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CÁLCULO DEL CAMPO MAGNÉTICO EN EL EJE DE
UN IMÁN CILÍNDRICO CON IMANACIÓN UNIFORME
Antonio J. Barbero
Dpto. Física Aplicada UCLM
1
CILINDRO CON IMANACIÓN UNIFORME
1. Determinar el campo magnético en eleje de un cilindro recto imanado, de radio R y

altura L, cuya imanación uniforme es M  M 0uz.. Representar gráficamente.


 
El cilindro imanado se comporta como una lámina cilíndrica 
J s  M  ur  M 0uz  ur  M 0u
por la que circula una corriente superficial Js cuyo módulo es
M0 (A/m)
Z
Las fuentes del campo B son las cintas de altura dz’ que transportan
la corriente superficial Js. Cada una de esas cintas se encuentra a
(0,0,z)
una altura z’ sobre el plano XY, y cada punto de la cinta situada en
z’ se encuentra a una distancia ( z  z ' )2  R2 del punto donde hay
que determinar el campo magnético.



M  M 0uz
u

uz

Js
L
El campo magnético de una espira
circular (radio R) que transporta la
corriente I en un punto z de su eje es
dz '

ur
z'
R
Y

u

uz
X

B

ur
L
Análogamente el campo creado en
z por cada una de las cintas que
transportan la corriente M0dz’ es

 0 R 2 M 0 dz ' u z
  2( z  z')  R 

dB 
2
0
L
 ( z  z')  R 
dz '
2
0
2 3/ 2

1 
z

2 
R  z 2  R 2


 z  L 2  R 2 
2 3/ 2

0 M 0 
2

B

dB 

0 R 2 I
2 z 2  R2

u
3/ 2 z


0 R 2 M 0dz ' u z

2 ( z  z' )  R
2


 2
u z
2
2
2
( z  L)  R 
 z  R
z
zL
zL
2

2 3/ 2
CILINDRO CON IMANACIÓN UNIFORME (Continuación)


z
z

1
  M 
0 M 0 
z
zL
L
L

B


 2
  0 0
2
2
2
2
2
2
2

2  z  R
2
( z  L)  R 
z   R
z   R 


    
  1    
  L   L 
 L   L  
Representación gráfica del módulo del campo B frente a z/L para distintos valores de R/L
0,8
El origen z/L = 0 es el
polo sur. El imán es la
zona gris 0 < z/L < 1.
0,7
B (unidades 0M0)
0,6
R
 0.5
L
0,5
0,4
0,3
R
1
L
R
2
L
0,2
R
 10
L
0,1
0,0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
z/L
3
CILINDRO CON IMANACIÓN UNIFORME (Mismo problema, otro punto de vista)
2. Determinar el campo magnético en el eje de un cilindro recto imanado
uniformemente, de radio R y altura L, usando el concepto de cargas magnéticas y
densidad de polo magnético para determinar el potencial escalar magnético y a partir
de ahí el campo B (similitud con el caso electrostático). Considere como dato el
momento magnético del imán m (A·m2), siendo la imanación uniforme M0 (A/m) igual
al momento magnético por unidad de volumen.


M  M 0u Z
Polo magnético p 

L
L
2R


m
Polo magnético p 
Observación: el polo magnético p,
definido como el cociente m/L, donde m
es el momento magnético del imán, es
una magnitud escalar, y representa el
análogo de la carga eléctrica en
electrostática.


Sustituimos el imán por dos polos magnéticos, uno
en la cara norte (+) y otro en la cara sur (-), cada
uno de ellos con el signo correspondiente y de valor
p
m
L
Estos polos magnéticos aportan sobre cada una de las
superficies superior e inferior una “densidad
superficial de polo” (positiva y negativa,
respectivamente) análoga a la densidad superficial de
p
carga en electrostática. Su valor absoluto es el

cociente entre el polo p y el área circular de radio R.
 R2
A·m 
A/m 
Las densidades superficiales de polo (análogas a las distribuciones superficiales de carga en electrostática) se
pueden considerar como origen de un potencial magnético escalar que puede calcularse, análogamente al
potencial electrostático, teniendo en cuenta la simetría circular de las densidades de polo alrededor del eje Z.
Así puede determinarse el potencial escalar magnético en cualquier punto del eje sumando las contribuciones
de ambos polos, y una vez conocido éste, el campo B se calcula como el menos gradiente de ese potencial
magnético (persistimos en la analogía electrostática).
CILINDRO CON IMANACIÓN UNIFORME (Mismo problema, otro punto de vista)
Polo magnético
p
m
L
A·m 
Densidad de polo

p
 R2
A/m 
Consideraremos que un polo magnético está compuesto por gran número de trapecios circulares de área
dS, cada uno de los cuales contiene una fracción de polo ·dS, la cual contribuye al potencial escalar
magnético con dV.
2 R
2  R
2



