Download corrientes circuito podría

Clase E6
Álgebra de circuitos. Dos reglas de
conservación y sus usos.
Circuitos con baterías y resistencias: Conservación y
composición.
R
El circuito mas simple en un estado estacionario, la corriente que fluye es
proporcional al voltaje inyectado por la batería e inversamente
proporcional a la resistencia.
V
I
R
El ejemplo mas sencillo de composición: Resistencias en
serie se suman (concatenación de disipaciones).
R1
V2
V2
R2
Vint
V1
V1
La corriente, por conservación de
carga es igual en todos los tramos.
La suma de saltos de potencial a lo
largo de las dos resistencias es
igual al de la batería. O, lo que es lo
mismo dicho en una ecuación:
V  I  R1  I  R2
V2 - Vint Vint - V1
El segundo ejemplo canónico de composición:
Resistencias en paralelo suman inversas (se suman las
conductividades).
V+
V+
I1
R2
I2
R1
I
V+
V-
V-
V-
V+
V+
R
I
V-
V-
V
V
V
 I  I1  I 2 

R
R1 R 2
1
1
1


R R1 R 2
Circuitos con corrientes (y cargas) que
cambian en el tiempo.
R1
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
C
Ya habíamos visto la dinámica de
este proceso sin demasiado
detalle cuantitativo. También
habíamos visto que un capacitor
cargado acumula energía que
pierde cuando se descarga.
R1
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
C
Ya habíamos visto la dinámica de
este proceso sin demasiado
detalle cuantitativo. También
habíamos visto que un capacitor
cargado acumula energía que
pierde cuando se descarga.
La relación entre corriente y
carga es como la de la posición
y velocidad: La corriente
dQ
I
dt
R1
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
C
Ya habíamos visto la dinámica de
este proceso sin demasiado
detalle cuantitativo. También
habíamos visto que un capacitor
cargado acumula energía que
pierde cuando se descarga.
El circuito está abierto, con lo que no
hay transporte de carga. en cuanto se
cierra, el conductor empieza a
descargarse. Tal como habíamos,
visto, al descargarse disminuye el
campo y por lo tanto la corriente, con lo
que se descarga mas lento... Es decir
el ritmo de descarga depende de la
carga lo cual da, como ya sabemos, ...
exponenciales. Veámoslo.
La relación entre corriente y
carga es como la de la posición
y velocidad: La corriente
dQ
I
dt
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
R1
La relación entre corriente y carga
es como la de la posición y
velocidad: La corriente
C
dQ
I
dt
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
R1
La relación entre corriente y carga
es como la de la posición y
velocidad: La corriente
La relación entre
corriente y potencial:
V  I R
dQ
I
dt
C
La relación entre voltaje y carga,
dada por el campo generado en el
capacitor es:
Q
V
C
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
La relación entre corriente y carga
es como la de la posición y
velocidad: La corriente
dQ
I
dt
R1
C
La relación entre
corriente y potencial:
La relación entre voltaje y carga,
dada por el campo generado en el
capacitor es:
V  I R
Q
I R 
C
Q
V
C
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
La relación entre corriente y carga
es como la de la posición y
velocidad: La corriente
dQ
I
dt
R1
C
La relación entre
corriente y potencial:
La relación entre voltaje y carga,
dada por el campo generado en el
capacitor es:
V  I R
Q
I R 
C
Q
V
C
dQ
Q
R 
dt
C
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
R1
La relación entre corriente y carga
es como la de la posición y
velocidad: La corriente
dQ
Q

dt C  R
C
El ritmo de descarga es proporcional a la
carga (como cualquier otra regla
exponencial de crecimiento o
decrecimiento de una población)
El factor de cambio esta dado por el
producto de R y C (cuanto mas grande R,
menos corriente y se descarga mas lento,
cuanto mas grande C, menos el voltaje
para una misma carga y por lo tanto
menos corriente)
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
La relación entre corriente y carga
es como la de la posición y
velocidad: La corriente
R1
C
dQ
Q

dt C  R
Q  c  e t
  RC
Q  Qo  e
 ( t / )
El tiempo en el que el conductor pierde 1/e
de su carga, después de 3 veces este
tiempo habrá periodo 1/e^3 y así...
Siempre la misma idea de una exponencial
como un operador que cada tic (Tau) divide
por e.
Descarga de un capacitor, una función conocida.
Q0
1
0.9
0.8
0.7
0.6
Q
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
T=RC
La carga (así como su tasa de cambio) decrece exponencialmente.
Descarga de un capacitor: Corriente, la misma función
I0
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
I
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
T=RC
La derivada de una exponencial es otra exponencial (nótese que cambia
solamente la escala). Por lo tanto, carga y corriente decrecen con un
tiempo típico de decrecimiento dado por RC.
Cargando capacitores, circuitos
dinámicos forzados (por una batería que
inyecta energía)
R1
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
C
Misma historia dada vuelta. Ahora
en vez de disipar energía se inyecta
(mediante una bateria) para cargar
un capacitor. Esta cuenta ya la
habíamos hecho (sin resistencia)
para calcular la energía de un
capacitor (que recuerden, iba como
q cuadrado)
-
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
+
+
R1
+
C
-
Misma historia dada vuelta. Ahora
en vez de disipar energía se inyecta
(mediante una bateria) para cargar
un capacitor. Esta cuenta ya la
habíamos hecho (sin resistencia)
para calcular la energía de un
capacitor (que recuerden, iba como
q cuadrado)
Ahora se da vuelta la exponencial ya que
a medida que se carga el capacitor la
diferencia de potencial (a lo largo de la
resistencia) es menor y por lo tanto hay
menos corriente. Esto se vuelve mas claro
cuando se dibujan explícitamente las
cargas (el regreso del manosanta).
-
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
+
+
R1
+
C
-
Q
V I R  0
C
De alguna manera, estos signos
son lisibles “como si” la bateria
trabajase contra la carga del
capacitor y la disipacion de la
resistencia.
Misma historia dada vuelta. Ahora
en vez de disipar energía se inyecta
(mediante una bateria) para cargar
un capacitor. Esta cuenta ya la
habíamos hecho (sin resistencia)
para calcular la energía de un
capacitor (que recuerden, iba como
q cuadrado)
Ahora se da vuelta la exponencial ya que
a medida que se carga el capacitor la
diferencia de potencial (a lo largo de la
resistencia) es menor y por lo tanto hay
menos corriente. Esto se vuelve mas claro
cuando se dibujan explícitamente las
cargas (el regreso del manosanta).
-
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
+
+
R1
+
C
-
Una ecuación
diferencial de
primer orden
(exponenciales)
forzada.
Q
V I R  0
C
Q
V  I R
C
dQ
Q
V
R
dt
C
-
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
+
+
+
R1
C
-
Una ecuación
diferencial de
primer orden
(exponenciales)
forzada.
Q
V I R  0
C
Q
V  I R
C
dQ
Q
V
R
dt
C
Una solución transitoria (dependiente de
las condiciones iniciales, (homongenea))
y una solución estacionaria, dependiente
del forzado (particular).
Q=CV
(es una solución estacionaria), la transitoria HA de ser una exponencial
-
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
+
+
R1
+
C
-
dQ
Q
V
R
dt
C
Proponiendo una solución exponencial,
resolviendo como siempre y sumando la solución
estacionaria.
Q  CV (1  e
t

)
-
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
+
+
R1
+
dQ
Q
V
R
dt
C
C
Proponiendo una solución exponencial,
resolviendo como siempre y sumando la solución
estacionaria.
Durante la carga, la energía de
t

la batería contribuye a cargar el
capacitor (a un ritmo
proporcional a la corriente) y es
t
disipada en la resistencia. A

medida que el capacitor se
inf
inf
carga la corriente es menor
hasta llegar al punto (después
Estacionaria
Transitoria
de un tiempo infinito) en el que
el voltaje del capacitor es igual
a la de la batería y no hay
corriente.
-
Q  CV (1  e
Q  Q Q e
)
Descarga de un capacitor: Corriente, la misma función
Q0
1
0.9
0.8
0.7
0.6
Q
0.5
La función 1- exp
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
T=RC
El capacitor se carga y a medida que el circuito alcanza el valor de
equilibrio, el salto de potencial se acerca (con signo invertido) al de
la batería y la corriente disminuye (la derivada de la carga).
Descarga de un capacitor: Corriente, la misma función
I0
1
0.9
0.8
0.7
0.6
I
0.5
La derivada de la función
(1- exp) es una exponencial.
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
T=RC
El capacitor se carga y la corriente decrece. A medida que el capacitor va acercándose a su
carga maxima, la corriente disminuye cada vez mas lenta acercándose a su asintota de cero.
Notese que, en ausencia de inercia (¿¿quien sera la masa de los circuitos?? esta
acercamiento es monotónico y no hay oscilaciones.
Q
+
R1
+
-
I
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
La carga de un capacitor: La carga empieza siendo cero, el capacitor no tiene energia. Se enciende la
bateria y fluye corriente, lo que carga el capacitor. Esto disminuye la diferencia de potencial en la corriente,
disminuyendo la corriente y disminuyendo el ritmo de carga. Cada vez mas lento (como la Tortuga de Aquiles)
hasta que el capacitor se carga para generar (valor asintotico) un potencial igual al de la bateria. Aqui no hay
mas corriente por lo que no se disipa mas energia.
R1
Q
C
I
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0
0.1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
La descarga de un capacitor: La carga empieza siendo Q, el capacitor tiene energia. Esta diferencia de
potencial inducida por el capacitor genera una corriente que disipa la engergia del capacitor. A medida que el
capacitor pierde carga, la corriente disminuye con lo que pierde carga mas lento y esto sigue iterandose cada
vez mas lento (como la Tortuga de Aquiles) hasta que el capacitor disipa toda su energia, pierde la carga y la
corriente es cero.
Q
+
R1
+
-
I
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
NOTESE QUE EN AMBOS CASOS, LA CONSTANTE TEMPORAL (DE CARGA O DESCARGA) ES LA
MISMA Y ESTA DADA POR EL PRODUCTO RC.
R1
Q
C
I
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0
0.1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
La relación entre corriente y carga
es como la de la posición y
velocidad: La corriente
R1
C
Q
I
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0
dQ
Q
V
R
dt
C
0.1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0
1
2
3
4
5
6
Q  CV (1  e
7
t
8

EN BUSCA DE LAS OSCILACIONES PERDIDAS:
¿Porque este sistema no oscila?
9
10
)
Un resorte amortiguado
 v
F
kx
F    v  kx  m
dv
La ecuación diferencial de Newton
dt
Un resorte amortiguado
 v
F
kx
F    v  kx  m
dv
La ecuación diferencial de Newton
dt
F    v  kx  0
Un resorte amortiguado
 v
F
kx
F    v  kx  m
dv
La ecuación diferencial de Newton
dt
F    v  kx  0
dx
F  kx   
dt
Expresar la ecuación en función
de x y sus derivadas
Un resorte amortiguado
 v
F  kx   
F
kx
F    v  kx  m
dv
dt
F    v  kx  0
dx
F  kx   
dt
dx
dt
Dos sistemas exactamente iguales. Mismas ecuaciones, misma lógica, otra
física, mismas soluciones. La ventaja de entender la matemática (abstracción,
generalidad) que subyace a la física, en este caso simplemente el concepto de
ecuaciones diferenciales simples ordinarias lineales y de primer orden)
 v
F  kx   
F
dx
dt
R1
kx
C
Q
dQ
V   R
C
dt
Transitorios y otras situaciones dinámicas: Carga y
descarga de capacitores.
R1
La relación entre corriente y carga
es como la de la posición y
velocidad: La corriente
C
Q
I
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0
dQ
Q
V
R
dt
C
0.1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0
1
2
3
4
5
6
Q  CV (1  e
7
t
8

9
10
)
EN BUSCA DE LAS OSCILACIONES PERDIDAS:
¿Porque este sistema no oscila?
Hecha la analogía es tal vez más fácil de entender que no oscila porque no existe el
equivalente de la masa (inercia).¿Existe una componente de circuitos equivalente a la
masa, que de inercia a la carga? Veremos que si, que esta componente se llama
inductancia, pero para entenderla nos falta la ultima fuerza que estudiaremos en este
curso: El magnetismo.
1) La imagen intuitiva del magnetismo:
Los imanes y los materiales
magnetizables.
Imanes y hierro: Objetos que se comportan como dipolos.
Objetos microscópicos que interactúan entre si
(también con signo) y con una fuerza que
decrece con la distancia.
F
N
S
F
N
S
F
F
N
S
S
N
Imanes y hierro: Objetos que se comportan como dipolos.
Objetos microscópicos que interactúan entre si
(también con signo) y con una fuerza que
decrece con la distancia.
N
S
??
¿Que pasa si acercamos un imán permanente a un
objeto que no esta magnetizado?
Imanes y hierro: Objetos que se comportan como dipolos.
Objetos microscópicos que interactúan entre si
(también con signo) y con una fuerza que
decrece con la distancia.
N
S
??
En algunos materiales, sencillamente no ocurre nada.
El objeto microscópico es transparente al campo
magnético.
Imanes y hierro: Objetos que se comportan como dipolos.
Objetos microscópicos que interactúan entre si
(también con signo) y con una fuerza que
decrece con la distancia.
N
S
F
F
??
En otros materiales, tales como el hierro, interactúan
con el imán. ¿Que sucede en tal caso? ¿Como
demostrar que el hierro se convierte en “un iman
temporario”?
Imanes y hierro: Objetos que se comportan como dipolos.
N
S
S
N
Una posible hipótesis (muy vieja) es que el hierro se
comporta como un imán temporario, es decir:
N
S
S
N
Pero entonces esto deberia inducir una interaccion entre los dos
pedazos de hierro temporariamente magnetizados, fuerza que deberia
poder medirse experimentalmente. ¿Es este el experimento idoneo?
N
S
S
N
Imanes y hierro: Objetos que se comportan como dipolos.
La teoria esta bien, pero el experimento puede
diseñarse mejor, por ejemplo utilizando un solo iman
(para evitar posibles interacciones entre estos) y sobre
todo haciendo que la fuerza entre los dos imanes
temporaneos y entre el iman principal y los imanes
inducidos no sean paralelas (para poder separar ambos
fenomenos)
La solución de William Gilbert hace mas de 400 años
2) Una breve historia del magnetismo: 1)
El estudio del imán mas grande de la
tierra.
Descubriendo el magnetismo: Tiempos en que las
obviedades aun no era obvias.
El señor William Gilbert
De Magnete, Magneticisque Corporibus, et de Magno Magnete Tellure
(On the Magnet and Magnetic eyes, and on That Great Magnet the Earth)
(y por ende, el porque las brújulas apuntan al norte)
Descubriendo el magnetismo: Tiempos en que las
obviedades aun no era obvias.
http://rack1.ul.cs.cmu.edu/is/gilbert/doc.scn?rp=http%3A%2F%2Frack1.ul.cs.cmu.edu%2Fis%2Fgilbert%2F
Descubriendo el magnetismo: Tiempos en que las
obviedades aun no era obvias.
Pruebas más claras en el
descubrimiento de secretos y la
investigación de la
causa escondida de las cosas,
resultaran de verdaderos
experimentos y argumentos
demostrados...: Entonces, que la
noble sustancia de ese gran
imán, nuestra madre común (la
tierra), ..., sea mejor entendida,
proponemos empezar con el
magnetick común, materiales
férreos ... y otros materiales que
podemos alcanzar con las
manos y percibir con los
sentidos, seguir con experimento
magnetickos demostrables y
entonces, penetrar, por primera
vez, en los mas interno de la
tierra.
http://rack1.ul.cs.cmu.edu/is/gilbert/doc.scn?rp=http%3A%2F%2Frack1.ul.cs.cmu.edu%2Fis%2Fgilbert%2F
Dos errores opuestos, 400 años
después.
La tierra es magnética
luego gira alrededor de
su eje magnético (que
coincide con su eje
astronómico, pensaba)
La rotacion de la tierra (pese a
que en aquella epoca no estaba
claro que la tierra, y no el resto
del universo fuese quien rotase)
resultaba de su espiritu
magnetico, alineado a los polos.
Las dificilísimas respuestas a las preguntas mas sencillas ¿Porque la
tierra esta magnetizada?
La tierra es magnética
luego gira alrededor de
su eje magnético (que
coincide con su eje
astronómico, pensaba)
La rotacion de la tierra (pese a
que en aquella epoca no estaba
claro que la tierra, y no el resto
del universo fuese quien rotase)
resultaba de su espiritu
magnetico, alineado a los polos.
La tierra es
magnética porque
gira.
Uno que fue
estampilla!
Patrick Blackett: Nobel en
1948 (por su trabajo en
rayos cósmicos)
El campo magnético en la tierra no
es homogéneo
Aun, mas, mediciones detalladas en el fondo del océano y un poco de
búsqueda de estructura en esos mapas, revelo la siguiente observación:
el campo magnético local forma bandas paralelas al “dorsal atlantico” y
ademas, dispuestas simetricamente a partir de ese eje.
Un encuentro (en una teoría) entre dos
observaciones a priori muy distintas.
Viendo el hielo
fracturarse en
“continentes” sugiere
que los verdaderos
continentes pueden
haberse fracturado de
una estructura comun.
Alfred Wegener
Hundido en 1930, en Groenlandia
Un encuentro (en una teoría) entre dos
observaciones a priori muy distintas.
Propone una solución
para el mapa simétrico
de magnetismo.
Lawrence Morley, un
canadiense demasiado
osado (su articulo
fundamental de 1962, fue
rechazado
Viendo el hielo
fracturarse en
“continentes” sugiere
que los verdaderos
continentes pueden
haberse fracturado de
una estructura comun.
Alfred Wegener
Hundido en 1930, en Groelandia
El campo magnético en la tierra no
es homogéneo
Dorsal Mesoatlántica
Aun, mas, mediciones detalladas en el fondo del océano y un poco de
búsqueda de estructura en esos mapas, revelo la siguiente observación:
el campo magnético local forma bandas paralelas al “dorsal atlantico” y
ademas, dispuestas simetricamente a partir de ese eje.
El campo magnético en la tierra no
es homogéneo
Dorsal Mesoatlántica
El fondo del mar actúa como una cinta
registradora (doble y simétrica) con lava
emergente de la dorsal se solidifica y graba el
campo magnético presente. El nuevo basalto
formado, adjunto a las placas, se aleja a una
velocidad de 2.5 cm por año, un frente hacia Africa
y el otro hacia América del Sur.
3) Una breve historia del magnetismo: 2)
De como se fue entendiendo en el siglo
XIX que electricidad y magnetismo eran
manifestaciones de un fenómeno común
La relación entre las corrientes (y por ende las cargas y por
ende el campo eléctrico, o mas bien sus variaciones) y el
magnetismo.
Hans Christian Oersted
(Copenhagen, Dinamarca)
1820
La observación que Oersted noto, sin que
pudiese entender.
Cada vez que la circulaba una corriente
eléctrica la brújula se alineaba con esta, es
decir observo una interacción de lo mas
extraña, la brújula no era ni atraída ni
repelida...
André-Marie AMPERE
(Marsella, 1822)
Pagina 5
El descubrimiento de la acción ejercida por una
corriente eléctrica sobre una aguja imantada.
Atraccion y repulsion entre conductores que conectan
las dos extremidades de la pila (corrientes)
La electricidad tiene la propiedad de imantar los
cuerpos susceptibles de recibir la virtud magnética.
Pagina 6
Una teoría compacta capaz de explicar el comportamiento de los campos
eléctricos y magnéticos y su interacción con la materia.
James Clerk Maxwell
(Edinburgo, nacido en 1839)
Las leyes de Maxwell: El gran resumen de todo, a partir de aquí todo son cuentas...
DEFINICION DE CAMPO
I1
I2
En electromagnetismo veremos también que podemos factorizar la interacción entre dos
objetos magnéticos como:
1) El campo generado por uno y
2) La fuerza ejercida sobre el segundo en dicho campo.
Dos aspectos van a hacer este problema un poco menos intuitivo: 1) Las fuerzas ya no son
paralelas al campo (son ortogonales) y 2) La fuerza depende en dirección y modulo de la
velocidad (es proporcional a la velocidad en modulo y su direccion es también ortogonal a
la velocidad). Esto agrega una dificultad geometrica adicional ya que para ser ortogonal a
dos vectores al mismo tiempo, hay que tener por lo menos 3 dimensiones…
Paso 1: Conocido el campo, como determinar la fuerza.
Este paso, que en electrostatica es trivial, resulta, en
electromagnetismo, en una geometría un poco mas
compleja.
La fuerza sentida por una carga en un campo magnético

 
F  qv  B
•1) Proporcional a la carga
•2) Proporcional al modulo de la velocidad
(en particular, si la velocidad es 0, la fuerza
también es 0)
•3) Proporcional al modulo del campo
magnético (más grande el campo más la
fuerza)
•4) Proporcional y direccionado según una
relación geométrica entre los vectores de
velocidad y campo que ahora veremos.
Un operador matemático
un poco menos conocido.
Pasemos cierto tiempo
viendo como opera.
Ejemplo mas sencillo

