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GRAVITACIÓN
Claudio Tolomeo
Siglo II a.C.
Nicolás Copérnico
1473 – 1543
Johannes Kepler
1571 – 1630
Isaac Newton
1643 -1727
1. MODELOS DEL UNIVERSO
INTRODUCCIÓN
Las primeras teorías sobre el origen y funcionamiento
del Universo aparecen en la antigua Grecia. Los
filósofos y astrónomos griegos emiten las primeras
teorías racionales sobre la forma de la Tierra y su
posición en el Universo.
Así la idea de una Tierra esférica se debe a Filolao de
Tarento (siglo V a.C.), era el único modelo capaz de
explicar la desaparición gradual del casco y vela de los
barcos tras el horizonte y el que la sombra que la
Tierra proyecta sobre la Luna en los eclipses sea
circular.
1.1 MODELO GEOCENTRICO
En el siglo IV a.C. Platón elaboró una teoría del
Universo basada en los siguientes axiomas:
• La Tierra esférica. Ocupa el centro del Universo
• Los cuerpos celestes son de carácter divino y se
mueven en torno a la Tierra con movimientos
circulares uniformes
Esta teoría es conocida el nombre de Teoría
Geocéntrica del Universo.
Esta teoría no explicaba las observaciones de los rizos
que los planetas describían en el cielo.
Para explicar estos rizos, Eudoxo de Cnido amplía el
modelo de Platón, introduciendo la teoría de las esferas.
Según esta teoría, cada astro gira en torno a la Tierra
llevado por una o mas esferas transparentes
concéntricas con la Tierra.
Para las estrellas fijas le bastaba una esfera, para el Sol
y la Luna eran necesarias 3 esferas y para los movimientos
mas complejos de los planetas eran necesarias 4 esferas
para cada planeta. Así Eudoxo explicó todo el Universo
conocido entonces con 27 esferas.
Aristóteles, siglo IV a.C., acepta los axiomas de Platón y
añade que el Cosmos está dividido en dos partes, el
mundo sublunar y el mundo supralunar. El mundo
sublunar comprende todo lo que se encuentra bajo la
órbita de la Luna, o sea el mundo terrestre de los
cambios y de los movimientos de todo tipo.
El mundo supralunar
es de armonía
perfecta y los
planetas son esferas
que giran, contenidos
en esferas
transparentes, con
movimiento rectilíneo
y uniforme.
El modelo de Aristóteles se encontró con dos
dificultades importantes.
1. Los cuerpos celestes no salen, ni se ponen, siempre
en el mismo punto del horizonte.
2. El cambio de brillo de los planetas no era
explicable si la distancia de estos a la Tierra era
constante.
En el siglo II a.C., Hiparco de Nicea, estudió el
movimiento del Sol, y observó que este no tiene
siempre la misma velocidad.
Propuso un modelo en el cual
el Sol se mueve en un círculo,
epiciclo; el centro del epiciclo
a su vez se mueve en torno a
la Tierra, describiendo otro
círculo llamado deferente.
En el siglo II de nuestra era, Claudio Ptolomeo
continuó el trabajo de Hiparco, pero necesitó postular
la existencia de 40 circulos encajados unos dentro de
otros y girando al mismo tiempo. Este sistema
reproducía los movimientos observados de los planetas
con bastante exactitud, pero las curvas que estos
describían eran complejas y además no fue capaz de
dar una explicación física de ellos.
El modelo de Ptolomeo
fue aceptado durante
más de mil años.
1.2 MODELO HELIOCÉNTRICO
El primer modelo heliocéntrico conocido se debe a
Aristarco de Samos, siglo III a.C., sugirió que podría
resultar un esquema simple del Universo si se colocase
al Sol en el centro de este, y si la Tierra, la Luna y los
cinco planetas conocidos hasta entonces girasen a su
alrededor en orbitas circulares con distintas
velocidades.
Esta representación heliocéntrica permite explicar
por qué los planetas poseen diferente brillo a lo largo
del año, pues su distancia a la Tierra también es
variable.
Este modelo no llegó a tener éxito dado el enorme
prestigió alcanzado por Aristóteles defensor del
modelo geocéntrico.
Copérnico, a principios del siglos XVI , elaboró un
modelo del Universo colocando al Sol en su centro y a
los planetas, incluida la Tierra, describiendo
movimientos circulares uniformes en orbitas epiciclos y
deferentes manteniendo lo postulado por Tolomeo.
Postuló el movimiento de rotación de la Tierra y la
inclinación del eje de giro.
Pasó mas de un siglo
hasta que el modelo
heliocéntrico tuviese una
aceptación
total
por
parte de los científicos.
En la aceptación definitiva del modelo heliocéntrico
desempeñó un papel importante Tycho Brahe (15461601), determinó con bastante precisión las posiciones
de los planetas, antes de la invención del telescopio. Este
astrónomo, sin embargo, seguía siendo un gran defensor
de la teoría geocéntrica.
El descubrimiento del telescopio por Galileo Galilei, en
1609 confirmó la teoría y marcó las pautas para las
modificaciones introducidas posteriormente por Kepler.
http://www.cervantesvirtual.com/historia/th/teorias_c
ientificas.shtml
http://www.natureduca.com/cosmos_teorias2.php
http://www.slideshare.net/conynetgromis/teoriageocentrica-y-heliocentrica
2.- FUERZAS CENTRALES
2.1 MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA
EN MOVIMIENTO
2.1.1 Momento de una fuerza respecto a un punto
Al abrir o cerrar una puerta, hacemos una fuerza sobre
ella y lo normal es que la hagamos a la altura de la
manilla pues la experiencia nos dice que no es lo mismo a
esta altura que en un punto mas próximo al eje de giro.
También la experiencia nos dice cual es la dirección para
que la acción de la fuerza se mas eficaz, solemos
empujar en dirección perpendicular al plano de la puerta.
Este efecto de giro se estudia en física por una
magnitud que llamamos momento de una fuerza.
Se define el momento de una fuerza, MO,
respecto a un punto O, como el producto vectorial
del vector posición que une el punto O con el punto
de aplicación de la fuerza, r, por el vector
fuerza, F,
MO = r λ F
Se trata de una
magnitud
vectorial
perpendicular a los
vectores r y F, cuyo
sentido viene dado
por la regla del
producto
vectorial
(sacacorchos)
Teniendo en cuenta que cada vector lo podemos
expresar por medio de componentes
r=x.i+y.j+z.k
F = Fx . i + Fy . j + Fz . K
i j k
MO = r λ F = x y z =
Fx Fy Fz
(y . Fz – z . Fy) . i - (x . Fz – z . Fx ) . j + (x . Fy – y . Fx) . K
Y el modulo del momento de la fuerza será:
MO = r . F . sen α
La unidad del momento en el S.I. será m . N, que no
debe confundirse con la unidad de trabajo, el julio,
(también es N . m). El trabajo es una magnitud escalar
mientras que el momento es una magnitud vectorial.
2.1.2 Momento lineal y momento angular
El curso pasado se definió, al estudiar los
movimientos de translación, una magnitud física que
llamamos momento lineal o cantidad de movimiento,
p, capaz de medir la capacidad de los cuerpos, en
movimiento rectilíneo, de ejercer fuerzas sobre otros
que se encuentren en su camino.
Es una magnitud vectorial que se define como el
producto de la masa del cuerpo, m, por su velocidad,
v.
P = m . v
Tendrá por dirección la del vector v y por sentido el
mismo de v. Su modulo será: p = m . v
p1
p2
En movimientos de rotación el papel del momento lineal
lo ejerce una nueva magnitud, llamada momento
angular o cinético.
El momento angular de una partícula, L, de masa
m, que describe un movimiento de rotación
alrededor de un punto, O, se define como el
momento de su momento lineal, p, o cantidad de
movimiento respecto a dicho punto O.
p
L = r λ P = r λ (m.v)
Es un vector perpendicular al
plano formado por r y p. Su
modulo será:
L = m . r . v . sen α
Será positivo si el movimiento
es de sentido contrario a las
agujas del reloj y negativo en
caso contrario
2.1.3 Variación del momento angular con el tiempo
Supón una partícula de masa m sobre la que actúa una
fuerza F. Debido a esta fuerza la partícula describe un
movimiento de rotación alrededor de un punto O
F
El momento angular de la partícula
respecto a O es:
L=rλp
La variación del momento angular
con el tiempo, es:
dL ‗ d (r λ p) ‗ dr λ p + r λ dp
dt dt
dt
dt
En esta expresión el termino
dr λ p ‗ 0 pues su modulo es cero
dt
ya que dr/dt = v y v y p son
vectores paralelos v λ p = v . p .
sen 0 = 0
luego
dL ‗ d (r λ p) ‗ r λ dp
dt dt
dt
Pero además tenemos que: dp ‗ d(m.v) ‗ m . dv + v . dm
dt dt
dt
dt
En donde v . dm/dt = 0 pues la masa no varía con el
tiempo (dm/dt = 0) y dv/dt = a
luego tenemos que dp ‗ m .a = F
dt
Por tanto
dl ‗ r λ F = M0
dt
La variación que experimenta el momento angular al
transcurrir el tiempo coincide con el momento,
respecto a un punto O, de la fuerza aplicada
2.1.4 Teorema de conservación del momento angular
Si el momento de las fuerzas que actúa sobre una
partícula es nulo, entonces la expresión:
dL ‗ r λ F =M0 = 0 → L = cte
dt
Si el momento angular de una partícula permanece
constante, el momento de la fuerza aplicada sobre la
partícula es nulo.
Esto sucede bien cuando r = 0,
bien cuando F = 0 o también
cuando r λ F = 0. Para que se de
esta ultima circunstancia r y F
tienen que tener la misma
dirección, entonces
r λ F = r . F sen 0º = 0
Las fuerzas que cumplen esta
ultima condición reciben el nombre de fuerzas centrales
3. LEYES DE KEPLER
Basándose en las observaciones realizadas por Ticho
Brahe y en las suyas propias, Kepler formuló las tres
leyes que llevan su nombre y que sirven para justificar el
modelo heliocéntrico del Universo.
• Primera ley de Kepler
Los planetas describen orbitas elípticas alrededor del
Sol, estando este situado en uno de los focos de la
elipse
• Segunda ley de Kepler
Los radio vectores que unen los planetas con el Sol
barren áreas iguales en tiempos iguales. La relación
que existe entre el área barrida por el radio vector y el
tiempo que tarda en recorrerla se denomina velocidad
areolar.
A/t = vareolar
Ley de las áreas: si el
tiempo que tarda el
planeta en ir de P1 a
P2 es el mismo que el
que tarda en ir de P'1
a P'2, las áreas A1 y
A2 son iguales.
Como el radio vector es variable, es mínimo en el perihelio
y máximo en el afelio, la velocidad del planeta en la órbita
tiene que ser variable, máxima en el perihelio y mínima en
el afelio.
• Tercera ley de Kepler
El cuadrado del período de la órbita de cualquier
planeta es proporcional al cubo del semieje mayor de
la orbita elíptica.
Si T es el período de la órbita, y si a es el semieje mayor
de la elipse, entonces la expresión matemática de la 3ª
ley de Kepler es:
T2/a3 = K
Período. Es el
tiempo que tarda
un planeta en
recorre su órbita
K se conoce como constante de Kepler. Su valor es el
mismo para el movimiento de cualquier planeta alrededor
del Sol, y puede calcularse conociendo el T de un planeta;
por ejemplo para el movimiento de la Tierra alrededor del
Sol es cierto que, T = 365,25 días = 1año y a = 149. 106
Km, que se conoce como unidad astronómica (U.A). De
modo que reemplazando en la Tercera ley de Kepler: K =
T2/a3 = (1 año)2/(1 U.A.)3 = 1 año2/U.A.3
A partir de esta ley, conocidos el semieje mayor de la
órbita terrestre y el periodo de rotación alrededor del
Sol, y además el periodo de rotación de otro planeta,
podemos calcular el semieje mayor de este planeta
respecto al Sol
http://recursostic.educacion.es/newton/web/materiales
_didacticos/campo_gravitatorio/index.htm
4. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
En su teoría de la gravitación universal Isaac Newton (16421727) explicó las leyes de Kepler y, por tanto, los
movimientos celestes, a partir de la existencia de una
fuerza, la fuerza de la gravedad, que actuando a distancia
produce una atracción entre masas. Esta fuerza de gravedad
es la misma fuerza que en la superficie de la Tierra
denominamos peso.
Newton demostró que la fuerza de la gravedad tiene la
dirección de la recta que une los centros de los astros y el
sentido corresponde a una atracción. Es una fuerza
directamente proporcional al producto de las masas que
interactúan e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia que las separa. La constante de proporcionalidad,
G, se denomina constante de gravitación universal.
