Download LA ECUACIÓN DE BOLTZMANN

LECCIÓN 3
Propiedades de transporte:
ecuación de Boltzmann
- LA ECUACIÓN DE BOLTZMANN
- LA APROXIMACIÓN DEL TIEMPO DE
RELAJACIÓN
- CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA
- COEFICIENTE DE DIFUSIÓN
- PODER TERMOELÉCTRICO
- EFECTO HALL
Ecuación de Boltzmann
Si no existiesen colisiones


dk 

 Fext ( eE )
dt
El electrón se mueve en una banda al azar.
Un campo eléctrico lo arrastra en una
determinada dirección.
t1, t2, … son instantes en los que tiene
lugar una colisión.
Ecuación de Boltzmann
En t = 0 las partículas en una posición r – dt vk alcanza la
posición r después de dt. Este concepto simple es el
importante para establecer la ecuación de Boltzmann.
r  dt vk
Ecuación de Boltzmann
En equilibrio térmico la probabilidad de que un estado esté ocupado viene dada
por f(E). Ahora se trataría de encontrar una ecuación que nos permita calcular
como varía la función de distribución en el espacio de las fases debido a los
cambios introducidos en r y k por fuerzas externas (campos).
 
e
   
J (r , t ) =
 f (r , k , t )v d k
3
4
kx
t+dt
t
dkx
dx
x
 
e
   
J  (r , t ) =
  f (r , k , t )v d k
3
4
Las fuerzas que actúan sobre el sistema
son, por una parte los campos
externos, que varían de manera suave y
dan lugar a variaciones suaves de la
posición y velocidad de las partículas y,
por otra parte, las fuerzas internas
debidas a las perturbaciones de la
periodicidad de la red: defectos,
impurezas, vibraciones de la red, etc.
MECANISMOS DE DISPERSION
Ecuación de Boltzmann
Los cambios debidos a las fuerzas exteriores que varían de manera suave
conservarían la densidad de puntos, de acuerdo con el teorema de Liouville. Por
tanto, la diferencia de concentración entre t y t + dt solo puede ser debida a los
procesos de dispersión debidos a las colisiones

 f 

 
 
f (r  dr , k  dk , t  dt )  f (r , k , t )    dt
 t col


f dr
dk
 f 


+
 k f =  
 r f +
t dt
dt
 t col

Fext
f
 f 



+ v  r f +
 k f = 

t

 t col
e   
 f 
 

v  r f + ( E  v  B)  k f =  

 t col
e   
 f 
 

v  r f + ( E  v  B)  k f =  

 t col

 
f(r , k )  f 0 (k )
f

(
)col = 
t
 (k )
Tiempo de relajación
Será una función del vector de ondas
del electrón. Para una perturbación
estacionaria:
f1(k)
e   
 f 
 

v  r f + ( E  v  B)  k f =  

 t col

 
f(r , k )  f 0 (k )
f

(
)col = 
t
 (k )
Tiempo de relajación
Será una función del vector de ondas
del electrón. Para una perturbación
estacionaria:



f(r , k )  f 0 (k )
 
e   


v  r f + ( E  v  B)  k f = 

 (k )
Podemos obtener una solución de primer orden suponiendo que la función de
distribución difiere de la de equilibrio sólo en un término pequeño:
f = f0+f1
(campos débiles y despreciamos 1ª derivada)
f1
 
e   

v  r f 0 + ( E  v  B)  k f 0 =  

 (k )
 
  
e



f1   (k )  v   r f 0 + ( E  v  B)   k f 0 




1
f 0=
1+ e
 (k ) E F

 (k ) E F
kT
 f0
 f0
=
 EF

Tiempo de relajación
 f0
1
e kT
=

kT (1 + e  (kkT) E F )2

 f 0  (k )  E F  f 0
=
T
T

 
  
