Download Estructura geométrica y algebraica de las mecánicas clásica y

Revist.a INTEGR.ACION
Universidad Indust.rial de Sant.ander
Escuela de Mat.emáticas
Vol. 13, No 1, p. 116, enero-junio de l!J!}r,
Estructura geométrica y algebraica de las
mecánicas clásica y cuántica
BERENICE GUERRERO·
OSWALDO LEZAMAt
La mecánica clásica considera el mundo formado por puntos materiales, llamados partículas, cada uno caracterizado por su masa (no nula), su posicióu
(punto geométrico) y su velocidad (vector), sometidos a una fuerza (ley física).
En un modelo físicointervienen los siguientes elementos: El espacio de posición
de las partículas llamado espacio de configuración.
El espacio formado por
el conjunto de estados instantáneos, llamado espacio de estado o espacio
de fase y las leyes físicas que determinan cómo se lleva a cabo el cambio d<,
los estados, llamadas los observables.
Tanto el espacio d.e configuración'como el espacio de fase tienen estructuras
geométricas, cuyas características y propiedades matemáticas constituyen la
herramienta básica del estudio de los sistemas físicos. Las cantidades físicas 1I
observables tienen estructuras algebraicas sobre el espacio de fase y determinan
las leyes que gobiernan los movimientos en un sistema físico.
El propósito de esta notas es mostrar las diferentes estructuras tanto geométricas como algebraicas que subyacen en los diferentes sistemas físicos de la
mecánica clásica y su relación con las estructuras de la mecánica cuánti<'a.
"Depart.amento
de Mat.emát.icas y Estadíst.ica. llniversidad
(bguerrer@hernel'Ot,eca.icfes.gov.eo)
tDepartament.o
de Mat.emát.icas y Estadística. Universidad
gotá. COLOMBIA. (olezama@hemcrnleea.icfes.gov.co)
Nacional
de Colombia.
Bo-
Naeional
de Colombia.
flo
gotá, COLOMBIA.
Los trabajos citados en la bibliografía han sido la fuente para la realización de
estas ndtas.
Ejemplo 1. Una partícula de ma..<;am que se mueve a lo largo de una recta
R. El espacio de coofiguraciónde
este sistema físico es la recta R.
Un estado instantáneo de la partícula nos determipa su· posición x sobre la
recta y su velocidad v. El con,junto de todos los estados instantáneos es el
espacio de estado T R,
Si suponemos que la partícula es sometida a una fuerza F, dada por una ley
física, F : R ~ IR,el estado de la partícula en el tiempo t depende del estado
inicial (xo, vo) en el tiempo to Y de la fuerza F. El conjunto de funciones F
forma el espacio de los observables del sistema.
Ejemplo 2. Consideremos dos partículas que se mueven en el espacio IR3,con
posiciones x 1 y X2 respectivamente,
cuyas coordenada..<;son
Xl
( 1 2 3) ,
= q, q , q
entonces el espacio de configuración M de este sistema es el conjunto de posiciones del par de partículas, es 'decir,
M = {(Xl.
X2)
E
R3 x R31xl
::f: X2}'
Si VI es la velocidad de la partícula situada en Xl y V2 es la velocidad de la
partícula en X2, entonces el espacio de estado es el conjunto formado por los
vectores velocidad en cada posición, esto es,
El conjunto de vectores velocidad v en un punto del espacio de configuración,
es un espacio vectorial que notamos por TqM para q E M, con q = (Xl, X2) =
(q 1, q2, q3, pl, p2, p3) .
. En los ejemplos anteriores los e~pacios de configuración de los sitemas son
abiertos del espacio euclidiano IRn,y los espacios de estado son espacios vectoriales formados por los vectores velocidad en cada posición.
Debido a las características que debe reunir el espacio de configuración para
interpretar un sistema físico, la estructura más apropiada para este espacio es
la de variedad diferenciable, es decir, un subconjunto delRn que sea unión suave
de superficies, donde podamos hablar de vector tangente, espacio tangente,
fibrado tangente, campo vectorial, dual del espacio tangente, etc.
