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TRIGONOMETRÍA
“Los historiadores concuerdan en que fueron los griegos anteriores a Sócrates los
iniciadores de la Trigonometría. Entre las primeras aplicaciones que se hicieron de
esta ciencia hay una que se le atribuye a Thales de Mileto ( 640-550 a. De C.),
quien en un viaje a Egipto, habría medido la altura de las pirámides utilizando
relaciones entre ángulos y lados de triángulos. Estos conceptos fueron
sistematizados cuatrocientos años después por Hiparco ( 160 a. De C.), notable
geómetra y astrónomo griego. Por esta razón se le reconoce como el creador de la
Trigonometría.”

La orientación o sentido de un ángulo está determinada por la dirección en
que gira uno de sus rayos mientras que el otro permanece fijo.
Manteniendo fijo el rayo OA y girando
el rayo OB en sentido contrario al
avance de los punteros del reloj
(Anticlockwise), se genera el ángulo
AOB
denominado
como
ángulo
positivo
Manteniendo fijo el rayo OA y girando el
rayo OB en el mismo sentido al avance
del los punteros del reloj ( Clockwise),
se genera el ángulo AOB denominado
ángulo negativo
Nota: El rayo que permanece fijo se le denomina lado inicial del ángulo,
mientras que al rayo que gira se le denomina lado terminal.

Sistemas de medición de ángulos
(a) Sistema sexagesimal: en este sistema la unidad de medida es el grado
sexagesimal, lo que se anota 1°. Esta unidad corresponde a la medida de
un ángulo del centro que subtiende un arco igual a la trescienta ava parte
de la circunferencia.. Recibe el nombre de sexagesimal debido a que cada
ángulo de un grado se subdivide en 60 partes iguales, cada una de las
cuales corresponde a un ángulo de un minuto ( 1’). A subes, cada ángulo
de 1’ se subdivide en 60 partes iguales, cada una de las cuales corresponde
a un ángulo de un segundo ( 1”)
(b) Sistema radial: En este sistema la unidad de medida es el radian ( 1 rad).
Esta unidad equivale a un ángulo del centro que subtiende un arco cuya
longitud es igual al radio de la circunferencia

Nota: como sabemos, el radio está contenido 2 veces en la circunferencia.
Esto permite expresar las siguientes equivalencias:
Ejercicios
Calcule la medida equivalente en radianes
Soluciones
2
Calcule la medida equivalente en grados sexagesimales.
Solución

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo
3
Razón: es una comparación por cuociente entre dos cantidades
sen 
cateto opuesto a 
hipotenusa
cos ec 
cos  
cateto adyacente a 
hipotenusa
sec  
tg 
cateto opuesto a 
cateto adyacente a 
hipotenusa
cateto opuesto a 
hipotenusa
cateto adyacente a 
cot g 
cateto adyacente a 
cateto opuesto a 
Nota: El término tangente se abrevia como tg en castellano y tan en inglés.
Las calculadoras científicas y gráficas usan esta última abreviatura.
Ejemplo: Hallar las razones trigonométricas del ángulo agudo menor de un
triángulo rectángulo si la hipotenusa mide 5m y uno de los catetos mide 3 m.
Solución:
Para poder calcular las seis razones trigonométricas necesitamos hallar la medida
del otro cateto; esto lo hacemos aplicando el Teorema de Pitágoras. Una vez
hallado el valor de este cateto, procedemos a encontrar los valores de las razones
por medio sus respectivas definiciones:
4
2. Se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8 y 15 m, hallar las
razones trigonométricas del ángulo agudo mayor
Primero hallamos el valor de la hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitágoras;
luego, calculamos las razones trigonométricas, a partir de sus respectivas
definiciones y con los datos dados y obtenidos:
En todo triángulo rectángulo, cualquier razón trigonométrica correspondiente a
un ángulo agudo es siempre igual a la razón de su ángulo complementario


sen  cos(90    )  cos   
2



cosec  sec(90    )  sec   
2



cos  sen(90    )  sen   
2




sec  cos ec(90    )  cos ec   
2




tg  cot g (90    )  cot g    
2



cot g  tg (90    )  tg   
2

5

La circunferencia goniométrica
Se llama a sí a toda circunferencia
cuyo radio se considera de medida
unitaria (1 u) y que tiene su centro
ubicado en el origen O(0,0) de un
sistema
de
ejes
coordenados
perpendiculares
Nota: La palabra goniométrica proviene del griego gonos= ángulos y metría =
medición
 Esta circunferencia es un elemento auxiliar utilizado para definir el valor
y el signo que toman las razones trigonométricas de ángulos de
cualquier medida.
 Si para cualquier ángulo  determinado en la circunferencia
goniométrica, consideramos el punto P(x,y) como la intersección del
lado terminal de  con dicha circunferencia, entonces podemos definir:
cos  = x ------> abscisa de P
sen  = y ------> ordenada de P
6
Resumen razones trigonométricas básicas de los ángulos notables en el primer
cuadrante.
En grados
En radianes
0°
0
30°
45°
60°
90°

6
1
2

4

3

2
Seno
0
2
2
3
2
1
Coseno
1
3
2
2
2
1
2
0
Tangente
0
3
3
1
3
No
definida
Ángulos de elevación y de Depresión. Son aquellos formados por la
horizontal, considerada a nivel del ojo del observador y la línea de mira, según
que el objeto observado esté por sobre o bajo esta última.
Con respecto a un observador, los ángulos de elevación y de depresión
constituyen ángulos alternos internos entre paralelas, por lo tanto, sus
medidas son iguales.
7
Signos de las funciones trigonométricas
De acuerdo con el cuadrante en que se
halle el lado Terminal del ángulo y
teniendo en cuenta que la distancia de
un punto cualquiera al origen de
coordenadas es siempre positiva, y
aplicando la “ ley de los signos”, las
funciones trigonométricas pueden ser
positivas o negativas
Signo de las funciones trigonométricas
Medida del
ángulo
Cuadrante
Razón
sen 
0    90
cos 
tg
Medida del
ángulo
90    180
Cuadrante
[0,1]
[0,1]
[0,+  [
Signo
Rango
sen 
+
-
[0,1]
[-1,0]
]-  ,0]
+
[-1,0]
[-1,0]
[0,+  [
+
-
[-1,0]
[0,1]
]-  ,0]
cos 
sen 
cos 
tg
270    360
+
+
+
Rango
Razón
tg
180    270
Signo
sen 
cos 
tg
8
Ejercicios.
En los ejercicios 1 y 2 se dan las coordenadas de P; calcule el valor de las
funciones trigonométricas del ángulo correspondiente. En los ejercicios 3 a 6
deduzca los signos de las funciones trigonométricas para el ángulo que se da.
Soluciones
9
10
Reducción al primer cuadrante
Es conveniente reducir una función trigonométrica de un ángulo cualquiera a su equivalente
de un ángulo del primer cuadrante. Para tal efecto, vamos a deducir las fórmulas para
calcular las funciones trigonométricas de (180° - a), (180° + a) y (360° - a). También,
vamos a constatar que "las funciones trigonométricas de un ángulo, en el primer cuadrante,
son iguales a las cofunciones del ángulo complementario". Además, vamos a calcular las
funciones trigonométricas del negativo de un ángulo.
Funciones trigonométricas de (180° - a):
Figura 1
11
Ángulos del Segundo cuadrante
sen(  )  sen
cos(  )   cos 
tg(  )  tg
cos ec(  )  cos ec
sec(  )   sec 
cot g(  )   cot g
Ángulos del tercer cuadrante
sen(  )  sen
cos(  )   cos 
tg(  )  tg
cos ec(  )   cos ec
sec(  )   sec 
cot g(  )  cot g
Ángulos del cuarto cuadrante
sen(2  )  sen
cos ec(2  )   cos ec
cos(2  )  cos 
sec(2  )  sec 
tg(2  )  tg
cot g(2  )   cot g
GRAFICA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

La grafica de y = senx
Características de la función seno





El dominio es el conjunto de todos los números reales
El rango o recorrido es [-1,1]
La función seno es impar y la gráfica es simétrica con respecto al origen
La función seno es periódica, con periodo 2
La intersección con el eje x son: 0, , 2,...... , la intersección con el
eje y es : 0
12

El máximo valor es 1 y ocurre cuando x =
es –1 y ocurre cuando x =

,
2
5
,.... y el mínimo valor
2
3
,.....
2
La gráfica de y = cosx
Características de la función Coseno

El dominio es el conjunto de todos los números reales
El rango o recorrido es [-1,1]
La función coseno es una función par y la gráfica es simétrica con respecto
al eje y
La función coseno es periódica y su periodo es 2

La gráfica de y 0 cos(x) intersecta al eje x en:

que dicha gráfica intersecta al eje y en: 1
El máximo valor que alcanza es 1 y ocurre cuando x = 0, 2 ,..... , mientras




2
que el mínimo valor es –1 y lo alcanza cuando x =

,
3
5
,
,...... mientras
2
2
 ,.......
La gráfica de y = tan(x)
Características de la función tan(x):
 El dominio es el conjunto de todos los números reales, excepto los
múltiplos de

2
13
 El rango o recorrido es el conjunto de los números reales
 La función tangente es una función impar y la gráfica de y = Tan(x) es
simétrica con respecto al origen
 La función tangente es periódica y su periodo es 
 La función y = tan(x) intersecta al eje x en  , 2  ,........., e intersecta
al eje y en el punto 0
 Las asíntotas verticales ocurren cuando x =
3
2
Otras gráficas
y = cotx
y = secx
y = cscx
14
Teorema. Si
  0,
dados por :
la amplitud y periodo de y  Asenx
Amplitud =
A , Periodo = T 
y  A cos x están
e
2

Definición: Para las gráficas de y  Asen( x   ) o y  A cos( x   ), con   0
Amplitud  A
Periodo  T 
2
Desfase 

El desfase puede ser a la izquierda si


.

