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FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
QUÍMICAS Y NATURALES
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES
TRABAJO Y ENERGIA
Jorge A. Maidana - Norah S. Giacosa
Silvia R. Beck - Walter von der Heyde
DEPARTAMENTO DE FISICA
Cátedras: Física General - Física II
DEPARTAMENTO
DE FISICA
Trabajo y Energía
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Impulso (I): Representa el cambio de momentum
de una partícula.
Resolviendo la ecuación fundamental de la dinámica
de una partícula F = dp /dt se tiene que:

p
p0

dp 

t
0

Fdt


p  p0 

t
0
A


Fdt  I
r
dr  ds
B FT
T
s
θ
F
O
Trabajo
Una fuerza realiza trabajo cuando es capaz de modificar la rapidez de la partícula o cuerpo sobre
la cual actúa. Cuando una partícula que se mueve a lo largo de una curva “s” bajo la acción de
una fuerza F de A a B, el trabajo desarrollado por la la fuerza es igual al desplazamiento
multiplicado por la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento.
 
dW = F.dr dW  Fdr cos
dr  ds dW  FT ds
dW  Fds cos
Donde FT es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento, ds es el módulo del
vector desplazamiento dr, y  el ángulo entre el vector fuerza y el vector desplazamiento.
El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la suma de todos los trabajos
infinitesimales
B  
B 

W 

A
Fdr 

A
Fds
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Trabajo y Energía
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Si el trabajo sobre una partícula para un desplazamiento
infinitesimal es igual a:
El trabajo total sobre una partícula al moverse de A a B, es la
suma de los trabajos infinitesimales efectuados a lo largo de
la trayectoria en los sucesivos
desplazamientos infinitesimales.
dr3
dr2
dr1
A
F1
dr4 B
F2
F3
F4
Antes de integrar la ecuación anterior se conocerse FT en función de la distancia s. Si es posible
graficarla como se muestra en la figura, se puede realizar una integración gráfica, siendo el
trabajo total efectuado igual al área total debajo de la curva.
FT
Ejemplo 1: Calcular el trabajo necesario para estirar un resorte 5
cm, si la constante del resorte es 1000 N/m. La fuerza necesaria
dW = FTds
para deformar el resorte es F=1000x N, donde x es la
FT
deformación.
FN
El trabajo de esta fuerza se calcula
W
dW = FNdx
mediante la integral.
50
W 