Cuando el espacio de configuración es una variedad M, en lugar de trabajar con
las coordenadas cartesianas usuales, usamos las coordenadas generalizadas, es
decir, coordenadas locales de tal manera: que la teoría física sea independiente
d.e la escogencia de coordenadas.
La mecánica clásica puede ser newtoniana, lagrangiana Q hamiltoniana. Las
diferencias entre estos sistemas físicos. tienen que ver con la estructura del
espacio de configuración sobre el cual se define cada uno de estas mecánicas.
La mecánica newtoniana estudia. el movimiento de un sistema de puntos con
una masa, en el espacio euclidfano. Las propiedades básicas de la mecánica
newtoniana son invariantes respecto del grupo (de Lie) de movimientos euclidianos (observables) de ese espacio.
La mecánicalagrangiana describe el movimiento de un sistema mecánico cuyo
espacio de configuración tiene estructura de variedad diferenciable. Los observables de esta mecánica son difeomorfismos(ful,lciones lagrangianas) que
, actúan sobre el espacio tangente. Las propiedadades básicas de la mecánica
lagrangiana son invariantes respecto del grupo de estos difeomorfismos.
En un sistema mecánico hamiltoni~no el espadode configuración está dado
por una variedad de dimensión par con estructura simpléctica y el movimiento
del sistema depel,lde.de una funclón. sobre el espacio de fase (func~ón hamiltoniana). Los conceptos y las propiedades hásica de la mecánicahamiltoniana
son invariantes respecto del grupo de difeomorfismos simplécticos, es decir,
difeomorfismos sobre el espacio de fase que preservan su estructura simpléctica.
Desde sus comienzos las leyes de la mecánica han estado formuladas sobre bases
geométricas y algebraicas. Es decir, los espacios sobre los que se construyen
modelos mecánicos tienen estructuras geométricas,y los observables de los
sistemas físicos tienen estructuras algebraicas bíén determinadas.
De los comentarios anteriores podemos concluir que un sistema físico tiene
una estructura geométrica compuesta por un espacio de configuración M que
generalmente es una variedad diferenciab1e. Los elementos q (t) de ese espacio
M representan configuraciones instantáneas
del sistema físico, y el vector
v (to) = !!.-q (t)/
dt
es la velocidad
de' la partícula
= 4 (ta)
to
en el tiempo to.
Para cada q (to) E M el conjunto de los vectores velocidad v (t) en to son vectores tangentes al espacio M en el punto q (to), Y forman un espacio vectorial
llamado el espacio tagente a M en el punto q (to) que notamos por Tq(to)M.
La unión de los espacios tangentes TqM cuando q recorre M forma el fibrado
tangente T M sobre M. Entonces un punto del fibrado tangente T M describe
la posición y la velocidad de varias partículas del sistema en un Cierto tiempo.
Por ello podemos interpretar T M como al espacio cinemático.
Si 11, es la dimensión del espacio de configuración M, todo sistema de coordenadas locales (q1, ... , qn)sobre
M da lugar a un sitema de coordenadas
locales sobre el fibrado tangente T M, dado pór (q 1, ... , qn, V 1, ... , V n), donde
los vi con i = 1, ... ,11, son las coordenadas del vector velocidad. Entonces, un
cambio de coordenadas sobre T M corresponde a un cambio de coordenadas
sobre NI y viceversa.
De la misma forma como definimos el fibrado ,tangente, podemos definir el
fibrado cotangente T* M, dual de TM. Para cada q E M, el espacio dual T; M
del espacio tangente TqM es el espacio vectorial de las funciones lineales,
T;M
=
(TqM)*
=
{p: TqM -
R}.
La unión de los espacios vectoriales duales T; M cuando q recorre
fibrado vectoría! T* M sobre M, llamado el fibmdo c.otangente.
Mes
el
En términos de las coordenadas locales, dado q E M q = (q 1, ... ,q n), si
notamos por 4 = (41, ... ,4n) las coordenadas de la velocidad, entonces
(q
1,
... ,q n·1
,q , ... ,q.n)
forman un conjunto de coordenadas locales sobre TM. De la misma forma, si
notamos por p = (P1, ... ,Pn) las coordenadas duales sobre el espacio vectorial
T; M,es decir, Pi : T~M - R entonces
forman un conjunto de coordenadas locales sobre el fibrado cotangente T* M.
