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Polígonos
Relaciones fundamentales
2.0 Introducción
Se define como polígono la superficie definida por un conjunto cerrado de segmentos,
es decir que el origen del primero de ellos coincida con el extremo del último. Si este
conjunto es abierto lo denominaremos polilínea.
Las aplicaciones prácticas de los polígonos son numerosas. La principal es que
cualquier superficie puede discretizarse en triángulos y cuadriláteros, utilizándose estos
por ser los más simples. Cuantos más polígonos se utilicen, más precisa será la
modelización, pero a la vez más costosa de llevar a cabo. Si queremos estudiar un
fenómeno físico en el casco de un buque, podemos discretizarlo tal como se ve en la
figura, y estudiar el fenómeno físico en los triángulos y cuadriláteros, lo que
simplificará el estudio del problema.
Los polígonos se pueden clasificar en regulares o irregulares si tienen o no los lados
iguales. Suelen nombrarse por el número de lados que tengan, indicando si son o no
regulares. Empezaremos por los más básicos y los más utilizados.
2.1 Triángulos
2.1.1 Definición
Triángulo es la superficie plana limitada por tres rectas que se cortan dos a dos. Los
puntos de intersección se denominan vértices, y los segmentos comprendidos entre dos
lados se denominan lados. Los vértices, siguiendo la notación establecida se nombran
por letras mayúsculas, y los lados opuestos al vértice con la misma letra pero minúscula.
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Las 3 alturas de un triángulo son las perpendiculares a los lados desde los vértices
opuestos. Se llaman medianas de un triángulo las rectas que pasa por un vértice y el
punto medio del lado opuesto.
2.1.2 Propiedades fundamentales
- Un lado siempre es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
- La suma de los ángulos interiores es de 180º (Π radianes)
- Al mayor lado se le opone el mayor ángulo.
2.1.3 Clasificación
En función de los lados:
- Equilátero: los tres lados iguales.
- Isósceles: dos de sus lados son iguales y el tercero desigual.
- Escaleno: sus tres lados son desiguales.
En función de sus ángulos:
- Rectángulo: uno de sus ángulos es recto. El mayor de los lados de un triángulo
rectángulo se llama hipotenusa, y los otros dos lados catetos. En estos triángulos se
define el Teorema de Pitágoras.
- Acutángulo: sus tres ángulos son agudos (< 90º)
- Obtusángulo: uno de sus lados es obtuso (> 90º y < 180º)
2.1.4 Puntos fundamentales de un triangulo:
Los triángulos tienen algunas propiedades geométricas que merecen ser destacadas:
Ortocentro (O):
Las tres alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto, llamado Ortocentro. (Fig.
1).
Incentro (I):
Las bisectrices de los tres ángulos se cortan en el mismo punto, llamado incentro. Al ser
las bisectrices los lugares geométricos de los puntos del plano que son centro de las
circunferencias tangentes a los lados del ángulo. El incentro, será el centro de la
circunferencia tangente (inscrita) a los tres lados del triángulo. (Fig. 2).
Circuncentro (CC):
Las tres mediatrices de los lados se cortan en un punto llamado Circuncentro. Al ser las
mediatrices los lugares geométricos de los puntos del plano que equidistan de otros dos,
la intersección de estas tres bisectrices equidistará de los tres vértices, y este punto de
intersección será el centro de una circunferencia que pase por esos vértices (circunscrita
en el triángulo). (Fig. 3).
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Baricentro (G):
Las tres medianas se cortan en un punto llamado Baricentro. Este punto es el centro de
gravedad del triángulo, y equidista 2/3 de mediana del extremo mas alejado de esta, y
1/3 de mediana del extremo más cercano de la misma mediana, es decir GA = 2/3 AA1
y GA1 = 1/3 AA1, y lo mismo con los otros vértices respecto a sus medianas. (Fig. 4).
C
C
O
I
A
B
A
B
Fig. 1
Fig. 2
C
C
A1
B
1
G
CC
A
B
A
1c
B
Fig. 4
Fig. 3
2.2 Triangulo órtico y triangulo complementario
Dado un triángulo de vértices A, B y C, se denomina triángulo órtico (Fig. 5) al que se
forma si se unen los pies de las alturas del triángulo ABC. Este triángulo órtico tiene la
propiedad de que el ortocentro (O) de ABC se transforma en el incentro del triángulo
órtico, transformándose por tanto las alturas del triángulo ABC en bisectrices del
triángulo órtico.