< 0 y a la derecha si
Ejemplo: Determine la amplitud y periodo de la función f(x) 
 >0.
1
2
sen
x y luego
2
3
grafique un ciclo
Solución
Amplitud :
1
1

,
2
2
Periodo 
2
3
2
3
Ejercicios:
(1) Halla la amplitud y el periodo y traza la gráfica de la ecuación
(a) y  4senx
(b) y  sen4x
1
x
4
(g) y  4senx
1
x
4
(h) y  sen(4x)
(d) y  sen
( j) y  cos 3x
(m) y  2 cos
1
x
3
(e) y  2sen
1
cos x
3
1
(n) y  cos 3x
2
(k) y 
1
senx
4
1
(f ) y  sen4x
2
(i) y  3 cos x
(c) y 
(l) y  cos
1
x
3
(o) y  3 cos x
15
(2) Halla la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase y traza la gráfica de
la ecuación






(a) y  sen x  
(b) y  sen x  
(c) y  3sen x  
2
4
6












(d) y  2sen x  
(e) y  cos x  
(f ) y  cos x  
3
2
3







(g) y  4 cos x  
(h) y  3 cos x  
(i) y  sen(2x  )  1
4
6


( j) y  sen(3x  )  1
(k) y  2sen(3x  )  2

1
(m) y  sen x  
2
3



(p) y  3 cos x
2

1
(n) y  sen x  
2
4




(q) y  5sen 3x  
2

(l) y  cos(2x  )  2
(o) y  6senx


(r) y  4 cos 2x  
3

Biorritmo: La conocida teoría del biorritmo utiliza las gráficas de tres funciones
senoidales simples para hacer predicciones sobre el potencial físico, emocional e
intelectual para un día. Las gráficas se dan para y = a sen bt para t en días, con t
= 0 correspondiente al nacimiento y a = 1 denota 100% del potencial.
(a) Halla el valor de b para el ciclo físico, que tiene un periodo de 23 días, para el
ciclo emocional ( 28 días) y para el ciclo intelectual ( 33 días)
(b) Evalúa los ciclos de biorritmo de una persona que acaba de cumplir 21 años y
tiene 7670 días de nacido
Componentes de las mareas: La altura de la marea, en un lugar en particular
de una playa, se puede predecir si se usan siete funciones trigonométricas (
llamadas componentes de mareas) de la forma f(t) = a cos( bt + c).
El principal componente lunar se puede aproximar mediante la ecuación
11 

f(t)  a cos t 
 donde t es en horas y t = 0 corresponde a la medianoche.
12 
6
Trazar la gráfica de f si a = 0,5 m
16

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Una identidad trigonométrica es una relación de igualdad entre expresiones
trigonométricas que son verdaderas para todas las medidas angulares para las
cuales están definidas.
Nota: Las identidades trigonométricas son útiles para reducir, simplificar o
transformar otras expresiones trigonométricas, como también para demostrar
nuevas identidades.
Identidades básicas
(1) tg 
sen
cos 
(2) cot g 
(5) sen  cos ec  1

cos 
sen
(3) cos ec 
(6) cos   sec   1
1
sen
(4) sec  
(7) tg  cot g  1
Identidades trigonométricas pitagóricas
Se denominan así a todas las identidades trigonométricas que se deducen de la
aplicación del teorema de Pitágoras.
sen 
a
c
cos  
b
c
De acuerdo con el teorema de Pitágoras, tenemos que:
a2 + b2 = c2
multiplicando cada expresión por
a2
c2

b2
c2

1
, se obtiene:
c2
c2
c2
lo que es equivalente a
2
2
2
a b
c
     
c c
c
2
( sen )  (cos  ) 2  1
2
2
es decir: sen   cos   1
17
1
cos 
A partir de esta identidad se obtienen las dos siguientes:
(2)1  cot g2  cos ec2

(3) tg2  1  sec2 
Identidades trigonométricas para la suma y diferencia de ángulos
Suma y diferencia de ángulos
A  (Cosα, senα)
C  (cos(α  β), sen(α  β)
B  (cos β, senβ)
D  (1,0)
De acuerdo con la fórmula de distancia entre dos puntos, podemos decir que:
18
d AB 
(senα  senβ)2  (cos α  cos β)2
y
d CD 
(cos(α  β)  1)2  (sen(α  β)  0)2
ya que d AB  d CD tenemos que :
(senα  senβ)2  (cos α  cos β)2 
(cos(α  β)  1)2  (sen(α  β)  0)2 / 2
sen2 α  2senαsenβ  sen2 β  sen2 β  cos2 α  2 cos α cos β  cos2 β 
cos2 (α  β)  2 cos(α  β)  1  sen2 (α  β)
Ordenando :
sen2 α  cos2 α  sen2 β  cos2 β  2senαsenβ  2 cos α cos β 
cos2 (α  β)  sen2 (α  β)  1  2 cos(α  β)
Aplicando propiedad fundamenta l sen2 x  cos2 x queda :
1  1  2senαsenβ  2 cos α cos β  1  1  2 cos(α  β)
lo que se reduce a :
2 cos(α  β)  2senαsenβ  2 cos α cos β
/ simplifica ndo
 cos(α  β)  senαsenβ  cos α cos β
De igual forma si reemplazamos β por  β
cos(α  ( β))  senαsen( β)  cos α cos( β)
siendo sen función impar
y cos función
par , tenemos :
 cos(α  β)  cos α cos β  senαsenβ
Ejemplos
(1) Evaluar cos
5π
en forma exacta
12
5π
π π

 , tenemos:
12
4 6
5π
π
π
π
π
π
π
Cos
 cos    cos cos  sen sen
12
4
6
4
6
4 6

2
3
2 1



2
2
2
2

6
2

4
4

6  2
4
(2) verificar la identidad: cos(π  θ)   cos θ
cos π cos θ  senπsenθ
 1  cos θ  0  senθ
 cos θ
19
(3)
Dado que senα 
encuentre cos(α  β)
1
; α  II Cuadrante y
2
cos β 
3
; β  IV Cuadrante ,
2
Solución:
cos(α  β)  cos α  cos β  senα  senβ
3
3 1
1

 
2
2
2
2
3 1
  
4 4
1
 
2
 
(4) verifique la identidad
cos 4θ sen4θ
cos 5θ


senθ
cos θ
senθ cos θ
Solución:
cos 4θ cos θ  sen4θsenθ
senθ cos θ
cos(4θ  θ)
senθ cos θ
cos 5θ
senθ cos θ
De acuerdo a la relación cos(90ºα)  cos 90º cos α  sen90º senα  senα
De la misma forma sen(90ºα)  cos α
Sea θ  α  β , entonces:
Sen θ  cos(90ºθ)
sen(α  β)  cos(90º(α  β))
 cos((90ºα)  β)
 cos(90ºα)  cos β  sen(90ºα)  senβ
 senα  cos β  cos α  senβ
 sen(α  β)  senα  cos β  cos α  senβ
Reemplazando β por
 β , luego:
sen(α  ( β))  senα  cos( β)  cos α  sen( β)
 senα  cos β  cos αsenβ
 sen(α  β)  senα  cos β  cos α  senβ
20
Ejemplo: Encuentre el valor de sen105º
sen105º  sen(60º45º )
 sen60º cos 45º cos 60ºsen45º

3
2 1
2

 
2
2
2
2

6
2

4
4

6  2
4
(2) Verifique la identidad sen(α  β)  sen(α  β)  sen2 α  cos2 β
* Tangente de la suma y diferencia de ángulos
tan(α  β) 
sen(α  β) senα  cos β  cos α  senβ

cos(α  β)
cos α  cos β  senα  senβ
: cos α cos β
senα cos β
cos αsenβ

cos α cos β cos α cos β

cos α cos β
senαsenβ

cos α cos β cos α cos β
 tan(α  β) 
tan α  tan β
1  tan α  tan β
Sustituyendo β por  β tenemos que:
 Tan(α  β) 
tan α  tan β
1  tan α  tan β
Ejemplo: Encuentre el valor exacto de tan 75º
tan(30º45º ) 
tan 30º tan 45º
1  tan 30º tan 45º
3
1
3

3
1
1
3
3 3
3

3 3
3

3 3
3 3
21
Ejercicios:
(I) Resolver:
 5π π 
(1) sen
 
6
 4
π π
(3) tan  
6 4
 3π π 
(2) cos
 
6
 4
 11π π 
(4) tan
 
4
 6
5π
π
5π
π
 cos  cos
 sen
12
4
12
4
7π
π
7π
π
(6) cos
 cos  sen
 sen
12
4
12
4
π
π
tan  tan
6
3
(7)
π
π
1  tan  tan
6
3
(5) sen
(II) Dado que senα  
7
8
; α  IVCuadrant e y cos β 
; β  IV Cuadrante ,
25
17
encuentre:
(a) sen(α  β)
(b) cos(a  β)
(c) tan(α  β)
π  tan θ  1

(III) Verifique la siguiente identidad tan θ   
4  1  tan θ


Identidades trigonométricas del doble del ángulo
(1) sen2  2sen cos 
(2) cos 2  cos2   sen2 
(3) tg2 
2tg
1  tg2 
Nota: Estas identidades tienen por objetivo facilitar el cálculo y la demostración
de identidades de razones trigonométricas de ángulos que miden el doble que
otros ángulos conocidos.