Por lo tanto la dimensión de los espacios tangente y cotangente es 2n.
Los movimientos de un sistema mecánico están dados por curvas J.t (t) definidas
sobre el espacio de configuración M o sobre el espacio de fase T M o T* M,
gobernadas por leyes físicas que nos dicen cómo ca.mbia un estado del sistema
en el tiempo.
En mecánica newtoniana un movimiento del sistema está dado por una curva
con valores en M definida sobre un intervalo 1
J.t
J.t
(t)
= q (t) =
(q
1
(t) , ... , qn
(t») ,
donde n es la dimensión del espacio M. J.t es una trayectoria en el espacio
de configuración que nos determina un cambio del sistema físico en el tiempo,
gobernado por la ecuación newtoniana del movimiento, la cual para q E M
está dada por la igualdad
..
i
8F
m'iq = ~-.,
8q
l.
donde F es una cantidad física del sistema (fuerza u observable) y ij la segunda
derivada de q respecto del tiempo.
En un sistema mecánico lagrangiano el movimiento está determinado por la
función lagrangiana L : T M -. IR, definida sobre el fibrado tangente del espacio
de configuración, y gobernado por la ecuación,
d (aL.).
_- aLoq'
8tj
dt
llamada la ecuación de Euler-Lágrange.
En el caso general de Un sistema hamiltonial1o el Illovimiento está determinado pOL el hamiltoniáno (H), función definida sobl'e el fibrado cotangente
(con estructti'rade variedad simpléctica) H : T* M-. IR,Y gobernado por las
ecuaciones de Hamilton
. ()
Pi t
=-
8H (
8qi
)
q, P ,
,
.i ()
q
t
=
8H (
)
8Pi q, P,
donde (ql (t) , ... , qn (t), Pl (t) , ... , Pn (t»), es una trayectoria sobre el espacio
T*M.
En los sistemas mecánicos más simples, el espacio de fase es el espacio vectorial
real T M de dimensión 2n con coordenadas (ql, ... , qTl, tjl, ... ,tjn), las cuales
dl'snilwll la posición y la velocidad de las partículas que componen el sistema.
En sistemas más dos el espacio de fase es el fibradocotangente T* M del espacio
de configuración ]vI.
En \ln sistema mecánico clásico las fuerzas están dadas por una energía cinética
definidas· sobre el fibrado tangente del espacio de
cOllfiguración.
y una energía potencial,
La enegía cinética r es una función del fibrado tangellte a valores reales, r :
IR, la cual, restringida al espacio vectorial Tq1'4, para cada q E M es
\lna métrica sobre M. Es decir,
T Al
-~t
donde (-,.) es un producto interno en TqM.
La energía potencial V definida sobre el fibrado tangente T M,
('sLí determinada por el potencial V: M --+ IR(levantamiento de V), el cual
('S \lna función diferenciable sobre et'espacio de configuración 1'4.
l Jil cllergía total es la: función definida sobre el fibrado tangente T M por la
Sllllla de estas dos enegías:
El trahajo de Lagrange consistió en determinar las leyes del movimiento en
tL"rminos de la función L = r - V, definida sobre el fibrado tangente T M,
llamada el lagrangiallo del sistema.
Es decir, dada una trayectoria JL(t) = (q(t),tj(t))
sobre el espacio de fase
LagTange encontró que el movimiento del sistema está gobernado por la
'1'/1'[,
llamada la (~cun.cíón de EuieT-Ln.grn.nge, donde q1, ... , qn, tj1, ... ,tjn son las
coordenadas locales sobre T M conqilas
coordenadas de la velocidad vi y
L=I'-V.
Hamiltoll llegó a un resultado equivalente partiendo de la transformación de
LegelHlre 1\ .Yde la función de Lagrange L, no necesariamente de la forma
('-
V.
La formulación hamiltoniana consiste en lo siguiente: dada la transformación
de Lagrangc L : T M --+ IR,para cada v en el espacio tangente TqM sea I\q (v)
Áq
(v, w) =dd L (v
t
+ tW)1
t==O
para q E M Y v,w en TqM.
