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U NIVERSIDAD A UTÓNOMA DEL E STADO DE M ÉXICO FACULTAD P ROGRAMA E DUCATIVO Q UÍMICA Q UÍMICO EN A LIMENTOS DE DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA UNIDAD TEMÁTICA T EORÍA DE LA PROBABILIDAD M . EN P . E . A NA M ARGARITA A RRIZABALAGA R EYNOSO T OLUCA DE L ERDO; E STADO DE M ÉXICO. S EPTIEMBRE DE 2 0 1 5 PROBABILIDAD PROBABILIDAD I NTRODUCCIÓN Las situaciones que se presentan en el mundo son estudiadas cada día con mayor frecuencia en términos probabilísticos (inciertos), más que deterministas (predecibles). A algunas situaciones se les considera de ocurrencia segura y a otras imposible de acontecer. La Probabilidad es la rama de las Matemáticas que estudia las expectativas de que un suceso o fenómeno determinado ocurra. PROBABILIDAD El concepto de Probabilidad es manejado por mucha gente. Frecuentemente se escuchan preguntas como : • ¿Cuál es la posibilidad de que me saque la lotería? • ¿Qué viabilidad hay de que este año disminuyan los casos de influenza? • ¿Qué factibilidad hay de que hoy llueva? • ¿Cuáles son las oportunidades de que nuestro equipo gane el campeonato? • ¿Cuántos artículos son defectuosos? PROBABILIDAD Estas preguntas, en el lenguaje coloquial, esperan como respuesta una medida de confianza de que ocurra un evento futuro, o bien, de una forma sencilla, interpretar la Probabilidad de que ése fenómeno suceda. Medida de la incertidumbre (duda) de que un fenómeno ocurra. Fuente: Imágenes de Google, 2015 PROBABILIDAD El conocimiento de la Probabilidad es de suma importancia en todo estudio estadístico. Medida de la incertidumbre (duda) de que un fenómeno ocurra. Fuente: Imágenes de Google, 2015 El cálculo de probabilidades proporciona las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios o de azar, que constituyen la base para la Estadística Inferencial. PROBABILIDAD Un fenómeno aleatorio es un acontecimiento del que no se sabe el resultado que se obtendrá; están relacionados con el azar. La Probabilidad estudia los fenómenos aleatorios. Auditoría para identificar cero defectos. Fuente: Imágenes de Google, 2015 PROBABILIDAD Por otro lado, un fenómeno determinista es el acontecimiento en el cual, de antemano, se sabe cual será el resultado. Calcular la velocidad de la motocicleta aplicando la fórmula para el movimiento rectilíneo. Fuente: Imágenes de Google, 2015 PROBABILIDAD Girolamo Cardano Fuente: Imágenes de Google, 2015 El primer libro sobre Teoría de la Probabilidad es "De Ludo Aleae" de Girolamo Cardano (1501 - 1576, Italia) que esta básicamente dedicada al juego de los dados. Cardano anteriormente se había ocupado de los problemas de apuestas. PROBABILIDAD La Teoría de la Probabilidad se inició prácticamente con el análisis de los juegos de azar. Los tres matemáticos pioneros de estas teorías fueron: Blaise Pascal (1623-1662). Pierre de Fermant (1601-1665) y Pierre Simón de Laplace (1749-1827) Pascal, Fermant y Laplace “Jugadores de cartas”, 1595 M. A Merisi de Caravaggio (1573-1616) Fuente: Imágenes de Google, 2015 PROBABILIDAD “Niños jugando a los dados”, 1665 B. E. Murillo (1617-1682) Fuente: Imágenes de Google, 2015 Los juegos de azar son sin duda una de las actividades de recreación más antiguas del hombre, fueron una motivación principal para el desarrollo de la teoría de la probabilidad, y fue precisamente acerca de uno de éstos juegos que Pascal y Fermant iniciaron en 1654 un estudio sistemático. PROBABILIDAD El suceso que trataron Pascal y Fermant surgió de un juego de dados y tenían que averiguar el número de veces que se debían arrojar dos dados para que la probabilidad de obtener dos “seis” fuera el cincuenta porciento. Juego de dados Fuente: Imágenes de Google, 2015 PROBABILIDAD Publicación de la “Teoría Analítica de las Probabilidades” de Laplace, 1812 Fuente: Imágenes de Google, 2015 Sin embargo, hasta 1812 Laplace definió con precisión lo que significaba la probabilidad de un evento, en su Theorie Analytique des Probabilites, explicando la posibilidad de que un evento dado ocurra. PROBABILIDAD Los pioneros de la Teoría de la Probabilidad tuvieron contribuciones de otros científicos como Chebyshev (1821-1894) con el Teorema de Chebyshev y Markov (1856-1922) con el Teoría