Download Trfm-1-II

>> Transformación <<
Sistemas de Referencia
LINK
http://www.sc.ehu.es/ccwgamoa/docencia/Material/Presentaciones
Trfm.SistRef
A. García-Alonso
1
Contenido
• Transformación “window/viewport”
(Hearn 6)
– Recorte de primitivas
• Fundamentos de Álgebra
(Burgos 11)
– J. de Burgos, “Álgebra Lineal”, McGraw-Hill, 1993
•
•
•
•
•
Sistemas de referencia
Transformaciones 3D
Cámaras
Avatares
Seleccionar (picking)
Trfm.SistRef
(Foley 5, Hearn 11)
(OpenGL PG 3, Hearn 12)
(VRML’97)
A. García-Alonso
2
Todo en una imagen
• La siguiente figura muestra el uso de las distintas
transformaciones en OpenGL, que es semejante a la
utilizada en todo sistema de visualización
• En este capítulo lo estudiaremos paso por paso
Trfm.SistRef
A. García-Alonso
3
Definiciónes
• World-Window
– Rectángulo definido en el Sistema de Referencia del Mundo
mediante cuatro valores (cuidado !, hay dos posibilidades):
• Extremos, dos sobre el eje x, y otros dos sobre el eje y
• Coordenadas del origen y longitudes horizontal y vertical
• Viewport
– Rectángulo definido en el Sistema de Referencia del área de
dibujo (pantalla, window, botón)
• Nota : en los sistemas de ventanas, cada ventana, cada widget,
es una “pantalla” independiente
• Objetivo : seleccionar que área del mundo se desea ver
en una sub-área de pixels
Trfm.SistRef
A. García-Alonso
4
Del mundo al área de dibujo
• Sistema de referencia del mundo
– Cualquier sistema de unidades: metro, seg., m/s, litros, etc
– Cada eje unidad independiente (velocidad & tiempo)
Sist. Ref. mundo
Trfm.SistRef
A. García-Alonso
5
…
• Sistema de referencia en el área de dibujo
– button, drawingarea, window, screen
– Unidades : píxeles
– Su origen varía de unos sistemas a otros
• Esquina inferior izquierda
• Esquina superior derecha
x
y
y
x
Área de dibujo con imagen
Trfm.SistRef
A. García-Alonso
6
...
yvmax
yvmin
Rectángulo viewport
Rectángulo window
xvmin
ywmax
xvmax
Observar la distorsión en la imagen
+
=
ywmin
xwmin
Trfm.SistRef
xwmax
A. García-Alonso
Imagen dibujada
7
Transformación “window to viewport”
• Se definen los límites mínimos y máximos, en “x” y en
“y” de los rectángulos window & viewport
• Problema
– Dadas las coordenadas de un vértice (xw, yw) en el sistema
de referencia del mundo
– Determinar que coordenadas (xv, yv) le corresponden en el
sistema de referencia de la pantalla
ywmax
yvmax
(xw, yw)
(xv, yv)
yvmin
ywmin
xwmin
Trfm.SistRef
xwmax
A. García-Alonso
xvmin
xvmax
8
Ventana : término equívoco
• Ventana en transformaciones “window to viewport”
• Ventana en los sistemas de ventanas
– The X window system (Linux) & Microsoft windows
• En estos casos los viewport
– Se definen para cada ventana 3D contenida en el escritorio
– Cada ventana 3D tiene su propio sistema de pantalla
– El origen en la esquina superior izquierda del área de
dibujo de la ventana (el marco no cuenta)
• Uso actual del modo “full window”
– Aplicación : simulación, proyección, stereo
• Conexión de bordes en multi-proyección
– Problema : interfaz 2D (menús, cajas de diálogo, etc)
Trfm.SistRef
A. García-Alonso
9
Fundamentos de Álgebra
• Geometría : área del Álgebra que trata de las medidas,
propiedades y relaciones entre puntos, líneas, ángulos,
superficies y cuerpos
• Topología : estudia las propiedades que no cambian al
producirse “deformaciones continuas”
• Contenido del repaso
–
–
–
–
Puntos y vectores
Espacio vectorial euclídeo
El espacio afín
Sistemas de referencia
Trfm.SistRef
A. García-Alonso
10
Puntos y vectores
• Conjunto E3
– A sus elementos se les llama puntos
– Punto vs. Vértice (geometría vs. topología)
• Espacio vectorial 3
– Sus elementos son vectores
• Coordenadas vs. Componentes
– Transformaciones
• Unidades
– Adimensional o especificado
– Metros (VRML)
Trfm.SistRef
A. García-Alonso
11
Espacio vectorial euclídeo
• Espacio vectorial euclídeo : todo espacio vectorial real
dotado de un producto escalar (Burgos 8.1)
• Producto escalar
– Sea V un espacio vectorial real
– La aplicación : V x V  
– Será un producto escalar o producto interno, si para
cualesquiera x, x’, y  V y λ, λ’  , se verifica que
• x·y=y·x
• ( λx + λ’x’) · y = λx · y + λ’x’ · y
• x·x>0,x≠0
Trfm.SistRef
A. García-Alonso
12
El espacio afín
• El espacio afín (E3)
– ( Se define y fundamenta en Álgebra )
– Está constituido por los siguientes elementos :
• Conjunto E3
• Espacio vectorial 3
• Aplicación :  (P, Q) / P, Q  E3  v  3
– Esta relación se denota : v = PQ ó Q = P + v
[1]
– Se deben verificar las condiciones :
•  P  E3 y  v  3 , | Q  E3 que satisface [1]
• Dados tres puntos cualesquiera P, Q, R  E3 se verifica
PQ + QR = PR (relación de Chasles)
Trfm.SistRef
A. García-Alonso
13
Sistemas de referencia
• Bases ortonormales (Burgos 8.3)
• Coordenadas cartesianas (Burgos 11.1 (201) )
– Dados un punto O (origen) de E3 y si (e1, e2, e3) es una base
de 3, se dice entonces que (O; e1, e2, e3) es una referencia
cartesiana de E3.
– Cuando la base sea ortonormal, a la referencia se la llamará
rectangular
– Se llaman coordenadas cartesianas de un punto X  E3
respecto de dicha referencia a las coordenadas (x1, x2, x3) del
vector OX en la base (e1, e2, e3)
Trfm.SistRef
A. García-Alonso
14
Dextrógiro o levógiro
• Reglas
– Mano derecha o izquierda
– Sacacorchos o rosca normal
• Los sistemas dextrógiros son los más habituales
• En algunos casos el sistema de la cámara es levógiro
y
y
x
x
z
Dextrógiro (right handed) z
Trfm.SistRef
Levógiro (left handed)
A. García-Alonso
15
...
Penn State University
Center for Academic Computing
Visualization Group
http://www.cac.psu.edu/dept/cac/publications/web/
publications/cacguide/viz/sem_notes/3d_fundamentals
Trfm.SistRef
A. García-Alonso
16
Sistemas de referencia en GxC
• Mundo (World, Global) en el cuál se construye la
escena (cptos de gravedad, eje vertical)
• Modelado (Local) en el cual se describe un objeto
• Cámara (Camera)
yc
– Rígidamente unido cámara
– Origen en punto vista
– Dirección de visión
yw
• Normalizado
• Pantalla (device)
– Monitor
– Ventana
Trfm.SistRef
zm
ym
xc
zc
xm
xw
zw
A. García-Alonso
17