Con base en estas funciones Áq para cada q E M, la transformación de Legendre Á determinada por L, la cual relaciona los fibrados vectoriales T M Y
T* M, está dada por la función '
para q
E
M Y V,w en TqM.
Cuando L
= r - V,
la función de Legendre Á es un difeomorfismo de fibrados
los espacio cinemático T M Y de fase
y, por lo tanto, se pueden intercambiar
T*M.'
Dada la tranformación de Legendre A" la energía total E : T M
definida por la iguaJ.dad
para q
E
M Yv
E
-+
R está
TqM.
Si la función de Lagrange L es igual a r - V, esta energía E se puede escribir
en coor d·ena d as 1oca 1es (.)
q, q = q ln'l
, .. " q , q ., . , : ' q·n como
aL
aL)' q..i', - L '(q, q.) ,
E (q, q.) = ( 8¡¡Í
r(q,q)=(q,q)=2
(:~)
qí _ L (q, q)
ar
aqi = aqi'
1
'í";
9íjq q
= 2r (q, q) - (r (q,q) - V (q))
= r'(q, q)
= E(q,q),
+ V (q)
es decir, E =
r + V,
como se tenía con Lagrange.
La función hamiltoniana es la función sobre el espacio de fase T* M que satisface la igualdad H o /\ = E, la cual en coordenadas podemos escribir como:
n
H (q1, ... ,q7,\pl, ... ,Pn)
= LPi'/
- L (q,4).
1
J.L
(t) = (q1(t),
... ,qn (t) ,Pl (t), ... ,Pn (t)),
con Pi, i = 1, ... , n las coordenadas duales, Hamilton encontró que los movimientos del sistema físico están gobernados por el sistema de ecuaciones
diferenciales de primer orden:
dqi
8H
-=-. -,
dt
8Pi
Puesto que las ecuaciones que gobiernan el movimiento. según Lagrange se
cumplen para trayec:toriasr¡ (t) en el espacio de estado T M, Y puesto que cada
trayectoria sobre T M induce una trayectoria (/\ o p:) (t) sobre el espacio de
fase T* M, entonces las ecuaciones hamiltonianas del movimiento se tienen si
y solo si las ecuaciones de Euler-Lagrange se cumplen. Es decir, las ecuaciones de Hamilton (2) son equivalentes a las ecuaciones de Euler-Lagrange
(1), mediante la transformación de Legendre, como Hamilton lo demostró.
Si F : T* M - R es una función que representa una cantidad física sobre el
espacio' de fase, la derivada de F respecto del tiempo es la función sobre el
fibrado cotangente:
F
= L(8F.
dqi
.
8q' dt
.
F =
,
+ 8F
(8F 8H
¡:
, 8qi 8Pi -
dPi') .
8Pi dt
8F8H)
8Pi 8qi
.
Esta expresión puede simplificarse introduciendo el corchete de Poisson {" .}
de dos funciones suaves F y G sobre el espacio de fase T* M mediante la
igualdad
F G =
(8F 8G _ 8F 8G)
, 8qi 8Pi 8Pi 8qi .
{, } ¡:
Este corchete .es independiente de la escogencia. del lagrangiano L y del hamiltoniano H.
Si la transformación de Legendre A : T M ~ T* M es un isomorfismo, entonces
existe un corchete dePoisson sobre el fibrado T M que dependc de L, inducido
por el corchete de pbisson dcfinido en T* M Y por la transformación' A, dc
tal manera que las leyes de la dinámica se pueden expresar para toda función
suave F : T M ~ IR por la igualdad
Recordemos quc un Corchete
de Poisson
sobre una varicdad M cs ulla
aplicación bilineal sobre el espacio de funciones suaves Coo (M) que satisface
las siguientes condiciones:
(a) {E, G}
-(b) {F, GH}
= -{G, F} antisilllctría.
= H {F, G}
(c) {F, {G, H}}'
+ G{F,
+ {G,{H,F}}
H} Rcgla dc Leibniz.
+ {H, {F, G}} = O Identidad de .Jacobi.