Identidades trigonométricas para el valor medio de un ángulo
(1) sen

1  cos 

2
2
(2) cos

1  cos 
 
2
2
(3) tg

1  cos 
 
2
1  cos 
22
Ejercicios
Verifica la identidad
(a) csc x  senx  cot x cos x
(c)
sec 2 2u  1
2
(b) senx  cos x cot x  csc x
 sen2 2u
(d) tan t  2 cos t csc t  sec t csc t  cot t
sec 2u
(e) (tan u  cot u)(cos u  senu)  csc u  sec u
(f )
csc2 
2
1  tan 
 cot2 
(h) tan2   sen2   tan2 sen2 
1  cos 3t
sen3t

 2 csc 3t
sen3t
1  cos 3t
cot x  tan x
(l)
 csc x  sec x
senx  cos x
( j)
(n)
(g)
(i)
1
1

 2 csc2 y
1  cos y 1  cos y
1  csc 3
 cot 3  cos 3
sec 3
(k) (sec u  tan u)(csc u  1)  cot u
(m)
tan2 x
1  cos x

sec x  1
cos x
(o)
cos x
 sec x  tan x
1  senx
cot x
csc x  1

csc x  1
cot x
Verifica las siguientes identidades
(a) (a cos t  bsent )2  (asent  b cos t)2  a2  b 2
cos3 x  sen3 x
 1  senx cos x
cos x  senx
senx cos y  cos xseny
tan x  tan y
(c)

cos x cos y  senxseny
1  tan x tan y
(b)
tan x
1  sec x

 2 csc x
1  sec x
tan x
csc x
csc x
(e)

 2 sec 2 x
1  csc x 1  csc x
1
(f )
 senx cos x
tan x  cot x
cot y  tan y
(g)
 csc2 y  sec 2 y
seny cos y
(d)
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
23
Definición: Sean f una función y A un conjunto obtenido en el dominio de f.
Entonces la restricción de f en A es la función g con dominio en A tal que g(x)
= f(x), x  A .
Las funciones inversas que se obtienen se llaman ramas del arco seno. Si sen
  
denota la restricción de sen al intervalo  ,  , entonces Sen-1 se llama la
 2 2
rama principal del arco seno y se denota por Arcsen, es decir:
Definición: la rama principal del arco seno es la función
  
Arcsen :  1,1   , 
 2 2
Arcsenx  y
 x  seny
si



y
2
2
Observación:
(1) sen(Arcsenx) = x
x   1,1
  
x   , 
 2 2
(3) Arcsen es no periódica
(4) Arcsen es impar
(5) Arcsen es creciente
(2) Arcsen(senx) = x
También se define
Definición: La rama principal del Arco coseno es la función
Arc cos :  1,1  0, 
Arc cos x  y  x  cos y si 0  y  
Observación:
(1)
(2)
(3)
(4)
Arccos(cosx) = x x   1,1
Cos(Arccosx)=x x  0, 
Arccos es no periódica
Arccos es decreciente
24
Definición: la ama principal del Arco tangente es la función
  
Arc tan : R    , 
 2 2
Arc tan x  y
 x  tan y
si 


y
2
2
Observación:
(1) tan(arctanx)=x
x  R
  
x    , 
 2 2
(3) Arctan es no periódica
(4) Arctan es impar
(5) Arctan es creciente
(2) Arctan(tanx) = x
25
Las funciones trigonométricas inversas verifican las siguientes igualdades
(a) arc cos x + arc cos (-x) =  ,

(b) arc cos x + arc sen x = ,
2
(c) arc tan x = -arc tan (-x).
26
IDENTIDADES CON VALORES PRINCIPALES
Para valores principales se tiene que:
(1) Arc cos x 

 Arcsenx
2
(2) cos(Arcsenx)   1  x 2
(3) Si x  1; Arc sec x  Arc cos
1
x
x
(4) Si x  1; Arcsenx  Arc tan
(5)
(6)
(7)
(8)
1  x2
1
Si x  1 ; Arc cos ecx  Arcsen
x

Arc cot x   Arc tan x
2

 Arc tan x si x  0
1  2
Si x  0 : Arc tan  
x  
  Arc tan x si x  0
 2
x  x2
Arc tan x 1  Arc tan x 2  Arc tan 1
 (x 1 , x 2 )
1  x1 x 2
0 si x 1  x 2  1

donde (x 1 , x 2 )   1 si x 1  x 2  1 , x 1  0
 1 si x  x  1 , x  0
1
2
1

Ejemplos
1
(1) ¿Cuál es el valor de Arcsen  ?
2
Solución:
 1
Arcsen    x
 2
 senx  
1
con
2
  
x   , 
 2 2
 x  

6

 1
 Arcsen    
6
 2
(2) Calcular el valor de Arcsen(sen  )
Solución: Arcsen(sen  )= Arcsen 0
y  Arcsen 0
 seny  0
  
con y   ,   y  0
 2 2
 Arcsen(sen)  0
Observación: Arcsen(sen)  
pues
  
   , 
 2 2
27

  
(3) Encontrar el valor exacto de Arcsen tan  
 4 


  
Solución: Arcsen tan    Arcsen1  y  seny  1
 4 

  
con y   , 
 2 2

   
 Arcsen tan   
 4  2


 3 
(4) Encontrar el valor exacto de A  sen2Arc cos  
 5 

Solución:
 3
Si y  Arc cos  , entonces
 5
seny  1 
9

25
cos y  
3
5


 y  ,
2
por lo
tan to
16
4

25
5
 A  2seny cos y  2 
4  3
24
    
5  5
25
(5) Demostrar la identidad Arc tan
1
1

 Arc tan 
2
3
4
Solución:
1 1

1
1
Arc tan  Arc tan  Arc tan 2 3
1 1
2
3
1 
2 3
5
 Arc tan  Arc tan1
5


4
28
Ejercicios
(1) Definir y graficar la rama principal de las funciones trigonométricas
inversas de:
(a) Arccos
(b) Arcsen
(c) Arccosec

 5 
(2) Calcular el valor exacto de cos2Arcsen 

 13 

2

(3) Calcular el valor de cos  Arc tan 
5
4

 3 
(4) Encontrar el valor de secArcsen 

 4 

(5) Demostrar que tan( Arctan 2 + Arctan 3) = -1
(6) Demostrar que Arc cos
3
10
 Arc cos
2
5


4
29

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Una ecuación trigonométrica es una relación de igualdad entre expresiones
trigonométricas que se verifican para un conjunto de medidas angulares, el
cual se denomina conjunto solución de la ecuación. Una ecuación
trigonométrica puede ser lineal, cuadrática o de un grado mayor que dos.
Nota: Una identidad se cumple para todas las medidas angulares que estén
consideradas en las razones trigonométricas que la forman. En cambio, una
ecuación trigonométrica se cumple solo para un conjunto discreto de medidas
angulares ( soluciones de la ecuación)
Ejemplo 1.-
1
2
 El conjunto solución de esta ecuación está formado por todas las medidas
1
angulares cuyo coseno es igual a
. Sabemos que cos x es positivo en el
2
primero y cuarto cuadrante.

5
x  ,
x 
3
3
Resolver la ecuación cos x =
Como el periodo de la función coseno es 2  , todas las soluciones de esta ecuación
pueden ser escritas de la forma:

5
x   2k
x
 2k,
k Z
3
3
algunas de las soluciones son:
 5
,
,
3
3

k 0
7 11
,
,
3
3

k 1
13 17
,
3
3
k 2
30
Ejemplo 2.* Resolver la ecuación sen 2x = 1,
0  x  2
El periodo de la función sen es 2  . En el intervalo [0,2  [, la función seno tiene el

valor 1 solo en , luego tenemos:
2

2x =
 2k,
k cualquier
entero
2
para encontrar x, dividimos cada lado por 2

x   k
4
en
el
intervalo
[0,2  [,
las
soluciones
de
sen
2x
=
1
son


5
(k  0) y

(k  1)
4
4
4
Ejemplo 3.-Resolviendo una ecuación trigonométrica con una calculadora
0  x  2 , exprese
Use su calculadora para resolver la ecuación sen x = 0,3,
sus soluciones en radianes y con una cifra decimal
haciendo uso de la instrucción: una cifra decimal, la respuesta es 0,3, el otro
ángulo para el cual sen x = 0,3 es  -0,3 = 2,8 radianes
Ejemplo 4.- Resolviendo una ecuación trigonométrica en la forma cuadrática
Resolver la ecuación :
0  x  2
2sen 2 x  3senx  1  0,
Factorizando la ecuación: ( 2senx -1)(senx +1) = 0 , se tiene que:
2senx – 1 = 0
ó senx + 1 = 0
sen x =
Así:
x

6
,
1
2
ó sen x = -1
x
5
,
6
x

2
31
Ejemplo 5.- Resolviendo una ecuación trigonométrica usando identidades
Resolver la ecuación 3cosx + 3 = 2 sen2x ,
0  x  2
Al resolver esta ecuación se da cuenta que la idea es expresar todo en una misma
forma, para ello se hace uso de la identidad pitagórica
3cosx + 3 = 2sen2x
3cosx + 3 = 2( 1- cos2x)
sen2x = 1 – cos2x
2
3cosx + 3 = 2 – 2cos x
2cos2x + 3cosx + 1 = 0
(2cosx + 1)(cosx +1) = 0
2cosx + 1 = 0 ó cosx + 1 = 0
cosx = -
1
2
ó cos x = -1
Así:
x
2
3
x
4
3
x
Ejemplo 6.- Resolviendo una ecuación trigonométrica haciendo uso de la
calculadora gráfica
Resolver la ecuación 5 senx + x = 3, exprese sus soluciones con dos cifras
decimales
(a) Se gráfica y = 5 senx + x
(b) Se grafica y = 3
(c) Se encuentran los puntos de intersección mediante INTERSECT
(d)
Las soluciones marcadas sobre la gráfica son:
x = 0,51
x = 3,17
x = 5,71
32
Ejemplo 7.
Encuentre las soluciones exactas para 2sen2xcosx –cosx =0 , 0  x < 2.
Factorizando: cosx(2sen 2x – 1) = 0
 cosx = 0 ó 2 sen2x-1 = 0
 3
sen2x = ½
 x ,
2 2
2
2
 3 5 7
x ,
,
,
4 4 4 4
senx = 
Las soluciones en el intervalo 0  x < 2.
Ejemplo 8. Resuelva la ecuación 3 cos2x – 5 cosx – 4 = 0
cos x 

la
0°  x < 360°
2
 (5)  (5)  4(3)(4)
(2)(3)
5  73
6
ecuación cos x 
5  73
no
6
tiene
solución ¿ Porqué ?
5  73
6
 126 ,2 ó 233,8
cos x 
Ejemplo 9. Resuelva la ecuación
sen22x-
0°  x < 360°
3
sen2x
2
+ sen2x -
3
2
= 0
Nota: Las soluciones requeridas para x están en el intervalo 0°  x < 360°. El
intervalo para 2x es dos veces más grande.
0°  x < 360°
0°  x < 720°



