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Análisis Básico de sistemas de
Control – Ecuaciones de Espacio
- Estado
Ing. Miguel Angel Niño Zambrano
Generalidades
Definiciones y Conceptos de
Control
Generalidades
• Ej. Vehículos Espaciales, Sistemas de
Guía, Sistemas piloto automático, etc.
• James Watt – Regulador Centrifujo.
• Minorsky, Hazen y Nyquist.
• Teoría de Control Clásica (Univariables)
vs. Teoría de Control Moderna
(Multivariables – Estados en el Tiempo).
• Control Optimo, Adaptación y Aprendizaje
Glosario
•
•
•
•
•
•
•
•
Variable Controlada (Salida del Sistema)
Variable Manipulada (Entrada del Sistema).
Control (valor medio vs. Valor deseado).
Plantas (Objeto físico a controlarse)
Procesos (Operación a controlar)
Sistemas
Perturbaciones (afecta la salida del sistema)
Control Retroalimentado (Operación ->
perturbaciones -> Reducir Salida vs Entrada de
Referencia)
Glosario
• Sistemas de Control retroalimentado (Mantener
relación entre Salida vs. Entrada de Referencia)
• Servosistemas o Servomecanismos (SCR >Salida = Control Mecánico (velocidad o
aceleración)).
• Sistemas de Regulación Automática (SCR >Entrada Ref. o Salida son Constantes –
Mantener la salida en el valor deseado).
• Sistemas de Control de Procesos (SRA – Salida
(Temperatura, Presión, flujo. Ph, etc.) vs.
Cronograma establecido)
Glosario
• Sistemas de Control de Lazo Cerrado (SCR).
Variaciones no previsibles.
• Sistema de Control de Lazo Abierto (Salida no
tiene efecto en el control Ej. Lavadora *Calibración). Sistemas en los que se conoce
bien las entradas y salidas sin perturbaciones.
• SCLA vs. SCLC (Componentes imprecisos,
Estabilidad, Costo = f(Potencia)).
• Sistemas de Control Adaptables (Ajustes en el
controlador, Características dinámicas).
• Sistemas de Control de Aprendizaje.
Clasificación de los Sistemas de
Control
• S.C. Lineales vs. No Lineales.
• S.C. Invariantes en el Tiempo (Parámetros
constantes) vs. Variable en el Tiempo (Ej.
Aceleración Vehículo espacial).
• S.C. Tiempo Continuo vs. Tiempo Discreto.
• S.C. Una Entrada una Salida vs. Múltiples
Entradas y Múltiples Salidas.
• S.C. Parámetros Concentrados vs. Distribuidos.
• S.C. Determinísticos vs. Estocásticos
Ejemplos: Sistema de Control de
Velocidad
Ejemplos: Sistema de Control de
Robot
Ejemplo: Control del Brazo del
Robot
Ejemplo: Sistema de Control de la Fuerza
de Agarre de la mano de un Robot
Ejemplo: Control Numérico de una
máquina
Ejemplo: Sistema de Control de
Temperatura de Un Horno
Ejemplo: Sistema de Control de
Temperatura de un Auto
Otros Ejemplos
• Sistemas de Control de Tráfico
• Sistemas Biológicos (Ecuaciones de
Volterra ampliadas)
• Sistemas de Control de Inventario
• Sistemas Empresariales
Elementos Básicos del Diseño de
Sistemas de Control
• Requisitos Generales de los Sistemas de
Control
– Todo Sistema de Control debe ser Estable. (absoluta
vs. Relativa), velocidad de respuesta, reducir errores
razonablemente.
• Teoría de Control Moderna (TCM) vs. Teoría
del Control Clásico (TCC).
– La TCC utiliza extensamente la función de
transferencia. Realiza el análisis en el dominio de s
y/o el dominio de la frecuencia.
– LA TCM se basa en el concepto de Espacio de
Estado, utiliza extensamente el análisis vectorial Matricial
Elementos Básicos del Diseño de
Sistemas de Control
– La TCC Brinda buenos resultados para sistemas de
control de una entrada y una salida, siendo inútil para
sistemas de múltiples entradas y salidas.
– LA TCM es buena para sistemas con Múltiples
entradas y m múltiples salidas.
– La TCC utiliza los métodos de control convencional
(PID, Lugar de Raíces, Respuestas de Frecuencia),
están basados más en la comprensión física que
matemática.
– La TCM utiliza más métodos (Espacio de Estados)
con fuerte análisis matemático, siendo más difíciles
de entender que el clásico