e



f1   (k )  v   r f 0 + ( E  v  B)   k f 0 



 f0 
 f0 e   


 f 0




v   r E F 
 + v   r T 
 + E  v  B   k  

 T  
  
  EF 

   v

k


   f 0   
 (k )  EF  

r T 
f 1(k ) =  (k ) 
v   eE   r E F +
T

   
En el caso de que sólo actúe un campo
eléctrico sobre el semiconductor:
Tiempo de relajación

   f 0  
f 1(k ) = e (k ) 
v  E
  
Se puede demostrar que la función de distribución es igual a la de
equilibrio, pero trasladada en la dirección del vector de onda:
Es válido para campos
inferiores a 1 kV/cm
conductividad
En el caso de que sólo actúe un campo
eléctrico sobre el semiconductor:

   f 0  
f 1(k ) = e (k ) 
v  E
  
 

e
J = 3  f (k )v d  k 
4
   f0   
e

 f 0v d  k  3  e (k )   v  E v d  k
3
4
4


e


  f    
 e


0
J = 3  (k ) 
 v  E v d  k    E
4
  
2
TENSOR DE CONDUCTIVIDADES EN UN SEMICONDUCTOR
conductividad
  f 
e
 ij = 3   (k )  0 vi v j d  k
4
  
2
En el caso de bandas isótropas (superficies de energía constante
esféricas o, lo que es lo mismo, una masa efectiva escalar) y  :
  f0 2
   ii  e  (  )g ( ) 
vi d
  
2
En este caso,
vx2  v y2  vz2  vx2 
2
1 2
v 
3
3m*
y la CONDUCTIVIDAD isótropa queda:
  f0
 d
2   (  )g ( ) 
 
2e n

=
3m*
 g ( ) f 0 d
Donde n es la densidad de
electrones,
n   g ( ) f 0 d
conductividad
y la CONDUCTIVIDAD isótropa queda:
  f0
 d
2   (  )g ( ) 
 
2e n

=
3m*
 g ( ) f 0 d
Boltzmann
CASO NO DEGENERADO
  f 0  f0


   kT

   EF
f

exp

 0
kT


e 2 n   (  )g ( ) f 0 ( ) d e 2 n
 *
 *   en
m 3kT g ( ) f ( ) d
m
0
2 
donde se ha definido un promedio del tiempo de relajación
ponderado en energía. Como para el modelo de Drude, es
posible expresar la conductividad en función de una movilidad
electrónica (velocidad para un campo eléctrico unidad).
e
 *
m



y la CONDUCTIVIDAD isótropa queda:
  f0
 d
2   (  )g ( ) 
 
2e n

=
3m*
 g ( ) f 0 d
CASO DEGENERADO

k F3 
n  2 
3 

conductividad
  f0

  d (  EF )
  

m * kF
3n 
g
(
E
)




F
 2 2 2 EF 

2e 2
e 2 n ( EF )
  * EF ( EF ) g ( EF ) 
3m
m*
La conductividad en un semiconductor degenerado solo depende del valor del
tiempo de relajación para la energía correspondiente a la nivel de Fermi.
Coeficiente de Difusión


   f 0   
 (k )  EF  

r T 
f 1(k ) =  (k ) 
v   eE   r E F +
T

   
Si suponemos que la concentración de portadores no es homogénea, en
ausencia de campos:
   f 0 
f  f 0   (k ) 
v   r EF
  
El flujo de partículas (densidad de corriente de difusión) quedaría:
  

e
e
e     f 0  
 

JD =
f
(
k
)
v
d

f
v
d

v

(
k
)

v


E
d








k
k
k
0
r
F
4 3
4 3
4 3
  
Si suponemos la inhomogeneidad se da sólo en la dirección x:
J Dx = 
   f 0   dEF
2e
2    f 0  dEF
 

v

(
k
)

d


g
(

)

(
k
) 


d 
k 
 x

3
*
4
   dx
    dx
 3m
e
Coeficiente de Difusión
J Dx = 
   f 0   dEF
2e
2    f 0  dEF
 

v

(
k
)

d


g
(

)