3
3
sen2x  sen2x 
0
2
2

3  
3 
sen2x sen2x 
 sen2x 
0



2  
2 

sen2 2x 

3 
(sen2x  1) sen2x 
0

2 


sen2x  1  0

sen2x  1
ó
sen2x 
3
0
2
sen2x 
3
2
Luego las soluciones son:
30°, 60°, 135°, 210°, 240°,
315°
33
Ejercicios:
(1) Usa los valores fraccionarios de las razones trigonométricas de los ángulos
notables y calcula las expresiones siguientes:
(a) sen90   3 cot g90   5 sec 60   2 cos ec30 
(b) tg30   tg60   cos 30   sen60 
tg60   tg30 
(c)
1  tg60   tg30 
(d)
sen45   tg45 
cos 45   cot g45 
(e)
sen60   cos 30   tg2 45 
3 cos ec30 
(f ) 2 cos ec2 45   3 sec2 30 
(g) cos 60   tg2 45  
3 2
tg 30   cos2 30   sen2 30 
4
(2) Una torre de telecomunicaciones de 120 metros de alto proyecta una
sombra de 80 metros. ¿Cuánto mide el ángulo de elevación del Sol en ese
instante?
(3) Una persona sube por un camino que tiene 20° de pendiente respecto del
plano horizontal. Al cabo de caminar 500 metros, ¿a qué altura sobre el
nivel inicial se encuentra la persona?
(4) Una escalera se encuentra apoyada contra un muro, de manera que la
distancia entre el pie de la escalera y el muro es de 1,2 metros. ¿A qué
altura del suelo se apoya la escalera y cuál es su largo si forma con él un
ángulo de 70°?
(5) Dos caminos rectos se intersectan formando un ángulo de 60°. En uno de
ellos y a 1.000 metros del cruce hay una estación de gasolina. ¿Cuál es la
distancia menor entre la estación y el otro camino?
(6) Calcula el valor de las siguientes expresiones trigonométricas.


(a) sen(  )  sen(  )  cos     sen(2  )
2





(b) 2 cot g     sen   
2
2




(7) ¿Cuál es el periodo, dominio y recorrido de cada una de las siguientes
funciones?
(a) y  cos ecx
(b) y  sec x
(c) y  sen 2 x
(d ) y  cos 3x
(8) Grafica y analiza las características de cada una de las funciones y
relaciones siguientes:


(a) y  senx  3
(b) y  cos x  
3


(c) y  arccos x  1
(d) y  4tgx
34
(9) Simplifica las siguientes expresiones
(a) cos ecx  cos x  cot gx
(c) sen2x  sen2x  tg2x
(e)
(1  cos x)(1  cos x)
cos x
(b) cot g2x  cos2 x  cot g2x
sen3x  cos3 x
senx  cos x
senx  1
1
(f )
:
senx
cos ecx  1
(d)
(10)
Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:
(a) 2 cos x  1  0
(b) 3senx  2 cos ecx
(c) tgx 
1
2
cos x
(d) tg2x  tgx
(e) 2sen2x  3 cos x  0
(11)Resuelva las siguientes ecuaciones en el intervalo 0  x < 2
(1) secx -
2=0
(2) 2senx = 3
(3) tanx - 3 =0
(4) cosx – 1 = 0
(5) 2senxcosx =
(6) 2senxcosx=
(7) cos2x –1=0
2 cosx
3 senx
(8) 4senxcos x  2 3senx  2 2 cos x  6  0
(9) sec 2 x  3 sec x  2 sec x  6  0
(10) 2sen2 x  1  3senx
(11) 2sen3 x  senx
(12) 4sen2 x  2 3senx  3  2senx
1
2 3
3
senx   senx 
2
3 4
5
2
1 1 1
(14) cos x    cos x
5
2 3 2
(13)
(15) 3 tan2 x  2 tan x  0
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
2 sen2x = 1 – cosx
3cos2x + 5cosx – 2 = 0
tanxsenx – senx = 0
2 senxcosx – senx – 2 cosx + 1= 0
tan2x – 1= 0
sen 5x = 1
3
(22) cos2x = 
2
35
(23) Resuelva cada ecuación para -  x  . Exprese las soluciones con dos
cifras decimales
(a)5 senx + x = 3
(b) cosx = ex
(c) 2senx=0.7x
(d) cosx = x2
APLICACIONES DE TRIGONOMETRÍA
TEOREMA DEL SENO
El teorema de los senos sirve para
relacionar los lados de un triángulo
con los ángulos opuestos, y dice así:
Los lados de un triángulo son
proporcionales a los senos de los
ángulos opuestos
a
b
c


senA senB senC
C
PARA QUE SIRVE EL TEOREMA DE LOS SENOS
El teorema de los senos permite hallar:
 Un ángulo, conocidos su lado opuesto,
otro lado y su ángulo opuesto
 Un lado, conocidos su ángulo opuesto,
otro lado y su ángulo opuesto
 El
radio
de
la
circunferencia
circunscrita al triángulo, conocidos un
lado y su ángulo opuesto

Los triángulos AHC y BHC son
rectángulos, entonces se tiene
h  b  senA
h  a  senB
b
a
bsenA = asenB
a
b

senA senB
 Del mismo modo, si trazamos
la altura correspondiente al
vértice A, se obtiene:
b
c
a
b
c




senB senC
senA
senB
senC

hc
A
c
H
B
Sea el triángulo ABC y h la altura
correspondiente al vértice C.
FIJATE QUE.....
Del teorema de los senos se deducen
las tres igualdades siguientes
a
b

senA senB
a
c

senA senC
b
c

senB senC
36
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL TEOREMA DE LOS SENOS.Acabamos de ver que en todo triángulo la razón de cada lado al seno del ángulo
opuesto es constante. ¿Qué valor tendrá esa constante de proporcionalidad en cada
triángulo
Sea ABC un triángulo cualquiera y R el radio de la circunferencia circunscrita a dicho
triángulo.
Trazamos el diámetro CA’ y unimos A’ con B. El triángulo A’BC es rectángulo ya que
su ángulo inscrito abarca una semicircunferencia.
Los ángulos A y A’ son iguales pues abarcan el mismo arco BC. Aplicando el teorema
de los senos al triángulo A’BC:
a
2R
a
a

 2R 

 2R
senA' sen 90 
senA
senA'
La constante de proporcionalidad entre los lados de un triángulo y los senos de los
ángulos opuestos es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho
triángulo
a
 2R
senA
37
Ejercicios: Teorema del Seno
(1) Resuelve el triángulo correspondiente, del cual se conocen:
(a)   80  ;   20  ; a  50 cm
(d) b  120 cm ;
c  82 cm;   117 
(b) a  25 cm ;   19  ;   130 
(e) a  68,5 cm ; b  111,5 cm ;   71 30'
(c)   43  ;   37  ; b  35 cm
(f ) a  46 cm ; b  39,5 cm ;   76 
(2) Desde una determinada posición en un camino, una persona observa la parte
más alta de una torre de alta tensión con un ángulo de elevación de 25°. Si
avanza 45 metros en línea recta hacia la base de la torre, divisa ahora su parte
más alta con un ángulo de elevación de 55°. Considerando que la vista del
observador está a 1,70 metros del suelo, ¿cuál es la altura de la torre?
TEOREMA DEL COSENO
¿Existirá alguna relación parecida al teorema de Pitágoras aplicable a los
triángulos no rectángulos?
El teorema del coseno viene a resolver esta pregunta y dice que en todo triángulo
se verifica
El cuadrado de un lado es igual a la
suma de los cuadrados de los otros
dos lados menos el doble producto de
estos lados por el coseno del ángulo
comprendido:
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
PARA QUE SIRVE EL TEOREMA DEL
COSENO
El teorema del coseno permite hallar:
 Un ángulo, conocidos los tres lados
 Un lado, conocidos los otros dos y
un ángulo
Observa el triángulo ABC de la figura adjunta. Si
trazamos la altura desde el vértice B obtenemos el
triángulo rectángulo CDB
2
2
2
2

a2  BD  CD   c2  AD   b  AD



2

2
 c2  AD  b2  2bAD  AD  b2  c2  2bAD
 b2  c2  2bc cos A,
pues AD  c  cos(180   A)
  c  cos A
38
Análogamente se demuestran las otras igualdades
Con ayuda del teorema de los senos y del teorema del coseno y recordando que la
suma de los ángulos de un triángulo vale 180°, podemos resolver cualquier
triángulo. Para resolver un triángulo no rectángulo es necesario conocer, como
mínimo, tres elementos del triángulo. Se pueden presentar los siguientes casos:
 Conocidos un lado y dos ángulos cualesquiera
 Conocidos dos lados y el ángulo comprendido
 Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos
 Dados dos ángulos y el lado entre ellos
 Conocidos los tres lados
Ejemplo: Dado el siguiente triángulo ABC. Encuentre los valores de los lados
faltantes
Haciendo uso del teorema del seno:
b
c
b
72,6



senB senC
sen43,4 sen104,6
72,6  sen43,4
 b  51,5
sen 104,6
 A = 180° - ( 104,6° + 43,4°)
A = 32°
b
a
c
c  senA