Elementos Básicos del Diseño de
Sistemas de Control
• Modelado Matemático
– Componentes de un SC (Electromecánicos,
hidráulicos, neumáticos, electrónicos, etc.), los cuales
se reemplazan con modelos matemáticos.
– No deben ser muy complicados ni muy simples,
representando los elementos esenciales de tal forma
que sus predicciones sean bastante precisas.
– Se deben tener en cuenta los isomorfismos.
– En Ingeniería del Control se usan ecuaciones
diferenciales parciales invariantes en el tiempo,
funciones de transferencia y ecuaciones de estado
para modelos matemáticos de sistemas lineales
invariantes en el tiempo.
– Las relaciones entradas- salida no lineales se
linealizan en la vecindad de los puntos de operación.
Elementos Básicos del Diseño de
Sistemas de Control
• Análisis y Diseño de sistemas de Control.
– Análisis: La investigación bajo condiciones
específicas del comportamiento de un sistema, cuyo
modelo matemático se conoce.
– Análisis de respuesta transitoria: La determinación de
respuesta de una planta a señales y perturbaciones
de entrada.
– Análisis de Respuesta en Estado Estacionario: La
determinación de la respuesta tras la desaparición de
la respuesta transitoria.
– Diseño: Hallar un sistema que cumpla la tarea dada.
– Síntesis: Encontrar, mediante un procedimiento
directo, un sistema de control que se comporte de un
modo específico.
Elementos Básicos del Diseño de
Sistemas de Control
• Método básico de diseño de Control.
– Es necesaria la utilización de procedimientos de
tanteo, por las diversas perturbaciones en los
sistemas los cuales incluyen no linealidades
– Índice de Comportamiento: Es una medida
cuantitativa del comportamiento, que indica la
desviación respecto al comportamiento ideal. Se
determina por los objetivos del S.C. Ej. Integral de
error a minimizar.
– Ley de Control: La especificación de la señal de
control durante el intervalo de tiempo de tiempo
operativo. Se busca determinar la ley de control
óptimo.
Elementos Básicos del Diseño de Sistemas de
Control
• Pasos de Diseño
– Dada una planta industrial, primeramente se deben
elegir sensores y actuadores a apropiados.
– Construir Modelos Matemáticos apropiados de la
planta.
– Diseñar un controlador de tal modo que el sistema de
lazo cerrado satisfaga las especificaciones dadas.
– El controlador es una solución a la versión
matemática del problema de diseño.
– Simular el modelo en una computadora para verificar
el comportamiento del sistema, en respuesta a
diversas señales y perturbaciones.
– Con los resultados de simulación se debe rediseñar
el sistema y completar el análisis correspondiente.
– Construir un prototipo del sistema físico.
– Probar el Prototipo hasta cumplir con los requisitos.
Modelado Matemático
Representación de Sistemas
Dinámicos en Espacio de Estados
Modelos
•
•
•
•
•
Mentales
Lingüísticos
Gráficos
Matemáticos
Software
Construcción de los Modelos
Matemáticos
Modelos Matemáticos
Conceptos Matemáticos
Preliminares
• Propiedades de la Transformada de Laplace.
– Método Operacional para resolver ecuaciones
diferenciales lineales (EDL).
– La EDL se transforma en una operación algebraica
en función de una variable compleja s, se resuelve la
f(s) y luego se aplica la transformada inversa de
Lapalace.
– Laplace se puede utilizar en técnicas de análisis
gráfico para predecir el funcionamiento del sistema
sin resolver las EDL.
– Resolviendo las EDL se obtienen componentes de
estado transitorio y estacionario en la solución
simultáneamente.
Conceptos Matemáticos Preliminares
• Variables Complejas y Función Compleja.
s    j
F ( s )  Fx  Fy dónde : Fx , Fy son reales
F ( s )  Fx  Fy
2
2
Magnitud de F(s)
  tan ( Fy / Fx ) Angulo de F(s)
1
F ( s )  Fx  sFy
Complejo Conjugado
Conceptos Matemáticos Preliminares
• Teorema de Euler
1)Cos  1 
2
2!

