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Parte II
GUIAS DE ONDAS
Capítulo
II
2.2 Guías de Ondas Circulares.
z
a
r
 Solución de la ecuación de onda
en coordenadas cilíndricas, para los
campos:

E Er , E , EZ 

H H r , H , H Z 
y
x
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
i)
ii )
iii )
Capítulo
 

xH  jE
 

xE   jH


2
 H  H


2 E   2 E
2
donde:
   
   r,  , z 
2
2
Ecuación escalar
de Helmholtz
II
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
Capítulo
II
II
 La ecuación de Helmholtz en coordenadas cilíndricas, está
dada por:
(*)
1   
r
r r  r
2
2
1





2





 2
2
2
z
 r 
 Usando el método de S.V. La solución se asume de la
forma:
 R(r) () Z(z)
 Sustituyendo en (*) y dividiendo por  se tiene:
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
II
1 d  dR 
1 d  1d Z
2
r






rR dr  dr  r 2 d 2
Z dz 2
2
(**)
Capítulo
2
(a)
Dado que el lado derecho de (**) es una cte., entonces, la suma de
los términos del lado izquierdo debe también serlo. En particular el
término (a) es una cte.
1)
1 d 2Z
2
g
2
Z dz

d 2Z
2
g z
2
dz
Constante de propagación
en la guía
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
 La solución general de (1) es:
Z z   A e
 g z
 Be
 gz
 Reemplazando (1) en (**), arreglando y multiplicando
por r2 obtenemos:


r d  dR  1 d 2
2
2
2
   g r  0
r

2
R dr  dr   d
(b)
Con el mismo raciocinio anterior, ahora (b) debe ser una cte. (n2)
II
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
 2
2


n

2

 Cuya solución es:

   An sen n  Bn cos n
Hay una onda estacionaria en el
sentido azimutal ().
Capítulo
II
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
II
 Análogamente al caso anterior, reemplazando -n2 en
(**) y multiplicando por R, se obtiene:


d  dR 
2
2


r r

k
r

n
R0

C
dr  dr 
Ecuación de Bessel de orden n
donde
k c2   2   g2
Ecuación característica
de Bessel
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
 Para el caso de las GG.OO. sin pérdidas, la ecuación
anterior, se reduce a:
 g    2   k c2
;
g = g+jg
 La solución a la ecuación de Bessel es de la forma:
R (r ) = Cn Jn ( kC r ) + Dn Nn ( kC r )
función de Bessel de orden n del
primer tipo que representa una onda
estacionaria (r < a).
función de Bessel de orden n del 2º
tipo que representa una onda
estacionaria (r > a).
II
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
II
La solución total para la ecuación de Helmholtz
RZ
 = [Cn Jn (kC r) + Dn Nn (kC r) An sen n  Bn cos n e
 j g z
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
II
2.2.1 Aplicando las condiciones de borde en la
guía de ondas.
En
r = 0, kc r = 0


Nn  
Dn = 0
Sobre el eje z, en r = 0 el campo debe ser
finito
  Cn Jn (kCr) An sen n  Bn cos n e
 j g z
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
II
Además,


1  An 
An sen n  Bn cos n  An  Bn cos n  tg     Fn cos n
 Bn  

2
2

  0 Jn (kCr) cos n e
 j g z
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
2.2.2 Modos TEnp
n:
número de ciclos de  en dirección , en 2
radianes.
p:
número de ceros del campo E en dirección
radial, excluyendo el origen.
Obs:
Para los modos TEnp
Ez =0

existe Hz 0
II
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo

La ecuación de onda es solución para Hz
Hz= Hoz Jn (kcr)
cos n e
 j g z
Solución a la cual se aplica condiciones
de borde en el interior de la guía.
E =0
: campo tangencial
Hr =0
: campo radial
r=a
II
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
II
 Considerando las ecuaciones de Maxwell
 

xE   j   H
 

xH  j   E
 Desarrolladas en coordenadas cilíndricas:
1 Ez E

  j w  Hr
r 
z
1 H z H

 j w  Er
r 
z
Er E z

  j w  H
z
r
H z
 j g Hr 
 j w  E
r
1 
rE  1 Er   j w  H z
r r
r 
1 
1 H r
rH  
 j w  Ez
r r
r 
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
 Considerando EZ= 0 y
j w  1 H z
Er  
2
kC r 

 j g
z
Hr   j
 g H z
kC r
 g 1 H z
H   j 2
kC r 
j w  H z
E 
2
r
kC
Ez  0
2
H z  conocido 
kC  w     g
2
2
2
Capítulo
II
Capítulo
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
II
 Las condiciones de borde implican:
E = 0
en r = a

Hr = 0
en r = a

H z
r
H z
r
ra
ra
0
0
 Forzando esta condición en la expresión para Hz
H Z
r
ra
 H OZ J’n (kca) cos n e

J’n (kca) = 0.
 j g z
0
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
II
Obs:
J’n (kca) = J’n (kcr)
ra
 Esto se satisface para la secuencia infinita de J’(kca),
es decir, los máximos y mínimos de las curvas J(kca).
 Así, los valores permisibles de kc pueden ser escritos
como:
kc 
X ' np
a
X'np = kC a
Ceros de J’n (kca) para los
modos TEnp
(Tabla 4-2-1 de Liao)
Capítulo
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
II
Ceros de J’n(kca) para los modos TEnp
n
0
1
2
3
4
5
1
3.832
1.841
3.054
4.201
5.317
6.416
2
7.016
5.331
6.706
8.015
9.282
10.520
3
10.173
8.536
9.696
11.346
12.682
13.987
4
13.324
11.706
13.170
-----
-----
-----
p
(Tabla 4-2-1 de Liao)
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Capítulo
II
 Reemplazando adecuadamente, las expresiones para
el campo E.M. son:
 X 'np
Er  Eor J n 
 a

 j g z
r  sen n e

 X 'np
E  Eo J 'n 
 a

 j g z
r  cos n e

Ez = 0
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
 X 'np 
 j g z
H r  H or J 'n 
r  cos n e
 a 
Eo
 X 'np 
 j g z

J 'n 
r  cos n e
Zg
 a 
Eor  X 'np
H 
J n 
Zg  a

 j g z

r  sen n e

 X 'np
H z  H oz J n 
 a

 j g z
r  cos n e

Capítulo
II
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
donde
E
Er
Zg 

H
Hr
Impedancia de onda
Obs:
 Con kc se puede calcular fc del modo de propagación.
 Con el valor más pequeño de la tabla se obtiene fc del
modo de dominante, que en este caso es el modo TE11.
 Por lo general, se opera en el modo de dominante.
II
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
II
En el rango de frecuencia de corte del modo dominante
y la frecuencia de corte del modo inmediatamente
superior.
En este caso:
TE11
TE21
f
 Si se trabaja con una frecuencia menor a la indicada
por el modo dominante ( fc ), no existe transmisión.
Modo evanescente
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
 Parámetros de importancia para los Modos TEnp
a) Constante de fase:
 X 'np 

 g  w    
 a 
2
b) Frecuencia de corte:
fC 
X 'np
2a  
2
II
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
c) Velocidad de fase:
V pg 
w
g

V pd
 fC 

1  
 f 
donde
V pd 
1

d) Longitud de onda:
g 
0
 f 
1   C 
 f 
2
2
Capítulo
II
Capítulo
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
II
e) Impedancia de onda en la guía:
Zg 
w
g

0
 fC
1  
 f



2
donde
c
0 
f
0
0 
 120 
0
Obs.: 0 sólo en el caso en que el dieléctrico es vacío.
Capítulo
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
II
2.2.3 Modos TMnp
Obs:
 El análisis es equivalente al caso anterior.
 Debido a que en los modos TMnp no existe componente
de campo magnético en dirección de propagación
Hz =0
 Ez   Ez
2
2

EZ  0
Ez  Eoz J n kC r cos n e
 j g z
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
 Aplicando condiciones de borde, se obtiene:
Ez
ra
0
Xnp = kC a


Jn (kC a) = 0
kC 
X np
a
Ceros de Jn (kCa) para los
modos TMnp
(Tabla 4-2-2 de Liao)
Las raices de Jn (Xnp) son infinitas.
Capítulo
II
Capítulo
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
II
Ceros de Jn(kca) para los modos TMnp
n
0
1
2
3
4
5
1
2.405
3.832
5.136
6.380
7.588
8.771
2
5.520
7.106
8.417
9.761
11.065
12.339
3
8.645
10.173
11.620
13.015
14.372
-----
4
11.792
13.324
14.796
-----
-----
-----
p
(Tabla 4-2-2 de Liao)
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
 De las ecuaciones de Maxwell y considerando
Hz = 0
y

  j g
z
 X np
Er  Eor J 'n 
 a

 j g z

r  cos n e

 X np
E  Eo J n 
 a

 j g z
r  sen n e

Capítulo
II
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
 X np
Ez  Eoz J n 
 a

 j g z
r  cos n e

 X np
Hr 
J 'n 
Zg
 a

 j g z
r  sen n e

 X np
Eor
H 
J 'n 
Zg
 a

 j g z

r  cos n e

Eo
Hz = 0
Capítulo
II
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
II
donde
E
Er
Zg 

H
Hr
Impedancia de onda
Obs:
 Para estos modos, el modo dominante es el modo TM01.
 Pero como TE11 es menor que TM01,.
El modo dominante para guías de
onda circulares es el modo TE11.
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
 Parámetros de importancia para los Modos
TMnp
a) Constante de fase:
 X np 

 g  w    
 a 
2
b) Frecuencia de corte:
fC 
X np
2 a  
2
Capítulo
II
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
c) Velocidad de fase:
V pg 
donde
V pd 
1

V pd
 fC
1 
 f





2
Capítulo
II
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
d) Longitud de onda:
g 
Capítulo
II
0
 fC 
1   
 f 
2
e) Impedancia de onda en la guía:
g
 fC 
Zg 
 0 1   
w
 f 
2
Obs.: 0 sólo en el caso en que el dieléctrico es vacío.
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
II
2.2.4 Potencia Transmitida en GG.OO. circulares.
1
Ptr 
2Z g
Ptr 
Zg
2
2
a
 
0
2
r
 E
2
 r dr d
 H
2
 r dr d
0
a
 
0
E
2
H
2
r
0
Obs:
 Con respecto a pérdidas de potencia. Idem a GG.OO.
Rectangulares.
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
II
2.2.5 Analogía entre GG.OO. y Líneas de Tx. TEM.
Existe una analogía entre las intensidades de campo E y H
de las ondas TE-TM y los voltajes y corrientes de líneas de
Tx., adecuadamente terminados (sin reflexión).
 Recordando las ecuaciones de Maxwell, en coordenadas
rectangulares:
 

xH  j w  E
 

xE   j w  H
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
II


H z H y

 j w  Ex
y
z
Ez E y

  j w Hx
y
z


H x H z

 j w Ey
z
x
E x E z

  j w Hy
z
x


H y
H x

 j w  Ez
x
y
E y
Ex

  j w Hz
x
y
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
 Para las ondas TM
Hz= 0

Existe Ez
H z H y

 j w  Ex  0
y
z

O bien,
(x E)z = 0
Es decir:
 En el plano xy el campo eléctrico no tiene
rotacional.
II
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
 El voltaje a lo largo de un circuito cerrado es cero.
El campo eléctrico en este plano puede
expresarse como el gradiente de algún
potencial V.
V
 Ex  
x
V
 Ey  
y
Potencial
II
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
II
 Ahora, si tomamos la ecuación  y se considera Hz = 0,
queda:
H y
z
  j w  Ex
y como
jw Ez
Hy   2
kC x

V
Ex  
x
queda
  jw  E z 
V
 2
   jw 
z  kC x 
x
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
 Intercambiando el orden de derivación
    jw   
 2 E z    jw V 
  x
x  z  kC

 dx
  jw  
 2 E z    jw  V

z  kC

donde
jw Ez :
1
:
2
kC
Densidad de corriente longitudinal
de desplazamiento [A/m2]
[m2]
II
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
I z
  j w V
z
Capítulo
II
()
Corriente en la dirección z.
 Esta ecuación es similar a la ecuación de la línea de Tx.
I
  YV
z
; Y : Admitancia paralela.
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
II
 Ahora, si consideramos la ecuación  y se reemplaza
nuevamente Hy, se obtiene:
 jw E z 
E x E z


  j w    2

z
x

x
k
C


E x E z
w2   E z


2
z
x
x
kC
 Arreglando se logra:
E x E z  w2   




1
2

z
x 
kC

GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
II
 Esto se reemplaza en 
  V  E z


z  x  x
 w2   



1
2


k
C


 Cambiando el orden de derivación
 V   w2   
 Ez 
 1
2
x z x  kC

 w2   
V
E
 1 
2  z
z
kC 

 dx
Capítulo
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
II
 Arreglando
2

  j w  Ez 
V
k
C


   jw 
2

 k
z
j
w


 C 
2

kC 
V
 Iz
   jw 

z
j
w



V
 Z I z
z
(
)
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
donde
Z  R  jwL
Z  jw 
1
jw
Impedancia
 /kc2

kC
:
2
Obs:
 Las ecuaciones ( ) y ( ) son las ecuaciones
diferenciales de una línea de Tx. sin pérdidas.
II
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
2.2.6 Circuito equivalente a una línea de Tx. sin
pérdidas para modo TM.
 /kc2
 /kc2

 /kc2

II
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
a) Modos TE ( Ez= 0):
 En este caso

H y
x

H y
y
 j w  Ez  0
(x H)z = 0
 Por tanto:
 No existe rotacional para H en el plano xy.
 El voltaje magnético a través de un camino
cerrado es nulo.
II
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
Es posible definir en el plano xy un potencial
escalar magnético U.

U
Hx  
x

U
Hy  
y
 Tomando la ecuación  y considerando Ez =
0

E y
z
  j w Hx
II
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
 sabiendo que:
j w  H z
Ey 
2
x
kC
U
Hx  
x
  j w  H z 
U


  j w
2


z  kC
x 
x
Capítulo
II
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
II
 Cambiando el orden de derivación se logra:
 
    j w 
   j w  U 


H
z
  x
x  z  kC 2


  j w

  j wU
H
z
2

z  kC

 dx
Dimensión de corriente.
Tiene dimensiones de voltaje
V
 j wU
z
V
 Z I
z
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES

Considerando la ecuación  y reemplazando:
j w  H z
Ex  
2
y
kC
H z H y w2   H z


2
y
z
Y
kC
H y
H z


z
y
 w2   



1
2
 k

 C

Capítulo
II
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
II
 Reemplazando en  y cambiando el orden de
derivación :
 w2   
  U  
 1

  H z 
2
y  z  y  kC

U  w2   
 
 1 H z
2
z  kC

 dx
 Se obtiene:
2

  j w

k
U
C
  
 jw   
H z 
2
z
 j w
  kC

I
 Y V
z
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
2.2.7 Circuito equivalente a una línea de Tx. sin
pérdidas para modo TE.


  /kc2

  /kc2
II
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
II
2.2.8 Configuración de campos EM y métodos de
excitación de modos en GG.OO. Circulares.
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
II
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Capítulo
II