 a 
senA
senC
senC
a
72,6  sen 32 
 a  39,4
sen 104,6
Observación: a mayor ángulo se opone mayor lado
39
Ejercicios: Teorema del Coseno
(1) Resuelve el triángulo correspondiente, del cual se conocen:
(a)   80  ; a  80 cm ; c  100 cm
(b) a  70,3 cm ;   60 30' ; c  94,8 cm
(c) a  15 cm ; b  7 cm ; c  13 cm
(d) a  5 cm ; b 
7 cm ; c  3 6 cm
(2)Se tiene un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 8
centímetros. Calcula la medida de uno de sus lados, el perímetro del pentágono y
su área.
(3) Dos faros A y B distan 6,3 km entre sí. En un mismo instante ambos faros
iluminan un punto C que se encuentra a 4,5 km de A y a 3,8 km de B. ¿Cuál es la
posición del punto C respecto de cada uno de los faros?
Ejercicios:
(1) Resolver un triángulo tal que a=4.5 cm., B=30º y C= 78º.
(2) Resolver un triángulo sabiendo que a=4.5 cm. B=35º y b=10 cm.
(3) Resolver el triángulo con a=2.3 m., b=160 cm. y c= 4 m.
(4) Resolver el triángulo a=3 m., b=5 m. y C= 80º.
(5) Las diagonales de un paralelogramo miden 5 y 6 cm., respectivamente y se
cortan bajo un ángulo de 50º. Hallar el perímetro del paralelogramo.
(6) Desde un punto se observan unos chopos con un ángulo de 36º, si avanzamos
hacia ellos en línea recta y los volvemos a observar el ángulo es de 50º. ¿Qué
altura tienen los chopos?.
(7) Tres puntos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia
AB es de 6 Km., la BC es 9 Km. y el ángulo que forman AB y BC es de 120º.
¿Cuánto distan A y C?.
(8) Un carpintero debe hacer una mesa triangular de tal forma que un lado mida
2m., otro 1.5 m. y el ángulo opuesto al primer lado debe ser 40º. ¿Lo conseguirá?.
(9) Dos personas caminan por un sendero, pero en un punto se bifurca formando
un ángulo de 38º y cada uno va por su lado, uno camina a 3 km. por hora y el
otro a 3.5 km. por hora, ¿a qué distancia se encuentran al cabo de media hora?.
(10) Desde los puntos A y B de una misma orilla de un río y separados entre si 12
m., se observan el pie P y la copa C de un pino, situado en la orilla opuesta.
Calcular la altura del pino, sabiendo que los ángulos miden PAB=42º, PBA=37º y
PAC=50º
40
ÁREA DE UN TRIÁNGULO
Dados dos lados y el ángulo que forman entre ellos en un triángulo ABC
El área del triángulo será igual a la mitad del producto de los dos lados por el
seno del ángulo que forman entre ellos; esto es,
1
1
1
K  ab  senC

ac  senB
 bc  senA
2
2
2
Ejercicio: Demuestre la fórmula K 
A)
1
 base  altura
2
1
A bh
2
 A 
B) Sen A 
h
c
 h  c  senA
1
bc  senA
2
Área de un triángulo
Razón trigonométrica en el triángulo
rectángulo
C)
A=
1
bc  senA
2
Por pasos (A) y (B)
Ejercicios:
(1) Determine el área del triángulo ABC, dados a= 112 m, b = 219 m y A = 20°
(2) Encuentre el área del triángulo ABC, dados c = 23 cm, A=20° y C= 15°
(3) Determine el área de un triángulo Isósceles cuya base mide 19,2 m y un
ángulo basal de 23,3°
41
TRIGONOMETRÍA y LA
CALCULADORA GRÁFICA
( En CD anexo se específica el uso de la calculadora gráfica en detalle)
42
Ejercicios:
Demuestra la siguiente identidad
Demuestra la siguiente identidad
Demuestra la siguiente identidad
43
Soluciones
(a) sen30  
a
 2
a
sen30  
1
2
QS
PQ
(b) cos 30  
3
a
2

a
cos 30  
h
PQ
(c) sen60  
sen60  
(d) cos 60  
QS
PQ
a
 2
a
3
a
2

a
3
2
h
PQ
3
2
cos 60  
1
2
44
3. Solución:
45
4. Solución:
46
5. Solución:
47
48
49
14. Solución:
50
Problemas de Planteo
51
4. Solución:
52
5. Solución:
Respuesta: la torre B es la más cercana al incendio y está a una distancia aproximada de 10.79
millas.
53
1. Demuestra la ley de los senos
Solución
Demostración:
(i) El triángulo es acutángulo:
54
(ii) El triángulo es obtusángulo:
55
Demostración:
(i) El triángulo es acutángulo:
(ii) El triángulo es obtusángulo:
56
57
(fig.1)
58
(fig.1)
59
GUÍA DE TRIGONOMETRÍA
Halle las funciones trigonométricas del ángulo que satisface las siguientes
condiciones
3
(1) tan  
,  en el I Cuadrante
4
8
(2) cot   
,  en el IV Cuadrante
15
12
(3) sec   
,  en el III Cuadrante
13
Resuelva los siguientes problemas
(4) Un avión de reconocimiento localiza una batería cuyo ángulo de depresión es
23°. Si el avión vuela a 3000 m de altura, halle la distancia a la que esta la batería
de la proyección horizontal del avión
(5) Durante un aterrizaje, el piloto desea pasar 10 m arriba de una pared de 25 m
de altura y tocar tierra 200 más alla de la pared. Halle el ángulo de descenso
(6) Una persona que camina por la playa observa la cresta de un acantilado con
un ángulo de elevación de 48°, caminando 150 m, alejándose del acantilado, lo
observa con un ángulo de 27°. Calcule la altura del acantilado
(7) Desde la parte superior de un faro a 80 m por encima del horizonte los ángulos
de depresión de dos rocas que están directamente al Oeste del observador son de
75° y 15°. Hallese la distancia que las separa
(8) Desde la azotea de una casa de 9 m de altura, el ángulo de elevación del
remate de un monumento es de 42° y el ángulo de depresión de su base es de
17°. Calcule la altura del monumento
(9) Se va a cavar un hoyo cuya sección en su parte superior mida 4,5 m y en el
fondo 2,7 m, y que tenga una profundidad de 2,4 m; si un lado debe estar
inclinado 12° respecto a la vertical, ¿cuál debe ser la inclinación del otro lado?
(10) Un avión pasa a 6.000 m de altura, en vuelo horizontal, sobre una estación
de radar; 10 segundos después, es observado desde el radar con un ángulo de
elevación de 49°. Halle la distancia que recorrió en los 10 s.
Compruebe la identidad transformando el lado izquierdo en el lado derecho
(11) cos  sec   1
(12) sen sec   tan 
60
(13)
cos ec
 cot 
sec 
(14) sec 2   tan2   1
(15) (1  cos )(1  cos )  sen2 
(16)
sen
cos 

1
cos ec sec 
(17) (tan   cot ) tan   sec 2 
(18) tan  cot   1
(19) cos2   sen2   2 cos2   1
(20) cos2 (sec 2   1)  sen2 
(21) 1  2sen2   2 cos2   1
(22) (1  sen)(1  sen) 
1
sec 2 
(23) (1  sen2 )(1  tan2 )  1
(24)
sen  cos 
 1  tan 
cos
61
EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA H.L.
(1) Resuelva 2senx = tanx,


2
 x

2
(2) (a) Dibuje la gráfica de f(x) = sen3x + sen6x, 0  x  2
(b) escriba el periodo exacto de la función f
(3) Halle todos los ángulos  , 0   360  , aproximando al grado, tales que
3sen 3sen   4 cos   5
(4) Halle todos los valores  , de modo que 3sen2  7 sen  5  3 cos 2  , 0   90
(5) El área del triángulo que aparece a continuación es de 2,21 cm2. La longitud
del lado más corto es de x cm y los otros dos lados miden 3x cm y (x + 3) cm.
(a) Usando la fórmula del área del triángulo, escriba la expresión de sen  en
función de x.
[2]
(b) Usando la regla del coseno, escriba y simplifique una expresión de cos  en
función de x
[2]
(c) (i) Usando sus respuestas de los apartados (a) y (b), demuestre
2
2
 3x 2  2 x  3 
4,42 
  1  
que, 

2


2x 2
 3x 


[1]
(ii) Partiendo de aquí halle
(a) los valores posibles de x;
[2]
(b) los valores correspondientes de  , en radianes, valiéndose de su respuesta
del apartado (b) de arriba
[3]
(6) La siguiente figura muestra las gráficas de y = -x3 + 3x2
e y = g(x),
siendo g(x) un polinomio de tercer grado
62
(a) Si g(-2) =0,
+ 3x2 – 4
g(0) = -4 , g(1) = 0 y g(-3) = -4, demuestre que g(x) = x3
[6]
Hallamos la simétrica respecto al eje OY de la gráfica de y = -x3 + 3x2, y luego
  1
la trasladamos mediante el vector   obteniendo la gráfica de y = h(x).
  1
(b) escriba h(x) en la forma h(x) = ax3 + bx2 + cx + d
[5]
La gráfica de y = x3 + 3x2 – 4 se obtiene aplicando una combinación de dos
transformaciones a la gráfica de y = -x3 + 3x2
(c) Enuncie las dos transformaciones cuya composición aplica la gráfica de y =
-x3 + 3x2 en la gráfica de y = x3 + 3x2 – 4 y que aplican también el punto A
en el punto A’
[3]
(7) Un avión de reconocimiento A, volando a una altura de tres mil metros
sobre el punto R de la superficie del mar, divisa un carguero B bajo un ángulo
de depresión de 37° y un petrolero C bajo un ángulo de depresión de 21°,
como se indica en la figura. El ángulo BAC es de 110°
Halle, aproximando al metro,
(a) La distancia AC entre el avión y el petrolero
(b) La distancia BC entre los dos barcos
(8) Halle todos los valores posibles de k si x = k es una solución de la ecuación
x3 + kx2 – x – k = 0
(9) Resuelva la ecuación 5senx- 12cosx = 6,5 con 0  x  360
63
GUIA DE OPCIÓN MÚLTIPLE
(1) Calcule el valor de x
A) 12
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
(2) Si tgx + cotgx = 2, entonces si x es agudo, x =?
A) 30°
B) 45°
C) 60°
D) 75°
E) Ninguna de las anteriores
(3) (x sen(x) – ycos(x))2 + (xcos(x) + ysen(x))2 =?
A) x + y
B) sen(x)cos(x)
C) sen2(x)cos2(x)
D) 1
E) x2 + y2

 cos 30 
3
?
(4)