de los Números. Pafnuti Chevyshev Y Andréi Márkov Fuente: Imágenes de Google, 2015 PROBABILIDAD Andéi Kolmogórov Fuente: Imágenes de Google, 2015 Finalmente Andréi Kolmogórov (19031987) estructuró el Sistema Axiomático de la Teoría de la Probabilidad a partir de la Teoría de Conjuntos, donde los elementos son eventos de un experimento probabilístico. PROBABILIDAD C ONTENIDO DE LA U NIDAD T EMÁTICA Probabilidad Teoría de Conjuntos Teoría de la Probabilidad Conceptos básicos Conceptos básicos Operaciones con conjuntos Axiomas de la Probabilidad Fuente: Elaboración propia, 2015 TEORÍA DE CONJUNTOS Para lograr un desarrollo ordenado de la Teoría de la Probabilidad se requiere recordar la Teoría de Conjuntos. Conceptos Básicos: Un conjunto es una colección bien definida; es decir, una colección de objetos o sujetos con una característica en común. 5 Representación de un conjunto de números Fuente: Elaboración propia, 2015 TEORÍA DE CONJUNTOS Los objetos o sujetos que constituyen un conjunto se denominan elementos. Hay tres formas de describir un conjunto: 1. Por enunciación: Cuando se escribe o se enlistan los elementos que conforman un conjunto. U = {Lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado y domingo} TEORÍA DE CONJUNTOS 2. Por comprensión: Cuando se proporciona una regla con la cual se identifican los elementos de un conjunto. U = {Los días de la semana} 3. Por Diagrama de Venn: Cuando se representan gráficamente los elementos de un conjunto y sus relaciones. TEORÍA DE CONJUNTOS Diagrama de Venn U Lunes Jueves Martes Miércoles Sábado Domingo Viernes Representación del conjunto de los días de la semana Fuente: Elaboración propia, 2015 TEORÍA DE CONJUNTOS El conjunto universo es la colección de objetos o sujetos que contiene todos los elementos que interesan en una situación determinada. Se acostumbra identificar con la letra U. U A B Diagrama de Venn Representación del conjunto universo Fuente: Elaboración propia, 2015 TEORÍA DE CONJUNTOS Sea U el conjunto universo que incluye los siguientes elementos: U = {Lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado y domingo}, o bien U = {Los días de la semana} Entonces, Lunes U, domingo U, noviembre U Es decir, los elementos lunes y domingo son pertenecen a U y noviembre no pertenece a U. TEORÍA DE CONJUNTOS Diagrama de Venn U A B Representación de dos conjuntos en el conjunto universo Fuente: Elaboración propia, 2015 TEORÍA DE CONJUNTOS U B A Representación de un subconjunto Fuente: Elaboración propia, 2015 Un Subconjunto es una parte de la colección de objetos o sujetos que componen un conjunto determinado. En notación matemática se representa como : A B o A B. TEORÍA DE CONJUNTOS El conjunto vacío es el que carece de elementos. En notación matemática se representa como A = La cardinalidad de un conjunto A es el número de elementos que contiene y se denota como n(U) = 7 (haciendo referencia al conjunto de los días de la semana). TEORÍA DE CONJUNTOS U A B Operaciones con conjuntos Unión de conjuntos: La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que están en A, en B o en ambos. Se denota por Representación de la unión de conjuntos Fuente: Elaboración propia, 2015 A B. TEORÍA DE CONJUNTOS Intersección conjuntos: de La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que están en A y también están en B. La notación matemática es A B. U A B Representación de la intersección de conjuntos Fuente: Elaboración propia, 2015 TEORÍA DE CONJUNTOS Complemento un conjunto: U A A Representación del complemento de un conjunto Fuente: Elaboración propia, 2015 de El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos del Universo que no están en A. Entonces A = U - A. TEORÍA DE CONJUNTOS Diferencia de dos conjuntos: La diferencia entre los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que están en A pero no en B; es decir, son los elementos que exclusivamente pertenecen a A. Se denota como A - B. U A B Representación de la diferencia de conjuntos Fuente: Elaboración propia, 2015 TEORÍA DE CONJUNTOS Ejemplo U A C Representación de los conjuntos Fuente: Elaboración propia, 2015 Se realiza una encuesta entre 100 personas para conocer cuál es su destino turístico preferido: Acapulco o Cancún. De ellas, 45 respondieron