R
Análogamente al caso electrostático:
 r dr d
r dr
2
2
V

k

k

d


k

z

r


0 d
 dS
2
2
2
2
z

r
z

r

k


(k es aquí la constante magnética)
dV
0 0
0  0
0

a
 r dr d
 r dr d
dV  k
k
CAMPO MAGNÉTICO B EN EL EJE DEL DISCO
Punto P,
a
z2  r2
CON DENSIDAD DE POLO UNIFORME 
potencial
2
2
V  2 k z  R  z
escalar
Relación entre campo B y potencial escalar
magnético a
magnético (en el eje solo depende de z)

calcular
uZ



B
 V  2 k
z 2  R 2  z uZ
2
2
a  z r
z
z



z
u
B  2 k  z 
2
2  Z
z R 

dS  r dr d

 A/m 
1

1
u
B  2 k z 
2
2  Z
R
z
z R 

r
d








 dS
dr
rd
5
CILINDRO CON IMANACIÓN UNIFORME (Mismo problema, otro punto de vista)
Polo magnético
P
p
m
L
A·m 
z
Polo magnético p 
L

m
Densidad de polo
Campo B creado por
un polo a la distancia z

p
 R2
A/m 

1
1
B  2 k z 
z 2  R2
z

 uZ


Cálculo del campo B en el punto P: suma de
las contribuciones de ambos polos magnéticos
Tomamos como origen el polo (-) situado a la distancia z



1

z
1
 uZ
 uZ  2 k 

1
B  2 k    z 

2
2
2
2 
z
z R 
 z R


 1

Campo B creado por el 
1

u


B

2

k

z

L


Z
polo (+) a la distancia z-L
2
zL
2 


z

L

R


Suma de ambos:


 

z
zL


 u

zL
B  B  B  2 k 

u
Z
2
B  2 k 1 
 z2  R2
2 


z

L

R
2

 Z
2




z

L

R


Relación entre la imanación, el momento

  M 
z
zL
u
B 0 0 

magnético y la densidad superficial de polo
2
2
2

 Z
2
2
z

R


z

L

R


m
m
M0  
La densidad superficial de polo es igual a la componente de
V  R2L

M
la imanación normal a la superficie. En la parte lateral del
p
m
2 k  2 0 M 0  0 60


imán es nula por ser nula dicha componente normal.
4
2
 R2  R2L
Polo magnético p 
Campo B creado por el
polo (-) a la distancia z
CILINDRO CON IMANACIÓN UNIFORME
Partiendo del resultado anterior para el campo B, determinar el campo magnético H
en el eje de
recto imanado de radio R y altura L (imanación constante e
 un cilindro

igual a M  M 0uz . Representar gráficamente para R/L = 0.25


z
z



 0 M 0 
1
z
zL

M


L
L
B


u z  0 0 

 uz
2
2
2
2
2
2
2
2
2  z R
2
(
z

L
)

R

z
R
z
R










    
  1    

 L
L
L


B
0
 
 H M
L 

B
Dentro del imán 0  z/L 1

H

B
0
 
 
z
z
 
 
1

 1 
 
L
L
 M  M 0 uz  

  1
2
2
2
2
2   z   R 
 z  R  
  1     
   L  L 
L  L  
     
0.5
0.4

H
unidades
R / L  0.25
M0 
0.3
0.2
Fuera del imán

H

B
0


z
z


1
M0 

L
L



 uz
2
2
2
2
2
 z  R 
  z    R 
  1    
  L   L 
L  L 
0.1
-0.50
0
0.00
-0.1
z/L
0.50
1.00
1.50
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
-0.6
Fuera del imán H tiene el mismo sentido que B; dentro tiene sentido contrario.
7