Expresión vectorial de la ley de
gravitación universal. El signo
menos indica que el sentido de la
fuerza es contrario al del vector
unitario ur, como puede verse en la
figura.
4.1 Constante G
Newton no pudo medir la constante de gravitación
universal, G, al no disponer de instrumentos que lo
hiciesen posible. Su valor lo calculó en 1798 Cavendish.
Para ello utilizó una balanza de torsión en la que la barra
horizontal que separaba las masas pequeñas medía 1,80
m de longitud. Dicha barra estaba suspendida en su
punto medio de un hilo metálico muy fino que llevaba
adherido un espejo, en el que se reflejaba un rayo de
luz, que posteriormente
incidía sobre una escala
graduada.
En los extremos de la
varilla colocó dos masas
de 739 g cada una y
aproximo a cada extremo
masas de plomo de 159
kg., esto hizo, según la
ley vista que, el sistema
formado por la varilla y la
dos masas pequeñas girase, al ser atraídas por las masas
de plomo.
Ese giro producía una torsión en el hilo metálico que
hacía girar el espejo. Entonces, el rayo de luz se
desviaba e incidía sobre otro punto de la escala
graduada, lo que permitía calcular el ángulo de giro, con
él, calculó el momento de la fuerza que mueve el péndulo
y en consecuencia la fuerza de torsión aplicada sobre el
hilo metálico, que es la debida a la interacción
gravitatoria entre las masas.
De este modo despejando G de la ecuación de
gravitación G = F. r2 /M . m se obtuvo el valor
G = 6,67 . 10-11 N.m2/kg2
La ecuación de dimensiones de G es:
[G] = [F.r2/m2] = M . L . T-2 . L2 / M2 = M-1 . L3 . T-2
G representa la fuerza con que se atraen dos masa
de un kg al situarlas a un m de distancia.
El valor tan pequeño de G explica porque la fuerza de la
gravedad solo es apreciable cuando alguno de los cuerpos
implicados tiene gran masa.
4.2 Periodo de revolución de un planeta
Se define como el tiempo que tarda un planeta en
completar su orbita alrededor del Sol.
El cálculo del periodo de revolución de los planetas puede
hacerse de dos formas:
1. Utilizando la tercera le de Kepler: T2 = K . a3
Siempre que conozcamos además del radio de su orbita,
el periodo de revolución de otro planeta y su radio (se
suponen siempre orbitas circulares con el módulo de la
velocidad constante). T2 / r3 = T12 / r13
2. Considerando que la fuerza que produce el movimiento
(fuerza gravitatoria) es una fuerza central y por
tanto está dirigida hacia el centro, se trata pues de
una fuerza centrípeta, pudiéndose establecer la
igualdad:
FG = FC
G . MS . mP ‗ mP . v2
r2
r
Simplificando y despejando v tenemos:
v = (G . MS / r)1/2
Y como
T = 2πr / v
Sustituyendo v nos queda:
T = 2πr / (G . MS / r)1/2
4.3 Interacción de un conjunto de masas puntuales.
Principio de superposición
La interacción gravitacional
entre dos cuerpos se
u1
u2
manifiesta como una pareja de
2
fuerzas iguales en modulo y
1
dirección, pero con sentido
contrario, cada una de ellas
actuando sobre un cuerpo distinto. (Principio de ac.y re.)
Así podemos poner, teniendo en cuenta la figura que:
F1 = - F2 o que F1 = F2
Pero ¿que sucederá si son varios los cuerpos que
interaccionan entre sí?
Supongamos tres masas
puntuales m1, m2 y m3, la
fuerza gravitatoria conjunta
que ejercen las dos primeras
sobre la tercera es igual a la
suma vectorial de la fuerza
que ejercería la primera
sobre la tercera si la segunda
no estuviera presente más la
que induciría la segunda sobre
la tercera si no existiera la
primera masa.
Es decir:
Sería posible escribir ecuaciones similares para cualquier
otra combinación de las fuerzas y las masas que
intervengan.
Principio de Superposición de fuerzas : la fuerza que
ejerce un cuerpo sobre otro es independiente de la
que ejercen los demás.
5. CONCEPTO DE "CAMPO“
Surge el concepto de la necesidad de explicar la forma
de interacción entre cuerpos en ausencia de contacto
físico. La acción a distancia se explica entonces,
mediante efectos provocados por la magnitud causante
de la interacción, sobre el espacio mismo que la rodea,
permitiendo asignar a dicho espacio propiedades
medibles
Diremos que en una región del espacio existe un
campo si en cada punto de dicha región se puede, en
cualquier instante, asignar un valor a una magnitud
física.
Ejemplos de campos son: a) el gravitatorio de fuerzas,
creado por una masa capaz de provocar perturbaciones
sobre otras masas que están en una determinada región
del espacio. Es siempre de atracción.
b) El eléctrico de fuerzas, creado por una carga
eléctrica cuando actúa sobre otras cargas situadas en
una determinada región del espacio. Puede ser de
atracción o de repulsión.
Para definir un campo se utilizan magnitudes que
adquieren un valor concreto en cada punto del espacio y
del tiempo.
Dependiendo de cómo sea la magnitud que define la
perturbación tenemos:
5.1 Campos escalares
Se llaman así a los campos cuando la magnitud física
que mide la perturbación es escalar. Por ejemplo un
campo de temperaturas o de presiones
Campo escalar de temperatura en una habitación
En la figura se muestran
líneas o contornos de
temperatura constante,
(isotermas); por ejemplo
la temperatura es T1 en
todos los puntos del
contorno T1, sombreado
en color azul.
5.2 Campos vectoriales
Son los campos en los que se determinan magnitudes
físicas vectoriales. Es el caso de los campos de fuerzas,
velocidades, aceleraciones, etc.
Campo vectorial representante
de las velocidades de un fluido
Un campo vectorial se define
mediante líneas de campo, que
son líneas tangentes en cada
punto a la magnitud vectorial
que define el campo. Veremos
sus representaciones al ir
estudiando
los
diferentes
campos.
5.3. Campos conservativos
Un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo
que realizan las fuerzas del campo para trasladar
una partícula de un punto A a uno B depende del
punto inicial y final y no del camino seguido.
B
B
WA (I) = ∫A F . dr
A
A
WB (II) = ∫B F . dr
B
A
WA = WB → Campo conservativo
Puede también definirse diciendo
que el trabajo realizado por las
fuerzas del campo para trasladar
una partícula a lo largo de una
línea cerrada es cero
∫c F . dr = 0
5.4 Fuerza conservativa
Un fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha
fuerza es igual a la diferencia entre los valores inicial y
final de una función que solo depende de las
coordenadas. A dicha función se le denomina energía
potencial.
h
j
Ejemplo: El peso es una fuerza
conservativa
Calculemos el trabajo de la fuerza
peso F=-mg j cuando el cuerpo se
desplaza desde la posición A cuya
ordenada es yA hasta la posición B
cuya ordenada es yB.
B
B
B
W = ∫ F . dr = ∫ -mgj . (dxi + dyj) = ∫ - mgdy = (mgyAmgyb)
A
A
A
= mg (yA – yB) = mgh
Esta expresión de la energía potencial es válida para alturas
pequeñas respecto al suelo, pues puede considerarse la
gravedad constante sin apenas cometer error.
6.- ENERGÍA POTENCIAL EN UN PUNTO
Como el valor de g no es constante dentro de un campo
gravitatorio (mas adelante lo veremos), la energía potencial
en cada punto de un campo va a tener diferentes valores.
Para calcularla utilizamos el concepto de fuerzas
conservativas, donde el trabajo realizado para llevar una
masa de un punto a otro del campo es la diferencia entre los
valores inicial y final de la energía potencial.
Vamos a calcular el W para llevar una masa m desde un
punto A a otro B dentro del campo gravitatorio que
como sabemos es un campo central conservativo.
dr
F
Sabemos que W = - ΔEp =
EpA-EpB entonces:
EpA-EpB =-G.M.m.(1/rA -1/rB).
2
Es la variación de la Ep que ha
sufrido el cuerpo cuando ha
pasado del punto A al B
Para obtener la Ep relativa a un punto del campo hay
que fijar un sistema de referencia que asigne 0 al valor
de la Ep.
Se elige el ∞. Si llevo B al infinito rB = ∞ → 1/rB = 0
Sustituyendo en la expresión anterior tendremos:
EpA – 0 = - GMm/rA - 0
Obtenemos la expresión de la energía potencial en un
punto:
EpA = - GMm/rA
Todas las fuerzas centrales son conservativas. Por tanto,
cada una de ellas admite la definición de una energía
potencial.