tg  cot g45 
4
A) 1
sen
B) 3
C)
3
2
3
4
3
E)
4
D)
64
(5) En la figura, triángulo ABC equilátero. Si M punto medio de AC, entonces 1
+
tg 2 =?
(6)
En
2
la
figura
2
ABCD
cuadrado
de
lado
3
cm,
entonces:
2
2(sen (2(cos   sen )))  ?
(7) En el triángulo ABC rectángulo en C, el lado
triángulo?
AB  3 .¿Cuál es el área del
65
(8) Cuando el Sol se encuentra a 60° sobre el horizonte, un árbol de 15 metros
de alto proyecta una sombra que mide:
A) 9 m
B) 15 3m
C) 5 3m
15 3
m
2
15
E)
2
D)
(9) Si sen 30° =
A)
1
,
2
calcular :
cos30 
sen30 
1
2
B)
3
C)
3
2
2
2
E) Ninguna de las anteriores
D)
(10) Si sen 30°, calcular cosec 
(11)
si tg
El perímetro del triángulo ABC de la figura es 48 m. ¿Cuánto vale x
 =0,75? ¿Cuánto vale el sen  ?
1
2
B) x  5m, sen  0,25
A) x  6m, sen 
1
8
D) x  12m, sen  0,60
C) x  15m, sen 
E) Ninguna de las anteriores
66
(12)
determine
el
sen(90  )  cos(90  )
tg(90  )
A) sen
B) 1
C) cos(90   )
valor
de
la
siguiente
expresión:
D) 1  sen2 (90   )
E) Ninguna
(13)
de las
Si  
anteriores

radianes , y
4


radianes ,
3
5
, entonces
13
cot g  ?
entonces
sen2   cos2 
?
tg  sec 
A) 1
1
2
1
C)
4
1
D)
8
1
E)
16
B)
(14)
Si cos  
5
12
12
B)
13
5
C)
13
13
D)
5
E) Otro Valor
A)
(15) El ángulo que describe el minutero de un reloj al cabo de girar 3 horas y
22 minutos, mide:
A) 3,37°
B) 322°
C) -1.212°
D) 132°
E) 318°
67
(16) Cos 105° es equivalente a:
6  2
A)
4
B)
2  6
4
C)
2  6
2  6
4
E) Ninguna de las anteriores
D)
(17) Cuando el Sol se encuentra a 60° sobre el horizonte, un árbol de 15 m de
alto proyecta una sombra que mide
A) 9 m
B) 15 3 m
C) 5 3 m
15 3
m
2
15
E)
m
2
D)
 
 
 
(18) El valor numérico de la expresión: cos    cot    sen   es :
3
4




 6
A) 4
B)
1
4
C) 
1
4
1
2
E) 1
D)
(19) Las medidas angulares entre 0° y 360°, que corresponden a arcsen
2 3
3
son:
A) 30° y 150°
B) 30° y 330°
C) 60° y 120°
D) 60° y 300°
E) Otros valores
68
En 1777 el matemático suizo Leonhard Euler (1707 1783) simbolizó la raíz cuadrada de –1 con la letra i
(por imaginario).
Euler, Leonhard (1707-1783), matemático suizo,
cuyos trabajos más importantes se centraron en el
campo de las matemáticas puras, campo de estudio
que ayudó a fundar. Euler nació en Basilea y estudió
en la Universidad de Basilea con el matemático suizo
Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años.
LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Cuando se estudió la solución de la ecuación de segundo grado ax2  bx  c  0 se
analizó el signo del discriminante b2  4ac y su relación con las soluciones. Si el
discriminante era negativo se dijo que la ecuación no tenía raíces reales sino que
las raíces eran imaginarias o complejas. Vamos ahora a estudiar los números
complejos que nos darán la idea completa de la solución de la ecuación de
segundo grado y una extensión de los conjuntos numéricos. Realizaremos lo que
se llama la definición axiomática del conjunto de los números complejos.
Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos.
Definición. Llamamos conjunto de los números complejos y lo denotamos con la
letra C al conjunto de los pares de números reales  a, b  en el cual definimos las
siguientes operaciones:
Suma.  a, b    c, d    a  c, b  d 
Multiplicación.  a, b   c, d    ac  bd , ad  bc 
En el número complejo
 a, b
llamaremos a a la parte real
y
a b la parte
imaginaria.
Note que la suma y producto de pares no está definida en R2.
Dos propiedades que cumplen los pares de números reales y que se mantienen
para los complejos son:
Igualdad.
 a, b   c, d   a  c
 bd
Multiplicación por un escalar. (a, b)  ( a,  b) donde
 R.
Ejemplo. Dados  2,1 y  0, 3 , hallar:
a)  2,1   0, 3   2  0,1  (3)    2,  2
b)  2, 1 0,  3   2(0)  1(3), 2(3)  1(0)   3,  6
c)  2,1 0, 3  2  1,1  3,  6    2,  2  5,  8
69
Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una
representación de los mismos mediante el plano R 2 (Gráfica 1) En esta
representación se le dice eje real (Re) al eje de las x y eje imaginario (Im) al eje
de las y .
Gráfica 1: Representación del número complejo (a, b) .
Podemos considerar que los números reales están contenidos en los números
complejos puesto que en el plano R 2 el número complejo  a,0 coincide con el
número real a . De este modo tenemos a  (a,0) cuando
a  R . Los números
complejos de la forma (0, b) son llamados imaginarios puros.
Vamos a demostrar la propiedad de la multiplicación por un escalar
 R:
  a, b     a,  b 
Para eso escribimos el número real  en la forma
 , 0 
y aplicamos la definición
de multiplicación:
  a, b    ,0 a, b     a  0b ,  b  0a    a,  b  .
Denotaremos el número complejo (0,1) con la letra i y lo llamaremos unidad
imaginaria. Es fácil demostrar que i 2  1 .
i 2  (0,1)2  (0,1)(0,1)   0(0) 1(1),0(1)  1(0)   (1,0)  1
Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla ecuación x2  1  0 .
x 2  1  0  x 2  1  x 2  i 2  x   i
70
Forma binómica de un número complejo
Sea z  (a , b) un número complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma:
z  (a , b)  (a,0)  (0, b)  a (1,0)  b (0,1)
Pero como (1, 0)  1 y (0,1)  i , entonces (a, b)  a  bi . En este caso a  bi se llama
forma binómica o binomia del número complejo.
Suma y multiplicación de números complejos en la forma binómica
 a  bi    c  di    a  c   b  d  i , puesto que a, b, c, d son todos números reales.
porque i 2  1 .
Ahora observe que los resultados son los mismos que las definiciones de suma y
producto dados al inicio; por lo que la realización de las operaciones de suma y
multiplicación con números complejos se puede realizar en la forma de pares o en
la forma binómica, con la ventaja a favor de la forma binómica que se trabaja con
las reglas del álgebra y no es necesario memorizar nada nuevo.
Ejemplo. Si z1  (3, 2) y z2  (4, 1) , halle z1  z2 y z1 z2 .
z1  z2  (3, 2)  (4, 1)  3  2i    4  i   7  i
z1 z2  (3, 2) (4, 1)  (3  2i)(4  i)  12  3i  8i  2i 2  (12  2)  (3  8)i  14  5i
Conjugado de un número complejo
Si z  x  yi es un número complejo llamaremos conjugado del número z, al
número z  x  yi , es decir, al número complejo que tiene la misma parte real que
z pero la parte imaginaria de signo opuesto.
Ejemplo. Si z  3  2i , entonces z  3  2i y si z  3  2i , entonces z  3  2i .
Módulo y argumento de un número complejo
Sea
z  (a , b)  a  bi un número complejo cualquiera. Llamaremos módulo del
número complejo z , al número real dado por
a2  b2 y lo denotaremos por
z.
El módulo se interpreta como la distancia al origen del número z (Gráfica 2).
Por otra parte, llamaremos argumento del número complejo z  a  bi , al ángulo
comprendido entre el eje x y el radio vector que determina a z . El argumento de
z se denota por arg( z) y se calcula mediante la expresión:
b
arg( z )  arctan   .
a
71
Gráfica 2: Módulo y argumento de un número complejo.
2
Propiedad: z z  z
Demostración:
z z  (a  bi )(a  bi )  a 2  abi  abi  y 2i 2 
  a 2  b 2    ab  ab  i  a 2  b 2  0i  a 2  b 2  z
2
División de números complejos
La división de números complejos se realiza mediante la multiplicación y división
por el conjugado del denominador:
z1 a  bi a  bi c  di ac  bd  (ad  bc)i ac  bd  (ad  bc)i





2
z2 c  di c  di c  di
c2  d 2
z2
Ejemplo. Dados z1  2  3i y z2  1  2i , halle: (a) z 2 y (b)
(a) Como z2  1  2i entonces
(b) Para hallar
z1
.
z2
z2  1  2i
z1
multiplicamos y dividimos por el conjugado z 2 .
z2
z1
2  3i
2  3i 1  2i (2  3i)( 1  2i)




z2 1  2i 1  2i 1  2i (1  2i )(1  2i )

2  4i  3i  6i 2 8  i
8 1

  i
2
2
5
5 5
(1)  (2)
Raíces complejas de la ecuación de segundo grado
Si el discriminante de la ecuación ax2  bx  c  0 es negativo, debe sustituirse el
signo negativo por i 2 y de esa forma se obtienen las raíces complejas de la
ecuación.
72
Ejemplo. Resolver la ecuación x2  2x  6  0 .
Aplicando la fórmula de la ecuación cuadrática:
x
(2)  (2) 2  4(1)(6) 2  4  24 2  20


2(1)
2
2
Se puede ver que el discriminante es 20 lo cual puede escribirse como 20 i 2 . Por
lo tanto:
x
2  20 2  20i 2 2  2 5 i