0 ,05
0
x
1000xdx 1000
2
2
0.05
 1,25 J
0
El área del triángulo de la figura es
(0.05·50)/2 = 1,25 J
o
W
x
o
dx
0,05
A
ds
B
s
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Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento el trabajo efectuado por la fuerza es cero. Esto
sucede en el caso de la fuerza centrípeta en el movimiento circular y en la fuerza gravitacional
sobre un cuerpo que se mueve sobre un plano horizontal.
DESPLAZAMIENTO
v
FN
Cuando la fuerza es constante en
magnitud y dirección y el cuerpo se
mueve
rectilíneamente
en
la
dirección de la fuerza, se tiene:
B
B
A
A
W   F ds  F  ds  Fs
F
W= mg
DESPLAZAMIENTO
v
W= mg
O bien el cuerpo se mueve
rectilíneamente en la dirección de la
componente de la fuerza, en la
dirección del desplazamiento:
B
B
A
A
W   Fx ds  Fx  ds  Fx s cos
DESPLAZAMIENTO
θ
W= mg
F
Fx
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Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de aplicación se traslada 7 m, si
el ángulo entre las direcciones de la fuerza y del desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.
B
B
A
A
W   Fx ds  Fx  ds  Fs cos 
DESPLAZAMIENTO
DESPLAZAMIENTO
DESPLAZAMIENTO
F
F
θ
F
F
x
θ
W= mg
W= mg
W=7(12cos0°) = 84 J
W= mg
W=7(12cos135°)= -83,6 J
W=7(12cos90°) = 0 J
DESPLAZAMIENTO
F
θ
F
x
W= mg
W=7(12cos60°) = 42 J
DESPLAZAMIENTO
•Si la fuerza y el desplazamiento tienen
el mismo sentido, el trabajo es positivo
•Si la fuerza y desplazamiento son
perpendiculares, el trabajo es nulo.
•Si la fuerza y el desplazamiento tienen
sentidos opuestos, el trabajo es
negativo
F
θ
W= mg
W=7(12cos180°) = - 84 J
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Trabajo y Energía
Potencia
Potencia "es el trabajo efectuado por unidad de
tiempo..."
La potencia media se expresa
por:
ΔW
P 
Δt
La potencia instantánea se
expresa por:
P 
UNIDADES DE TRABAJO
dW
dt
P  Fv
UNIDADES DE POTENCIA
(m.k.s - simela): Joule (J) [N.m]
(simela): Watt (W) [J / s ]
(c.g.s): Ergio [dina.cm]
(c.g.s.): [Ergio/seg]
(Sistema Técnico): Kgm [Kgf.m]
(Sistema Técnico): CV [Kgm/seg]
CV= 735,49875 W
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Energía Cinética
Llamamos energía a la capacidad de trabajo que tiene un
cuerpo o sistema de cuerpos.
"Energía cinética es la que posee el cuerpo por su estado de
movimiento. O bien: es el trabajo capaz de realizar gracias a su
movimiento.."
FT ds  m
dv
ds
ds  mdv
 mvdv
dt
dt
B
W   FT ds
A
B
W   m.v.dv  12 m.vB2  12 m.v A2
A
Podemos ver que cualquiera sea la forma funcional de la fuerza y la trayectoria
seguida por el cuerpo el valor del trabajo efectuado por la fuerza es siempre igual a
la diferencia entre las magnitudes de ½ mv2 evaluadas al comienzo y al final de la
trayectoria. Esta magnitud se denomina Energía Cinética.
El trabajo realizado sobre un cuerpo o partícula es igual al
cambio producido en su energía cinética.
EK  12 m.v2  W  EKB  EKA
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Trabajo y Energía
FUERZAS CONSERVATIVAS
Las fuerzas pueden clasificarse entre conservativas y no-conservativas.
Las fuerzas conservativas al ejercerse no implican gastos de ninguna
especie, no gastan combustible, no gastan los materiales, son silenciosas...
por lo tanto no agregan ni quitan energía total al sistema.
Son conservativas y de ahí viene su nombre, porque la energía total del
sistema se conserva. Las fuerzas conservativas típicas son las debido al
campo gravitacional (peso), a un elástico y a un campo eléctrico.
Una fuerza es conservativa si su valor se deriva de una función de energía
potencial.
La fuerza aplicada por un resorte o la ejercida por acción de la gravedad, son
fuerzas que permiten "almacenar energía“ como energía potencial debido al
trabajo realizado por éstas fuerzas.
La energía potencial se convierte en energía cinética cuando el resorte luego
de empujar un cuerpo vuelve a su longitud natural, o cuando el cuerpo al
caer desde una altura, gana rapidez perdiendo energía potencial. Se puede
invertir energía pero se puede recuperar después.
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Trabajo y Energía
Energía Potencial
Las fuerzas que permiten la conversión de energía potencial a cinética, son
las “fuerzas conservativas” y el trabajo de ellas tienen éstas propiedades:
1. El trabajo puede expresarse como la diferencia entre los valores
inicial y final de una función de energía potencial.
2. El trabajo es reversible. El trabajo es independiente de la trayectoria
del cuerpo dependiendo sólo de los puntos inicial y final.
3. El trabajo es cero si la trayectoria es cerrada, porque los puntos inicial
y final son el mismo.
Podemos asociar el concepto de Energía Potencial con el trabajo realizado
por una fuerza conservativa, pues el trabajo que esta realiza para mover un
cuerpo es igual a la diferencia de Energía Potencial en sus estados inicial y
final.
W  E p1  E p 2
La energía potencial es una función de las coordenadas tal que la diferencia
entre sus valores en las posiciones inicial y final es igual al trabajo sobre la
partícula para moverla de su posición inicial a la final.
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Energía Potencial
Energía Potencial asociada a campos de fuerzas:
Es importante destacar que la expresión de energía cinética Ek=½ mv2 no fija de
qué fuerza F se trata, mientras que la forma de la función Ep(x,y,z) si depende de
la naturaleza de F. Por ejemplo vemos que la fuerza gravitacional y la fuerza del
campo eléctrico son conservativas y que sus energías se expresan como:
E p  mgh
m: masa de la partícula; g: aceleración de la gravedad.
h: la posición o altura de la partícula en el campo gravitacional G.
E p  qV
q: la carga de la partícula.
V: el potencial de un punto de un campo eléctrico E.
Energía potencial elástica:
La energía elástica o energía de deformación es el aumento de energía interna
acumulado en el interior de un sólido deformable como derivación del trabajo
realizado por las fuerzas que provocan la deformación.
Ep  21 Kx 2
K : Constante del resorte
Δx: Desplazamiento desde la posición normal
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Trabajo y Energía
FUERZAS NO CONSERVATIVAS
Una fuerza no-conservativa como la de fricción siempre es opuesta al
movimiento del cuerpo, negativa y su trabajo Wfn no es reversible.
Éstas fuerzas son conocidas también como disipativas, y si realizan un
trabajo, se deberá tomar en cuenta en la energía mecánica total ET (suma de
las energías potenciales, cualquieras sean, y la cinética), considerándose
pérdida de energía, ya que se realiza un trabajo en contra al movimiento de
un cuerpo o partícula (trabajo negativo).
Las fuerzas no-conservativas típicas son: las musculares, los rozamiento, las
tracciones, empujes o tiros que para ejercerlas siempre requieren de algún
gasto (combustible, energía etc.) por lo que una forma de identificarlas es ver
si se está o no realizando un gasto. Si el gasto es nulo será conservativa.
La ley de la conservación de la energía dice que la energía nunca se crea ni
se destruye, sólo cambia de forma. Considerando para el estudio de la
cinética que sólo se toman en cuenta las energías mecánicas, entonces:
∆Ec + ∆Ep(gravitacional) + ∆Ep(elástica) + Wfn = 0
Donde Wfn es el trabajo de las fuerzas disipativas o de fricción ejercida por
los cuerpos (fricción cinética, resistencia del aire, etc).
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Conservación de la energía
La energía potencial se convierte en cinética cuando un cuerpo se deja caer desde
lo alto perdiendo energía potencial pero ganando rapidez, o cuando un resorte
empuja a un cuerpo para volver a su longitud natural. Las transformaciones
energéticas que se producen constantemente permiten verificar una premisa que
dice: "La energía puede ser transformada, pero no puede ser creada ni destruída,
por lo que la energía total permanece constante."
Este enunciado recibe el nombre de PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA
ENERGIA; y hasta el momento no ha estado en contradicción con ninguna
observación de la naturaleza.
BALACE DE ENERGIA SEGUN EL PRINCIPO DE CONSERVACION
En un sistema aislado o ideal: ET1 = ET2
Ek1  E p1  Ek 2  E p2
1
2
m1v12  Ep1  21 m2v22  Ep2
1
2
m2v22  21 m1v12  Ep1  Ep2
ET1 es la energía total en el estado 1 y ET2 la energía total en el estado 2.
En un sistema real:
ET1 = ET2 + W
ET1 es la energía total en el estado 1 ; ET2 la energía total en el estado 2 y W
representa la variación de energía producida en el proceso de transformación
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Conservación de la energía
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CONSERVACION DE LA ENERGIA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS
B
W   F .ds
A
B
W   m.v.dv  12 m.vB2  12 m.vA2
A
El trabajo realizado sobre un cuerpo o sistema de partículas es igual al cambio
producido en su energía cinética.
EK 
1
2
m .v 2  W  E KB  E KA
Podemos asociar el concepto de Energía Potencial con el trabajo realizado
por una fuerza conservativa
W  E p1  E p 2
"el cambio de la energía propia de un sistema de partículas es igual al trabajo
efectuado sobre el sistema por las fuerzas externas.."
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Trabajo y Energía
Conservación de la energía
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Una bala de 20 g choca contra un banco de arena, penetrando una distancia de 6 cm antes de
detenerse. Calcular la fuerza de frenado F, si la velocidad de entrada fue de 80 m/s.
Aplicando el PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA ENERGIA, y utilizando los datos de: v2 = 0
m/s, v1 80 m/s y la masa constante de la bala m= 20 g = 0.02 Kg se tiene:

