico, a la suma de los
exponentes de su coeficiente literal,
por ejemplo:
3 xy 2 tiene grado absoluto 1 + 2 = 3
El grado
d en relación
l ió all coeficiente
fi i
literal es el exponente de cada letra.
− 0,03a 5 b 2 c 3 de 4
tiene grado absoluto 5+2+3+1+4
5+2+3+1+4=15
15
1. ÁLGEBRA
1.2 ¿Qué es una expresión algebraica?
Cuando una expresión
p
algebraica
g
tiene
un sólo termino algebraico, recibe el
nombre de Monomio. Si la expresión
algebraica
tiene
dos
términos
algebraicos recibe el nombre de
Binomio. Si tiene tres términos
algebraicos,
l b i
recibe
ib ell nombre
b
d
de
Trinomio. Y en caso contrario si tiene
g
se
más de tres términos algebraicos,
denomina Multinómio.
Además, las expresiones algebraicas
Además
con exponentes positivos se llaman
polinomios.
1. ÁLGEBRA
1.2 ¿Qué es una expresión algebraica?
Por ejemplo:
j p
3 xy 2 Es un monomio (polinomio),
pues tiene un solo término algebraico
(con exponentes positivos).
E un binomio
bi
i (y
( es un
− abb + 8x
8 Es
2
polinomio).
1 2
− 5pq− q + 8p−2
3
Es un trinomio
(que no es un polinomio).
polinomio)
1. ÁLGEBRA
1.2 ¿Qué es una expresión algebraica?
Leyy de los signos
g
más x más = más
más x menos = menos
menos x más= menos
menos x menos = más
Signos diferentes dan negativo y
g
iguales
g
ppositivo. Estos solo
signos
funciona para multiplicación y
división. Suma y resta depende de los
números que acompañen al signo.
signo
1. ÁLGEBRA
1.3 ¿Qué es la valorización de expresiones
Algebraicas?
Es reemplazar
p
cada variable ppor un
valor numérico que le corresponde y
resolver las operaciones indicadas en la
expresión para determinar su valor
final. Por ejemplo:
3x − xy + 2xy
2
2
sii x=-11 e y = 2
Primero se reemplazan
p
las variables y
se realizan las operaciones:
3( −1) 2 − ( −1)( 2) + 2( −1)( 2) 2 = −3
1. ÁLGEBRA
1.4 ¿Qué es la reducción de términos semejantes?
Son los términos algebraicos
g
qque
tienen el mismo factor literal, es decir,
deben tener las mismas letras con los
mismos exponentes.
exponentes La reducción de
términos semejantes consiste en sumar
o restar aquellos que se encuentran en
alguna
l
expresión
ió algebraica.
l b i Ejemplo:
Ej
l
− 2a2b − 3a + 2 + 5ab− 8a +15+18ba2 −14a
Sumando los términos semejantes la
expresión queda:
16 a 2 b − 25 a + 5 ab + 17 .
1. ÁLGEBRA
1.5 ¿Para que sirve el uso de paréntesis?
En álgebra
g
los pparéntesis sirven ppara
indicar que las operaciones que ellos
encierran tienen prioridad ante las
demás o bien para indicar lo que está
demás,
dentro de ellos debe ser considerado
como un todo.
Para suprimir los paréntesis se siguen
g
reglas:
g
las siguientes
(i) Si un paréntesis es precedido por un
signo positivo,
positivo entonces se puede
suprimir sin cambiar los signos de los
términos que están dentro de ellos.
1. ÁLGEBRA
1.5 ¿Para que sirve el uso de paréntesis?
( ) En caso contrario,, si un pparéntesis
(ii)
es precedido por signo negativo,
entonces al suprimir el paréntesis los
términos que están dentro de él
cambian de signo.
En ell caso que a un paréntesis
E
é
i no le
l
preceda ningún signo, entonces se
entiende qque el pparéntesis tiene un
signo positivo.
Por ejemplo,
ejemplo en la siguiente expresión,
expresión
suprimir los paréntesis y reducir los
términos semejantes.
1. ÁLGEBRA
1.5 ¿Para que sirve el uso de paréntesis?
3x −(−2y + 4x +18y) +(−7x −3y + x) −5x
Para resolverlo se puede hacer de dos
formas una es eliminar los paréntesis y
formas,
luego reducir los términos semejantes.
Otra es reducir los términos semejantes
d
dentro
d l paréntesis
del
é
i y luego
l
eliminar
li i
los paréntesis, y nuevamente reducir
j
Aplicando
p
la
términos semejantes.
segunda forma:
3 x − (16 y + 4 x ) + ( − 6 x − 3 y ) − 5 x
= 3 x + − 16 y + − 4 x + − 6 x + − 3 y − 5 x
= − 12 x − 19 y
1. ÁLGEBRA
1.6 ¿Qué es la multiplicación de expresiones
algebraicas?
La más simple
p es la multiplicación
p
de
monomio por monomio. En esta se
multiplican los coeficientes numéricos,
la parte literal y se aplican las
propiedades de las potencias. Ejemplo:
(−3xy4 ) ⋅ (5x2 y2 ) = (−3)(5)x.x2 y4 y2 = −15x3 y6
Para multiplicar
p
un monomio ppor un
binomio, utilizamos la propiedad de la
distributividad de la multiplicación con
respecto a la adición,
adición esto es:
a(b + c) = ab+ ac= ba+ ca= (b + c)a
1. ÁLGEBRA
1.6 ¿Qué es la multiplicación de expresiones
algebraicas?
Para multiplicar
p
un binomio ppor un
binomio,
también se utiliza la
propiedad de la distributividad de la
multiplicación con respecto a la
adición. Esto es:
(a +b) ⋅ (c + d) = ac+ ad+bc+bd
En general esta propiedad se utiliza
ppara multiplicar
p
un monomio ppor
cualquier multinomio.
 − 3 − 2 − 3 2 3 2 4 2 3 1 2  3 − 3 − 2 
h k + h k − h k + hk  h k

4
3
3
2

 2

− 9 −5 −5
3
=
h k + 1 − 2 h −1 k + h − 2
8
4
1. ÁLGEBRA
1.7 ¿Qué es la factorización?
Es expresar
p
un objeto
j
o número ppor
ejemplo un polinomio como producto
de otros objetos más pequeños
(factores) (en el caso de números
(factores),
debemos utilizar los números primos)
que, al multiplicarlos todos, resulta el
objeto
bj original.
i i l Por
P ejemplo,
j
l ell número
ú
15 se factoriza en números primos 3x5
Sacar el factor común es añadir la
literal común de un polinomio,
binomio o trinomio,
trinomio con el menor
exponente y el divisor común de sus
coeficientes
1. ÁLGEBRA
1.7 ¿Qué es la factorización?
Factor común ppor agrupación
g p
de
términos. Ejemplos
ab + ac + ad = a (b + c + d )
ax+bx+ay+by= a(x + y) +b(x + y)
El siguiente se aprecia claramente que
p
el término ((x-y)
y)
se está repitiendo
5x (x − y) + 3x(x − y) + 7(x − y)
2
Y por lo tanto la factorización es:
(x − y)(5x + 3x + 7)
2
HABILIDADES MATEMÁTICAS
Alejandro Vera Trejo