Se denomina triángulo complementario de ABC (Fig. 5) al triángulo formado al unir los
puntos medios de sus lados. Este triángulo cumple que el circuncentro de ABC se
transforma en ortocentro del triángulo complementario, transformándose por tanto las
mediatrices del triángulo ABC en las alturas del triángulo complementario.
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C
C
hc
O
cc
ha
hb
A
A
B
B
Fig. 5: triángulo órtico y complementario
2.3 Segmento y circunferencia de Euler
Se cumple además que el ortocentro, baricentro y circuncentro se hallan alineados,
definiendo el ortocentro y el circuncentro el llamado Segmento de Euler. El baricentro
divide este segmento en 1/3 y 2/3 del mismo. La circunferencia con centro en el punto
medio del Segmento de Euler, se llama circunferencia de Euler, y pasa por los puntos
medios de los lados y los pies de las alturas. (Fig. 6), es decir, por los vértices de los
triángulo órtico y complementario.
O
G
CC
Fig. 6: segmento y circunferencia de Euler
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2.4 Teorema de Feuerbach
La circunferencia de Euler no sólo tiene las propiedades mencionadas anteriormente
sino que además cumple que es tangente a las circunferencias tangentes (Fig. 7) a los
lados del triángulo (Teorema de Feuerbach).
Hay tres circunferencias tangentes a los lados del triángulo. Una interior que tiene por
centro el incentro del triángulo y otras tres exteriores con centro en la intersección de las
bisectrices exteriores que correspondan.
A
B
C
Fig. 7: teorema de Feuerbach
2.5 Rectas de Simpson
Si de la circunferencia circunscrita a un triángulo, que tendrá su centro en el
circuncentro de dicho triángulo, se toma un punto Q (Fig. 8), y se hacen las
perpendiculares a los tres lados del triángulo cuyos pies serán Qa, Qb y Qc, se cumple
que estos 3 puntos están alineados y la recta que pasa por estos tres puntos se llama
recta de Simpson.
Qc
A
Q
Qb
B
C
Qa
Fig. 8: rectas de Simpson
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Las rectas de Simpson tienen además la siguiente propiedad. Si se toman dos puntos P y
Q (Fig. 9) de la circunferencia circunscrita a un triángulo, de forma que P y Q sean
diametralmente opuestos, y se dibujan las rectas de Simpson asociadas a dichos puntos,
las dos rectas de Simpson dibujadas se cortan en un punto que pertenece a la
circunferencia de Euler de dicho triángulo.
Qc
A
Q
Pb
Qb
C
B
Pa
Qa
Pc
P
Fig. 9: propiedades de las rectas de Simpson
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2.6 Cuadriláteros
2.6.1 Definición
Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados.
2.6.2 Clasificación
Atendiendo a sus ángulos:
Rectos si todos sus ángulos son de 90º, u oblicuos si no lo son.
Atendiendo a sus lados:
Regulares, si sus lados son iguales, o irregulares si no lo son.
Los más normales son el cuadrado, el rectángulo, el rombo, el romboide (como el
rombo pero sus lados no son iguales), el trapecio isósceles (dos lados paralelos y los
otros dos iguales), el trapecio escaleno (dos lados paralelos y los otros distintos),
trapezoide (todos los lados distintos), trapezoide biisosceles (lados iguales dos a dos).
Las propiedades más importantes de ciertos cuadriláteros están relacionadas con sus
diagonales. En el cuadrado, sus diagonales, son iguales, se cortan en su punto medio y
son perpendiculares entre si. En el rectángulo, sus diagonales son iguales, se cortan en
su punto medio pero no son perpendiculares.
En el rombo, sus diagonales no son iguales, pero se cortan en su punto medio y son
perpendiculares. En el romboide, las diagonales no son iguales, se cortan en su punto
medio y no son perpendiculares. En el trapecio isósceles las diagonales son iguales,
pero no se cortan en su punto medio ni son perpendiculares.
Cuadrado
Romboide
Rectángulo
Trapecio isosceles
Trapezoide
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Rombo
Trapezoide escaleno
Biisosceles
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2.7 Cuadriláteros inscriptibles
Todo triángulo es inscriptible en una circunferencia, que tendrá por centro el
circuncentro de dicho triángulo. En cambio no todo cuadrilátero será inscriptible, sino
que tendrá que cumplir una serie de condiciones (Fig. 10). Estas son que los ángulos
opuestos han de ser suplementarios (CDA + CBA = 180º, DCB + DAB = 180º), y que
las bisectrices de los ángulos formados al prolongar los lados, han de ser
perpendiculares entre si.
A
B
D
C
Fig. 10: cuadrilátero inscriptible
2.8. Construcción de polígonos regulares
Existen dos casos para construir un polígono regular de n lados: que conozcamos el
radio de la circunferencia en la que el polígono regular está inscrito, o que conozcamos
el lado del polígono.
