Download secante y cosecante

TEOREMA DE PITÁGORAS
A
HIPOTENUSA
CATETO
B
(CATETO)  (CATETO)
2
5
3
4
C
CATETO
2
12
13
 (HIPOTENUSA)
2
5
21
29
20
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS
CATETO
AGUDOS
HIPOTENUSA

CATETO ADYACENTE A
SENO
COSENO
TANGENTE
COTANGENTE
SECANTE
COSECANTE
CatetoOpuestoaq
senq=
Hipotenusa
CatetoOpuestoa
tan  
CatetoAdyacentea
Hipotenusa
sec  
CatetoAdyacentea
OPUESTO
A


CatetoAdyacentea
cos  
Hipotenusa
CatetoAdyacentea
cot  
CatetoOpuestoa
Hipotenusa
csc  
CatetoOpuestoa
EJEMPLO :
TEOREMA DE PITÁGORAS
H

sen 
cos 
12
H  1369  37
35
12
37
35
37
H2  122  35 2
tan 
cot  
12
35
35
12
sec 
csc  
37
35
37
12
EJEMPLO :
Sabiendo que  es un ángulo agudo tal que sen=2/3.....
3

2
PROPIEDADES DE LAS RAZONES
TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
1
sen 
csc 
sen csc   1
1
cos  
sec 
cos  sec   1
EJEMPLOS
1
tan  
cot 
tan  cot   1
1
o
A)

csc
36
sen36 o
1
o

sec17
B)
cos17o
C) tan 49o cot 49o  1
D)sen2 csc 2  1
E) cos 63o sec   1
  63o
F) tan 2 cot   1
2  
PROPIEDADES DE LAS RAZONES
TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
PROPIEDAD :
“LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE TODO ÁNGULO AGUDO
SON RESPECTIVAMENTE IGUALES A LAS CO-RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE SU ÁNGULO COMPLEMENTARIO”
A LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SENO Y COSENO
TANGENTE Y COTANGENTE ;SECANTE Y COSECANTE
SE LES DENOMINA :CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
b

c
a

sen  cos 
cot   tan 
cos   sen
sec  csc 
tan  cot 
csc  sec 
EJEMPLOS
A)sen25o  cos 65 o ............... 25 o  65 o  90O
B) tan 43o  cot 47o ............... 43o  47o  90O
C)sec 60o  csc 30o ............... 60o  30o  90O
D)sen  cos 20o
  20o  90O
  70o
E) tan 5  cot 
5    90


F)sen   
5
 
 
5 2
o
  15
o
cos 
 
 
2 5
3

rad
10
TRIÁNGULOS NOTABLES
1
60
2
O
3
3
53
o
4
1
30o (
5
37o (
2
45o
45o(
1
sen30
o
1

2
tan 60o 
3
4
sec 45  2 cot 37 
3
tan 30o  1 x 3  3
3
3
3
1
2
2
o
x

sen45 
2
2
2
o
o
CALCULAR :
cot 
3 3
37o
30o
4 3
8
o
45
3 3

4
3 3
cot  
4
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
CASO 1 : DATOS , HIPOTENUSA y ÁNGULO AGUDO
H
Hsen
5

Hcos 

5sen62o
62o
5 cos 62o
CASO 2 : DATOS ; CATETO ADYACENTE Y ÁNGULO AGUDO
L tan
L sec 
L

8 sec 

8
8 tan

CASO 3 : DATOS; CATETO OPUESTO y ÁNGULO AGUDO
L csc 
L

Lcot 
k csc 24 o
k
24o
k cot 24o
EJEMPLO
Calcular L en términos
de m ;  y 
)
L


m
SOLUCIÓN

m

L
mtan
L  m tan 
 cot 
m
L  mcot   mtan 
L  mtan   mcot 
L  m(cot   tan )
NOTA : DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR
Y
F

Fx
Fx  F cos 
Fy
X
Fy  Fsen
ÁREA DEL TRIÁNGULO
C
a
b
A
c
EJEMPLO
(5)(8)
S
sen60o
2
5m
60 O
B
ab
S
senC
2
bc
S
senA
2
ac
S
senB
2
8m
(5)(8) 3
S
(
)  10 3m2
2
2
ÁNGULOS VERTICALES
Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en
un plano vertical y formados por dos líneas imaginarias
llamadas horizontal y visual
)
)
ÁNGULO DE ELEVACIÓN
HORIZONTAL
ÁNGULO DE DEPRESIÓN
EJEMPLO :
Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis
volando a una misma altura con ángulos de elevación de
530 y 370 si la distancia entre los ovnis es de 70m ¿A qué
altura están los ovnis?
SOLUCIÓN
70
12k =H
12k
53 O 37o
9k
+
16k
9k +70 = 16k
k = 10
H = 120
ÁNGULOS HORIZONTALES
Los ángulos horizontales son ángulos agudos contenidos en
un plano horizontal, se determinan tomando como
referencia los puntos cardinales norte(N) , sur(S) , este(E) y
oeste(O).
DIRECCIÓN
La dirección de B respecto de A
es N30 o E o E60 o N
RUMBO
El rumbo de Q respecto de P
47o al oeste del norte
El rumbo de M respecto de P
27o al este del sur
La dirección de C respecto de A
es S56 o O o O34 o S
N
B
Q
30O
O
C
56
O
A
N
47o
E
O
E
P
27o
S
S
M
ROSA NÁUTICA
Gráfico que contiene 32 direcciones notables, cada dirección
o
'
forma entre ellas un ángulo cuya medida es 11 15
En el gráfico adjunto sólo se muestran 16 direcciones notables,
cada una forma entre ellas un ángulo cuya medida es 22o 30'
NNO
N
NNE
NE
NO
ONO
ENE
E
O
OSO
ESE
SO
SE
SSO
S
SSE
Las otras 16 direcciones se obtienen trazando las bisectrices de
los 16 ángulos que se muestran en el gráfico anterior.
N 1 4 NO
NO 1 4 N
NNO
NO 1 4 O
O 1 4 NO
N 1 4 NE
NE 1 4 N
N
NNE
NO
NE
NE 1 4 E
ONO
ENE
O
E
¿Cuánto mide el ángulo entre las direcciones
NE1/ 4N y NO1/ 4O ?
Rpta.
90
o
E 1 4 NE
EJEMPLO :
Un insecto parte de un punto F y recorre 40 km en la dirección
N530O luego recorre 402 km en la dirección SO, finalmente
recorre 60 km hacia el este. ¿A qué distancia se encuentra el
insecto de F ?
SOLUCIÓN
OBSERVA QUE EL
TRIÁNGULO DE COLOR
ROJO ES NOTABLE
45o
24
40 2
X = 20
N
40
53o
O
16
45o
F E
37o
40
32
20
60
x
16
12
S
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA MITAD DE UN
ÁNGULO AGUDO (método gráfico)

c
) 2 2

c
+

2
a
ca
b


tan   

 2 c  a
b
b
EJEMPLO :
Sabiendo que : tan 8=24/7, calcula
SOLUCIÓN
25
4
25
5
3
4
4
24
tan 4 
25  7
24 tan 4   24
32
8
7
3
tan 2 
9
2
5
tan2
3
tan 4 
4
1
tan 2 
3
FIN