4 6
4!

6!
 ...
2) Sen   
3 5 7
3!

5!

7!
 ...
como :
x 2 x3 x 4
e  1  x     ...
2! 3! 4!
entonces :
x
Cos  jSen  e j y Cos  jSen  e  j Complejo Conjugado de e j  e  j
3)Cos 
1 j
( e  e  j )
2
4) Sen 
1 j
( e  e  j )
2j
Conceptos Matemáticos Preliminares
• Transformada de Laplace
f (t )  función de tiempo de t, tal que f(t)  0 para t  0
s  variable compleja
L  Símbolo que indica que la cantidad que precede debe
tran sformarse por la integral de Laplace :


0
e  st dt
F ( s)  Transforma da de Laplace de f(t)
L f (t )  F ( s )   f (t ) * e  st dt

0
Transforma da Inversa :
1
L F ( s)  f (t ) 
2j
1

c  j
c - j
F ( s ) * e st ds (t  0)
Conceptos Matemáticos Preliminares
• Aplicar Laplace a las funciones: (Ejemplo)
Sea la función exponencia l :
f(t)  0; para t  0
f(t)  Ae t ; para t  0.
Aplicando la Transforma da de Laplace tenemos :

L Ae
t
  F (s)  
A
F ( s) 
s 

0
Ae
t

* e dt  A e
 st
0
t (  s )
dt
Función de Transferencia
• Permite caracterizar las relaciones entre la entrada y la
salida de componentes o de sistemas que pueden
describirse por ecuaciones diferenciales lineales, invariantes
en el tiempo.
• Def.:La función de transferencia de un sistema de
ecuaciones diferenciales lineales invariante en el tiempo, se
define como la relación entre la transformada de Laplace de
salida (función respuesta) y la transformada de Laplace de
Entrada (función excitación), bajo la suposición que todas
las condiciones iniciales son cero.
Sea el sistema lineal invariante en el tiempo :
a0 y  a1 y  ...  an 1 y  an y
 b0 x  b1 x  ...  bm 1 x  bm x
para (n  m)
Función
Función de Transferencia
LSalida 
de Transferen cia  G(s) 
LEntrada Condicioes Inicialescero
Y ( s ) b0 s m  b0 s m 1  ...  bm 1s  bm


X ( s ) a0 s n  a0 s n 1  ...  an 1s  an
• Utilizando este concepto de función de transferencia, se puede
representar la dinámica de un sistema por ecuaciones algebraicas
en s. Si la potencia más alta de s en el denominador de la función
de transferencia es igual a n, se dice que el sistema es de orden n.
• El concepto de función de transferencia esta limitado a sistemas
de ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo.
• La FT es un método operacional apara expresar la ecuación
diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de
entrada.
• La FT es una propiedad de un sistema en sí, independiente de la
magnitud y naturaleza de la entrada o función impulsora.
Función de Transferencia
• La FT incluye las unidades necesarias para
relacionar la entrada con la salida: no obstante,
no brinda ninguna información con respecto a la
estructura física del sistema.
• Si se conoce la FT de un sistema, se puede
estudiar la salida o respuesta para diversas
formas de entradas con el objetivo de lograr una
comprensión de la naturaleza del sistema.
• Si se Conoce la FT de un sistema, se puede
establecer experimentalmente introduciendo
entradas conocidas y estudiando la respuesta o
salida del sistema, brindando la descripción de
las características dinámicas del sistema.
Sistema de Representación de un
Sistema de Control
• Diagrama de bloques:
+
x
-
y=G(s)*x
G(s)
Señales
Bloque Funcional
Punto de Suma
Punto de Bifurcación
R(s)
+
E(s)
-
G(s)
C(s)
R(s)
+
B(s)
E(s)
G(s)
H(s)
Diagrama de Bloques de un Sistema de Lazo Cerrado
C(s)
Funciones de Transferencia del
Ejemplo anterior
Función de Transferencia
De Lazo Abierto:
B( s)
 G( s) * H ( s)
E ( s)
Función de Transferencia
Directa:
C (s)
 G(s)
E (s)
Función de Transferencia
De Lazo Cerrado:
C ( s)
G( s)

