Download CATETO adyacente Una razón trigonométricas

Adalberto Paternina A
Ciencia, Viertud y amor
ANGULOS EN POSICION NORMAL
Un Angulo esta en posición normal si
su vértice esta en el punto de corte de
los ejes coordenados de un plano
cartesiano y su lado inicial coincide
con el eje de las X y su lado terminal
esta en cualquiera de los 4 cuadrantes
ANGULOS POSITIVOS Y NEGATIVOS
Un ángulo se dice que es positivo si gira en
sentido contrario a las manecillas
del reloj y es positivo cuando gira
en el mismo sentido de las
manecillas del reloj
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MEDIDAS DE ANGULOS
• Los ángulos se pueden medir
• En: Grados y en radianes
UN GRADO: Es la trescientos
sesentava parte de la circunferencia
• UN RADIAN: Corresponde al
• Angulo que se forma cuando
• hacemos una abertura de un
• arco con la misma medida del
• radio de la circunferencia
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=
Solución # 2: 270º = 270º .
=
=
• para convertir grados a radianes: se multiplica la
cantidad en grado por el constante
y luego
se hacen las simplificaciones del caso ejemplo:
• Convertir 30º a radianes
• Solución 30º = 30º.
=
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TEOREMA DE PITÁGORAS
A
HIPOTENUSA
CATETO
B
(CATETO)  (CATETO)
2
C
CATETO
2

(HIPOTENUSA)2
La hipotenusa de un triangulo rectángulo es igual a la
suma al
cuadrado de los catetos
5
4
12
13
3
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5
21
29
20
RAZONES
TRIGONOMETRICAS
• En todo triangulo rectángulo se distinguen
3 partes
•
CATETO
hipotenusa
•
opuesto

CATETO adyacente
• Una razón trigonométricas: Es el
cociente indicados entre 2 de los de los
lados de un triangulo rectángulo estos son
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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS
CATETO
AGUDOS
HIPOTENUSA

CATETO ADYACENTE A
SENO
COSENO
TANGENTE
COTANGENTE
SECANTE
COSECANTE
CatetoOpuestoaq
senq=
Hipotenusa
CatetoOpuestoa
tan  
CatetoAdyacentea
Hipotenusa
sec  
CatetoAdyacentea
OPUESTO
A


CatetoAdyacentea
cos  
Hipotenusa
CatetoAdyacentea
cot  
CatetoOpuestoa
Hipotenusa
csc  
CatetoOpuestoa
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EJEMPLO :
TEOREMA DE PITÁGORAS
H

sen 
cos 
12
H  1369  37
35
12
37
35
37
H2  122  35 2
tan 
cot  
12
35
35
12
sec 
csc  
37
35
37
12
EJEMPLO :
Sabiendo que  es un ángulo agudo tal que sen=2/3.....
3

2
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PROPIEDADES DE LAS RAZONES
TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
1
sen 
csc 
sen csc   1
1
cos  
sec 
cos  sec   1
EJEMPLOS
1
tan  
cot 
tan  cot   1
1
o
A)

csc
36
sen36 o
1
o

sec17
B)
cos17o
C) tan 49o cot 49o  1
D)sen2 csc 2  1
E) cos 63o sec   1
  63o
F) tan 2 cot   1
2  
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PROPIEDADES DE LAS RAZONES
TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
PROPIEDAD :
“LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE TODO ÁNGULO AGUDO
SON RESPECTIVAMENTE IGUALES A LAS CO-RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE SU ÁNGULO COMPLEMENTARIO”
A LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SENO Y COSENO
TANGENTE Y COTANGENTE ;SECANTE Y COSECANTE
SE LES DENOMINA :CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
b

c
a

sen  cos 
cot   tan 
cos   sen
sec  csc 
tan  cot 
csc  sec 
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EJEMPLOS
A)sen25o  cos 65 o ............... 25 o  65 o  90O
B) tan 43o  cot 47o ............... 43o  47o  90O
C)sec 60o  csc 30o ............... 60o  30o  90O
D)sen  cos 20o
  20o  90O
  70o
E) tan 5  cot 
5    90


F)sen   
5
 
 
5 2
o
  15
o
cos 
3
 

rad
 
10
2 5
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TRIÁNGULOS NOTABLES
1
60
2
O
3
3
53
o
4
1
30o (
5
37o (
2
45o
45o(
1
sen30
o
1

2
tan 60o 
3
4
sec 45  2 cot 37 
3
tan 30o  1 x 3  3
3
3
3
1
2
2
o
x

sen45
Ciencia,
Viertud y amor 
2
2
2
o
o
CALCULAR :
cot 
3 3
37o
30o
4 3
8
o
45
3 3

4
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3 3
cot  
4
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
CASO 1 : DATOS , HIPOTENUSA y ÁNGULO AGUDO
H
Hsen
5


5sen62o
62o
Hcos 
5 cos 62o
CASO 2 : DATOS ; CATETO ADYACENTE Y ÁNGULO AGUDO
L tan
L sec 
L
8 sec 

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
8
8 tan

CASO 3 : DATOS; CATETO OPUESTO y ÁNGULO AGUDO
L csc 
L

Lcot 
k csc 24 o
k
24o
k cot 24o
EJEMPLO

Calcular L en términos
de m ;  y 
)
L
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
m
SOLUCIÓN

m

L
mtan
L  m tan 
 cot 
m
L  mcot   mtan 
L  mtan   mcot 
L  m(cot   tan )
NOTA : DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR
Y
F

Fx
Fy
Fx  F cos 
F  Fsen
y
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X
ÁREA DEL TRIÁNGULO
C
a
b
A
c
EJEMPLO
(5)(8)
S
sen60o
2
5m
60 O
B
ab
S
senC
2
bc
S
senA
2
ac
S
senB
2
8m
(5)(8) 3
S
(
)  10 3m2
2
2
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ÁNGULOS VERTICALES
Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en
un plano vertical y formados por dos líneas imaginarias
llamadas horizontal y visual
)
)
ÁNGULO DE ELEVACIÓN
HORIZONTAL
ÁNGULO DE DEPRESIÓN
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EJEMPLO :
Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis
volando a una misma altura con ángulos de elevación de
530 y 370 si la distancia entre los ovnis es de 70m ¿A qué
altura están los ovnis?
SOLUCIÓN
70
12k =H
12k
53 O 37o
9k
+
16k
9k +70 = 16k
k Ciencia,
= 10Viertud y amorH = 120
ÁNGULOS HORIZONTALES
Los ángulos horizontales son ángulos agudos contenidos en
un plano horizontal, se determinan tomando como
referencia los puntos cardinales norte(N) , sur(S) , este(E) y
oeste(O).
DIRECCIÓN
La dirección de B respecto de A
es N30 o E o E60 o N
RUMBO
El rumbo de Q respecto de P
47o al oeste del norte
El rumbo de M respecto de P
27o al este del sur
La dirección de C respecto de A
es S56 o O o O34 o S
N
B
Q
30O
O
C
56
O
A
N
47o
E
O
E
P
27o
S
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S
M