2.8.1 Área de un polígono regular
El área de un polígono regular es el producto de su perímetro (p) por su apotema (a),
dividido por dos. La apotema es el radio de la circunferencia inscrita en el polígono. La
demostración de la fórmula se basa en dividir al polígono regular en triángulos
isósceles, con vértice en el centro del polígono, calcular el área de estos triángulos, y
sumarlas.
p.a
S=
2
Nota: La apotema de las caras laterales de una pirámide recta de base un polígono
regular, es la altura de los triángulos isósceles que forman las caras.
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2.8.2 Polígono regular conocido el radio
Con centro en los extremos A y B de un diámetro del círculo, trazamos arcos de radio el
diámetro del circulo, que se cortarán en C. Dividimos el diámetro AB en tantas partes
como lados tenga el polígono. Uniendo C con las divisiones pares, tenemos en la
intersección con la circunferencia los vértices del polígono buscado. (Fig. 11). En este
caso el polígono es de 7 lados.
A
C
B
Fig. 11: polígono regular conocido el radio
2.8.3 Polígono regular conocido el lado
Con centro en A y B y radio el lado dado, trazamos dos arcos que se cortan en el punto
6. Este será el centro del hexágono de lado dado. Si dividimos el lado en 6 partes, las
trasladamos según la figura al lado A6, y con centro en 6 las llevamos a la recta
perpendicular a lado y que pasa por 6, tendremos los centros de las circunferencias que
contienen a los polígonos de lado el dado, y número de lados según figura en la Fig. 12.
Sólo falta trasladar el lado sobre la circunferencia deseada con el compás.
12
11
10
9
8
7
6
A
B
Fig. 12: polígono regular conocido el lado
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2.9 Teorema de los polígonos cerrados
Para enunciarlo se necesitan dos circunferencias, una interior a la otra. Se enuncia de la
siguiente forma, aplicado a un triángulo: Si se cumple que tomando un punto P1 (Fig.
13) de la circunferencia grande, y haciendo desde éste la tangente a la circunferencia
pequeña, esta tangente corta a la grande en P2 y desde éste se vuelve a trazar la tangente
obteniéndose P3, y resulta que el segmento P3 P1 es tangente a la circunferencia pequeña
entonces se cumplirá siempre que para cualquier punto que se tome de la circunferencia
grande (Q1, S1) , y se repita la operación de trazar tangentes, se obtiene un triángulo
(polígono cerrado) tangente a la circunferencia pequeña.
Fig. 13: teorema de los polígonos cerrados aplicado al triángulo
En el caso del triángulo, la posición de las dos circunferencias es sencilla de obtener
pues basta tomar la circunferencia pequeña como la circunferencia inscrita a un
triángulo cualquiera con centro en su incentro, y la grande como la circunferencia
circunscrita a ese mismo triángulo, con centro en su circuncentro.
El teorema se puede generalizar para un polígono cualquiera de n lados. Siempre que
dadas las dos circunferencias se cumpla que se obtiene un polígono cerrado al hacer las
tangentes a la circunferencia pequeña, se obtendrá siempre para cualquier punto de
partida tomado en la circunferencia grande. La dificultad principal resulta en encontrar
las dos circunferencias que lo cumplan.
Otra forma fácil de verlo, es usando un polígono regular cualquiera y sus
circunferencias inscrita y circunscrita. En el caso de la figura 14 se ha usado un
pentágono regular. Partiendo de un punto cualquiera P1 y haciendo tangentes a la
circunferencia pequeña, siempre se obtiene un polígono cerrado, en este caso un
pentágono.
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Fig. 14: teorema de los polígonos cerrados aplicado un polígono regular
2.10 Teorema de Pascal
El teorema de Pascal se aplica a hexágonos. Se enuncia de esta manera: dado un
hexágono cualquiera (Fig. 15) se toma un lado cualquiera y desde los vértices de este
lado (P3, P2) se trazan las diagonales principales (P2 P5 y P3 P6) cortándose en B, desde
estos mismos vértices se trazan las diagonales secundarias (P3 P1, P2 P4) que se cortan
en A y lo mismo desde el lado opuesto al tomado (P6 P4 y P5 P1) que se cortan en C,
estos tres puntos A, B y C están alineados. El teorema se aplica hexágonos regulares e
irregulares
Fig. 15: teorema de Pascal
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2.11 Relaciones de igualdad, semejanza y equivalencia
2.11.1 Igualdad
Se dice que dos figuras son iguales, si superpuestas coinciden, o lo que es lo mismo sus
ángulos y lados correspondientes son iguales. Para hacer una figura igual a otra, nos
basta con trasladar sus ángulos y sus lados.
