Download NÚMEROS NATURALES. DIVISIBILIDAD.

MATEMÁTICAS
2º DE ESO
UD 4
MAGNITUDES PROPORCIONALES
1. Proporción numérica
a
La razón entre dos números a y b es el cociente _
b
Los números a, b, c y d forman una proporción si la
razón entre a y b es igual a la razón entre c y d
a
c y se lee “a es a b como c es a d”
_
_
Se escribe
=
b
d
1. Razón y proporción numérica
En toda proporción se cumple la propiedad fundamental
de las proporciones: el producto de los extremos es
igual al producto de los medios
2. Magnitudes directamente proporcionales
Dos magnitudes son directamente proporcionales si:
a
c
_ =b
_=_
= …= k, siendo k la razón de proporcionalidad
a´ b´ c´
2. Magnitudes directamente proporcionales
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al
multiplicar o dividir una de ellas por un determinado
número, la otra queda multiplicada o dividida por el
mismo número.
Número de entradas
1
2
3
4
…
X
Precio (euros)
7
14
21
28
…
X.7
2. Magnitudes directamente proporcionales
El método de reducción a la unidad consiste en
calcular el valor que corresponde a la unidad de una
de las magnitudes, para calcular después el valor que
corresponde a cualquier otra cantidad.
Ejemplo: En un almacén empaquetan bolígrafos. Si en 5
cajas empaquetan 115 bolígrafos, ¿Cuántos bolígrafos
empaquetarán en 8 cajas?
115
__
= 23
5
23 x 8 = 184 bolígrafos
3. Repartos directamente proporcionales
Para repartir una cantidad T entre las cantidades x, y, z
de forma directamente proporcional, se procede del
siguiente modo:
T
_____
1. Se calcula la razón de proporcionalidad : K = x+y+z
2. Las cantidades x´,y´,z´, que corresponden a x,y,z,
respecticamente son:
x´=x·k
y´=y·k
Se cumple que: x´+y´+z´=T
z´=z·k
3. Repartos directamente proporcionales
4. Tanto por ciento o porcentaje
Un porcentaje o tanto por ciento es la cantidad que hay
en cada 100 unidades. Se expresa mediante el
símbolo %.
Un porcentaje es equivalente a una razón con
denominador 100 y también al número decimal
correspondiente
4. Tanto por ciento o porcentaje
6. Problemas con porcentajes.
5. Variaciones porcentuales. Porcentajes encadenados
Para hallar la cantidad final de otra a la que le aplicamos un
r% de disminución multiplicamos esa cantidad inicial por
r 

1 

 100 
es el índice de variación de la disminución porcentual
Cristina se compra unos pantalones que costaban 36 € y
que tienen un 15% de descuento. Le van a costar:
Descuento del 15%
36 – 0,15·36 = 36 ·(1 – 0,15) = 36 · 0,85 = 30,60 €
5. Variaciones porcentuales. Porcentajes encadenados
Para hallar la cantidad final de otra a la que le aplicamos un
r% de aumento multiplicamos esa cantidad inicial por
r 

1 

 100 
es el índice de variación del incremento porcentual
Patricia quiere aumentar un 12% la cuota anual de 150 €
que aporta a una ONG. Aportará un cuota final de:
Aumento del 12%
150+0,12·150 = 150·(1 + 0,12) = 150 · 1,12 = 168 €
5. Variaciones porcentuales. Porcentajes encadenados
Para aplicar sobre una misma cantidad dos o más
porcentajes encadenados, se pasan a tantos por uno y
se aplican sucesivamente
Un ordenador cuesta 1172 €, a los que hay que restar un
12% de descuento y después aplicarles el 18% de IVA
Descuento: 1172·(1 – 0,12) = 1172 · 0,88 = 1031,36 €
IVA:
1031,36·(1 + 0,18) = 1031,36·1,18 = 1217,00 €
Se puede calcular también aplicando porcentajes encadenados
1172·(1 – 0,12)·(1 + 0,18) = 1172 · 0,88 · 1,18 = 1217,00 €
6. Magnitudes inversamente proporcionales
Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden:
Son inversamente proporcionales si se verifica que:
a·a´=b·b´=c·c´=…= k
siendo k la constante de proporcionalidad inversa
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al
doble, triple, etc. cantidad de la primera le corresponde,
respectivamente, la mitad, la tercera parte, etc. de la
cantidad de la segunda
6. Magnitudes inversamente proporcionales
7. Repartos inversamente proporcionales
Para repartir una cantidad T entre las cantidades x, y, z
de forma inversamente proporcional, repartimos la
misma cantidad T entre las cantidades
1_ , 1_ , 1_
x y z
de forma de directamente proporcional
7. Repartos inversamente proporcionales