 1 5 i
2
2
2
Así, las raíces complejas de la ecuación son: x1 1  5 i y x2  1  5 i .
Ejercicios de la Primera parte
1) Dados los números complejos z  (3, 2) y w  (1, 4) , halle:
(a) z  w , (b) z w , (c) 3z  4w , (d) (1, 0)w , (e) (0, 2)z .
2) Muestre que (0, 0) es el elemento neutro para la suma de números complejos.
3) Muestre que (1,0) es el elemento neutro para la multiplicación de números
complejos.
4) Calcule:
(a) i3 ,
(b) i 4 ,
(c) i5 ,
(d)
1
,
i
(e)
1
.
i2
5) Calcule:
(a) i 4n ,
(b) i 4n1 ,
(c) i 4 n  2 ,
(d) i 4 n 3 .
6) Dado el número complejo ( x, y) halle el par (u, v) tal que ( x, y) (u, v)  (1,0) . Al par
se le llama inverso multiplicativo de ( x, y) . Concluya que el par (u, v) es único y
que el (0, 0) no tiene inverso multiplicativo.
7) Verifique que z  z .
8) Verifique que uv y uv son conjugados.
9) Calcule:
(a)
1  3i
3  3i
, (b)
.
2  2i
2  4i
10) Resuelva la ecuación (2  i) z  3  i .
73
11) Halle z tal que (2  i)(1  i)  2  z i .
12) Calcule y represente en el plano complejo los números z  x  yi , tales que:
(a) z  5 , (b) z  5 .
13) Calcule y represente en el plano complejo los números z  x  yi tales que:
(a) z  2  5 , (b) z  i  z  i , (c) z  z  z .
2
14) Resuelva la ecuación cuadrática x2  3x  3  0 .
15) Resuelva la ecuación cuadrática 2x2  4x  5  0 .
16) Resuelva la ecuación cuadrática x2  3x  8  0 .
17) Resuelva la ecuación x4  13x2  36  0 .
Forma trigonométrica o polar de un número complejo
La forma trigonométrica de un número complejo se establece observando el
triángulo amarillo de la Figura 3:
Gráfica 3: Forma trigonométrica de un número complejo.
 y
En este caso se tiene que r  z  ( x, y) y que   arg( z )  tan 1   .
x
Luego:

 sin  

cos  

y
 y  r sin 
r
x
 x  r cos 
r
74
Por lo tanto:
z  ( x, y)  x  yi  r cos   i r sin   r (cos   i sin )
Ésta es la llamada forma trigonométrica o polar del número complejo, la cual
está en términos del módulo y el argumento. Se denota comúnmente por
z  r cis  .
Ejemplo: Halle la forma trigonométrica de z  1  i .

 1 
Hallemos r  (1)2  (1) 2  2 y   tan 1     .
4
 1 
Note que  está en el cuarto cuadrante. Por lo tanto:


 
  

  
 
z  1  i  2  cos     i sin      2  cos    i sin     2 cis   .
4
4
4
4




 
 
4


Ejercicios: Escríbase en la forma polar:
(a) z1 = 1 + i
(b) z2 = - 3  i
(c) z3 = 5i
(d ) z 4  1  i
(e) z 5  1  i 3
( f ) z 6  6
Desarrollo ejercicio z 2   3  i
r2
5
6
5
5 

z 2  2 cos
 isen

6
6 

5
z 2  2cis
6

75
Ejercicios: escríbase en forma rectangular
(a ) z1  2cis
(b) z 2  5cis

6

2
(c) z 3  3cis300 º
2
3
(e) z 5  2cis210 º
(d ) z 4  3cis
( f ) z 6  2cis
7
4
Desarrollo ejercicio (c)
z 3  3cis 300º  3 cos 300º i3sen300º

3
1

 3   i3 

2
 2 
3 3 3
 
i
2
2
Multiplicación de números complejos en su forma trigonométrica
Sean u  r cis  y v  s cis  , entonces u v   rs  cis     . En otros términos:
uv   rs  cos(  )  i sin(  ) 
Demostración:
u v  r cis   s cis 
  rs  cis  cis  
  rs  cos   i sin   cos   i sin  
  rs   cos  cos   i cos  sin   i sin  cos   i 2 sin  sin  
  rs  cos  cos   sin  sin   i(cos  sin   i sin  cos ) 
  rs  cos(  )  i sin(  ) 
 (rs ) cis(  )
Por lo tanto, la multiplicación de dos números complejos en su forma
trigonométrica da como resultado un número complejo cuyo módulo es igual al
producto de sus módulos y cuyo argumento es igual a la suma de los argumentos.


  
 
 
Ejemplo. Sea u  2cis   y v  3  cos    i sen     3 cis    .
4
 4 
 4
4

76
Entonces u v  6cis(0)  6  cos(0)  i sin(0)   6
Ejemplo 2: Si z1 = 8cis45º y z2 = 2cis30º, encuéntrese
( A) z1 z 2
( B)
z1
z2
( A) z1 z 2  r1 r2 cis (1   2 )
 8  2cis (45º 30º )
 16cis 75º
( B)
z1 r1
 cis (1   2 )
z 2 r2
8
 cis (45º 30º )
2
 4cis15º
Fórmula de Moivre
De la aplicación repetida de la fórmula del producto, se pueden obtener fácilmente
potencias de números naturales de los números complejos, por ejemplo:
( x  y) 2  (rcis  ) 2  r 2 cis (   )  r 2 cis 2
( x  y) 3  (rcis  ) 3  (rcis  )( r 2 cis 2 )  r 3 cis 3
En general, se obtiene el teorema de De Moivre.
z n  ( x  y) n  (rcis  ) n  r n cisn
n un número natural
Ejemplo: Úsese el teorema de De Moivre para encontrar (1 + i) 10. Escríbase la
respuesta en la forma x + yi
(1  i )10  ( 2cis 45º )10
 ( 2 )10 cis10(45º )
 32cis 450º
 32cis 90º
¿ Porqué ?
 32(cos 90º isen 90º )
 32(0  i )
 32i
77
n Raíces de z
Se dice que w es una raíz enésima de z, n un número natural, si: wn = z
Por ejemplo, si w2 = z, entonces w es una raíz cuadrada de z, si w 3 = z, entonces
w es una raíz cúbica de z, etc
Teorema de las n raíces z
360º 

r n cis   k

n 
n
1
k  0,1,.............., (n  1)
Son las n raíces distintas enésimas de
z  rcis , y no hay otras
Ejemplo: Encuéntrense las seis raíces distintas de z =  1  i
Solución: Primero se escribe
3 y grafíquense
z  1  i 3 en la forma polar:
z  1  i 3  2cis120º
Las seis raíces están dadas por:
1
6
1
360º 
 120º
2 cis 
k
  2 6 cis (20º  k 60º )
6
6


k  0,1, 2, 3, 4, 5
Todas las raíces se pueden graficar fácilmente después de que se localiza la
primera. Los puntos de las raíces están espaciados igualmente sobre una
circunferencia de radio
1
1
6
2 , con un incremento angular de 60º entre dos raíces
1
w1  2 6 cis (20º 0  60º )  2 6 cis 20º
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
w2  2 cis (20º 1  60º )  2 cis 80º
w3  2 cis (20º 2  60º )  2 cis140º
w4  2 cis (20º 3  60º )  2 cis 200º
w5  2 cis (20º 4  60º )  2 cis 260º
w6  2 cis (20º 5  60º )  2 cis 320º
Ejemplo 2: Encuéntrense las cinco raíces distintas de z = 1 + i. Exprésese las
respuestas en la forma polar
78
Teorema de De Moivre, n un entero
El teorema de De Moivre se puede extender para aplicarlo a todos los enteros (
tanto negativos y cero como positivos):
z n  ( x  iy ) n  (rcis  ) n  r n cisn
n entero
El caso de n = 0 se deja de tarea para los alumnos, se considerará el caso cuando
n es un entero negativo como n = -m, donde m es un entero positivo, entonces
para z  rcis
1
z m  m
z
1cis0º

(rcis ) m
1cis0º
 m
(r cism )
 r  m cis(0º m )
 r  m cis(m )
Ejemplo: Úsese el teorema de De Moivre en la forma extendida para evaluar la
expresión
( 3  i) 4
( 1  i 3 ) 6
( 3  i) 4
(1  i 3 ) 6

. Escríbase la respuesta en la forma x + iy
(2cis30 º ) 4
(2cis120 º ) 6
 (2cis30 º ) 4 (2cis120 º ) 6


 2 4 cis4  30 (2 6 cis(6  120 º )
 2  2 cis(120 º 720 º )
1
cis( 600 º )
4
1
 cos(600 º )  isen( 600 º )
4
1 1
3 
   i
4  2
2 


1
3
i
8
8
Ejemplo: Úsese el teorema de De Moivre en la forma extendida para evaluar la
expresión
 3 i
(1  i 3 ) 5
. Escríbase la respuesta en la forma x + iy
79
Ejercicios
Úsese el teorema de De Moivre para encontrar cada una de las siguientes
expresiones. Escríbanse las respuestas en la forma x + yi
(1) (2cis30 º ) 3
(2) ( 2cis10 º ) 6
(3)
 3  i
8
 1
3 
( 4)   
i
 2
2 

3
(5) (1  i ) 5
(6) (1  i 3 ) 8

 
1  i 3  1  i 
(8)
1  i   3  i 
 3  i   1  i 
(9)
 1  i   3  i 
4
(7 )  3  i 1  i 3
3
3
2
3
4
4
6
3
2
Para n y z como se indica, encuéntrense todas las raíces enésimas de z.
exprésense las respuestas en la forma trigonométrica
( a ) z  8cis30 º , n  3
(b) z  8cis60 º ,
( c ) z  1  i
n6
,
n5
(d ) z  8
,
n4
(e) z  i
,
n6
( f ) z  8cis45 º ,
n3
80
Forma exponencial de un número complejo
Definición: La función exponencial sobre los números complejos se define como:
e xiy  e x (cos y  iseny )
Teorema: Para z, w  C y todo n  Z se verifica:
(a) e z e w  e z  w
 
(b) e z
n
 e nz
e z e w  e x1 iy1 e x2 iy2  e x1x2 (cos y1  iseny 1 )(cos y 2  iseny 2 )
 e x1  x2 (cos y1 cos y 2  seny1 seny 2  i ( seny1 cos y 2  cos y1 seny 2 ))
 e x1  x2 (cos( y1  y 2 )  isen ( y1  y 2 ))
 e x1  x2 e i ( y1  y2 )
 e zw
Si r y

son el módulo y el argumento de z  C, entonces:
z  re i  r (cos   isen )
La expresión re
i
se denomina forma exponencial de z
Esta expresión es la llamada forma exponencial del número complejo. Note que la
forma exponencial es equivalente a la trigonométrica pues dependen de los
mismos elementos: módulo y argumento del número complejo z . Esta forma es
muy cómoda pues podemos efectuar la multiplicación, división y potenciación
empleando las leyes del álgebra.
Multiplicación y división de
exponencial
Sean u  rei y v  sei . Entonces:
números
complejos
en
su
forma
u v  rei sei   rs  ei ()
u rei  r  i ( )

 e
v sei  s 
i
Ejemplo: Sea u  6 e

4
i

i

y v  3 e 4 . Entonces u v  18 e 2  6i y
u
 2ei (0)  2 .
v
81
Ejercicios Segunda parte
1) Represente:
(a) en la forma trigonométrica el número complejo 3  3i .
(b) en la forma binómica el número complejo 2  cos   i sin  .
2) Represente:
(a) en la forma trigonométrica el número complejo 2  2i .


