Download Perímetros y áreas de polígonos.

U.D. 9
* 3º ESO E.AP.
GEOMETRÍA
PLANA
@ Angel Prieto Benito
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
1
U.D. 9.10 * 3º ESO E.AP.
CUADRILÁTEROS Y
EXÁGONO
@ Angel Prieto Benito
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
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CUADRILÁTEROS
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Los CUADRILÁTEROS son los polígonos de cuatro lados.
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Se clasifican en:
TRAPEZOIDE
No tiene ningún lado paralelo.
Ejemplo: La cometa.
TRAPECIO
Tiene dos lados paralelos llamados bases.
Trapecio: Tiene lados y ángulos distintos.
Trapecio isósceles : Tiene dos lados iguales.
Trapecio rectángulo : Tiene dos ángulos rectos.
PARALELOGRAMOS
Tienen los lados paralelos dos a dos.
Cuadrado: Tiene los lados iguales y los ángulos rectos.
Rectángulo: Tiene los ángulos rectos.
Rombo : Tiene los lados iguales.
Romboide : Tiene los lados y ángulos opuestos iguales.
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Apuntes de Matemáticas 3º ESO
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PARALELOGRAMOS
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Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene los lados opuestos paralelos
dos a dos.
Los paralelogramos tienen los lados opuestos iguales.
Los paralelogramos tienen los ángulos opuestos iguales.
Las diagonales se cortan en su punto medio.
Las diagonales de un cuadrado son iguales y perpendiculares.
Las diagonales de un rectángulo son iguales.
Las diagonales de un rombo son perpendiculares.
Cuadrado
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Rectángulo
Rombo
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Romboide
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CUADRADO
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Ejemplo_1
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La diagonal de un cuadrado mide 3
cm más que el lado. Hallar su
perímetro y su área.
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P = 4.l  Necesitamos el lado.
A = l2  Necesitamos el lado.
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Por Pitágoras:
d = l.√2
l + 3 = l.√2  3 = l.√2 – l
3 = l.(√2 – 1)
l = 3 / 0,4142 = 7,24
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P = 4.l = 4.7,24 = 28,96 cm
A = l2 = 7,24.7,24 = 52,42 cm2.
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Ejemplo_2
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Hallar el área de un
cuadrado en función de su
diagonal.
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d = l.√2  l = d / √2
A = l2
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A = l2 = (d / √2 )2 =
= d2 / √22 = d2 / 2
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
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RECTÁNGULO
b
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Ejemplo_3
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En un rectángulo un lado es 5 cm mayor
que el otro y la diagonal mide 10 cm.
Hallar la base y la altura del rectángulo.
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Pongamos h = b+5
Por Pitágoras:
d = √( b2 + (b+5)2 )
102 = b2 + b2 + 10.b + 25
2.b2 + 10.b + 25 – 100 = 0
2.b2 + 10.b – 75 = 0
Resolviendo la ecuación:
-10 + √(100+600)
b = ---------------------- = 4,11 cm
4
h = b + 5 = 9,11 cm
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d
h
h
d’
b
P = 2.b+2.h
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
A = b.h
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RECTÁNGULO
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Ejemplo_4
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En un rectángulo el perímetro mide 9 cm y el área vale 4,5 cm2. Hallar la
diagonal.
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P = 2.b + 2.h  9 = 2.b + 2.h (1)
A = b.h
(2)
De la primera ecuación:
h = (9 – 2.b)/2 = 4,5 – b
Sustituyendo en la segunda:
4,5 = b.(4,5 – b)  4,5 = 4,5.b – b2
b2 - 4,5.b + 4,5 0
Resolviendo la ecuación:
4,5 +/- √(20,25 - 18)
b = ----------------------------- = = (4,5 +/- 1,5) / 2 = 3 y 1,5 cm
2
Y la altura será: h=4,5 – b  h = 1,5 y 3 cm respectivamente.
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ROMBOIDE
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Ejemplo_5
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En un romboide la altura mide 2 cm menos que la base, y sabemos
además que el área vale 12 cm2. Hallar la altura, la base y el lado oblicuo.
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Resolución:
b
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A = b.h 
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Sustituyendo el valor de h de la (1) en la (2):
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h = b – 2 (1)
8 = b.h (2)
l
h
l
b
8 = b.(b – 2 )  8 = b2 – 2.b  b2 – 2.b – 8 = 0
2 +/- 6
Resolviendo la ecuación: b = ----------- = 4 y - 2  b = 4 cm
2
Luego h = b – 2 = 4 – 2 = 2 cm
y l = indeterminado
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ROMBO
l
l
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Ejemplo 6
•
En un rombo la diagonal mayor es 4
cm mayor que la diagonal menor, y el
lado del rombo mide 10 cm.
Hallar el área del rombo.
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d
D
l
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l
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En el triángulo rectángulo resaltado,
por Pitágoras:
l = √ [ (D/2)2 + (d/2)2 ]
10 = √ [ ((d+4)/2)2 + (d/2)2 ]
100 = (d2 + 8d + 16) / 4 + d2 / 4
400 = d2 + 8d + 16 + d2
2.d2 + 8d – 384 = 0
Ecuación de 2º grado.
Resolviendo la ecuación: d = 12
Luego D = 12+4 = 16
y A = D.d / 2 = 96 cm2
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TRAPECIOS
b
•Un TRAPECIO es el cuadrilátero ( 4
lados ) que tiene dos lados ( bases)
paralelos.
l
•La base mayor se designa por “B” y la
base menor por “b”.
•PERÍMETRO: P = B + b + l + l ’
b
h
B
B
h
•Si unimos dos
trapecios como en la
figura, se forma un
romboide, de área:
•A = (B+b).h
B
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h
l
’
b
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•Luego el área del
trapecio será la mitad
del romboide.
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TRAPECIO
b=5
•EJEMPLO_8
•En un trapecio las bases miden 7 y 5
cm y el área vale 48 cm2.
l’
l
h
h
•Hallar la altura, los lados oblicuos y
dibujarlo.
B=7
•Sabemos que:
•Luego
A = [(B+b) / 2].h
48 = [(7+5)/2].h  48 =(12/2).h  48 = 6.h  h = 8 cm
•Pero, sin más datos, el trapecio es indeterminado (infinitas soluciones).
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TRAPECIO
•EJEMPLO_9
b=5
•En un trapecio isósceles las bases
miden 11 y 5 cm y el área vale 48 cm2.
•Hallar la altura, los lados oblicuos y
dibujarlo.
•Sabemos que:
•Luego
l
l
h
A = [(B+b) / 2].h
h
B=7
48 = [(11+5)/2].h  48 =(16/2).h  48 = 8.h  h = 6 cm
•Además a ambos lados se forma un triángulo rectángulo:
•Cateto mayor = altura , cateto menor = (B – b) / 2 , hipotenusa = lado l
•Luego l = √ (h2 + [(B – b)/2]2) = √ (62 + [(11 – 5)/2]2) = √ (36 + 9) = √45 cm
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TRAPECIO
•EJEMPLO_10
b=5
•En un trapecio rectángulo el
perímetro mide 30 cm, las
bases miden 11 y 5 cm y la
altura es 2 cm menor que el
lado oblicuo..
l
l
h
h
•Hallar el área y dibujarlo.
•Sabemos que:
•Luego
A = [(B+b) / 2].h
A = [(11+5)/2].h  A = 8.h
B = 11
•Además P = B + b + h + l  30 = 16 + h + l
•Como h = l – 2  30 = 16 + (l – 2 ) + l  30 = 16 + 2.l – 2
•Luego 2.l = 16  l = 8 cm
•El área será
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y por tanto h = 6 cm
A = 8.h = 8.6 = 48 cm2
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TRAPEZOIDE
Ejercicio
•Hallar el área del cuadrilátero de lados:
•a = 7 cm, b = 10 cm, c = 12 cm y d = 7 cm
•Sabiendo que el ángulo que forman los lados a y d es de 110º.
c
•Resolución:
•Dividimos el trapezoide
en 4 triángulos.
b
P
d
a
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•Trazamos las 4 alturas,
una por cada triángulo.
•Medimos las alturas.
•Calculamos el área de
cada triángulo y sumamos
las cuatro áreas halladas.
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EXÁGONO
•
Ejercicio_1
•
En un exágono el perímetro vale 54
cm. Hallar el área.
•
•
PERÍMETRO: P = 6.l
54 = 6.l  l = 54 / 6 = 9 cm
•
•
ÁREA: A = P. apo / 2
Apo = l. √3 /2 = 4,5.√3
•
A = 54. 4,5. √3 / 2 = 121,5.√3 cm2
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l
l
apo
l
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