W  E p1  E p2  12 mv22  12 mv12  12 m v22  v12



W  12 0,02 Kg 0 m s  80 m s  64 J
2
2
W es igual al trabajo neto efectuado e igual al trabajo necesario para detener la bala
W = F*d = - 64 J
La fuerza que actúa deteniendo a la bala es la de fricción del fluido viscoso:
Si el desplazamiento es d = 6 cm = 0.06 m, la fuerza de frenado será:
F = - 64 J / 0.06 m = - 1066.67 N
El signo negativo indica que la fuerza tiene sentido opuesto al desplazamiento.
*Enunciado de "Física Universitaria", Sears - Zemansky, Young - Freedman, Volumen 1,
novena edición.
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
QUÍMICAS Y NATURALES
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES
FIN
TRABAJO Y ENERGIA
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA:
[1] SEARS, W.; ZEMANKY, M.; YUONG, H y FREEDMAN, R. (2004)
Física Universitaria. Volumen 1. México.
[2] SEARS, F. (1972) Electricidad y magnetismo. Fundamentos de
Física II. Editorial Aguilar. Madrid.
[3] ALONSO, M. y FINN, E. (1976) Física. Vol I: Mecánica. Fondo
Educativo Interamericano. U.S.A.
[4]SERWAY,R.FAUGHN,J. (2001) Física. Pearson Educación. Mexico.
[5] FISICA GENERAL. Apuntes de cátedra. FCEQyN. UNaM.