Download SEMANA 12.ARITMETICA – Potenciación y

UNMSM
Aritmética
SEMANA 12
Resolviendo:
9=k
POTENCIACIÓN Y
RADICACIÓN
1.
Si el numeral a ann es un
cuadrado perfecto; ¿Calcule la
suma de cifras de su raíz
cuadrada?
A) 15
D) 16
B) 14
E) 12
M  K3  12  93  12  741  abc
a  7; b  4; c  1
a  b  28
RPTA.: D
3.
C) 19
RESOLUCIÓN
a ann  K2
0
Al extraer la raíz cuadrada de un
número se obtuvo 22 como
residuo.
Si
el
número
se
cuadriplica
la
raíz
cuadrada
aumenta en 19 y el residuo se
reduce en 7. Halle el número.
A) 342
D) 392
11  aann  diferencia es cero;
entonces es múltiplo de 11
aann  112   x 
2
B) 456
E) 412
C) 346
RESOLUCIÓN
Buscando el número “x”
x=8
*
n=4
K
 N  K2  22
22
a=7
aann  121  64  7 744
N
*
4N K+19
15

 4N  K  19   15
2

4 K2  22  K2  38K  361  15
Pide:
aann  11  8  88
2
3K  38K  288  K  18
Luego: N  182  22  346
RPTA.: C
Suma de cifras: 16
RPTA.: D
2.
Al extraer la raíz cúbica de abc se
obtuvo como residuo por exceso
259 y por residuo por defecto 12.
Calcule : a x b
A) 14
D) 28
B) 15
E) 56
RESOLUCIÓN
Raíz cúbica sabemos:
R d  12
R e  259
271
Rd  Re  3k k  1  1
271  3 k k  1  1
SAN MARCOS 2011
C) 18
4.
Al extraer la raíz cuadrada de un
número se obtuvo 52 de residuo,
pero si se le suma 1 000
unidades, su raíz aumenta en 2 y
su residuo se hace máximo. Halle
la raíz del número original.
A) 141
D) 260
B) 158
E) 174
C) 157
RESOLUCIÓN
Sea N el número
N
K- 2
52
 N  K  2   52 ..(1)
2
N  1000 K
2K
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Aritmética
 N  1000  K2  2K
........(2)
0
11
De
y
1
0
3
3
3
3
3  ab c de f  2  3  11  t
ab c de f 
2
0
K  2  52  1000  K2  2 K
2
2
K2  4K  4  1052  K2  2K
Cumple para t = 1
K = 176
ab c e f  23  33  113  13
ab c d e f  2 8 7 4 9 6
K -2 =174
RPTA.: E
5.
Halle (a +
abcde  de
A) 117
D) 20
c+d =7+4
c + d = 11
b + c + d + e) si
3
RPTA.: C
B) 118
E) 21
C) 19
7.
RESOLUCIÓN
A) 14
D) 12
3
ab c 00  d e  d e

2

ab c 100  de  de  1

Se tiene cdcdcd1  K3 .
Halle: “c + d “


3 números consecutivos al
menos uno divide a 100
Descomponiendo por bloques:
101010  cd  1  K3
2  3  5  7  13  37  cd  K3  1

0
de  25
2
3
de  15 625
0
RPTA.: C
Si: abcdef  K3 ;
a + c + e = b + d + f =18 y
0 0 0 0
 K  1  m c m  2,3,5,7 
0


5
0
0
B) 10
E) 13
K 1 
3
7
0
f  2 . Halle “c + d”
K  1  210
K = 211
Como el número tiene 7 cifras:
C) 11
c d c d c d1  2113  9393931
c + d = 12
RESOLUCIÓN
RPTA.: D
ab c d e f  K3 ;
º
a + c + e = b + d + f = 18; f = 2
SAN MARCOS 2011