R( s ) 1  G ( s ) * H ( s )
Función de Transferencia
De Lazo Cerrado con Amplificación
De la Señal de Entrada K:
C ( s)
G( s)

R( s ) 1  K * G ( s ) * H ( s )
Representación de un SLC sometido a
perturbación
• Se pueden considerar las respuestas de las
entradas por separado y luego sumarlas.
Perturbación
N(s)
R(s)
E(s)
+
G1(s)
+
-
B(s)
H(s)
+
C(s)
G2(s)
Representación de un SLC sometido a
perturbación
C N (s)
G2 ( s )

N ( s ) 1  G1 ( s ) * G2 ( s ) * H ( s )
CR (s)
G1 ( s ) * G2 ( s )

R ( s ) 1  G1 ( s ) * G2 ( s ) * H ( s )
C (s)  CR (s)  C N (s) 
G2 ( s )
[G1 ( s ) * R ( s )  N ( s )]
1  G1 ( s ) * G2 ( s ) * H ( s )
Procedimientos para trazar un
Diagrama de Bloques
1. Escribir las ecuaciones que describen el
comportamiento dinámico de cada
componente.
2. Tomar las transformadas de Lapace de éstas
ecuaciones, suponiendo condiciones iniciales
cero. Cada transformada se representa
individualmente en forma de Bloque.
3. Se integran los elementos en un Diagrama de
Bloques completo.
Conversión de Diagramas de Bloques
Suma de Señales:
Conexión en Cascada:
=
Conexión en Paralelo:
Conversión de Diagramas de Bloques
Retroalimentación:
=
Traslado del Sumador:
Traslado del Punto de Salida:
Ejemplo 1: DB de Circuito
R
C
ei
e0
i
+
idt
ei  e0