Una variedad M con Ull corchete de Poisson definido sobre las funciones diferenciables
oo' (M), se llama una variedad
de Poisson.
e
Cuando el espacio de configuración M de un sistema físico cs una variedad,
el corchete (4) define un corchete de Poisson sobre el esp~cio de funciones
diferenciables Coo (M), con lo cual M es una variedad dc Poisson.
En mecánica clásica las cantidades físicas, o sea los observablr.s, son identificados coh las funciones sóbre el espacio de fasé <5= T M 0<5 = T* M, Y forman
el espacio A = Coo (<5). Esto se debe a que las cantidades físicas definidas sobre el eflpacio de ~onfiguación M determinan en forma natural las cantidades
físicas definidas sobre el fibrado tangente T M o sobre elfibradb cotangente
T* M. En esta sección identificaremos las estructuras algebraiclts que posee el
espacio de observables A= C~ (~).
'
El espacio de las funciones diferellciables A = Coo (lB) es un álgcbra asociativa
y conmutativa sobre los reales con respecto a la adición y multiplicación usual
de funciones. Además, el corchete de Poisson (4), definido sobre este espacio,
le da a A = Cco (Q;) una estructura de álgebra de Lie. Si Q; es un grupo de
Lie, el álgebra A = Coo (Q;) tiene también estructura de álgebra de Hopf, como
veremos a continuación.
Sea A un álgebra sobre los reales. Se dice que Aes de Hopf si A posee una
comultiplicación
~, una counidad
E y una antípoda
8, las cuales cumplen
las siguientes condiciones:
donde 1 representa la idéntica de A y A ® A es el producto tensoria1. La
imagen de a E A mediante ~ se acostumbra a denotar por
~(a) = I:a'®a";
(a)
/1 :
A
--->
a E
A.
',2
A ® IR es el isomorfismo natural definido {>or "l (a) = a ® 1,
se define de manera similar. (Las condiciones' (i) y (ii) definen
sobre A una estructura de coálgebra).
'
(iii) ~ Y f son morfismos de álgebras. (Sobre A®A se considera la estructura
natural de IR-álgebra dada por el producto (a ® b) (c ® d) = ac ® bd.
Además, las condiciones (i), (ii) Y (iii) definen sobre A una estructura
de biálgebra).
(iv) 8 : A
--->
A es una aplicación lineal que cumple las siguientes
m o (8 ® 1) o '¿l = i o E,
condi-
m o (1 ® $) o ~ = i ()f;
m : A ® A ---> A denota la multiplica.ción de A, m (a ® b) =ab, e
i : IR ---> A representa la a.plicación lineal que define el elemento unidad
de A, i (1) = 1.
El álgebra de Hopf A se acostumbra a notar por (A, m, i, ~,'f, 8); se dice que
si m es una operación conmutativa., es decir, ab = ba para
cualesquiera elementos a y b de .A.. A es coconmutativa
si
A es conmutativa
donde
T :
A®A
--+
A®A es la aplicación lineal definida por
T
(a ® b) = b®a.
Ya estamos en capacidad de mostrar que si el espacio de fase 1.5 es un grupo
de Lie, entonces el espacio de observables A = Cco (1.5) es un álgebra de Ropf
conmutativa.
Sabemos que A es una IR-álgebra asociativa, conmutativa y con
unidad. El producto en 1.5
1.5 x 1.5
--+
1.5
(g, h)
t--+
gh
permite definir la comultiplicación,
isomorfismo natural
CCO(6) ® Cco (6)
F' ® F"
~
~
la counidad
y la antípoda.
En efecto, el
Cco (6 x 1.5)
(F' F") (g,h) = F' (g) F" (h)
Cco (1.5)® Cco (1.5)
.1. (F)(g, h) = F (gh).
e
Cco (0)
F (e),
F
donde e es el elemento neutro del grupo 1.5.
La antípoda
se define por
Cco (1.5)
F
para cada
CCO(I.5)
S (F) (g) = F (g-l)
9 E 1.5.
La verificación de las condiciones (i)-(iv) es un ejercicio sencillo. Veamos
adicionalmente que si 1.5 es un grupo abeliano entonces A es coconmutativa:
sean F E A y g, h E 1.5; entonces
T
0.1. (F) (g, h)
= L F"
(g) F' (h)
(F)
= L F'
(h) F" (g)
(F)
=
=
=
F (hg)
F (gh)
.1. (F)(g, h) .
