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Tema:
12
Formas geométricas. Semejanza
1
Matemáticas 1º
Ángulos
Un ángulo es una figura geométrica determinada
por dos semirrectas que tienen el origen en común.
El origen de las semirrectas es el vértice del ángulo.
Las dos semirrectas son los lados del ángulo.
lado
ángulo
O
vértice
lado
Ángulo recto
Ángulo llano
.
O
O
Ángulo cóncavo
Ángulo agudo
Ángulo obtuso y
convexo
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Formas geométricas. Semejanza
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Matemáticas 1º
Otros tipos de ángulos
Ángulos consecutivos
Dos ángulos pueden ser:
Tienen en común el vértice y
un lado.
Ángulos complementarios
O
Ángulos suplementarios
Son consecutivos cuya
suma es un recto
O
.
O
Son consecutivos cuya suma es un llano
Opuestos por el vértice
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Matemáticas 1º
Polígonos
Las regiones del plano más sencillas son aquellas
limitadas por segmentos. Son los polígonos.
Un polígono es la región de plano limitada
por una línea poligonal cerrada.
A
B
E
C
A, B, C, D y E se llaman vértices
D
Cada dos vértices consecutivos determinan un lado.
Cada dos lados consecutivos forman un ángulo
La línea recta que une dos vértices no consecutivos se llama diagonal.
D
A
Ángulo D
Diagonal AC
Lado AB
C
B
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Matemáticas 1º
Clasificación de polígonos
Según el número de lados:
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Según la igualdad de lados y ángulos:
Polígono equilátero.
Los lados son iguales
Polígono equiángulo.
Los ángulos son iguales
Polígono regular.
Lados iguales;
ángulos iguales
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Matemáticas 1º
Polígonos regulares
En un polígono regular aparecen los siguientes elementos:
Ángulo central: el
determinado por dos
radios
Centro: punto que
equidista de los vértices
O
Radio: cualquier
segmento que une el
centro con el vértice.
Apotema: segmento que
une el centro con el
punto medio de un lado
Circunferencia
circunscrita: la que pasa
por los vértices. Tiene su
centro en O
Polígono inscrito: el que tiene
sus vértices en la circunferencia
circunscrita
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Matemáticas 1º
Suma de los ángulos de un polígono
Suma de los ángulos de un triángulo
Se obtiene un ángulo llano
1º. Dibujamos los
ángulos
2º. Los recortamos
3º. Los unimos de
esta forma.
La suma de los ángulos de un triángulo es 180º
Suma de los ángulos de un polígono cualquiera
T2
T1
Dos triángulos:
2 · 180º = 360º
T3
T1
T2
Tres triángulos:
3 · 180º = 540º
1º. Se descompone en
triángulos.
2º. La suma de los ángulos del
polígono es igual a 180º por el
número de triángulos
obtenidos.
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Matemáticas 1º
La circunferencia y el círculo
La circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están
todos a la misma distancia de otro llamado centro.
A
Cuerda: cualquier segmento
que une dos puntos de la
circunferencia
Radio: cualquier segmento
que une el centro con un
punto de la circunferencia
O
Diámetro: cualquier
cuerda que pasa por el
centro
Círculo: es el conjunto de todos los
puntos de la región interior o de la
frontera de la circunferencia
Arco: cada una de las
partes en que una cuerda
B divide a la circunferencia
(en este caso hay dos arcos:
AB y BA)
Frontera
Región interior
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Matemáticas 1º
Elementos de un círculo
Un diámetro divide al
círculo en dos
semicírculos
Segmento circular: es la parte
de círculo limitada por la
cuerda y sus arco
Semicírculo
O
A
Sector circular: es la
parte de círculo limitada
por dos radios y sus arco
La porción de círculo limitada por
A, O y B es un sector circular
B
Ángulo central: tiene su
vértice en el centro del
círculo
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9
Matemáticas 1º
Posiciones relativas de rectas y circunferencias
O·
O·
O·
Recta exterior a la
circunferencia
Ningún punto en común
Recta tangente a la
circunferencia
Un punto en común
Recta secante a la
circunferencia
Dos puntos en común
Para dos circunferencias:
Interiores
Exteriores
Tangentes
exteriores
Tangentes
interiores
Secantes
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Formas geométricas. Semejanza
9
Matemáticas 1º
Posiciones relativas de rectas y circunferencias
O·
O·
O·
Recta exterior a la
circunferencia
Ningún punto en común
Recta tangente a la
circunferencia
Un punto en común
Recta secante a la
circunferencia
Dos puntos en común
Para dos circunferencias:
Interiores
Exteriores
Tangentes
exteriores
Tangentes
interiores
Secantes
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Matemáticas 1º
Figuras semejantes
Estas dos imágenes
tiene la misma forma.