Los sistemas tienden siempre a estados en los que la
energía potencial es menor. Los procesos espontáneos
se producen, por tanto, con una disminución de la
energía potencial.
Cuando se trata de campos gravitatorios creados por
mas de una masa, m1, m2, m3, … mn. La energía potencial
en un punto A de masa m’ cumple el principio de
superposición, es decir que la energía potencial total
es la suma de las energías potenciales debidas a cada
masa:
i=n
EpA = Epm1 + Epm2 + Epm3 + … Epn = ΣEpi
6.1 Energía mecánica: Conservación
i=1
La energía mecánica de un cuerpo que se mueve dentro
de un campo gravitatorio es la suma de sus energías
cinética y potencial:
Em = Ec + Ep
La variación de energía mecánica entre dos puntos A y
B, será entonces:
ΔEm = ΔEc + ΔEp
Acabamos de ver que: WAB = - ΔEp = EpA - EpB
Por otra parte si calculamos el trabajo que una fuerza,
F realiza sobre el cuerpo para desplazarlo desde A a B,
siguiendo una determinada trayectoria C.
FT
FR
Desarrollando la definición
y aplicando la segunda ley
de Newton:
Sustituyendo el valor del módulo de la aceleración
tangencial
finalmente queda:
Teniendo en cuenta que la expresión que aparece en el
segundo miembro de la ecuación anterior es la energía
cinética:
El trabajo que realiza una fuerza sobre una
partícula es igual a la energía cinética transferida a
la misma:
Teorema de las fuerzas vivas
El teorema de las fuerzas vivas o teorema de la energía
cinética, es valido para todo tipo de movimiento y para
todo tipo de fuerzas , es por tanto mas universal que el
de la energía potencial que solo es valido para fuerzas
conservativas.
Resumiendo si: WAB = - ΔEp y también WAB = ΔEC
podemos igualar ambas expresiones: - ΔEp = ΔEC
Es decir:
O también:
Es el principio
mecánica
EPA – EpB = ½ mv2B – ½ mv2A
EPA + ½ mv2A = EpB + ½ mv2B
de
conservación
de
la
energía
7. INTENSIDAD DE CAMPO GRAVITATORIO
EN UN PUNTO
En el campo gravitatorio hemos estudiado hasta ahora la
magnitud fuerza, esta magnitud como hemos visto no solo
depende de la masa que crea el campo sino también de la
masa que introducimos en el, es decir la fuerza no es una
magnitud exclusiva del campo.
La intensidad de campo es una magnitud vectorial que es
propia de cada campo gravitatorio.
Intensidad de campo gravitatorio en un punto del
espacio, g, es la fuerza gravitacional que actúa por
unidad de masa colocada en él: g = Fg / m
Donde m es la masa colocada en el punto
La unidad de intensidad de campo en el S.I. es el N/kg y si
hacemos la ecuación de dimensiones de g: [g] = M.L.T-2/M =
L.T-2 coincide con la de una aceleración, g se llama
también aceleración de la gravedad
Para determinar el campo gravitatorio creado por una
masa puntual M situamos una masa de prueba m en un
punto P del espacio a una distancia r de la masa M.
Calculamos la F/ m
g = F/m = (-G.M.m/r²).ur /m
g = (-G.M/r²).ur
Podemos decir que el campo
gravitatorio
tiene
las
siguientes propiedades:
• Es un campo central y
disminuye con el cuadrado de
la distancia.
• El signo negativo es porque g y ur tienen sentidos
contrarios. Las fuerzas gravitatorias siempre son atractivas
m
Si el campo está creado por un sistema de masas
puntuales, para calcular la intensidad de campo utilizamos
el conocido principio de superposición.
El campo gravitacional que crea un sistema de n masas
puntuales en un punto es la suma vectorial de los campos
producidos por cada una de las masas en dicho punto.
i=n
g = g1 +g2 + … = Σgi
i=1
8.- POTENCIAL GRAVITATORIO
La energía potencial, igual que sucede con la fuerza, no es
una magnitud exclusiva del campo pues depende de la masa
que se introduce en el.
Por eso a partir de la energía potencial se define la
segunda magnitud característica del campo, que es escalar.
El potencial gravitatorio.