que prefieren Cancún; 35 Acapulco y 25 respondieron que Acapulco les gusta tanto como Cancún. TEORÍA DE CONJUNTOS Ejemplo U A C Representación de los conjuntos Fuente: Elaboración propia, 2015 Determina: • ¿Cuántas personas prefieren sólo Cancún? • ¿Cuántas personas prefieren otros destinos que no sean Acapulco o Cancún? TEORÍA DE CONJUNTOS Procedimiento U A C AC [AC]c Representación de los conjuntos Fuente: Elaboración propia, 2015 • Determinar el número de personas que prefieren Acapulco • Determinar el número de personas que prefieren Cancún • Elaborar el Diagrama de Venn que represente estos conjuntos TEORÍA DE CONJUNTOS Procedimiento U A AC 25 10 25 10 CC 20 [AC]c = 45 Representación de los conjuntos Fuente: Elaboración propia, 2015 • Determinar la cardinalidad de A: n[A] = 10 • Determinar la cardinalidad de C: n[C] = 20 • Determinar la cardinalidad de A C: n[AC] = 25 • Determinar la cardinalidad del complemento de AC: n[AC] = 45 TEORÍA DE CONJUNTOS Resultado U A 10 AC 25 C C 20 [AC] [AC]cc== 45 45 Representación de los conjuntos Fuente: Elaboración propia, 2015 • El número de personas que prefieren Cancún como destino turístico es: n[C – A] = n[C] – n[AC] = 45-25 = 20 • El número de personas que prefieren otros destinos turísticos que no sean Cancún o Acapulco es: n[AC] = n[U] – n[AC] = 100-55 = 45 TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Una vez revisada la Teoría de Conjuntos se pueden explicar los Conceptos Básicos de la Teoría de la Probabilidad. La Teoría de la Probabilidad se usa extensamente en áreas como la Estadística, la Física, las Matemáticas, las Ciencias Naturales, las Ciencias Exactas y las Sociales, para obtener conclusiones sobre la posibilidad de que acontezcan sucesos o fenómenos, por lo tanto es la rama de las Matemáticas que estudia a los experimentos aleatorios y sus resultados. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Conceptos Básicos La Probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de ocurrencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento del cual no se conocen los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente constantes. La Probabilidad es el conjunto de posibilidades que tiene un evento de que ocurra o no en un momento y tiempo determinado. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Dichos eventos pueden ser medibles a través de una escala de 0 a 1, donde el evento que no pude ocurrir tiene una probabilidad de 0 y se conoce como evento imposible; por otra parte, un evento que tiene una probabilidad de 1 es un evento que ocurre con una certeza muy alta y se conoce como evento posible o seguro. 0 Evento imposible 0.5 Evento probable 1 Evento posible TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Un experimento en Probabilidad es un procedimiento, acción u operación que consiste en realizar una medición u observación de los resultados posibles y cuantificarlos; es decir, cualquier proceso que genera un resultado definido. Experimento: Elección de personas Fuente: Imágenes de Google, 2015 TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Los experimentos en Probabilidad pueden clasificarse de acuerdo al tipo de resultados que se obtienen: • Experimento Aleatorio Experimento Aleatorio Recuento de microorganismos Fuente: Norma ISO 22000, 2015 TEORÍA DE LA PROBABILIDAD • Experimento Determinista Experimento Determinista: Ensayos en el Laboratorio Fuente: Imágenes Google, 2015 TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones: 1. Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones. 2. Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener. 3. El resultado que se obtenga, s, pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD ¿Qué porcentaje de pacientes se mejorarán con el nuevo tratamiento? Fuente: Imágenes de Google, 2015 Experimento aleatorio es aquel que bajo la misma serie de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes; es decir, no se puede predecir o reproducir el resultado exacto de cada experiencia particular. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Ejemplos de experimentos aleatorios son: 1. Resultado de un partido de futbol. 2. Llegada de un autobús a la parada. 3. Aprobar el examen final de Estadística. 4. Clima sin lluvia y tormentas eléctricas. 