Luego si el espacio de fase <!S es un grupo de Líe abeliano, entonces el espacio de
observables A = Cco (~) es un álgebra de Hopf conmutativa y coconmutativa.
Podemos ahora preguntamos si existe una relación de compatibilidad entre la
estructura geométrica de ~ (variedad de Poisson) y la estructura algebraica
de A (álgebra de Hopf).
Sean ~ un grupo de Lie y A = Cco (~) el álgebra de funciones suaves sobre ~;
se dice que ~ es un grupo de Lie-Poisson si 0 es una variedad de Poisson con
corchete {, } : A 0 A -4 A tal que la comultiplicación d de A es compatible
con el corchete, es decir,
donde A2 (Q) es el producto exterior de grado 2 de g, es una solución de la
ecuación de Yang-Baxter clásica, es decir,' si los 3-tensores
T12
= 2:rijxi
0 Xj 0 1,
T13
= L:rijxi
0
i 0 Xj,
r23
= L: rij10
iJ
~j
[T12, T13
iJ
+ r23] + [r¡3,
r23]
= O,
con [.,.] en A3 (Q), entonces el corchete inducido por r
{F, G} =
L:rij
i,j
(8~F8jG - 8iF8jG),
Xi
0 Xj
define sobre A una estructura de álgebra de Hopf-Poisson. 8~y 8i denotan
los campos vectoriales invariantes a derecha e izquierda respectivamente, los
cuales vienen dados por
=!!:...F (etxig)!
(8:F) (g)
dt
donde
9 E llS
Ye :g
---+ llS
'
t::::Q
es la aplicación exponencia1.
La idea de cuantización que expondremos en la próxima sección está gobernada
por las relaciones (5), (6) Y (7) que acabamos de presentar.
Posiblemente la forma más sencilla de entender la idea de cllantización es la
siguiente: el mundo y sus sistemas físicos son cuánticos, la mecánica clá..,icay
sus sistemas físicos no son más que aproximaciones del mundo cuántico; cada
sistema clásico corresponde a uno cuántico, el cu'al, en la situación límite en
que los parámetros cuánticos convergan a (~ero,restaura el sistema clásico original. Esta idea sencilla, pero imprecisa de la cuantizacióu, puede formalizarse
(aunque no de manera única) mediante las estructuras geométrico-algebraicas
de las secciones anteriores. La idea de cuantización que consideraremos enseguida es la presentada en [11J y corresponde a la llamada cuantización
de
Hermann
Weyl (otros métodos de cuantización pueden leerse en [12]).
Sea llS un grupo de Lie-Poisson concotchete dado por (6); la cuantización
del álgebra A = Coo (llS) de observables, consiste en definir unu'uevo producto
*h :
A®A
que depende de un cierto parámetro h
condiciones:
E
---+
A,
IRtal que se cumplen las siguientes
(i) El espacio Ah = A con el producto *h es un álgebra asociativa, no
conmutativa y con la misma unidad de A.
(ii) Si h = O el producto en Ah coincide con el producto en A.
(ili) La estructura de coálgebra de Ah coincide con la de A.
(iv) ~ (F *h G) = ~ (F) *h ~(G).
(v) 11....•
lim0
t (F *h G 1.
G *h F)
= {F, G}
(límite semi-clásico)
(cl producto natural *h inducido en Ah 0 Ah viene dado por (F10
(Gl 0 G2) = (Fl *h Gl) 0 (F2 *h G2)).
F2) *h
Surgc ahora la siguiente pregunta: ¿Es cuantizable cada grupo de Lie-Poisson
Q; con corchete (7) inducido por una solución de la ecuación de Yang-Baxter
clásica? La respuesta a esta pregunta está dada en términos de la ecuación de
Yang -Baxter cuántica. Explicaremos a continuación los principales elementos
del proceso de cuantización tanto del álgebra A = Coo (Q;) como de la ecuación
de Yang-Baxter clásica. Una construcción completa puede leerse en [11].