(
k
) 


d 
k 
 x

3
*
4
   dx
    dx
 3m
e
Si se trata de un semiconductor no degenerado
n  NC e

Ec  EF
kT
2e

J Dx =  
*
 3m


dn
 NC e
dx
Ec  EF
kT
1 dE F
n dE F

kT dx
kT dx
 f
dn
 kT dn
0
 g ( ) (k )
d 
 eD
kT
dx
 n dx
relación de Einstein (caso no degenerado)
kT 2
D=
*
n 3m
 f
kT 
kT
0
  g ( ) (k ) kT d  m*  e 
Coeficiente de Difusión
J Dx = 
   f 0   dEF
2e
2    f 0  dEF
 

v

(
k
)

d


g
(

)

(
k
) 


d 
k 
 x

3
*
4
   dx
    dx
 3m
e
Si se trata de un semiconductor no degenerado
1  2 m*e 
 2 
n=
2
3   
dn

dx
3/ 2
( E F  EC )
3/ 2
3n dEF
2 E F dx

 2e
 2 EF dn
J Dx    *   g ( ) (k )d (  EF ) d 
 3m
 3n dx
Para los semiconductores degenerados el coeficiente de difusión es
dependiente de la concentración
2 2
2 2 EF
D
EF g ( EF ) ( EF ) 

*
3m
3n
3e
Si se establece un gradiente de temperatura en la
muestra habrá un mayor flujo de electrones desde la
zona caliente hacia la zona fría, por lo que se produce
una acumulación de carga que dará lugar a un campo
eléctrico interno.

E
T
+
+
+
+
V
+

v
+
T+T
+


v  v
+
Extremo caliente negativo
-
V+V
Semiconductor de tipo p

E
T
-
V
-

v
Poder termoeléctrico
T+T
-


v  v
-
Extremo caliente positivo
Semiconductor de tipo n
+
+
+
+
V+V
Respuesta a gradientes de temperatura:
fuerza termo-electromotriz

ETE   T
V   T
Si se establece un gradiente de temperatura en la
muestra habrá un mayor flujo de electrones desde la
zona caliente hacia la zona fría, por lo que se produce
una acumulación de carga que dará lugar a un campo
eléctrico interno.

Poder termoeléctrico

   f      (k )  E

F
0
 rT 
f 1 (k ) =  (k ) 
v   eE 
T
   

La densidad de corriente
asociada será:



e 
  f 0      (k )  EF   
J=
v  (k ) 
 r T d  k
v   eE 
4 3 


T

 

Si la muestra está en circuito
abierto, la corriente debe ser nula:


e     f 0     ( k )  EF  
E  3  v  (k ) 
 r T  d  k  0
v  
4
T
   

Lo que implica la aparición de un campo eléctrico proporcional al gradiente de
temperatura:



1 e 
  f 0     (k )  EF   
EdT  
v  (k ) 
r T  d  k
v  

3
 4
T

   

Poder termoeléctrico
   f   (k )  E dT 
1 e
dT
2
F
0 
 d  k  
Ex  
v  (k ) 

3 x
 4
T
dx 
dx
  
El coeficiente de proporcionalidad es el llamado poder termoeléctrico o
coeficiente de Seebeck. Para bandas isótropas y tiempos de relajación
dependientes de la energía podemos escribir:
  f 0    EF 
 
  (  )g(  )    T  d 
 3m*



1 2e

1 2e
 3m*T
 depende del signo de los
portadores
1 2eE F
  f0
  f0

(

)g(

)
 d 

 d

*
 3m T
  
  
2
   (  )g(  ) 
En semiconductores no degenerados, el
primer término depende del mecanismo de
dispersión (a través del tiempo de relajación)
y es mucho más pequeño que el segundo, por
lo que el poder termoeléctrico se puede
aproximar a:
k EF
k NC
 
  ln
e kT
e
n
En semiconductores degenerados, es fácil ver que  se anula, consecuencia de la aproximación de
la derivada de f0 a una delta de Dirac. Si se tienen en cuenta términos de orden superior, se obtiene
que el poder termoeléctrico es proporcional a la temperatura (anulándose a T=0 K, temperatura a la
que es estrictamente válida la aproximación).



