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TEMA 11: PERÍMETROS Y ÁREAS.
LA VISIÓN DEL CIEGO.
El soldado miraba con lástima al anciano ciego que, apoyado en su bastón, tomaba el
sol mientras sus ojos extintos intuían la posición del astro en el horizonte.
Ahmés, su compañero de guardia a la entrada de la biblioteca de Alejandría interrumpió
sus pensamientos diciéndole:
- Es Erastóstenes, el cual no hace mucho tiempo dirigía la biblioteca.
- ¡Es una pena que sea ciego!.
- no siempre fue así, y lo único que ahora lamenta es no poder leer el pensamiento del
mucho encerrado en estas paredes-dijo Ahmés, y continuó con su explicación-.
Pero el maestro es todavía capaz de ver más lejos que tú, que tienes tus ojos sanos.
-¡Eso es imposible!.
Ahmés, con una sonrisa intentó explicárselo:
- Tú y yo, con nuestros ojos, vemos la tierra plana como la palma de nuestra mano; sin
embargo él, que ahora está ciego, la ve con forma de bola y dicen que incluso ha
calculado su tamaño.
Erastóstenes, utilizando ángulos y proporcionalidad, cifró la circunferencia polar de la
Tierra en 252000 estadios egipcios (1 estadio= 157, 2 m).
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1.- Perímetro.
1.1.- PERÍMETRO DE POLÍGONOS IRREGULARES.
EL PERÍMETRO DE LOS POLÍGONOS IRREGULARES SE CALCULA
SUMANDO LAS LONGITUDES DE SUS LADOS.
1.2.- PERÍMETRO DE POLÍGONOS REGULARES.
Sin embargo, en el caso de los polígonos regulares, al tener todos los lados
iguales, el perímetro saldrá de P= n·l, donde P es el perímetro, n es el nº de lados y l la
longitud de sus lados.
EJEMPLO: Calcula el perímetro de estas figuras.
cada lado mide 10, 3,5, 4, 8 y 7
respectivamente.
Luego P= 10+3,5+4+8+7= 32,5 cm
Cada lado mide 3 cm.
Luego P= 3xl= 3x6= 18 cm.
1.3.- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA.
Los matemáticos griegos decidieron indicar, con una letra de su alfabeto, el
número de veces que la circunferencia contiene su propio diámetro. La letra escogida
fue la letra π. Del número π, se conocen muchas cifras (tiene finitas). Como las primeras
son 3,141592653589...pero normalmente consideramos como valor de π = 3,14.
Fórmula: Longitud de la circunferencia = π . diámetro
Como el diámetro es el radio multiplicado por dos (d= 2r), se suele escribir:
Perímetro de la circunferencia = π·diámetro = π·2·r, siendo el valor de π de 3,14.
1.4.- LONGITUD DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA.
SE CALCULA MULTIPLICANDO LA FÓRMULA ANTERIOR (PERÍMETRO DE LA
CIRCUNFERENCIA) Y DIVIDIÉNDOLA POR LOS 360º QUE TIENE UNA
CIRCUNFERENCIA, ES DECIR: L= (2 · π · r)xn/360.
EJEMPLO RESUELTO 1: Si el radio de una circunferencia es de 2 cm y el ángulo
que forma con AB es de 30º, cuánto medirá la longitud del arco de la circunferencia.
LAB= (2 · π · r)/360. Si n=30 y r=2
(2 · π · 2) xn /360= (2 · π · 2)x30/360= (4x30) π/360= 1,05 cm.
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2.- Área de los paralelogramos.




AREA DE UN RECTÁNGULO. Sale de multiplicar la base por la altura.
AREA DE UN CUADRADO. Sale de multiplicar el lado por el otro lado.
AREA DEL ROMBO. Sale de multiplicar las dos diagonales y dividirlas por 2.
AREA DEL ROMBOIDE. Sale de multiplicar la base menor del mismo por la
altura de la figura.
EJEMPLOS: CALCULA EL ÁREA DE ESTAS FIGURAS:
Si un lado del rectángulo mide 2 cm y el
otro 4 cm, cuál será su área.
A= 4x2= 8 cm².
Si el lado de este cuadrado mide 3 cm
cuánto medirá su área.
A= 3X3= 9 cm.
Calcula el área de este rombo.
Calcula el área de este romboide.
Si la diagonal mayor mide 5 cm y la
menor 2, 5x2= 10, 10/2= 5 cm².
si el área del romboide sale de
multiplicar la base por la altura y miden
respectivamente, 4 y 2 cm, entonces el
área = (4x2) = 8 cm².
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3.- Área de un triángulo.
El cálculo del área de un triángulo cualquiera, se relaciona con el área de un romboide, cuya
fórmula era base · altura
¿Cómo podemos relacionar triángulo y romboide?
Lo haremos a través del siguiente dibujo:
A nuestro triángulo ABC, le trazaremos una paralela al lado AC a partir de B, y una paralela a
AB a partir de C.
Se ha formado un romboide donde el ABC es la mitad de él. Para calcular el área del romboide
necesitábamos la altura, porque su fórmula es b · h. Como es la mitad del romboide obtenemos
que el área del es igual a la mitad del área del romboide.
Su fórmula es:
Área del triángulo = b · h / 2
Si : AB= 5 cm AC= 3,2 cm
BC= 4 cm CD= 3 cm
Calculemos el área de este triángulo. Comenzamos, aplicando la fórmula.
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4.- Área de un trapecio.
B
b
SE CALCULA SUMANDO LAS LONGITUDES DE LAS BASES LA MAYOR MÁS LA MENOR
(B+B), MULTIPLICÁNDOLAS POR LA ALTURA H Y DIVIDIENDO EL RESULTADO ENTRE
DOS.

