Download Sistemas de ecuaciones lineales.

U.D. 7 * 2º ESO
SISTEMAS
@ Angel Prieto Benito
Apuntes Matemáticas 2º ESO
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U.D. 7.1 * 2º ESO
ECUACIONES LINEALES CON
DOS INCÓGNITAS
@ Angel Prieto Benito
Apuntes Matemáticas 2º ESO
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ECUACIONES CON DOS
INCÓGNITAS
•
•
Decimos que una ecuación es lineal ( o de primer grado ) cuando el exponente
de todas las incógnitas es la unidad.
Un sistema de ecuaciones lineales es aquel en que todas sus ecuaciones son
lineales.
•
Ejemplos:
•
•
x–5
=7
2.x – 3.y = 1
•
La expresión general de una ecuación de primer grado con dos incógnitas es:
•
a.x + b.y = c
•
Donde a es el coeficiente de x, b es el coeficiente de y, y c es el término
independiente.
•
Las soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas son pares
de números que verifican la ecuación.
@ Angel Prieto Benito
3 – 4.y = 5
x – 2.z = – y
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Ejemplo 1
•
Entre Ana y Juan han comprado 10 bolígrafos en una librería. ¿Cuántos
bolígrafos ha comprado cada uno?.
•
•
Sea x los bolígrafos que ha comprado Ana (x>0).
Sea y los bolígrafos que ha comprado Juan (y>0).
•
•
Podemos poner la ecuación:
x + y = 10
•
•
•
•
•
Solución 1:
Solución 2:
Solución 3:
…..
Solución 9:
•
•
•
Como se ve las soluciones son pares de valores (x,y).
En este caso sólo hay 9 soluciones al ser los valores de x e y números naturales.
Si x e y no fueran números racionales habría infinitas soluciones.
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x=1, y=9
x=2, y=8
x=3, y=7
x=9, y=1
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Ejemplo 2
•
Entre Ana y Juan han comprado 100 caramelos. Ana los ha comprado de dos
en dos y Juan de tres en tres. ¿Cuántos caramelos ha comprado cada uno?.
•
•
Sea x las veces que Ana ha comprado caramelos (x>0).
Sea y las veces que Juan ha comprado caramelos (y>0).
•
•
Podemos poner la ecuación:
2.x + 3.y = 100
•
Despejamos una incógnita, la x por ejemplo:
•
x = (100 – 3.y) / 2
•
Como x tiene que ser un número entero, (100 – 3.y) tiene que ser un número par,
múltiplo de 2, y por tanto 3.y debe ser par:
•
•
Soluciones
•
En este caso hay muchas soluciones.
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3.y = 6, 3.y = 12, 3.y = 18, 3.y = 24, etc.
2.x = 94, 2.x = 88, 2.x = 82, 2.x = 76, etc
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Ejemplo 3
•
Entre Ana y Juan se quieren repartir una tarta de chocolate. ¿Qué
porción de tarta corresponderá a cada uno?.
•
•
Sea x la porción de tarta que coge Ana (x>0).
Sea y la porción de tarta que coge Juan (x>0).
•
•
Podemos poner la ecuación:
x+y=1
•
Despejamos una incógnita, la x por ejemplo:
•
y=1–x
•
•
Soluciones
•
Vemos que hay infinitas soluciones, infinitas maneras de repartir una tarta
entre dos personas.
@ Angel Prieto Benito
x = 1/2, x = 1/3, x = 1/4, x = 3/7, x = 21/52, etc.
y = 1/2, x = 2/3, x = 3/4, x = 4/7, x = 31/52, etc.
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•
•
•
•
•
@ Angel Prieto Benito
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Sea x un número.
Sea y el otro número.
Podemos poner la ecuación:
x + y = 12
Despejamos una incógnita, la y por
ejemplo:
y = 12 – x
Soluciones
x  0 1 2 3 … 12
y  12 11 10 9 … 0
Vemos que hay infinitas
soluciones, tantas como puntos
tiene la recta.
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•
•
•
•
•
4
La suma de dos números es
12.¿Cuáles son dichos
números?.
0
•
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Ejemplo 4 Gráfico
-4
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0
4
8
12
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SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE
ECUACIONES LINEALES
• Resolver un sistema es hallar los valores de las incógnitas que
cumplen con todas y cada una de las ecuaciones.
• Sea el sistema x + y = 2
•
x–y=0
(1)
(2)
• Las soluciones de la ecuación (2) son todos los valores de x e
y donde x = y. Hay infinitas soluciones para la ecuación (2).
• Pero se debe cumplir también que su suma valga 2, para que
se cumpla la ecuación (1)
• Como se puede apreciar por su sencillez la única solución
posible es x = 1 e y = 1, pues son los valores de las incógnitas
que hacen posible que se cumplan las dos ecuaciones que
forman el sistema.
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SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE
ECUACIONES LINEALES
• Si cada ecuación de un
sistema hemos visto que se
puede representar por una
línea recta, al dibujar las dos y=1
rectas en un mismo sistema
de ejes, las coordenadas del
punto de corte de las rectas
será la solución del sistema:
• Sea el sistema
• x+y=2
• x–y=0
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(1)
(2)
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x=1
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• Cuaderno: Ejercicios
• Comprobar que el punto x = 3, y = – 1 es solución de los
siguientes sistemas:
• 1.
•
x+y=2
x–y=0
• 2.
•
x + 2y = 0
2x – y = 7
• 3.
•
x + 3y = 6
3x – 2y = 7
• 4.
•
2x – 5y = 11
x–y=4
• 5.
•
x–4=y
6 – 3y = 3x
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