X
N
M
Y
Una es copia de otra.
Original
Copia
N´
X´= k · X
Tema:
M´
Y´= k · Y
El largo y el ancho de la copia son proporcionales a los de la
figura inicial, con razón de proporcionalidad k.
Lo mismo sucede para cualquier segmento MN,
que el correspondiente M´N´= k · MN.
Los floreros son
figuras semejantes
Dos figuras son semejantes cuando las medidas de todos los
segmentos correspondientes son proporcionales.
La razón de proporcionalidad se llama razón de semejanza.
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Formas geométricas. Semejanza
12
Matemáticas 1º
Triángulos semejantes. Criterio 1º
A´
A
Ampliamos el
triángulo dado:
b
b´
C
c
a
Original
c´
C´
Copia
B
a´
B´
Los triángulos ABC y A´B´C´ son figuras semejantes. Por tanto, las
medidas de la copia son proporcionales a las del triángulo original.
En particular, los lados correspondientes
son proporcionales, luego:
a´ b´ c´
 
a
b
c
Criterio 1º
Dos triángulos son semejantes si tienen los lados correspondientes proporcionales.
Dos triángulos cuyos lados midan 3, 4 y 5 cm para el primero, y 6, 8 y
10 cm para el segundo, son semejantes, pues 6 : 3 = 8 : 4 = 10 : 5 = 2.
El valor de ese cociente, 2, es la razón de semejanza.
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Ejemplo:
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Matemáticas 1º
Triángulos semejantes. Criterio 2º
A´
A
Ampliamos el
triángulo dado:
A
C
Original
C
C´
Copia
B
B
B´
Como sabemos, los triángulos ABC y A´B´C´ son semejantes.
Observa lo que pasa al superponer el triángulo original sobre la copia:
El ángulo A coincide con el ángulo A´.
El ángulo B coincide con el ángulo B´.
El ángulo C coincide con el ángulo C´.
Criterio 2º
Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos correspondientes iguales.
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Matemáticas 1º
Polígonos semejantes
Los criterios de semejanza de triángulos
permiten definir la semejanza de figuras
poligonales.
Dos polígonos son semejantes si lo son
los triángulos correspondientes en que
pueden descomponerse.
T3
T1
T2
Dos polígonos son semejantes si los lados correspondientes
son proporcionales y los ángulos correspondientes iguales.
T3 ´
T1´
T2´
T1 semejante a T1´
T2 semejante a T2´
T3 semejante a T3´
Ninguno de los polígonos siguientes son semejantes entre sí:
El cuadrado y el rombo tienen los lados
iguales, pero no los ángulos.
El cuadrado y el rectángulo tienen iguales
los ángulos, pero no los lados
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Matemáticas 1º
Mapas y planos y maquetas
Un mapa es la representación,
mediante un dibujo, de una parte
de la superficie de la Tierra
guardando la semejanza.
Un plano es la representación de un
piso, de una habitación, de una ciudad,
etc, conservando la forma.
Una maqueta es una representación de
una escultura, edificio, coche u objeto
tridimensional, que guarde la
proporcionalidad en las tres dimensiones.
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Matemáticas 1º
Resolución de problemas
Problema: Los padres de Elena y Esther han comprado un piso. Su
futura habitación está dibujada a escala 1 : 150, en el plano adjunto.
¿Qué dimensiones tiene su cuarto? ¿Cuál es su superficie?
Primero:
Observar para entender
Escala 1 : 150
30
Medir y pasar a valores reales
Con una regla milimetrada medimos el largo y el
ancho de la habitación en el plano.
Ancho: 30 mm
Largo: 35 mm
Valores reales:
20
Segundo:
10
Vemos que se trata de una habitación rectangular.
Para calcular sus dimensiones habrá que medir
los lados y tener en cuenta la escala.
10
20
30
30 · 150 = 4500 mm = 4,5 m
35 · 150 = 5250 mm = 5,25 m
Superficie: 4,5 · 5,25 = 23,625 m2
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