f(r , k )  f 0 (k )
 
e   


v  r f + ( E  v  B)  k f = 

 (k )
Efecto Hall
En la aproximación de primer orden no es posible abordar el efecto Hall, por anularse el término en
que aparece el campo eléctrico. Entonces, hemos de mantener en la ecuación de Boltzmann la
derivada de f1 multiplicando al término del campo magnético. Si nos limitamos a campos eléctricos y
magnéticos, sin gradientes de temperatura ni de concentración:
e  
e  
f1

E   k f 0  (v  B)   k f1 =  


 (k )
La solución de primer orden era:
Y sustituyendo:

   f     f  
0
0
f 1 (k ) =  (k ) 
v  eE   
v  A
  
  


e (k )  
  f 0 
(v  B)   k f1 = f1

v  A 

  
Busquemos ahora soluciones del mismo tipo:
   f  
0
f 1 (k ) =  
v  C
  


e (k )  
  f 0 
(v  B)   k f1 = f1

v  A 

  
 k
   f    Efecto Hall
0
f 1 (k ) =  
v  C
  
    f 0      f 0 




f 1(k ) =  k  
 v  C   
 k v   C 
  
   
 2 f 0 
    f0  



  v  C   
 
 *C
  2  k
   m


Si sustituimos en la ecuación diferencial, el primer término se anulará al multiplicarlo escalarmente
por la fuerza magnética ya que es proporcional a la velocidad, quedándonos:

  f 0    e (k )   f 0       f 0   

v  A  *  
(v  B)  C =  
v  C
m   
  
  
Eliminando la derivada de f0
obtenemos:

  e (k )     
v  A  * (v  B )  C = v  C
m
 
    
v  A   (v  B )  C = v  C
    
 
v  A   (B  C)  v = v  C
Multiplicando escalarmente
y vectorialmente por B
Efecto Hall

v


 
A   (B  C) = C
   
A B = C  B
 
  
 
B  A  B  ( B  C ) = B  C 
 
AC

 
 
 
2 
B  A   B  ( B  C ) = A  C
  
 
2 2
B  A   B C = A  C
  

2 2
(1   B )C = A  A  B
Ecuación que permite obtener la corriente
en presencia de un campo eléctrico y un
campo magnético cruzados:
 

 A  A  B
C=
(1   2 B 2 )
 

   f 0      f 0   A  A  B
f 1(k ) =  
v  C   
v 
2 2
  
   (1   B )
 



e
  f 0   E  E  B  
J=
e

(
k
)
v dk

v 
2 2
3
4
   (1   B )
Efecto Hall
Esta expresión para la densidad de corriente permite contemplar todos los
casos posibles (semiconductor degenerado o no degenerado, campo débil o
intenso, muestra limitada o ilimitada, etc). Si nos limitamos al caso de un
semiconductore no degenerado en campo débil (2B2<<1)
  (  ) g ( ) f ( ) d
  3kT  g ( ) f d
2
 e 2 n   (  )g ( ) f 0 ( ) d  e3n
J *
E
2
3
kT
m
m*
g
(

)
f
d

0
2 
2
0
 
EB
0
2


 e2n



  

 
e3 n
e
2

J  *  E  * 2  E  B  E  *
E  B  E   H E  B 


m
m

m


 
2 1
RH  2
 en
Este factor de Hall e similar al del modelo de Drude, salvo un factor que depende
de la dependencia en energía del tiempo de relajación. Para dispersión por
fonones acústicos, ()=cte -1/2 y dicho factor vale 1.18. Para dispersión por
impurezas ionizadas, ()=cte 3/2 y dicho factor vale 1.93.
En las otras situaciones (campo intenso, semiconductor degenerado), se puede
demostrar que el resultado es idéntico al del modelo de Drude, ya que la
dispersión es irrelevante, esto es, todos los electrones que intervienen en el
transporte relajan en el mismo tiempo (electrones en el nivel de Fermi), o por que
el movimiento electrónico está dominado por el intenso campo magnético.