Laplace:
i
; e0 
R
C
Ei ( s )  E0 ( s )
I (s)
I (s) 
; E0 ( s ) 
R
Cs
Ejemplo 1: DB Circuito
Ei(s)
+
E(s)
I(s)
1/R
I(s)
-
1/Cs
E0(s)
E0(s)
(1)
(2)
Ei(s)
+
E(s)
I(s)
1/R
-
E0(s)
(3)
1/Cs
E0(s)
Método del Espacio de Estados
• Teoría de Control Moderna (1960) Concepto de Estado.
• Teoría de Control Moderna vs. Teoría de Control
Clásica.
– Multivariable vs. Una entrada una Salida
– Dominio en el tiempo vs. Dominio en Frecuencia Complejas.
• Estado: Es el conjunto más pequeño de variables (de
Estado) tales que el conocimiento de esas variables en
t=t0, conjuntamente con el conocimiento de la entrada
para t >= t0, determinan completamente el
comportamiento del sistema en cualquier tiempo t >= t0.
• Variables de Estado: Son las variables que constituyen
el conjunto más pequeño de variables que determinan el
estado de un sistema dinámico.
Método del Espacio de Estados
• Vector de Estado: Si se requieren n variables para
describir el comportamiento de un sistema dado, se
puede considerar a esas n variables como elementos de
un vector X. Determinando el estado del sistema dado
una entrada U(t) t>=0.
• Espacio de Estado: Espacio n-dimensional cuyos ejes
coordenados, consiste en el eje X1, X2, … Xn,.
• Ecuaciones de Espacio de Estado: Se manejan tres
tipos de variables (Entrada, Salida, Estado)
SISO
MIMO
Método del Espacio de Estados
• Las ecuaciones empleadas son de primer orden, que
operan sobre vectores de estado:
u es un vector que contiene cada una de las p entradas al sistema,
y es un vector que contiene cada una de las q salidas del sistema,
x es un vector que contiene cada una de las n variables de estado
del sistema, es decir:
Método del Espacio de Estados
• Estudiaremos sistemas dinámicos lineales
invariantes en el tiempo, de múltiples entradas y
múltiples salidas. Si el sistema es continuo, su
modelo corresponderá a las ecuaciones
Matriciales:
Ecuación de Estado
A = Matriz de Estado
B = Matriz de Entrada
C = Matriz de Salida
D = Matriz de Transmisión Directa
Las Matrices deben ser
de tamaño adecuado:
Ecuación de Salida
Método del Espacio de Estados
Función de Transferencia
De un Integrador
Ejemplo 1: Sistema Eléctrico –
Circuito RLC
Aplicando la Leyes de Kirchhoff:
Ejemplo 1: Sistema Eléctrico –
Circuito RLC
Organizando las ecuaciones:
En forma matricial:
Ejemplo 1: Sistema Eléctrico –
Circuito RLC
Se desea estudiar el comportamiento de Vr(t) e IL(t), sabiendo que Vr(t) = IL*R:
La representación variable estado del circuito RLC:
Las matrices son:
Ejemplo 2:Motor Eléctrico
Controlado por campo
Motor de corriente continua controlado por campo, con corriente de armadura
Constante. Mueve una carga J, Coeficiente de fricción viscosa B con velocidad
angular w(t).
La ecuación es:
Ejemplo 2:Motor Eléctrico
Controlado por campo
Las Ecuaciones son:
Matricialmente:
Ejemplo 2:Motor Eléctrico
Controlado por campo
Representación 1 Espacio Estado: Salida w(t)
Representación 1 Espacio Estado: Variables de estado T(t) y W(t)
Representación Espacio Estado a Partir de
Ecuaciones Diferenciales – Salida sin derivadas
Método sencillo para sistemas SISO:
El sistema queda unívocamente determinado si se conocen las condiciones
Iniciales, así:
Representación Espacio Estado a Partir de
Ecuaciones Diferenciales – Salida sin derivadas
Así, puede escribirse la ED como:
Matricialmente:
Representación Espacio Estado a Partir de
Ecuaciones Diferenciales – Salida con derivadas
• Colocar método aquí
Relación entre Funciones de
Transferencia y Variables de estado
• Sistemas SISO la función de transferencia es:
1
G(s)  C (sI  A) B  D
Donde A, B, C y D son matrices de:
I es la matriz idéntica correspondiente
Ejemplo: Se tiene de un Sistema Mecánico las siguientes matrices:
 0
A k
 m
1 
b
 
m
0
B   1  C  1
 m 
0 D  0
Relación entre Funciones de
Transferencia y Variables de estado
G ( s )  1
 s 0  0
0* 
 k


0
s




 m
 s
G ( s )  1 0*  k
 m
Re solviendo :
1
G(s)  2
s m  sb  k
1
1
1    0 
b  *  1   0
 
m    m 
1    0 
b  *  1 
s 
m    m 
Controlabilidad
• Se dice que el estado Xi es controlable en
t0 cuando es posible transformar el estado
inicial Xi(t0) en el estado deseado Xi(tf) en
un tiempo finito, por medio de la selección
apropiada de las entradas t en el
intervalo [t0,tf].
• Si todos los estados del sistema son
controlables en t0, se dice que el sistema
es “completamente controlable” en t0.
Observabilidad
• Se dice que el estado Xi es observable en t0
cuando conocido el valor del estado Xi en el
tiempo tf, la salida del sistema en el tiempo tf, y
conocidas las entradas en el intervalo de tiempo
[t0, tf], se puede establecer en forma única cuál
era el valor del estado Xi en el tiempo t0.
• Si todos los estados del sistema son
observables en t0, se dice que el sistema es
“completamente observable” en t0.
Técnicas para determinar la
Controlabilidad y la Observabilidad
La Controlabilidad de un sistema depende de las matrices A y B
de la representación matricial del modelo.
Un sistema invariante en el tiempo
y con valores característicos de A
no repetidos es completamente
controlable, si y solo
 si, no hay fila
cero en la matriz B :
El mismo sistema será completamente
observable
 si no hay columnas cero en
la matriz C

1
B M B
M: Matriz Modal de A

C  C M
Bibliografía