  
(b) en la forma binómica el número complejo 2  cos    i sin    .
3
 3 

3) Multiplicando el mismo número complejo n veces,
identidades trigonométricas para comprobar que si
efectúe
y
emplee
z1  r1 (cos 1  i sin 1 ) ,
z2  r2 (cos 2  i sin 2 )
, …,
zn  rn (cos n  i sin n )
entonces
(a) z12  r12  cos(21 )  i sin(21 ) 
(b) z1n  r1n  cos(n1 )  i sin(n1 )
(c) z1 z2 ... zn   r1r2 ...rn  cis  1  2  ... n  .
Extienda el resultado a las potencias enteras negativas.
4) Calcule:


9
(a) 1  i 3 , (b)
1
 2  2i 
7
5) Dados u  2  i 2 y v  2  i 2 , emplee la forma exponencial para hallar:
(a) uv , (b)
u
.
v
6) Dados u  2  i 2 y v  2  i 3 , emplee la forma exponencial para hallar:
(a) uv , (b)
u
.
v
82
7) Halle

3i

4
 1  i 3 
6
.
1  i 
9
 1  i 
84
8) Halle
El logaritmo de un número complejo
Al igual que para los reales, vamos a definir el logaritmo de un número complejo
como la operación inversa de la exponencial, esto es:
z  log w  e z  w .
Supóngase que w  rei es un número complejo de módulo r y argumento  ,
entonces:
e z  r ei (  2 k )  w  z  ln r  i (  2k ) .
Ejemplo. Sea 1  1 ei (0) . Por tanto log (1)  ln(1)  i (2k )  2k  i , con
k Z .
83
Ejercicios Tercera parte
1) Halle las raíces cuadradas de 1 y verifique que son i y i .
2) Halle las raíces cúbicas de 1.
3) Halle las raíces cúbicas de 1 .
4) Halle las raíces cuadradas del número 1  3 i
binómica.
y expréselas en la forma
5) Halle las raíces cúbicas del número 1  i 3 y expréselas en la forma binómica.
6) Halle las raíces cuadradas de 2  2i y represéntelas en el plano complejo.
7) Muestre que log(1)  i .
8) Halle:
(a) log(e) , (b) log(i ) , (c) log(ei) .
9) Muestre que log(1  i) 
1

ln 2  i .
2
4
84
Respuestas
PRIMERA PARTE
1) a) (2, 2) , b) (5, 14) , c) (13, 22) , d) (1, 4) , e) (4, 6)
 x
y 
, 2
6)  u , v    2
2
2 
x y x y 
9) a)
 3  9i
10
11) 3  i
13) a)  x  2   y 2  25 , círculo de radio 5 centrado en (2, 0) y su interior.
2
15)
1
1  i
2
17) 2i ,  3i
SEGUNDA PARTE
 3 
1 a) 3 2 cis  
 4 
5)
7)
a) 2, b) i
1 103 i
e
4
TERCERA PARTE
1
3
3) 
i
2 2
4
i 
i
5) 2e 9 , 2e
10

9
i
, 2e
16

9

8) a) 1  2k  i , c) 1  i
2
85
Guía Ejercicios IB NS Números Complejos
I
1.
2.-
3.-
4.-
Operatoria básica
Dados los números complejos z1 = 3 + i ; z2 = 2 - i , halle :
a) z1 · z2
b) z1 : z2
Escriba dos números complejos conjugados z1 y z2 , ninguno de los cuales
esté en el eje real o en el imaginario del plano complejo que verifique z 1 · z2
= 10.
Sean z1 = 2 + i 3 ; z2 = 1 - i , halle en la forma a + bi , a, b  IR:
a) z1 · z2
b) z1 : z2
c) | z1 · z2|
Sean z1 = -1 + 3i ; z2 = 3 + i , Exprese en la forma a + bi , a, b IR:
a) z1 · z2
b) z1 : z2
II
Ecuaciones
1.-
Resuelva la siguiente ecuación
2.-
Sean
4.III
1.2.-
z = 3 + ik ; w = k + 7i , con k  IR.
z
en la forma a + bi , a, b  IR.
w
z
b) ¿Para qué valores de k es
un número real?
w
1
5  12i
Resuelva la siguiente ecuación
, entregando tus respuestas

x  iy 4  6i
a)
3.-
i
4  7i

x  iy 5  3i
Exprese
como números racionales.
Si z = a + bi , a, b  IR, halle los pares ordenados tales que z2 = -5 + 12i.
Coordenadas Polares
3.-
Determina el módulo y el argumento del número complejo
7 - 24i
Determina el módulo y el argumento del número complejo z = cos 28° +
isen 28°
Determina el módulo y el argumento del número complejo -5i
4.-
Determina el módulo y el argumento del número complejo
5.-
Exprese el número complejo z = -2 + 2 i
sen ø), con 0 ≤ ø < 2π , y r > 0.
3
en la forma
11  7i
3  5i
r(cos ø + i
86
6.-
Sea


z = a  cos

4
 isen


4


; w = b  cos

3
 isen
forma x + yi.
z=

z

 w
3
 . Exprese 
3
en la
1  i 3 
5
7.-
Hallar la parte real y la imaginaria de
8.-
Los puntos A y B representan en el plano complejo los números
z = 2
- 2i y w = -1- i 3 , respectivamente.
(a) Supuesto que O es el origen, halle el ángulo AOB en radianes
expresando su
respuesta en función de π.
(b) Determine el argumento de zw en radianes, expresando la respuesta en
función de π
Ejercicios adicionales
1.-
1  5i 2  3i 
4  i 1  2i 
(a)
Expresa el complejo z =
(b)
Expresa el número complejo
r(cos ø + i sen ø) con r > 0
2.-

3  i 1  i 
3
en la forma
y 0 ≤ ø ≤ 2π
Exprese
b)
c)
Demuestre que el valor -i satisface la ecuación z3 = i
Halle las otras dos raíces z 1 y z2 de esta ecuación y represéntelas
junto con –i en el plano complejo.
Halle el número complejo w de modo que wz1 = z2
y wz2 =-i.
Encuentra las raíces cuadradas del número imaginario 2i en la
forma x + iy, con x e y reales.
Resuelve la ecuación
z2 - 4iz - 4 - 2i = 0 , y ubica los puntos
A y B que representan las soluciones en el diagrama de Argand
Muestra que el perímetro del triángulo OAB, donde O es el origen, es
(b)
(a)
en la forma

a)
d)
3.- (a)
4.-
1  i 
6
w=
en la forma a + bi ,
a + bi, con a , b , números reales.
3 2  10
2
Calcule 1  i 
(a)
Demuestre, por inducción matemática que 1  i 
4n
(b)
  4 , siendo
n
n  IN*.
Partiendo de aquí, o de otro modo, halle 1  i 
32
(c)
5.-
6 i 2
, y w=1-i
2
Sea z =
(a)Escriba z y w en la forma r(cos q + isen q), con r > 0 , 
(b)
Demuestre que
(c)
Halle el valor de
z


 cos  isen
w
12
12

2
≤q≤

2
.
z
en la forma a + bi, debiendo determinar a y b
w
en forma de radicales.
(b) Partiendo de aquí , o de otro modo, halle los valores exactos de
cos

12
y
sen

12
87
Respuestas
Prueba I
I
Operatoria básica
1)
a)
b)
2)
z1 = 1 + 3i ;
3)
a)
7-i
1+i
(2 +
3 ) + ( 3 - 2)i
2 3
2 3




 2  +  2 i




b)
4)
II
z2 = 1 - 3i
c)
14
a)
b)
-6 + 8i
i
Ecuaciones
1)
x= 
47
65
2)
a)
2
 10k   k  21 
i
 2
   2
 k  49   k  49 
b)
k=
y= 
;
1
65
 21
92
;
169
x=
4)
( 3 , 2 ) ; ( 2 , 3 ) ; (-2 , -3 ) ; ( -3 , 2 )
III
Coordenadas polares
1)
25
;
-73,7º
2)
1
;
28°
3)
5
;
-90°
;
-26,6º
4)
5)
5
4 ( cos
y=
18
169
3)
2
2
+ isen
)
3
3
88
6)
a3 2 a3 2

i
2b 3
2b 3
7)
Re ( z ) = 16
Im ( z ) = -16
8)
a)
b)
3
5
rad
12

12
Ejercicios adicionales
1)
a)
b)
2)
a)
97 139

i
85 85
17
17 

4 2  cos
 isen

12
12 

-8i
c)
z1 =
d)
w=
3 i
 3 i


, z2 =
2 2
2
2
3 i

2 2
3)
a)
b)
1+i ; -1-i
z1 = 3i + 1 , z2 = i - 1
4)
a)
c)
2i
65536
5)
a)
z=
  
  
2  cos    isen    
 6 
  6
  
  
2  cos    isen    
 4 
  4
 6 2  6 2
z

i
= 

 

w
4
4

 

w=
c)
sen

12

d)
cos

12

6 2
4
6 2
4
89