El potencial gravitatorio en un punto A se define
como la energía potencial por unidad de masa
colocada en dicho punto.
VA = EpA/m = -G.M/rA
Se identifica con el trabajo que es preciso realizar
contra las fuerzas del campo, para trasladar una masa
de 1 kg desde A hasta el infinito.
En un punto B sería VB = -G.M/rB y por tanto
VA – VB = -G.M.(1/rA - 1/rB)
Estudiando como varía el potencial en un punto con la
distancia, es decir, calculando dV / dr obtenemos
dV/dr = d(-GM/r) /dr = -GM /r2 expresión que coincide
con el módulo de la intensidad gravitatoria , g, cambiado
de signo, luego podemos poner que:
g = - dV /dr
8.1 Representación del campo gravitatorio
El campo gravitatorio puede representarse mediante
superficies equipotenciales que son el conjunto de
puntos del campo que están al mismo potencial.
El trabajo realizado para
trasladar una masa cualquiera
m entre dos puntos A y B de
una superficie equipotencial
será nulo.
WAB = -ΔEp = EpA - EpB =
= m.(VA - VB) = m.0 = 0
g corta a la superficie
equipotencial
perpendicularmente en cada
punto.
Si el campo está creado por varias masas, m1, m2, m3, …mn
El potencial en un punto A del campo será la suma escalar
de los potenciales creados por cada masa sobre dicho
punto. (Principio de superposición)
i=n
VA = Vm1 + Vm2 + Vm3 + ... + Vmn = Σvi
i=1
9.-APLICACIONES AL ESTUDIO DEL
CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE
9.1-Intensidad de campo gravitatorio terrestre
Si la masa creadora del campo es la Tierra la intensidad
de campo será:
g = - GMT/ r2 . ur
r = RT + h siendo h la distancia a la que se encuentra el
punto de la superficie terrestre.
• En el caso particular en que r = RT, es decir, cuando el
punto se encuentra sobre la superficie terrestre entonces:
g0 = - GMT/RT2. ur =
= - 6,674 . 10-11 N.m2.kg-2 . 5,974 . 1024 kg / (6,371 . 106 m)2
. ur = = - 9,8 . ur m . s-2 . Luego g0 = 9,8 m . s-2
Este valor de g0 es un valor medio, pues la gravedad
superficial varía localmente con la latitud y la altura.
9.2 Variación de “g” con la latitud y la profundidad
El campo gravitatorio aumenta con la latitud debido
principalmente a que el achatamiento de la Tierra en los
polos hace que la distancia r se reduzca a medida que la
latitud aumenta. Es decir, que estando en el ecuador la
fuerza de gravedad es menor que en otras latitudes, y a
medida que nos vayamos desplazando al sur o al norte, la
fuerza de gravedad se va incrementando. En los polos, la
gravedad será máxima (aunque con poca diferencia).
Los valores de g en el ecuador y en los polos son
respectivamente:
La fuerza de gravedad es máxima en la superficie
terrestre. Ya vimos que la gravedad es menor a medida
que nos alejamos de la Tierra.
Sin embargo, también disminuye al adentrarse en el
interior de la Tierra, si imaginamos la Tierra como una
cebolla de capas de materia, a medida que penetramos en
su interior vamos dejando capas detrás nuestro. Las
capas que quedan por debajo de nuestra posición se
comportan como siempre, atrayéndonos hacia el centro
como si se tratara de una nueva Tierra pero más pequeña.
¿Qué ocurre con la masa que vamos dejando atrás?.
tenemos una cantidad de masa que queda cerca de
nosotros y una cantidad mucho mayor de masa que queda
mucho más alejada de nosotros.
Curiosamente, la distribución
casi esférica de un cuerpo
como La Tierra tiene una
propiedad que aparece casi
maravillosa. La masa alejada
contribuye en total con la
misma fuerza que la masa
más cercana. Esto es porque
la mayoría de la masa se
encuentra lejos del punto considerado y la minoría de masa
cerca, de tal forma que los efectos entre masa y distancia
están equilibrados, entonces la fuerza neta que ejercen las
capas externas a nuestra posición en el interior de la
Tierra es nula. En el centro de la Tierra no sentiríamos
ningún tipo de fuerza de la gravedad, pues toda la masa que
quedaría a nuestro alrededor tiraría igualmente de
nosotros en todas direcciones, y la fuerza neta total sería
nula.
En cualquier punto interior de una distribución
esférica de masa, la fuerza de gravedad neta es la
producida por la esfera de masa interior a nuestra
posición tal y como si el resto de la masa externa a
nuestra posición no existiera.
Admitiendo
una
densidad
uniforme en toda la Tierra
podemos poner que:
dT = MT / VT = Mint. / Vint.
Mint
Mint = MT . Vint. /VT
Mint = MT . 4/3 π r3 /4/3 π RT3
Mint = MT . r3 / RT3
gint. = G Mint / r2
Y sustituyendo la Mint llegamos a la expresión
gint. = G . MT . r / RT3
Pueden resumirse las variaciones de la gravedad desde el
centro de la Tierra hasta un punto muy alejado de ella
mediante la gráfica.
Se representan
en abscisas Las
relaciones r/RT
y en ordenadas
los diferentes
valores de g.
•El tramo recto corresponde a los puntos interiores de
la Tierra su ecuación es gint. = G . MT . r / RT3
• Para r/RT = 1, g toma el valor máximo su ecuación es:
g0 = G . MT / RT2
•El tramo parabólico corresponde a puntos exteriores
de la Tierra de ecuación gext. = G . MT / r2
9.3 Energía potencial gravitatoria terrestre
En el caso particular del campo gravitatorio terrestre
la expresión de la energía potencial en un punto en el
que hay una masa. m situada a una distancia r de la
Tierra será:
Ep = - G . MT . m / r = - G . MT . M / RT + h ; r ≥ RT
h es la altura del cuerpo, de masa m, respecto al suelo.
La energía potencial gravitacional aumenta con la
altura desde la superficie de la Tierra, porque es
menos negativa.
El potencial que corresponde al punto anterior situado
a la distancia r será:
V = Ep / m = - G . MT / r = - G . MT / RT + h
9.4 Satélites: velocidad orbital y velocidad de escape
Supongamos
que
hay
una
partícula de masa m con
trayectoria, alrededor de la
tierra, circular de radio r.
Suponemos que la Tierra está
quieta, m lleva velocidad v y no
gasta combustible.
Fc = m.ac = m.v²/r.
Todas las masas en la misma órbita tienen la misma
velocidad lineal.
La fuerza gravitatoria de atracción de la Tierra es
F = G.MT.m/r².
Es la misma fuerza vista desde dos puntos de vista
distintos.
G.MT.m/r² = m.v²/r
Despejando:
v² = G.MT/r
Expresión de la velocidad de un
satélite en una órbita circular.
Energía Total
Se llama energía total a la que tiene una masa o
satélite que órbita alrededor de la tierra.
Es la suma de la Ec y de la Ep.
Ep = -G.MT.m/r
Ec = (1/2).m.v² = (1/2).m.G.MT/r = G.MT.m/2.r
ET = -G.MT.m/r + G.MT.m/2.r = (G.MT.m/r).(-1 + 1/2) =
-G.MT.m/2.r
Esta es la energía necesaria para que un satélite esté en
órbita. Es negativa e igual a la mitad del valor de la energía
potencial.
Cuando un satélite cambia de órbita en ausencia de
fuerzas exteriores su Energía mecánica se conserva.
EcA + EpA = EcB + EpB
Velocidad de escape
Es la velocidad que
hay que comunicar a
un cuerpo de masa m
situado
sobre
la
superficie del planeta
para que pueda
escapar del campo gravitatorio e irse al ∞.
En el ∞ la EM= 0 ya que hemos dicho que la Ep= 0 y la
velocidad con la que llega es 0, por tanto Ec + Ep = 0.
Por tanto: (1/2).m.v0² - G.MT.m./RT = 0
(1/2).m.v0² = G.MT.m./RT ; v0² = 2.G.MT./RT
ve = √ 2G.MT/RT
ve = 11,2 km/s
Páginas web que puedes consultar:
www.fisicanet.com.ar/fisica/dinamica/ap15_cam...
www.astrocosmo.cl/.../b_p-tiempo-04.04.03.01.htm
www.colegioheidelberg.com/deps/fisicaquimica/...
estudiarfisica.wordpress.com/.../
iesfgcza.educa.aragon.es/.../cagra.htm
www.astrored.org/enciclopedia/articulos/unive...
http://newton.cnice.mec.es/materiales_didacticos/camp
o_gravitatorio/index.htm