Calculamos el área de un trapecio isósceles, sabiendo que la base mayor mide 24 cm, la
base menor 12 cm y cada uno de los lados iguales 10 cm.
Conocemos las dos bases y nos falta conocer su altura, h. En el triángulo BCN tenemos que BC =
10cm. El lado NB se obtiene sabiendo que MN = 12cm y AM = NB, por ser un trapecio isósceles:
NB = AM = (24-12)/2 = 6 cm. La altura es siempre perpendicular al lado, por lo que el triángulo
BCN es rectángulo.
Hallamos la altura, h, del trapecio, aplicando el teorema de Pitágoras:
h = C N = B C 2 - N B 2 = 10 2 - 6 2 = 64 = 8 c m
Así, el área del trapecio será:
A = ( B + b ) · h 2 = ( 24 + 12 ) · 8 2 = 144 c m 2
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5.- Área de un polígono regular.
Un cuadrilátero se puede dividir en 2 triángulos, un pentágono en 3, un hexágono en 4, etc.; siempre
dos menos que el número de lados. En definitiva, un polígono de n lados se puede descomponer en n2 triángulos y, por tanto, la suma de los ángulos interiores será: 180º·(n-2). Si el polígono es regular
el valor de uno de los ángulos interiores es: (n-2).180º
El área de cualquier polígono es el de la suma de las áreas de los triángulos en que se puede dividir.
Si el polígono es regular el método se simplifica, ya que puede dividirse en triángulos iguales con un
vértice en el centro del polígono y los otros dos en los extremos de cada lado.
Puesto que la apotema es la altura de cada uno de esos triángulos, su área es el producto del lado por
la apotema partido por dos. Al multiplicar por el número de lados se obtiene al área del polígono
regular: el perímetro por la mitad de la apotema. A=(perímetro·apotema)/2.
RECUERDA: Un polígono regular es un polígono en el que todos los lados tienen la misma
longitud y todos los ángulos interiores son de la misma medida.
Veamos las distintas características de los polígonos regulares, empleando la figura de un Hexágono
pera representar un polígono regular genérico.
Triángulo equilátero (Triángulo
regular).
Cuadrado (cuadrilátero
regular).
Pentágono
regular.
Heptágono regular.
Octógono regular.
Eneágono regular.
Hexágono regular.
Una característica de los polígonos regulares, es que se pueden trazar inscritos en una circunferencia
que tocará cada uno de los vértices del polígono. A medida que crece el número de lados de un
polígono regular, su apariencia se asemeja cada vez más a la de un círculo.
En un polígono regular podemos distinguir:






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Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.
Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
Centro, C: El punto central equidistante de todos los vértices.
Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono.
Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos.
Perímetro, P: es la suma de todos sus lados.
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EJERCICIOS:
1Hal l ar l a di a gon al , el perí m et ro y el ár ea del cu adrado:
2Hal l ar l a di a gon al , el perí m et ro y el ár ea del r ect án gul o :
3Hal l ar el pe rí m et ro y el áre a del t rap ec i o rect án gul o:
4Hal l ar el pe rí m et ro y el áre a del t rap ec i o i sóscel es:
5Hal l ar el pe rí m et ro y el áre a del t ri án gul o equi l át ero:
6Hal l ar el pe rí m et ro y el áre a del pent á gono re gul ar :
7 Hal l ar el áre a de un hex ágono i nscri t o en una ci rcunfer e nci a de 4 cm de
radi o.
7
6. Área del círculo.
 EL CIRCULO ES COMO UN POLÍGONO REGULAR DE MUCHOS LADOS,
DONDE:
 Perímetro = longitud de la circunferencia
 Apotema = radio

Por lo que se deduce que el área del círculo es:
A = perímetro . apotema = longitud . radio
2
2

Como la longitud es 2π.r lo sustituimos y nos queda:
A = longitud . radio = 2π.r. radio = 2π.r. r
2
2
2
al dividir 2 entre 2 y
multiplicar r.r nos quedaría:
A = π.r2
Ejercicio resuelto: Calcula el área de un círculo de radio 4cm.
Aplicamos la formula: A = π . r2 = 3,14 . 42 = 3,14 . 16 = 50,24
Ejercicios:

1) Calcula el área de un círculo de radio 5cm
2) Calcula el área de un círculo de radio 6cm
SECTOR CIRCULAR ES LA PARTE COMPRENDIDA ENTRE DOS RADIOS Y UN ARCO.
 El arco es el ángulo que forman los dos radios y un
arco.
A = π.r2.n
360
n es el ángulo comprendido entre los dos radios.
Lo que mide la circunferencia.
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Ejercicio resuelto: Calcula el área de este sector circular.
Aplicamos la formula:
A = π r2. n = 3,14 . 32. 45 = 3,53 cm2
360
360
Ejercicio: Calcula el área de este sector circular.
9
7. Área de una figura plana

PARA CALCULAR EL ÁREA SEGUIMOS ESTOS PASOS:
1. Descomponemos la figura.
2. Calculamos el área de cada figura.
3. Sumamos el resultado de todas las áreas.
Ejercicio resuelto: Calcula el área de está figura.
1.
10
10
2. A triángulo = b. h = 10 . 10 = 100 = 50cm2
2
2
2
A cuadrado = l . l = l2 = 10 . 10 = 100 cm2
3. A triángulo + A cuadrado = 100 + 50 = 150 cm2
Ejercicio: Calcula el área de esta figura.
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7
7
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