2  3  5  7  13  37  cd  K  1 K2  K  1
Se verifica:
A) 9
D) 12
C) 15
RESOLUCIÓN
ab c 100  de  de  1 de  1
6.
B) 13
E) 16
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
8.
¿Cuántos
Aritmética
cuadrados
perfectos
Tanteo de “d” para obtener un
número de 4 cifras que termine en
49.
d =9
0
13 -4 hay entre 924 y 5960?
A) 4
D) 7
B) 5
E) 8
C) 6
ab 4 9  932
a =8
ab 4 9  8649
RESOLUCIÓN
Sea
el
número:
2
NK
Y
c = 9; d = 9;
a + b + c + d = 32
0
N  13 4
924  K2  5960
30,3  K  77,2
b=6
RPTA.: B
10.
K = 31; 32; 33;…….; 77.
0
Halle el mayor cuadrado perfecto
de 3 cifras de la base 6, que
termine en cifras 3.
N  13 4  K2
0
13 13  K2  9
0
0
13  K  3 K  3 

13  3  42,55,68
126  16 326  ...36 526  ...16
226  46 426  46
2
2
Se deduce ab36  x 3
Halle: (a + b + c + d)
Luego:
C) 19
2
1006  x36  10006
2
RESOLUCIÓN
36  x36  216
6  x36  14
106  x36  226
2
c
ab 4 c  d  
3
 K2
(cuadrado perfecto)
c
c
c
c
ab 49  d3 ; a > b.
SAN MARCOS 2011
Luego:
0
 múltiplo de 3
= 3 (No)
= 6 (No)
= 9 (Si)
2
E) 5236
Observe en base 6:
c
Si: ab 4 c  d   ; a > b.
3
B) 32
E) 15
D) 4336
C) 2236
Sea el cuadrado buscado ab 36
Hay 7 números.
A) 30
D) 29
B) 2106
RESOLUCIÓN
0
13  3  36, 49, 62,75
RPTA.: D
9.
A) 2136
x 36  136  1326  2136
RPTA.: A
11.
Sabiendo
ababab5 ,
que
se
el
número
convierte
en
cuadrado perfecto cuando se le
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
multiplica
“a + b”.
A) 5
D) 4
Aritmética
su raíz cuadrada y en su raíz
cúbica?
2728 . Calcule
por
B) 8
E) 6
C)
7
A) 3
D) 6
RESOLUCIÓN
Sea N = # de 6 cifras
ababab5  651  ab5
Luego reemplazando:
651  ab5  186  K2 (D.C.)
2
2
6
N  K  1  N  1  K  N  1  P
N  1  h3
N  P6  1
 N  h3  1
Luego:
32  312  14  ab5  K2
105  N  106
105  P6  1  106
105  P6  106
Entonces:
ab5  14  245
a=2
a+b=6
C) 5
RESOLUCIÓN
Descomponiendo:

B) 4
E) 7
P = 7; 8; 9; 10
4 números
b=4
RPTA.: B
RPTA.: E
14.
12.
Un comandante dispone su tropa
formando un cuadrado y ve que
quedan fuera 36 soldado por lo
que designa un hombre más a
cada lado del cuadrado y ve ahora
que le faltarían 75 soldado para
completar el nuevo cuadrado.
¿Cuántos soldados hay en la
tropa?
A) 3061
B) 2989
C) 61
D) 3000
E) 55
124 ,304 ,1024 ,....,300 0004
A) 54
D) 44
C) 48
Pasando a base 10: 6 12 18… 3072
el termino general: an  6n
n  1,2,3,...,512
*
0
Determinando los 13
0
6 n  13
Sea “n” el número de soldado por
cada lado del cuadrado:
Total de soldados:
n2  36  n  1  75
2
0
n  13  512
*
Resolviendo: n = 55
Total de soldados =
hay 39 casos
Determinando los cuadrados
6 n = cuadrado
n  6k2  512
552  36  3 061
*
RPTA.: A
¿Cuántos números de 6 cifras
tienen residuo máximo tanto en
SAN MARCOS 2011
B) 50
E) 42
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
13.
¿Cuántos números de la siguiente
sucesión son cuadrados perfectos
o múltiplos de 13?
hay 9 casos
Determinando los cuadrados que
0
son 13
0
13  n  6k2  512  k  1 2 3...9
0
ninguno es 13
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM

15.
Aritmética
Total = 39 + 9 = 48
RPTA.: C
Al extraer la raíz cuadrada de
6 ab c 4
se
obtuvo
residuo
máximo. Halle (a + b + c) si a es
cifra significativa.
A) 5
D) 8
B) 6
E) 9
*
b b  a  2   a  2  a  11  a  2   a  2  a  x2
1 1 6 6 4