2.11.2 Semejanza
Dos figuras son semejantes cuando teniendo igual forma sus dimensiones son distintas.
Los diversos elementos de las figuras semejantes que se corresponden se llaman
homólogos, y sus magnitudes son proporcionales entre sí. Dos figuras son semejantes si
sus ángulos
correspondientes son iguales. Esto implica que los lados sean
proporcionales, en una magnitud constante llamada razón de semejanza.
C
A
D
C1
A1
D1
B
B1
O
Fig. 16: figuras semejantes y homotéticas
Dentro de la semejanza se encuentra la homotecia. Dado un punto O, se dice que dos
puntos A y A1 son homotéticos si se cumple que el producto de sus distancias a O es
constante. Es decir OA1 = OA· k, donde k es la razón de homotecia. Dos figuras
homotéticas con razón k>0 son semejantes (Fig. 16), pero no al revés (Fig. 17). En esta
figura las dos figuras son semejantes (Se ha girado la pequeña por uno de sus vértices),
pero no homotéticas, al no existir centro de la homotecia.
Fig. 17: figuras semejantes no homotéticas
Dentro de la homotecia, está la simetría, en la que k = – 1.
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La homotecia transforma rectas en rectas y circunferencias en circunferencias, es decir,
es una transformación afín. Dada una figura, para calcular su homotética conocidos la
razón y el centro, sólo tenemos que ir calculando los puntos homólogos de los de la
figura, mediante OA1 = OA · k, que puede hacerse mediante una calculadora, midiendo
y multiplicando, o basarnos exclusivamente en la geometría y más concretamente en el
teorema de Tales, como veremos a continuación.
En la Fig. 16 la razón es k = 0.5. Para trazar la figura homotética, se traza primero el
homotético del punto A. Para ello se une O con A y se multiplica por la razón 0.5, o lo
que es lo mismo, en este caso se divide el segmento OA por 2. Ya tenemos el punto A1.
Trazamos la paralela por A1 a AB y ya tenemos B1, y así sucesivamente pues los lados
serán paralelos en ambas figuras.
P'
P
O
O1
O1'
Fig. 18: homotética de una circunferencia
Para calcular la homotética de una circunferencia (Fig. 18), basta hallar el homotético
O1’ de su centro O1 y el de otro punto P cualquiera de la misma. La circunferencia
homotética tendrá por centro O1’ y radio O1’ P.
2.11.3 Equivalencia
Se dice que dos figuras son equivalentes si tienen igual área. Esta es una propiedad
física interesante pues dos figuras planas que pueden asemejarse a dos chapas, si tienen
igual área y poseen el mismo espesor, van a tener igual masa siempre que sean del
mismo material.
Los casos más simples de equivalencia son los que se dan con triángulos (Fig. 19). Los
triángulos ABC, ABD y ABE son equivalentes. Por tener la misma base AB y altura
(los puntos C, D y E estás situados en una paralela a la base AB), su área será la misma.
D
C
A
E
B
Fig. 19: triángulos equivalentes
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En el caso de querer realizar un triángulo equivalente a otro ABC, pero de distinta base
AD (Fig. 20), se procederá de la siguiente manera: Se lleva la base AD sobre la base AB
del triángulo original. Se traza una paralela por el vértice C a la base AB, que cortará a
la perpendicular en el extremo A de la base, en el punto E. Se traza la paralela BF a DE.
Por el teorema de Tales se cumplirá que AF · AD = AB · AE, lo que indica que los
triángulos ABC y ADF tienen igual área. Cualquier triángulo que tenga de base AD y
su otro vértice G en la paralela a AD por F, tendrá el mismo área que el triángulo
original ABC.
G
F
C
E
A
D
B
Fig. 20: triángulos semejantes con distinta base
En el caso de querer calcular un cuadrado de lado l equivalente a un triángulo dado de
base a y altura h, se tendrá que cumplir que l2 = ½ · a · h, o geométricamente que el lado
l es media proporcional entre la base a y la mitad de la altura (Fig. 21).
l
h
a
a
h/2
Fig. 21: cuadrado equivalente a un triángulo
Si se quiere construir un rectángulo de lados c y d del que se conoce uno de sus lados,
equivalente a un triángulo de base a y altura h, se cumplirá que c · d = ½ a · h y
despejando el lado incógnita c, c = ½ · a · h / d, o geométricamente hablando, c será la
cuarta proporcional de los segmentos a/2, h y d.
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