5. Preferencias por un estilo de música. 6. Nivel de inflación en el año. 7. Casos de influenza en la temporada invernal. 8. Ganador del Maratón de la Ciudad de México. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Experimento determinista es aquel estudio, ensayo o situación en la cual se conocen todos los factores de un experiencia y que permite predecir exactamente el resultado que se va a obtener. Louis Pasteur (1822-1895) y el origen de la pasteurización. Fuente: Imágenes de Google, 2015 TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Espacio Muestral es el conjunto de todos los posibles eventos o resultados que pueden ocurrir como efecto de un experimento determinado y se le denota normalmente mediante la letra S. El espacio muestral puede representarse gráficamente con un Diagrama de Venn. S B A C Representación del Espacio Muestral. Fuente: Elaboración propia, 2015 TEORÍA DE LA PROBABILIDAD El Espacio Muestral puede representarse también con la notación de conjuntos, ya sea por enunciación o por comprensión. Ejemplo Experimento: ¿Cuál es el color favorito de los estudiantes? Espacio muestral: Frecuencia de ocurrencia para el color blanco, negro, café, azul, rojo, rosa, naranja, entre otros. S = {10 blanco, 15 negro, 5 café, 12 azul, 3 rojo, 2 rosa, 7 naranja} TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Al número de puntos muestrales de S se le representa por n[S] lo cual se llama cardinalidad del espacio muestral. Un Evento es una colección de resultados u observaciones obtenidos del experimento probabilístico y forma parte del espacio muestral. Los eventos son subconjuntos del espacio muestral S, y se denotan como A, B, C,… S TEORÍA DE LA PROBABILIDAD S Evento Evento Evento Representación de los Eventos que se encuentran en un Espacio Muestral. Fuente: Elaboración propia, 2015 El evento es una colección de resultados u observaciones obtenidas del experimento y forma parte del espacio muestral. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Los Eventos Aleatorios son las agrupaciones de resultados u observaciones que se obtienen de un experimento aleatorio y son parte de un espacio muestral. Los eventos aleatorios son subconjuntos que pueden contener un solo elemento, una infinidad de elementos y también no contener algún elemento. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Eventos aleatorios que aparecen con frecuencia en el cálculo de probabilidades: gran • Evento seguro: Siempre se verifica después del experimento aleatorio, forma parte del espacio muestral. E = S y n[E] = n[S] TEORÍA DE LA PROBABILIDAD • Evento imposible: Es aquel que nunca se verifica como resultado del experimento aleatorio. No tiene elementos de interés para su fenómeno. Es un subconjunto de S y la única posibilidad es que el evento imposible sea el conjunto vacío . S, y n[] = 0 TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Evento Elemental o Simple es el evento E que contiene exactamente un punto muestral de S; esto es, n[E] = 1. Cada elemento del espacio muestral, es un evento elemental. También se le denomina como punto muestral. Si s1, s2 S elementales. entonces s1, s2 son eventos TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Eventos Mutuamente Excluyentes o Disjuntos son dos eventos E1 y E2 que tiene la característica de que cuando sucede uno (E1) no sucede el otro (E2); por lo tanto, no tienen elementos en común. S A B Representación de los Eventos Mutuamente Excluyentes en un Espacio Muestral. Fuente: Elaboración propia, 2015 TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Ejercicio Un técnico de laboratorio clínico registra el tipo de sangre y el factor Rh de los pacientes que van llegando al laboratorio. Liste los eventos simples del experimento: S = {A+, A-, B+, B-, AB+,AB-, O+, O-} S A B AB O Representación de los Eventos Simples del Espacio Muestral Tipo de Sangre. Fuente: Elaboración propia, 2015 TEORÍA DE LA PROBABILIDAD A B S AB O + A+ - A- + B+ - B- + AB+ - AB- + - Diagrama de Árbol de Tipos de Sangre.. Fuente: Elaboración propia, 2015 O+ O- TEORÍA DE LA PROBABILIDAD S Ejercicio Factor Rh A Tipo de Sangre Positivo A+ B+ AB+ O+ Negativo A- B- AB- O- B AB Tipo de Sangre Positivo A B AB O Proporción 0.41 0.10 0.04 0.45 O Representación de los Eventos Simples del Espacio Muestral Tipo de Sangre. Fuente: Elaboración propia, 2015 TEORÍA DE LA PROBABILIDAD TEORÍA DE LA PROBABILIDAD TEORÍA DE LA PROBABILIDAD La probabilidad de un evento A es igual a la suma de las probabilidades de los eventos simples contenidos en A. Los requerimientos para las probabilidades de los eventos simples son: • Cada probabilidad debe estar entre 0 y 1. • La suma de las probabilidades de todos los eventos simples en el espacio muestral S es igual a 1. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Ejemplo Las proporciones de fenotipos sanguíneos A, B, AB y O en la población son: 0.41, 0.10, 0.04 y 0.45, respectivamente. Si se eligiera al azar una persona ¿Cuál es la probabilidad de que el tipo sanguíneo que presenta sea A o AB? Factor Rh Negativo Positivo Total Tipo de Sangre A A- B B- AB AB- O O- A+ 0.41 B+ 0.1 AB+ 0.04 O+ 0.45 TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Ejemplo Los cuatro eventos simples A, B, AB y O no son equiprobables; es decir, no presentan la misma probabilidad. Sus probabilidades se encuentran a partir del concepto de frecuencia relativa: P(A) = 0.41 P(B) = 0.1 P(AB) = 0.04 P(O) = 0.45 El evento de interés consiste en dos eventos simples, por lo tanto: P(la persona tenga tipo A o tipo AB) = P(A) + P(AB) = 0.41+ 0.04 = 0.45 TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Cálculo de la Probabilidad de un Evento • Liste los eventos simples del espacio muestral • Incluya todos los eventos simples en el espacio muestral • Asigne la probabilidad real correspondiente a cada evento simple • Determine que eventos simples dan como resultado el evento de interés • Sume las probabilidades de los eventos simples que dan como resultado la probabilidad del evento de interés TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Ejemplo En un estudio se clasifica un número grande de adultos a partir de si necesitan anteojos para corregir su visión de lectura o si usan anteojos para leer. Las proporciones correspondientes a las cuatro categorías son: Necesitaban anteojos Utilizaban anteojos para leer Si No Totales Si 0.44 0.14 0.58 No 0.02 0.40 0.42 0.46 0.54 1.00 Totales TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Ejemplo Si se elige un solo adulto de este grupo, encuentre la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos: • El adulto necesita anteojos • El adulto necesita anteojos para leer pero no los usa • El adulto usa anteojos para leer ya sea que los necesite o no Considere las recomendaciones hechas anteriormente para el cálculo de probabilidades. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Ejemplo Necesitaban anteojos Utilizaban anteojos para leer Si No Totales Si A = 0.44 C = 0.14 0.58 No B = 0.02 D = 0.40 0.42 0.46 0.54 1.00 Totales • Evento “El adulto necesita anteojos” [P(A)+P(C)] = 0.44+0.14 = 0.58 • Evento “El adulto necesita anteojos para leer pero no los usa” [P(C)] = 0.14 • Evento “El adulto usa anteojos para leer ya sea que los necesite o no” [P(A)+P(B)] = 0.44+0.02 = 0.46 TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Ejercicios Resuelva los siguientes ejercicios: 1.Durante su curso de Química, los alumnos tienen que aprobar dos exámenes, uno teórico y otro de laboratorio. 31 alumnos ya aprobaron el examen teórico; 15 el de laboratorio; 8 alumnos han aprobado ambos exámenes y el resto no han aprobado ninguno. En el curso de Química están inscritos 64 estudiantes ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir un alumno al azar pertenezca a alguno de los siguientes eventos? TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Ejercicios • Haya aprobado el examen teórico • Haya aprobado el examen del laboratorio • Haya aprobado ambos exámenes • No haya aprobado ningún examen Elabore un Diagrama de Venn para representar el espacio muestral y considere las recomendaciones hechas anteriormente para el cálculo de probabilidades. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Ejercicios 2.Una bolsa contiene diez esferas marcadas con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10. • Sea E1 el evento de extraer una esfera marcada con 3 o menos. • Sea E2 el evento de extraer una esfera marcada con 6 o más. • ¿Cuál es la probabilidad de sacar estas esferas de la bolsa? TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Ejercicios 3.La probabilidad de que asista a una universidad pública (A) es de 0.4 y la probabilidad de que asista a una privada (B) es 0.25 ¿Cuál es la probabilidad de que asista a una universidad estatal o a una universidad privada? y ¿Cuál es la probabilidad de que no asista a la universidad (C)? TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Operaciones con Probabilidades Unión de eventos Dados dos eventos A y B se llama unión de A y B (AB), se representa por el evento que se realiza cuando ocurre A o B, o ambos. S A B Representación de la Unión de Eventos. Fuente: Elaboración propia, 2015 TEORÍA DE LA PROBABILIDAD S A B Representación de la Intersección de Eventos. Fuente: Elaboración propia, 2015 Operaciones con Probabilidades Intersección de eventos Dados dos eventos A y B, se llama intersección A y B (AB), se representa por el evento que se obtiene si y sólo si se realizan simultáneamente A y B. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Operaciones con Probabilidades Complemento de un Evento Dado un evento A, el complemento de este evento (A) es el evento de que A no ocurra. S A A Representación del Complemento de un Evento. Fuente: Elaboración propia, 2015 TEORÍA DE LA PROBABILIDAD S A B Representación de la Diferencia de dos Eventos. Fuente: Elaboración propia, 2015 Operaciones con Probabilidades Diferencia de Eventos Dados dos eventos A y B, se llama evento diferencia de A y B, y se representa por (A-B), al suceso AB; o sea, está formado por todos los eventos elementales de A que no están en B. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Resumen de Operaciones con Probabilidades Operación Unión Intersección Diferencia Complemento Notación Descripción AB Unión de eventos originales A y B es el evento que sucede si y solo si A sucede o B sucede o ambos suceden. AB Intersección de los eventos originales A y B, es el evento que sucede si y sólo si A y B suceden simultáneamente. A-B La diferencia de los eventos originales A y B, es el evento que sucede solo en A pero no B. A El complemento de un evento A se define como todos los elementos de S que no están en A. Se representa como Ac , A TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Definición Axiomática de la Probabilidad de Kolmogorov Sea S el espacio muestral de un experimento aleatorio. Una probabilidad en S es cualquier función P que asigna a cada evento A un número real P(A) que cumple las siguientes propiedades: A1. 0 ≤ P(A) ≤ 1 A.2. P(S) = 1 A.3. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes (A B = 0), entonces P(A B) = P(A) + P(B) TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Propiedades de la Probabilidad 1.P( ) = 0 2.P(A) = 1- P(A) o [P(Ac)] 3.Si A y B son eventos tales que AB entonces P(A) ≤ P(B) 4.P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) para eventos que no son mutuamente excluyentes 5.P(A/B ) = P(A) - P(AB) TEORÍA DE LA PROBABILIDAD TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Eventos Independientes Dos eventos A y B son independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de la ocurrencia del otro. De manera similar, muchos otros eventos son independientes si la ocurrencia de cualquiera no afecta las probabilidades de la ocurrencia de los demás; es decir: P(AB) = P(A)P(B) De otra manera, dependientes. los eventos son TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Eventos Independientes Se dice que dos eventos A y B son independientes si el hecho de que ocurra uno de ellos no influye en la probabilidad de que ocurra el otro; es decir: P(AB) = P(A)P(B) De otra manera, independientes. los eventos son TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Ejemplo En la población hay 51% de varones y 49% de mujeres, y las proporciones de varones y mujeres daltónicos se muestran en la siguiente tabla : Daltonismo Género Varones (B) Mujeres (B c ) Total Si (A) 0.04 0.002 0.042 No (A c ) 0.47 0.488 0.958 0.51 0.49 1.00 Total TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Referencias bibliográficas • Celis de la Rosa, A. de J. y Labrada M., V. (2014). Bioestadística. México: Manual Moderno. 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