1082
452
C) 7
462 ; 472 ; 482 ;...;1072
RESOLUCIÓN
6 ab c 5 tiene residuo
Como
máximo en su raíz cuadrada
6 ab c 4  N2  1
6 ab c 5  N2
Además se cumple c = 2;N= ... x5
2
6 ab 25  x 5
Descomponiendo
6 ab  x  x  1
Cumple x =25
Luego 6 ab  650
a=5
b=0
62 # s
17.
RESOLUCIÓN
...
RPTA.: C
y bb  a  2  a  2  a
B) 161
E) 61
C) 62
RESOLUCIÓN
*
b  1 0 C 5  K2
45
20
SAN MARCOS 2011
2
452
Separación 2 m
2
Si “b” es impar.
A) 160
D) 163
...
Calcule
cuántos
números
cuadrados perfectos existen entre
los cuadrados perfectos:
 b  1 0 c 5
RPTA.: C
Un terreno cuadrado se divide en
pequeños lotes cuadrados todos
iguales. Si se desea colocar un
árbol en cada vértice de los
cuadrados, se emplea 261 árboles
más cuando los cuadrados son de
2m de lado, que cuando son 4m.
Calcular el lado del terreno.
A) 34
B) 38
C) 32
D) 24
E) 36
a+b+c=7
16.
108
b=1
separación 4 m
2




 2  1   4  1  261




 3  8
 4   4   261  29  9
 

3  8  36  116
 36
RPTA.: E
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
18.
Aritmética
Calcule (a + b + c + d + f);
sabiendo que: N  3 ab c d f o o es
un cubo perfecto divisible por 3 y
11.
A) 24
B) 22
C) 30
D) 23
E) 25
20.
Si:
m  1 m2  2 m  1  a  b  2m  1
es
un
cuadrado
perfecto.
Calcúlese el residuo por exceso de
la raíz cuadrada de m  a  b  m
RESOLUCIÓN
A) 10
D) 2
3
N  3 ab c d f o o  K  f  0
B) 9
E) 3
C) 1
0
3
Luego: 3 ab c d  x3

3
RESOLUCIÓN
0
Si el numeral:
11
3
3 abcd  3  11  35937
m  1 m2  2 m  1 a  b  2m  1  k2
m = 2 ó 3.
a +b + c + d + f = 24
m = 2; 1 2 1  a  b  3  K2 no es  .
RPTA.: A
19.
m = 3; 2 7 2  a  b  5  K2  sí es  .
Al extraer la raíz cuadrada de un
numeral se observa que los
residuos por defecto y por exceso
están en la relación de 3 a 4.
Sabemos que el producto de las
respectivas raíces es 992. Calcule
el número.
A) 968
B) 998
C) 981
D) 988
E) 961
Propiedad
un
cuadrado
termina en 5, termina en 25
Luego a  b = 2
Reemplazando:
323 17
34
R d  34
;
Re  1
RPTA.: C
RESOLUCIÓN
N K
r
*
N K+1
re
K= 31
3x + 4x = 2(31) + 1
x=9

Si:
 a  1 e d d 3b 
2
 a a  b  b
A) 70
D) 85
B) 73 C) 81
E) 87
RESOLUCIÓN
r  27
N  312  27  988
a  1 e dd 3b  a a  b b
2
RPTA.: D
SAN MARCOS 2011
21.
Calcule el residuo por exceso que
se obtiene al extraer la raíz cúbica
a db a
K (K+1) = 992 = 31 x 32
r
3x

re 4 x
que
Pensando:
b = 1; (No)
b = 2; (No)
CUESTIONARIO DESARROLLADO
 K2
UNMSM
Aritmética
b = 3; (Sí)
Tendríamos:
a  1 e dd9  a a  3 3 
2
 a  1 e d d9  110 a  33
2
a=1
20449  1432

Luego:
a = 1; d = 4; b = 3
431 7
343
88 = Rd ; k = 7
R d  R e  3K(K  1)  1
3
db a 
3
88  Re  3 78  1
R e  81
RPTA.: C
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO