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Fenómenos Críticos
INTRODUCCIÓN A LA COMPLEJIDAD EN BIOLOGÍA Y MEDICINA
Transiciones de fase termodinámicas
• fenómenos de equilibrio
• macroscópicos
Ej: fluido normal
punto crítico
Transición gas-líquido
Pc
Tc
T < Tc : transición de fase discontinua ó de 1er orden
Ferromagnetismo en sólidos
Magnetización M ↔ campo magnético B
|M|
Magnetización
de saturación
Magnetización
espontanea
Ms
ferromagnético
M0
paramagnético
0
|B|
M0(T)
Tc: temperatura crítica
0
Tc
Fase ferromagnética
T
Fase paramagnética
T = Tc : transición de fase continua, de 2do orden ó
fenómeno crítico
M0(T)
M 0 (T ) ~ Tc  T 

 > 0: exponente crítico
0
T
Tc
Calor específico C(T):
dQ = V C(T) dT;
1 dQ
C (T ) 
V dT
C(T)
C (T ) ~ T  Tc
T

para
 > 0: exponente crítico
T  Tc  1
Respuesta ante un campo magnético externo B
Susceptibilidad magnética:
1  M (T , B) 
 (T )  

V
B
 B 0
para
 M   (T ) B
V=1
B << 1
(T)
 (T ) ~ T  Tc
T

para
 > 0: exponente crítico
T  Tc  1
Orígen microscópico del ferromagnetismo
Interacción de intercambio: Eij   J μ i .μ j
i : momento magnético ó spin
i
j
Modelo de Ising
Si = 1
Si = ± 1
Sj = - 1
N
E   J  Si S j  B  Si
i , j 
i 1
Mecánica Estadística
Dada la energía de una configuración {S1, S2,…,SN} permite
calcular promedios termodinámicos de cualquier cantidad que
dependa de estas variables
e E /T
E /T
e

PS1 , S 2 ,..., S N  
Distribución de Boltzmann:
S1 , S 2 ,..., S N
N
E   J  Si S j  B  Si
i , j 
i 1
N
M ( S1 , S 2 ,..., S N )   Si
Ej.: magnetización
i 1
m( B, T ) 
1
N
1
 PS , S ,..., S  M S , S ,..., S   N
1
S1 , S 2 ,..., S N
2
N
1
2
N
M
B=0
|m|
Transición solo ocurre
para N → ∞
T
Tc
Fenómeno cooperativo,
auto-organizado
orden
desorden
m: parámetro de orden
Sistema complejo!
Fluidos vs. ferromagnetos
 L,G (T )  C ~   Tc  T 
C (T ) ~ T  Tc

para
para
Tc T  1
T  Tc  1
B
B
v = 1/ρ
susceptibilidad magnética:
 (T ) 
 (T ) ~ T  Tc
para T  Tc  1
1  (T , P)
 T (T , P) 
 P
compresibilidad isotérmica:
 T (T , Pc ) ~ T  Tc

1  M (T , B) 


V
B
 B 0

para
T  Tc  1
 L,G (T )  c ~   Tc  T 
  ,  Tc
 G , L (T )
~ 1
c
c
 T
1  
 Tc 

Ley de estados correspondientes
 ~ 1/3
Universalidad
exponente
Xe
Ni
fluido
binario
bronce 
Ising d=3
(exacto)

< 0.2
0.04 ± 0.12
0.113 ± 0.005
0.05 ± 0.06
0.12

0.35 ± 0.015
0.358 ± 0.003
0.322 ± 0.002
0.305 ± 0.005
0.31

1.3 ± 0.2
1.33 ± 0.02
1.239 ± 0.002
1.25 ± 0.02
1.25
Exponentes críticos
Clases de Universalidad
Que determina la clase de universalidad?
• d: dimensión espacial
• simetría del parametro de orden
• interacciones de corto alcance
Teoría: Grupo de renormalización
Kenneth Wilson (1971) – Premio Nobel de Física 1982
Leo P. Kadanoff (1965-1969)
Michael E. Fisher (1964-1969)
B. Widom (1965-1967)
Concepto principal: INVARIANCIA DE ESCALA
Correlaciones espaciales
C (r ) 
S r0
O
r0
r
r0+r
S r0  r

1
Sr0  Sr0

N r0
S
r0 r
 Sr0 r

correlación entre fluctuaciones de spines
a una distancia r = |r|
para T ≠ Tc
C (r )  e
r /
ξ(T): longitud de correlación
para T  Tc
para T ~ Tc
 (T )  T  Tc
C (r ) 

1
r
d  2 
 > 0: exponente crítico
e r / 
 > 0: exponente crítico
Sistemas críticos presentan correlaciones espaciales de largo alcance!
Extrema sensibilidad ante perturbaciones externas → divergencia en las funciones respuesta
Ising d=2 – Simulaciones numéricas
T = 0.8 Tc
T = 0.95 Tc
T = 0.99 Tc
T = 0.999 Tc
ξ
T = Tc
T = 1.1 Tc
T = 1.5 Tc
ξ
T = 2 Tc
INVARIANCIA DE ESCALA
T = Tc
Fractal!
Fluctuaciones de todas las escalas
Opalescencia crítica
Una medida de Complejidad
Si
i
Pi(S)
Sj
j
Pj(S)
Si = +1  Pi(+1)
Si = -1  Pi(-1)
Probabilidad conjunta
Pij(S1,S2)
 ij 
  P S , S   P S P S 
S1  1 S 2  1
ij
i
1
j
2
i, j
T >> Tc →
 ij  0
T << Tc
Pi(+1) ~ Pj(+1) ~ 1
Pij(S1,S2) = Pi(S1) Pj(S2)
Pij(+1,+1) ~ 1
Pij(S1,S2) > Pi(S1) Pj(S2)
2
D    ij
Complejidad:
eventos independientes:
eventos correlacionados:
1
Pi(-1) ~ Pj(-1) ~ 0
Pij(+1,-1) ~ Pij(-1,+1) ~ Pij(-1,-1) ~ 0
 ij  0
Grupo de renormalización
Conjunto de transformaciones de escala:
“ZOOM termodinámico”
T → Tc ξ  ∞
Universalidad: los exponentes críticos solo dependen de
aquellas propiedades que permenecen invariantes ante
una trasformación de escala
Correlaciones temporales
Relajación al equilibrio:
m(t )  meq (T )  A et /
para T ≠ Tc
τ(T): tiempo de relajación
frenado crítico: τ(T) ~ ξ z ~|T-Tc|z
z > 0: exponente crítico dinámico
Sistemas críticos presentan correlaciones temporales de largo alcance!
Fenómenos críticos
Invariancia de escala no trivial (longitud de
correlación divergente)
Correlaciones espaciales y temporales (entre
fluctuaciones) de largo alcance (leyes de potencia)
Sensibles ante perturbaciones externas: funciones
respuestas divergentes → leyes de potencia
caracterizadas por exponentes críticos
Universalidad → fenómenos independientes de los
detalles finos
f (r )  e r / r0
r’ [cm] = r [mm]/10
1.2
1.2
1.0
0.8
0.6
No es invariante por una
transformación de escala!
0.4
f(r) = exp(-r'/r'0)
f(r) = exp(-r/r0)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.0
0.0
r' [cm]
r [mm]
r0
r0
Las leyes de potencia son invariantes por escala
r’ [cm] = r [mm]/10
1
f (r ' )   
10 r '
f ' (r )  10 f (r ' ) 
r [mm]

f(r')*10
f(r) = 1/r



f(r') = 1/(10 r' )
1
f (r )  
r
r' [cm]
r' [cm]
1
r '