 
F  qv  B
B
v
La fuerza magnética es cero ya que B y v son paralelos. Luego la
velocidad no cambia y por lo tanto la fuerza sigue siendo cero. Es decir,
la partícula se mueve en ausencia de fuerzas y por lo tanto en
movimiento constante.
Ejemplo un poco menos sencillo

 
F  qv  B
v
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
F
B
Representa un
vector que se
aleja de ustedes
o “que entra en el
pizarron”.
Así podemos seguir iterando y simulando (integrando mentalmente) para convencernos que
la partícula se mueve en movimiento circular. El radio de este circulo lo calculamos en la
primer parte del curso, pero intuitivamente debe ser proporcional a la velocidad y la masa (la
inercia) e inversamente proporcional a la fuerza, es decir al producto de la carga y el campo.
vm
R  f (q, B, v, m) 
q B
Ejemplo un poco menos sencillo

 
F  qv  B
Midiendo la relacion de carga a
masa del electron
Paso 2: Determinar el campo de un objeto magnético.
Veremos que para hacer esto contamos con el siguiente bagaje:
1) Una ley que establece el campo magnético para un objeto minimal
(diferencial de corriente): La Ley de Biot-Savart (¿¿es uno o dos??)
equivalente en elelctro a La Ley de Coulomb.
2) Combinar aditivamente esta ley para resolver cualquier distribución de
corrientes. Esto funciona siempre pero suele ser costoso y complicado, con
lo que cuando podamos utilizaremos:
3) Un teorema de conservación, que nos dirá que la circulación del campo a
través de una curva esta relacionado con la corriente que la atraviesa. En
casos de simetría a partir de esto podemos inferir el campo. Este es el
“equivalente” al Teorema de Gauss en electro.
Ley de Biot-Savart: El campo magnético generado por una fuente de
corriente
 I  (dl  rˆ)
dB 

4
r2
El campo es
un vector
Ley de Biot-Savart: El campo magnético generado por una fuente de
corriente
 I  (dl  rˆ)
dB 

4
r2
Proporcional
El campo es a la corriente
un vector
Ley de Biot-Savart: El campo magnético generado por una fuente de
corriente
 I  (dl  rˆ)
dB 

4
r2
Proporcional
El campo es a la corriente
un vector
Producto vectorial,
luego perpendicular al
diferencial de corriente
y al versor posición
entre la fuente y el
punto del campo.
((Notese que esto contrasta
con el campo electrico que es
radial))
Ley de Biot-Savart: El campo magnético generado por una fuente de
corriente
 I  (dl  rˆ)
dB 

4
r2
Proporcional
El campo es a la corriente
un vector
Decrece con el cuadrado
de la distancia
Producto vectorial,
luego perpendicular al
diferencial de corriente
y al versor posición
entre la fuente y el
punto del campo.
((Notese que esto contrasta
con el campo electrico que es
radial))
Ley de Biot-Savart: El campo magnético generado por una fuente de
corriente
 I  (dl  rˆ)
dB 

4
r2
La pertinencia del signo
¿Quiénes eran y que hicieron Abel y Cain?
La pertinencia del signo
“No recordaba [Borges] si fue Abel o Cain quien mato a su
hermano”
Y dijo Caín a su hermano Abel: Salgamos al campo. Y aconteció
que estando ellos en el campo, Caín se levantó contra su
hermano Abel, y lo mató. ¿(Génesis IV)?
que, pese a que sea muy difícil de recordar no es lo mismo que
Y dijo Abel a su hermano Caín : Salgamos al campo. Y aconteció
que estando ellos en el campo, Abel se levantó contra su
hermano Caín, y lo mató. ¿(Génesis IV)?
Paso 2: Determinar el campo de un objeto magnético.
Veremos que para hacer esto contamos con el siguiente bagaje:
1) Una ley que establece el campo magnético para un objeto minimal
(diferencial de corriente): La Ley de Biot-Savart (¿¿es uno o dos??)
equivalente en elelctro a La Ley de Coulomb.
2) Combinar aditivamente esta ley para resolver cualquier distribución de
corrientes. Esto funciona siempre pero suele ser costoso y complicado, con
lo que cuando podamos utilizaremos:
3) Un teorema de conservación, que nos dirá que la circulación del campo a
través de una curva esta relacionado con la corriente que la atraviesa. En
casos de simetría a partir de esto podemos inferir el campo. Este es el
“equivalente” al Teorema de Gauss en electro.
Biot-Savart: Primera aplicación concreta, calculo del
campo generado por un objeto extenso por aditividad.
I
¿Cual es el campo magnético en el punto p?
En realidad esta pregunta son dos preguntas:
p
¿Cuánto vale (su longitud)?
¿En que dirección apunta?
Biot-Savart: Primera aplicación concreta, calculo del
campo generado por un objeto extenso por aditividad.
I
¿Cual es el campo magnético en el punto p?
En realidad esta pregunta son dos preguntas:
p
¿Cuánto vale (su longitud)?
¿En que dirección apunta?
Biot-Savart: Primera aplicación concreta, calculo del
campo generado por un objeto extenso por aditividad.
I
dl  r  d ˆ
p
Veamos la contribución de un
diferencial de ángulo de
corriente al campo
 I  (dl  rˆ)
dB 

2
4
r
Biot-Savart: Primera aplicación concreta, calculo del
campo generado por un objeto extenso por aditividad.
I
dl  r  d ˆ
p
 I  r  d  (ˆ  rˆ)
dB 

4
r2
Veamos la contribución de un
diferencial de ángulo de
corriente al campo
 I  (dl  rˆ)
dB 

2
4
r
LA UNICA PARTE “DIFICIL” DE ESTIMAR ES dl
Biot-Savart: Primera aplicación concreta, calculo del
campo generado por un objeto extenso por aditividad.
I
dl  r  d ˆ
p
Veamos la contribución de un
diferencial de ángulo de
corriente al campo
 I  (dl  rˆ)
dB 

2
4
r
 I  r  d  (ˆ  rˆ) dB    I  d (ˆ  rˆ)
dB 

4
r
4
r2
El campo va como 1/r2 y el
diferencial de corriente
como r, entonces la
contribución escalea como
1/r
Biot-Savart: Primera aplicación concreta, calculo del
campo generado por un objeto extenso por aditividad.
I
dl  r  d ˆ
p
 I  r  d  (ˆ  rˆ)
dB 

4
r2
 I  d (ˆ  rˆ)
dB 

4
r
El campo esta en la
direccion z (“entrando al
pizarron”) NI LA
CONTRIBUCION NI LA
DIRECCION DEPENDEN
DEL ANGULO. LA
INTEGRAL ENTONCES ES
MUY FACIL!
 I  zˆ
dB 

d
4 r
Biot-Savart: Primera aplicación concreta, calculo del
campo generado por un objeto extenso por aditividad.
I
dl  r  d ˆ
p
 I  zˆ
dB 

d
4 r
El campo esta en la
direccion z (“entrando al
pizarron”) NI LA
CONTRIBUCION NI LA
DIRECCION DEPENDEN
DEL ANGULO. LA
INTEGRAL ENTONCES ES
MUY FACIL!
2
 I  zˆ
 I  zˆ
dB 

d  B  

d 
4 r
4 r
0
Biot-Savart: Primera aplicación concreta, calculo del
campo generado por un objeto extenso por aditividad.
I
dl  r  d ˆ
p
 I  zˆ
dB 

d
4 r
El campo esta en la
direccion z (“entrando al
pizarron”) NI LA
CONTRIBUCION NI LA
DIRECCION DEPENDEN
DEL ANGULO. LA
INTEGRAL ENTONCES ES
MUY FACIL!
2
 I  zˆ
 I  zˆ
 I  zˆ
dB 

d  B  

d  2 

4 r
4 r
4 r
0
Biot-Savart: Primera aplicación concreta, calculo del
campo generado por un objeto extenso por aditividad.
I
dl  r  d ˆ
p
 I  zˆ
dB 

d
4 r
El campo esta en la
direccion z (“entrando al
pizarron”) NI LA
CONTRIBUCION NI LA
DIRECCION DEPENDEN
DEL ANGULO. LA
INTEGRAL ENTONCES ES
MUY FACIL!
Nótese que la contribución de un arco es igual al valor multiplicado por la
longitud del circulo.
Biot-Savart: Como siempre la aditividad permite la
composición de composiciones. Un problema en
apariencia más complicado…
Biot-Savart: Como siempre la aditividad permite la
composición de composiciones. Un problema en
apariencia más complicado…
Se puede dividir el circuito en partes, calcular el campo debido a cada parte y sumar los campos
obtenidos. Esto es cierto para cualquier partición del circuito. Algunas particiones (y esta es la
dificultad típica de un ejercicio) resultan ser mas útiles. ¿Cuál es una buena partición para este
circuito y cuanto vale la contribución al campo de cada partición?
Biot-Savart: Como siempre la aditividad permite la
composición de composiciones. Un problema en
apariencia más complicado…
 I  (dl  rˆ)
dB 

4
r2
dB 
I
 I  zˆ

d
4 r
Trabajo “hecho” que
podemos aprovechar
Un ingrediente necesario
IV
II
III
Dividimos en objetos conocidos, círculos (o cachos de) y rectas. Por aditividad:
B  B1  B2  B3  B4
Biot-Savart: Como siempre la aditividad permite la
composición de composiciones. Un problema en
apariencia más complicado…
 I  (dl  rˆ)
dB 

4
r2
dB 
I
IV
 I  zˆ

d
4 r
II
III
Dividimos en objetos conocidos, círculos (o cachos de) y rectas. Por aditividad:
B  B1  B2  B3  B4
 I  zˆ
 I  zˆ
B  

 0 

0
4 b
4 a
1 1 
B     
 I  zˆ
 a b  4
Clase E10
El campo magnético creado por un
hilo conductor.
z
Por simetría, el campo es
únicamente función de r.
I
r
p
El campo en p sera la suma del
campo generado por cada
“diferencial” de corriente, que
podemos calcular por la Ley de
Biot-Savart.
El campo magnético creado por un
hilo conductor.
z
r
El campo en p sera la suma del
campo generado por cada
“diferencial” de corriente, que
podemos calcular por la Ley de
Biot-Savart.
I
p
Esta suma ha de hacerse sobre todos
los elementos de corriente que pueden
ser parametrizados por el eje “z” o,
alternativamente, por un angulo entre el
punto donde se calcula el campo y la
fuente. (Este angulo va entre 0 y pi)
Calculemos pues la contribucion de un
diferencial (en funcion del angulo).
Luego basta sumar (integrar) sobre
todos los ángulos.
El campo magnético creado por un
hilo conductor.
d  r  d 
R
d
sen ( )
 I  (dl  rˆ)
dB 

4
r2
I
dl
d
θ
θ
r
R
r
sen ( )

dθ
p
R
dl 
R
d
2
sen ( )
d
dl 
sen ( )
dl
~


d
El campo magnético creado por un
hilo conductor.
dl 
R
d
2
sen ( )
 I  (dl  rˆ)
dB 

4
r2
I
dl  rˆ  dl  sen( ) zˆ
θ
r
r
R
sen ( )
θ
dθ
p
R
dl  rˆ 
zˆ
sen ( )
R

sen 
dB 
I 
4
R
El campo magnético creado por un
hilo conductor.
I
θ
 I  (dl  rˆ)
dB 

4
r2
θ


B 
 I  sen( )d
p
4  R
0




B
 I  sen( )d 
 I   cos  0
4  R 0
4  R
dθ
R

sen 
dB 
I 
4
R

B
I
2  R
El campo magnético creado por un
hilo conductor.
l
dθ
θ
R
p
I
B
2  R
Como siempre, una vez hecha estas cuentas una vez pueden ser utilizadas
iterativamente. Si tenemos que calcular el campo generado por varios hilos
conductores (rectos) podemos simplemente superponer el resultado obtenido.
Nótese también que el campo escalea con 1/r.
¿Que objeto geométrico escalea como r? ¿Que cantidad es una buena candidata a
conservarse?
Paso 2: Determinar el campo de un objeto magnético.
Veremos que para hacer esto contamos con el siguiente bagaje:
1) Una ley que establece el campo magnético para un objeto minimal
(diferencial de corriente): La Ley de Biot-Savart (¿¿es uno o dos??)
equivalente en elelctro a La Ley de Coulomb.
2) Combinar aditivamente esta ley para resolver cualquier distribución de
corrientes. Esto funciona siempre pero suele ser costoso y complicado, con
lo que cuando podamos utilizaremos:
3) Un teorema de conservación, que nos dirá que la circulación del campo a
través de una curva esta relacionado con la corriente que la atraviesa. En
casos de simetría a partir de esto podemos inferir el campo. Este es el
“equivalente” al Teorema de Gauss en electro.
2 Teoremas de Conservacion
kq
E  2 rˆ
r
I
B
ˆ
2  R
Campo vector “normal” (flujo
positivo) escalea como la inversa
de una superficie, por lo que el
flujo a lo largo de una superficie
se conserva.
Campo vector “normal” (flujo
positivo) escalea como la inversa
de una superficie, por lo que el
flujo a lo largo de una superficie
se conserva.
2 Teoremas de Conservacion
I
B
ˆ
2  R
Así como las cargas son fuentes de divergencia de campo (o las negativas sumideros)
las corrientes son fuentes de “flujo rotacional” o de “ciruclacion” y esta circulacion se
conserva independientemente de la curva. (LEY DE AMPERE). Esto resulta
esencialmente de que el campo decrezca con 1/r.
La circulación es el “opuesto geometrico” de la integral de
flujo, solo contribuye la proyeccion del campo que es paralela
a la tangente de la curva.
 I  (dl  rˆ)
dB 

4
r2
I
I
F
dl
dl
B
El campo magnético
generado por I1 en la
posición donde se
encuentra I2 es
perpendicular al plano

 
F  qv  B

F



 v  (q  dl  rˆ)
2
4  r
La fuerza 1
2
Es perpendicular al
campo y a la
velocidad:
2 Teoremas de Conservacion
I
B
ˆ
2  R
En algunos ejemplos sencillos, cuando el campo es paralelo y constante a lo largo de
una cura, esta integral resulta simplemente de multiplicar el campo por la longitud de la
curva. En estos casos, este teorema es útil para calcular un campo.
I
  BL 
 2  R    I
2  R
Utilizando la Ley de Ampere, y algunas aproximaciones, para calcular
el campo de un objeto complejo.
Este circuito se toma
suficientemente distante (uno
puede tomar el circuito que
quiera) para que el campo en
este tramo sea despreciable
Aproximación 2: El campo es
perpendicular a estos tramos,
con lo que su contribución a
la circulación es nula.
Aproximación 3: El campo es
constante a lo largo de este
tramo (equivale a suponer
que este es mucho mas
pequeño que la longitud del
solenoide.
Utilizando la Ley de Ampere, y algunas aproximaciones, para calcular
el campo de un objeto complejo.
Circulación = 0
Circulación =0
Circulación = B*L
La corriente que atraviesa la curva es: N*I (N es el numero de vueltas del
soenoide en el tramo de longitud L. Por la Ley de Ampere, se tiene:
N I
LB    N I  B   
  nI
L
El solenoide (o la bobina) el ultimo
objeto electrico
B   nI
El solenoide, la ultima componente electrica (que se suma a la
resistencia, el capacitor y la batería. Por ahora, como aproximación, un
objeto que genera un campo magnético homogéneo proporcional a la
corriente y a la densidad de giros (un factor geometrico de escala, como
la capacidad de un conductor).
Las leyes de Maxwell: El gran resumen de todo, a partir de aquí todo son cuentas...
La ultima ley del curso
Interacción entre campos eléctricos y magnéticos:
El electromangetismo (Episodio II)
Empecemos por un experimento
¿Que sucede si un aro de corriente se mueve en el siguiente anillo conductor de
manera que
entre en la zona donde hay campo magnético?
Interacción entre campos eléctricos y magnéticos:
El electromangetismo (Episodio II)
F
v

 
F  qv  B
Cuando el aro entra en
el campo magnético se
genera una corriente,
para entender esto no
hace falta evocar ninguna
regla nueva.
¿Que sucede en el momento en el que el aro entra al campo magnético?
Las cargas en movimiento sienten una fuerza con lo que se desplazan generando una
corriente. Nada demasiado nuevo pero se ve que esto puede utilizarse para traducir
movimiento en corriente, es decir para armar un generador.
Interacción entre campos eléctricos y magnéticos:
El electromangetismo (Episodio II)

 
F  qv  B
La velocidad (del aro
v conductor) es cero y por ende
la fuerza sobre las cargas
también, por lo que no hay
corriente... Pero esto es un
poco problemático ya que si
miramos el mundo desde un
sistema de coordenadas
solidario al solenoide
estamos en el caso anterior.
Cambiemos el experimento: Ahora dejamos quieto el aro conductor
Interacción entre campos eléctricos y magnéticos:
El electromangetismo (Episodio II)

 
F  qv  B
v
De hecho se induce una
corriente en este aro
conductor, pero para esto
hace falta evocar una nueva
relación entre el campo
magnético y eléctrico. Los
cambios (en el tiempo) de
uno, inducen al otro...
Interacción entre campos eléctricos y magnéticos:
El electromangetismo (Episodio II)
Faraday descubrio,
experimentalmente, que
de hecho se induce una
corriente producto de una
fem que es proporcional al
“cambio del flujo de
campo magnetico”.
d
 
dt

 
F  qv  B
v
Interacción entre campos eléctricos y magnéticos:
El electromangetismo (Episodio II)
Faraday descubrio,
experimentalmente, que
de hecho se induce una
corriente producto de una
fem que es proporcional al
“cambio del flujo de
campo magnetico”.
d
 
dt

 
F  qv  B
v
La manera de recordar (y
tal vez de entender) el
signo de esta relacion es
que la corriente inducida
genera un campo que se
opone al cambio, como si
intentase dejar el campo
constante. Noten que esto
establece un principio de
inercia (para el campo,
que luego será para la
corriente)
Dos bobinas acopladas “espacialmente”
Dadas dos bobinas alineadas (geométrica o materialmente) al iniciar, o
detener, o modificar una corriente en una, esto induce un cambio en el
campo magnético generado por esta bobina y este cambio en el campo
magnético induce una corriente en la segunda. A esta corriente se la
llama corriente inducida.
Dos bobinas acopladas por un núcleo de hierro
Las líneas de campo magnético pueden ser dirigidas por materiales
magnetizables con lo que el acople de campo magnético puede realizarse
aun cuando las dos bovinas no estén superpuestas.
Dos bobinas acopladas por un núcleo de hierro
I
Asumamos que una corriente se enciende en Np. ¿Que Sucede?
Dos bovinas acopladas por un núcleo de hierro
I
Asumamos que una corriente se enciende en Np. ¿Que Sucede?
Esta corriente genera un campo magnético, que según vimos antes es:
B    np  I
Dos bobinas acopladas por un núcleo de hierro
B    np  I
d
 
dt
Dos bobinas acopladas por un núcleo de hierro
B    np  I
d
 
dt
dB
   AN s
dt
Dos bobinas acopladas por un núcleo de hierro
B    np  I
d
 
dt
dB
   AN s
dt
dI
   AN s   n p
dt
Inductancia, un objeto que genera un potencial
proporcional a la derviada de la corriente.
dI
  L
dt
Corriente inducida por inductancia.
dI
  L
dt
Lo mismo sucede con una sola bobina,
una corriente genera un campo que
induce una corriente y por lo tanto se tiene
la misma ecuación (con otro valor de la
constante de inductancia)
Inductancia, la inercia de un circuito.
dI
  L
dt
Una bovina genera una diferencia de potencial que es proporcional
al cambio de la corriente. El signo de esta inducción es tal que esta
fem generara una corriente de sentido inverso, por lo tanto
oponiéndose al cambio de estado de movimiento y estableciendo un
principio de inercia.
La fauna de objetos electricos esta completa:
R1
dI
d 2Q
  L  L 2
dt
dt
C
Q
dQ
V   R
C
dt
La fauna de objetos eléctricos esta completa:
R1
2
C
Q
dQ
d Q
V   R
L 2
C
dt
dt
Un circuito LRC tiene una frecuencia de resonancia, una función de
transferencia (amplitud y fase de la respuesta en función del forzado) un
rango subamortiguado cuando la disipación (R) domina su
“oscilabilidad” (L/C). Toda la dinamica de este objeto es conocida (si
recordamos la de la masa y el resorte amortiguado.
La fauna de objetos eléctricos esta completa:
R1
2
Q
dQ
d Q
V   R
L 2
C
dt
dt
C
2
F
dx
d x
F  kx     m 2
dt
dt
La fauna de objetos eléctricos esta completa:
R1
2
Q
dQ
d Q
V   R
L 2
C
dt
dt
C
L=m
R=γ
k=1/C
2
F
dx
d x
F  kx     m 2
dt
dt
Acoplando osciladores eléctricos (quimicos) y
mecánicos
R1
200 nm
C
Ca2+ feedback
Hudspeth PNAS 1987
F
R1
Acoplando osciladores eléctricos (quimicos) y
mecánicos
C
F
EL VIERNES A LAS 13 HS
PAB I