La idea es definir un producto *h : A0A --+ A que dependa de un parámetro
h E nfy que cumpla las condiciones (i)-(v). El producto *h se torna entonces
donde In : A 0 A --+ A es el producto inicial de A y F ,F' : A 0 A ~ A se
definen como sigue. Sea 9 el álgebra de Lie de Q;, U (9) su álgebra envolvente
(es decir, el álgebra cociente del álgebra tensorial de 9 por el ideal bilátero
generado por los elementos dela
.
forma AB - BA - [A, B]), Y U (9)~2 [[h)J el
2
¡í.lgebra dc series formales en hcon coeficientes en U (9)~ = U (9)0U (9). Sea
7l" >. la representación
de U (9) por medio de operadores diferenciales invariantes
a izquierda sobre Q;, es decir,
donde {Xl, .. ", xn} es una base de 9 y 81, ... , 8n son los correspondientes
campos vectoriales invariantes a izquierda; nótese que cada 8i es una aplicación
lineal de A en A. Entoces se toma
1
Fl = --r.
2
De manera similar se define F' mediante la antirepresentación
de U (9) por
medio de operadores diferenciales 8~ invariantes a izquierda, y se toma
donde F-I es el inverso de F en U (Q)®2[[h]]
independiente es uno).
Esta manera de definir
(F es invertible ya que su término
admite algunas observaciones: En primer lugar,
de la solución r de la ecuación de YangBaxter clásica en U (Q)®2. En segundo lugar, aparentemente FI, F2,' .. pueden
tomarse arbitrariamente; sin embargo, cuando se prueba la asociatividad de
*h surge la llamada ecuación de Yang-Baxter cuántica que impone a F, Y por
lo tanto a FI¡F2,
, co:qdiciones. En efecto, si notamos por X el conjunto
de elementos Xl,
, Xn de U (Q), entonces F puede escribirse en la forma
F (X, y), donde Y representa a los elementos Xl. ... , X n en el segundo factor
de U (Q)®2. Se prueba entonces que *h es un producto asociativo si F satisface
la ecuación
*h
F involucra a la representación
conocida como la ecuación de Yang-Baxter cuántica; esta relación tiene
®3
lugar en U (Q)
Y Z representa a los elementos Xl.' .. ,Xn en el tercer factor.
Si representamos el álgebra de Lie Q, y por lo tanto el álgebra U (Q), mediante
un espacio V de dimensión finita
entonces podemos presentar (9) en su forma habitual: Sea
la transformación de permutación, T (VI ® V2) = v2 ® VI,
R
=
F-I(y,
X)F(X,
donde I es la transformación
Y) E U (Q)®2 [[h}}
idéntica de
Y
T E
EndR (V ® V)
R = T o (p ® p)(R);·
V. Nótese que
R E AutR
(V ® V).
Como resumen de la presente sección podemos anotar lo siguiente: El álgebra
de Hopf-Poisson A = coo (~) <lefinida con el corchete (7) es cuantizable mediante el producto (8) si F (y por lo tanto R) satisface la ecuación de Yangbaxter cuántica. Además, se puede demostrar que Ah es un álgebra de HopfPq,isson no conmutativa. Si Ah es no coconmutativa entonces se dice que Ah
es un grupo cuántico, es decir, un álgebra de Hopf~Poisson no conmutativa
y no coconmutativa, ebtenida a partir de una deformación de A mediante un
parámetro (ver [8]).
En estas notas hemos mostrado de una manera no formal un recorrido que va
desde las leyes de la mecánica clásica hasta llegar a la noción de grupo cuántico,
usando la idea de cuantización de Weyl. Vimos cómo las leyes de la mecánica
clásica son expresables por medio "de funciones suaves sobre una variedad 18.
Si 18 es un grupo de Lie y disponemos de una solución de la ecuación de
Ye-ng-Baxter clásica, entonces el espacio A = Coo (18) de observables es un
álgebra de Hopf-Poisson conmutativa. Esta última puede ser deformada por
medio de un parámetro h en un álgebra de Hopf-Poisson no conmutativa Ah
mediante una solución de la ecuación de Yang-Baxter cuántica. Si Ah es no
coconmutativa se tiene entonces un grupo cuántico.
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